2026年北京市第一次普通高中学业水平合格性考试数学仿真模拟卷01

2026年北京市第一次普通高中学业水平合格性考试 数学仿真模拟卷01·参考答案 一、选择题（本大题共20题，每小题3分，共计60分。每小题列出的四个选项中只有一项是最符合题目要求的） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 B D B C D C D D C 10 11 12 13 14 15 16 17 18 D D C D D B C B D 二、填空题（本题共5小题，每小题3分，共计15分） 19． 20． 21． 三、解答题（本题共3小题，共25分） 22．（本小题满分8分） 【解】（1）由 得， ………………………………………………2分 所以； ………………………………………………4分 （2）由（1）知， …………………………………………5分 此时，即， 故x的集合为. ………………………………………………8分 23．（本小题满分9分） 【解】（1）因为的图象经过点， 所以， 解得，所以； ………………………………………………2分 （2）在上单调递减. ………………………………………………3分 证明如下： 设满足的任意， 有， 因为，所以， 所以，则， 即，所以在上单调递减； ………………………………………………5分 （3）由（2）知在上单调递减， 因为， 所以在上的值域为. ……………………………………………9分 24． （本小题满分9分） 【答案】(1)①A，②A (2)③A，④A，⑤B，⑥B 【解】（1）①线线平行，即，所以选A； ……………………………………………1分 ②直线在平面外，即平面，所以选A. 故选：A，A. ………………………………………………3分 （2）③等腰三角形底边上“三线合一”，即，所以选A； ……………………………4分 ④直线垂直于平面，则直线垂直于该平面内的所有直线，即，所以选A；…………5分 ⑤直线与平面内的两条相交直线垂直，则这条直线垂直于这个平面， 即平面，所以选B； ……………………………………………7分 ⑥直线垂直于平面，则直线垂直于该平面内的所有直线，即，所以选B. 故选：A，A，B，B. ………………………………………………9分 25．（本小题满分8分） 【解】（1）由题意可得，，， 所以. ………………………………………………1分 （2）假设存在，使得， 则有， 由于与奇偶性相同，所以与奇偶性不同， 又因为，所以必有大于等于的奇数因子， 这与无以外的奇数因子矛盾. 故不存在，使得成立. ………………………………………………4分 （3）由题意得， 当，时，， 除，外，， 其中与一奇一偶，则能拆成奇数与偶数之乘积， 在正偶数中，只有无法拆成一个大于的奇数与一个不小于的偶数之乘积， 又中的元素均为偶数，故， 故2至2024偶数中除去4，8，16，32，64，128，256，512，1024， ， 故的最大值为． ………………………………………………8分 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年北京市第一次普通高中学业水平合格性考试 数学仿真模拟卷01 考试时间：90分钟 满分：100分 一、选择题（本大题共18题，每小题3分，共计54分。每小题列出的四个选项中只有一项是最符合题目要求的） 1．已知为虚数单位，设复数，则（    ） A．1 B．4 C． D． 2．若，则（    ） A． B． C． D． 3．下列函数在上是增函数的是（    ） A． B．y=|x| C． D． 4．已知向量，，则与（    ） A．垂直 B．平行且同向 C．平行且反向 D．不垂直也不平行 5．不等式的解集是（    ） A． B． C． D． 6．三个数之间的大小关系是（    ） A． B． C． D． 7．已知角的终边经过点，则的值为（    ） A． B． C． D． 8．下表是2017年至2022年硕士研究生的报名人数与录取人数（单位：万人）， 年份 2017 2018 2019 2020 2021 2022 报名人数 201 238 290 341 377 457 录取人数 72 76 81 99 106 112 根据该表格，下列叙述错误的是（    ） A．录取人数的极差为40 B．报名人数的中位数是315.5 C．报名人数呈逐年增长趋势 D．录取比例呈逐年增长趋势 9．在中，，则（    ） A．3 B．5 C．6 D．10 10．在中，已知，那么角等于 A． B．或 C． D．或 11．函数的零点为（    ） A．2 B．1 C．0 D．4 12．（   ） A．70 B． C．3 13．分别和两条异面直线都相交的两条直线一定 A．异面 B．相交 C．不相交 D．不平行 14．异速生长规律描述生物的体重与其它生理属性之间的非线性数量关系通常以幂函数形式表示．比如，某类动物的新陈代谢率与其体重满足，其中和为正常数，该类动物某一个体在生长发育过程中，其体重增长到初始状态的16倍时，其新陈代谢率仅提高到初始状态的8倍，则为（    ） A． B． C． D． 15．函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 16．设，若，则的最大值为（    ） A．2 B．4 C．8 D．16 17．已知，，则（    ） A． B． C． D． 18．定义集合A*B={}，若A={1，2,3,4,5}，B={2,4,5}，则集合A*B的子集的个数是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 二、填空题（本题共3小题，每小题4分，共计12分） 19．甲同学进行投篮练习，每次投中的概率都是，连续投3次.每次投篮互不影响.则该同学恰好只有第3次投中的概率为 ：该同学至少两次投中的概率为 . 20．已知一个正三棱锥的侧棱长为3，其底面是边长为的等边三角形，则此正三棱锥的高为 . 21．设函数的表达式为，若且，则的取值范围是 . 三、解答题（本题共4小题，共34分） 22．（本小题满分8分）已知函数． (1)求的最小正周期T； (2)求的最小值以及取得最小值时的集合． 23．（本小题满分9分）已知函数的图象经过点. (1)求的解析式； (2)判断在上的单调性，并用单调性的定义加以证明； (3)求在上的值域. 24．（本小题满分9分）阅读下面题目及其解答过程.如图，在四棱锥中，底面为正方形，平面，分别是的中点. (1)求证：平面；    (2)求证：平面. 【解】（1）在中，分别是的中点， 所以_____①_______. 又_____②_____，平面， 所以平面. （2）因为在中，是的中点，所以_____③______. 因为底面为正方形，所以. 因为平面， 所以_________④_________. 又因为. 所以___________⑤___________. 又平面， 所以___________⑥___________. 又因为， 所以平面. 空格序号 选项 答案 ① A． B． ② A．平面 B．平面 ③ A． B． ④ A． B． ⑤ A．平面 B．平面 ⑥ A． B． 25．（本小题满分8分）已知数列记集合 (1)对于数列：，列出集合的所有元素； (2)若是否存在，使得？若存在，求出一组符合条件的；若不存在，说明理由； (3)若把集合中的元素从小到大排列，得到的新数列为若，求的最大值 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年北京市第一次普通高中学业水平合格性考试 数学仿真模拟卷01 考试时间：90分钟 满分：100分 一、选择题（本大题共18题，每小题3分，共计54分。每小题列出的四个选项中只有一项是最符合题目要求的） 1．已知为虚数单位，设复数，则（    ） A．1 B．4 C． D． 【答案】B 【解析】因为，所以.故选：B. 2．若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】因为，不妨设，，则，故A错误； ，，所以，故B错误； ，，所以，故C错误； 因为，所以，故D正确.故选：D. 3．下列函数在上是增函数的是（    ） A． B．y=|x| C． D． 【答案】B 【解析】对于A，函数在上单调递减，故A错误； 对于B，函数，在上单调递增，故B正确； 对于C，函数在上单调递减，故C错误； 对于D，函数在上单调递减，故D错误.故选：B. 4．已知向量，，则与（    ） A．垂直 B．平行且同向 C．平行且反向 D．不垂直也不平行 【答案】C 【解析】向量，，，因此，与平行且反向.故选：C. 5．不等式的解集是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】∵的根为，， 作函数图象可得 观察图象可得不等式的解集是，故选：D. 6．三个数之间的大小关系是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】， 设，此函数在定义域内是单调递增的， ∵∴∴.故选：C. 7．已知角的终边经过点，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】因为角的终边经过点，所以，故选：D 8．下表是2017年至2022年硕士研究生的报名人数与录取人数（单位：万人）， 年份 2017 2018 2019 2020 2021 2022 报名人数 201 238 290 341 377 457 录取人数 72 76 81 99 106 112 根据该表格，下列叙述错误的是（    ） A．录取人数的极差为40 B．报名人数的中位数是315.5 C．报名人数呈逐年增长趋势 D．录取比例呈逐年增长趋势 【答案】D 【解析】对于A，录取人数的极差为，故A正确； 对于B，报名人数从小到大排，依次为201，238，290，341，377，457，故中位数为，故B正确； 对于C，分析数据可知，从2017年以来，报名人数呈逐年增长趋势，故C正确； 对于D，分析数据可知，2017年的录取比例为；2018年的录取比例为，2017-2018年录取比例减小，故D错误； 故选：D 9．在中，，则（    ） A．3 B．5 C．6 D．10 【答案】C 【解析】由题设，则， 又，则， 所以.故选：C 10．在中，已知，那么角等于 A． B．或 C． D．或 【答案】D 【解析】由正弦定理得得 所以角等于或.故选D. 11．函数的零点为（    ） A．2 B．1 C．0 D．4 【答案】D 【解析】令，即 ，所以 ，解得，故选：D 12．（   ） A．70 B． C．3 【答案】C 【解析】.故选：C 13．分别和两条异面直线都相交的两条直线一定 A．异面 B．相交 C．不相交 D．不平行 【答案】D 【解析】和两条异面直线都相交的两条直线可能相交，也可能异面，但一定不平行，故选D. 14．异速生长规律描述生物的体重与其它生理属性之间的非线性数量关系通常以幂函数形式表示．比如，某类动物的新陈代谢率与其体重满足，其中和为正常数，该类动物某一个体在生长发育过程中，其体重增长到初始状态的16倍时，其新陈代谢率仅提高到初始状态的8倍，则为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】设初始状态为，则，， 又，，即， ，，，，．故选：D． 15．函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由，即，解得，可得函数的定义域为.故选：B 16．设，若，则的最大值为（    ） A．2 B．4 C．8 D．16 【答案】C 【解析】因为，故由均值不等式：， 当且仅当时，取得最大值.故选：C. 17．已知，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】因为，所以， 所以.故选：B 18．定义集合A*B={}，若A={1，2,3,4,5}，B={2,4,5}，则集合A*B的子集的个数是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】D 【解析】由A={1,2,3,4,5}，B={2,4,5}，又集合A*B={}， 所以A*B=,又集合的子集为，，，共4个， 即集合A*B的子集的个数是4，故选：D. 二、填空题（本题共3小题，每小题4分，共计12分） 19．甲同学进行投篮练习，每次投中的概率都是，连续投3次.每次投篮互不影响.则该同学恰好只有第3次投中的概率为 ：该同学至少两次投中的概率为 . 【答案】 【解析】因为甲同学每次投中的概率都是，连续投3次，则投不中的概率为， 所以甲同学恰好只有第3次投中的概率为， 至少两次投中的概率为. 20．已知一个正三棱锥的侧棱长为3，其底面是边长为的等边三角形，则此正三棱锥的高为 . 【答案】 【解析】如图，在正三棱锥中，， 由正三棱锥的性质可知，顶点P在底面的投影O为正三角形ABC的中心， 则， 所以. 21．设函数的表达式为，若且，则的取值范围是 . 【答案】 【解析】由题意可得，化简可得：. ，当且仅当时，等号成立. 所以的取值范围为. 三、解答题（本题共4小题，共34分） 22．（本小题满分8分）已知函数． (1)求的最小正周期T； (2)求的最小值以及取得最小值时的集合． 【解】（1）由 得， ………………………………………………2分 所以； ………………………………………………4分 （2）由（1）知， …………………………………………5分 此时，即， 故x的集合为. ………………………………………………8分 23．（本小题满分9分）已知函数的图象经过点. (1)求的解析式； (2)判断在上的单调性，并用单调性的定义加以证明； (3)求在上的值域. 【解】（1）因为的图象经过点， 所以， 解得，所以； ………………………………………………2分 （2）在上单调递减. ………………………………………………3分 证明如下： 设满足的任意， 有， 因为，所以， 所以，则， 即，所以在上单调递减； ………………………………………………5分 （3）由（2）知在上单调递减， 因为， 所以在上的值域为. ……………………………………………9分 24．（本小题满分9分）阅读下面题目及其解答过程.如图，在四棱锥中，底面为正方形，平面，分别是的中点. (1)求证：平面；    (2)求证：平面. 【解】（1）在中，分别是的中点， 所以_____①_______. 又_____②_____，平面， 所以平面. （2）因为在中，是的中点，所以_____③______. 因为底面为正方形，所以. 因为平面， 所以_________④_________. 又因为. 所以___________⑤___________. 又平面， 所以___________⑥___________. 又因为， 所以平面. 空格序号 选项 答案 ① A． B． ② A．平面 B．平面 ③ A． B． ④ A． B． ⑤ A．平面 B．平面 ⑥ A． B． 【答案】(1)①A，②A (2)③A，④A，⑤B，⑥B 【解】（1）①线线平行，即，所以选A； ……………………………………………1分 ②直线在平面外，即平面，所以选A. 故选：A，A. ………………………………………………3分 （2）③等腰三角形底边上“三线合一”，即，所以选A； ……………………………4分 ④直线垂直于平面，则直线垂直于该平面内的所有直线，即，所以选A；…………5分 ⑤直线与平面内的两条相交直线垂直，则这条直线垂直于这个平面， 即平面，所以选B； ……………………………………………7分 ⑥直线垂直于平面，则直线垂直于该平面内的所有直线，即，所以选B. 故选：A，A，B，B. ………………………………………………9分 25．（本小题满分8分）已知数列记集合 (1)对于数列：，列出集合的所有元素； (2)若是否存在，使得？若存在，求出一组符合条件的；若不存在，说明理由； (3)若把集合中的元素从小到大排列，得到的新数列为若，求的最大值. 【解】（1）由题意可得，，， 所以. ………………………………………………1分 （2）假设存在，使得， 则有， 由于与奇偶性相同，所以与奇偶性不同， 又因为，所以必有大于等于的奇数因子， 这与无以外的奇数因子矛盾. 故不存在，使得成立. ………………………………………………4分 （3）由题意得， 当，时，， 除，外，， 其中与一奇一偶，则能拆成奇数与偶数之乘积， 在正偶数中，只有无法拆成一个大于的奇数与一个不小于的偶数之乘积， 又中的元素均为偶数，故， 故2至2024偶数中除去4，8，16，32，64，128，256，512，1024， ， 故的最大值为． ………………………………………………8分 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $ ( ) ( ) 2026年北京市学考仿真模拟试卷 ( 姓 名： __________________________ 准考证号： 贴条形码区 考生禁填 ： 缺考标记 违纪标记 以上标记由监考人员用 2B 铅笔 填涂 选择题填涂样例 ： 正确填涂 错误填 涂 [ × ] [ √ ] [ ／ ] 1 ．答题前，考生先将自己的姓名，准考证号填写清楚，并认真核准条形码上的姓名、准考证号，在规定位置贴好条形码。 2 ．选择题必须用 2B 铅笔填涂；填空题和解答题必须用 0.5 mm 黑 色签字笔答题， 不 得用铅笔或圆珠笔答题；字体工整、笔迹清晰。 3 ．请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。 4 ．保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。 注意事项 )数学·答题卡 一、选择题（本大题共20题，每小题3分，共计60分。 ( 1 [A] [B] [C] [D] 2 [A] [B] [C] [D] 3 [A] [B] [C] [D] 4 [A] [B] [C] [D] 5 [A] [B] [C] [D] 6 [A] [B] [C] [D] 7 [A] [B] [C] [D] 8 [A] [B] [C] [D] 9 [A] [B] [C] [D] 10 [A] [B] [C] [D] 11 [A] [B] [C] [D] 12 [A] [B] [C] [D] 13 [A] [B] [C] [D] 14 [A] [B] [C] [D] 1 5 [A] [B] [C] [D] 16 [A] [B] [C] [D] 17 [A] [B] [C] [D] 18 [A] [B] [C] [D] ) ( 二、填空题（本题共 5 小题，每小题 3 分，共计 15 分） ) ( 19 ． _______________________ 20 ． _______________________ 2 1 ． _______________________ 2 2 . ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( （续 2 2 题） 23 ． ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 2 4 ． 25 ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) 第4页 第5页 第6页 第1页 第2页 第3页 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $