3.1.1 椭圆的标准方程-【名师导航】2025-2026学年高中数学选择性必修第一册教师用书配套课件（湘教版）

该高中数学课件聚焦椭圆的定义及标准方程，通过生活中椭圆实例导入，类比圆的定义引出椭圆定义，构建从圆到椭圆的知识支架，衔接前后知识脉络。 其亮点在于情境导学培养数学眼光，定义辨析与多解法训练数学思维，分层作业适配不同学生。如思考1辨析定义中常数与焦距关系，例3用余弦定理推导焦点三角形面积，提升学生运算与推理能力，教师可直接用于分层教学，提高效率。

第3章 圆锥曲线与方程 3.1　椭圆 3.1.1　椭圆的标准方程 学习任务 核心素养 1．理解椭圆的定义及椭圆的标准方程．(重点) 2．掌握用定义法和待定系数法求椭圆的标准方程．(重点) 3．理解椭圆标准方程的推导过程，并能运用标准方程解决相关问题．(难点) 1．通过椭圆标准方程及椭圆焦点三角形的有关问题的学习，培养数学运算素养． 2．借助轨迹方程的学习，培养逻辑推理及直观想象素养． 3.1.1　椭圆的标准方程 在日常生活与学习中，可以见到很多有关椭圆的形状，如图所示． 我们还知道，圆是平面内到圆心的距离等于半径的点的集合，圆上的点的特征是：任意一点到圆心的距离都等于半径．那么，你能说说什么是椭圆吗？椭圆上任意一点的特征是什么？ 必备知识·情境导学探新知 3.1.1　椭圆的标准方程 知识点1　椭圆的定义 (1)定义：平面上到两个定点F1，F2的距离之和为_______________的点的轨迹叫作椭圆．这两个定点F1，F2叫作椭圆的____，两个焦点之间的距离__________叫作椭圆的____． (2)几何表示：|MF1|＋|MF2|＝___(常数)且2a__|F1F2|． 常数(大于|F1F2|) 焦点 |F1F2| 焦距 2a >  课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 3.1.1　椭圆的标准方程 思考　1．(1)椭圆定义中将“大于|F1F2|”改为“等于|F1F2|”，其他条件不变，点的轨迹是什么？ (2)椭圆定义中将“大于|F1F2|”改为“小于|F1F2|”，其他条件不变，动点的轨迹是什么？ [提示]　(1)点的轨迹是线段F1F2． (2)当距离之和小于|F1F2|时，动点的轨迹不存在． 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 3.1.1　椭圆的标准方程 体验　1．下列说法中，正确的是(　　) A．到点M(－3，0)，N(3，0)的距离之和等于4的点的轨迹是椭圆 B．到点M(0，－3)，N(0，3)的距离之和等于6的点的轨迹是椭圆 C．到点M(－3，0)，N(3，0)的距离之和等于8的点的轨迹是椭圆 D．到点M(0，－3)，N(0，3)的距离相等的点的轨迹是椭圆 √ C　[由椭圆的定义知，C正确．] 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 3.1.1　椭圆的标准方程 知识点2　椭圆的标准方程   焦点在x轴上 焦点在y轴上 标准方程 ＝1 (a＞b＞0)焦点 (－c，0)与(c，0) ________与_______ a，b，c的关系 c2＝________ ＝1(a>b>0) (0，－c) (0，c) a2－b2 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 3.1.1　椭圆的标准方程 思考　2．能否根据椭圆的标准方程，判定焦点位置？ [提示]　能．椭圆的焦点在x轴上⇔标准方程中含x2项的分母较大；椭圆的焦点在y轴上⇔标准方程中含y2项的分母较大． 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 3.1.1　椭圆的标准方程 体验　2．(1)若椭圆方程为＝1，则其焦点在________轴上，焦点坐标为________________． (2)已知a＝5，c＝2，焦点在y轴上，则椭圆的标准方程为 __________． x (2，0)和(－2，0) ＝1 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 3.1.1　椭圆的标准方程 (1)x　(2，0)和(－2，0)　(2)＝1　[(1)因为10>6，所以焦点在x轴上，且a2＝10，b2＝6， 所以c2＝10－6＝4，c＝2， 故焦点坐标为(2，0)和(－2，0)． (2)由已知得b2＝a2－c2＝21，于是椭圆的标准方程为＝1．] 类型1　求椭圆的标准方程 【例1】　求适合下列条件的椭圆的标准方程． (1)焦点在y轴上，且经过两个点(0，2)和(1，0)； (2)两个焦点的坐标分别是(0，－2)，(0，2)，并且椭圆经过点； (3)经过点P，Q． 关键能力·合作探究释疑难 3.1.1　椭圆的标准方程 [解]　(1)因为椭圆的焦点在y轴上，所以设它的标准方程为＝1(a>b>0)． 又椭圆经过点(0，2)和(1，0)， 所以解得 所以所求的椭圆的标准方程为＋x2＝1． (2)因为椭圆的焦点在y轴上， 所以设它的标准方程为＝1(a>b>0)． 法一：由椭圆的定义知， 2a＝ ＝2，即a＝， 又c＝2，所以b2＝a2－c2＝6， 所以所求椭圆的标准方程为＝1． 法二：因为所求椭圆经过点，所以＝1， 又c2＝a2－b2＝4， 可解得a2＝10，b2＝6． 所以椭圆的标准方程为＝1． (3)法一：①当椭圆焦点在x轴上时， 可设椭圆的标准方程为＝1(a>b>0)． 依题意，有解得 由a>b>0，知不合题意，故舍去； ②当椭圆焦点在y轴上时，可设椭圆的标准方程为 ＝1(a>b>0)． 依题意，有解得 所以所求椭圆的标准方程为＝1． 法二：设椭圆的方程为mx2＋ny2＝1(m>0，n>0，m≠n)． 则解得 所以所求椭圆的方程为5x2＋4y2＝1， 故椭圆的标准方程为＝1． 反思领悟　用待定系数法求椭圆标准方程的步骤 (1)定位置：根据条件判断椭圆的焦点是在x轴上，在y轴上，还是两个坐标轴都有可能． (2)设方程：根据上述判断设方程＝1(a＞b＞0)或＝1(a＞b＞0)或整式形式mx2＋ny2＝1(m＞0，n＞0，m≠n)． (3)找关系：根据已知条件建立关于a，b，c(或m，n)的方程组． (4)得方程：解方程组，将解代入所设方程，写出标准形式即为所求． 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 3.1.1　椭圆的标准方程 [跟进训练] 1．求适合下列条件的椭圆的标准方程： (1)经过两点(2，－)，； (2)过点(，－)，且与椭圆＝1有相同的焦点． 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 3.1.1　椭圆的标准方程 [解]　(1)设椭圆的方程为 mx2＋ny2＝1(m>0，n>0，m≠n)． 将两点(2，－)，代入， 得解得 所以所求椭圆的标准方程为＝1． (2)因为所求椭圆与椭圆＝1的焦点相同，所以其焦点在y轴上，且c2＝25－9＝16．设它的标准方程为＝1(a>b>0)． 因为c2＝16，且c2＝a2－b2，故a2－b2＝16． ① 又点(，－)在椭圆上，所以＝1， 即＝1． ② 由①②得b2＝4，a2＝20，所以所求椭圆的标准方程为＝1． 类型2　对椭圆标准方程的理解 【例2】　(1)若方程＝1表示椭圆，则实数m的取值范围是(　　) A．(－9，25)　　　　　　　 B．(－9，8)∪(8，25) C．(8，25) D．(8，＋∞) (2)若方程x2－3my2＝1表示焦点在x轴上的椭圆，则实数m的取值范围是___________． √ 　 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 3.1.1　椭圆的标准方程 (1)B　(2)　[(1)依题意有 解得－9<m<8或8<m<25， 即实数m的取值范围是(－9，8)∪(8，25)，故选B． (2)由题意知m≠0，将椭圆方程化为＝1， 依题意有解得m<－， 即实数m的取值范围是．] 反思领悟　根据椭圆方程求参数的取值范围 (1)给出方程＝1，其表示椭圆的条件是其表示焦点 在x轴上的椭圆的条件是m>n>0，其表示焦点在y轴上的椭圆的条件是n>m>0． (2)若给出椭圆方程Ax2＋By2＝C，则应首先将该方程转化为椭圆的标准方程的形式＝1，再研究其焦点的位置等情况． 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 3.1.1　椭圆的标准方程 [跟进训练] 2．若方程＝1表示焦点在y轴上的椭圆，则实数a的取值范围是_______________． (－4，0)∪(0，3)　[方程化为＝1， 依题意应有12－a>a2>0，解得－4<a<0或0<a<3．] (－4，0)∪(0，3) 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 3.1.1　椭圆的标准方程 类型3　椭圆中的焦点三角形问题 【例3】　(1)已知椭圆＝1的左焦点是F1，右焦点是F2，点P在椭圆上，如果线段PF1的中点在y轴上，那么|PF1|∶|PF2|＝(　　) A．