期中专项突破之解答题专项训练2025-2026学年沪科版九年级上册

期中专项突破之解答题专项训练2025-2026学年 沪科版九年级上册 板块一：二次函数 1.如图是抛物线的图象． （1）当取何值时，的值随着的增大而增大？ （2）求抛物线与轴的交点坐标． 2.二次函数的图象如图所示，其中图象与x轴交于点A和点B． （1）求此二次函数的解析式； （2）直接写出不等式的解集． 3.如图，人工喷泉有一个竖直的喷水枪AB，喷水口A距地面2.25m，喷泉水流的运动路线是抛物线，水流的最高点P到喷水枪AB所在直线的距离为1m，且到地面的距离为3m，以B点为原点，地面水平线和AB所在的直线为x，y轴建立平面直角坐标系，求水流的落地点C到水枪底部B的距离． 4.小红看到一处喷水景观，喷出的水柱呈抛物线形状，她对此展开研究：测得喷水头P距地面0.7m，水柱在距喷水头P水平距离5m处达到最高，最高点距地面3.2m；建立如图所示的平面直角坐标系，并设抛物线的表达式为，其中x（m）是水柱距喷水头的水平距离，y（m）是水柱距地面的高度． (1) 求抛物线的表达式． (2) 爸爸站在水柱正下方，且距喷水头P水平距离3m，身高1.6m的小红在水柱下方走动，当她的头顶恰好接触到水柱时，求她与爸爸的水平距离． 5.如图所示，修建一个矩形猪舍，猪舍一面靠墙，墙长13m，另外三面用27m长的建筑材料围成，其中一边开有一扇1m宽的门（不包括建筑材料）． （1）所围矩形猪舍的AB边为多少时，猪舍面积为90m2？ （2）所围矩形猪舍的AB边为多少时（AB为整数），猪舍面积最大，最大面积是多少？ 6.为了提高巴中市民的生活质量，巴中市对老旧小区进行了美化改造．如图，在老旧小区改造中，某小区决定用总长27m的栅栏，再借助外墙围成一个矩形绿化带ABCD，中间用栅栏隔成两个小矩形，已知房屋外墙长9m． （1）当AB长为多少时，绿化带ABCD的面积为42m2？ （2）当AB长为多少时，绿化带ABCD的面积最大，最大面积是多少？ 7.某市场销售一批名牌衬衫，平均每天可销售20件，每件赢利40元．为了扩大销售，增加赢利，尽快减少库存，商场决定采取适当降价措施．经调查发现，如果每件衬衫每降价1元，商场平均每天可多售出2件．求： (1)若商场平均每天要赢利1200元，每件衬衫应降价多少元？ (2)要使商场平均每天赢利最多，每件衬衫降价多少元？ 8.某商店购进一批成本为每件 30 元的商品，经调查发现，该商品每天的销售量 y（件）与销售单价 x（元）之间满足一次函数关系，其图象如图所示． （1）求该商品每天的销售量 y 与销售单价 x 之间的函数关系式； （2）若商店按单价不低于成本价，且不高于 50 元销售，则销售单价定为多少，才能使销售该商品每天获得的利润 w（元）最大？最大利润是多少？ （3）若商店要使销售该商品每天获得的利润不低于 800 元，则每天的销售量最少应为多少件？ 9．如图，抛物线与x轴交于A，B两点，与y轴交于C点，且A（﹣1，0）． （1）求抛物线的解析式及顶点D的坐标； （2）判断△ABC的形状，证明你的结论； （3）点M是对称轴上的一个动点，当△ACM的周长最小时，求点M的坐标及△ACM的周长． 10.如图，二次函数y=ax2+bx+c的图像交x轴于A（-2，0），B（1，0），交y轴于C（0，2）； （1）求二次函数的解析式； （2）连接AC，在直线AC上方的抛物线上是否存在点N，使△NAC的面积最大，若存在，求出这个最大值及此时点N的坐标，若不存在，说明理由． （3）若点M在x轴上，是否存在点M，使以B、C、M为顶点的三角形是等腰三角形，若存在，直接写出点M的坐标；若不存在，说明理由． 板块二：反比例函数 1.已知是关于的反比例函数，当时，． (1)求此函数的表达式； (2)当时，函数值是，求的值． 2.已知：，并且与x成正比例，与成反比例，且当时，，当时，，求y与x之间的函数解析式． 3.教师办公室有一种可以自动加热的饮水机，该饮水机的工作程序是：放满水后接通电源，则自动开始加热，每分钟水温上升10℃，待加热到100℃，饮水机自动停止加热，水温开始下降．水温y（℃）和通电时间x（min）成反比例函数关系，直至水温降至室温，饮水机再次自动加热，重复上述过程．设某天水温和室温均为20℃，接通电源后，水温y（℃）和通电时间x（min）之间的关系如图所示，回答下列问题： (1)分别求出当0≤x≤8和8＜x≤a时，y和x之间的函数关系式； (2)求出图中a的值； (3)李老师这天早上7：30将饮水机电源打开，若他想在8：10上课前喝到不低于40℃的开水，则他需要在什么时间段内接水？ 4.一辆汽车匀速通过某段公路，所需时间t（h）与行驶速度v（km/h）满足函数关系：，其图象为如图所示的一段曲线且端点为A(40，1)和B(m，0.5)． (1)求k和m的值； (2)若行驶速度不得超过50km/h，则汽车通过该路段最少需要多少时间？ 5.已知反比例函数的图象经过三个点A（﹣4，﹣3），B（2m，y1），C（6m，y2），其中m＞0． （1）当y1﹣y2=4时，求m的值； （2）如图，过点B、C分别作x轴、y轴的垂线，两垂线相交于点D，点P在x轴上，若三角形PBD的面积是8，请写出点P坐标（不需要写解答过程）． 6.如图，正比例函数y＝kx的图象与反比例函数y＝的图象交于A（3，4），B两点． （1）求k，m的值； （2）根据函数图象，直接写出不等式≥kx的解集； （3）若点C在y轴的正半轴上，且AC⊥BC，垂足为点C，求△ABC的面积． 板块三：相似形 1.如图，四边形四边形，分别求，的长及的度数． 2．如图，在平面直角坐标系中，△ABC的顶点坐标分别为A（2，0），B（3，2），C（5，﹣2）．以原点O为位似中心，在y轴的右侧将△ABC放大为原来的两倍得到△A'B'C'． （1）画出△A'B'C'； （2）分别写出B，C两点的对应点B'，C'的坐标． 3．如图，点，在的边，上，连接，点为外一点，连接，，点在上，连接，，，，，，求的值． 4．如图，在△ABC中，点D在AB边上，∠ABC＝∠ACD，若AC＝6，AD＝4，求BD的长． 5．已知：如图，△ABC中，D是边BC的中点，且AD＝AC，DE⊥BC交AB于点E，EC交AD于点F． （1） 求证：△ABC∽△FCD； （2）求 的值． 6．如图，已知，在△ABC中，BA＝BC＝40cm，AC＝60cm，点P从A点出发，沿AB以4cm/s的速度向点B运动；同时点Q从C点出发，沿CA以3cm/s的速度向A点运动，设运动时间为x， （1）当x为何值时，PQ∥BC； （2）当S△BCQ：S△ABC＝1：3时，求S△BPQ：S△ABC的值； （3）△APQ能否与△CQB相似，若能，求出AP的长，若不能，请说明理由． 7.如图，为了测量一栋楼的高度OE，小明同学先在操场上A处放一面镜子，向后退到B处，恰好在镜子中看到楼的顶部E；再将镜子放到C处，然后后退到D处，恰好再次在镜子中看到楼的顶部E(O，A，B，C，D在同一条直线上)，测得AC＝2m，BD＝2.1m，如果小明眼睛距地面髙度BF，DG为1.6m，试确定楼的高度OE． 8．小明想用镜子测量一棵松树的高度，但因树旁有一条河，不能测量镜子与树之间的距离，于是他两次利用镜子，如图所示，第一次他把镜子放在C点，人在F点时正好在镜子中看到树尖A的像；第二次把镜子放在D点，人在H点正好看到树尖A的像．已知小明的眼睛到地面的距离，量得，，．已知点B、C、F、D、H在一条直线上，，，，请你求出松树的高． 【答案】 期中专项突破之解答题专项训练2025-2026学年 沪科版九年级上册 板块一：二次函数 1.如图是抛物线的图象． （1）当取何值时，的值随着的增大而增大？ （2）求抛物线与轴的交点坐标． 【答案】 【小问1详解】 解：由图象可知，顶点坐标为， ∵该抛物线开口向下， 当时，y随x的增大而增大； 【小问2详解】 解：由图象可知，抛物线经过点和 将点和代入抛物线中， 解得：，， 所以该抛物线解析式为：； 把代入得 故抛物线与轴的交点坐标为． 2.二次函数的图象如图所示，其中图象与x轴交于点A和点B． （1）求此二次函数的解析式； （2）直接写出不等式的解集． 【答案】 【小问1详解】 解：由已知，函数图象经过， 将点A，B坐标代入，得， 解得：， ∴二次函数的解析式为； 【小问2详解】 由已知，二次函数图象与x轴的交点横坐标分别为， 不等式的解集为或． 3.如图，人工喷泉有一个竖直的喷水枪AB，喷水口A距地面2.25m，喷泉水流的运动路线是抛物线，水流的最高点P到喷水枪AB所在直线的距离为1m，且到地面的距离为3m，以B点为原点，地面水平线和AB所在的直线为x，y轴建立平面直角坐标系，求水流的落地点C到水枪底部B的距离． 【答案】 设抛物线的解析式为y=a(x−1) 2+3. 把A(0 , 2.25)代入解得a=−0.75； 所以y=−0.75 (x−1) 2+3 当y=0时，−0.75 (x−1) 2+3=0 解得x1=−1（舍），x2=3 所以水流的落地点C到水枪底部B的距离为3m. 4.小红看到一处喷水景观，喷出的水柱呈抛物线形状，她对此展开研究：测得喷水头P距地面0.7m，水柱在距喷水头P水平距离5m处达到最高，最高点距地面3.2m；建立如图所示的平面直角坐标系，并设抛物线的表达式为，其中x（m）是水柱距喷水头的水平距离，y（m）是水柱距地面的高度． (1) 求抛物线的表达式． (2) 爸爸站在水柱正下方，且距喷水头P水平距离3m，身高1.6m的小红在水柱下方走动，当她的头顶恰好接触到水柱时，求她与爸爸的水平距离． 【答案】 （1） 解：根据题意可知抛物线的顶点为， 设抛物线的解析式为， 将点代入，得， 解得， 抛物线的解析式为， （2） 由，令， 得， 解得， 爸爸站在水柱正下方，且距喷水头P水平距离3m， 当她的头顶恰好接触到水柱时，她与爸爸的水平距离为(m)，或(m)． 5.如图所示，修建一个矩形猪舍，猪舍一面靠墙，墙长13m，另外三面用27m长的建筑材料围成，其中一边开有一扇1m宽的门（不包括建筑材料）． （1）所围矩形猪舍的AB边为多少时，猪舍面积为90m2？ （2）所围矩形猪舍的AB边为多少时（AB为整数），猪舍面积最大，最大面积是多少？ 【答案】（1）AB边为5m时，猪舍面积为90m2； （2） AB边为8m时，猪舍面积最大，最大面积是96m2． 【解答】解：（1）设AB＝xm，则BC＝27+1﹣2x＝（28﹣2x）m， 由题意得：x（28﹣2x）＝90， 整理得：x2﹣14x+45＝0， 解得：x1＝5，x2＝9， 当x＝5时，28﹣2x＝28﹣10＝18＞13，不合题意舍去， 当x＝9时，28﹣2x＝28﹣18＝10＜13，符合题意， ∴AB＝9m， ∴所围矩形猪舍的AB边为5m时，猪舍面积为90m2； （2）设AB＝xm，则BC＝（28﹣2x）m，猪舍面积为Sm2，由题意得： S＝x（28﹣2x）＝﹣2x2+28x＝﹣2（x﹣7）2+98， ∵﹣2＜0， ∴当x＝7时，S有最大值，最大值为98， 此时28﹣2x＝28﹣14＝14＞13，不和题意， ∴当X＝8时，28﹣2x＝28﹣16＝12＜13， 此时，S＝﹣2（8﹣7）2+98＝﹣2+98＝96（m2）， ∴所围矩形猪舍的AB边为8m时，猪舍面积最大，最大面积是96m2． 6.为了提高巴中市民的生活质量，巴中市对老旧小区进行了美化改造．如图，在老旧小区改造中，某小区决定用总长27m的栅栏，再借助外墙围成一个矩形绿化带ABCD，中间用栅栏隔成两个小矩形，已知房屋外墙长9m． （1）当AB长为多少时，绿化带ABCD的面积为42m2？ （2）当AB长为多少时，绿化带ABCD的面积最大，最大面积是多少？ 【答案】（1）当AB长为7m时，绿化带ABCD的面积为42m2 （2）当AB长为6m时，绿化带ABCD的面积最大，最大面积是54 m2 【解答】解：（1）设AB长为xm时，绿化带ABCD的面积为42m2， x（27﹣3x）＝42， 解得x1＝2，x2＝7， 当x＝2时，27﹣3x＝21＞9，不合题意，舍去； 当x＝7时，27﹣3x＝6，符合题意； 答：当AB长为7m时，绿化带ABCD的面积为42m2； （2）设绿化带ABCD的面积为Sm2，AB长为am， S＝a（27﹣3a）＝﹣3a2+27a＝﹣3（a﹣）2+， ∴该函数图象开口向下，对称轴为直线x＝， ∵， 解得6≤a＜9， ∴当a＝6时，S取得最大值，此时S＝54， 答：当AB长为6m时，绿化带ABCD的面积最大，最大面积是54 m2． 7.某市场销售一批名牌衬衫，平均每天可销售20件，每件赢利40元．为了扩大销售，增加赢利，尽快减少库存，商场决定采取适当降价措施．经调查发现，如果每件衬衫每降价1元，商场平均每天可多售出2件．求： (1)若商场平均每天要赢利1200元，每件衬衫应降价多少元？ (2)要使商场平均每天赢利最多，每件衬衫降价多少元？ 【答案】 （1） 解：设每件衬衫降价x元，则商场平均每天可销售件，根据题意得： 解之得：， 根据题意要尽快减少库存，所以应降价20元 答：每件衬衫应降价20元； （2） 解：设每天利润为w元，每件衬衫降价a元，则商场平均每天可销售件，根据题意得： 商场每天盈利w= ∵-2＜0 ∴抛物线开口向下 ∴当x=15时，w有最大值，w的最大值为1250 ， 所以当每件衬衫应降价15元时，商场盈利最多，共1250元， 答：每件衬衫降价15元时，商场平均每天盈利最多． 8.某商店购进一批成本为每件 30 元的商品，经调查发现，该商品每天的销售量 y（件）与销售单价 x（元）之间满足一次函数关系，其图象如图所示． （1）求该商品每天的销售量 y 与销售单价 x 之间的函数关系式； （2）若商店按单价不低于成本价，且不高于 50 元销售，则销售单价定为多少，才能使销售该商品每天获得的利润 w（元）最大？最大利润是多少？ （3）若商店要使销售该商品每天获得的利润不低于 800 元，则每天的销售量最少应为多少件？ 【答案】 （1）设y与销售单价x之间的函数关系式为：y=kx+b， 将点（30，100）、（45，70）代入一次函数表达式得： ， 解得：， 故函数的表达式为：y=-2x+160； （2）由题意得：w=（x-30）（-2x+160）=-2（x-55）2+1250， ∵-2＜0，故当x＜55时，w随x的增大而增大，而30≤x≤50， ∴当x=50时，w由最大值，此时，w=1200， 故销售单价定为50元时，该超市每天的利润最大，最大利润1200元； （3）由题意得：（x-30）（-2x+160=800， 解得： 当时，每天获得的利润不低于 800 元， ∴每天的销售量y=-2x+160≥20， ∴每天的销售量最少应为20件． 9．如图，抛物线与x轴交于A，B两点，与y轴交于C点，且A（﹣1，0）． （1）求抛物线的解析式及顶点D的坐标； （2）判断△ABC的形状，证明你的结论； （3）点M是对称轴上的一个动点，当△ACM的周长最小时，求点M的坐标及△ACM的周长． 【答案】 （1）解：∵点A（﹣1，0）在抛物线上， ∴×＋b×（﹣1）﹣2＝0， 解得：b＝﹣， ∴抛物线的解析式为， ∵， ∴顶点D的坐标为：（，﹣）； （2）解：当x＝0时y＝﹣2， ∴C（0，﹣2），OC＝2， 当y＝0时，即， 解得：＝﹣1，＝4， ∴B（4，0）， ∴OA＝1，OB＝4， ∴AB＝5， ∵＝25，，， ∴， ∴△ABC是直角三角形； （3）解：如图，连接AM， 点A关于对称轴的对称点为点B，BC交对称轴于点M，根据轴对称性及两点之间线段最短可知，MC＋MA的值最小，最小值为BC的长，即此时△ACM周长最小， 设直线BC解析式为：y＝kx＋d， 代入C（0，﹣2），B（4，0）得：， 解得：， 故直线BC的解析式为：y＝x﹣2， 当x＝时，y＝﹣， ∴M（，﹣）， ∴△ACM最小周长是：AC＋AM＋MC＝AC＋BC＝＋2＝3． 10.如图，二次函数y=ax2+bx+c的图像交x轴于A（-2，0），B（1，0），交y轴于C（0，2）； （1）求二次函数的解析式； （2）连接AC，在直线AC上方的抛物线上是否存在点N，使△NAC的面积最大，若存在，求出这个最大值及此时点N的坐标，若不存在，说明理由． （3）若点M在x轴上，是否存在点M，使以B、C、M为顶点的三角形是等腰三角形，若存在，直接写出点M的坐标；若不存在，说明理由． 【答案】 解：（1）∵二次函数y=ax2+bx+c的图像交x轴于A（-2，0），B（1，0）， 设二次函数的解析式为：y=a， 把C（0，2）代入得：2=a， a=-1， ∴y==-x2-x+2， ∴二次函数的解析式为：y=-x2-x+2； （2）如图1，过N作ND∥y轴，交AC于D，设N（n，-n2-n+2）， 设直线AC的解析式为：y=kx+b， 把A（-2，0）、C（0，2）代入得：， 解得： ， ∴直线AC的解析式为：y=x+2， ∴D（n，n+2）， ∴ND=（-n2-n+2）-（n+2）=-n2-2n， ∴S△ANC=×2×[-n2-2n]=-n2-2n=-（n+1）2+1， ∴当n=-1时，△ANC的面积有最大值为1，此时N（-1，2）， （3）存在，分三种情况： ①如图2，当BC=CM1时，M1（-1，0）； ②如图2，由勾股定理得：BC=， 以B为圆心，以BC为半径画圆，交x轴于M2、M3，则BC=BM2=BM3=， 此时，M2（1-，0），M3（1+，0）； ③如图3，作BC的中垂线，交x轴于M4，连接CM4，则CM4=BM4， 设OM4=x，则CM4=BM4=x+1， 由勾股定理得：22+x2=（1+x）2， 解得：x=， ∵M4在x轴的负半轴上， ∴M4（，0）， 综上所述，当B、C、M为顶点的三角形是等腰三角形时，M的坐标为（-1，0）或（1±，0）或（，0）； 板块二：反比例函数 1.已知是关于的反比例函数，当时，． (1)求此函数的表达式； (2)当时，函数值是，求的值． 【答案】(1)反比例函数解析式为 (2) 【详解】（1）解：设反比例函数解析式为， 把，代入反比例函数解析式，可得：， ∴反比例函数解析式为． （2）解：由（1）可得：， ∵当时，函数值是， 又∵当时，， ∴， 解得：． 2.已知：，并且与x成正比例，与成反比例，且当时，，当时，，求y与x之间的函数解析式． 【答案】 【详解】∵与x成正比例，与成反比例， ∴设，， ∴， ∵当时，，当时，， ∴，解得， ∴y与x之间的函数解析式为． 3.教师办公室有一种可以自动加热的饮水机，该饮水机的工作程序是：放满水后接通电源，则自动开始加热，每分钟水温上升10℃，待加热到100℃，饮水机自动停止加热，水温开始下降．水温y（℃）和通电时间x（min）成反比例函数关系，直至水温降至室温，饮水机再次自动加热，重复上述过程．