专题23.1 成比例线段与相似图形（高效培优讲义）数学华东师大版九年级上册

专题23.1 成比例线段与相似图形 1.成比例线段的定义及比例的基本性质（重点） 2.黄金分割的定义及简单计算（重点） 3.相似图形的概念，尤其是相似多边形的定义和基本性质（重点） 4.灵活运用比例的基本性质解决复杂问题（难点） 5.“找等量关系” 时，难以将实际问题中的文字描述转化为数学式子（难点） 6.运用相似多边形的性质解决综合性问题（难点） 相似图形 1.定义 我们把具有相同形状的图形称为相似图形 特别解读 1.“形状相同”是判定相似图形的唯一条件 2.两个图形相似是指它们的形状相同，与它们的位置、大小无关 2.两个关系 (1)相似图形之间的关系:两个图形相似，其中一个图形可以看作由另一个图形放大或缩小得到 (2)相似与全等的关系:当两个图形的形状相同、大小也相司时，它们是全等图形，全等图形是相似图形的特殊情况，即全等图形一定是相似图形，但相似图形不一定是全等图形，只有相似图形的大小相同时，它们才全等 成比例线段 1．两条线段的比 在同一单位长度下，两条线段长度的比叫做这两条线段的比。线段 与线段 的比记作＂＂或" a: b ". 2.对于给定的四条线段a，b，c，d，如果其中两条线段的长度之比等于另外两 条线段的长度之比，如 （或 ，那么，这四条线段叫做成比例线段，简称比例线段 ．此时也称这四条线段成比例 ． 在通常情况下，四条线段a, b, c, d的单位应该一致，但有时为了计算方便，也可以使与的单位一致， 与 的单位一致。 线段a, b, c, d成比例，只可以写成 或 ，即四条线段a, b, c, d成比例是有顺序的，不能随便更改位置。 3 ．比例中项 如果 ，那么 叫做 和 的比例中项，当a, b, c为一般实数时，则由 得 同号）；当a, b, c为线段长时，则由 得 ． 比例的基本性质 1.比例的基本性质 如果 ，那么 ；如果 ，那么 ． 2.比例的基本性质推广 （1）合比性质： ； （2）等比性质： 0） ． 平行线分线段成比例的基本事实 平行线分线段成比例的基本事实两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例（简称“平行线分线段成比例”) 数学语言：如图 ，∵ ， 可简记为： ． 1.所有的成比例线段是指被截直线上的线段，与这组平行线上的线段无关； 2.利用平行线分线段成比例的基本事实写比例式时，一定要注意对应线段写在对应的位置上 平行线分线段成比例的推论 平行线分线段成比例的基本事实的推论平行于三角形一边的直线截其他两边(或两边的延长线)，所得的对应线段成比例 数学语言：如图，若 ，则有 或 或 ． 1.本推论的实质是平行线分线段成比例的基本事实中一组平行线中的一条过三角形的一个顶点，一条在三角形一边上的特殊情况。 2.当被截的两条直线相交时，其交点处可看成含一条隐形的平行线 相似三角形 1.定义 对应边成比例、对应角相等的三角形相似，反之两个三角形相似，对应边成比例、对应角相等 2.表示方法 相似用符号＂cs＂来表示，读作＂相似于＂．例如 与 相似，记作＂＂，读作 ＂ 相似于 ＂。 3．相似比 相似三角形对应边的比叫做相似比。当相似比为 1 时，两个三角形全等。 用符号“”表示两个三角形相似时，要把表示对应顶点的大写字母写在对应的位置上，相似三角形的相似比具有顺序性 平行线截三角形相似的定理 定理 平行于三角形一边的直线，和其他两边(或两边的延长线)相交所构成的三角形与原三角形相似 根据定理得到的相似三角形的三个基本图形中都有 ，图①②很像大写字母 ，故我们称之为 ＂A＂型相似；图 ③很像大写字母X，故我们称之为＂ ＂型相似（也像阿拉伯数字＂ 8 ＂）． 题型一、比例的性质 例1（24-25九年级上·四川·期中）如果，那么 ． 1-1（24-25九年级上·重庆·期中）如果，那么 ． 1-2（24-25九年级上·上海杨浦·期中）已知，，那么下列等式不成立的是（   ） A． B． C． D． 1-3（24-25九年级上·广西来宾·期中）若，则的值是（   ） A． B． C．20 D． 1-4（24-25九年级上·河南郑州·期中）已知，那么（   ） A． B． C． D． 题型二、比例线段 例2（24-25九年级上·上海·期中）在比例尺为的地图上量得两个城市间的距离是，那么这两个城市的实际距离是 ． 2-1（24-25九年级上·浙江杭州·期中）已知线段，则线段a，b的比例中项是 ． 2-2（24-25九年级上·广东河源·期中）下列四组长度的线段中，是比例线段的是（    ） A．4，5，6，7 B．3，4，6，9 C．8，4，4，2 D．5，10，10，15 2-3（24-25九年级上·江苏无锡·期中）在比例尺为的无锡旅游地图上，某条道路的长为，则这条道路的实际长度为 km． 2-4（24-25九年级上·浙江杭州·期中）（1）已知，则代数式的值是 ； （2）已知线段，，则线段a，b的比例中项是 ． 题型三、成比例线段 例3（24-25九年级上·安徽合肥·期中）在比例尺为的合肥市城区地图上量得包公祠与大蜀山两地间距离是，那么两地的实际距离是 ． 3-1（23-24九年级上·陕西咸阳·期中）已知a、b、c、d是一组成比例线段，且，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 3-2（24-25九年级上·贵州毕节·期中）下列四组线段中，是成比例线段的是（    ） A． B． C． D． 3-3（24-25九年级上·陕西榆林·期中）若线段，，，是成比例线段，且，，，则（    ） A． B． C． D． 3-4（24-25九年级上·安徽六安·期中）已知：线段a，b，c，根据以下条件回答问题． (1)若，，c是a，b的比例中项线段，求c的长； (2)若，，求a，b，c的长． 题型四、黄金分割 例4（24-25九年级上·辽宁阜新·期中）在中华经典美文阅读中，小明发现自己的一本书的宽与长之比为黄金比，已知这本书的长是24厘米，则它的宽为 厘米． 4-1（24-25九年级上·安徽合肥·期中）如图，古筝上的一根弦的长度约为，两个端点固定在乐器板面上，支撑点是弦靠近点的黄金分割点，则线段的长度约为 cm．（结果保留根号） 4-2（24-25九年级上·甘肃白银·期中）已知点C是线段的黄金分割点，且，若，则 ． 4-3（24-25九年级上·安徽马鞍山·期中）在绚丽多姿的秋色叶类植物中，爬山虎有着油画般浓郁的色彩。我们学校墙上的五叶爬山虎树叶，蕴含着一种数学美：“黄金分割”．如图，为的黄金分割点，如果的长度为8cm，那么的长度是（   ） A． B． C． D． 4-4（24-25九年级上·安徽六安·期中）黄金分割被很多人认为是“最美比例”，在自然界中黄金分割也很常见，如图是一个有着“最美比例”的鹦鹉螺，点是线段的黄金分割点，，若，那么的长为（   ）． A． B． C． D． 题型五、由平行判断成比例的线段 例5（24-25九年级上·辽宁本溪·阶段练习）如图，在四边形中，，点在上，交于点，若，，则的长为（   ） A．3 B．5 C．6 D．9 5-1（24-25九年级上·福建泉州·期中）如图，直线，分别交直线、于点、、、、、，下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 5-2（24-25九年级上·陕西西安·期中）如图，在中，是上的一点，请利用无刻度的直尺和圆规在上作一点，使得．（不写作法，保留作图痕迹，并标明字母） 5-3（24-25九年级上·上海静安·期中）已知线段，求作线段使，下列作法（图中虚线均为平行线）中不正确的是（    ） A． B． C． D． 5-4（24-25九年级上·广东深圳·期中）如图，表示一个窗户的高，和表示射入室内的光线，窗户的下端到地面的距离，已知某一时刻的地面的影长，在地面的影长，则窗户的高是（　　） A． B． C． D． 题型六、由平行截线求相关线段的长或比值 例6（24-25九年级上·广东茂名·期中）如图，直线，，，，则的长为（   ） A．3 B．1.5 C．4 D．2 6-1（24-25九年级上·河北石家庄·期中）如图，在的菱形网格中，连接两网格线上的点，，线段与网格线的交点为，，则为 ． 6-2（24-25九年级上·广西南宁·期中）如图，已知，，则 ． 6-3（24-25九年级上·安徽合肥·期中）如图，，直线与这三条平行线分别交于点和点，若，则的长为（　　） A． B． C． D． 6-4（24-25九年级上·陕西榆林·期中）如图，在中，，点在上，且，交于点，且． (1)_____． (2)求的长． 题型七、相似图形 例7（24-25九年级上·河北石家庄·期中）如图，在矩形、锐角三角形、直角三角形的外边加宽度一样的外框，保证外框边与原图形对应边平行，则外框与原图不一定相似的是（      ）．        A．矩形 B．矩形和锐角三角形 C．矩形和直角三角形 D．锐角三角形和直角三角形 7-1（24-25九年级上·甘肃天水·期中）下列每个选项中的两个图形，不是相似图形的是（   ） A．   B．   C．   D．   7-2（23-24九年级上·河南驻马店·期中）下列形状分别为正方形、圆、正三角形、矩形的边框，其中不一定是相似图形的是（   ） A． B． C． D． 7-3（24-25九年级上·上海静安·期中）下列选项中的两个图形一定相似的是（    ） A．两个平行四边形 B．两个正方形 C．两个菱形 D．两个等腰三角形 7-4（24-25九年级上·安徽合肥·期中）下列说法正确的是（　　） A．所有的矩形都是相似形 B．所有的等腰直角三角形都相似 C．对应角相等的两个多边形相似 D．对应边成比例的两个多边形相似 题型八、相似多边形 例8（24-25九年级上·福建三明·期中）下列网格中各个小正方形的边长均为1，阴影部分图形分别记作甲、乙、丙、丁，其中是相似形的为（   ） A．甲和乙 B．乙和丁 C．甲和丙 D．甲和丁 8-1（24-25九年级上·河南平顶山·期中）某数学兴趣小组在学习相似多边形时，三位同学分别将边长为4，6，6的等腰三角形、边长为4的正方形和长、宽分别为6，4的矩形按如图所示的方式向外扩张，各得到一个新图形，它们的对应边间距均为1，则画出的三组图形中，新图形和旧图形是相似多边形的有（   ） A．0组 B．1组 C．2组 D．3组 8-2（24-25九年级上·江苏无锡·期中）下列命题中，①任意的矩形都相似；②任意的菱形都相似；③任意的正方形都相似；④任意的圆都相似，正确命题的有 ．（填序号） 8-3（24-25九年级上·安徽合肥·期中）下列说法中，正确的是（    ） A．相似三角形是全等三角形 B．所有矩形都相似 C．全等三角形是相似三角形 D．所有等腰直角三角形不一定都相似 8-4（24-25九年级上·辽宁·期中）下列两个图形一定相似的是（    ） A．两个菱形 B．两个矩形 C．两个正方形 D．两个平行四边形 题型九、相似多边形的性质 例9（24-25九年级上·河北邯郸·期中）如图，四边形四边形，则的值为 ． 9-1（23-24九年级上·陕西咸阳·期中）已知四边形四边形，且，若四边形的周长为15，则四边形的周长为 ． 9-2（24-25九年级上·安徽滁州·期中）如图，，，，，则边的长是（   ） A． B． C． D． 9-3（24-25九年级上·江西抚州·期中）已知两个矩形相似，第一个矩形的两边长分别是3和4，第二个矩形较短的一边长是6，那么第二个矩形较长的一边长是 ． 9-4（24-25九年级上·辽宁朝阳·期中）（1）解方程：； （2）如图，在矩形中，，E、F分别是、上的点，且，若矩形矩形，求的长． 例已知点C是线段的黄金分割点，且，若，则 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了黄金分割知识点，记住黄金分割公式是解题关键．根据黄金分割的定义即可求出答案． 【详解】解：∵C是线段的黄金分割点，且， ， ∴，，     故答案是： 1．（24-25九年级上·安徽合肥·期中）已知，则下列式子正确的是（　　） A． B． C． D． 2．（24-25九年级上·安徽蚌埠·期中）如图，已知直线，，分别截直线于点，，，截直线于点，，，且．如果，，则的长为（   ） A．4 B．6 C．7 D．8 3．（24-25九年级上·上海·期中）已知，那么下列四个选项中一定正确的是（    ） A． B． C． D． 4．（24-25九年级上·上海浦东新·阶段练习）下列命题正确的是（   ） A．两个菱形相似 B．各有一个角的两个等腰三角形相似 C．一角相等的两个直角三角形相似 D．腰对应成比例的两个等腰三角形相似 5．（24-25九年级上·上海·阶段练习）下列各组图形中，不一定相似的是（   ） A．一组邻边对应成比例的两个矩形 B．两个顶角相等的等腰三角形 C．有一个内角相等的两个菱形 D．有两条边对应成比例的两个直角三角形 6．（23-24九年级上·浙江杭州·期中）如图，直线，直线依次交、、于、、三点，直线依次交、、于、、三点，若，，则 ． 7．（24-25九年级上·河南郑州·期中）如图，直线，分别交直线，于点，，，，，．若，，则 ． 8．（24-25九年级上·山西运城·期中）已知，则 ． 9．（24-25九年级上·浙江金华·期中）把一个矩形划分成3个小矩形，并且每一个小矩形与原矩形都相似．若矩形的长为a，宽为b（），则的值为 ． 10．（23-24九年级上·陕西西安·期中）如果两个相似三角形的最长边分别是和，它们的周长之差为，那么这两个三角形的周长之和是 ； 11．（24-25九年级上·山西运城·期中）如图，一个矩形休闲广场的长为，宽为，广场内左右两侧的两条纵向人行小路的宽均为3.5m，如果设上下两侧的两条横向人行小路的宽都为m，那么当为多少时，人行小路内外边缘所围成的两个矩形相似？ 12．（24-25九年级上·河北唐山·期中）如图，四边形四边形． (1)_____度； (2)求边x，y的长． 13．（24-25九年级上·广东深圳·期中）已知 ，求的值． 2 / 36 1 / 36 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题23.1 成比例线段与相似图形 1.成比例线段的定义及比例的基本性质（重点） 2.黄金分割的定义及简单计算（重点） 3.相似图形的概念，尤其是相似多边形的定义和基本性质（重点） 4.灵活运用比例的基本性质解决复杂问题（难点） 5.“找等量关系” 时，难以将实际问题中的文字描述转化为数学式子（难点） 6.运用相似多边形的性质解决综合性问题（难点） 相似图形 1.定义 我们把具有相同形状的图形称为相似图形 特别解读 1.“形状相同”是判定相似图形的唯一条件 2.两个图形相似是指它们的形状相同，与它们的位置、大小无关 2.两个关系 (1)相似图形之间的关系:两个图形相似，其中一个图形可以看作由另一个图形放大或缩小得到 (2)相似与全等的关系:当两个图形的形状相同、大小也相司时，它们是全等图形，全等图形是相似图形的特殊情况，即全等图形一定是相似图形，但相似图形不一定是全等图形，只有相似图形的大小相同时，它们才全等 成比例线段 1．两条线段的比 在同一单位长度下，两条线段长度的比叫做这两条线段的比。线段 与线段 的比记作＂＂或" a: b ". 2.对于给定的四条线段a，b，c，d，如果其中两条线段的长度之比等于另外两 条线段的长度之比，如 （或 ，那么，这四条线段叫做成比例线段，简称比例线段 ．此时也称这四条线段成比例 ． 在通常情况下，四条线段a, b, c, d的单位应该一致，但有时为了计算方便，也可以使与的单位一致， 与 的单位一致。 线段a, b, c, d成比例，只可以写成 或 ，即四条线段a, b, c, d成比例是有顺序的，不能随便更改位置。 3 ．比例中项 如果 ，那么 叫做 和 的比例中项，当a, b, c为一般实数时，则由 得 同号）；当a, b, c为线段长时，则由 得 ． 比例的基本性质 1.比例的基本性质 如果 ，那么 ；如果 ，那么 ． 2.比例的基本性质推广 （1）合比性质： ； （2）等比性质： 0） ． 平行线分线段成比例的基本事实 平行线分线段成比例的基本事实两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例（简称“平行线分线段成比例”) 数学语言：如图 ，∵ ， 可简记为： ． 1.所有的成比例线段是指被截直线上的线段，与这组平行线上的线段无关； 2.利用平行线分线段成比例的基本事实写比例式时，一定要注意对应线段写在对应的位置上 平行线分线段成比例的推论 平行线分线段成比例的基本事实的推论平行于三角形一边的直线截其他两边(或两边的延长线)，所得的对应线段成比例 数学语言：如图，若 ，则有 或 或 ． 1.本推论的实质是平行线分线段成比例的基本事实中一组平行线中的一条过三角形的一个顶点，一条在三角形一边上的特殊情况。 2.当被截的两条直线相交时，其交点处可看成含一条隐形的平行线 相似三角形 1.定义 对应边成比例、对应角相等的三角形相似，反之两个三角形相似，对应边成比例、对应角相等 2.表示方法 相似用符号＂cs＂来表示，读作＂相似于＂．例如 与 相似，记作＂＂，读作 ＂ 相似于 ＂。 3．相似比 相似三角形对应边的比叫做相似比。当相似比为 1 时，两个三角形全等。 用符号“”表示两个三角形相似时，要把表示对应顶点的大写字母写在对应的位置上，相似三角形的相似比具有顺序性 平行线截三角形相似的定理 定理 平行于三角形一边的直线，和其他两边(或两边的延长线)相交所构成的三角形与原三角形相似 根据定理得到的相似三角形的三个基本图形中都有 ，图①②很像大写字母 ，故我们称之为 ＂A＂型相似；图 ③很像大写字母X，故我们称之为＂ ＂型相似（也像阿拉伯数字＂ 8 ＂）． 题型一、比例的性质 例1（24-25九年级上·四川·期中）如果，那么 ． 【答案】/ 【分析】本题主要考查了比例的性质，根据题意可得，再把代入所求式子中化简求值即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 故答案为：． 1-1（24-25九年级上·重庆·期中）如果，那么 ． 【答案】/ 【分析】本题考查了比例的性质，设，代入化简即可． 【详解】解：∵， ∴设， ∴． 故答案为：． 1-2（24-25九年级上·上海杨浦·期中）已知，，那么下列等式不成立的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了比例的性质：熟练掌握比例的性质：内项之积等于外项之积是解决问题的关键．根据比例的性质对各选项进行判断． 【详解】解：由得， A、，则， ∴，故不符合题意； B、，则， ∴，故不符合题意； C、，则， ∴，故不符合题意； D、，则， ∴，故符合题意， 故选：D． 1-3（24-25九年级上·广西来宾·期中）若，则的值是（   ） A． B． C．20 D． 【答案】B 【分析】本题考查比例的性质，根据比例的性质，直接计算即可，熟练掌握比例的性质，是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴； 故选B． 1-4（24-25九年级上·河南郑州·期中）已知，那么（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了比例的基本性质，解题关键是通过比例的变形，整体代入求值．根据可得，，代入求值即可． 【详解】解：， ，， ， 故选：D． 题型二、比例线段 例2（24-25九年级上·上海·期中）在比例尺为的地图上量得两个城市间的距离是，那么这两个城市的实际距离是 ． 【答案】 【分析】此题考查比例尺，根据“实际距离纸上距离比例尺”即可求解，熟知比例尺的应用是解题的关键． 【详解】解：两个城市的实际距离是， 故答案为：． 2-1（24-25九年级上·浙江杭州·期中）已知线段，则线段a，b的比例中项是 ． 【答案】3 【分析】本题主要考查比例线段，掌握比例中项的性质是解题的关键． 设线段x是线段a，b的比例中项，根据比例中项的定义列出等式，利用两内项之积等于两外项之积即可得出答案． 【详解】解：设线段a、b的比例中项为x， 则， ∴， 即， 解得或（舍去）． 故答案为：3． 2-2（24-25九年级上·广东河源·期中）下列四组长度的线段中，是比例线段的是（    ） A．4，5，6，7 B．3，4，6，9 C．8，4，4，2 D．5，10，10，15 【答案】C 【分析】本题考查比例线段，掌握如果四条线段a，b，c，d满足，则四条线段a，b，c，d称为比例线段（有先后顺序，不可颠倒）是解题关键．根据比例线段的定义逐项判断即可． 【详解】解：A．，故该选项不符合题意； B．，故该选项不符合题意； C．，故该选项符合题意； D．，故该选项不符合题意． 故选C． 2-3（24-25九年级上·江苏无锡·期中）在比例尺为的无锡旅游地图上，某条道路的长为，则这条道路的实际长度为 km． 【答案】 【分析】本题考查比例尺知识，能够根据比例尺正确进行计算，注意单位的转换． 根据比例尺图上距离：实际距离，依题意列比例式直接求解即可． 【详解】解：根据题意得：， 故答案为： 2-4（24-25九年级上·浙江杭州·期中）（1）已知，则代数式的值是 ； （2）已知线段，，则线段a，b的比例中项是 ． 【答案】 / 【分析】本题考查了比例线段，理解比例中项的概念，这里注意线段不能是负数． （1）根据比例的性质即可求解； （2）根据比例中项的定义，列出比例式即可得出中项，注意线段不能为负． 【详解】解：（1）∵， ∴，设， ∴， 故答案为：； （2）∵线段，， 设：它们的比例中项是， ∴， ，（线段是正数，负值舍去）． 故答案为：． 题型三、成比例线段 例3（24-25九年级上·安徽合肥·期中）在比例尺为的合肥市城区地图上量得包公祠与大蜀山两地间距离是，那么两地的实际距离是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了比例尺的应用，设两地的实际距离是，根据比例尺为，列出方程，解比例即可． 【详解】解：设两地的实际距离是， 根据题意得， 解得：， ， ∴两地的实际距离是． 故答案为：． 3-1（23-24九年级上·陕西咸阳·期中）已知a、b、c、d是一组成比例线段，且，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查比例线段，根据成比例线段的性质即可得出答案． 【详解】解：∵a、b、c、d是一组成比例线段， ∴ ∵， ∴， ∴， 故选：B． 3-2（24-25九年级上·贵州毕节·期中）下列四组线段中，是成比例线段的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了成比例线段，深刻理解成比例线段的概念是解题的关键：在四条线段中，如果其中的两条线段的比等于另外两条线段的比，那么这四条线段叫做成比例线段，简称比例线段．根据成比例线段的概念，通常情况下，让最小的和最大的相乘，另外两条也相乘，看它们的积是否相等即可判断它们是否成比例．按照成比例线段的判断方法逐项分析判断即可． 【详解】A.，∴四条线段不成比例，故不符合题意； B.，∴四条线段成比例，故符合题意； C.，∴四条线段不成比例，故不符合题意； D.，∴四条线段不成比例，故不符合题意； 故选择：B 3-3（24-25九年级上·陕西榆林·期中）若线段，，，是成比例线段，且，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了比例线段：对于四条线段，，，，如果其中两条线段的比（即它们的长度比）与另两条线段的比相等，如（即），我们就说这四条线段是成比例线段，简称比例线段．根据成比例线段的定义得到，然后利用比例的性质可求出d． 【详解】解：∵线段，，，是成比例线段， ∴， 即， 解得， ∴， 故选：C． 3-4（24-25九年级上·安徽六安·期中）已知：线段a，b，c，根据以下条件回答问题． (1)若，，c是a，b的比例中项线段，求c的长； (2)若，，求a，b，c的长． 【答案】(1) (2)，，． 【分析】本题考查了比例线段，写比例式的时候一定要注意顺序，再根据比例的基本性质求解即可． （1）根据比例中项的定义列式得到，即，然后根据算术平方根的定义求解，即可得到c的长； （2）设，然后用表示a，b，c，再代入，求解得到，即可得到a，b，c的值． 【详解】（1）解：∵c是a，b的比例中项线段， ∴， ∴（负值舍去） 即c的长为； （2）解：设， ∴，，， ∵， ∴， ∴， ∴，，． 题型四、黄金分割 例4（24-25九年级上·辽宁阜新·期中）在中华经典美文阅读中，小明发现自己的一本书的宽与长之比为黄金比，已知这本书的长是24厘米，则它的宽为 厘米． 【答案】 【分析】本题主要考查了黄金分割的定义：“一个点把一条线段分成两条线段，其中较长线段是较短线段和整个线段的比例中项，那么就说这个点把这条线段黄金分割，这个点叫这条线段的黄金分割点，并且较长线段是整个线段的”．根据黄金分割的定义得到书的宽与长之比为，即它的宽，然后进行近似计算即可 【详解】解：书的宽与长之比为黄金比，长为厘米， 它的宽厘米． 故答案为：． 4-1（24-25九年级上·安徽合肥·期中）如图，古筝上的一根弦的长度约为，两个端点固定在乐器板面上，支撑点是弦靠近点的黄金分割点，则线段的长度约为 cm．（结果保留根号） 【答案】 【分析】本题考查了黄金分割点的应用，熟练掌握黄金分割的定义是解题的关键． 根据黄金分割的定义计算即可． 【详解】解：支撑点是弦靠近点的黄金分割点，， ， 故答案为：． 4-2（24-25九年级上·甘肃白银·期中）已知点C是线段的黄金分割点，且，若，则 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了黄金分割知识点，记住黄金分割公式是解题关键．根据黄金分割的定义即可求出答案． 【详解】解：∵C是线段的黄金分割点，且， ， ∴，，     故答案是： 4-3（24-25九年级上·安徽马鞍山·期中）在绚丽多姿的秋色叶类植物中，爬山虎有着油画般浓郁的色彩。我们学校墙上的五叶爬山虎树叶，蕴含着一种数学美：“黄金分割”．如图，为的黄金分割点，如果的长度为8cm，那么的长度是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了黄金分割，根据黄金分割的定义得到，代入值即可求出． 【详解】解：∵P为的黄金分割点，的长度为， ∴， 故选：B． 4-4（24-25九年级上·安徽六安·期中）黄金分割被很多人认为是“最美比例”，在自然界中黄金分割也很常见，如图是一个有着“最美比例”的鹦鹉螺，点是线段的黄金分割点，，若，那么的长为（   ）． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了黄金分割的有关计算．根据黄金分割的定义得到，把代入计算即可得到答案． 【详解】解：点是线段的黄金分割点， ， ， ， 故选：C． 题型五、由平行判断成比例的线段 例5（24-25九年级上·辽宁本溪·阶段练习）如图，在四边形中，，点在上，交于点，若，，则的长为（   ） A．3 B．5 C．6 D．9 【答案】C 【分析】根据平行线分线段成比例解答．本题考查了平行线分线段成比例，掌握平行线分线段成比例是解题的关键． 【详解】解：∵在四边形中，，， ∴， ∴即， 解得． 故选：C． 5-1（24-25九年级上·福建泉州·期中）如图，直线，分别交直线、于点、、、、、，下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用平行线分线段成比例定理解决问题即可． 本题考查平行线分线段成比例定理，熟练运用平行线分线段成比例定理是解题的关键． 【详解】解：∵， ，，， 选项B、C、D不符合题意； ，故A选项符合题意； 故选：A． 5-2（24-25九年级上·陕西西安·期中）如图，在中，是上的一点，请利用无刻度的直尺和圆规在上作一点，使得．（不写作法，保留作图痕迹，并标明字母） 【答案】见解析 【分析】此题考查了尺规作一个角等于已知角，平行线的判定，平行线分线段成比例等知识，解题的关键是掌握以上知识点． 根据题意作出，进而得到，然后利用平行线分线段成比例即可得到． 【详解】解：如图，点即为所求． 5-3（24-25九年级上·上海静安·期中）已知线段，求作线段使，下列作法（图中虚线均为平行线）中不正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了利用平行线的性质画图的方法，根据平行线的性质一一分析． 【详解】解：A、根据平行线的性质得，故此选项正确，不符合题意； B、根据平行线的性质得，故此选项正确，不符合题意； C、根据平行线的性质得，故此选项正确，不符合题意； D、根据平行线的性质得，故此选项错误，符合题意； 故选：D． 5-4（24-25九年级上·广东深圳·期中）如图，表示一个窗户的高，和表示射入室内的光线，窗户的下端到地面的距离，已知某一时刻的地面的影长，在地面的影长，则窗户的高是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查投影及平行线所截线段对应成比例，解题的关键是根据管线性质得到．根据和表示射入室内的光线，得到，再根据平行线所截线段对应成比例即可得到，即可得到答案． 【详解】解：∵和表示射入室内的光线， ∴， ∴， ∵，，， ∴， ∴， 故选：C． 题型六、由平行截线求相关线段的长或比值 例6（24-25九年级上·广东茂名·期中）如图，直线，，，，则的长为（   ） A．3 B．1.5 C．4 D．2 【答案】C 【分析】先求出，再根据平行线分线段成比例定理列比例式得，进而求解即可． 本题主要考查了平行线分线段成比例定理，正确的找出对应线段是解题的关键． 【详解】解：∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， 解得． 故选：C 6-1（24-25九年级上·河北石家庄·期中）如图，在的菱形网格中，连接两网格线上的点，，线段与网格线的交点为，，则为 ． 【答案】 【分析】利用网格构建，利用平行线分线段成比例得到，由此可解．本题考查平行线分线段成比例定理，利用格点构造等比例线段是解题的关键． 【详解】解：如图，利用网格构建， ∴ ， 故答案为：． 6-2（24-25九年级上·广西南宁·期中）如图，已知，，则 ． 【答案】12 【分析】本题考查平行线分线段成比例，根据平行线分线段成比例，得到，求出的长，进而求出的长即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴； 故答案为：12． 6-3（24-25九年级上·安徽合肥·期中）如图，，直线与这三条平行线分别交于点和点，若，则的长为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了平行线分线段成比例定理，熟练掌握平行线分线段成比例定理是解题的关键． 根据题意得到，即，求解即可． 【详解】解：， ， ， ， ， ， 故选：C． 6-4（24-25九年级上·陕西榆林·期中）如图，在中，，点在上，且，交于点，且． (1)_____． (2)求的长． 【答案】(1)2 (2) 【分析】本题考查平行线分线段成比例，熟练掌握平行线分线段成比例的性质是解决此题的关键． （1）根据，得到，结合，求出的长即可； （2）根据，得到，求出的长，进而求出的长即可． 【详解】（1）解：∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：； （2）解：由（1）得，． ． ． ∴ ∴． 题型七、相似图形 例7（24-25九年级上·河北石家庄·期中）如图，在矩形、锐角三角形、直角三角形的外边加宽度一样的外框，保证外框边与原图形对应边平行，则外框与原图不一定相似的是（      ）．        A．矩形 B．矩形和锐角三角形 C．矩形和直角三角形 D．锐角三角形和直角三角形 【答案】A 【分析】此题考查了相似三角形的判定．根据相似多边形的判定定理：对应边成比例、对应角相等，对各个选项进行分析，从而确定最后答案． 【详解】解：两矩形对应角相等，对应边的比值不一定相等，不一定相似，符合题意；两锐角三角形对应角相等，对应边的比值相等，两图形相似，不符合题意；两直角三角形对应角相等，对应边的比值相等，两图形相似，不符合题意； 故选：A 7-1（24-25九年级上·甘肃天水·期中）下列每个选项中的两个图形，不是相似图形的是（   ） A．   B．   C．   D．   【答案】D 【分析】本题考查了相似图形，根据相似图形的概念即可作出判断．判断两个图形是否相似，就是看两个图形是不是形状相同，与其他因素无关． 【详解】解：由相似图形的概念知，选项中D的两个图形不相似； 故选：D． 7-2（23-24九年级上·河南驻马店·期中）下列形状分别为正方形、圆、正三角形、矩形的边框，其中不一定是相似图形的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查相似图形的定义，掌握相似图形形状相同是解题的关键．根据相似图形的定义，形状相同，可得出答案． 【详解】解：A、两个正方形形状相同，是相似图形，不符合题意； B、两圆形形状相同，是相似图形，不符合题意； C、两个等边三角形形状相同，是相似图形，不符合题意； D、两个长方形形状不一定相同，不一定是相似图形，符合题意； 故选：D． 7-3（24-25九年级上·上海静安·期中）下列选项中的两个图形一定相似的是（    ） A．两个平行四边形 B．两个正方形 C．两个菱形 D．两个等腰三角形 【答案】B 【分析】本题考查了相似图形的识别，熟练掌握相似图形的定义：对应边成比例，对应角相等的图形叫相似图形是解题的关键．根据相似图形的定义，对选项逐一分析判断即可． 【详解】解：A、两个平行四边形对应角不一定相等，故不一定相似，不符合题意； B、两个正方形对应边成比例，对应角相等，故一定相似，符合题意； C、两个菱形对应角不一定相等，故不一定相似，不符合题意； D、两个等腰三角形对应角不一定相等，故不一定相似，不符合题意； 故选：B． 7-4（24-25九年级上·安徽合肥·期中）下列说法正确的是（　　） A．所有的矩形都是相似形 B．所有的等腰直角三角形都相似 C．对应角相等的两个多边形相似 D．对应边成比例的两个多边形相似 【答案】B 【分析】此题主要考查了相似图形，熟知相似图形的对应角相等，对应边成比例是解题的关键．利用相似图形的判定方法分别判断得出即可． 【详解】A、所有的矩形不一定是相似形，对应边不一定成比例，原说法错误，不符合题意； B、所有的等腰直角三角形都相似，正确，符合题意； C、对应角相等的两个多边形不一定相似，对应边的比值不一定相等，原说法错误，不符合题意； D、对应边成比例的两个多边形，对应角不一定相等，原说法错误，不符合题意， 故选：B． 题型八、相似多边形 例8（24-25九年级上·福建三明·期中）下列网格中各个小正方形的边长均为1，阴影部分图形分别记作甲、乙、丙、丁，其中是相似形的为（   ） A．甲和乙 B．乙和丁 C．甲和丙 D．甲和丁 【答案】D 【分析】本题主要考查了相似多边形的性质，如果两个多边形的对应角相等，对应边的比相等，则这两个多边形是相似多边形． 【详解】解：观察可得：甲和丁对应角相等，对应边成比例，且形状相同，大小不同． 故选：D． 8-1（24-25九年级上·河南平顶山·期中）某数学兴趣小组在学习相似多边形时，三位同学分别将边长为4，6，6的等腰三角形、边长为4的正方形和长、宽分别为6，4的矩形按如图所示的方式向外扩张，各得到一个新图形，它们的对应边间距均为1，则画出的三组图形中，新图形和旧图形是相似多边形的有（   ） A．0组 B．1组 C．2组 D．3组 【答案】C 【分析】本题考查了相似多边形的定义，理解并掌握相似多边形的定义是解题的关键． 根据相似多边形的定义“对应角相等，对应边成比例”进行分析即可求解． 【详解】解：如图所示，延长交于点，延长交于点，过点作交于点， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∴， 同理，四边形是平行四边形， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴，， ∴， ∴，即 同理可得，， ∴， ∵，， ∴， 同理，， ∴， ∴； 如图所示，延长交于点，延长交于点，延长交于点，延长交于点， ∵四边形是正方形，边长为，四边形是正方形， ∴， ∴， ∴， ∴，且对应角都是，都相等， ∴正方形∽正方形； 如图所示，矩形，， 计算方法同上述正方形， ∴矩形，， ∴， ∴矩形于矩形不是相似图形； 综上所述，新图形和旧图形是相似多边形的有2组， 故选：C ． 8-2（24-25九年级上·江苏无锡·期中）下列命题中，①任意的矩形都相似；②任意的菱形都相似；③任意的正方形都相似；④任意的圆都相似，正确命题的有 ．（填序号） 【答案】③④ 【分析】本题考查的是命题与定理，正确的命题叫真命题，错误的命题叫做假命题．根据多边形相似的定义判断即可． 【详解】解：①两个矩形的对应边不一定成比例，不一定相似，故任意的矩形都相似是假命题； ②两个菱形的对应角不一定相等，不一定相似，故任意的菱形都相似是假命题； ③任意的正方形都相似，是真命题； ④任意的圆都相似，是真命题； 故答案为：③④． 8-3（24-25九年级上·安徽合肥·期中）下列说法中，正确的是（    ） A．相似三角形是全等三角形 B．所有矩形都相似 C．全等三角形是相似三角形 D．所有等腰直角三角形不一定都相似 【答案】C 【分析】本题考查相似图形的判定，熟知相似图形的判定是解答的关键．根据相似图形的判定，结合相关知识的性质逐项判断即可求解． 【详解】解：A、相似三角形不一定是全等三角形，原说法不正确，本选项不符合题意； B、矩形的四个角都相等，但边不一定成比例，所以所有矩形不一定相似，本选项不符合题意； C、全等三角形的对应角相等，故全等三角形一定是相似三角形，本选项符合题意； D、所有的等腰直角三角形都相似，本选项不符合题意； 故选：C． 8-4（24-25九年级上·辽宁·期中）下列两个图形一定相似的是（    ） A．两个菱形 B．两个矩形 C．两个正方形 D．两个平行四边形 【答案】C 【分析】本题考查相似多边形的定义、特殊平行四边形的性质．根据“对应边成比例，对应角相等的两个四边形相似”进行判断即可． 【详解】解： A、两个菱形对应的角不一定相等，所以不一定相似，故此选项错误； B、两个矩形的角都是直角，但边不一定成比例，故此选项错误； C、两个正方形的角都是直角，一定相等，并且四条边都相等，一定成比例，故此选项正确； D、两个平行四边形对应的角不一定相等，故此选项错误， 故选：C． 题型九、相似多边形的性质 例9（24-25九年级上·河北邯郸·期中）如图，四边形四边形，则的值为 ． 【答案】15 【分析】本题主要考查了相似多边形的性质，根据相似多边形的性质对应边成比例求解即可． 【详解】解：∵四边形四边形， ∴， 即， 解得：， 故答案为：15 9-1（23-24九年级上·陕西咸阳·期中）已知四边形四边形，且，若四边形的周长为15，则四边形的周长为 ． 【答案】9 【分析】本题主要考查相似多边的性质，根据周长比等于相似比可得答案． 【详解】解：∵四边形四边形，且， ∴， ∵四边形的周长为15， ∴四边形的周长， 故答案为：9． 9-2（24-25九年级上·安徽滁州·期中）如图，，，，，则边的长是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了相似多边形的性质，由，则，然后把，，代入即可求解，掌握相似多边形对应边的比相等列出比例式是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴， ∵，，， ∴， ∴， 故选：． 9-3（24-25九年级上·江西抚州·期中）已知两个矩形相似，第一个矩形的两边长分别是3和4，第二个矩形较短的一边长是6，那么第二个矩形较长的一边长是 ． 【答案】8 【分析】本题考查相似多边形，根据相似多边形的对应边成比例，列出比例式，进行求解即可． 【详解】解：设第二矩形较长的边为：，则由题意，得： ， ∴； 故第二个矩形较长的一边长是8； 故答案为：8． 9-4（24-25九年级上·辽宁朝阳·期中）（1）解方程：； （2）如图，在矩形中，，E、F分别是、上的点，且，若矩形矩形，求的长． 【答案】（1），；（2） 【分析】本题考查解一元二次方程，相似多边形的性质，正确理解题意是解题的关键： （1）利用配方法解一元二次方程即可； （2）根据相似多边形的性质得出，再根据矩形的性质得出，，列式，求解即可得出答案． 【详解】解：（1） ，； （2）∵矩形矩形， ∴， ∵，，，， ∴， ∴． 例已知点C是线段的黄金分割点，且，若，则 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了黄金分割知识点，记住黄金分割公式是解题关键．根据黄金分割的定义即可求出答案． 【详解】解：∵C是线段的黄金分割点，且， ， ∴，，     故答案是： 1．（24-25九年级上·安徽合肥·期中）已知，则下列式子正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了比例是性质，根据内项之积等于外项之积，对各个选项进行整理化简，即可求解；掌握性质“若，则．”是解题的关键． 【详解】解：A.整理得，结论错误，故不符合题意； B.整理得，结论错误，故不符合题意； C.整理得，结论正确，故符合题意； D.整理得，结论错误，故不符合题意； 故选：C． 2．（24-25九年级上·安徽蚌埠·期中）如图，已知直线，，分别截直线于点，，，截直线于点，，，且．如果，，则的长为（   ） A．4 B．6 C．7 D．8 【答案】B 【分析】本题主要考查平行线分线段成比例，熟练掌握平行线分线段成比例的性质是解题的关键．根据，得到，即可求出答案． 【详解】解：，， ， ， ， ， ， ， 故选B． 3．（24-25九年级上·上海·期中）已知，那么下列四个选项中一定正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查比例的性质，根据比例的性质逐项判断即可，解题的关键是掌握比例的性质和等式的基本性质． 【详解】解：由可设， 则，故A正确，符合题意； ，故B错误，不符合题意； 则不一定等于，故C错误，不符合题意； 则，故D错误，不符合题意； 故选：A． 4．（24-25九年级上·上海浦东新·阶段练习）下列命题正确的是（   ） A．两个菱形相似 B．各有一个角的两个等腰三角形相似 C．一角相等的两个直角三角形相似 D．腰对应成比例的两个等腰三角形相似 【答案】B 【分析】本题考查了命题与定理的知识，用相似三角形的判定方法分别判断后即可确定正确的选项，解题的关键是了解相似三角形的判定方法． 【详解】解：A、两个菱形的内角不一定相等，故不一定相似，故选项不符合题意； B、有一个角的三角形中，角必须为顶角，两个底角分别是，可判定三角形相似，故选项符合题意； C、如果相等的这个角是直角，则这两个直角三角形不一定相似，故选项不符合题意； D、腰对应成比例但是顶角不相等的两个等腰三角形不一定相似，故选项不符合题意； 故选：B． 5．（24-25九年级上·上海·阶段练习）下列各组图形中，不一定相似的是（   ） A．一组邻边对应成比例的两个矩形 B．两个顶角相等的等腰三角形 C．有一个内角相等的两个菱形 D．有两条边对应成比例的两个直角三角形 【答案】D 【分析】本题考查相似的判定，难度不大，判定两个图形相似的依据是：对应边的比相等，对应角相等．两个条件必须同时具备． 利用相似多边形的对应边的比相等，对应角相等分析． 【详解】A．一组邻边对应成比例的两个矩形，对应角都是直角，一定相似，故本选项不符合题意； B．两个顶角相等的等腰三角形其他角也相等，一定相似，故本选项不符合题意； C．有一个内角对应相等的两个菱形其他角也相等，菱形四条边相等，对应边成比例，故一定相似，故本选项不符合题意； D． 有两条边对应成比例的两个直角三角形，不一定相似，故本选项符合题意； 故选：D． 6．（23-24九年级上·浙江杭州·期中）如图，直线，直线依次交、、于、、三点，直线依次交、、于、、三点，若，，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了平行线分线段成比例定理，灵活运用平行线分线段成比例定理、找准对应关系是解题的关键．根据平行线分线段成比例定理列出比例式，把已知数据代入计算得到答案． 【详解】解：∵， ， ， ，， ， 解得：． 故答案为：． 7．（24-25九年级上·河南郑州·期中）如图，直线，分别交直线，于点，，，，，．若，，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了平行线分线段成比例，熟练掌握以上知识点是解答． 根据平行线分线段成比例定理得到，然后代入数据即可求出的值． 【详解】解：直线， ，即， ， 故答案为：． 8．（24-25九年级上·山西运城·期中）已知，则 ． 【答案】5 【分析】本题考查了比例的性质，利用设法进行计算，即可解答，熟练掌握设法是解题的关键． 【详解】解：， 设，， ， 故答案为：5． 9．（24-25九年级上·浙江金华·期中）把一个矩形划分成3个小矩形，并且每一个小矩形与原矩形都相似．若矩形的长为a，宽为b（），则的值为 ． 【答案】或 【分析】本题考查了相似多边形的性质，本题的关键是根据两矩形相似得到比例式． 分两种划分方法进行讨论，求出划分后小矩形的长与宽，再根据每个小矩形与原矩形相似得到比例式，求解即可． 【详解】解：分两种情况讨论： ①如下图进行划分， ∵矩形的长为a，宽为b， ∴划分后小矩形的长为b，宽为， 又∵每个小矩形与原矩形相似， ∴， ∴， ∴； ②如下图进行划分， ∵矩形的长为a，宽为b，即，， 则划分后小矩形的宽， 设小矩形的长，则， ∵每个小矩形与原矩形相似， ∴由矩形与矩形相似，可得， 解得：， ∴， 由矩形与矩形相似，可得， ∴； 故答案为：或． 10．（23-24九年级上·陕西西安·期中）如果两个相似三角形的最长边分别是和，它们的周长之差为，那么这两个三角形的周长之和是 ； 【答案】 【分析】本题考查了相似三角形的性质，根据相似三角形的性质：周长比等于相似比即可求解，熟知相似三角形周长的比等于相似比是解题的关键． 【详解】解：设小三角形的周长为，则大三角形的周长是， 依题意，得， 解得， 经检验：是方程的解， ∴， ∴这两个三角形的周长之和， 故答案为：． 11．（24-25九年级上·山西运城·期中）如图，一个矩形休闲广场的长为，宽为，广场内左右两侧的两条纵向人行小路的宽均为3.5m，如果设上下两侧的两条横向人行小路的宽都为m，那么当为多少时，人行小路内外边缘所围成的两个矩形相似？ 【答案】 【分析】本题考查了相似多边形的性质，关键在于理解相似矩形对应边成比例这一性质，并能准确找出小路内外边缘围成的矩形的长和宽的表达式． 通过分析两个矩形相似的性质，找出对应边的比例关系，并用含有的代数式表示内边缘所围成的矩形的长，进而列方程求解的值即可． 【详解】解：人行小路内边缘所围成的矩形的长为， 宽为． 根据相似多边形定义，当各边成比例时，这两个矩形相似，即： ， 解得， 经检验，是原方程的解． 答：当时，人行小路内外边缘所围成的两个矩形相似． 12．（24-25九年级上·河北唐山·期中）如图，四边形四边形． (1)_____度； (2)求边x，y的长． 【答案】(1) (2)， 【分析】本题主要考查了相似多边形的性质，正确掌握相似多边形的性质是解题关键． （1）直接利用相似多边形的性质得出对应角相等，进而得出答案； （2）直接利用相似多边形的性质得出对应边的比值相等，进而得出答案． 【详解】（1）解：四边形四边形， ， ； 故答案为：； （2）解：四边形四边形， ， ， 解得：，． 13．（24-25九年级上·广东深圳·期中）已知 ，求的值． 【答案】 【分析】本题主要考查了比例的性质，解一元一次方程等知识点，令，从而表示出，再代入，即可求出k的值，熟练掌握其性质并能灵活运用设k法得到关于k的方程是解决此题的关键． 【详解】解：设， ∴， 根据题意可得：， 解得：， ∴， ∴． 2 / 36 1 / 36 学科网（北京）股份有限公司 $$