3∶5　　　B．3∶4　　　C．5∶3　　　D．4∶3 (2)已知椭圆＝1，点P是椭圆上一点，F1，F2是椭圆的焦点，且∠PF1F2＝120°，则△PF1F2的面积为________． √ 　 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 3.1.1　椭圆的标准方程 (1)C　(2)　[(1)依题意知，线段PF1的中点在y轴上，又原点为F1F2的中点，易得y轴∥PF2，所以PF2⊥x轴，则有|PF1|2－|PF2|2＝4c2＝16，又根据椭圆定义知|PF1|＋|PF2|＝8，所以|PF1|－|PF2|＝2， 从而|PF1|＝5，|PF2|＝3，即|PF1|∶|PF2|＝5∶3． (2)由＝1，可知a＝2，b＝，所以c＝＝1，从而|F1F2|＝2c＝2． 在△PF1F2中，由余弦定理得|PF2|2＝－2|PF1||F1F2|cos ∠PF1F2，即|PF2|2＝．① 由椭圆定义得|PF1|＋|PF2|＝2a＝4．② 由①②联立可得|PF1|＝． 所以＝|PF1||F1F2|sin ∠PF1F2＝×2×＝．] 反思领悟　1．椭圆定义在焦点三角形中的应用技巧 (1)椭圆的定义具有双向作用，即若|MF1|＋|MF2|＝2a(2a＞|F1F2|)，则点M的轨迹是椭圆；反之，椭圆上任意一点M到两焦点的距离之和必为2a． (2)涉及焦点三角形面积时，可把|PF1|，|PF2|看作一个整体，运用|PF1|2＋|PF2|2＝(|PF1|＋|PF2|)2－2|PF1|·|PF2|及余弦定理求出|PF1|·|PF2|，而无需单独求解． 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 3.1.1　椭圆的标准方程 2．焦点三角形的常用公式 (1)焦点三角形的周长L＝2a＋2c． (2)在△MF1F2中，由余弦定理可得|F1F2|2＝＋|MF2|2－2|MF1||MF2|cos θ．(∠F1MF2＝θ) (3)焦点三角形的面积＝|MF1||MF2|·sin θ＝b2tan ．(选择题、填空题可直接应用此公式求解) 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 3.1.1　椭圆的标准方程 [跟进训练] 3．(1)已知F1，F2为椭圆＝1的两个焦点，过F1的直线交椭圆于A，B两点．若|F2A|＋|F2B|＝12，则|AB|＝________． (2)椭圆方程为＝1，F1，F2为椭圆的焦点，P是椭圆上一点．若＝，则∠F1PF2＝________． 8 60° 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 3.1.1　椭圆的标准方程 (1)8　(2)60°　[(1)由直线AB过椭圆的一个焦点F1， 知|AB|＝|F1A|＋|F1B|， 所以在△F2AB中，|F2A|＋|F2B|＋|AB|＝4a＝20， 又|F2A|＋|F2B|＝12，所以|AB|＝8． (2)由已知得a＝2，b＝，c＝1， 设|PF1|＝m，|PF2|＝n，∠F1PF2＝α， 则 ①2－②得mn(1＋cos α)＝6，④ 得＝，即＝2， ∴tan ＝，∴＝30°，α＝60°，即∠F1PF2＝60°．] 类型4　与椭圆有关的轨迹问题 【例4】　(1)已知P是椭圆＝1上一动点，O为坐标原点，则线段OP中点Q的轨迹方程为____________． (2)如图所示，已知动圆P过定点A(－3，0)，并且在定圆B：(x－3)2＋y2＝64的内部与其内切，则动圆圆心P的轨迹方程为__________． x2＋＝1 ＝1 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 3.1.1　椭圆的标准方程 尝试与发现 求动点的轨迹方程有哪些方法？根据动点满足的条件，思考该选用哪种方法求解． (1)x2＋＝1　(2)＝1　[(1)设Q(x，y)，P(x0，y0)，由点Q是线段OP的中点知x0＝2x，y0＝2y，又＝1． 所以＝1，即点Q的轨迹方程为x2＋＝1． 