3.2.2 双曲线的简单几何性质-【名师导航】2025-2026学年高中数学选择性必修第一册教师用书配套课件（湘教版）

第3章 圆锥曲线与方程 3.2　双曲线 3.2.2　双曲线的简单几何性质 学习任务 核心素养 1．掌握双曲线的简单几何性质．(重点) 2．理解双曲线的渐近线及离心率的意义．(难点) 1．通过学习双曲线的几何性质，培养直观想象、数学运算素养． 2．借助双曲线几何性质的应用及直线与双曲线位置关系的应用，提升直观想象及数学运算、逻辑推理等素养． 3.2.2　双曲线的简单几何性质 已知双曲线C的方程为x2－＝1，根据这个方程完成下列任务： (1)观察方程中x与y是否有取值范围，由此指出双曲线C在平面直角坐标系中的位置特征； (2)指出双曲线C是否关于x轴、y轴、原点对称； (3)指出双曲线C与坐标轴是否有交点，如果有，求出交点坐标； (4)如果(x，y)满足双曲线C的方程，说出当|x|增大时，|y|将怎样变化，并指出这反映了双曲线的形状具有什么特点． 必备知识·情境导学探新知 3.2.2　双曲线的简单几何性质 知识点1　双曲线的几何性质 (1)双曲线的几何性质 标准方程 ＝1(a>0，b>0) ＝1(a>0，b>0) 图形 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 3.2.2　双曲线的简单几何性质 标准方程 ＝1(a>0，b>0) ＝1(a>0，b>0) 性质 范围 x≥a或x－a ________________ 对称性 对称轴：坐标轴；对称中心：原点 顶点 顶点坐标：A1(－a，0)，A2(a，0) 顶点坐标：____________， ____________ 轴长 实轴长：2a　　　虚轴长：___ y≤－a或y≥a A1(0，－a) A2(0，a) 2b 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 3.2.2　双曲线的简单几何性质 标准方程 ＝1(a>0，b>0) ＝1(a>0，b>0) 性质 渐近线 y＝±x y＝_______ 离心率 e＝，e∈(1，＋∞)，其中c＝ a，b，c的关系 c2＝________(c>a>0，c>b>0) ±x a2＋b2 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 3.2.2　双曲线的简单几何性质 (2)双曲线的中心和等轴双曲线 ①双曲线的中心 双曲线的________叫作双曲线的中心． ②等轴双曲线 ____和____等长的双曲线叫作等轴双曲线，其渐近线方程为________，离心率为． 对称中心 实轴 虚轴 y＝±x 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 3.2.2　双曲线的简单几何性质 思考　1．双曲线的离心率对双曲线的形状有何影响？ [提示]　以双曲线＝1(a>0，b>0)为例． e＝＝＝，故当的值越大，渐近线y＝x的斜率越大，双曲线的开口越大，e也越大，所以e反映了双曲线开口的大小，即双曲线的离心率越大，它的开口就越大． 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 3.2.2　双曲线的简单几何性质 体验　1．思考辨析(正确的画“√”，错误的画“×”) (1)双曲线＝1与＝1(a>0，b>0)的形状相同． (　　) (2)双曲线＝1与＝1(a>0，b>0)的渐近线相同． (　　) (3)等轴双曲线的渐近线方程与双曲线方程有关． (　　) (4)离心率是的双曲线为等轴双曲线． (　　) √ × × √ 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 3.2.2　双曲线的简单几何性质 [提示]　(1)双曲线＝1与＝1(a>0，b>0)的位置不一样，但是形状相同． (2)双曲线＝1的渐近线方程为y＝±x；双曲线＝1的渐近线方程为y＝±x． (3)等轴双曲线的渐近线方程都是y＝±x． (4)等轴双曲线的离心率是． 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 3.2.2　双曲线的简单几何性质 体验　2．双曲线＝1的顶点坐标是(　　) A．(±5，0)　　　　　　 B．(±5，0)或(0，±3) C．(±4，0) D．(±4，0)或(0，±3) √ A　[双曲线顶点在x轴上，且a＝5，故选A．] 