精品解析：吉林省长春市九台区第三十一中学2025-2026学年九年级上学期11月期中数学试题

九年级数学期中大练习试卷 一、选择题（共8题，每题3分，共24分） 1. 下列二次根式中，是最简二次根式的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查的是最简二次根式的含义，最简二次根式需满足被开方数不含分母且不含开得尽方的因数与因式，选项A、C、D均可化简，只有B符合条件． 【详解】解： A.，不是最简二次根式； B.，符合最简二次根式的条件，是最简二次根式． C.，被开方数含分母，不是最简二次根式； D. ，被开方数含分母，不是最简二次根式； 故选：B． 2. 下列各组中的四条线段成比例的是（ ） A. a=1，b=3，c=2，d=4 B. a=4，b=6，c=5，d=10 C. a=2，b=4，c=3，d=6 D. a=2，b=4，c=6，d=8 【答案】C 【解析】 【详解】试题解析：∵1×4≠3×2，故选项A中的四条线段不成比例， ∵4×10≠6×5，故选项B中的四条线段不成比例， ∵2×6=4×3，故选项C中的四条线段成比例， ∵2×8≠4×6，故选项D中的四条线段不成比例， 故选C． 3. 已知两个三角形相似，若它们的相似比为，则它们的对应角的角平分线的比为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查相似三角形性质，掌握对应角平分线的比等于相似比是解题的关键． 相似三角形的对应角平分线的比等于相似比． 【详解】解：∵两个相似三角形的相似比为， ∴它们的对应角的角平分线的比为． 故选：A． 4. 根据下列条件不能判定和相似的是（ ） A. ，，，，， B. ，，， C. ，，，，， D. ，，，，， 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了相似三角形的判定，熟练掌握相似三角形的判定定理，是解题的关键．根据相似三角形的判定定理，逐项分析是否满足两角对应相等、三边对应成比例或两边对应成比例且夹角相等，即可得出答案． 【详解】解：A．∵， ， ， ∴， ∴，故A不符合题意； B．∵，， ∴， ∴，， ∴，故B不符合题意； C．，，， 但与的夹角不是，无法满足两边成比例且夹角相等的条件，且只有一角相等，不能判定相似，故C符合题意； D．，，， ∴，且夹角相等， ∴ ，故D不符合题意． 故选：C． 5. 如果，那么的值是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了比例的性质，由已知比例式通过交叉相乘得到 与 的关系，再代入所求分式化简即可，掌握比例的性质是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴， ， ∴， ∴， ∴， 故选：． 6. 如图所示，直线，直线AC和DF被所截，，，，则的长为（ ） A. 14 B. 15 C. 16 D. 17 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查平行线分线段成比例，熟练掌握平行线分线段成比例，结合图形得到相应比例求解，是解决问题的关键．根据平行线分线段成比例可知，代值求解即可得到结论． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， 解得， ∴， 故选：B． 7. 以点O为位似中心，把放大为原来的2倍得到，下列说法错误的是（ ） A. B. C. D. 点C、O、F三点共线 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了位似的性质，由位似三角形的性质逐一判断即可． 【详解】解：∵以点O为位似中心，把放大为原来的2倍得到， ∴，点C、O、F三点共线，故A，D正确 ∴ ∴ ∴ ∴，故B正确， ∵ ∴，故C不正确， 故选：C． 8. 如图，在中，，D为上一点，E为上一点，若，，，则当______时，以D、B、E为顶点的三角形与相似．（ ） A. 3 B. 5 C. 3或5 D. 或5 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了相似三角形的性质．本题应分两种情况进行讨论，或，根据相似三角形得出比例关系式求解即可． 【详解】解：∵， ∴或， 当时，， ∵，，， ∴， 此时； 当时，， ∵，，， ∴， 此时； 综上所述，或5时，以D、B、E为顶点的三角形与相似． 故选：D 二、填空题（共6题，每题3分，共18分） 9. 将点向上平移两个单位后得到的点坐标为___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查点的坐标平移． 点横坐标不变，纵坐标加，即可得平移后的点的坐标． 【详解】解：， ∴将点向上平移两个单位后得到的点坐标为． 故答案为：． 10. 若二次根式有意义，则实数的取值范围是________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了二次根式有意义的条件，根据二次根式被开方数不小于零的条件进行解题即可； 【详解】解：由题可知， 解得： 故答案为： ． 11. 已知关于x的方程有两个不相等的实数根，则k的取值范围是___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式．由题意得出，计算即可得出答案． 【详解】解：∵关于x的方程有两个不相等的实数根， ， 解得：， 故答案为：． 12. 如图，是的中位线，的平分线交于点F，连接并延长交于G，若，，则的长为______． 【答案】6 【解析】 【分析】本题考查的是三角形中位线定理、等腰三角形的性质与判定，掌握三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半是解题的关键．根据中位线性质求出，，根据等腰三角形的性质与判定求出，再求出的长，最后可得答案． 【详解】解：∵是的中位线， ∴，， ∵是的平分线， ∴， ∵， ∴． ∴． ∴． ∴， ∴， 故答案为：6． 13. 如图，某零件的外径为10cm，用一个交叉卡钳（两条尺长和相等）可测量零件的内孔直径.如果，且量得，则零件的厚度x为_______． 【答案】cm 【解析】 【分析】求出和相似，利用相似三角形对应边成比例列式计算求出，再根据外径的长度解答． 【详解】解：∵，， ∴， ∴， ∴， ∴（cm）， ∵外径为10cm， ∴， ∴（cm）． 故答案为 cm． 【点睛】本题主要考查了相似三角形的应用，解决问题的关键是熟练掌握相似三角形的判定和性质． 14. 在中，P为AB上的一点，下列四个条件：①；②；③；④等，其中能判断的有__________． 【答案】①②③ 【解析】 【分析】本题主要考查了相似三角形的判定，灵活运用相似三角形的判定是本题的关键．根据相似三角形的判定定理对各项逐一分析． 【详解】解：①，，； ②，，； ③，，； ④，但对应边夹角不是公共角，所以无法判定． 故答案为：①②③． 三、解答题（共78分） 15. 计算：． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查二次根式的计算．根据二次根式计算法则运算即可． 【详解】解：原式． 16. 解方程： （1）． （2）． 【答案】（1）， （2）无实根 【解析】 【分析】本题主要考查了解一元二次方程，熟练掌握解一元二次方程的方法，是解题的关键． （1）用因式分解法解一元二次方程即可； （2）用公式法解一元二次方程即可． 【小问1详解】 解：， 因式分解得：， ∴，， 解得：，； 【小问2详解】 解：， ，，， ， 所以原方程无实根． 17. 如图，某中学为培养学生的综合实践能力，准备在学校围建一个矩形苗圃园，其中一边靠墙，另外三边由长度为的篱笆围成．如图，墙长为，设这个苗圃园垂直于墙的一边长为．若苗圃园的面积为，求x的值． 【答案】9 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程的应用以及根的判别式，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．设这个苗圃园垂直于墙的一边长为，则另一条边长为，根据矩形的面积公式列方程即可得到结论． 【详解】解：设这个苗圃园垂直于墙的一边长为，则另一条边长为，根据题意得： ， 解得， 当时，，不符合题意舍去； 当时，，符合题意； 故x的值为9． 18. 如图所示，在和中，，．求证： （1）； （2）． 【答案】（1）证明见解析 （2）证明见解析 【解析】 【分析】本题考查相似三角形的判定与性质，掌握相似三角形的判定方法是解题的关键． （1）利用两角分别相等的两个三角形相似证明，从而得证． （2）利用两边成比例且夹角相等的两个三角形相似即可证明． 【小问1详解】 证明 【小问2详解】 ， 即 19. 图①、图②、图③均是的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点．点均在格点上，是线段与两格线的交点，只用无刻度的直尺，分别在给定的网格中按下列要求作图，保留自图痕迹． （1）在图①中，以为位似中心，画出与位似，位似比为； （2）在图②中，在上找一点，连接，使； （3）在图③中，在上找一点，连接，使． 【答案】（1）画图见解析 （2）画图见解析 （3）画图见解析 【解析】 【分析】（）取格点，连接交于点，可知，即得，位似比为； （）取格点，连接，可知，可得，即得，又由网格知，所以，即，故点即为所求； （）取格点，连接交于点，由可得，即得，即可得，故点即为所求； 本题考查了位似图形，相似三角形的判定和性质，理解题意是解题的关键． 【小问1详解】 解：如图所示，即为所求； 【小问2详解】 解：如图所示，点即为所求； 【小问3详解】 解：如图所示，点即为所求． 20. 2020年，受新冠肺炎疫情影响，口罩紧缺，某网店以每袋8元（一袋十个）的成本价购进了一批口罩，二月份以一袋14元的价格销售了256袋，三、四月该口罩十分畅销，销售量持续走高，在售价不变的基础上，四月份的销售量达到400袋． （1）求三、四这两个月销售量的月平均增长率； （2）为回馈客户，该网店决定五月降价促销，经调查发现，在四月份销量的基础上，该口罩每袋降价1元，销售量就增加40袋，当口罩每袋降价多少元时，五月份可获利1920元？ 【答案】（1）25% （2）当口罩每袋降价2元时，五月份可获利1920元 【解析】 【分析】（1）设三、四这两个月销售量的月平均增长率为，根据题目已知条件列出方程即可求解； （2）设口罩每袋降价元，则五月份的销售量为袋，根据题目已知条件得出，解方程即可得出结果． 【小问1详解】 解：设三、四这两个月销售量的月平均增长率为， 依题意，得：， 解得：，（不合题意，舍去）． 答：三、四这两个月销售量的月平均增长率为25%； 【小问2详解】 解：设口罩每袋降价元，则五月份的销售量为袋， 依题意，得：， 化简，得：， 解得：，（不合题意，舍去）． 答：当口罩每袋降价2元时，五月份可获利1920元． 【点睛】本题主要考查的是一元二次方程的实际应用，根据题目意思正确的列出方程是解题的关键． 21. 如图，在中，N为上一点，且，连接并延长，交的延长线于点P． （1）若，求的长； （2）若的周长为10，则的周长为______． （3）若的面积为16，则的面积为______． 【答案】（1） （2）30 （3）36 【解析】 【分析】本题考查相似三角形的判定和性质，平行四边形的性质，解题的关键是正确寻找相似三角形解决问题． （1）证明，推出，求出可得结论； （2）利用相似三角形的周长比等于相似比求解即可； （3）利用相似三角形的面积比等于相似比的平方求解即可． 【小问1详解】 解：∵四边形是平行四边形， ， ， ， ， ； 【小问2详解】 解：， ， 四边形是平行四边形， ， ， ， 的周长为10， 的周长为， 故答案为：30； 【小问3详解】 解：四边形是平行四边形， ， ， ， ∵的面积为 16 ， ∴的面积． 故答案为： 36 ． 22. 一块材料的形状是锐角，边，高，把它加工成正方形零件如图1，使正方形的一边在上，其余两个顶点分别在上． （1）求证：； （2）求这个正方形零件的边长； （3）如果把它加工成矩形零件如图2，当______时，这个矩形的面积最大，最大值是______． 【答案】（1）证明见解析 （2） （3）40，1200 【解析】 【分析】本题考查矩形和正方形的性质、三角形相似的判定与性质、二次函数求最值： （1）根据正方形的性质和三角形相似的判定即可证明； （2）利用相似三角形的性质得，代值计算即可； （3）与（2）类似，利用求得与的关系，用的长x表示出矩形的面积，根据二次函数的性质即可求出最值． 【小问1详解】 证明：∵四边形为矩形， ； 【小问2详解】 解：设正方形零件的边长为， 由（1）知， ， 同理，由得， ∴， 即 解得， ∴这个正方形零件的边长为； 【小问3详解】 解：设长方形的长为，宽为， 当长方形的长在时， 同（2）得，即，， 矩形面积， 当时，长方形的面积最大为1200． 故答案为：40，1200． 23. 【感知】如图①，在正方形中，为边上一点，连结，过点作，交于点．易证：（不需要证明）； 【探究】如图②，在矩形中，为边上一点，连结，过点作，交于点． （1）求证：； （2）若，，为的中点，求的长； 【应用】如图③，在中，，，．为边上一点（点不与点、重合），连结，过点作，交于点．当为等腰三角形时，的长为_____． 【答案】 [探究]（1）证明：四边形是矩形， ， ． ， ， ， ， 又， ； （2）；[应用] 或 【解析】 【分析】[探究]（1）由题意可求，，进而可证； （2）由题意知，，由（1）知，则，代入计算求解即可； [应用]由勾股定理得，则，证明；由题意知，当为等腰三角形时，分，，，三种情况求解；当时，则，，进而可求结果；当时，，则，，进而可求结果；当时，此时不成立． 【详解】解：[探究]（1）略 （2）为的中点， ， 由（1）知， ，即， ． [应用]解：∵，， ∴，， 解得，， ∵， ∴， ∴； 由题意知，当为等腰三角形时，分，，，三种情况求解； 当时，则， ∴； 当时，，则， ∴， ∴， ∴； 当时，， ∴，此时不成立； 综上所述，的长为或， 故答案为：或． 【点睛】本题考查了矩形的性质，相似三角形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理等知识．熟练掌握矩形的性质，相似三角形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理是解题的关键． 24. 如图，在中，，，，点D为边AC的中点．动点P从点A出发，沿折线AB—BC以每秒1个单位长度的速度向点C运动，当点P不与点A、C重合时，连结PD．作点A关于直线PD的对称点，连结、．设点P的运动时间为t秒． （1）线段AD的长为 ． （2）用含t的代数式表示线段BP的长． （3）当点在内部时，求的取值范围． （4）当与相等时，直接写出的值． 【答案】（1）2；（2）BP=5-t或者BP=t-5；（3）；（4）或． 【解析】 【分析】（1）根据勾股定理求出AC的长，再根据点D为AC的中点，得到结果； （2）由AP=t，AB=5，得出结论； （3）分情况计算出两个临界值，当点在AB上时，DP⊥AB，△APD∽△ACB，根据对应边成比例求出，当点在AC上时，PD⊥AC，点A’与点C重合，△ADP∽△ACB，根据对应边成比例求出，最后得出结论； （4）根据要求画出图形，利用折叠全等与两角对应相等，两三角形相似，证明出三角形相似，再根据对应边成比例计算出各边的长，最后得到结果． 【详解】解：（1）∵∠C=90︒，，， ∴， ∵点D为边AC的中点， ∴AD=2； （2）当点P在AB上时，∵AP=t，AB=5， ∴BP=5-t， 当点P在BC上时，BP=t-5， ∴BP=t-5或者BP=5-t ， （3）如图，当点在AB上时，DP⊥AB， ∴△APD∽△ACB ∴， ∴， ∴， 如图，当点在AC上时，PD⊥AC，点A’与点C重合， ∴△ADP∽△ACB ∴， ∴， ∴， ∴当点在内部时，， （4）①如图， ∵点A关于直线PD的对称点，DE⊥AA’， ∴△ADE≌△A’DE， ∵∠ABC=∠DA’E，∠ACB=∠DEA’， ∴△ABC∽△DA’E， ∴， ∵DA=DA’=2，AC=4，BC=3，AB=5， ∴， ∴，， ∵△ABC∽△DA’E， ∴∠EDA’=∠ADE=∠CAB， ∴AP=DP=t， ∵，， ∴， ∴， ∴， ②如图， ∵点A关于直线PD的对称点，PE⊥AA’， ∴△ADE≌△A’DE， ∵∠ABC=∠DA’E，∠ACB=∠DEA’， ∴△ABC∽△DA’E， ∴， ∵DA=DA’=2，AC=4，BC=3，AB=5， ∴， ∴，， ∵∠DEA=∠DCP，∠C=∠DEA， ∴△DEA∽△DCP， ∴， ∴ ∴， ∴， ∴或． 【点睛】本题主要考查了直角三角形中的动点问题、相似三角形的判断与性质、勾股定理，解题关键在于根据题意画出图形，再根据两角对应相等，两三角形相似证明三角形相似，再结合勾股定理求出结论． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 九年级数学期中大练习试卷 一、选择题（共8题，每题3分，共24分） 1. 下列二次根式中，是最简二次根式的是（ ） A. B. C. D. 2. 下列各组中的四条线段成比例的是（ ） A. a=1，b=3，c=2，d=4 B. a=4，b=6，c=5，d=10 C. a=2，b=4，c=3，d=6 D. a=2，b=4，c=6，d=8 3. 已知两个三角形相似，若它们的相似比为，则它们的对应角的角平分线的比为（ ） A. B. C. D. 4. 根据下列条件不能判定和相似的是（ ） A. ，，，，， B. ，，， C. ，，，，， D. ，，，，， 5. 如果，那么的值是（ ） A. B. C. D. 6. 如图所示，直线，直线AC和DF被所截，，，，则的长为（ ） A. 14 B. 15 C. 16 D. 17 7. 以点O为位似中心，把放大为原来的2倍得到，下列说法错误的是（ ） A. B. C. D. 点C、O、F三点共线 8. 如图，在中，，D为上一点，E为上一点，若，，，则当______时，以D、B、E为顶点的三角形与相似．（ ） A. 3 B. 5 C. 3或5 D. 或5 二、填空题（共6题，每题3分，共18分） 9. 将点向上平移两个单位后得到的点坐标为___________． 10. 若二次根式有意义，则实数的取值范围是________． 11. 已知关于x的方程有两个不相等的实数根，则k的取值范围是___________． 12. 如图，是的中位线，的平分线交于点F，连接并延长交于G，若，，则的长为______． 13. 如图，某零件的外径为10cm，用一个交叉卡钳（两条尺长和相等）可测量零件的内孔直径.如果，且量得，则零件的厚度x为_______． 14. 在中，P为AB上的一点，下列四个条件：①；②；③；④等，其中能判断的有__________． 三、解答题（共78分） 15. 计算：． 16. 解方程： （1）． （2）． 17. 如图，某中学为培养学生的综合实践能力，准备在学校围建一个矩形苗圃园，其中一边靠墙，另外三边由长度为的篱笆围成．如图，墙长为，设这个苗圃园垂直于墙的一边长为．若苗圃园的面积为，求x的值． 18. 如图所示，在和中，，．求证： （1）； （2）． 19. 图①、图②、图③均是的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点．点均在格点上，是线段与两格线的交点，只用无刻度的直尺，分别在给定的网格中按下列要求作图，保留自图痕迹． （1）在图①中，以为位似中心，画出与位似，位似比为； （2）在图②中，在上找一点，连接，使； （3）在图③中，在上找一点，连接，使． 20. 2020年，受新冠肺炎疫情影响，口罩紧缺，某网店以每袋8元（一袋十个）的成本价购进了一批口罩，二月份以一袋14元的价格销售了256袋，三、四月该口罩十分畅销，销售量持续走高，在售价不变的基础上，四月份的销售量达到400袋． （1）求三、四这两个月销售量的月平均增长率； （2）为回馈客户，该网店决定五月降价促销，经调查发现，在四月份销量的基础上，该口罩每袋降价1元，销售量就增加40袋，当口罩每袋降价多少元时，五月份可获利1920元？ 21. 如图，在中，N为上一点，且，连接并延长，交的延长线于点P． （1）若，求的长； （2）若的周长为10，则的周长为______． （3）若的面积为16，则的面积为______． 22. 一块材料的形状是锐角，边，高，把它加工成正方形零件如图1，使正方形的一边在上，其余两个顶点分别在上． （1）求证：； （2）求这个正方形零件的边长； （3）如果把它加工成矩形零件如图2，当______时，这个矩形的面积最大，最大值是______． 23. 【感知】如图①，在正方形中，为边上一点，连结，过点作，交于点．易证：（不需要证明）； 【探究】如图②，在矩形中，为边上一点，连结，过点作，交于点． （1）求证：； （2）若，，为的中点，求的长； 【应用】如图③，在中，，，．为边上一点（点不与点、重合），连结，过点作，交于点．当为等腰三角形时，的长为_____． 24. 如图，在中，，，，点D为边AC的中点．动点P从点A出发，沿折线AB—BC以每秒1个单位长度的速度向点C运动，当点P不与点A、C重合时，连结PD．作点A关于直线PD的对称点，连结、．设点P的运动时间为t秒． （1）线段AD的长为 ． （2）用含t的代数式表示线段BP的长． （3）当点在内部时，求的取值范围． （4）当与相等时，直接写出的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $