精品解析：青海省西宁市大通县2025-2026学年高三上学期期中考试数学试卷

青海省大通县教学研究室2026届高三第一学期期中考试数学 考生注意： 1．本试卷分选择题和非选择题两部分．满分150分，考试时间120分钟． 2．答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚． 3．考生作答时，请将答案答在答题卡上．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效． 4．本卷命题范围：高考范围． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 2. 若复数满足，则复数（ ） A. B. 3 C. D. 3. 函数的定义域是（ ） A. B. C. D. 4. 设向量，若，则（ ） A. 2 B. 1 C. D. 0 5. 已知函数图象的一条对称轴是直线，则的值为（ ） A. B. C. D. 6. 2025年10月西宁市大通回族土族自治县首次全面摸清野生动物资源“家底”，标志着生物多样性保护进入科学化、精细化新阶段．某校野生动物兴趣小组在野生动物宣传周后合影留念，2名指导老师和5名学生排成一排照相留念，若2位老师相邻，则不同的排法共有（ ） A. 5040种 B. 1440种 C. 720种 D. 360种 7. 已知，，则（ ） A. B. C. D. 8. 棱长均为2的正三棱柱的各个顶点都在球的球面上，则球的体积为（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 影响植物产量的因素很多，其中株高对产量有一定的影响.经调查某种植物的株高（单位：）近似地服从正态分布，若，则（ ） A. B. C. D. 10. 下列函数中，在区间上单调递减的是（ ） A. B. C. D. 11. 已知双曲线的左、右焦点分别为，，是上一点，且，，则（ ） A. B. 的离心率为 C. 的面积为 D. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 不等式的解集为___________．（结果用区间表示） 13. 已知椭圆，若，则的离心率为___________． 14. 在平面四边形中，，且，则__________． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 为了解某校学生每天进行体育运动的时间，从中抽取男、女生共100人进行问卷调查．将样本中的“男生”和“女生”按每天体育运动的时间（单位：分钟）各分为5组：，，经统计得下表： 男生 [30，40） [40，50） [50，60） [60，70） [70，80） 人数 4 5 27 21 3 女生 [30，40） [40，50） [50，60） [60，70） [70，80） 人数 3 13 16 6 2 若体育运动的时间不少于一小时，则被认定为“喜欢体育运动”，否则被认定为“不喜欢体育运动”． （1）根据以上数据完成列联表； 喜欢体育运动 不喜欢体育运动 合计 男 女 合计 （2）依据小概率值的独立性检验，能否认为是否喜欢体育运动与性别有关联？ 参考公式：，其中． 附： 0.1 0.05 0.01 0.005 0.001 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 16. 已知等比数列的前项和为，且． （1）求数列的通项公式； （2）若，求数列的前项和． 17. 设抛物线的焦点为，过的直线与交于A，B两点. （1）求的准线方程； （2）设为准线上一点，且，求. 18. 如图，直三棱柱中，，，，是的中点，，分别是棱，上的点，. （1）证明：平面； （2）求平面和平面所成的二面角的正弦值. 19. 已知函数，． （1）若，求曲线在处的切线方程； （2）讨论的单调性； （3）已知，若的两个极值点为，求的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 青海省大通县教学研究室2026届高三第一学期期中考试数学 考生注意： 1．本试卷分选择题和非选择题两部分．满分150分，考试时间120分钟． 2．答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚． 3．考生作答时，请将答案答在答题卡上．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效． 4．本卷命题范围：高考范围． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据交集的运算求解. 【详解】因为， 所以. 故选：A 2. 若复数满足，则复数（ ） A. B. 3 C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用复数的乘法运算法则求解即可. 【详解】． 故选：B． 3. 函数的定义域是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据根式和分式的性质即可求解. 【详解】定义域需满足： 所以定义域为 . 故选：C 4. 设向量，若，则（ ） A. 2 B. 1 C. D. 0 【答案】C 【解析】 【分析】根据共线向量的坐标表示，列出方程，即可求解. 【详解】因为向量， 由，可得，解得. 故选：C. 5. 已知函数图象的一条对称轴是直线，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由正弦函数的对称轴求解即可. 【详解】令，则， 又，所以当时，．结合选项，A，B，C中的数值取不到， 故选：D． 6. 2025年10月西宁市大通回族土族自治县首次全面摸清野生动物资源“家底”，标志着生物多样性保护进入科学化、精细化新阶段．某校野生动物兴趣小组在野生动物宣传周后合影留念，2名指导老师和5名学生排成一排照相留念，若2位老师相邻，则不同的排法共有（ ） A. 5040种 B. 1440种 C. 720种 D. 360种 【答案】B 【解析】 【分析】利用捆绑法即可求解. 【详解】先将2位老师看作一个整体与5名学生全排，有种，2位老师自身排有种，所以2位老师相邻时不同的排法共有种． 故选 ：B． 7. 已知，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据同角三角函数基本关系及正切二倍角公式计算即可求解. 【详解】由，，得，， 所以. 故选：B. 8. 棱长均为2的正三棱柱的各个顶点都在球的球面上，则球的体积为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】设的外接圆的半径为，正三棱柱的外接球的半径为，根据正弦定理和球的截面的性质，分别求得和的值，结合球的体积公式，即可求解. 【详解】如图所示，因为正三棱柱的底面是边长为的等边三角形， 设的外接圆的半径为，正三棱柱的外接球的半径为， 可得，则， 所以正三棱柱外接球的体积为. 故选：D 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 影响植物产量的因素很多，其中株高对产量有一定的影响.经调查某种植物的株高（单位：）近似地服从正态分布，若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】AD 【解析】 【分析】设，则，根据正态分布的对称性得，结合选项即可判断. 【详解】设，则， 由服从正态分布得， 所以，故AD正确，BC错误. 故选：AD. 10. 下列函数中，在区间上单调递减的是（ ） A. B. C. D. 【答案】AD 【解析】 【分析】根据复合函数规律：同增异减，即可判断BCD；去掉绝对值符号后可判断A的正误. 【详解】对于A，函数所以在上单调递减，故A正确； 对于B，函数在上单调递增，函数在上单调递增， 所以函数在上单调递增，故B错误； 对于C，函数在上单调递增，函数在上单调递增， 所以函数在上单调递增，故C错误； 对于D，函数在上单调递减，函数在上单调递增， 所以函数在上单调递减，故D正确. 故选：AD. 11. 已知双曲线的左、右焦点分别为，，是上一点，且，，则（ ） A. B. 的离心率为 C. 的面积为 D. 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据双曲线的定义、标准方程和几何性质，结合选项计算依次判断即可. 【详解】A：因为，解得，故A正确； B：双曲线，所以， 的离心率，故B错误； C：因为，所以， 则的面积为，故C正确； D：所以，所以，故D正确. 故选：ACD. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 不等式的解集为___________．（结果用区间表示） 【答案】 【解析】 【分析】根据一元二次不等式的解法求解. 【详解】由，得，解得， 所以不等式的解集为． 故答案为： 13. 已知椭圆，若，则的离心率为___________． 【答案】 【解析】 【分析】利用椭圆的离心率公式求解即可. 【详解】椭圆的离心率． 故答案为： 14. 在平面四边形中，，且，则__________． 【答案】 【解析】 【分析】在三角形中，由余弦定理求得，再通过三角形中，由正弦定理即可求解. 【详解】 因为，可得：， 又，所以， 在三角形中，由余弦定理可得： ， 所以， 又， ， 在三角形中，由正弦定理可得： 即 所以， 展开可得： 即 即， 即，， 所以， 故答案为： 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 为了解某校学生每天进行体育运动的时间，从中抽取男、女生共100人进行问卷调查．将样本中的“男生”和“女生”按每天体育运动的时间（单位：分钟）各分为5组：，，经统计得下表： 男生 [30，40） [40，50） [50，60） [60，70） [70，80） 人数 4 5 27 21 3 女生 [30，40） [40，50） [50，60） [60，70） [70，80） 人数 3 13 16 6 2 若体育运动的时间不少于一小时，则被认定为“喜欢体育运动”，否则被认定为“不喜欢体育运动”． （1）根据以上数据完成列联表； 喜欢体育运动 不喜欢体育运动 合计 男 女 合计 （2）依据小概率值的独立性检验，能否认为是否喜欢体育运动与性别有关联？ 参考公式：，其中． 附： 0.1 0.05 0.01 0.005 0.001 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 【答案】（1）答案见解析 （2）认为是否喜欢体育运动与性别有关联． 【解析】 【分析】（1）根据题意列联表；（2）计算的值，作出判断. 【小问1详解】 2×2列联表如下： 喜欢体育运动 不喜欢体育运动 合计 男 24 36 60 女 8 32 40 合计 32 68 100 【小问2详解】零假设为：是否喜欢体育运动与性别无关联. 根据列联表可得 根据小概率值的独立性检验，我们推断不成立，即认为是否喜欢体育运动与性别有关联． 16. 已知等比数列的前项和为，且． （1）求数列的通项公式； （2）若，求数列的前项和． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）设的公比为，根据等比数列通项公式和求和公式求解即可； （2）利用裂项相消即可求解. 【小问1详解】 设的公比为，由，得， 由，得，解得 所以． 【小问2详解】 由，得 所以． 17. 设抛物线的焦点为，过的直线与交于A，B两点. （1）求的准线方程； （2）设为准线上一点，且，求. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据抛物线方程即可得准线方程， （2）根据两点斜率公式，求解直线方程，联立与抛物线方程，即可根据韦达定理以及焦点弦公式求解. 【小问1详解】 因为抛物线的方程为，所以抛物线的准线方程为 【小问2详解】 因为在的准线上，所以，即， 易得的坐标为，此时， 因为，所以，解得， 所以的方程为，设，， 联立消去并整理得，由韦达定理得， 所以 18. 如图，直三棱柱中，，，，是的中点，，分别是棱，上的点，. （1）证明：平面； （2）求平面和平面所成的二面角的正弦值. 【答案】（1） 取中点，连接，， 由是中点得，， 三棱柱中，由，， 由题意，分别是棱，上的点，，得， 所以，， 所以四边形是平行四边形，所以， 因为平面，平面，所以平面. （2） 【解析】 【分析】（1）取中点，连接，，根据平行的传递性得四边形是平行四边形，从而利用线面平行的判定定理证明即可. （2）建立空间直角坐标系，求出平面和平面的法向量，然后利用向量法求得二面角的余弦值，利用同角三角函数关系求解即可. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 在直三棱柱中，平面，， 所以，，两两垂直， 以，，所在直线为，，轴建立空间直角坐标系，如图所示， 由，，， 知，，，，， 设平面的一个法向量为，则即 取，则，，即； 易知平面的一个法向量为， 设平面和平面所成二面角为， 则，所以， 即平面和平面所成的二面角的正弦值为. 19. 已知函数，． （1）若，求曲线在处的切线方程； （2）讨论的单调性； （3）已知，若的两个极值点为，求的取值范围． 【答案】（1） （2）当时，函数在上单调递增； 当时，函数在上单调递增，在上单调递减. （3） 【解析】 【分析】（1）求出函数的导函数，即可求出切线方程； （2）求出函数的定义域与导函数，分、两种情况讨论，分别求出函数的单调性； （3）求出函数的导函数，依题意的两根为且，即可求出的范围，再表示出，结合韦达定理即可得到，令，令，利用导数说明函数的单调性，即可求出的范围. 【小问1详解】 由，得，则， 又，所以， 所以曲线在处的切线方程为. 【小问2详解】 函数的定义域为，又， 当时，在时恒成立，此时在单调递增； 当时，令，得， 当时，，函数单调递增； 当时，，函数单调递减． 综上所述，当时，函数在上单调递增； 当时，函数在上单调递增，在上单调递减. 【小问3详解】 ， 则， 因为的两个极值点为，所以的两根为，且， 所以，解得， 所以， 由，， 得. 令，则，因为，所以． 令， 则， 所以在区间上单调递减， 又，， 所以， 即的取值范围是. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $