课时测评27 椭圆的标准方程-【正禾一本通】2025-2026学年高二数学选择性必修第一册同步课堂高效讲义配套练习（湘教版）

课时测评27　椭圆的标准方程 (时间：60分钟　满分：110分) (本栏目内容，在学生用书中以独立形式分册装订！) (1—8小题，每小题5分，共40分) 1.已知A，B，动点C满足＋＝10，则点C的轨迹是(　　) A.椭圆 B.直线 C.线段 D.点 答案：C 解析：因为A，B，所以＋＝10＝，知点C的轨迹是线段AB.故选C. 2.已知椭圆过点P和点Q，则此椭圆的标准方程是(　　) A.＋x2＝1 B.＋y2＝1或x2＋＝1 C.＋y2＝1 D.以上都不对 答案：A 解析：设椭圆方程为Ax2＋By2＝1(A＞0，B＞0，A≠B)， 由题意得 所以此椭圆的标准方程为＋x2＝1. 3.已知F1，F2是椭圆＋＝1的两焦点，过点F2的直线交椭圆于A，B两点，若｜AB｜＝5，则｜AF1｜＋｜BF1｜等于(　　) A.9 B.10 C.11 D.12 答案：C 解析：根据椭圆定义，｜AF1｜＋｜AF2｜＝2a＝8，｜BF1｜＋｜BF2｜＝2a＝8， 所以△AF1B的周长为｜AF1｜＋｜BF1｜＋｜AB｜＝16， 所以｜AF1｜＋｜BF1｜＝16－｜AB｜＝11. 4.“2＜m＜6”是“方程＋＝1为椭圆”的(　　) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 答案：B 解析：若方程＋＝1表示椭圆， 则解得2＜m＜6且m≠4， 所以“2＜m＜6”是“方程＋＝1为椭圆”的必要不充分条件. 5.设P为椭圆＋＝1上的任意一点，F1，F2为其上、下焦点，则｜PF1｜·｜PF2｜的最大值是(　　) A.4 B.6 C.9 D.12 答案：C 解析：｜PF1｜＋｜PF2｜＝2a＝6，｜PF1｜·｜PF2｜≤＝9， 当且仅当｜PF1｜＝｜PF2｜时取等号. 6.P是椭圆＋＝1上一点，F1，F2分别是椭圆的左、右焦点，若｜PF1｜·｜PF2｜＝12，则∠F1PF2的大小为(　　) A.60° B.30° C.120° D.150° 答案：A 解析：由椭圆的定义得 ｜PF1｜＋｜PF2｜＝8，｜F1F2｜＝2， 所以(｜PF1｜＋｜PF2｜)2＝64， 因为｜PF1｜·｜PF2｜＝12，所以｜PF1｜2＋｜PF2｜2＝40， 在△F1PF2中，cos∠F1PF2＝＝， 因为0°＜∠F1PF2＜180°， 所以∠F1PF2＝60°. 7.已知椭圆的焦点在y轴上，其上任意一点到两焦点的距离和为8，焦距为2，则此椭圆的标准方程为　　　　. 答案：＋x2＝1 解析：由已知2a＝8，2c＝2，所以a＝4，c＝， 所以b2＝a2－c2＝16－15＝1. 又椭圆的焦点在y轴上，所以椭圆的标准方程为＋x2＝1. 8.已知椭圆C：＋＝1，点M与C的焦点不重合.若点M关于C的焦点F1，F2的对称点分别为A，B，线段MN的中点在C上，则 ｜AN｜＋｜BN｜＝　　　　. 答案：12 解析：如图，取MN的中点G，G在椭圆C上， 因为点M关于C的焦点F1，F2的对称点分别为A，B， 故有｜GF1｜＝｜AN｜，｜GF2｜＝｜BN｜， 所以｜AN｜＋｜BN｜＝2(｜GF1｜＋｜GF2｜)＝4a＝12. 9.(13分)已知P点在以坐标轴为对称轴的椭圆上，点P到两焦点的距离分别为和，过点P作焦点所在的坐标轴的垂线，垂足恰好为椭圆的一个焦点，求此椭圆的方程. 解：设椭圆的两个焦点分别为F1，F2， 不妨取｜PF1｜＝，｜PF2｜＝， 由椭圆的定义，知2a＝｜PF1｜＋｜PF2｜＝2， 即a＝. 由｜PF1｜＞｜PF2｜知，PF2垂直于焦点所在的坐标轴. 在Rt△PF2F1中，4c2＝｜PF1｜2－｜PF2｜2＝， 所以c2＝，所以b2＝a2－c2＝. 又所求的椭圆的焦点可以在x轴上，也可以在y轴上，故所求的椭圆方程为＋＝1或＋＝1. 10.