北京市北京一零一中2025-2026学年高二上学期期中考试数学试题

北京一零一中2025-2026学年度第一学期期中考试 高二数学 （本试卷满分120分，考试时间100分钟） 一、选择题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项． 1. 直线的倾斜角为（ ） A. B. C. D. 2. 已知向量与向量垂直，则实数x的值为（ ） A. ﹣1 B. 1 C. ﹣6 D. 6 3. 圆和圆的位置关系为（ ） A. 内切 B. 相交 C. 外切 D. 外离 4. 已知点是圆上的动点，则直线的斜率的取值范围是（ ） A. B. C. D. 5. 如图，M，N分别是四面体OABC的边OA，BC的中点，E是MN的三等分点，且，用向量表示为（ ） A. B. C. D. 6. 如图，在正方体中，分别是的中点．用过点且平行于平面的平面去截正方体，得到的截面图形的面积为（ ） A. B. C. D. 7. 已知直线，则“”是“”的（ ） A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 8. 已知在正方体中，，是正方形及其内部的动点，，则满足条件的点构成的图形的面积等于（ ） A. B. C. D. 9. 如图，已知正三棱柱，E，F分别是棱上的点．记与所成的角为，与平面所成的角为，二面角的平面角为，则（ ） A. B. C. D. 10. 在平面直角坐标系中，对于定点，记点集中距离原点最近的点为．当点在曲线上运动时，点轨迹的长度为（ ） A. B. C. D. 二、填空题共6小题，每小题5分，共30分． 11. 已知空间中三个点，，共线，则___________． 12. 如图，已知分别是空间四边形对角线的中点，若，则与所成角的大小为___________． 13. 过点且与圆相切的直线的方程为________. 14. 如图，在四棱锥中，底面，底面为梯形，，．若点是线段上的动点，则满足的点的个数是___________． 15. 已知点，过点作直线的垂线，垂足为，则的最大值为___________． 16. 如图，正方体的棱长为2，动点，在棱上且，动点，分别在棱上（均不与点重合）．给出以下四个结论： ①直线与直线所成角的范围是； ②四面体体积的最大值为； ③当且为中点时，线段上一点到直线的距离的最小值为； ④当且分别为中点时，若空间中一个动点满足，则的最小值为5． 其中所有正确结论的序号为___________． 三、解答题共4小题，共50分．解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程． 17. 已知圆的方程为． （1）求圆的圆心及半径； （2）若直线经过点，再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使直线存在且唯一确定，求直线的方程． 条件①：被圆所截得的弦长最长； 条件②：被圆所截得的弦长最短； 条件③：被圆所截得的弦长为8． 注：如果选择的条件不符合要求，第（2）问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分． 18. 如图，在三棱柱中，侧面是正方形，平面，点是线段的中点，点在线段上，满足平面． （1）求证：是线段的中点； （2）求二面角的余弦值； （3）求点到平面的距离． 19. 如图，直角三角形和等边三角形所在平面互相垂直，，点是直线上的动点． （1）设为的中点，求证：； （2）若直线和平面所成角的正弦值为，求的值； （3）设点是直线上的动点，求线段的长度的最小值． 20. 设集合．若的子集不含两个相邻的正整数，则称该子集为的“孤立子集”． （1）写出的所有“孤立子集”； （2）求的“孤立子集”个数； （3）设集合的“孤立子集”个数为，求证：当时，. 北京一零一中2025-2026学年度第一学期期中考试 高二数学 （本试卷满分120分，考试时间100分钟） 一、选择题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项． 【1题答案】 【答案】B 【2题答案】 【答案】B 【3题答案】 【答案】C 【4题答案】 【答案】B 【5题答案】 【答案】D 【6题答案】 【答案】B 【7题答案】 【答案】A 【8题答案】 【答案】D 【9题答案】 【答案】A 【10题答案】 【答案】D 二、填空题共6小题，每小题5分，共30分． 【11题答案】 【答案】4 【12题答案】 【答案】 【13题答案】 【答案】或 【14题答案】 【答案】2 【15题答案】 【答案】 【16题答案】 【答案】②③④ 三、解答题共4小题，共50分．解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程． 【17题答案】 【答案】（1）圆心为，半径为 （2） 选择条件①，直线的方程为． 选择条件②，直线的方程为． 选择条件③，不存在满足条件的直线． 【18题答案】 【答案】（1） 在中，过点N作交BC于点Q，连接QM，如图： 在三棱柱中，因为，所以， 所以，N，Q，M四点共面． 因为直线平面，平面，平面平面， 所以．所以四边形是平行四边形． 所． 所以为的中点． （2） （3） 【19题答案】 【答案】（1） 因为平面平面，且平面平面，， 所以平面，又平面， 所以， 又因为三角形是等边三角形，且为的中点， 所以，又， 所以平面，又平面， 所以， （2）或 （3） 【20题答案】 【答案】（1）的孤立子集有，的孤立子集有 （2） （3） 由（2）可知，且， 猜想， 当时，左边，右边， 所以左边右边，即时，猜想成立； 设时，猜想成立，即， 当时，， 即时，猜想成立， 所以； 当时，左边， 右边， 左边右边，即当时，等式成立； 设时等式成立，即成立， 当时， 左边 因为，又因为， 所以， 由可知， 所以， 即左边， 右边，所以左边=右边； 即时，等式成立； 综上所述，当时，. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $