3.1 椭圆 第1课时 教学设计-2025-2026学年高二上学期数学湘教版选择性必修第一册

该高中数学教学设计聚焦椭圆定义及标准方程，通过生活实例（天体轨道、水杯倾斜面）与动手实验（细绳画椭圆）导入，前承圆的坐标法，后启双曲线、抛物线学习，以实验操作和问题链为支架引导概念构建。 特色在于实验探究与逻辑推导融合，动手画椭圆（直观想象）感知定义，方程推导中引导建系化简（数学运算、逻辑推理）突破难点，思维导图小结系统梳理。既提升学生探究能力与核心素养，又为教师提供清晰流程，便于高效教学。

3.1 椭圆 第1课时 教学设计 一、内容分析 本节课是高中数学选择性必修第一册《第3章圆锥曲线与方程》的第一课，是继学习圆以后运用 "曲线和方程"理论解决具体的二次曲线的又一实例，也是圆锥曲线这一章的一节入门课。从知识上说，它是对前面所学的运用坐标法研究曲线的几何性质的又一次实际演练，巩固用坐标化的方法求动点轨迹方程；重视知识的形成过程教学，让学生知其然并知其所以然，通过学习新知识体会到前人探索的艰辛过程与创新的乐趣；通过经历椭圆方程的化简，增强学生战胜困难的意志品质并体会数学的简洁美、对称美.同时它也是进一步研究椭圆几何性质的基础；从方法上说，它为我们研究双曲线、抛物线这两种圆锥曲线提供了基本模式和理论基础。因此，这节课有承前启后的作用，是本章和本节的重点。课程标准要求对椭圆定义与方程的研究，能将曲线与方程对应起来，能将几何问题坐标化，体现了函数与方程、数与形结合的重要思想。而这种思想，将贯穿于整个高中阶段的数学学习。 二、教学目的 学习椭圆的定义，掌握椭圆标准方程的两种形式及其推导过程；能根据条件确定椭圆的标准方程，掌握用待定系数法求椭圆的标准方程。 三、重点难点 重点：椭圆的定义及椭圆标准方程，用待定系数法和定义法求椭圆方程。 难点：椭圆标准方程的建立和推导。 四、核心素养 ●直观想象、●数学运算、○数据分析、●数学抽象、●逻辑推理、●数学建模． 五、教学准备 课件. 六、教学流程 情景引入 -> 新知探索--> 典例剖析 -> 练习巩固 -> 归纳小结 七、教学过程 教学环节 教学内容 师生活动 设计意图 时间分配 （一）情景引入 情景问题： 1.提问：生活中看到的椭圆有哪些？ 2.天体运动轨道是 形状。 3.圆柱形水杯倾斜时水平面的是什么形状？. 动画演示: 取一条定长的细绳，把它的两端分别固定在纸上的两点F1，F2处，套上铅笔，拉紧绳子，移动笔尖． 问题1：若绳长等于两点F1，F2的距离，画出的轨迹是什么曲线？ 问题2：若绳长大于两点F1，F2的距离，画出的轨迹是什么曲线？ 1. 动手实验：学生分组动手画出椭圆。保持绳长不变，改变两个图钉之间的距离，画出的椭圆有什么变化？ 2.思考：根据上面探究实践回答椭圆是满足什么条件的点的轨迹？ 1.情景激发学习兴趣. 2.实验发现规律，提高学生探索发现的能力。 5分钟 (二）新知探索 在实验过程我们发现： 1．椭圆的定义 把平面内与两个定点F1，F2的距离的和等于常数(大于|F1F2|)的点的轨迹叫做椭圆，这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做椭圆的焦距． 思考：(1)椭圆定义中将“大于|F1F2|”改为“等于|F1F2|”的常数，其他条件不变，点的轨迹是什么？ 点的轨迹是线段F1F2. (2)椭圆定义中将“大于|F1F2|”改为“小于|F1F2|”的常数，其他条件不变，动点的轨迹是什么？ 当距离之和小于|F1F2|时，动点的轨迹不存在． 2.椭圆标准方程的推导． 选取建系方案,让学生动手，尝试推导. 以过、的直线为轴，线段的垂直平分或线为轴，建立平面直角坐标系．设，点为椭圆上任意一点， 则 ， 得， （想一想：下面怎样化简？） （１）教师为突破难点，进行引导设问： 我们怎么化简带根式的式子？对于本式是直接平方好还是整理后再平方好呢？化简，得 ． （2）的引入 由椭圆的定义可知，,　 ∴． 让点运动到轴正半轴上（如图2），由学生观察图形直观获得，的几何意义，进而自然引进， 此时设，于是得 ， 两边同时除以，得到方程：（称为椭圆的标准方程）． （3）建立焦点在轴上的椭圆的标准方程．要建立焦点在轴上的椭圆的标准方程，又不想重复上述繁琐的化简过程，如何做？ 方法：按步骤列出方程，利用两方程结构的异同（结构相同，只是字母，交换了位置），直接得到方程 3.椭圆的标准方程： (1)焦点在X轴上的椭的标准方程： 焦点 (2)焦点在y轴上的椭圆的标准方程： 焦点 其中a，b，c几何意义：a表示长轴长的一半，b表示短轴长的一半，c表示焦距长的一半，并且有 1. 引导学生交流讨论： 椭圆和圆之间的联系和区别，从而得到椭圆的定义。 椭圆形物体开始逐渐引出椭圆定义，首先让学生通过操作“实验”,以动促思,将所研究的内容“可视化”,调动多种感官参与学习,在作图的过程中,化抽象的知识为看得见、讲得清的具象,学生通过经历椭圆概念的生成和完善过程，提高了归纳概括能力和数学语言的表达能力，加深对椭圆本质的认识。 2. 引导提问：同学们能否类比圆的标准方程的推导过程，正确建系,推导出椭圆的标准方程？请大家试一试。 引导学生类比圆的标准方程的推导过程，先按定点在x轴正确建系,让学生动手，尝试推导。在推导标准方程的过程中，如何化简更简便更快捷，是这节课的难点所在，要引领学生突破难点所在，推出椭圆焦点在x轴的标准方程。 3. 引导提问：椭圆是否存在其它情形？是否能够正确求出它对应的标准方程？ 我们是否重复上面繁琐的推导过程再推导一次？有没有更简洁的方法？ 4. 椭圆的标准方程： (1)焦点在X轴上的椭的标准方程： 焦点 (2)焦点在y轴上的椭圆的标准方程：， 焦点 其中a，b，c几何意义：a表示长轴长的一半，b表示短轴长的一半，c表示焦距长的一半，并且有 ． （1）动手实践学生用细绳画椭圆的方法将椭圆的定义具体化，加强对椭圆定义与图形的理解，在这过程中培养学生的思维能力． （2）在椭圆方程的推导过程中，会根据椭圆的图形特征，选择合理建系方法，理解椭圆标准方程之“标准”所在；会根据式子的结构特征，选择合适的化简方法，提高运算能力． （3）理解椭圆标准方程的特征及参数a,b,c的几何意义，能根据条件利用椭圆定义推导出椭圆的标准方程． 13 分钟 ㈢ 典例剖析 例1.求下列椭圆的焦点坐标，以及椭圆上任一点到两个焦点的距离之和： (1)；(2)． 方法：利用标准方程的特征确定a,b,c，根据定义从而确定答案 例2．求适合下列条件的椭圆的标准方程： (1)焦点坐标为（-3,0）和（3,0），椭圆上任一点到两个焦点的距离之和为10； 方法：找出a,b,c，代入标准方程 (2) 焦点坐标为（0,-2）和（0,2）,且经过 点（3,2）. 方法：利用待定系数法确定a,b 1. 给出例1，引导学生利用定义确定任意一点到两个焦点的距离之和；根据方程找出a、b，然后利用a，b，c的等量关系算出c，从而确定焦点. 2. 给出例2，引导学生思考确定椭圆标准方程的需要确定哪些条件？从而利用已知求出a,b 1．利用标准方程找出a,b,求出c，确定焦点以及2a. 2．利用待定系数法求椭圆的标准方程 (1)先确定焦点位置；(2)设出方程；(3)寻求a，b，c的等量关系；(4)求a，b的值，代入所设方程． 10 分钟 ㈣ 练习巩固 变式训练1. 已知椭圆经过两点和，求椭圆的标准方程。 变式训练2. 两个焦点间的距离为8 ，椭圆上一点M到两焦点的距离和等于10 ，求椭圆的标准方程。 变式训练3.已知F1，F2是椭圆的两个焦点，过F1的直线交椭圆于M，N两点，则三角形MNF2的周长为（ ） A.10 B.20 C.30 D.40 变式训练4.下列方程哪些表示的是椭圆，若是说出它的焦点在哪个坐标轴上？ （1） 9x² - 25y²-225 = 0 （2） （3） -3x²-2y² = -1 依次给出练习1、练习2，学生在纸上写出各题答案. 利用授课助手，依次展示两个学生练习，请其余学生请纠正错误，指出所应用的知识点. 练习1强化标准方程的正确书写形式，a，b的确定与c的数量关系的求法。 练习2固化待定系数法求标准方程的步骤和方法 10分钟 ㈤ 归纳小结 1． 平面内到两定点F1，F2的距离之和为常数，即|MF1|＋|MF2|＝2a， 当2a>|F1F2|时，轨迹是椭圆； 当2a＝|F1F2|时，轨迹是一条线段F1F2； 当2a<|F1F2|时，轨迹不存在． 2.椭圆的定义具有双向作用 若|MF1|＋|MF2|＝2a(2a＞|F1F2|)， 则点M的轨迹是椭圆； 反之，椭圆上任意一点M到两焦点的距离之和必为2a. 3.对于求解椭圆的标准方程一般有两种方法： 一 是待定系数法，二 是定义法． 4．椭圆的方程及基本性质 使用思维导图总结. 系统梳理整节课所学内容. 2分钟 八、板书设计 大致板书如下： （椭圆的定义） （椭圆的标准方程） （椭圆标准方程的几何特征） （椭圆标准方程的代数特征） （椭圆中a，b，c三个量的关系） （典例精解） 学科网（北京）股份有限公司 $