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 3.1.1　椭圆的标准方程 (2)设动圆P和定圆B内切于点M， 动圆圆心P到两定点A(－3，0)和B(3，0)的距离之和恰好等于定圆半径， 即|PA|＋|PB|＝|PM|＋|PB|＝|BM|＝8>|AB|， 所以动圆圆心P的轨迹是以A，B为左、右焦点的椭圆， 其中c＝3，a＝4，b2＝a2－c2＝42－32＝7， 所以其轨迹方程为＝1．] 反思领悟　求轨迹方程的常用方法 (1)直接法 设出曲线上动点的坐标为(x，y)后，可根据几何条件直接转换成x，y间的关系式． (2)定义法 若动点运动的几何条件满足某种已知曲线的定义，可用待定系数法求出轨迹方程． 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 3.1.1　椭圆的标准方程 (3)相关点法(代入法) 有些问题中的动点轨迹是由另一动点按照某种规律运动而形成的，只要把所求动点的坐标“转移”到另一个动点在运动中所遵循的条件中去，即可求得动点的轨迹方程． 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 3.1.1　椭圆的标准方程 [跟进训练] 4．(源自人教B版教材)已知B，C是平面内的两个定点，|BC|＝8，且平面内△ABC的周长等于18，求这个三角形的顶点A的轨迹方程． [解]　以BC所在的直线为x轴，线段BC的垂直平分线为y轴，建立平面直角坐标系xOy，如图所示． 由|BC|＝8，可知B(－4，0)，C(4，0)． 又因为|AB|＋|AC|＋|BC|＝18，所以|AB|＋|AC|＝10． 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 3.1.1　椭圆的标准方程 从而点A在以B，C为焦点的椭圆上，而且这个椭圆上的点与两焦点的距离之和2a＝10，又焦距2c＝8，因此a＝5，c＝4．从而b2＝a2－c2＝25－16＝9． 因此点A的坐标必须满足＝1，再注意到因为是三角形，所以A，B，C三点不能共线，因此可知点A的轨迹方程为＝1(y≠0)． 1．设F1，F2为定点，|F1F2|＝6，动点M满足|MF1|＋|MF2|＝6，则动点M的轨迹是(　　) A．椭圆　　　B．直线　　　C．圆　　　D．线段 学习效果·课堂评估夯基础 √ D　[由|MF1|＋|MF2|＝|F1F2|＝6知动点M的轨迹是线段F1F2，故选D．] 3.1.1　椭圆的标准方程 2．已知椭圆4x2＋ky2＝4的一个焦点坐标是(0，1)，则实数k的值是 (　　) A．1 B．2 C．3 D．4 √ B　[椭圆方程可化为x2＋＝1， 由题意知解得k＝2．] 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 3.1.1　椭圆的标准方程 3．已知曲线C：x2＋y2＝16(y>0)，从C上任意一点P向x轴作垂线段PP′，P′为垂足，则线段PP′的中点M的轨迹方程为(　　) A．＝1(y>0) B．＝1(y>0) C．＝1(y>0) D．＝1(y>0) √ 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 3.1.1　椭圆的标准方程 A　[设点M(x0，y0)，则P(x0，2y0)， 又P在曲线C上， 所以＝16(y0>0)，即＝1(y0>0)， 即点M的轨迹方程为＝1(y>0)．故选A．] 4．方程＝1表示焦点在x轴上的椭圆，则实数a的取值范围是______________________． (－6，－2)∪(3，＋∞)　[由a2＞a＋6＞0得a＞3或－6＜a＜－2．] (－6，－2)∪(3，＋∞) 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 3.1.1　椭圆的标准方程 5．已知椭圆＝1上一点P与椭圆两焦点F1，F2连线的夹角为直角，则|PF1|·|PF2|＝________． 48　[由题意知 由|PF1|＋|PF2|＝14得 |PF1|2＋|PF2|2＋2|PF1|·|PF2|＝196， ∴2|PF1||PF2|＝96，∴|PF1||PF2|＝48．] 48 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 3.1.1　椭圆的标准方程 回顾本节知识，自我完成以下问题： (1)椭圆是如何定义的？请写出其标准方程． [提示]　平面上到两个定点F1，F2的距离之和等于常数(大于|F1F2|)的点的轨迹叫作椭圆． 其标准方程为＝1(a>b>0)或＝1(a>b>0)． 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 3.1.1　椭圆的标准方程 (2)当方程＝1表示椭圆时，m，n满足什么条件？ 当方程表示焦点在x轴或y轴上的椭圆时，m，n又满足什么条件？ [提示]　表示椭圆时： 表示焦点在x轴的椭圆时，m>n>0， 表示焦点在y轴的椭圆时，n>m>0． (3)求动点的轨迹方程常用方法有哪些？ [提示]　直接法、定义法、相关点法(代入法)． 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 3.1.1　椭圆的标准方程 章末综合测评(一)　动量守恒定律 题号 1 3 5 2 4 6 8 7 9 10 11 12 13 √ 14 15 一、选择题 1．(教材P121练习T1改编)椭圆＝1的焦点坐标是(　　) A．(±5，0)　　　　　　 B．(0，±5) C．(0，±12) D．(±12，0) 课时分层作业(二十四)　椭圆的标准方程 50 C　[由标准方程知，椭圆的焦点在y轴上，且c2＝169－25＝144，∴c＝±12， 故焦点为(0，±12)．] 题号 1 3 5 2 4 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 √ 14 15 2．“2<m<6”是“方程＝1为椭圆”的(　　) A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充要条件 D．既不充分又不必要条件 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 3.1.1　椭圆的标准方程 52 B　[若方程＝1表示椭圆， 则解得2<m<6且m≠4， 所以“2<m<6”是方程“＝1为椭圆”的必要而不充分条件．] 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 53 3．已知P为椭圆C上一点，F1，F2为椭圆的焦点，且|F1F2|＝2，若满足|PF1|＋|PF2|＝2|F1F2|，则椭圆C的标准方程为(　　) A．＝1 B．＝1或＝1 C．＝1 D．＝1或＝1 √ 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 3.1.1　椭圆的标准方程 54 B　[∵2c＝|F1F2|＝2，∴c＝． ∵2a＝|PF1|＋|PF2|＝2|F1F2|＝4， ∴a＝2． ∴b2＝a2－c2＝9． 故椭圆C的标准方程是＝1或＝1．] 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 55 √ 4．设F1，F2是椭圆＝1的两个焦点，P是椭圆上的点，且|PF1|∶|PF2|＝2∶1，则△F1PF2的面积等于(　　) A．5　　　　B．4　　　　C．3　　　　D．1 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 B　[由椭圆方程，得a＝3，b＝2，c＝，∴|PF1|＋|PF2|＝2a＝6，又|PF1|∶|PF2|＝2∶1，∴|PF1|＝4，|PF2|＝2，由22＋42＝(2)2，可知△F1PF2是直角三角形，故△F1PF2的面积为|PF1|·|PF2|＝×4×2＝4，故选B．] 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 3.1.1　椭圆的标准方程 56 √ 5．已知椭圆＝1(a>b>0)，M为椭圆上一动点，F1为椭圆的左焦点，则线段MF1的中点P的轨迹是(　　) A．圆　　　B．椭圆　　　C．线段　　　D．直线 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 B　[设椭圆的右焦点为F2， 由题意，知|PO|＝|MF2|，|PF1|＝|MF1|， 又|MF1|＋|MF2|＝2a，所以|PO|＋|PF1|＝a>|F1O|＝c， 故由椭圆的定义，知点P的轨迹是椭圆．] 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 3.1.1　椭圆的标准方程 57 二、填空题 6．