精品解析：浙江省杭州市钱江外国语教育集团2025-2026学年上学期九年级期中数学试卷

杭州钱江外国语教育集团2025A学期期中小能手展示 九年级数学试题卷 【考生须知】 1．本卷为试题卷，请将答案做在答题卷上； 2．本次检测不使用计算器． 一、选择题：本大题有10个小题，每小题3分，共30分． 1. 将抛物线向右平移3个单位长度得到的抛物线是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据抛物线的平移规律：上加下减，左加右减解答即可． 【详解】解：抛物线向右平移3个单位长度得到的抛物线是． 故选：C 【点睛】本题考查了二次函数图象的平移，理解平移规律是解题的关键． 2. 下列事件中，是随机事件的是（ ） A. 守株待兔 B. 只手遮天 C. 旭日东升 D. 水中捞月 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查随机事件的概念，随机事件是指可能发生也可能不发生的事件． 根据事件的分类进行解答即可． 【详解】解：∵守株待兔是偶然发生的事件，可能发生也可能不发生， ∴是随机事件； ∵只手遮天是不可能发生的事件， ∴是不可能事件； ∵旭日东升是必然发生的事件， ∴是必然事件； ∵水中捞月是不可能发生的事件， ∴是不可能事件； ∴只有A是随机事件． 故选A． 3. 关于二次函数y=（x+1）2-2的图象，下列说法正确的是（　　） A. 它可由y=x2-2向右平移一个单位得到 B. 开口向下 C. 顶点坐标是（1，-2） D. 与x轴有两个交点 【答案】D 【解析】 【分析】由二次函数y=（x+1）2-2，可得其对称轴、顶点坐标；由二次项系数，可知图象开口向上；平移的性质；对每个选项分析、判断即可． 【详解】解：∵抛物线y=（x+1）2-2可以由二次函数y=x2-2的图象向左平移1个单位得到，故A选项不符合题意； ∵a＞0，所以开口向上，故B选项不符合题意； ∵顶点坐标为（-1，-2），故C选项不符合题意； 根据顶点坐标以及开口向上可判定与x轴有两个交点，故D选项符合题意； 故选：D． 【点睛】本题主要考查了抛物线与x轴的交点，二次函数的性质，应熟练掌握二次函数的性质：顶点、对称轴的求法及图象的特点． 4. 下面四组线段中不能成比例线段的是（ ） A. 、、、 B. 、、、 C. 、、、 D. 、、、 【答案】B 【解析】 【分析】根据成比例线段的概念，对选项进行一一分析，即可得出答案． 【详解】A．2×6=3×4，能成比例； B．4×10≠5×6，不能成比例； C．1×=×，能成比例； D．2×=×，能成比例． 故选B． 【点睛】本题考查了成比例线段的概念．在四条线段中，如果其中两条线段的比等于另外两条线段的比，那么这四条线段叫做成比例线段． 5. 若，，为二次函数图象上的三点，则，，的大小关系为（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】二次函数抛物线向下，且对称轴为x＝ ＝−2．根据图象上的点的横坐标距离对称轴的远近来判断纵坐标的大小． 【详解】∵二次函数y＝−x2−4x＋5＝−（x＋2）2＋9， ∴该二次函数的抛物线开口向下，且对称轴为：x＝−2． ∵点 A(−4,y1) ， B(-2,y2) ， C(1,y3) 都在二次函数y＝−x2−4x＋5的图象上，而三点横坐标离对称轴x＝−2的距离按由远到近为：（1，y3）、（−4，y1）、（−2，y2）， ∴y3＜y1＜y2．故选C． 【点睛】此题主要考查二次函数图象上点的坐标特征，关键是根据函数关系式，找出对称轴． 6. 如图，点在以为直径的上，连结．若，则（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查的是圆周角定理．先根据为的直径得出，再由得出，进而可得出结论． 【详解】解：∵为的直径， ∴， ∵， ∴， ∴． 故选：C． 7. 一台机器原价200万元，若每年折旧率是，两年后这台机器约为万元，则与的函数关系式为（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查根据实际问题列二次函数关系式，审清题意、找准等量关系是解题的关键． 根据列出函数解析式即可． 【详解】解：根据题意知． 故选：D． 8. 如图，中，将绕点逆时针旋转，得到，这时点B、C、D恰好在同一直线上，则的度数为（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据图象旋转的性质，得AB=AD，∠BAD=150°，从而得∠B=15°，结合∠ADE=∠B=15°，∠DAE=，即可求解． 【详解】解：∵将绕点逆时针旋转，得到， ∴AB=AD，∠BAD=150°， ∴∠B=∠ADB=(180°-150°)÷2=15°， ∴∠ADE=∠B=15°，∠DAE=， ∴=180°-100°-15°=65°． 故选C． 【点睛】本题主要考查旋转变换的性质以及三角形内角和定理，掌握旋转变换的性质是解题的关键． 9. 如图，锐角三角形内接于，点、分别是、的中点，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】此题考查了圆周角定理，解题的关键是掌握圆周角定理．连接、、，由同圆中，等弧所对的圆周角相等，得到，同弧所对的圆周角相等，，即，，在中三角形的内角和为，可以得出，在中，，，即可以得出与的关系． 【详解】解：如图，连接、、， ∵、分别是、中点， ，， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 在中，， ， 在中， ， ， ， ， 故选：B． 10. 已知二次函数（a，b是实数），设该函数最小值为k，下列说法正确的是（ ） A. 若，，则 B. 若，，则 C. 若，，则 D. 若，，则 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的性质，二次函数的最值．利用抛物线解析式求得对称轴，即可求得函数的最小值，然后根据 、 的取值范围判断的范围． 【详解】解：由二次函数可知对称轴为直线， 函数的最小值， 若，，则 ∴ 则， ∴ ， ∴ ∴ ∴ ，故A、B错误； 若，， ∴ ∴ 则， ∴， ∴， ，故C错误、D正确， 故选：D． 二、填空题：本大题有6个小题，每小题3分，共18分． 11. 若，则的值是______． 【答案】## 【解析】 【分析】根据已知比例关系，设未知数表示变量，代入所求表达式进行化简计算．此题考查了比例的性质和分式的化简，掌握设参法是解题的关键． 【详解】解：由 ，设 ，（其中 ），则 ． 故答案为：． 12. 如图，正五边形内接于，P为劣弧上的动点，则的度数为__________°． 【答案】144 【解析】 【分析】本题考查了正多边形和圆，圆内接四边形的性质，圆周角定理，作出圆中常用辅助线是解题的关键．连接，正多边形的性质得的度数，由圆周角定理得的度数，再圆内接四边形的性质即可求解． 【详解】解：如图，连接， ∵五边形是正五边形， ∴， ∵， ∴， ∵正五边形的外接圆为， ∴四边形是内接四边形， ∴， ∴； 故答案为：． 13. 如图，折扇的骨柄长为，扇面宽度为、，折扇张开的角度为，则折扇扇面的面积为______（结果保留）． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了弧长公式和扇形的面积计算，注意：已知扇形的圆心角是，半径为r，那么扇形的面积是． 求出OC的长度，根据弧长公式求出的长度即可；根据扇形的面积公式求出折扇扇面的面积即可． 【详解】解：，， ， 折扇张开的角度为， 折扇扇面的面积为． 故答案为：． 14. 一条弦分圆为5：7两部分，这条弦所对的圆周角的度数_________． 【答案】75°或105°##105°或75° 【解析】 【分析】先根据弦把圆分成的两部分求出的度数，再利用圆周角定理即可求得答案． 【详解】解：如图所示， 弦把分成的两部分， ， ∴， ∴， ∴弦所对的圆周角为75°或105°， 故答案为：75°或105°． 【点睛】本题考查的是圆心角、弧、弦的关系及圆周角定理，根据题意作出辅助线，构造出圆周角是解答此题的关键． 15. 已知二次函数，当时，函数的最大值为2；当时，函数的最大值为1，则______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，二次函数的最值问题，采用数形结合的思想是解决此类题的关键． 由二次函数解析式可知抛物线开口向下，根据函数在不同区间内的最大值条件，确定对称轴位置及顶点坐标，通过代入点坐标和顶点公式列方程求解． 【详解】解：∵二次函数 的二次项系数为负， ∴抛物线开口向下，对称轴为直线 ． ∵当 时函数最大值为 2，当 时函数最大值为 1， ∴对称轴位于 区间内，即 ， ∴． 当 时，函数值最大为 1，代入得 ， 即 ， 整理得 ， ∴ ． ∵顶点处函数值为 ，代入 得 ， 整理得 ，即 ， 解得 或 ． 又∵ ∴排除 ， 故 ， 则 ， ∴ ． 故答案为：． 16. 如图，在中，点C在优弧上，将弧沿折叠后刚好经过的三等分点D，，若的半径为，，则的长是______． 【答案】8 【解析】 【分析】连接，过点作于点，过点作于点，过点作于点，首先根据题意可知，，结合垂径定理可知，进而由勾股定理可解得的值；再结合折叠的性质可知弧和弧所在的圆为等圆，进而可得，得到，由等腰三角形的性质可得，证明四边形为矩形，由矩形的性质可得，，在中，由勾股定理解得的值，然后解得，最后在中由勾股定理计算的长即可． 【详解】解：如图，连接，过点作于点，过点作于点，过点作于点， ∵的半径为，，点为的三等分点，且， ∴，，， ∴， ∵将弧沿折叠， ∴弧和弧所在的圆为等圆， 又∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∵，，， ∴， ∴四边形为矩形， ∴，， ∴在中，， ∴， ∴． 故答案为：8． 【点睛】本题主要考查了折叠的性质，弧、弦、圆周角的关系，垂径定理，等腰三角形的判定与性质，矩形的判定与性质，勾股定理等知识，正确作出辅助线，综合运用相关知识是解题关键． 三、解答题：本大题有8个小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17. 已知抛物线． （1）如果经过点，请写出这个抛物线的表达式． （2）如果顶点在y轴上时，求k的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的图象性质，一般式与顶点式之间的互相转换，熟悉掌握配方的方法是解题的关键． （1）把代入运算即可； （2）把函数式子变成顶点式，再根据横坐标为0求解即可． 【小问1详解】 解：已知抛物线经过点， 将代入，得， 即，，， 将代入， 得， 抛物线的表达式为； 【小问2详解】 解：由于， 其顶点坐标为； 当顶点在y轴上时，顶点横坐标为，故． 18. 小晗家客厅里装有一种三位单极开关，分别控制着A（楼梯）、B（客厅）、C（走廊）三盏电灯.在正常情况下，小晗按下任意一个开关均可打开对应的一盏电灯，既可三盏、两盏齐开，也可分别单盏开.因刚搬进新房不久，不熟悉情况. （1）若小晗任意按下一个开关，正好客厅灯亮的概率是___________. （2）若任意按下其中的两个开关，则正好客厅和走廊灯同时亮的概率是多少？请用树状图或列表法加以说明. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查的是用列表法或画树状图法求概率，解题的关键是掌握列表法或画树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，列表法适合于两步完成的事件，树状图法适合两步或两步以上完成的事件．用到的知识点为：概率所求情况数与总情况数之比． （1）直接利用概率公式求解，即可求得答案； （2）首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与正好客厅灯和走廊灯同时亮的情况，再利用概率公式即可求得答案． 【小问1详解】 解：小晗任意按下一个开关，正好客厅灯亮的概率是：； 【小问2详解】 解：画树状图得： 共有6种等可能的结果，正好客厅灯和走廊灯同时亮的有2种情况， 正好客厅灯和走廊灯同时亮的概率是：． 19. 如图，在正方形网格图中建立一直角坐标系，一条圆弧经过网格点A、B、C，请在网格中进行下列操作： （1）在图中确定该圆弧所在圆的圆心D点的位置，并写出点D点坐标为________． （2）连接AD、CD，求⊙D的半径及的长； （3）有一点E（6，0），判断点E与⊙D的位置关系． 【答案】（1）（2，0）；（2）π；（3）点E在⊙D内部． 【解析】 【分析】（1）找到AB，BC的垂直平分线的交点即为圆心坐标； （2）利用勾股定理可求得圆的半径；易得△AOD≌△DEC，那么∠OAD＝∠CDE，即可得到圆心角的度数为90°，根据弧长公式可得； （3）求出DE的长与半径比较可得． 【详解】（1）如图，D点坐标为（2，0）， 故答案为（2，0）； （2）AD＝； 作CE⊥x轴，垂足为E． ∵△AOD≌△DEC， ∴∠OAD＝∠CDE， 又∵∠OAD＋∠ADO＝90°， ∴∠CDE＋∠ADO＝90°， ∴扇形DAC的圆心角为90度， ∴的长为＝π； （3）点E到圆心D的距离为， ∴点E在⊙D内部． 【点睛】本题主要考查点与圆的位置关系、垂径定理、弧长公式等，用到的知识点为：非直径的弦的垂直平分线经过圆心． 20. 如图，在中，，以为直径的半圆O分别交于点D，E，连结．求证：． 【答案】证明见解析 【解析】 【分析】本题考查了半圆（直径）所对的圆周角是直角，平行线的性质，中位线的性质和三线合一的性质，作出正确的辅助线是解决本题的关键。 连接，根据三线合一可得D是的中点，则结合中位线的性质可得，最后根据平行线的性质证明即可。 【详解】解：连接，如下图， ∵为直径， ∴，， ∵， ∴是边上的中线， ∴是的中点， ∵O是的中点， ∴且， ∴，且， ∴， ∴． 21. 某校初三年级的一场篮球比赛中，如图队员甲正在投篮，已知球出手时离地面高，当球出手后水平距离为时到达最大高度，设篮球运行的轨迹为抛物线，建立如图的平面直角坐标系． （1）求出抛物线的解析式； （2）若队员与篮圈中心的水平距离为，篮圈距地面，问此球能否准确投中？ 【答案】（1）； （2）此球一定能投中． 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的应用． （1）根据抛物线的顶点坐标及球出手时的坐标，可确定抛物线的解析式； （2）令，求出的值，与比较即可作出判断． 【小问1详解】 解：根据题意，球出手点、最高点和篮圈的坐标分别为： ，， 设二次函数解析式为， 将点代入可得：， 解得：， 抛物线解析式为：； 【小问2详解】 解：将点坐标代入抛物线解析式得： ， 左边右边， 即点在抛物线上， 此球一定能投中． 22. 如图1，是的外角的角平分线，与的外接圆交于点． （1）若， ①求所对圆心角的度数； ②连结，，求证：是等边三角形． （2）如图2，若，，求的面积． 【答案】（1）①，②见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）①利用邻补角的意义和角平分线的定义解答即可； ②利用圆周角定理，圆的内接四边形的性质和等边三角形的判定定理解答即可； （2）连接并延长交于点，连接，，利用圆周角定理，同圆的半径相等的性质得到为等腰直角三角形，可求；利用等腰三角形的判定定理以及垂径定理得到，利用等腰直角三角形的性质求得，再利用三角形的面积公式解答即可． 【小问1详解】 ①解：， ． 所对圆心角的度数； ②证明：是的外角的角平分线， ． ， ， 为圆内接四边形的外角， ， ， ， 是等边三角形； 【小问2详解】 解：连接并延长交于点，连接，，如图， 则， ， 为等腰直角三角形， ， ． 是的外角的角平分线， ， 为圆内接四边形的外角， ． ， ， ， ． ． ， ， ． ∴的面积为． 【点睛】本题主要考查了圆的有关性质，圆周角定理，垂径定理，圆的内接四边形的性质，角平分线的定义，等腰三角形的判定与性质，等边三角形的判定，熟练掌握圆的有关性质是解题的关键． 23. 在平面直角坐标系中，抛物线经过和两点． （1）求c的值及满足的关系式； （2）若抛物线在A和B两点间，y随x的增大而增大，求a的取值范围； （3）抛物线同时经过两个不同的点． ①若，求a的值； ②若，点M在直线上，请验证点N也在上并求a的值． 【答案】 （1）， （2）且 （3）①；②见解析， 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的解析式确定、增减性分析及点与抛物线的关系，解题的关键是利用待定系数法列关系式，结合抛物线对称性与增减性分析参数，利用点在函数上的条件列方程求解． （1）将点代入解析式求c及a、b的关系式； （2）表示出对称轴，分a的正负结合增减性定范围； （3）①利用抛物线对称性列方程求a；②验证点N在直线上，代入抛物线列方程求a． 【详解】（1）解：将代入，得； 将代入，得，整理得 故c的值为，a、b满足的关系式为 （2）解：由（1）得，对称轴； 当时，开口向上，需对称轴，即，解得； 当时，开口向下，需对称轴,即，解得， 综上，且； （3）①解：∵， ∴对称轴为，即，解得 ②将代入，右边，与左边n相等，故点N在直线上； 将、代入，得，整理得； ，整理得； 两式相减得， ∵， ∴，即． 答：a的值为． 24. 如图，已知锐角三角形内接于圆O，于点D，连接． （1）若， ①求证：； ②当时，求面积的最大值． （2）点E在线段上，，连接，设，（m，n是正数），若，求证：． 【答案】（1）①见解析；② （2）证明见解析 【解析】 【分析】（1）①连接、，则，即可求解；②长度为定值，面积的最大值，要求边上的高最大，即可求解； （2）设，则，，，，求出，即可求解． 【小问1详解】 解：①连接、， ∵， ∴是等腰三角形， ∵， ∴， ∴， ， ； ②∵，， ∴， ∴， ∵长度为定值， ∴面积的最大值，要求边上的高最大， 当过点O时，最大，即：， ∴面积的最大值； 【小问2详解】 证明：如图2，连接，， 设， 则，， 则， ， ， ∵， ∴， ∴， ∴ ∴， ∴． 【点睛】本题为圆的综合运用题，考查了垂径定理，勾股定理，三角形内角和定理，等边对等角，角直角三角形的性质等知识，解题的关键是掌握以上知识点． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 杭州钱江外国语教育集团2025A学期期中小能手展示 九年级数学试题卷 【考生须知】 1．本卷为试题卷，请将答案做在答题卷上； 2．本次检测不使用计算器． 一、选择题：本大题有10个小题，每小题3分，共30分． 1. 将抛物线向右平移3个单位长度得到的抛物线是（ ） A. B. C. D. 2. 下列事件中，是随机事件的是（ ） A. 守株待兔 B. 只手遮天 C. 旭日东升 D. 水中捞月 3. 关于二次函数y=（x+1）2-2的图象，下列说法正确的是（　　） A. 它可由y=x2-2向右平移一个单位得到 B. 开口向下 C. 顶点坐标是（1，-2） D. 与x轴有两个交点 4. 下面四组线段中不能成比例线段的是（ ） A. 、、、 B. 、、、 C. 、、、 D. 、、、 5. 若，，为二次函数图象上的三点，则，，的大小关系为（　　） A. B. C. D. 6. 如图，点在以为直径的上，连结．若，则（　　） A. B. C. D. 7. 一台机器原价200万元，若每年折旧率是，两年后这台机器约为万元，则与的函数关系式为（　　） A. B. C. D. 8. 如图，中，将绕点逆时针旋转，得到，这时点B、C、D恰好在同一直线上，则的度数为（　　） A. B. C. D. 9. 如图，锐角三角形内接于，点、分别是、的中点，，，则（ ） A. B. C. D. 10. 已知二次函数（a，b是实数），设该函数最小值为k，下列说法正确的是（ ） A. 若，，则 B. 若，，则 C. 若，，则 D. 若，，则 二、填空题：本大题有6个小题，每小题3分，共18分． 11. 若，则的值是______． 12. 如图，正五边形内接于，P为劣弧上的动点，则的度数为__________°． 13. 如图，折扇的骨柄长为，扇面宽度为、，折扇张开的角度为，则折扇扇面的面积为______（结果保留）． 14. 一条弦分圆为5：7两部分，这条弦所对的圆周角的度数_________． 15. 已知二次函数，当时，函数的最大值为2；当时，函数的最大值为1，则______． 16. 如图，在中，点C在优弧上，将弧沿折叠后刚好经过的三等分点D，，若的半径为，，则的长是______． 三、解答题：本大题有8个小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17. 已知抛物线． （1）如果经过点，请写出这个抛物线的表达式． （2）如果顶点在y轴上时，求k的值． 18. 小晗家客厅里装有一种三位单极开关，分别控制着A（楼梯）、B（客厅）、C（走廊）三盏电灯.在正常情况下，小晗按下任意一个开关均可打开对应的一盏电灯，既可三盏、两盏齐开，也可分别单盏开.因刚搬进新房不久，不熟悉情况. （1）若小晗任意按下一个开关，正好客厅灯亮的概率是___________. （2）若任意按下其中的两个开关，则正好客厅和走廊灯同时亮的概率是多少？请用树状图或列表法加以说明. 19. 如图，在正方形网格图中建立一直角坐标系，一条圆弧经过网格点A、B、C，请在网格中进行下列操作： （1）在图中确定该圆弧所在圆的圆心D点的位置，并写出点D点坐标为________． （2）连接AD、CD，求⊙D的半径及的长； （3）有一点E（6，0），判断点E与⊙D的位置关系． 20. 如图，在中，，以为直径的半圆O分别交于点D，E，连结．求证：． 21. 某校初三年级的一场篮球比赛中，如图队员甲正在投篮，已知球出手时离地面高，当球出手后水平距离为时到达最大高度，设篮球运行的轨迹为抛物线，建立如图的平面直角坐标系． （1）求出抛物线的解析式； （2）若队员与篮圈中心的水平距离为，篮圈距地面，问此球能否准确投中？ 22. 如图1，是的外角的角平分线，与的外接圆交于点． （1）若， ①求所对圆心角的度数； ②连结，，求证：是等边三角形． （2）如图2，若，，求的面积． 23. 在平面直角坐标系中，抛物线经过和两点． （1）求c的值及满足的关系式； （2）若抛物线在A和B两点间，y随x的增大而增大，求a的取值范围； （3）抛物线同时经过两个不同的点． ①若，求a的值； ②若，点M在直线上，请验证点N也在上并求a的值． 24. 如图，已知锐角三角形内接于圆O，于点D，连接． （1）若， ①求证：； ②当时，求面积的最大值． （2）点E在线段上，，连接，设，（m，n是正数），若，求证：． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $