专题4.2 角（知识梳理 + 题型精析 +同步练习）- 2025-2026学年北师大版七年级数学上册基础知识专项突破讲练

专题 4.2 角 目录 一． 知识梳理与题型分类精析 2 知识点（一）角的定义 2 【题型1】角的辨析 2 知识点（二）平角与周角 3 【题型2】平角与周角辨析 3 知识点（三）角的表示方法 3 【题型3】角的表示方法 4 知识点（四）角度制及其换算 5 【题型4】角的换算 5 知识点（五）方位角 6 【题型5】方位角的表示 6 【题型6】方位角的计算 7 知识点（六）钟面角 8 【题型7】求钟面角 8 知识点（七）角的比较 8 【题型8】角的大小比较 9 知识点（八）角的和差 9 【题型9】利用角的和差求角的大小 10 知识点（九）角的平分线 10 【题型10】利用角平分线的定义求角度 11 知识点（十）作一个角等于已知角 11 【题型11】作一个角等于已知角 12 二．同步练习​ 13 【基础巩固（选择题6题、填空题6题、解答题4题）】 13 【能力提升（选择题6题、填空题6题、解答题4题）】 16 1． 知识梳理与题型分类精析 【学习准备】射线有 个端点；向 个方向无限延伸。 知识点（一）角的定义 定义一：由两条具有公共端点的射线组成的图形叫做角。如图1，如图1所示，角的顶点是点，边是射线． 定义二：角也可以看成是由一条射线绕着它的端点旋转而成的。射线旋转时经过的平面部分是角的内部．如图2所示，射线OA绕它的端点O旋转到OB的位置时，形成的图形叫做角，起始位置OA是角的始边，终止位置OB是角的终边． 图1 图2 【题型1】角的辨析 【例题1】（2024七年级上·全国·专题练习）在下列说法中，正确的是（   ） ①两条射线组成的图形叫作角；    ②角的大小与边的长短有关； ③角的两边可以一样长，也可以一长一短；    ④角的两边是两条射线． A．① B．② C．③ D．④ 【变式1】（2025七年级下·全国·专题练习）下列图形中，角是（   ） A． B． C． D． 【变式2】（24-25七年级上·全国·单元测试）下列说法错误的是（　　） A．由两条具有公共端点的射线组成的图形就是角 B．角是由始边绕着端点旋转形成的图形 C．角是由两条直线相交形成的图形 D．角的两边是射线 【特别提示】两条射线有公共端点，即角的顶点；角的边是射线；角的大小与角的两边的长短无关． 知识点（二）平角与周角 一条射线绕它的端点旋转，当终边和始边成一条直线时，所成的角叫作平角。终边继续旋转，当它又和始边重合时，所成的角叫作周角。如图3，这样的角 图3 图4 【题型2】平角与周角辨析 【例题2】（2024七年级上·浙江·专题练习）由角的旋转的定义可知，平角的两边成一条直线，能不能说直线就是平角？周角两边重合成同一条射线，能不能说周角就是射线？为什么？ 【变式1】（2024七年级上·全国·专题练习）下列说法中，正确的是（ ） A．一个周角就是一条射线 B．平角是一条直线 C．直角周角 D．周角平角 【变式2】（25-26七年级上·全国·课后作业）下列四个图中，对于图形的描述正确的有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 知识点（三）角的表示方法 角的几何符号用“∠”表示，角的表示法通常有以下四种： 表示方法 基本图形 记法 适用范围 （1）用三个大写字母表示 或 任何情况都适用，表示顶点的字母写在中间 （2）用一个大写字母表示 以某一点为顶点的角只有一个时，可以用顶点表示角 （3）用阿拉伯数字表示 任何情况都适用 （4）用希腊字母表示 任何情况都适用 【题型3】角的表示方法 【例题3】（24-25七年级上·全国·随堂练习）老师提出了以下问题：如图所示，请用恰当的方法表示图中给出的所有角（小于平角的角），某组同学在本组展示区的答案是：，，，，． 思考分析后，分别解答下列问题： （1）有位同学认为答案中有错误，你是否认同他的观点？ _______．（填“认同”或“不认同”） （2）如果你认为有错误，错误的答案为______________． （3）另一位同学认为答案不完整，还有符合要求的角没表示出来，请你将答案修改补充完整，图中还有_________________________________________________． 【变式1】（根据教材125页习题4.2知识技能第1题改编）（2024七年级上·浙江·专题练习）如图，把同一个角用不同的表示方法表示出来，并填入表． 【变式2】（24-25七年级上·山西太原·阶段练习）下列四个图中，能用，，三种方法表示同一个角的是（   ） A． B． C． D． 【特别提示】用数字或小写希腊字母表示角时，要在靠近角的顶点处加上弧线，且注上阿拉伯数字或小写希腊字母． 知识点（四）角度制及其换算 角的度量单位是度、分、秒，把一个周角平均分成360等份，每一份就是1°的角，1°的为1分，记作“1′”，1′的为1秒，记作“1″”．这种以度、分、秒为单位的角的度量制，叫做角度制． 1周角＝360°，1平角＝180°，1°＝60′，1′＝60″． 【题型4】角的换算 【例题4】（24-25七年级上·全国·课后作业）计算： （1）； （2）； （3）； （4）． 【变式1】（24-25七年级上·全国·课后作业） （1）把化成用度表示的角； （2）把化成用度、分、秒表示的角． 【变式2】（24-25七年级上·江苏盐城·阶段练习）计算： （1）； （2）； （3）； （4）（结果用“”表示）； 【特别提示】在进行有关度分秒的计算时，要按级进行，即分别按度、分、秒计算，不够减，不够除的要借位，从高一位借的单位要化为低位的单位后再进行运算，在相乘或相加时，当低位得数大于等于60时要向高一位进位． 知识点（五）方位角 在航行和测绘等工作中，经常要用到表示方向的角．例如，图中射线的方向是北偏东60°；射线的方向是南偏西30°．这里的“北偏东60°”和“南偏西30°”表示方向的角，就叫做方位角． 【题型5】方位角的表示 【例题5】（25-26六年级上·黑龙江绥化·期中）以灯塔为观察点： （1）A岛在 偏 方向上，距离是 千米； （2）B岛在 偏 方向上，距离是 千米． 【变式1】（25-26七年级上·安徽阜阳·开学考试）一架飞机从机场向南偏东方向飞行了，原路返回时要向（   ） A．南偏东方向飞行 B．北偏西方向飞行 C．北偏西方向飞行 D．南偏西方向飞行 【变式2】（25-26七年级上·全国·课后作业）如下图，某轮船上午8：00时位于点A处，测得灯塔S在北偏东的方向上，向东行驶至中午12：00时，该轮船位于点B处，测得灯塔S在北偏西的方向上．请在图中画出灯塔S的位置． 【特别提示】 （1）正东，正西，正南，正北4个方向不需要用角度来表示； （2）方位角必须以正北和正南方向作为“基准”，“北偏东60°”一般不说成“东偏北30°”； （3）在同一问题中观察点可能不止一个，在不同的观测点都要画出表示方向的“十字线”，确定其观察点的正东、正西、正南、正北的方向； （4）图中的点O是观测点，所有方向线（射线）都必须以O为端点． 【题型6】方位角的计算 【例题6】（24-25八年级下·河北石家庄·期中）如图，是小明家和学校所在地的简单地图，已知，C为的中点，回答下列问题： （1）图中距小明家距离相同的是哪些地方？ （2）商场、学校、公园、停车场分别在小明家的什么方位？哪两个地方的方位是相同的？ （3）若学校距离小明家，那么商场和停车场分别距离小明家多少米？ 【变式1】（25-26八年级上·湖北荆州·阶段练习）如图，一艘轮船在海上由西往东行驶，在处测得灯塔位于北偏东方向，在处测得灯塔位于北偏东方向，则的度数是（   ）    A． B． C． D． 