已知椭圆＝1(a>b>0)的右焦点为F (3，0)，点(0，－3)在椭圆上，则椭圆的方程为__________． 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 ＝1　[由题意可得解得 故椭圆的方程为＝1．] ＝1 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 3.1.1　椭圆的标准方程 58 7．已知椭圆＝1上的点M到该椭圆一个焦点F的距离为2，N是MF的中点，O为坐标原点，那么线段ON的长是________． 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 4　[设椭圆的另一个焦点为E，则|MF|＋|ME|＝10， 又∵|MF|＝2，∴|ME|＝8， 又ON为△MEF的中位线，∴|ON|＝|ME|＝4．] 4 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 3.1.1　椭圆的标准方程 59 8．已知F1，F2是椭圆＝1的两个焦点，A为椭圆上一点，且∠AF1F2＝45°，则△AF1F2的面积为________． 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 　[如图，由＝1， 知a2＝9，b2＝7，c2＝2． 所以a＝3，b＝，c＝． 所以|F1F2|＝2． 　 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 3.1.1　椭圆的标准方程 60 设|AF1|＝x，则|AF2|＝6－x． 因为∠AF1F2＝45°， 所以(6－x)2＝x2＋8－4x·，所以x＝． 所以＝×2＝．] 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 61 三、解答题 9．已知椭圆M与椭圆N：＝1有相同的焦点，且椭圆M过点． (1)求椭圆M的标准方程； (2)设椭圆M的左、右焦点分别为F1，F2，点P在椭圆M上，且△PF1F2的面积为1，求点P的坐标． 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 3.1.1　椭圆的标准方程 62 [解]　(1)由题意，知椭圆N的焦点为(－2，0)，(2，0)， 设椭圆M的方程为＝1(a>b>0)，又椭圆M过点， 则化简并整理得5b4＋11b2－16＝0， 故b2＝1或b2＝－(舍)，a2＝5， 故椭圆M的标准方程为＋y2＝1． 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 63 (2)由(1)知F1(－2，0)，F2(2，0)， 设P(x0，y0)，则△PF1F2的面积为×4×|y0|＝1， 得y0＝±． 又＝1，所以＝，x0＝±， 所以点P有4个，它们的坐标分别为． 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 10．(源自人教A版教材)如图所示，在圆x2＋y2＝4上任取一点P，过点P作x轴的垂线段PD，D为垂足．当点P在圆上运动时，线段PD的中点M的轨迹是什么？为什么？(当点P经过圆与x轴的交点时，规定点M与点P重合．) 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 3.1.1　椭圆的标准方程 65 [解]　设点M的坐标为(x，y)，点P的坐标为(x0，y0)，则点D的坐标为(x0，0)．由点M是线段PD的中点，得 x＝x0，y＝． 因为点P(x0，y0)在圆x2＋y2＝4上，所以 ＝4． ① 把x0＝x，y0＝2y代入方程①，得 x2＋4y2＝4，即＋y2＝1． 所以点M的轨迹是椭圆． 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 66 √ 11．P是椭圆＝1上一点，F1，F2分别是椭圆的左、右焦点，若|PF1|·|PF2|＝12，则∠F1PF2的大小为(　　) A．60°　　　B．30°　　　C．120°　　　D．150° 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 3.1.1　椭圆的标准方程 67 A　[由椭圆的定义得 |PF1|＋|PF2|＝8，|F1F2|＝2， ∴(|PF1|＋|PF2|)2＝64， ∵|PF1|·|PF2|＝12，∴|PF1|2＋|PF2|2＝40， 在△F1PF2中，cos ∠F1PF2＝＝， ∵0°<∠F1PF2<180°，∴∠F1PF2＝60°．] 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 68 12．椭圆＝1的一个焦点为F1，点P在椭圆上，如果线段PF1的中点M在y轴上，那么点M的纵坐标为(　　) A．± B．± C．± D．± √ 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 3.1.1　椭圆的标准方程 69 D　[∵线段PF1的中点M在y轴上且O是线段F1F2的中点(F2为椭圆的另一个焦点)， ∴PF2⊥x轴，∴点P的横坐标是±3， ∵点P在椭圆上，∴＝1，即y2＝，∴y＝±． ∴点M的纵坐标为±．] 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 70 13．已知P为椭圆＝1上的一点，M，N分别为圆(x＋3)2＋y2＝1和圆(x－3)2＋y2＝4上的点，则|PM|＋|PN|的最小值为(　　) A．5 B．7 C．13 D．15 √ 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 B　[由题意知椭圆的两个焦点F1，F2分别是两圆的圆心，且|PF1|＋|PF2|＝10，从而|PM|＋|PN|的最小值为|PF1|＋|PF2|－1－2＝7．] 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 3.1.1　椭圆的标准方程 71 14．已知点P(6，8)是椭圆＝1(a>b>0)上一点，F1，F2为椭圆的两焦点．若·＝0，则椭圆的标准方程是______________，sin ∠PF1F2＝________． 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 ＝1　　[因为·＝0，所以－(c＋6)(c－6)＋64＝0，所以c＝10，所以F1(－10，0)，F2(10，0)，所以2a＝|PF1|＋|PF2| ＝＝12， ＝1 　 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 3.1.1　椭圆的标准方程 72 所以a＝6，b2＝80．所以椭圆方程为＝1． 如图所示， 过点P作PM⊥x轴，垂足为M， 则|PM|＝8，|F1M|＝10＋6＝16， 所以|PF1|＝＝＝8， 所以sin ∠PF1F2＝＝＝．] 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 73 15．设F1，F2分别是椭圆＋y2＝1的左、右焦点，B为椭圆上的点且坐标为(0，－1)． (1)若P是该椭圆上的一个动点，求|PF1|·|PF2|的最大值； (2)若C为椭圆上异于B的一点，且＝λ，求λ的值； (3)设P是该椭圆上的一个动点，求△PBF1的周长的最大值． 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 3.1.1　椭圆的标准方程 74 [解]　(1)因为椭圆的方程为＋y2＝1， 所以a＝2，b＝1，c＝，即|F1F2|＝2， 又因为|PF1|＋|PF2|＝2a＝4， 所以|PF1|·|PF2|＝＝4， 当且仅当|PF1|＝|PF2|＝2时取“＝”， 所以|PF1|·|PF2|的最大值为4． 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 75 (2)设C(x0，y0)，B(0，－1)，F1(－，0)，由＝λ得x0＝，y0＝－． 又＝1，所以＝1， 化简得λ2＋6λ－7＝0， 解得λ＝－7或λ＝1，因为点C异于B点， 所以λ＝－7． 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 (3)因为|PF1|＋|PB|＝4－|PF2|＋|PB|4＋|BF2|， 所以△PBF1的周长4＋|BF2|＋|BF1|＝8， 所以当P点位于直线BF2与椭圆的交点处时，△PBF1的周长最大，最大值为8． 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 $