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 3.2.2　双曲线的简单几何性质 知识点2　直线与双曲线的位置关系 将y＝kx＋m与＝1联立消去y得一元方程(b2－a2k2)x2－2a2kmx－a2(m2＋b2)＝0． Δ的取值 位置关系 交点个数 k＝±时(此时m≠0) 相交 只有____交点 k≠±且Δ＞0 有____交点 一个 两个 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 3.2.2　双曲线的简单几何性质 Δ的取值 位置关系 交点个数 k≠±且Δ＝0 相切 只有____交点 k≠±且Δ＜0 相离 ____公共点 一个 没有 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 3.2.2　双曲线的简单几何性质 思考　2．直线和双曲线只有一个公共点，那么直线和双曲线相切吗？ [提示]　不一定．当直线与双曲线的渐近线平行时，直线与双曲线只有一个公共点，但直线与双曲线相交． 思考　3．过点(0，b)的直线和双曲线＝1(a>0，b>0)只有一个公共点，这样的直线有几条？ [提示]　4条，其中两条切线，两条与渐近线平行的直线． 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 3.2.2　双曲线的简单几何性质 类型1　根据双曲线方程研究其几何性质 【例1】　(1)双曲线＝1的左顶点到其渐近线的距离为(　　) A．2　　　　B．　　　　C．　　　　D．3 关键能力·合作探究释疑难 √ 3.2.2　双曲线的简单几何性质 (2)已知双曲线C：＝1(a>0，b>0)的离心率为，则双曲线C的渐近线方程为(　　) A．y＝±x B．y＝±x C．y＝±x D．y＝±x (3)已知双曲线＝1(a>0)的一条渐近线为y＝x，则实数a＝________． √ 1 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 3.2.2　双曲线的简单几何性质 (1)C　(2)C　(3)1　[(1)由双曲线方程知a2＝9，b2＝16，则a＝3，b＝4，c＝5， 从而双曲线左顶点A1(－3，0)，渐近线方程为y＝±x，即4x±3y＝0，则左顶点到渐近线的距离d＝＝，故选C． (2)由e2＝1＋得＝1＋，∴＝，即＝， 又双曲线的焦点在x轴上，则双曲线的渐近线方程为y＝±x，故选C． (3)由双曲线方程知，双曲线的焦点在x轴上，则＝2， 即a2＝1，∴a＝±1，又a>0，∴a＝1．] 反思领悟　由双曲线方程研究几何性质的注意点 (1)把双曲线方程化为标准形式，确定a，b的值是关键． (2)由方程可以求焦距、实(虚)轴长、离心率、渐近线方程． (3)渐近线是双曲线的重要性质：先画渐近线可使图形更准确，焦点到渐近线距离为虚半轴长． (4)注意双曲线中一些特殊线段(值)的应用． 如过双曲线＝1的左焦点F1(－c，0)垂直于x轴的弦AB，则|AB|＝． (5)双曲线中c2＝a2＋b2，易与椭圆中a2＝b2＋c2混淆． 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 3.2.2　双曲线的简单几何性质 [跟进训练] 1．(1)若双曲线－y2＝1(a>0)的离心率为2，则其实轴长为(　　) A．　　　B．2　　　C．　　　D． (2)若双曲线mx2＋y2＝1的虚轴长是实轴长的2倍，则m等于(　　) A．－　　　B．－4　　　C．4　 　　D． √ √ 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 3.2.2　双曲线的简单几何性质 (1)D　(2)A　[(1)由题意得e2＝1＋，即1＋＝4，解得a＝，则实轴长为，故选D． (2)将双曲线方程化为标准形式为y2－＝1，则有a2＝1， b2＝－．由题意知，2＝，∴m＝－．] 类型2　由双曲线的几何性质求其标准方程 【例2】　求满足下列条件的双曲线的标准方程： (1)已知双曲线的焦点在x轴上，离心率为，且经过点M(－3，2)； (2)渐近线方程为y＝±x，且经过点A(2，－3)． 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 3.2.2　双曲线的简单几何性质 [解]　(1)设所求双曲线方程为＝1(a>0，b>0)． ∵e＝，∴e2＝＝＝1＋＝， ∴＝． 由题意得解得 ∴所求双曲线的标准方程为＝1． (2)法一：∵双曲线的渐近线方程为y＝±x， 当焦点在x轴上时，设所求双曲线的标准方程为＝1(a>0，b>0)， 则＝． ① ∵点A(2，－3)在双曲线上， ∴＝1． ② ①②联立，无解． 当焦点在y轴上时，设所求方程为＝1(a>0，b>0)， 则＝． ③ ∵点A(2，－3)在双曲线上，∴＝1． ④ 联立③④，解得a2＝8，b2＝32． ∴所求双曲线的标准方程为＝1． 法二：由双曲线的渐近线方程为y＝±x，可设双曲线方程为－y2＝λ(λ≠0)，∵A(2，－3)在双曲线上，∴－(－3)2＝λ，即λ＝－8． ∴所求双曲线的标准方程为＝1． 反思领悟　1．由几何性质求双曲线标准方程的解题思路 由双曲线的几何性质求双曲线的标准方程，一般用待定系数法．当双曲线的焦点不明确时，方程可能有两种形式，此时应注意分类讨论，为了避免讨论，也可设双曲线的方程为mx2－ny2＝1(mn＞0)． 2．常见双曲线方程的设法 (1)渐近线为y＝±x的双曲线方程可设为＝λ(λ≠0，m＞0，n＞0)；如果两条渐近线的方程为Ax±By＝0，那么双曲线的方程可设为A2x2－B2y2＝m(m≠0，A＞0，B＞0)． 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 3.2.2　双曲线的简单几何性质 (2)与双曲线＝1或＝1(a＞0，b＞0)共渐近线的双曲线方程可设为＝λ或＝λ(λ≠0)． (3)与双曲线＝1(a＞0，b＞0)离心率相等的双曲线系方程可设为＝λ(λ＞0)或＝λ(λ＞0)，这是因为由离心率不能确定焦点位置． 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 3.2.2　双曲线的简单几何性质 [跟进训练] 2．求适合下列条件的双曲线的方程： (1)焦点在x轴上，虚轴长为8，离心率为； (2)与双曲线＝1有共同的渐近线，且过点(－3，2)． [解]　(1)设所求双曲线的标准方程为＝1(a＞0，b＞0)，则2b＝8，e＝＝，从而b＝4，c＝a，代入c2＝a2＋b2，得a2＝9，故双曲线的标准方程为＝1． 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 3.2.2　双曲线的简单几何性质 (2)法一：当焦点在x轴上时，设双曲线的方程为＝1(a>0，b>0)． 由题意，得解得a2＝，b2＝4， 所以双曲线的方程为＝1． 当焦点在y轴上时，设双曲线的方程为＝1(a>0，b>0)． 由题意，得解得a2＝－4，b2＝－(舍去)． 综上所得，双曲线的方程为＝1． 法二：设所求双曲线方程为＝λ(λ≠0)， 将点(－3，2)代入得λ＝， 所以双曲线方程为＝，即＝1． 类型3　求双曲线的离心率 【例3】　(1)设F为双曲线C：＝1(a>0，b>0)的右焦点，O为坐标原点，以OF为直径的圆与圆x2＋y2＝a2交于P，Q两点．若|PQ|＝|OF|，则C的离心率为(　　) A．　　　　B．　　　　C．2　　　　D． (2)已知F为双曲线C：＝1(a>0，b>0)的右焦点，A为C的右顶点，B为C上的点，且BF垂直于x轴，若AB的斜率为3，则C的离心率为________． √ 2 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 3.2.2　双曲线的简单几何性质 (1)A　(2)2　[(1)设双曲线C：＝1(a>0，b>0)的右焦点F的坐标为(c，0)．由圆的对称性及条件|PQ|＝|OF|可知，PQ是以OF为直径的圆的直径，且PQ⊥OF．设垂足为M，连接OP，如图， 则|OP|＝a， |OM|＝|MP|＝． 由|OM|2＋|MP|2＝|OP|2得＋＝a2， 故＝，即e＝，故选A． (2)如图，A(a，0)． 由BF⊥x轴且AB的斜率为3， 知点B在第一象限，且B， 则kAB＝＝3， 则b2＝3ac－3a2． 又∵c2＝a2＋b2，即b2＝c2－a2， ∴c2－3ac＋2a2＝0， ∴e2－3e＋2＝0．解得e＝2或e＝1(舍去)．故e＝2．] 反思领悟　求解双曲线离心率的方法 (1)若可求得a，c，则直接利用e＝得解． (2)若已知a，b，可直接利用e＝得解． (3)若得到的是关于a，c的齐次方程pc2＋qac＋ra2＝0(p，q，r为常数，且p≠0)，则转化为关于e的方程pe2＋qe＋r＝0求解． 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 3.2.2　双曲线的简单几何性质 [跟进训练] 3．(1)已知双曲线的两个焦点分别为(0，4)，(0，－4)，点(－6，4)在该双曲线上，则该双曲线的离心率为(　　) A．4 B．3 C．2 D． (2)在平面直角坐标系xOy中，若双曲线＝1(a＞0，b＞0)的右焦点F (c，0)到一条渐近线的距离为c，则其离心率为________． √ 2 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 3.2.2　双曲线的简单几何性质 (1)C　(2)2　[(1)设F1(0，－4)，F2(0，4)，P(－6，4)， 则|F1F2|＝2c＝8，|PF1|＝＝10，|PF2|＝＝6，则2a＝|PF1|－|PF2|＝10－6＝4，则e＝＝2．故选C． (2)因为双曲线的右焦点F (c，0)到渐近线y＝±x，即bx±ay＝0的距离为＝＝b，所以b＝c，因此a2＝c2－b2＝c2－c2＝c2，a＝c，所以离心率e＝＝2．] 类型4　直线与双曲线的位置关系 【例4】　已知双曲线C：x2－y2＝1及直线l：y＝kx－1． (1)若直线l与双曲线C有两个不同的交点，求实数k的取值范围； (2)若直线l与双曲线C交于A，B两点，O是坐标原点，且△AOB的面积为，求实数k的值． 尝试与发现 类比直线和椭圆的位置关系的判断方法，如何判断直线和双曲线的位置关系？ 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 3.2.2　双曲线的简单几何性质 [解]　(1)联立方程 消去y并整理得(1－k2)x2＋2kx－2＝0． ∵直线与双曲线有两个不同的交点， 则解得－＜k＜，且k≠±1． ∴若l与C有两个不同交点，实数k的取值范围为 (－，－1)∪(－1，1)∪(1，)． (2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)， 对于(1)中的方程(1－k2)x2＋2kx－2＝0， 由根与系数的关系，得x1＋x2＝－， x1x2＝－， ∴|AB|＝|x1－x2| ＝·＝． 又∵点O(0，0)到直线y＝kx－1的距离d＝， ∴S△AOB＝·|AB|·d＝＝， 即2k4－3k2＝0，解得k＝0或k＝±． ∴实数k的值为±或0． 反思领悟　1．解决直线与双曲线的公共点问题，不仅要考虑判别式，更要注意二次项系数为0时，直线与渐近线平行的特殊情况． 2．双曲线与直线只有一个公共点的题目，应分两种情况讨论：直线与双曲线相切或直线与双曲线的渐近线平行． 3．注意对直线的斜率是否存在进行讨论． 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 3.2.2　双曲线的简单几何性质 [跟进训练] 4．已知双曲线－y2＝1，求过点A(3，－1)且被点A平分的弦MN所在直线的方程． [解]　法一：由题意知直线的斜率存在，故可设直线方程为y＋1＝k(x－3)，即y＝kx－3k－1， 由消去y， 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 3.2.2　双曲线的简单几何性质 整理得(1－4k2)x2＋8k(3k＋1)x－36k2－24k－8＝0． 设M(x1，y1)，N(x2，y2)，∴x1＋x2＝． ∵A(3，－1)为MN的中点，∴＝3， 即＝3，解得k＝－． 当k＝－时，满足Δ>0，符合题意， ∴所求直线MN的方程为y＝－x＋， 即3x＋4y－5＝0． 法二：设M(x1，y1)，N(x2，y2)，∵M，N均在双曲线上， ∴ 两式相减，得＝， ∴＝． ∵点A平分弦MN，∴x1＋x2＝6，y1＋y2＝－2． ∴kMN＝＝＝－． 经验证，该直线MN存在． ∴所求直线MN的方程为y＋1＝－(x－3)， 即3x＋4y－5＝0． 1．(多选题)已知双曲线方程为x2－8y2＝32，则(　　) A．实轴长为8　　　　　 B．虚轴长为4 C．焦距为6 D．离心率为 学习效果·课堂评估夯基础 √ √ √ 3.2.2　双曲线的简单几何性质 ABD　[双曲线方程x2－8y2＝32化为标准方程为＝1，可得a＝4，b＝2，c＝6， 所以双曲线的实轴长为8，虚轴长为4，焦距为12，离心率为．] 2．若双曲线－y2＝1的焦距为8，则实数m的值是(　　) A．　　　B．　　　C．15　　　D．17 √ C　[由题意知：2c＝8，c＝4，a2＝m，b2＝1， 因为c2＝a2＋b2，所以16＝m＋1，解得m＝15，故选C．] 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 3.2.2　双曲线的简单几何性质 3．点(3，0)到双曲线＝1的一条渐近线的距离为(　　) A． B． C． D． √ A　[由双曲线的方程知，a＝4，b＝3，焦点在x轴上，所以双曲线的一条渐近线方程为y＝x，即3x－4y＝0，由点到直线的距离公式得，点(3，0)到双曲线的一条渐近线的距离为＝．故选A．] 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 3.2.2　双曲线的简单几何性质 4．已知圆C：x2＋y2－10y＋21＝0与双曲线＝1(a>0，b>0)的渐近线相切，则该双曲线的离心率是________． 　[由双曲线＝1(a>0，b>0)，可得其一条渐近线的方程为y＝x，即bx－ay＝0， 又由圆C：x2＋y2－10y＋21＝0，可得圆心C(0，5)，半径r＝2， 则圆心到直线的距离d＝＝，则＝2，可得e＝＝．] 　 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 3.2.2　双曲线的简单几何性质 5．若直线y＝k(x－3)与双曲线－y2＝1只有一个公共点，则k的一个取值为_________． 　[由题意，知该双曲线的渐近线方程为y＝±x，直线y＝k(x－3)过定点(3，0)．因为点(3，0)在双曲线内，所以要使过该点的直线与双曲线只有一个公共点，则该直线与双曲线的渐近线平行，所以k＝±．] 　 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 3.2.2　双曲线的简单几何性质 回顾本节知识，自我完成以下问题： (1)如何根据双曲线的方程研究其几何性质？ [提示]　①把双曲线方程化为标准形式； ②由标准方程确定焦点位置，确定a，b的值； ③由c2＝a2＋b2求出c值，从而写出双曲线的几何性质． 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 3.2.2　双曲线的简单几何性质 (2)离心率e和有怎样的关系？ [提示]　e2＝1＋． (3)如何用待定系数法设出与双曲线＝1有相同渐近线的双曲线方程？ [提示]　可设为＝λ(λ≠0)． 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 3.2.2　双曲线的简单几何性质 (4)直线与双曲线相交，有两个交点时，其弦长公式与直线与椭圆相交时的弦长公式是否相同？你能写出来吗？ [提示]　完全相同．直线y＝kx＋m与双曲线＝1相交，其交点为A(x1，y1)，B(x2，y2)，则 |AB|＝ 或|AB|＝． 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 3.2.2　双曲线的简单几何性质 章末综合测评(一)　动量守恒定律 题号 1 3 5 2 4 6 8 7 9 10 11 12 13 √ 14 15 一、选择题 1．若实数k满足0＜k＜5，则双曲线＝1与双曲线＝1的(　　) A．实半轴长相等　　　　　 B．虚半轴长相等 C．离心率相等 D．焦距相等 课时分层作业(二十八)　双曲线的简单几何性质 53 D　[由于16＋(5－k)＝(16－k)＋5，所以焦距相等．] 题号 1 3 5 2 4 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 √ 14 15 2．若a>1，则双曲线－y2＝1的离心率的取值范围是(　　) A．(，＋∞) B．(，2) C．(1，) D．(1，2) C　[由题意得双曲线的离心率e＝． 即e2＝＝1＋．∵a＞1，∴0＜＜1， ∴1＜1＋＜2，∴1＜e＜．故选C．] 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 3.2.2　双曲线的简单几何性质 55 3．已知双曲线C：＝1(a＞0，b＞0)的焦距为10，点P(2，1)在C的渐近线上，则双曲线C的方程为(　　) A．＝1 B．＝1 C．＝1 D．＝1 √ 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 3.2.2　双曲线的简单几何性质 56 A　[双曲线C的渐近线方程为＝0，又点P(2，1)在C的渐近线上，所以＝0，即a2＝4b2，①又a2＋b2＝c2＝25，② 由①②，得b2＝5，a2＝20，所以双曲线C的方程为＝1，故选A．] 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 57 √ 4．过双曲线＝1的右焦点F2作垂直于实轴的弦PQ，F1是左焦点，若∠PF1Q＝90°，则双曲线的离心率是(　　) A． B．1＋ C．2＋ D．3－ 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 3.2.2　双曲线的简单几何性质 58 B　[由题意知|F1F2|＝|PF2|，即2c＝， ∴2ac＝c2－a2， ∴e2－2e－1＝0， 解得e＝1±，又e>1，∴e＝＋1，故选B．] 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 59 √ 5．已知双曲线C：＝1(a>0，b>0)的离心率为，C的一条渐近线与圆(x－2)2＋(y－3)2＝1交于A，B两点，则|AB|＝(　　) A． B． C． D． 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 D　[根据双曲线的离心率e＝＝，得c＝a，即c2＝5a2，即a2＋b2＝5a2，所以b2＝4a2，＝4，所以双曲线的渐近线方程为y＝±2x，易知渐近线y＝2x与圆相交． 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 3.2.2　双曲线的简单几何性质 60 法一：由得5x2－16x＋12＝0，Δ>0． 设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1＋x2＝，x1x2＝． 所以|AB|＝|x1－x2|＝·＝，故选D． 法二：圆心(2，3)到渐近线y＝2x的距离d＝＝，所以|AB|＝2＝2＝，故选D．] 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 61 二、填空题 6．若双曲线x2－＝1的离心率为，则实数m＝__________，渐近线方程是__________． 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 2　y＝±x　[a2＝1，b2＝m，e2＝＝＝1＋m＝3，m＝2．渐近线方程是y＝±x＝±x．] 2 y＝±x 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 3.2.2　双曲线的简单几何性质 62 7．以y＝±x为渐近线且经过点(2，0)的双曲线方程为__________． 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 ＝1　[以y＝±x为渐近线的双曲线为等轴双曲线，方程可设为x2－y2＝λ(λ≠0)，代入点(2，0)得λ＝4，∴x2－y2＝4，即＝1．] ＝1 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 3.2.2　双曲线的简单几何性质 63 8．已知双曲线过点(4，)，且渐近线方程为y＝±x，则该双曲线的标准方程为__________． 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 －y2＝1　[法一：∵双曲线的渐近线方程为y＝±x， ∴可设双曲线的方程为x2－4y2＝λ(λ≠0)． ∵双曲线过点(4，)，∴λ＝16－4×()2＝4， ∴双曲线的标准方程为－y2＝1． －y2＝1 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 3.2.2　双曲线的简单几何性质 64 法二：∵渐近线y＝x过点(4，2)，而＜2， ∴点(4，)在渐近线y＝x的下方， 在y＝－x的上方(如图)． ∴双曲线的焦点在x轴上，故可设双曲线方程为＝1(a＞0，b＞0)． 由已知条件可得解得 ∴双曲线的标准方程为－y2＝1．] 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 65 三、解答题 9．已知圆M：x2＋(y－5)2＝9，双曲线G与椭圆C：＝1有相同的焦点，它的两条渐近线恰好与圆M相切，求双曲线G的方程． 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 [解]　椭圆C：＝1的两焦点为 F1(－5，0)，F2(5，0)， 故双曲线的中心在原点，焦点在x轴上， 且c＝5． 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 3.2.2　双曲线的简单几何性质 66 设双曲线G的方程为＝1(a>0，b>0)， 则G的渐近线方程为y＝±x， 即bx±ay＝0，且a2＋b2＝25． ∵圆M的圆心为(0，5)，半径为r＝3， ∴＝3，∴a＝3，b＝4． ∴双曲线G的方程为＝1． 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 67 10．已知双曲线C：＝1(a＞0，b＞0)的一个焦点是F (2，0)，离心率e＝2． (1)求双曲线C的方程； (2)若斜率为1的直线l与双曲线C交于两个不同的点M，N，线段MN的垂直平分线与两坐标轴围成的三角形的面积为4，求直线l的方程． 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 3.2.2　双曲线的简单几何性质 68 [解]　(1)由已知得c＝2，e＝2，所以a＝1，b＝． 所以所求双曲线的方程为x2－＝1． (2)设直线l的方程为y＝x＋m，点M(x1，y1)，N(x2，y2)． 联立整理得2x2－2mx－m2－3＝0．(*) 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 69 设MN的中点为(x0，y0)，则x0＝＝，y0＝x0＋m＝，所以线段MN垂直平分线的方程为y－＝－，即x＋y－2m＝0， 与坐标轴的交点分别为(0，2m)，(2m，0)， 可得|2m|·|2m|＝4，得m2＝2，m＝±，此时(*)的判别式Δ＞0，故直线l的方程为y＝x±． 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 √ 11．(多选题)关于双曲线C1：4x2－9y2＝－36与双曲线C2：4x2－9y2＝36的说法正确的是(　　) A．有相同的焦点 B．有相同的焦距 C．有相同的离心率 D．有相同的渐近线 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 √ 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 3.2.2　双曲线的简单几何性质 71 BD　[两方程均化为标准方程为＝1和＝1，这里均有c2＝4＋9＝13，所以有相同的焦距，而焦点一个在x轴上，另一个在y轴上，所以A错误，B正确；又两方程的渐近线均为y＝±x，故D正确．C1的离心率e＝，C2的离心率e＝，故C错误．] 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 72 12．设点F1，F2分别是双曲线C：＝1(a>0)的左、右焦点，过点F1且与x轴垂直的直线l与双曲线C交于A，B两点．若△ABF2的面积为2，则该双曲线的渐近线方程为(　　) A．y＝±x B．y＝±x C．y＝±x D．y＝±x √ 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 3.2.2　双曲线的简单几何性质 73 D　[设F1(－c，0)，A(－c，y0)，则＝1， ∴＝－1＝＝＝，∴＝， ∴|AB|＝2|y0|＝． 又＝2，∴·2c·|AB|＝·2c·＝＝2， ∴＝，∴＝＝． ∴该双曲线的渐近线方程为y＝±x．] 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 74 13．已知双曲线C：＝1(a＞0，b＞0)的左、右焦点分别为F1，F2．点A在C上，点B在y轴上，⊥＝－，则C的离心率为________． 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 　 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 3.2.2　双曲线的简单几何性质 75 　[法一：由题意可知，F1(－c，0)，F2(c，0)，设A(x1，y1)，B(0，y0)，所以＝(x1－c，y1)，＝(－c，y0)，因为＝ －， 所以即 所以A． 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 76 ＝＝(c，y0)，因为⊥，所以·＝0，即＝0，解得＝4c2． 因为点A在双曲线C上，所以＝1，又＝4c2，所以＝1，即＝1，化简得＝，所以e2＝1＋＝，所以e＝． 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 77 法二：由法一得＝4c2，所以|AF1|＝＝＝＝， |AF2|＝＝＝＝，由双曲线的定义可得|AF1|－|AF2|＝2a，即＝2a，即c＝a，所以双曲线的离心率e＝＝＝． 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 78 法三：由＝－可得A，B，F2三点共线，且F2在线段AB上，不妨令点A在第一象限，则点B在y轴负半轴上，易得|F2A|＝|F2B|．设|F2B|＝3m(m＞0)，则|F2A|＝2m，所以|F1B|＝|F2B|＝3m，|AB|＝5m，由⊥可得∠AF1B＝90°，所以|AF1|＝＝4m，所以2a＝|AF1|－|AF2|＝2m，即a＝m．过F1作F1D⊥AB，垂足为D(图略)，则|AB|·|F1D|＝|F1A|·|F1B|，即×5m×|F1D|＝×4m×3m，所以|F1D|＝m，所以|BD|＝＝m，所以|F2D|＝m，则|F1F2|＝＝m＝2c，即c＝m，所以e＝＝．] 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 79 14．双曲线＝1的右顶点为A，右焦点为F，过点F平行于双曲线的一条渐近线的直线与双曲线交于点B，则△AFB的面积为________． 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 　 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 3.2.2　双曲线的简单几何性质 80 　[双曲线＝1的右顶点A(3，0)，右焦点F (5，0)，渐近线方程为y＝±x．不妨设直线FB的方程为y＝(x－5)，代入双曲线方程整理，得x2－(x－5)2＝9，解得x＝，y＝－， 所以B． 所以S△AFB＝|AF||yB|＝(c－a)·|yB|＝×(5－3)×＝．] 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 81 15．(1)过点P(，5)与双曲线＝1有且只有一个公共点的直线有几条？分别求出它们的方程； (2)已知直线y＝ax＋1与双曲线3x2－y2＝1相交于A，B两点，当a为何值时，A，B在双曲线的同一支上？当a为何值时，A，B分别在双曲线的两支上？ 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 3.2.2　双曲线的简单几何性质 82 [解]　(1)若直线的斜率不存在，则直线方程为x＝，此时直线与双曲线仅有一个交点(，0)，满足条件． 若直线的斜率存在，设直线的方程为y－5＝k(x－)，则y＝kx＋5－k，代入双曲线方程，得＝1，∴25x2－7(kx＋5－k)2＝7×25，∴(25－7k2)x2－7×2k(5－k)x－7(5－k)2－7×25＝0． 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 83 当k＝时，方程无解，不满足条件． 当k＝－时，方程为2×5x×10＝875，有一解，满足条件． 当k≠±时，令Δ＝[14k(5－k)]2－4(25－7k2)·[－7(5－k)2－175]＝0，化简后知无解，所以不满足条件．所以满足条件的直线有两条，方程为x＝和y＝－x＋10． 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 84 (2)把y＝ax＋1代入3x2－y2＝1中整理，得(3－a2)x2－2ax－2＝0．① 当a≠±时，Δ＝24－4a2． 当Δ>0，即－<a<且a≠±时，方程①有两解，故直线与双曲线有两个交点． 若A，B在双曲线的同一支上，需x1x2＝>0，解得a<－或a>．故当－<a<－或<a<时，A，B两点在双曲线的同一支上． 若A，B分别在双曲线的两支上，需x1x 2＝<0，解得－<a<．故当－<a<时，A，B两点在双曲线的两支上． 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 85 $