设某天水温和室温均为20℃，接通电源后，水温y（℃）和通电时间x（min）之间的关系如图所示，回答下列问题： (1)分别求出当0≤x≤8和8＜x≤a时，y和x之间的函数关系式； (2)求出图中a的值； (3)李老师这天早上7：30将饮水机电源打开，若他想在8：10上课前喝到不低于40℃的开水，则他需要在什么时间段内接水？ 【答案】 （1） 当0≤x≤8时，设y＝k1x+b， 将（0，20），（8，100）的坐标分别代入y＝k1x+b得， 解得k1＝10，b＝20． ∴当0≤x≤8时，y＝10x+20． 当8＜x≤a时，设y＝， 将（8，100）的坐标代入y＝， 得k2＝800 ∴当8＜x≤a时，y＝． 综上，当0≤x≤8时，y＝10x+20；当8＜x≤a时，y＝． （2） 将y＝20代入y＝， 解得x＝40， 即a＝40； （3） 当y＝40时，x＝＝20． ∴要想喝到不低于40℃的开水，x需满足8≤x≤20， 即李老师要在7：38到7：50之间接水． 4.一辆汽车匀速通过某段公路，所需时间t（h）与行驶速度v（km/h）满足函数关系：，其图象为如图所示的一段曲线且端点为A(40，1)和B(m，0.5)． (1)求k和m的值； (2)若行驶速度不得超过50km/h，则汽车通过该路段最少需要多少时间？ 【答案】 (1) 由题意得，函数经过点（40，1）， ，得k=40， ∴函数关系式为： 把（m，0．5）代入，得m=80； (2) 把v=50代入，得， ∵t随v的增大而减小， ∴汽车通过该路段最少需要小时． 5.已知反比例函数的图象经过三个点A（﹣4，﹣3），B（2m，y1），C（6m，y2），其中m＞0． （1）当y1﹣y2=4时，求m的值； （2）如图，过点B、C分别作x轴、y轴的垂线，两垂线相交于点D，点P在x轴上，若三角形PBD的面积是8，请写出点P坐标（不需要写解答过程）． 【答案】 （1）设反比例函数的解析式为y=， ∵反比例函数的图象经过点A（﹣4，﹣3）， ∴k=﹣4×（﹣3）=12， ∴反比例函数的解析式为y=， ∵反比例函数的图象经过点B（2m，y1），C（6m，y2）， ∴y1==，y2==， ∵y1﹣y2=4， ∴﹣=4， ∴m=1； （2）设BD与x轴交于点E． ∵点B（2m，），C（6m，），过点B、C分别作x轴、y轴的垂线，两垂线相交于点D， ∴D（2m，），BD=﹣=． ∵三角形PBD的面积是8， ∴BD•PE=8， ∴••PE=8， ∴PE=4m， ∵E（2m，0），点P在x轴上， ∴点P坐标为（﹣2m，0）或（6m，0）． 6.如图，正比例函数y＝kx的图象与反比例函数y＝的图象交于A（3，4），B两点． （1）求k，m的值； （2）根据函数图象，直接写出不等式≥kx的解集； （3）若点C在y轴的正半轴上，且AC⊥BC，垂足为点C，求△ABC的面积． 【答案】 解：（1）∵正比例函数y＝kx的图象与反比例函数y＝的图象交于A（3，4）， ∴4＝3k，4＝， ∴k＝，m＝12； （2）∵k＝，m＝12， ∴一次函数为y＝x，反比例函数解析式为y＝， 解方程得，，， ∴B（﹣3，﹣4）， ∴不等式≥kx的解集为0＜x≤3或x≤﹣3； （3）由（2）知点B（﹣3，﹣4）， ∴AO＝BO＝＝5， 又∵∠ACB＝90°， ∴CO＝AO＝BO＝5， ∴点C（0，5）， ∴△ABC的面积＝5×（3+3）＝15． 板块三：相似形 1.如图，四边形四边形，分别求，的长及的度数． 【答案】 【详解】解：四边形四边形， ，， ，． 2．如图，在平面直角坐标系中，△ABC的顶点坐标分别为A（2，0），B（3，2），C（5，﹣2）．以原点O为位似中心，在y轴的右侧将△ABC放大为原来的两倍得到△A'B'C'． （1）画出△A'B'C'； （2）分别写出B，C两点的对应点B'，C'的坐标． 【答案】 解：（1）∵以原点O为位似中心，在y轴的右侧将△ABC放大为原来的两倍得到△A′B′C′， ∴A′（4，0），B′（6，4），C′（10，﹣4）； 如图画出△A′B′C′： （2）由（1）得：B′（6，4），C′（10，﹣4）． 3．如图，点，在的边，上，连接，点为外一点，连接，，点在上，连接，，，，，，求的值． 【答案】 解：，， ，， ，，， ， ， ． 4．如图，在△ABC中，点D在AB边上，∠ABC＝∠ACD，若AC＝6，AD＝4，求BD的长． 【答案】解： AC＝6，AD＝4， 经检验： 符合题意， 5．已知：如图，△ABC中，D是边BC的中点，且AD＝AC，DE⊥BC交AB于点E，EC交AD于点F． （2） 求证：△ABC∽△FCD； （2）求 的值． 【答案】（1）证明：∵AD＝AC， ∴∠ADC＝∠ACB， ∵D是边BC的中点，DE⊥BC ∴DE是BC的中垂线 ∴BE=CE ∴∠B＝∠ECB， ∴△ABC∽△FCD； （2）解：∵△ABC∽△FCD， ∴ ， ∵D是BC边的中点， ∴BC＝2CD， ∴AD＝AC＝2FD， ∵∠ACD＝∠ADC，∠B＝∠FCD， ∴∠EAD＝∠ACE， ∴△EAF∽△ECA， ∴ ， ∴EC＝2EA＝4EF， ∴ ＝3． 6．如图，已知，在△ABC中，BA＝BC＝40cm，AC＝60cm，点P从A点出发，沿AB以4cm/s的速度向点B运动；同时点Q从C点出发，沿CA以3cm/s的速度向A点运动，设运动时间为x， （1）当x为何值时，PQ∥BC； （2）当S△BCQ：S△ABC＝1：3时，求S△BPQ：S△ABC的值； （3）△APQ能否与△CQB相似，若能，求出AP的长，若不能，请说明理由． 【答案】 解：（1）由题意得，AP＝4x cm，CQ＝3x cm，PB＝（40﹣4x）cm，AQ＝（60﹣3x）cm， ∵PQ∥BC， ∴AP：AB＝AQ：AC， ∴＝， ∴， 即当时，PQ∥BC； （2）∵， ∴CQ：AC＝1：3，， ∴CQ＝20＝3x， ∴， ∴，， ∴＝＝， ∴＝＝×＝， 即S△BPQ：S△ABC＝2：9＝； （3））△APQ能与△CQB相似．理由如下： ∵BA＝BC， ∴∠A＝∠C， 要使△APQ∽△CQB， 只需＝． 此时＝， 解得：x＝， ∴AP＝4x＝； 要使△APQ∽△CBQ， ∴＝， ∴＝， ∴x＝﹣20（舍）或x＝10， ∴AP＝4x＝40， 即：AP的长为40或． 7.如图，为了测量一栋楼的高度OE，小明同学先在操场上A处放一面镜子，向后退到B处，恰好在镜子中看到楼的顶部E；再将镜子放到C处，然后后退到D处，恰好再次在镜子中看到楼的顶部E(O，A，B，C，D在同一条直线上)，测得AC＝2m，BD＝2.1m，如果小明眼睛距地面髙度BF，DG为1.6m，试确定楼的高度OE． 【答案】楼的高度OE为32米． 【解析】设E关于O的对称点为M，由光的反射定律知，延长GC、FA相交于点M， 连接GF并延长交OE于点H， ∵GF∥AC， ∴△MAC∽△MFG， ∴， 即：， ∴， ∴OE＝32 8．小明想用镜子测量一棵松树的高度，但因树旁有一条河，不能测量镜子与树之间的距离，于是他两次利用镜子，如图所示，第一次他把镜子放在C点，人在F点时正好在镜子中看到树尖A的像；第二次把镜子放在D点，人在H点正好看到树尖A的像．已知小明的眼睛到地面的距离，量得，，．已知点B、C、F、D、H在一条直线上，，，，请你求出松树的高． 【答案】解：∵，，， ∴，， ∵，（反射定律） ∴， ∴，即， ∴， ∵，（反射定律） ∴， ∴，即， ∴， 解得， 答：松树的高为． 学科网（北京）股份有限公司 $