(15分)已知椭圆M与椭圆N：＋＝1有相同的焦点，且椭圆M过点. (1)求椭圆M的标准方程； (2)设椭圆M的左、右焦点分别为F1，F2，点P在椭圆M上，且△PF1F2的面积为1，求点P的坐标. 解：(1)由题意，知椭圆N的焦点为(－2，0)，(2，0)， 设椭圆M的方程为＋＝1(a＞b＞0)， 则化简并整理得5b4＋11b2－16＝0， 故b2＝1或b2＝－(舍去)，a2＝5， 故椭圆M的标准方程为＋y2＝1. (2)由(1)知F1(－2，0)，F2(2，0)， 设P(x0，y0)，则△PF1F2的面积为×4×｜y0｜＝1，解得y0＝±. 又＋＝1， 所以＝，x0＝±， 所以点P有4个，它们的坐标分别为，，，. (11—14小题，每小题5分，共20分) 11.椭圆＋＝1的一个焦点为F1，点P在椭圆上，如果线段PF1的中点M在y轴上，那么点M的纵坐标为(　　) A.± B.± C.± D.± 答案：D 解析：因为线段PF1的中点M在y轴上且O是线段F1F2的中点(F2为椭圆的另一个焦点)， 所以PF2⊥x轴，所以点P的横坐标是±3， 因为点P在椭圆上，所以＋＝1，即y2＝，所以y＝±. 所以点M的纵坐标为±. 12.设P是椭圆＋＝1上一点，M，N分别是圆A：(x＋4)2＋y2＝1和圆B：(x－4)2＋y2＝1上的点，则｜PM｜＋｜PN｜的最小值、最大值分别为(　　) A.9，12 B.8，11 C.8，12 D.10，12 答案：C 解析：如图，由椭圆及圆的方程可知两圆圆心分别为椭圆的两个焦点，由椭圆的定义知｜PA｜＋｜PB｜＝2a＝10，连接PA，PB，分别与左、右两圆相交于M，N两点，此时｜PM｜＋｜PN｜最小，最小值为｜PA｜＋｜PB｜－2r＝8.延长PA，PB，分别与左、右两圆相交于M'，N'两点，此时｜PM｜＋｜PN｜最大，最大值为｜PA｜＋｜PB｜＋2r＝12，即最小值和最大值分别为8，12. 13.若椭圆3x2－ty2＝6的一个焦点为F(0，2)，则实数t＝　　　　. 答案：－1 解析：椭圆3x2－ty2＝6的标准方程为＋＝1， 因为其一个焦点为F(0，2)，所以a2＝－，b2＝2， 所以－－2＝4，解得t＝－1. 14.在平面直角坐标系xOy中，已知△ABC的顶点A(－3，0)和C(3，0)，顶点B在椭圆＋＝1上，则＝　　　　. 答案： 解析：由椭圆的方程得a＝5，b＝4，c＝3. 因为△ABC的顶点A(－3，0)和C(3，0)，顶点B在椭圆＋＝1上， 所以｜BC｜＋｜AB｜＝2a＝10， 所以由正弦定理可知＝＝＝. 15.(5分)已知椭圆C的焦点为F1(－1，0)，F2(1，0)，过F2的直线与C交于A，B两点.若｜AF2｜＝｜BF2｜，｜BF1｜＝2｜BF2｜，则椭圆C的方程为　　　　　. 答案：＋＝1 解析：设｜BF2｜＝2m，则｜AF2｜＝3m，｜BF1｜＝4m， 由椭圆定义知｜BF1｜＋｜BF2｜＝｜AF1｜＋｜AF2｜＝6m， 所以｜AF1｜＝6m－3m＝3m， 所以｜AF1｜＝｜AF2｜， 故点A为椭圆的上(下)顶点，设A(0，±b)， 由＝，得B，又点B在椭圆上，故＋＝1， 解得a2＝5，又由c＝1，可得b＝2， 故椭圆的方程为＋＝1. 16.(17分)设F1，F2分别是椭圆 ＋y2＝1的两焦点，B为椭圆上的点且坐标为(0，－1). (1)若P是该椭圆上的一个动点，求｜PF1｜·｜PF2｜的最大值； (2)设M是该椭圆上的一个动点，求△MBF1的周长的最大值. 解：(1)因为椭圆的方程为 ＋y2＝1，所以a＝2，b＝1，c＝，即｜F1F2｜＝2 ， 又因为｜PF1｜＋｜PF2｜＝2a＝4， 所以｜PF1｜·｜PF2｜≤ 2 ＝ 2 ＝4. 当且仅当｜PF1｜＝｜PF2｜＝2时取等号， 所以｜PF1｜·｜PF2｜的最大值为4. (2)因为｜MF1｜＋｜MB｜＝4－｜MF2｜＋｜MB｜≤4＋｜BF2｜， 所以△MBF1的周长≤4＋｜BF2｜＋｜BF1｜＝8， 所以当M点位于直线BF2与椭圆的交点处时，△MBF1的周长最大，最大值为8. 学科网（北京）股份有限公司 $