【变式2】（25-26七年级上·全国·课后作业）如图，请你为游客介绍动物园和迷宫所在的方位．动物园在大门的 方向上，迷宫在大门的 方向上． 知识点（六）钟面角 钟面角定义：时钟的钟面上，时针和分针在某一时刻所形成的夹角。 分针：60 分钟转 360°，每分钟转 6°； 时针：12 小时转 360°，每小时转 30°，每分钟转 0.5°． 【题型7】求钟面角 【例题7】（根据教材125页习题4.2知识技能第8题改编）（25-26七年级上·全国·课后作业）（1）如图，分别确定四个城市相应钟表上时针与分针所成较小角的度数． （2）每经过，时针转过多少度？每经过，分针转过多少度？ （3）上午10:10时，时针与分针所成的较小角是多少度？ 【变式1】（25-26七年级上·山东济南·期中）当时钟指针指向3点40分时，分针与时针的夹角是（    ）度． A．120 B．130 C．140 D．150 【变式2】（23-24七年级上·陕西西安·开学考试）当一个挂钟走到4时12分的时候，时针与分针所成的较小的夹角是 度． 知识点（七）角的比较 角的大小比较与线段的大小比较相类似，方法有两种． 方法1：度量比较法．先用量角器量出角的度数，然后比较它们的大小． 方法2：叠合比较法．把其中的一个角移到另一个角上作比较． 如比较和的大小： 如下图，由图（1）可得；由图（2）可得；由图（3）可得． 【题型8】角的大小比较 【例题8】（24-25七年级上·全国·课后作业）观察下面图形，图中共有3个角，它们之间有什么关系？（请用和差表示） 【变式1】（24-25七年级上·甘肃张掖·阶段练习）如图，点为内部一点，连接，关于角的描述错误的是（   ） A．与表示同一个角 B． C．表示 D．小于 【变式2】（2024七年级上·全国·专题练习）比较图中、的大小： ．（填“>”“<”或“=”） 知识点（八）角的和差 如图所示，是与的和，记作：；是与的差，记作：． 【题型9】利用角的和差求角的大小 【例题9】（24-25七年级上·全国·课后作业）如图，已知．求的度数．（分射线在内部和外部两种情形） 【变式1】（23-24七年级下·全国·单元测试）如图所示，若，则的度数是（    ） A． B． C． D． 【变式2】（25-26七年级上·全国·课后作业）如图，已知，求的度数． 知识点（九）角的平分线 从一个角的顶点引出的一条射线,把这个角分成两个相等的角,这条射线叫作这个角的平分线。如图所示，是的角平分线，，. 【题型10】利用角平分线的定义求角度 【例题10】（25-26七年级上·全国·期末）如图，是直线上一点，，平分，． （1）求的度数； （2）是否平分?并说明理由． 【变式1】（24-25七年级上·四川资阳·开学考试）如图，，过点在角内部引一射线，是的平分线，若，则（    ） A． B． C． D． 【变式2】（24-25七年级上·陕西西安·期末）如图，在中，射线平分，连接，射线平分． （1）若是直角，，求的度数； （2）若，，则是多少度？ 【特别提示】由角平分线的概念产生的合情推理其思维框架与线段中点的思维框架一样． 知识点（十）作一个角等于已知角 作图步骤： 1． 作一条射线； 2． 以已知角的顶点为圆心，以任意长为半径作弧，交角的两边于两点； 3． 以射线端点为圆心，相同长为半径作弧，交射线于一点，以此点为圆心，已知角两交点长为半径画弧，与前弧交于一点， 4． 过此点和以射线的端点为端点作射线， 这样就求得了我们要求的角。 【题型11】作一个角等于已知角 【例题11】（25-26八年级上·湖南·阶段练习）如图，点C在的边上，小明用尺规作出了．他写出了以下作图过程：①以C为圆心，长为半径画，交于点M；②作射线，则；③以M为圆心，长为半径画弧，交于点D；④以O为圆心，任意长为半径画，分别交于点E，F．但他写的顺序排乱了，请你帮他确定正确的顺序是 ．（填序号即可） 【变式1】（25-26八年级上·山东济宁·阶段练习）作图与计算． （1）已知：，（图（1）、图（2））． 求作：在图（2）中，以为一边，在的内部作（要求：用直尺和圆规作图，不写作法，保留作图痕迹）． （2）在图（2）中过点引射线，且，，求的度数． 【变式2】（25-26八年级上·全国·期中）如图所示的尺规作图是：分别以线段的端点为圆心，以小于长为半径画弧，分别交射线和线段于点C、D、E，再以点E为圆心．以长为半径画弧．交前面的弧于点F、画射线，分别以点E，F为圆心，以大于 长为半径画弧，两弧交于点C．画射线．若则 的度数为 【特别提示】由角平分线的概念产生的合情推理其思维框架与线段中点的思维框架一样． 二．同步练习​ 【基础巩固（选择题6题、填空题6题、解答题4题）】 一、单选题 1．（25-26七年级上·北京·阶段练习）用一个能放大100倍的放大镜看一个的角，这个角的度数是（    ） A． B． C． D． 2．（25-26七年级上·全国·课后作业）下列各角是锐角的是（   ） A．周角 B．平角 C．平角 D．直角 3．（24-25七年级上·甘肃兰州·期末）在灯塔 O处观测到轮船A位于北偏西 的方向，同时轮船B在南偏东的方向，则的大小为（   ） A． B． C． D． 4．（25-26七年级上·福建福州·开学考试）用一条线段表示，把它平均分成9份（如图）．线段上与度数最接近的点的序号是（   ）． A．① B．② C．③ D．④ 5．（24-25七年级上·江苏镇江·期末）如图，，若图中所有锐角之和为，则为（   ） A． B． C． D． 6．（25-26八年级上·山东滨州·阶段练习）如图，直线相交于点，射线平分，是直角．若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 二、填空题 7．（24-25七年级上·全国·课后作业）如图，射线表示的方向是 ． 8．（2025七年级上·全国·专题练习）若，则 ． 9．（24-25七年级上·全国·课后作业）如图， （填“＞”“＝”或“＜”）；若 ，则平分． 10．（21-22七年级下·辽宁大连·开学考试）如图，，，是的平分线，则 度． 11．（24-25七年级下·四川成都·期末）如图，已知，以点为圆心，任意长度为半径画弧，分别交、于点、，再以点为圆心，的长为半径画弧，交前弧于点，画射线．若，则的度数为 ． 12．（24-25七年级上·江苏泰州·阶段练习）如图，已知，平分，且，则的度数为 ． 三、解答题 13．（24-25七年级上·贵州贵阳·阶段练习）计算： （1）； （2）． 14．（24-25六年级下·全国·单元测试）考点办公室设在校园中心O点，带队老师休息室A位于O点的北偏东，某考室B位于O点南偏东，请在图中画出射线，并计算的度数． 15．（24-25七年级上·全国·课后作业）如图，OB是的平分线，OC是的平分线，与有怎样的数量关系？ 16．（24-25七年级下·河北廊坊·阶段练习）已知直线与直线交于点O，过点O作． （1）如图1，为内的一条射线，若，求证：． （2）如图2，若，求的度数． 【能力提升（选择题6题、填空题6题、解答题4题）】 一、单选题 1．（24-25七年级上·全国·单元测试）下列说法错误的是（　　） A．角是由两条有公共端点的射线组成的图形 B．周角的一半叫平角 C．可转化为 D．直线是平角 2．（24-25七年级上·四川自贡·期末）若，则下面说法正确的是（　　） A． B． C． D．互不相等 3．（24-25七年级上·山东枣庄·阶段练习）如图，一个直角三角板绕其直角顶点C旋转到三角形的位置，若，下列结论错误的是（   ） A． B． C． D． 4．（24-25七年级上·吉林松原·期末）如图，若、是的三等分线，且，则的度数是（   ） A． B． C． D． 5．（19-20六年级下·黑龙江哈尔滨·期末）如图，交于点O，平分，若，则等于（   ） A． B． C． D． 6．（24-25七年级上·四川成都·期末）如图，点在的边上，用尺规作出了．以下作图过程正确的顺序是（    ） ①以为圆心，长为半径画，交于点． ②作射线，则． ③以为圆心，EF长为半径画弧，交于点． ④以为圆心，任意长为半径画，分别交于点E，F A．①-②-③-④ B．③-②-④-① C．④-③-①-② D．④-①-③-② 二、填空题 7．（20-21七年级上·辽宁·期末） ′ ″， 8．（24-25七年级上·江苏淮安·期末）如图所示的正方形网格中，点、、是格点，则 ．（填“”，“”或“”） 9．（25-26七年级上·黑龙江绥化·阶段练习）如图，直线相交于点O，平分，平分，，则 ． 10．（24-25九年级下·河南信阳·阶段练习）如图，阳光与水平面成30°角，若要用平面镜使阳光竖直射入井中（物理学中，反射角入射角），则阳光与平面镜的夹角（）为 11．（25-26六年级上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）芳芳从A点出发向北偏东方向走了到达B点，丽丽从A点出发向西偏南方向走了到达C点，那么B、C两点之间的距离是 m． 12．（23-24七年级上·江苏镇江·期末）如图，，以O为圆心，任意长为半径画弧，分别交于点C、D，画射线，以点为圆心，为半径画弧交于点，以点为圆心，长为半径依次画弧，分别交前弧于点，画射线，反向延长，画出的角平分线，则为 （用含的代数式表示） 三、解答题 13．（23-24七年级上·四川达州·期末）李老师到数学王国去散步，刚走到“角”的家门，就听到、、在吵架，说：“我是，我应该最大！”说：“我是37.22°，我应该最大！”．也不甘示弱：“我是37.18°，我应该和∠A一样大！”听到这里，李老师对它们说：“别吵了，你们谁大谁小，由我来作评判！”，你知道李老师是怎样评判的吗？ 14．（24-25六年级上·黑龙江哈尔滨·期末）周末小红一家去动物园玩．根据图回答问题． （1）袋鼠馆在熊猫馆东偏南方向上，距离是（   ）米． （2）鹿园在熊猫馆（   ）偏（   ）方向上，距离是100米． （3）小红一家以50米/分钟的速度从猴山经熊猫馆步行到大象馆，大约需要几分钟？ 15．（21-22七年级下·浙江温州·开学考试）如图，将一副直角三角板的直角顶点叠放在一起． （1）若，则 ； （2）若，则 ； （3）若，求的度数． 16．（24-25七年级下·甘肃武威·期中）如图：中，是的平分线，是的平分线． （1）求的度数； （2）如果题目中，其它条件不变，求的度数； （3）如果题目中（为锐角），其它条件不变，求的度数； （4）从（1）、（2）、（3）的结果中能得到什么结论，请简述理由． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题 4.2 角 目录 一． 知识梳理与题型分类精析 2 知识点（一）角的定义 2 【题型1】角的辨析 2 知识点（二）平角与周角 3 【题型2】平角与周角辨析 3 知识点（三）角的表示方法 5 【题型3】角的表示方法 5 知识点（四）角度制及其换算 8 【题型4】角的换算 8 知识点（五）方位角 10 【题型5】方位角的表示 10 【题型6】方位角的计算 12 知识点（六）钟面角 14 【题型7】求钟面角 14 知识点（六）角的比较 16 【题型7】角的大小比较 16 知识点（七）角的和差 18 【题型8】利用角的和差求角的大小 18 知识点（八）角的平分线 20 【题型9】利用角平分线的定义求角度 20 知识点（九）作一个角等于已知角 22 【题型10】作一个角等于已知角 22 二．同步练习​ 25 【基础巩固（选择题6题、填空题6题、解答题4题）】 25 【能力提升（选择题6题、填空题6题、解答题4题）】 33 1． 知识梳理与题型分类精析 【学习准备】射线有 一个 个端点；向 一个 个方向无限延伸。 知识点（一）角的定义 定义一：由两条具有公共端点的射线组成的图形叫做角。如图1，如图1所示，角的顶点是点，边是射线． 定义二：角也可以看成是由一条射线绕着它的端点旋转而成的。射线旋转时经过的平面部分是角的内部．如图2所示，射线OA绕它的端点O旋转到OB的位置时，形成的图形叫做角，起始位置OA是角的始边，终止位置OB是角的终边． 图1 图2 【题型1】角的辨析 【例题1】（2024七年级上·全国·专题练习）在下列说法中，正确的是（   ） ①两条射线组成的图形叫作角；    ②角的大小与边的长短有关； ③角的两边可以一样长，也可以一长一短；    ④角的两边是两条射线． A．① B．② C．③ D．④ 【答案】D 【分析】本题考查角的定义，根据角的定义，进行判断即可． 解：有公共端点的两条射线组成的图形叫做角；故①错误； 角的大小与边的长短无关；故②错误； 角的两边是两条射线，无法比较长短；故③错误； 角的两边是两条射线．故④正确； 故选：D． 【变式1】（2025七年级下·全国·专题练习）下列图形中，角是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了角的概念，根据角的概念判断即可． 解：根据角的概念“有公共端点的两条射线组成的图形叫作角”判断． 故选：B． 【变式2】（24-25七年级上·全国·单元测试）下列说法错误的是（　　） A．由两条具有公共端点的射线组成的图形就是角 B．角是由始边绕着端点旋转形成的图形 C．角是由两条直线相交形成的图形 D．角的两边是射线 【答案】C 【分析】本题考查了角的定义，由两条具有公共端点的射线组成的图形叫做角，也可以看作由一条射线绕其端点旋转而成的图形，根据定义逐一判断，即可解题． 解：A、由两条具有公共端点的射线组成的图形就是角，正确，不符合题意； B、角是由始边绕着端点旋转形成的图形，正确，不符合题意； C、角是由两条直线相交形成的图形，说法错误，两条相交直线可以形成四个角，符合题意； D、角的两边是射线，正确，不符合题意； 故选：C． 【特别提示】两条射线有公共端点，即角的顶点；角的边是射线；角的大小与角的两边的长短无关． 知识点（二）平角与周角 一条射线绕它的端点旋转，当终边和始边成一条直线时，所成的角叫作平角。终边继续旋转，当它又和始边重合时，所成的角叫作周角。如图3，这样的角 图3 图4 【题型2】平角与周角辨析 【例题2】（2024七年级上·浙江·专题练习）由角的旋转的定义可知，平角的两边成一条直线，能不能说直线就是平角？周角两边重合成同一条射线，能不能说周角就是射线？为什么？ 【答案】见分析 【分析】因为角和线是两个不同的概念，二者不能混淆，并结合周角、平角的特点，进行分析、进而判断即可． 解：平角的特点是两条边成一条直线，不能说直线是平角；周角的特点是两条边重合成射线，但不能说成周角是一条射线． 【点拨】本题主要考查角的概念，熟练各种角的概念是解题的关键． 【变式1】（2024七年级上·全国·专题练习）下列说法中，正确的是（ ） A．一个周角就是一条射线 B．平角是一条直线 C．直角周角 D．周角平角 【答案】D 【分析】本题考查了角的分类，熟练掌握直角、平角、周角的定义是解题的关键：直角：的角，即射线绕点旋转，当终边与始边垂直时所成的角；平角：的角，即射线绕点旋转，当终边在始边的反向延长线上时所成的角；周角：的角，即射线绕点旋转，当终边与始边重合时所成的角． 根据直角、平角、周角的定义逐项分析判断即可． 解：、周角的两边在同一射线上，不是一条射线，该说法错误，故选项不符合题意； 、平角的两边在同一直线上，平角有顶点，而直线没有，该说法错误，故选项不符合题意； 、直角，周角，直角周角，该说法错误，故选项不符合题意； 、周角，平角，周角平角，该说法正确，故选项符合题意； 故选：． 【变式2】（25-26七年级上·全国·课后作业）下列四个图中，对于图形的描述正确的有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】本题考查了角的表示方法、周角和平角的定义以及射线，熟练掌握相关概念是解题关键．根据角的表示方法、周角和平角的定义以及射线的概念逐个判断即可得． 解：第1个图形：表示应该是，则原描述错误； 第2个图形：射线绕点旋转一周形成，符合周角的定义，则原描述正确； 第3个图形：的两边在同一直线上且方向相反，符合平角的定义，则原描述正确； 第4个图形：射线是从点出发向点方向延伸的线，周角是角的一种概念，射线不是周角，则原描述错误； 综上，对于图形的描述正确的有2个， 故选：B． 知识点（三）角的表示方法 角的几何符号用“∠”表示，角的表示法通常有以下四种： 表示方法 基本图形 记法 适用范围 （1）用三个大写字母表示 或 任何情况都适用，表示顶点的字母写在中间 （2）用一个大写字母表示 以某一点为顶点的角只有一个时，可以用顶点表示角 （3）用阿拉伯数字表示 任何情况都适用 （4）用希腊字母表示 任何情况都适用 【题型3】角的表示方法 【例题3】（24-25七年级上·全国·随堂练习）老师提出了以下问题：如图所示，请用恰当的方法表示图中给出的所有角（小于平角的角），某组同学在本组展示区的答案是：，，，，． 思考分析后，分别解答下列问题： （1）有位同学认为答案中有错误，你是否认同他的观点？ _______．（填“认同”或“不认同”） （2）如果你认为有错误，错误的答案为______________． （3）另一位同学认为答案不完整，还有符合要求的角没表示出来，请你将答案修改补充完整，图中还有_________________________________________________． 【答案】（1）认同；（2）；（3），， 【分析】本题主要考查了角的表达方式，即角可以用一个大写字母表示，也可以用三个大写字母表示，其中顶点字母要写在中间，唯有在顶点处只有一个角的情况，才可用顶点处的一个字母来记这个角，角还可以用一个希腊字母或阿拉伯数字表示，熟练掌握角的表达方式是解题关键． （1）根据角的表达方式即可判断表达有错误； （2）根据角的表达方式即可判断表达有错误； （3）根据角的表达方式即可求解． 解：（1）解：其中表达有错误，所以我认同他的观点． 故答案为：认同． （2）解：表达有错误， 故答案为：． （3）解：应改为：，； 图中还有没表示出来． 故答案为：，，． 【变式1】（根据教材125页习题4.2知识技能第1题改编）（2024七年级上·浙江·专题练习）如图，把同一个角用不同的表示方法表示出来，并填入表． 【答案】 【分析】角的表示方法：角可以用一个大写字母表示，也可以用三个大写字母表示．其中顶点字母要写在中间，唯有在顶点处只有一个角的情况，才可用顶点处的一个字母来记这个角． 解：把同一个角用不同的表示方法表示出来，如下表： 故答案为：，，，，． 【点拨】本题考查了角的概念，解决本题的关键是掌握角的表示方法：角可以用一个大写字母表示，也可以用三个大写字母表示．其中顶点字母要写在中间，唯有在顶点处只有一个角的情况，才可用顶点处的一个字母来记这个角． 【变式2】（24-25七年级上·山西太原·阶段练习）下列四个图中，能用，，三种方法表示同一个角的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了角的表示方法，根据角的表示方法并结合图形，逐项分析即可得解，熟练掌握角的表示方法是解此题的关键． 解：A、和表示同一个角，表示不同的角，故不符合题意； B、，，三种方法表示的都是同一个角，故符合题意； C、和表示同一个角，表示不同的角，故不符合题意； D、和表示不同的角，故不符合题意； 故选：B． 【特别提示】用数字或小写希腊字母表示角时，要在靠近角的顶点处加上弧线，且注上阿拉伯数字或小写希腊字母． 知识点（四）角度制及其换算 角的度量单位是度、分、秒，把一个周角平均分成360等份，每一份就是1°的角，1°的为1分，记作“1′”，1′的为1秒，记作“1″”．这种以度、分、秒为单位的角的度量制，叫做角度制． 1周角＝360°，1平角＝180°，1°＝60′，1′＝60″． 【题型4】角的换算 【例题4】（24-25七年级上·全国·课后作业）计算： （1）； （2）； （3）； （4）． 【答案】（1）；（2）；（3）；（4） 【分析】本题考查了度分秒的加、减、乘、除运算，解题的关键在于要注意度分秒是进制． （1）相同单位分别相加，满向上一位进即可； （2）先借化为，再借化为，即化为，然后同一单位分别相减即可； （3）先将每一个单位分别乘以，满的部分向上一位进即可； （4）从度开始计算，余数乘以化成下一个单位继续除以进行计算即可． 解：（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ． 【变式1】（24-25七年级上·全国·课后作业） （1）把化成用度表示的角； （2）把化成用度、分、秒表示的角． 【答案】（1）；（2） 【分析】此题考查了度分秒之间的转化，熟练掌握度分秒的关系是解题的关键． （1）先把分化成度，再加上原来的度数即可； （2）把度化成分，即可得到答案． 解：（1）先把化成度，即，所以． （2）因为，所以，因此． 【变式2】（24-25七年级上·江苏盐城·阶段练习）计算： （1）； （2）； （3）； （4）（结果用“”表示）； 【答案】（1）；（2）；（3）；（4） 【分析】本题主要考查了角度的加、减、乘、除四则运算，熟练掌握角度的进制换算以及四则运算的规则是解题的关键． （1）将度、分、秒分别相加，再按照进制的原则进行进位处理． （2）将度、分、秒分别相减，若分或秒不够减，则按照进制的原则向高位借位． （3）将角度的度、分、秒分别与整数相乘，再按照进制的原则进行进位处理． （4）将角度的度除以整数，得到的商作为度的结果，余数换算为分后再继续除以整数，若还有余数则进一步换算为秒后再除以整数，或者将角度的度、分、秒分别除以整数，对余数部分进行适当的单位换算和进位处理． 解：（1）解： ； （2）解： ； （3）解： （4）解： ． 【特别提示】在进行有关度分秒的计算时，要按级进行，即分别按度、分、秒计算，不够减，不够除的要借位，从高一位借的单位要化为低位的单位后再进行运算，在相乘或相加时，当低位得数大于等于60时要向高一位进位． 知识点（五）方位角 在航行和测绘等工作中，经常要用到表示方向的角．例如，图中射线的方向是北偏东60°；射线的方向是南偏西30°．这里的“北偏东60°”和“南偏西30°”表示方向的角，就叫做方位角． 【题型5】方位角的表示 【例题5】（25-26六年级上·黑龙江绥化·期中）以灯塔为观察点： （1）A岛在 偏 方向上，距离是 千米； （2）B岛在 偏 方向上，距离是 千米． 【答案】 北 东 3 西 南 4 【分析】本题考查方位图，掌握用方位表示位置的方法是解题的关键． 直接根据题干所给的图进行解答即可． 解：由图可知， A岛在北偏东方向上，距离是3千米； B岛在西偏南方向上，距离是4千米； 故答案为： 北，东，，3；西，南，，4． 【变式1】（25-26七年级上·安徽阜阳·开学考试）一架飞机从机场向南偏东方向飞行了，原路返回时要向（   ） A．南偏东方向飞行 B．北偏西方向飞行 C．北偏西方向飞行 D．南偏西方向飞行 【答案】C 【分析】本题考查了方位角，解题的关键是掌握和理解方向的相对性，将方向和距离结合起来描述位置时，要注意三个要素：一是观测点，二是方向，三是距离．根据方向的相对性，南偏东对北偏西，角度和距离不变，进行选择即可． 解：根据分析可知：返回时飞机要按北偏西方向飞行， 故选：C． 【变式2】（25-26七年级上·全国·课后作业）如下图，某轮船上午8：00时位于点A处，测得灯塔S在北偏东的方向上，向东行驶至中午12：00时，该轮船位于点B处，测得灯塔S在北偏西的方向上．请在图中画出灯塔S的位置． 【答案】 【分析】本题考查了方向角的定义，正确画出方位角，再结合三角形的内角和的性质求解． 根据方位角的概念，画图正确表示出方位角即可． 解：灯塔S的位置，如图所示： 【特别提示】 （1）正东，正西，正南，正北4个方向不需要用角度来表示； （2）方位角必须以正北和正南方向作为“基准”，“北偏东60°”一般不说成“东偏北30°”； （3）在同一问题中观察点可能不止一个，在不同的观测点都要画出表示方向的“十字线”，确定其观察点的正东、正西、正南、正北的方向； （4）图中的点O是观测点，所有方向线（射线）都必须以O为端点． 【题型6】方位角的计算 【例题6】（24-25八年级下·河北石家庄·期中）如图，是小明家和学校所在地的简单地图，已知，C为的中点，回答下列问题： （1）图中距小明家距离相同的是哪些地方？ （2）商场、学校、公园、停车场分别在小明家的什么方位？哪两个地方的方位是相同的？ （3）若学校距离小明家，那么商场和停车场分别距离小明家多少米？ 【答案】（1）学校和公园；（2）商场在小明家北偏西方向上，学校在小明家北偏东方向上，公园在小明家南偏东方向上，停车场在小明家南偏东方向上；公园和停车场的方位相同；（3）； 【分析】本题主要考查了用方位角和距离确定位置，正确读懂图示是解题的关键． （1）求出的长，得到即可得到答案； （2）根据图示结合方位角的表示方法求解即可； （3）根据题意可知地图上表示实际，据此列式求解即可． 解：（1）解：∵C为的中点，， ∴， ∴， ∴图中距小明家距离相同的是学校和公园； （2）解：由题意得，商场在小明家北偏西方向上， 学校在小明家北偏东方向上， 公园在小明家南偏东方向上， 停车场在小明家南偏东方向上， ∴公园和停车场的方位相同． （3）解：∵学校距离小明家， ∴商场距离小明家，停车场距离小明家． 【变式1】（25-26八年级上·湖北荆州·阶段练习）如图，一艘轮船在海上由西往东行驶，在处测得灯塔位于北偏东方向，在处测得灯塔位于北偏东方向，则的度数是（   ）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查方向角，理解方向角的定义以及三角形内角和定理是解决问题的关键． 根据方向角的定义，求出、，再根据三角形的内角和定理求出结果即可． 解：由方向角的定义可知，，， ． 故选：B． 【变式2】（25-26七年级上·全国·课后作业）如图，请你为游客介绍动物园和迷宫所在的方位．动物园在大门的 方向上，迷宫在大门的 方向上． 【答案】 北偏东 北偏东 【分析】本题考查了方位角的知识，掌握方位角的定义以及角度的计算方法是解题的关键． 本题需要根据方位角的定义，结合图中给出的角度信息，确定动物园和迷宫相对于大门的方位． 解：①动物园：从图中可知，其在大门北偏东方向． ②迷宫：∵动物园北偏东，迷宫与动物园的夹角为 ∴从正北到迷宫的角度为 即在大门北偏东方向． 知识点（六）钟面角 钟面角定义：时钟的钟面上，时针和分针在某一时刻所形成的夹角。 分针：60 分钟转 360°，每分钟转 6°； 时针：12 小时转 360°，每小时转 30°，每分钟转 0.5°． 【题型7】求钟面角 【例题7】（根据教材125页习题4.2知识技能第8题改编）（25-26七年级上·全国·课后作业）（1）如图，分别确定四个城市相应钟表上时针与分针所成较小角的度数． （2）每经过，时针转过多少度？每经过，分针转过多少度？ （3）上午10:10时，时针与分针所成的较小角是多少度？ 【答案】（1）巴黎：60°；伦敦：30°；北京：120°；东京：90° （2）每经过，时针转过；每经过，分针转过 （3） 【分析】（1）根据时针与分针相距的份数乘以每份的度数，可得答案； （2）根据时针小时旋转，可得时针的旋转速度；根据分针分钟旋转，可得分针的旋转角度； （3）根据时针与分针相距的份数乘以每份的度数，可得答案． 解：（1）巴黎时间时针与分针的夹角是； 伦敦时间时针与分针的夹角是； 北京时间时针与分针的夹角是； 东京时间时针与分针的夹角是； ∴巴黎：；伦敦：；北京：；东京：． （2）每经过，时针转过；每经过，分针转过． （3）上午10:10时，此时分针指向时钟刻度“2”，时针指向时钟刻度“10”偏右一点点． 分针与时钟刻度“12”所成的较小角是， 时针与时钟刻度“12”所成的较小角是． 故此时时针与分针所成的较小角是． 【点睛】本题考查了钟面角，利用时针与分针相距的份数乘以每份的度数，确定时针与分针相距的份数是解题关键． 【变式1】（25-26七年级上·山东济南·期中）当时钟指针指向3点40分时，分针与时针的夹角是（    ）度． A．120 B．130 C．140 D．150 【答案】B 【分析】本题主要考查了钟面角、绝对值、角的和差等知识点，确定时针和分针在3点40分时的角度位置是解题的关键． 先确定时针和分针在3点40分时的角度位置，求其差值的绝对值，并取小于180度的角即可解答． 解：∵ 时针每分钟移动度，分针每分钟移动6度， ∴ 在3点40分时，时针角度度，分针角度度． ∴ 两针夹角度． 故选B． 【变式2】（23-24七年级上·陕西西安·开学考试）当一个挂钟走到4时12分的时候，时针与分针所成的较小的夹角是 度． 【答案】54 【分析】本题考查了钟面角．根据钟表有12个大格，每个大格是，时间为4时12分，分针指在2到3之间，时针在4到5之间，从而可以解答本题． 解：4时12分，时针从12点位置起旋转过的角度为： ， 分针从12点位置起旋转过的角度为， 所以4时12分时，时针与分针的夹角为． 故答案为：54． 知识点（六）角的比较 角的大小比较与线段的大小比较相类似，方法有两种． 方法1：度量比较法．先用量角器量出角的度数，然后比较它们的大小． 方法2：叠合比较法．把其中的一个角移到另一个角上作比较． 如比较和的大小： 如下图，由图（1）可得；由图（2）可得；由图（3）可得． 【题型7】角的大小比较 【例题7】（24-25七年级上·全国·课后作业）观察下面图形，图中共有3个角，它们之间有什么关系？（请用和差表示） 【分析】本题主要考查了角的关系，根据图中各个角之间的关系，进行解答即可． 解：根据图形可知：； ； ． 【变式1】（24-25七年级上·甘肃张掖·阶段练习）如图，点为内部一点，连接，关于角的描述错误的是（   ） A．与表示同一个角 B． C．表示 D．小于 【答案】D 【分析】本题考查角的概念，结合图形并根据角的概念即可求出答案．解题的关键是正确理解角的表示方法． 解：A．与表示同一个角，故此选项不符合题意； B．如图，，故此选项不符合题意； C．表示，故此选项不符合题意； D．如图，，则大于，故此选项符合题意． 故选：D． 【变式2】（2024七年级上·全国·专题练习）比较图中、的大小： ．（填“>”“<”或“=”） 【答案】< 【分析】本题考查了角的大小比较．根据两角不重合的边的位置，判断得结论． 解：∵和是公共边，在的内部， ∴． 故答案为：<． 知识点（七）角的和差 如图所示，是与的和，记作：；是与的差，记作：． 【题型8】利用角的和差求角的大小 【例题8】（24-25七年级上·全国·课后作业）如图，已知．求的度数．（分射线在内部和外部两种情形） 【答案】或 【分析】本题需要分射线在内部和外部两种情况，根据角的和差关系来计算的度数． 解：当射线在内部时： 根据角的和差关系： 已知 ． 当射线在外部时： 根据角的和差关系： 已知 ． 综上所述，的度数为或． 【点拨】本题考查了角的和差计算，掌握分情况讨论射线的位置，根据角的和差关系计算角的度数是解题的关键． 【变式1】（23-24七年级下·全国·单元测试）如图所示，若，则的度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了角的关系，掌握利用角的和差关系计算未知角的度数是解题的关键． 本题根据角的和差关系定理，得到，从而解决求度数的问题． 解：∵， ∴， ∴． 故选：C． 【变式2】（25-26七年级上·全国·课后作业）如图，已知，求的度数． 【答案】 【分析】根据角的计算得出，进而解答即可． 解：因为 所以 又因为，所以 所以 【点拨】本题考查了结合图形中角度的计算，解决问题的关键是熟练掌握图形中各角之间的关系． 知识点（八）角的平分线 从一个角的顶点引出的一条射线,把这个角分成两个相等的角,这条射线叫作这个角的平分线。如图所示，是的角平分线，，. 【题型9】利用角平分线的定义求角度 【例题9】（25-26七年级上·全国·期末）如图，是直线上一点，，平分，． （1）求的度数； （2）是否平分?并说明理由． 【答案】（1）；（2）平分，理由见分析 【分析】本题考查角的和差，角平分线的定义，垂直的定义． （1）根据角平分线的定义可求出，进而根据即可求解； （2）根据角的和差求得，即可解答． 解：（1）解：∵平分，， ∴ ， ∵， ∴； （2）解：平分，理由如下： 理由：∵，， ∴， ∴， ∴平分． 【变式1】（24-25七年级上·四川资阳·开学考试）如图，，过点在角内部引一射线，是的平分线，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了角的和差，角平分线的定义，解题的关键是掌握角平分线的定义． 利用角的和差求出，再利用角平分线的定义求出，最后利用角的和差即可求解． 解：根据题意得，， ∵是的平分线， ， ∴， 故选：C． 【变式2】（24-25七年级上·陕西西安·期末）如图，在中，射线平分，连接，射线平分． （1）若是直角，，求的度数； （2）若，，则是多少度？ 【答案】（1）；（2） 【分析】本题考查与角平分线有关的计算，找准角之间的和差关系是解题的关键： （1）根据直角结合角的和差关系得到的度数，角平分线求出的度数，再根据角的和差关系进行求解即可； （2）根据角平分线和角的和差关系推出，即可得出结果． 解：（1）解：∵是直角， ∴， ∴， ∵射线平分，射线平分， ∴，， ∴； （2）∵射线平分，射线平分， ∴，， ∵， ∴，即：， ∴． 【特别提示】由角平分线的概念产生的合情推理其思维框架与线段中点的思维框架一样． 知识点（九）作一个角等于已知角 作图步骤： 1． 作一条射线； 2． 以已知角的顶点为圆心，以任意长为半径作弧，交角的两边于两点； 3． 以射线端点为圆心，相同长为半径作弧，交射线于一点，以此点为圆心，已知角两交点长为半径画弧，与前弧交于一点， 4． 过此点和以射线的端点为端点作射线， 这样就求得了我们要求的角。 【题型10】作一个角等于已知角 【例题10】（25-26八年级上·湖南·阶段练习）如图，点C在的边上，小明用尺规作出了．他写出了以下作图过程：①以C为圆心，长为半径画，交于点M；②作射线，则；③以M为圆心，长为半径画弧，交于点D；④以O为圆心，任意长为半径画，分别交于点E，F．但他写的顺序排乱了，请你帮他确定正确的顺序是 ．（填序号即可） 【答案】④①③② 【分析】本题考查作图—基本作图，熟练掌握作一个角等于已知角的方法是解答本题的关键． 根据作一个角等于已知角的作图方法可得答案． 解：由题意知，正确的顺序是： ④以O为圆心，任意长为半径画，分别交于点E，F ①以C为圆心，长为半径画，交于点M； ③以M为圆心，长为半径画弧，交于点D； ②作射线，则． 故答案为：④①③②． 【变式1】（25-26八年级上·山东济宁·阶段练习）作图与计算． （1）已知：，（图（1）、图（2））． 求作：在图（2）中，以为一边，在的内部作（要求：用直尺和圆规作图，不写作法，保留作图痕迹）． （2）在图（2）中过点引射线，且，，求的度数． 【答案】（1）见分析；（2）或 【分析】本题考查了基本作图，作一个角等于已知角，角的计算，掌握分类讨论思想是解题的关键． （1）以的顶点为圆心，以任意长为半径画弧，与角的两边相交于、．以为圆心，以为半径画弧，与角的两边相交于、，然后以为圆心，以为半径画弧，两弧相交于点，过、作射线即可得到； （2）分两种情况讨论：①当在内部时，②当在外部时；画出图形，根据角的和差代入数据计算即可得解． 解：（1）解：如图所示： 就是所求的角． （2）解：分两种情况讨论： 当在内部时，如图， ，， ； 当在外部时，如图， ，， ． 【变式2】（25-26八年级上·全国·期中）如图所示的尺规作图是：分别以线段的端点为圆心，以小于长为半径画弧，分别交射线和线段于点C、D、E，再以点E为圆心．以长为半径画弧．交前面的弧于点F、画射线，分别以点E，F为圆心，以大于 长为半径画弧，两弧交于点C．画射线．若则 的度数为 【答案】/40度 【分析】本题考查尺规作图：作一个角等于已知角，作角的平分线．由作图过程可知，，进而即可求解． 解：根据作图过程，可知，， ， ， 故答案为：． 【特别提示】由角平分线的概念产生的合情推理其思维框架与线段中点的思维框架一样． 二．同步练习​ 【基础巩固（选择题6题、填空题6题、解答题4题）】 一、单选题 1．（25-26七年级上·北京·阶段练习）用一个能放大100倍的放大镜看一个的角，这个角的度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了角的性质，熟练掌握角的性质是解题的关键．根据角的大小与角的两边的长短粗细无关，是定值，度数不变，解答即可． 解：角的大小与角的两边的长短粗细无关，是定值，度数不变，因此用一个能放大100倍的放大镜看一个的角，这个角的度数仍然是． 故选：A． 2．（25-26七年级上·全国·课后作业）下列各角是锐角的是（   ） A．周角 B．平角 C．平角 D．直角 【答案】D 【分析】本题需要先明确周角、平角、直角的度数，然后分别计算每个选项所对应的角的度数，再根据锐角的定义来判断哪个选项是锐角． 解：周角的度数是，平角的度数是，直角的度数是； A、周角的度数为，是直角，不是锐角； B、平角的度数为，是钝角，不是锐角； C、平角的度数为，是直角，不是锐角； D、直角的度数为，大于且小于，是锐角． 故选：D． 【点拨】本题考查了角的分类以及周角、平角、直角的度数，掌握周角、平角、直角的度数，计算出各选项角的度数，再根据锐角定义判断是解题的关键． 3．（24-25七年级上·甘肃兰州·期末）在灯塔 O处观测到轮船A位于北偏西 的方向，同时轮船B在南偏东的方向，则的大小为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】此题主要考查了方向角，关键是掌握方向角以正南或正北方向作方位角的始边，另一边则表示对象所处的方向的射线．首先根据题意可得，再根据题意可得，然后再根据角的和差关系可得答案． 解：∵在灯塔O处观测到轮船A位于北偏西的方向， ∴， ∴， ∵轮船B在南偏东的方向， ∴， ∴． 故选：C． 4．（25-26七年级上·福建福州·开学考试）用一条线段表示，把它平均分成9份（如图）．线段上与度数最接近的点的序号是（   ）． A．① B．② C．③ D．④ 【答案】D 【分析】本题主要考查角的估算与分类，先计算出每份是，再估算出序号①②③④表示的度数即可解决问题． 解：， 因此①表示的度数为，②表示的度数为；③表示的度数为；④表示的度数为， 而是钝角，其度数与④表示的度数相近， 故选：D． 5．（24-25七年级上·江苏镇江·期末）如图，，若图中所有锐角之和为，则为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了角度的运算，熟练掌握角度之间的关系是解题关键； 先找出图中所有的锐角，然后利用锐角之和为列出方程，解方程即可． 解：图中的锐角有：，，，，，， ∵，且图中所有锐角之和为， ∴， 故， 故选：B． 6．（25-26八年级上·山东滨州·阶段练习）如图，直线相交于点，射线平分，是直角．若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了角平分线的定义，解决本题的关键在正确找出角的关系．根据角平分线的定义，得出，再根据题意，得出，然后再根据角的关系，计算即可得出的度数． 解：∵射线平分，， ∴， ∵是直角 ∴， ∴． 故选：C． 二、填空题 7．（24-25七年级上·全国·课后作业）如图，射线表示的方向是 ． 【答案】北偏东/被骗到30度 【分析】本题考查的是方向角的含义，掌握方向角的定义是解本题的关键．由方向角的定义即可得出结论． 解：射线表示的方向是北偏东． 故答案为：北偏东． 8．（2025七年级上·全国·专题练习）若，则 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了度分秒的转换及运算，进行角度的加减运算时，同单位相加减，即度与度相加减、分与分相加减、秒与秒相加减． 解： ． 故答案为：． 9．（24-25七年级上·全国·课后作业）如图， （填“＞”“＝”或“＜”）；若 ，则平分． 【答案】 ＞ 【分析】本题主要考查了角的定义、角平分线的定义等知识点，掌握角的定义以及角平分线的定义成为解题的关键． 利用已知图形结合角平分线的定义即可解答． 解：由图象可得：， 若，则平分． 故答案为：＞，． 10．（21-22七年级下·辽宁大连·开学考试）如图，，，是的平分线，则 度． 【答案】 【分析】本题考查了角平分线的定义、角的和与差，根据角平分线的定义可知：，根据图形中角的位置关系可知：． 解：，是的平分线， ， 故答案为：． 11．（24-25七年级下·四川成都·期末）如图，已知，以点为圆心，任意长度为半径画弧，分别交、于点、，再以点为圆心，的长为半径画弧，交前弧于点，画射线．若，则的度数为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了基本的尺规作图—作相等的角，解题的关键是熟练掌握作相等角的步骤． 根据尺规作图的步骤得出，即可求解． 解：通过尺规作图可知， ， 又， ， ∴， 故答案为：． 12．（24-25七年级上·江苏泰州·阶段练习）如图，已知，平分，且，则的度数为 ． 【答案】20 【分析】本题考查了角平分线的定义，角度的和差计算，正确运用角平分线推理论证进行角度的和差计算是解题的关键．根据角平分线的定义求出的度数，根据可求出的度数，即可求解． 解：∵，平分，且， ∴，， ∴， 故答案为：20． 三、解答题 13．（24-25七年级上·贵州贵阳·阶段练习）计算： （1）； （2）． 【答案】（1）；（2） 【分析】本题主要考查了角的四则运算法则，熟练掌握角的四则运算法则是解题关键． （1）根据角的四则运算法则求解即可； （2）根据角的四则运算法则求解即可． 解：（1）解： ； （2）解： ． 14．（24-25六年级下·全国·单元测试）考点办公室设在校园中心O点，带队老师休息室A位于O点的北偏东，某考室B位于O点南偏东，请在图中画出射线，并计算的度数． 【答案】图见分析， 【分析】本题主要考查了方向角，角的和差，解题的关键是掌握方向角的定义和角的和差的计算． 根据方向角的定义画出射线，然后根据角的和差进行求解即可． 解：如图，射线即为所求， ∵， ∴． 15．（24-25七年级上·全国·课后作业）如图，OB是的平分线，OC是的平分线，与有怎样的数量关系？ 【答案】 【分析】设，由题意可得，，则与的数量关系可一目了然． 解：设， 是的平分线， ， 是的平分线， ， ． 【点拨】本题考查的是角平分线的定义，用含有一个字母的代数式表示出两个角度，观察两个代数式之间的数量关系即可得出两个角度之间的数量关系． 16．（24-25七年级下·河北廊坊·阶段练习）已知直线与直线交于点O，过点O作． （1）如图1，为内的一条射线，若，求证：． （2）如图2，若，求的度数． 【答案】（1）见分析；（2） 【分析】本题考查几何图形中角度的计算，找准角度之间的和差关系，是解题的关键： （1）由垂直的定义得到，得到，进而推出，得到，即可证明； （2）平角的定义，求出，由垂直的定义得到，即可求出的度数． 解：（1）证明：∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； （2）解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 【能力提升（选择题6题、填空题6题、解答题4题）】 一、单选题 1．（24-25七年级上·全国·单元测试）下列说法错误的是（　　） A．角是由两条有公共端点的射线组成的图形 B．周角的一半叫平角 C．可转化为 D．直线是平角 【答案】D 【分析】本题考查了角的相关概念及度分秒的换算，熟练掌握角的相关概念及度分秒的换算是解题的关键．根据角的相关概念及度分秒的换算逐项分析判断，即可判断答案． 解：A、角是由有公共端点的两条射线组成的图形，此说法正确，不符合题意； B、周角的一半是平角，此说法正确，不符合题意； C、，所以此说法正确，不符合题意； D、直线不是平角，此说法不正确，符合题意． 故选D． 2．（24-25七年级上·四川自贡·期末）若，则下面说法正确的是（　　） A． B． C． D．互不相等 【答案】C 【分析】本题主要考查度分秒的换算，熟练掌握度分秒的换算规则是解题的关键．将进行换算，即可得到答案． 解：， 故， 故选C． 3．（24-25七年级上·山东枣庄·阶段练习）如图，一个直角三角板绕其直角顶点C旋转到三角形的位置，若，下列结论错误的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了角的计算，依据题意可知，然后依据图形间角的和差关系求解即可，掌握图形间角的和差关系是解题的关键． 解：、∵，， ∴，原选项不符合题意； 、∵，， ∴， ∴，原选项不符合题意； 、由，原选项符合题意； 、由，原选项不符合题意； 故选：． 4．（24-25七年级上·吉林松原·期末）如图，若、是的三等分线，且，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了角平分线的有关计算和度分秒的换算，熟记概念并准确识图是解题的关键． 根据三等分线的定义可得，进而求得的度数，再根据即可求解． 解： 、是的三等分线， ， ， ， ； 故答案为：D 5．（19-20六年级下·黑龙江哈尔滨·期末）如图，交于点O，平分，若，则等于（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了邻补角定义，以及角平分线定义．根据平角、角平分线定义求得，结合求出，利用平角的定义求解，即可解题． 解：∵平分，且， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选：B． 6．（24-25七年级上·四川成都·期末）如图，点在的边上，用尺规作出了．以下作图过程正确的顺序是（    ） ①以为圆心，长为半径画，交于点． ②作射线，则． ③以为圆心，EF长为半径画弧，交于点． ④以为圆心，任意长为半径画，分别交于点E，F A．①-②-③-④ B．③-②-④-① C．④-③-①-② D．④-①-③-② 【答案】D 【分析】本题考查了作图基本作图，根据作一个角等于已知角的作法即可得出结论．熟记作一个角等于已知角的作法是解题的关键． 解：作图过程正确的顺序是：④以为圆心，任意长为半径画，分别交，于点，； ①以为圆心，长为半径画，交于点； ③以为圆心，长为半径画弧，交于点； ②作射线，则， 故正确的顺序是④①③②， 故选：D． 二、填空题 7．（20-21七年级上·辽宁·期末） ′ ″， 【答案】 【分析】此题考查了角度间的换算，解题的关键熟练掌握度、分、秒之间是进制关系，将高级单位化为低级单位时，乘以进率，反之，将低级单位转化为高级单位时除以进率． 度化成分，乘以进率60；度分表示的化成度表示，则先把分除以进率，再加上度即可， 解：，， 故答案为：，，． 8．（24-25七年级上·江苏淮安·期末）如图所示的正方形网格中，点、、是格点，则 ．（填“”，“”或“”） 【答案】 【分析】本题考查了角的大小比较，熟练掌握网格特点和角的大小比较是解题关键．如图（见分析），根据网格特点可得，，，由此即可得． 解：如图，由网格可知，，，， 则， 故答案为：． 9．（25-26七年级上·黑龙江绥化·阶段练习）如图，直线相交于点O，平分，平分，，则 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了几何图形中角度的计算，角平分线的定义，设，则由角平分线的定义得，根据平角的定义可建立方程求出，进而由平角的定义求出的度数，再由角平分线的定义和角的和差关系求出的度数即可得到答案． 解：设， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 10．（24-25九年级下·河南信阳·阶段练习）如图，阳光与水平面成30°角，若要用平面镜使阳光竖直射入井中（物理学中，反射角入射角），则阳光与平面镜的夹角（）为 【答案】 【分析】本题考查了角的计算，根据光的反射定律内容即可求解，掌握相关知识是解题的关键． 解：补上反射光线如图： 由题意可知，， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 11．（25-26六年级上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）芳芳从A点出发向北偏东方向走了到达B点，丽丽从A点出发向西偏南方向走了到达C点，那么B、C两点之间的距离是 m． 【答案】90 【分析】本题考查了方位角，线段的和差，角的和差，由方位角的定义得，，由角的和差得 ，可得C、A、B三点在同一条直线上，由线段的和差即可求解；理解方位角，会判断三点共线时是解题的关键． 解：如图， 根据题意，得，，，，， ∴， ∴C、A、B三点在同一条直线上， ∴， 即B、C两点之间的距离是， 故答案为：90． 12．（23-24七年级上·江苏镇江·期末）如图，，以O为圆心，任意长为半径画弧，分别交于点C、D，画射线，以点为圆心，为半径画弧交于点，以点为圆心，长为半径依次画弧，分别交前弧于点，画射线，反向延长，画出的角平分线，则为 （用含的代数式表示） 【答案】 【分析】本题考查了作一个角等于已知角，角平分线的性质，以及角的运算，根据题意可知，推出，根据角平分线的性质，即可得到 解：由题可知，， ， 为的角平分线， ， 故答案为： 三、解答题 13．（23-24七年级上·四川达州·期末）李老师到数学王国去散步，刚走到“角”的家门，就听到、、在吵架，说：“我是，我应该最大！”说：“我是37.22°，我应该最大！”．也不甘示弱：“我是37.18°，我应该和∠A一样大！”听到这里，李老师对它们说：“别吵了，你们谁大谁小，由我来作评判！”，你知道李老师是怎样评判的吗？ 【答案】 【分析】本题考查了度分秒的换算和角的大小比较，关键是统一单位，再进行大小的比较．根据度、分、秒的换算1度分，即，1分秒，即．将，，的单位统一，再进行大小的比较． 解：∵， ，， ∴，即最大，14．（24-25六年级上·黑龙江哈尔滨·期末）周末小红一家去动物园玩．根据图回答问题． （1）袋鼠馆在熊猫馆东偏南方向上，距离是（   ）米． （2）鹿园在熊猫馆（   ）偏（   ）方向上，距离是100米． （3）小红一家以50米/分钟的速度从猴山经熊猫馆步行到大象馆，大约需要几分钟？ 【答案】（1）150；（2）西，北，；（3）7分钟 【分析】本题考查的是位置与方向，明确上北、下南、左西和右东的位置关系是解题的关键； （1）根据示意图可知，每个单位长度表示的是50米，然后确定方向和角度，再计算出距离即可解答； （2）根据图中的方向和角度即可解答； （3） 先用乘法算出猴山到熊猫馆和熊猫馆到大象馆的距离，然后用加法求出总路程，再根据时间路程速度即可解答． 解：（1）解：由图可知，每个单位长度表示的是50米，袋鼠馆到熊猫馆有3个单位长度， 所以，距离是米， 故答案为：150； （2）解：有图可知，鹿园在熊猫馆西偏北方向上，距离是100米， 故答案为：西，北，； （3）解：猴山到熊猫馆，有4个单位长度，熊猫馆到大象馆有4个单位长度， 所以，（分钟）． 15．（21-22七年级下·浙江温州·开学考试）如图，将一副直角三角板的直角顶点叠放在一起． （1）若，则 ； （2）若，则 ； （3）若，求的度数． 【答案】（1）；（2）；（3）． 【分析】本题主要考查了角的运算． （1）根据和，可以求出，再根据即可求出结果； （2）根据和，即可求出，再根据，即可求出的度数； （3）设，，又因为，即可得到：，因为，即可得到，解方程求出的值，即可得到的度数． 解：（1）解：由题意得，， ， ， ， 故答案为：； （2）解：由题意得，， ， ， ， 故答案为：； （3）解：， 设，， 由题意得，， ， ， ， 解得：， ． 16．（24-25七年级下·甘肃武威·期中）如图：中，是的平分线，是的平分线． （1）求的度数； （2）如果题目中，其它条件不变，求的度数； （3）如果题目中（为锐角），其它条件不变，求的度数； （4）从（1）、（2）、（3）的结果中能得到什么结论，请简述理由． 【答案】（1）；（2）；（3）；（4） 【分析】本题考查角平分线的定义以及角的和差运算，解题关键是根据角平分线的性质，将所求角转化为与已知角、相关的角的和差，再进行计算． （1）先求的度数：，再根据角平分线的定义求和的度数：、，最后求的度数：； （2）先求的度数：，再根据角平分线的定义求和的度数：、，最后求的度数：； （3）先求的度数：，再根据角平分线的定义求和的度数：、，最后求的度数：； （4）先求的度数：，再根据角平分线的定义求和的度数：、，最后求的度数：； 解：（1）解： 是的平分线，是的平分线， ，， （2）解：，， 是的平分线，是的平分线， ，， ． （3）解：，， 是的平分线，是的平分线， ，， ． （4），理由如下： ， 是的平分线，是的平分线， ，， ． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $