精品解析：北京市北京一零一中2025-2026学年高二上学期期中考试数学试题

北京一零一中2025-2026学年度第一学期期中考试 高二数学 （本试卷满分120分，考试时间100分钟） 一、选择题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项． 1. 直线的倾斜角为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据直线方程得到斜率，进而算出倾斜角即可． 【详解】将直线化为斜截式，得斜率， 由（），得倾斜角． 故选：B． 2. 已知向量与向量垂直，则实数x的值为（ ） A. ﹣1 B. 1 C. ﹣6 D. 6 【答案】B 【解析】 【分析】 根据数量积的坐标计算公式代入可得的值． 【详解】解：向量，与向量垂直，则， 由数量积的坐标公式可得：， 解得， 故选：． 【点睛】本题考查空间向量的坐标运算，以及数量积的坐标公式，属于基础题． 3. 圆和圆的位置关系为（ ） A. 内切 B. 相交 C. 外切 D. 外离 【答案】C 【解析】 【分析】先根据两圆的方程，求出相应的圆心与半径，再通过计算得出，故两圆外切. 【详解】因为圆的方程为，所以圆心，半径， 因为圆的方程为，所以圆心，半径， 所以. 因为，所以圆和圆外切. 故选：C. 4. 已知点是圆上的动点，则直线的斜率的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】作出对应的几何图象，然后结合几何关系可知，和圆相切时是临界情况，结合直线的倾斜程度的变化情况进一步得出斜率范围. 【详解】 设的直线方程是，则， 当直线和圆相切时， 根据点到直线的距离，，解得， 如图可知是直线和圆的切点，且，， 当在圆上运动时，根据几何关系，. 故选：B 5. 如图，M，N分别是四面体OABC的边OA，BC的中点，E是MN的三等分点，且，用向量表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据空间向量的线性运算，结合图形可得. 【详解】因为，所以， 所以，即， 又， 所以. 故选：D 6. 如图，在正方体中，分别是的中点．用过点且平行于平面的平面去截正方体，得到的截面图形的面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据平行四边形的性质可得四边形为截面所在的四边形，即可利用线面垂直得四边形为矩形，即可求解. 【详解】取的中点，连接, 则,故四边形为平行四边形，即为过点且平行于平面的截面， ,,且平面,平面,则, 故四边形为矩形， 故四边形的面积为， 故选：B 7. 已知直线，则“”是“”的（ ） A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】利用两条直线垂直求出的关系，利用充分条件和必要条件求解. 【详解】，， 若，则， 由可以得到，但是由不一定得到， 故“”是“”的充分而不必要条件. 故选：A. 8. 已知在正方体中，，是正方形及其内部的动点，，则满足条件的点构成的图形的面积等于（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】以为坐标原点，建立空间直角坐标系，利用已知条件得出相关点坐标，进而表示，利用计算得出满足条件的点构成的图形，再计算面积． 【详解】以为坐标原点，建立如下图所示空间直角坐标系， 正方体的棱长为1，是正方形及其内部的动点，设点，则， ，， ，， ， ， ，化简得， 在平面中，， 满足条件的点区域为以为顶点的直角三角形，如下图所示， ， ， 满足条件的点构成的图形的面积等于． 故选：D． 9. 如图，已知正三棱柱，E，F分别是棱上的点．记与所成的角为，与平面所成的角为，二面角的平面角为，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先用几何法表示出，再根据边长关系即可比较大小． 【详解】如图所示，过点作于，过作于，连接， 则，，， ，，， 所以， 故选：A． 10. 在平面直角坐标系中，对于定点，记点集中距离原点最近的点为．当点在曲线上运动时，点轨迹的长度为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由题意可知当时、当时，确定点的位置，求得其轨迹方程，结合图形来求轨迹长度即可. 【详解】点集表示以为中心，边长为2且各边均平行或垂直于坐标轴的正方形及其内部. 曲线即，是圆心为，半径为的圆. 当时，为正方形左下顶点，， 代入得，， 轨迹为图中加粗的优弧； 当时，为正方形左侧边与轴的交点，轨迹为图中轴上加粗线段. 最终可得轨迹为如图优弧与弦组成，其中圆心，， 取中点，可得，，， 则，，所以，， 优弧， 最终轨迹长为. 故选：D. 二、填空题共6小题，每小题5分，共30分． 11. 已知空间中三个点，，共线，则___________． 【答案】4 【解析】 【分析】转化为向量共线求的值. 【详解】，. 因为三点共线，所以， 所以. 故答案为：4 12. 如图，已知分别是空间四边形对角线的中点，若，则与所成角的大小为___________． 【答案】 【解析】 【分析】取中点，构造异面直线与所成角，利用三角形的边角关系求解. 【详解】取中点，连接.如图： 因为为的中位线，所以，且. 因为为的中位线，所以，且. 所以或其补角即为异面直线与所成角. 因为，，所以. 在中，，，，所以. 故答案为： 13. 过点且与圆相切的直线的方程为________. 【答案】或 【解析】 【分析】分两种情况讨论，一是切线的斜率不存在，可得出所求切线方程为，验证即可；二是切线斜率存在，设所求切线的方程为，利用圆心到切线的距离等于圆的半径求出的值.综合可得出所求切线的方程. 【详解】当切线的斜率不存在时，所求切线的方程为，此时圆心到直线的距离为，合乎题意； 当切线的斜率存在时，设所求切线的方程为，即， 则圆心到该直线的距离等于圆的半径，则，解得， 此时，所求切线的方程为，即， 综上所述，所求切线的方程为或. 故答案为：或. 【点睛】本题考查圆的切线方程的求解，在过圆外一点的圆的切线的方程求解时，要注意对切线的斜率是否存在进行分类讨论，将直线与圆相切转化为圆心到直线的距离等于圆的半径来求解，考查运算求解能力，属于中等题. 14. 如图，在四棱锥中，底面，底面为梯形，，．若点是线段上的动点，则满足的点的个数是___________． 【答案】2 【解析】 【分析】先利用已知条件，构造空间直角坐标系，得出对应点坐标，设，进而得出坐标，利用垂直关系得出数量积为0，构造关于的方程，解方程求出根的个数即为满足的点的个数． 【详解】，底面为直角梯形，取中点，则，又，即，底面是矩形，， 又底面，，以点为坐标原点，建立如下图所示空间直角坐标系， ， ， 点是线段上的动点，设，设点， ， ，，化简得， 解得或，，两个解均有效， 满足条件的点共有2个． 故答案为：2． 15. 已知点，过点作直线的垂线，垂足为，则的最大值为___________． 【答案】 【解析】 【分析】先确定直线的定点坐标，然后判断在以为直径的圆上，进而可求得的最大值. 【详解】直线化为， 令，解得. 所以直线过定点. 所以垂足在以为直径的圆上，圆心为的中点. 该圆的方程为，， 所以的最大值为. 故答案为：. 16. 如图，正方体的棱长为2，动点，在棱上且，动点，分别在棱上（均不与点重合）．给出以下四个结论： ①直线与直线所成角的范围是； ②四面体体积的最大值为； ③当且为中点时，线段上一点到直线的距离的最小值为； ④当且分别为中点时，若空间中一个动点满足，则的最小值为5． 其中所有正确结论的序号为___________． 【答案】②③④ 【解析】 【分析】以为坐标原点，所在直线分别为轴，建立空间坐标系；对于①，求得，即可判断；对于②，由题意可得，只需求出点到平面的距离最大，即可得四面体体积的最大值；对于③，利用点到线的距离公式求解即可；对于④，设，由题意可得，可得的轨迹为一个平面，求出点关于此平面的对称点，则有、、(为中点)三点共线时，取最小值，为，利用两点间的距离公式求出的值，即可判断. 【详解】以为坐标原点，所在直线分别为轴，建立空间坐标系，如图所示： 则，， 设，则 设， 对于①，因为 所以， 所以与不可能垂直，所以直线与不可能垂直， 即直线与直线所成角的不可能为，故①错误； 对于②，因为三点在平面内，且四边形为矩形， 其中,， 所以， 所以当点到平面的距离最大时，四面体体积的最大， 易知当点与点重合时，点到平面的距离最大，为， 此时，故②正确； 对于③，当且为中点时， 则，，则， 设，则， 所以，又因为， 所以与共线的单位向量， 所以点到直线的距离， 所以当时，取最小值，为，故③正确； 对于④，当且分别为中点时， 则，， 所以， 设，则， ， 所以， 又因为， 由题意可得， 所以，所以的轨迹为一个平面， 取中点连接，则， 所以， 所以， 在所表示的平面中，取三个点， 则， 设此平面的法向量为， 则，则有， 取，则， 又因为，所以点到平面的距离， 设点关于此平面的射影点为，则， 又因为，所以①， 又因为的中点在平面内， 所以②， 由①②可得，即， 所以当、、三点共线时，取最小值，为， 又因为， 所以此时， 即的最小值为5，故④正确. 故答案为：②③④ 三、解答题共4小题，共50分．解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程． 17. 已知圆的方程为． （1）求圆的圆心及半径； （2）若直线经过点，再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使直线存在且唯一确定，求直线的方程． 条件①：被圆所截得的弦长最长； 条件②：被圆所截得的弦长最短； 条件③：被圆所截得的弦长为8． 注：如果选择的条件不符合要求，第（2）问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分． 【答案】（1）圆心为，半径为 （2） 选择条件①，直线的方程为． 选择条件②，直线的方程为． 选择条件③，不存在满足条件的直线． 【解析】 【分析】（1）写出圆的标准方程即得解； （2）选择条件①，直线应过圆心，即直线过点和，即得解；选择条件②，直线应与CA垂直，求出直线的方程即得解；选择条件③：比较最短弦长和要求的弦长即可判断． 【小问1详解】 由圆的方程整理可得， 所以圆心为，半径为． 【小问2详解】 选择条件①：若直线被圆所截得的弦长最长，则直线应过圆心， 即直线过点和，所以直线的斜率为，则直线的方程为． 选择条件②：若直线过点被圆所截得的弦长最短，则直线应与CA垂直， 又，所以.故直线方程为，即． 选择条件③：由条件②可知，弦长最短时，直线应与CA垂直，直线方程为， 此时圆心到直线l的距离，截得的最短弦长为， 由于，所以不存在满足条件的直线． 18. 如图，在三棱柱中，侧面是正方形，平面，点是线段的中点，点在线段上，满足平面． （1）求证：是线段的中点； （2）求二面角的余弦值； （3）求点到平面的距离． 【答案】（1） 在中，过点N作交BC于点Q，连接QM，如图： 在三棱柱中，因为，所以， 所以，N，Q，M四点共面． 因为直线平面，平面，平面平面， 所以．所以四边形是平行四边形． 所． 所以为的中点． （2） （3） 【解析】 【分析】（1）过点N作交BC于点Q，连接QM，得，进而利用直线与平面平行的性质定理可得，从而可证是平行四边形，则由是的中点可得N为线段AC的中点； （2）建立空间直角坐标系，求出相关点坐标以及相关平面的法向量，利用空间角的向量求法，即可求解； （3）根据空间距离的向量求法，即可求得答案. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 因平面，平面，所以，， 又因为正方形，， 故可以B为原点，BA，，BC所在直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系，如下图： 因为， 所以，，，，， ， 所以，． 设平面的一个法向量为， 由得，取，得． 易知平面的法向量. ， 由图可知二面角是钝角，所以二面角的余弦值为. 【小问3详解】 由（1）知是线段的中点，所以，又， 则点到平面的距离为. 19. 如图，直角三角形和等边三角形所在平面互相垂直，，点是直线上的动点． （1）设为的中点，求证：； （2）若直线和平面所成角的正弦值为，求的值； （3）设点是直线上的动点，求线段的长度的最小值． 【答案】（1） 因为平面平面，且平面平面，， 所以平面，又平面， 所以， 又因为三角形是等边三角形，且为的中点， 所以，又， 所以平面，又平面， 所以， （2）或 （3） 【解析】 【分析】（1）由平面平面，，得到平面，从而，再由三角形是等边三角形，且为的中点，得到，从而得到平面而得证； （2）取线段AB的中点O，BC的中点F，连接OD,OF，建立空间直角坐标系，设，求得平面的一个法向量为，再由求解； （3）设 ，由直线是异面直线和的公垂线时，线段最短求解. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 取线段AB的中点O，BC的中点F，连接OD,OF， 则，， 由（1）知平面，则平面，所以， 建立如图所示空间直角坐标系： 设，则， 所以， 则， 设平面的一个法向量为， 则，即， 令，则，， 所以， 因为直线和平面所成角的正弦值为， 所以， 即，解得或，所以或； 【小问3详解】 设，由（2）知：， 当直线是异面直线和的公垂线时，线段最短， 则 ，即 ，解得 ， 则 ，此时 ， 所以线段的长度的最小值为. 20. 设集合．若的子集不含两个相邻的正整数，则称该子集为的“孤立子集”． （1）写出的所有“孤立子集”； （2）求的“孤立子集”个数； （3）设集合的“孤立子集”个数为，求证：当时，. 【答案】（1）的孤立子集有，的孤立子集有 （2） （3） 由（2）可知，且， 猜想， 当时，左边，右边， 所以左边右边，即时，猜想成立； 设时，猜想成立，即， 当时，， 即时，猜想成立， 所以； 当时，左边， 右边， 左边右边，即当时，等式成立； 设时等式成立，即成立， 当时， 左边 因为，又因为， 所以， 由可知， 所以， 即左边， 右边，所以左边=右边； 即时，等式成立； 综上所述，当时，. 【解析】 【分析】（1）根据题目所给“孤立子集”定义，写出结果即可； （2）根据“孤立子集”定义，判断之间的关系，求出递推公式，写出结果即可； （3）根据递推公式，求出数列的表达式，再根据数学归纳法，求出数列前项和的递推公式，再根据数学归纳法，对题干条件进行化简，证明结果即可. 【小问1详解】 由题意可知， 则的孤立子集有， 的孤立子集有. 【小问2详解】 设集合的“孤立子集”个数为，对于的“孤立子集”可分为两类， 一类为不包含的孤立子集，等价于的孤立子集个数，另一类为包含，但不包含的孤立子集，等价于的孤立子集个数， 可得； 由（1）可知， 则， ， ， ， ， ； 【小问3详解】 略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 北京一零一中2025-2026学年度第一学期期中考试 高二数学 （本试卷满分120分，考试时间100分钟） 一、选择题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项． 1. 直线的倾斜角为（ ） A. B. C. D. 2. 已知向量与向量垂直，则实数x的值为（ ） A. ﹣1 B. 1 C. ﹣6 D. 6 3. 圆和圆的位置关系为（ ） A. 内切 B. 相交 C. 外切 D. 外离 4. 已知点是圆上的动点，则直线的斜率的取值范围是（ ） A. B. C. D. 5. 如图，M，N分别是四面体OABC的边OA，BC的中点，E是MN的三等分点，且，用向量表示为（ ） A. B. C. D. 6. 如图，在正方体中，分别是的中点．用过点且平行于平面的平面去截正方体，得到的截面图形的面积为（ ） A. B. C. D. 7. 已知直线，则“”是“”的（ ） A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 8. 已知在正方体中，，是正方形及其内部的动点，，则满足条件的点构成的图形的面积等于（ ） A. B. C. D. 9. 如图，已知正三棱柱，E，F分别是棱上的点．记与所成的角为，与平面所成的角为，二面角的平面角为，则（ ） A. B. C. D. 10. 在平面直角坐标系中，对于定点，记点集中距离原点最近的点为．当点在曲线上运动时，点轨迹的长度为（ ） A. B. C. D. 二、填空题共6小题，每小题5分，共30分． 11. 已知空间中三个点，，共线，则___________． 12. 如图，已知分别是空间四边形对角线的中点，若，则与所成角的大小为___________． 13. 过点且与圆相切的直线的方程为________. 14. 如图，在四棱锥中，底面，底面为梯形，，．若点是线段上的动点，则满足的点的个数是___________． 15. 已知点，过点作直线的垂线，垂足为，则的最大值为___________． 16. 如图，正方体的棱长为2，动点，在棱上且，动点，分别在棱上（均不与点重合）．给出以下四个结论： ①直线与直线所成角的范围是； ②四面体体积的最大值为； ③当且为中点时，线段上一点到直线的距离的最小值为； ④当且分别为中点时，若空间中一个动点满足，则的最小值为5． 其中所有正确结论的序号为___________． 三、解答题共4小题，共50分．解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程． 17. 已知圆的方程为． （1）求圆的圆心及半径； （2）若直线经过点，再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使直线存在且唯一确定，求直线的方程． 条件①：被圆所截得的弦长最长； 条件②：被圆所截得的弦长最短； 条件③：被圆所截得的弦长为8． 注：如果选择的条件不符合要求，第（2）问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分． 18. 如图，在三棱柱中，侧面是正方形，平面，点是线段的中点，点在线段上，满足平面． （1）求证：是线段的中点； （2）求二面角的余弦值； （3）求点到平面的距离． 19. 如图，直角三角形和等边三角形所在平面互相垂直，，点是直线上的动点． （1）设为的中点，求证：； （2）若直线和平面所成角的正弦值为，求的值； （3）设点是直线上的动点，求线段的长度的最小值． 20. 设集合．若的子集不含两个相邻的正整数，则称该子集为的“孤立子集”． （1）写出的所有“孤立子集”； （2）求的“孤立子集”个数； （3）设集合的“孤立子集”个数为，求证：当时，. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $