23.2相似图形讲义 2025-2026学年华东师大版九年级数学上册

23.2相似图形 xix   快速定位题型 题 型 目 录 【题型1】相似图形的判别 3 【题型2】相似多边形的性质 5 【题型3】利用相似多边形性质的求值 8 xix   夯实必备知识 新 知 梳 理 【知识点1】相似图形 （1）相似图形 我们把形状相同的图形称为相似图形． （2）相似图形在现实生活中应用非常广泛，对于相似图形，应注意： ①相似图形的形状必须完全相同； ②相似图形的大小不一定相同； ③两个物体形状相同、大小相同时它们是全等的，全等是相似的一种特殊情况． （3）相似三角形 对应角相等，对应边成比例的三角形，叫做相似三角形． 1.（2024秋•辽中区期末）下列说法不一定正确的是（　　） A．所有的等边三角形都相似 B．有一个角是100°的等腰三角形相似 C．所有的正方形都相似 D．所有的矩形都相似 【答案】D 【分析】根据相似图形的定义，对选项进行一一分析，选出正确答案． 【解答】解：A、所有的等边三角形，形状相同，但大小不一定相同，符合相似性的定义，故正确； B、有一个角是100°的等腰三角形，形状相同，但大小不一定相同，符合相似性的定义，故正确； C、所有的正方形，形状相同，但大小不一定相同，符合相似性的定义，故正确； D、所有的矩形，属于不唯一确定图形，不一定相似，故错误． 故选：D． 【知识点2】相似多边形的性质 （1）如果两个多边形的对应角相等，对应边的比相等，则这两个多边形是相似多边形． （2）相似多边形对应边的比叫做相似比． （3）全等多边形的相似比为1或相似比为1的相似多边形是全等形． （4）相似多边形的性质为： ①对应角相等； ②对应边的比相等． 1.（2024秋•顺德区校级期中）如图，四边形ABCD∽四边形EFGH，∠E=80°，∠G=90°，∠D=120°，则∠B等于（　　） A．50° B．60° C．70° D．80° 【答案】C 【分析】利用相似多边形的对应角相等求得答案即可． 【解答】解：∵四边形ABCD∽四边形EFGH，∠E=80°，∠G=90°，∠D=120°， ∴∠E=∠A=8°，∠G=∠C=90°， ∴∠B=360°-∠A-∠D-∠C=360°-80°-120°-90°=70°， 故选：C． 【题型1】相似图形的判别 【典型例题】下列四组图形中，不是相似图形的是（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】A．形状相同，但大小不同，符合相似形的定义，故不符合题意； B．形状相同，但大小不同，符合相似形的定义，故不符合题意； C．形状相同，但大小不同，符合相似形的定义，故不符合题意； D．形状不相同，不符合相似形的定义，故符合题意； 故选：D． 【举一反三1】如图是杭州第19届亚运会的吉祥物“琮琮”，代表的是世界遗产良渚古城遗址，名字来源于文物玉琮．琮琮全身以黄色调为主，头部刻有“饕餮纹”，展示给人们一种不屈不挠、坚强刚毅的精神．文旅部门将选定的“琮琮”形象图通过放大或缩小放置于不同的宣传版面上，这体现了数学中的（　　） A.图形的平移 B.图形的轴对称 C.图形的相似 D.图形的旋转 【答案】C 【解析】将选定的“琮琮”形象图通过放大或缩小放置于不同的宣传版面上，这体现了数学中的图形的相似． 故选：C． 【举一反三2】下列图形中，与已知三角形相似的三角形是（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】已知三角形的三个内角为50°，40°，90°， A．三角形三个内角的为90°，45°，45°，不符合题意； B．三角形三个内角的为90°，50°，40°，符合题意； C．三角形三个内角的为90°，60°，30°，不符合题意； D．三角形三个内角的为90°，45°，45°，不符合题意． 故选：B． 【举一反三3】下列图形中，　     　与 　       　相似（填序号）． 【答案】（2）　　（4） 【解析】根据相似图形的定义可知（2）与（4）是相似图形， 故答案为：（2）（4）． 【举一反三4】在数学上，我们把具有相同形状的图形称为相似形，下列各组图形中，是相似形的是 　        　，不是相似形的是 　        　． 【答案】（3），（5），（6）；（1），（2），（4） 【解析】根据相似图形的定义可知： （3），（5），（6）是相似图形， （1），（2），（4）不是相似图形． 故答案为：（3），（5），（6）；（1），（2），（4）． 【举一反三5】小华、小红、小刚三名同学，在观察如图所示的三组图形后，交流了对相似形的理解，看法如下：以上三名同学谁对三组图形的判断是正确的？你是怎样理解相似形与全等形的区别及联系的？ 【答案】解　小华同学的判断是正确的， 全等形是相似比为1的特殊的相似形． 【题型2】相似多边形的性质 【典型例题】如图，一块矩形纸片，长为20cm，宽为15cm，现在把这个矩形纸片的左右同时剪去宽为y cm的纸条、上下同时剪去宽为x cm的纸条（如图所示的阴影部分），要使剩下的矩形与原来的矩形相似，则x与y满足的关系式为（　　） A.x＝y B.3x＝5y C.5x＝3y D.4x＝3y 【答案】D 【解析】∵剩下的矩形与原来的矩形相似， ∴＝， 整理得：30y＝40x， 则4x＝3y． 故选：D． 【举一反三1】国旗法规定：所有国旗均为相似矩形，在下列四面国旗中，其中只有一面不符合标准，这面国旗是（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】∵＝，＝，＝，＝， ∴长、宽分别为160cm、120cm的国旗不符合标准， 故选：B． 【举一反三2】如图，矩形相框的外框矩形的长为12dm，宽为8dm，上下边框的宽度都为x dm，左右边框的宽度都为y dm、若内边框矩形和外边框矩形相似，则x，y应符合的条件是 　      　． 【答案】3x＝2y或2x＝3y﹣10 【解析】如图，当矩形ABCD∽矩形EFGH时，则有＝， ∴＝， 可得3x＝2y， 当矩形ABCD∽矩形EHFG时，则有＝， ∴， 可得2x＝3y﹣10． ∴x，y应符合的条件是3x＝2y或2x＝3y﹣10． 故答案为：3x＝2y或2x＝3y﹣10． 【举一反三3】一块长3m，宽1.5m的矩形黑板ABCD，如图所示，镶在其外围的木质边框宽7.5cm，边框的内外边缘所成的矩形ABCD与矩形A'B'C'D'相似吗？为什么？ 【答案】解　不相似； 内边缘的矩形ABCD长AD＝300 cm，宽AB＝150 cm，外边缘的矩形长A'D'＝315 cm，宽A'B'＝165 cm， ∵=，==， ， 所以内外边缘所成的两个矩形不相似． 【题型3】利用相似多边形性质的求值 【典型例题】如图所示，四边形ABCD∽四边形A'B'C'D'，∠A＝105°，∠B＝100°，∠D＝80°，则∠C'＝（　　） A.75° B.80° C.85° D.90° 【答案】A 【解析】∵在四边形ABCD中，∠A＝105°，∠B＝100°，∠D＝80°， ∴∠C＝360°﹣105°﹣100°﹣80°＝75°， ∵四边形ABCD∽四边形A'B'C'D'， ∴∠C′＝∠C＝75°， 故选：A． 【举一反三1】如图，已知矩形ABCD中，AB＝3，BE＝2，EF⊥BC．若四边形EFDC与四边形BEFA相似而不全等，则CE的值为（　　） A. B.6 C. D.9 【答案】A 【解析】设CE＝x， ∵四边形EFDC与四边形BEFA相似， ∴＝， ∵AB＝3，BE＝2，EF＝AB， ∴＝， 解得：x＝4.5， 故选：A． 【举一反三2】在矩形ABCD中，P是边AB上一动点，PQ⊥DC交DC于Q，且分得两个新矩形相似，若AB＝10，AD＝4，则AP的长是　      　． 【答案】2或8 【解析】如图，当矩形APQD∽矩形PQCB时， ＝， 即：， 解得：AP＝2或8， 故答案为：2或8． 【举一反三3】两个相似的七边形的相似比为3：4，它们的面积之差为28，则面积之和为　    　. 【答案】100 【解析】两个相似的七边形的相似比为3：4， 面积的比是9：16， 因而可以设较小的七边形的面积是9x， 则较大的边的面积是9x， 根据面积之差为28， 得到：16x﹣9x＝28 解得：x＝4， 则面积的和是9x+16x＝100． 故答案为：100． 【举一反三4】如图，点E是菱形ABCD对角线CA的延长线上任意一点，以线段AE为边作一个菱形AEFG，且菱形AEFG∽菱形ABCD，连接EB，GD． （1）求证：EB＝GD； （2）若∠DAB＝60°，AB＝2，AG＝，求GD的长． 【答案】（1）证明：∵菱形AEFG∽菱形ABCD， ∴∠EAG＝∠BAD， ∴∠EAG+∠GAB＝∠BAD+∠GAB， ∴∠EAB＝∠GAD， ∵AE＝AG，AB＝AD， ∴△AEB≌△AGD（SAS）， ∴EB＝GD； （2）解　连接BD交AC于点P，则BP⊥AC， ∵∠DAB＝60°， ∴∠PAB＝30°， ∴BP＝AB＝1， AP＝＝，AE＝AG＝， ∴EP＝2， ∴EB＝＝＝， ∴由（1）知GD＝EB＝． 【举一反三5】如图，四边形ABCD∽四边形EFGH，求∠α、∠β 的大小和EH的长度． 【答案】解　∵四边形ABCD∽四边形EFGH， ∴∠α＝∠C＝83°，∠A＝∠E＝118°， 在四边形EFGH中，∠β＝360°﹣83°﹣78°﹣118°＝81°， ∵四边形ABCD∽四边形EFGH， ∴EH：AD＝EF：AB， ∴x：21＝24：18， 解得x＝28， ∴EH＝28cm． 学科网（北京）股份有限公司 $ 23.2相似图形 xix   快速定位题型 题 型 目 录 【题型1】相似图形的判别 2 【题型2】相似多边形的性质 4 【题型3】利用相似多边形性质的求值 5 xix   夯实必备知识 新 知 梳 理 【知识点1】相似图形 （1）相似图形 我们把形状相同的图形称为相似图形． （2）相似图形在现实生活中应用非常广泛，对于相似图形，应注意： ①相似图形的形状必须完全相同； ②相似图形的大小不一定相同； ③两个物体形状相同、大小相同时它们是全等的，全等是相似的一种特殊情况． （3）相似三角形 对应角相等，对应边成比例的三角形，叫做相似三角形． 1.（2024秋•辽中区期末）下列说法不一定正确的是（　　） A．所有的等边三角形都相似 B．有一个角是100°的等腰三角形相似 C．所有的正方形都相似 D．所有的矩形都相似 【知识点2】相似多边形的性质 （1）如果两个多边形的对应角相等，对应边的比相等，则这两个多边形是相似多边形． （2）相似多边形对应边的比叫做相似比． （3）全等多边形的相似比为1或相似比为1的相似多边形是全等形． （4）相似多边形的性质为： ①对应角相等； ②对应边的比相等． 1.（2024秋•顺德区校级期中）如图，四边形ABCD∽四边形EFGH，∠E=80°，∠G=90°，∠D=120°，则∠B等于（　　） A．50° B．60° C．70° D．80° 【题型1】相似图形的判别 【典型例题】下列四组图形中，不是相似图形的是（　　） A. B. C. D. 【举一反三1】如图是杭州第19届亚运会的吉祥物“琮琮”，代表的是世界遗产良渚古城遗址，名字来源于文物玉琮．琮琮全身以黄色调为主，头部刻有“饕餮纹”，展示给人们一种不屈不挠、坚强刚毅的精神．文旅部门将选定的“琮琮”形象图通过放大或缩小放置于不同的宣传版面上，这体现了数学中的（　　） A.图形的平移 B.图形的轴对称 C.图形的相似 D.图形的旋转 【举一反三2】下列图形中，与已知三角形相似的三角形是（　　） A. B. C. D. 【举一反三3】下列图形中，　     　与 　       　相似（填序号）． 【举一反三4】在数学上，我们把具有相同形状的图形称为相似形，下列各组图形中，是相似形的是 　        　，不是相似形的是 　        　． 【举一反三5】小华、小红、小刚三名同学，在观察如图所示的三组图形后，交流了对相似形的理解，看法如下：以上三名同学谁对三组图形的判断是正确的？你是怎样理解相似形与全等形的区别及联系的？ 【题型2】相似多边形的性质 【典型例题】如图，一块矩形纸片，长为20cm，宽为15cm，现在把这个矩形纸片的左右同时剪去宽为y cm的纸条、上下同时剪去宽为x cm的纸条（如图所示的阴影部分），要使剩下的矩形与原来的矩形相似，则x与y满足的关系式为（　　） A.x＝y B.3x＝5y C.5x＝3y D.4x＝3y 【举一反三1】国旗法规定：所有国旗均为相似矩形，在下列四面国旗中，其中只有一面不符合标准，这面国旗是（　　） A. B. C. D. 【举一反三2】如图，矩形相框的外框矩形的长为12dm，宽为8dm，上下边框的宽度都为x dm，左右边框的宽度都为y dm、若内边框矩形和外边框矩形相似，则x，y应符合的条件是 　      　． 【举一反三3】一块长3m，宽1.5m的矩形黑板ABCD，如图所示，镶在其外围的木质边框宽7.5cm，边框的内外边缘所成的矩形ABCD与矩形A'B'C'D'相似吗？为什么？ 【题型3】利用相似多边形性质的求值 【典型例题】如图所示，四边形ABCD∽四边形A'B'C'D'，∠A＝105°，∠B＝100°，∠D＝80°，则∠C'＝（　　） A.75° B.80° C.85° D.90° 【举一反三1】如图，已知矩形ABCD中，AB＝3，BE＝2，EF⊥BC．若四边形EFDC与四边形BEFA相似而不全等，则CE的值为（　　） A. B.6 C. D.9 【举一反三2】在矩形ABCD中，P是边AB上一动点，PQ⊥DC交DC于Q，且分得两个新矩形相似，若AB＝10，AD＝4，则AP的长是　      　． 【举一反三3】两个相似的七边形的相似比为3：4，它们的面积之差为28，则面积之和为　    　. 【举一反三4】如图，点E是菱形ABCD对角线CA的延长线上任意一点，以线段AE为边作一个菱形AEFG，且菱形AEFG∽菱形ABCD，连接EB，GD． （1）求证：EB＝GD； （2）若∠DAB＝60°，AB＝2，AG＝，求GD的长． 【举一反三5】如图，四边形ABCD∽四边形EFGH，求∠α、∠β 的大小和EH的长度． 学科网（北京）股份有限公司 $