解答题 概率与统计（专项训练，12大题型+高分必刷）（全国通用）2026年高考数学一轮复习讲练测

解答题 概率与统计 根据近几年的高考情况，概率统计是高考的必考内容，并且在解答题中都有出现，这就要求学生对于概率统计的基础知识必须要求达标过关。同时兼顾基础与核心素养的考察，包含数学运算，逻辑推理等，结合其他知识的综合考察，如结合数列的马尔科夫链，与导数结合的最值范围求解。而从2025年刚考完的统计模块的知识，所以2026年高考考察概率的解答题可能性更大，但不避免依然考察统计部分内容。 题型1 超几何分布 （2025·江苏南通·一模）近年来，盲盒经济在消费市场中掀起了一阵热潮，成为一种普遍的经济现象．商家通过不断变换花样吸引消费者．某商店推出一款售价为1元/个且外观相同的盲盒，每开一个盲盒，会开出3款不同颜色（分别记为红色、黄色、蓝色）的某一商品，开出红色、黄色、蓝色商品的概率分别为． (1)若某顾客一次性购买了3个盲盒，求该顾客恰好开出两个红色商品的概率； (2)若某顾客只想要红色商品，与老板协商一致，每次开一个盲盒，如果开出红色商品则停止，否则再开一个盲盒，若连续4次均未开出红色商品，老板就赠送一个红色商品给他为了得到红色商品，求该顾客的平均花费． 【答案】(1)(2) 【解析】（1）记“该顾客恰好开出两个红色商品”为事件，． （2）为了得到红色商品，记该顾客打开盲盒的次数为，的所有可能取值为． ，， 的分布列如下： 1 2 3 4 则该顾客的平均花费为元． 1、超几何分布的特征： ①考察对象分两类；②已知各类对象的个数；③从中抽取若干个体，考察某类个体数X的概率分布； 重点特征：④超几何分布的抽取是不放回抽取，各次抽取不独立。 2、 定义： 一般地，假设一批产品共有N件，其中有M件次品.从N件产品中随机抽取n件(不放回)，用X表示抽取的n件产品中的次品数，则X的分布列为P(X=k)=，k=m，m+1，m+2，，r.其中n,N,M∈，MN，nN，m=max{0，n-N+M}，r=.如果随机变量X的分布列具有上式的形式，那么称随机变量X服从超几何分布. 可以将上面的超几何分布记为。 N：总体的个体总数； M：总体中特定类别个体数（如这里的次品，正品）； n：抽取的样本容量 3、 数学期望与方差: 数学期望： 或者为 方差: 或者： 4、 数学期望与方差性质： ； 5、 数学期望与方差的关系： . 1、（2023·河南新乡·统考三模）现有4个红球和4个黄球，将其分配到甲、乙两个盒子中，每个盒子中4个球． (1)求甲盒子中有2个红球和2个黄球的概率． (2)已知甲盒子中有3个红球和1个黄球，若同时从甲、乙两个盒子中取出个球进行交换，记交换后甲盒子中的红球个数为X，X的数学期望为．证明：． 【答案】(1) (2)证明见解析 【解析】（1）由题可知， 甲盒子中有2个红球和2个黄球的概率． （2）当时，X的取值可能是2，3，4， 且，，， 则． 当时，X的取值可能是0，1，2， 且，，， 则． 故． 2．（25-26高三上·内蒙古呼和浩特·开学考试）工厂要对2024年12月份生产的N件产品中随机抽取3件做质量分析，已知其中A等品占，B等品占． (1)当时， ①求出3件产品中恰有2件A等品的概率； ②求出3件产品中A等品个数X的分布列与数学期望； (2)当总量N足够大，抽出的个体数量足够小时，超几何分布近似为二项分布．现在在2024年全年生产的产品范围内考虑从件产品（A，B等品比例不变）中随机抽取3件，在超几何分布中A等品恰有2件的概率记作；在二项分布中A等品恰有2件的概率记作．那么当N至少为多少时，我们可以在误差不超过的前提下，认为超几何分布近似为二项分布． （参考数据：，） 【答案】(1)①；②分布列见解析， (2)145 【分析】（1）①先求出当时，A等品有4件，B等品有6件，利用超几何分布概率模型求出概率； ②利用超几何分布概率模型求出概率，即可列出分布列和求数学期望； （2）利用二项分布概率模型和超几何分布概率模型即可求解. 【详解】（1）①当时，其中A等品有件，B等品有件， 则从10件产品中随机抽取3件，恰有2件A等品的概率为； ②当时，A等品有4个，B等品有6个． X服从超几何分布，，1，2，3， ，， ，， ∴X的分布列为 X 0 1 2 3 P ． （2）， ， 由于，则， 即， 即， 由题意易知， 从而， 化简得， 又，于是． 由于函数在上单调递减，在上单调递增， 而，从而，当时单调递增， 又，． 因此当时，符合题意， 而又考虑到和都是整数，则N一定是5的整数倍，于是． 即N至少为145， 我们可以在误差不超过0.001（即）的前提下认为超几何分布近似为二项分布． 3．（2025·云南曲靖·模拟预测）某学校对高中生体质健康调研，随机抽取100名学生的体重（单位：kg）得到如下频数分布表： 分组 频数 5 25 40 20 10 (1)估计样本的中位数； (2)从样本和中按分层抽样抽取学生6人，再从这6人中随机抽取3人，其中体重在，的人数分别为，，记． （i）求的分布列及期望； （ii）求． 【答案】(1)65 (2)（i）分布列见解析，数学期望为1；（ii）. 【分析】（1）根据中位数的定义确定体重区间，进而可求得中位数的值. （2）（i）首先确定分层抽样的比例，然后确定的可能取值，并计算相应的概率，列出分布列，计算出期望；（ii）根据方差公式求出的值. 【详解】（1）因为，， 故样本的中位数落在内，                            又，故中位数为 （2）（i）和的人数比为，          分层抽样抽取学生6人中，和的人数分别为和， 故这6人中随机抽取3人，的可能取值为，对应的的取值为， 所以的可能取值为，                         ，，，    故的分布列为 期望为，              （ii）由（i）知 ， 所以． 题型2 二项分布 （2025·江西·模拟预测）某平台为了研究用户日均观看短视频的时长，随机抽取了200名用户进行调查，得到数据如下表： 日均时长（分钟） [40，50] 频数 30 50 80 30 10 (1)估计这200名用户日均观看时长的第70百分位数； (2)若平台规定“日均观看时长不少于30分钟的用户为潜在高粘性用户”，现从样本中有放回地抽取次，每次抽取1人，记抽到潜在高粘性用户的人数为. （i）当时，求的分布列和数学期望； （ii）若平台希望至少抽到1名潜在高粘性用户的概率不低于，至少需抽取多少次？（参考数据：） 【答案】(1) (2)（i）分布列见解析，；（ii）11次 【分析】（1）第70百分位数为累计频数，第70百分位数落在区间，利用比例求解即可； （2）（i），列出Y的所有可能取值和对应概率，得到分布列，并利用二项分布求期望公式计算出数学期望； （ii）利用对立事件计算出抽到潜在高粘性用户的概率，解不等式得到答案 【详解】（1）将数据按时长升序排列，第70百分位数位置为， 前两组累计频数，前3组累计频数， 故第70百分位数落在区间， 则第70百分位数约为； （2）（i）潜在高粘性用户的频率为，. 易得的可能取值有0，1，2，3， 则， ，. 故的分布列为 0 1 2 3 ； （ii）设至少需抽取次，则，即，. 即， 故至少需抽取11次. 1、二项分布的特征： ①每一次试验中，事件发生的概率相同；②各次试验中的事件是相互独立的；③每一次试验中，试验结果只有两个，即发生与不发生； 重点特征：④二项分布的抽取是有放回抽取，各次抽取相互独立。 2、 定义： 一般地，在n重伯努利试验中，设每次试验中事件A发生的概率为p(0<p<1)，用X表示事件A发生的 次数，则X的分布列为P(X=k)=，k=0，1，2，，n.如果随机变量X的分布列具有上式的形式，则称随机变量X服从二项分布，记作X～B(n，p). 3、 数学期望和方差： 如果X～B(n，p)，那么E(X)=np，D(X)=np(1-p). 1．（2023·江苏扬州·扬州中学校考模拟预测）学校组织A，B，C，D，E五位同学参加某大学的测试活动，现有甲、乙两种不同的测试方案，每位同学随机选择其中的一种方案进行测试，选择甲方案测试合格的概率为，选择乙方案测试合格的概率为，且每位同学测试的结果互不影响. (1)若5位同学全选择甲方案，将测试合格的同学的人数记为X，求X的分布列及其方差； (2)若测试合格的人数的期望值不小于3，求选择甲方案进行测试的同学的可能人数. 【答案】(1)分布列见详解；. (2) 【解析】（1）由已知随机变量X的取值有,则. ；； ；； ；. 所以X的分布列为 X 0 1 2 3 4 5 P 方差. （2）设选择甲方案测试的学生人数为， 则选择乙方案测试的学生人数为，并设通过甲方案测试合格的学生人数为， 通过乙方案测试合格的学生人数为， 当时，此时所有学生均选择乙方案测试，则， 所以，不符合题意； 当时，此时所有学生均选择甲方案测试，则， 所以，符合题意； 当时，，， 所以， 又， 则，故当时，符合题意. 综上，所以. 所以当选择甲方案测试的学生人数为时，测试合格的人数的均值不小于3. 2．（25-26高三上·陕西汉中·开学考试）已知排球比赛的规则是：每局25分，达到24分时，比赛双方必须相差2分.才能分出胜负；每场比赛采用“5局3胜制”（即有一支球队先胜3局即获胜，比赛结束）；比赛排名采用积分制，积分规则如下：比赛中，以3:0或3:1取胜的球队积3分，负队积0分；以3:2取胜的球队积2分，负队积1分.甲、乙两队近期将要进行比赛，为预测它们的积分情况，收集了两队以往6局比赛成绩： 1 2 3 4 5 6 甲 25 21 27 27 23 25 乙 18 25 25 25 25 17 假设用频率估计概率，且甲，乙每局的比赛相互独立． (1)估计甲队每局获胜的概率； (2)如果甲、乙两队比赛1场，求甲队的积分的概率分布列和数学期望； (3)如果甲、乙两队约定比赛2场，求两队积分相等的概率． 【答案】(1) (2)分布列见解析， (3) 【分析】（1）用频率估计概率，结合题意求概率即可； （2）由题意可知，随机变量的所有可能取值为0，1，2，3，结合独立重复性实验概率公式求分布列和期望； （3）记“甲、乙比赛两场后，两队积分相等”为事件A，分析可得，结合题意运算求解. 【详解】（1）用频率估计概率，6局中甲共赢4局，则甲队每局获胜的概率为. （2）由题意可知，随机变量的所有可能取值为0，1，2，3， 则，， ，， 可得的分布列为： 0 1 2 3 所以. （3）记“甲、乙比赛两场后，两队积分相等”为事件A， 设第场甲、乙两队积分分别为，，则，其中， 因为两队积分相等，则， 即，可得， 又因为，，，， 所以. 3．（25-26高三上·河北衡水·开学考试）已知每门大炮击中目标的概率都是，现在门大炮同时对某一目标各射击一次. (1)当时，记目标被击中的次数为，求的分布列、数学期望和方差； (2)如果使目标至少被击中一次的概率超过，至少需要多少门大炮？（，） 【答案】(1)分布列见解析，， (2)12门 【分析】（1）由已知根据二项分布的概率计算公式分别计算概率，然后根据二项分布的期望和方差公式求解即可； （2）由已知可得，然后根据对数的运算求解即可. 【详解】（1）的可能取值为0，1，2，3，4， 由，有， ，， ，， 随机变量的分布列为： 0 1 2 3 4 有，； （2）由目标至少被击中一次的概率为， 又由目标至少被击中一次的概率超过，则，则， 所以， 所以至少需要12门大炮. 题型3 概率的独立性 （2024·河南郑州·模拟预测）手工刺绣是中国非物质文化遗产之一，指以手工方式，用针和线把人的设计和制作添加在任何存在的织物上的一种艺术，大致分为绘制白描图和手工着色、电脑着色，选线、配线和裁布三个环节，简记为工序A，工序，工序.经过试验测得小李在这三道工序成功的概率依次为，，.现某单位推出一项手工刺绣体验活动，报名费30元，成功通过三道工序最终的奖励金额是200元，为了更好地激励参与者的兴趣，举办方推出了一项工序补救服务，可以在着手前付费聘请技术员，若某一道工序没有成功，可以由技术员完成本道工序.每位技术员只完成其中一道工序，每聘请一位技术员需另付费100元，制作完成后没有接受技术员补救服务的退还一半的聘请费用. (1)若小李聘请一位技术员，求他成功完成三道工序的概率； (2)若小李聘请两位技术员，求他最终获得收益的期望值. 【答案】(1)； (2). 【解析】（1）记事件M为“小李聘请一位技术员成功完成三道工序”， 当技术员完成工序A时，小李成功完成三道工序的概率为：, 当技术员完成工序B时，小李成功完成三道工序的概率为：, 当技术员完成工序C时，小李成功完成三道工序的概率为：, 当技术员没参与补救时，小李成功完成三道工序的概率为：， 故小李成功完成三道工序的概率为； （2）设小李最终收益为X，小李聘请两位技术员参与比赛， 有如下几种情况： 两位技术员都参与补救但仍未成功完成三道工序，此时，； 两位技术员都参与补救并成功完成三道工序，此时，； 只有一位技术员参与补救后成功完成三道工序，此时，; 技术员最终未参与补救仍成功完成三道工序，此时，； 故. 1、判断独立的方法： （1）、直接法：直接判断一个事件发生能否影响另一个事件发生的概率。 （2）、定义法：若P(AB)=P(A)P(B)成立，则A事件与B事件相互独立，反之亦成立。 （3）、转化法：由事件A与事件B相互独立知，A与，与B，与也相互独立。 2、n个独立事件同时发生的概率 P(A1· A2·…· An)=P(A1)· P(A2)·…· P(An)． 1．（24-25高三上·湖南长沙·阶段练习）现有一种不断分裂的细胞，每个时间周期内分裂一次，一个细胞每次分裂能生成一个或两个新的细胞，每次分裂后原细胞消失．设每次分裂成一个新细胞的概率为，分裂成两个新细胞的概率为；新细胞在下一个周期内可以继续分裂，每个细胞分裂相互独立．设有一个初始的细胞，从第一个周期开始分裂． (1)当时，求个周期结束后细胞数量为个的概率； (2)设个周期结束后，细胞的数量为，求的分布列和数学期望． 【答案】(1) (2)分布列见解析， 【分析】（1）个周期结束后细胞数量为个,分以下三种情况，第一个周期分裂为个细胞，后面两个周期均保持为个细胞，第二个周期分裂为个细胞，后面一个周期保持为个细胞，前两个周期都保持为个细胞，第三个周期分裂为个细胞，依次计算即可得出结果； （2）求出的取值及不同取值对应的概率，进而列出分布列，利用期望公式求出期望. 【详解】（1）由题意可知，当时， 个周期结束后细胞数量为个, 则设第个周期分裂为个细胞，之后一直保持为个细胞， 第一个周期分裂为个细胞，后面两个周期均保持为个细胞， 故, 第二个周期分裂为个细胞，后面一个周期保持为个细胞， 故, 前两个周期都保持为个细胞，第三个周期分裂为个细胞， 故， 综上可知，. （2）个周期结束后，的取值可能为, 其中, ， ，， 所以分布列为 . 2．（2023·福建龙岩·统考二模）为了丰富孩子们的校园生活，某校团委牵头，发起体育运动和文化项目比赛，经过角逐，甲、乙两人进入最后的决赛．决赛先进行两天，每天实行三局两胜制，即先赢两局的人获得该天胜利，此时该天比赛结束．若甲、乙两人中的一方能连续两天胜利，则其为最终冠军；若前两天甲、乙两人各赢一天，则第三天只进行一局附加赛，该附加赛的获胜方为最终冠军设每局比赛甲获胜的概率为，每局比赛的结果没有平局且结果互相独立． (1)记第一天需要进行的比赛局数为X，求X的分布列及； (2)记一共进行的比赛局数为Y，求． 【答案】(1)分布列见解析；期望为 (2) 【解析】（1）解：可能取值为2，3． 所以的分布列如下： 2 3 ∴． （2）前两天中每一天甲以2：0获胜的的概率均为； 乙以2：0获胜的的概率均为 甲以2：1获胜的的概率均为 乙以2：1获胜的的概率均为 ∴ 即获胜方前两天比分为和，或者和再加附加赛 甲获胜的概率为， 乙获胜的概率为 ∴ ∴． 3．（25-26高三上·湖北荆州·开学考试）在电竞比赛中一般采用“双败淘汰制”，这是一种兼顾效率与公平的比赛赛制，基本原则是“失败2次才被淘汰”“越先淘汰所获名次越低”，且每场比赛只有胜负之分．现组织，，，共4个电竞队参加比赛，采用“双败淘汰制”，其流程如下： 第一轮：抽签随机分成2组比赛，每组比赛的胜者进入胜者组，败者进入败者组．第二轮：胜者组、败者组分别比赛，胜者组的胜者（记为）进入决赛，败者组的败者因失败2次被淘汰并获得第4名．第三轮：第二轮胜者组的败者与败者组的胜者比赛，胜者（记为）进入决赛，败者被淘汰并获得第3名．第四轮：决赛，若获胜则比赛结束，获得冠军，获得第2名；若获胜，则需加赛一场，加赛胜者获得冠军，败者获得第2名．已知队战胜其他3支队伍的概率均为．且各场比赛互不影响． (1)求队全胜夺冠的概率； (2)设队在整个赛事中参赛场次为随机变量，求的分布列及数学期望． 【答案】(1) (2)分布列见详解； 【分析】（1）由题意可知队参加的三轮比赛并全部获胜，进而即可求出队全胜夺冠的概率； （2）依题意可得随机变量的可能取值为2，3，4，5，计算出每种取值的概率，进而即可得到的分布列，并可求出其数学期望． 【详解】（1）由队全胜夺冠，即队在所有参加的比赛中均获胜， 所以队在第一轮获胜，第二轮获胜，第四轮获胜， 所以队全胜夺冠的概率为． （2）依题意可得随机变量的可能取值为2，3，4，5， 若，即队在第一轮，第二轮均失败， 所以， 若，队在整个赛事中参赛场次有三种情况： ①队在第一轮获胜，第二轮获胜，第四轮获胜，其概率为； ②队在第一轮获胜，第二轮失败，第三轮失败，其概率为； ③队在第一轮失败，第二轮获胜，第三轮失败，其概率为， 所以， 若，队在整个赛事中参赛场次有三种情况： ①队在第一轮获胜，第二轮失败，第三轮获胜，第四轮失败，其概率为； ②队在第一轮获胜，第二轮获胜，第四轮失败，加赛一场，其概率为； ③队在第一轮失败，第二轮获胜，第三轮获胜，第四轮失败，其概率为， 所以， 若，队在整个赛事中参赛场次有两种情况： ①队在第一轮获胜，第二轮失败，第三轮获胜，第四轮获胜，加赛一场，其概率为； ②队在第一轮失败，第二轮获胜，第三轮获胜，第四轮获胜，加赛一场，其概率为， 所以， 所以的分布列为： 2 3 4 5 故的数学期望为． 题型4 条件概率与全概率 （2025·湖北武汉·二模）有，，，，，，，八名运动员参加乒乓球赛事，该赛事采用预赛，半决赛和决赛三轮淘汰制决定最后的冠军、八名运动员在比赛开始前抽签随机决定各自的位置编号，已知这七名运动员互相对决时彼此间的获胜概率均为，运动员与其它运动员对决时，获胜的概率为，每场对决没有平局，且结果相互独立． (1)求这八名运动员各自获得冠军的概率； (2)求与对决过且最后获得冠军的概率； (3)求与对决过且最后获得冠军的概率． 【答案】(1) (2) (3) 【解析】（1）夺冠即为三轮比赛都获胜，所以夺冠的概率为． 由题意，七名运动员水平相同，且八名运动各自夺冠概率之和为1． 所以七名运动员各自夺冠的概率均为． （2）记事件＂获得冠军＂，事件＂与对决过＂，事件“与在第轮对决”，． 不妨设在①号位，则在第1,2,3轮能与对决时其位置编号分别为②，③④，⑤⑥⑦⑧． ， ， ， ， 所以. （3）记事件“与对决过”． 没有与对决过且最后获得冠军的概率． 由题意，六名运动员与对决过的概率相同，夺冠时共与三名运动员对决． 所以． 代入得：． 1．条件概率 (1)条件概率的定义 一般地，设A，B为两个随机事件，且P(A)>0，我们称P(B|A)=为事件A发生的条件下，事件 B发生的条件概率，简称条件概率. (2)性质 设P(A)>0，Ω为样本空间，则 ①P(B|A)∈[0,1]，P(Ω|A)=1； ②如果B和C是两个互斥事件，则P(B∪C|A)=P(B|A)+P(C|A)； ③设和B互为对立事件，则P()=1-P(B|A). 2．概率的乘法公式 由条件概率的定义，对任意两个事件A与B，若P(A)>0，则P(AB)=P(A)·P(B|A). 3．求条件概率的常用方法 (1)利用定义，分别求P(A)和P(AB)，得. (2)借助古典概型概率公式，先求事件A包含的基本事件数n( A)，再在事件A发生的条件下求事件B包含的基本事件数，即n( AB)，得. 4．全概率公式及应用 (1)全概率公式 一般地，设是一组两两互斥的事件，=Ω，且P(Ai)>0，i=1，2, ， n，则对任意的事件，有P(B)=.我们称此公式为全概率公式. 5．贝叶斯公式 设是一组两两互斥的事件，=Ω，且P(Ai)>0，i=1，2, ，n，则对 任意的事件，P(B)>0，有. 1．（2025·四川泸州·模拟预测）某工厂有两条生产线加工同一型号的零件，生产线加工的次品率分别为，生产出来的零件混放在一起，已知生产线加工的零件数分别占总数的. (1)现从该厂随机抽取一个零件，计算它是次品的概率； (2)如果取到的一个零件是次品，计算它是生产线加工的概率；（精确到小数点后第三位，采用四舍五入法） (3)从混放在一起的零件中随机抽取3个，若取到1个次品，对责任人罚款5元；若取到1个正品则对同一责任人奖励10元，用表示该责任人由3个零件获得的金额，求的期望及方差. 【答案】(1)； (2)； (3)，. 【分析】（1）由全概率公式计算求解即可； （2）利用贝叶斯公式计算即可； （3）设3个零件中的次品数为，则服从二项分布，再根据题意可得与的关系式，利用二项分布的期望和方差公式结合其性质计算即可. 【详解】（1）设“任取一个零件为次品”，分别表示“零件为生产线加工”， 由题设，. 由全概率公式， （2）由题意，所求概率为. （3）设3个零件中的次品数为，则. 因为， 所以， . 2．（2024福建三明·统考三模）在二十大报告中，体育､健康等关键词被多次提及，促进群众体育和竞技体育全面发展，加快建设体育强国是全面建设社会主义现代化国家的一个重要目标.某校为丰富学生的课外活动，加强学生体质健康，拟举行羽毛球团体赛，赛制采取局胜制，每局都是单打模式，每队有名队员，比赛中每个队员至多上场一次且是否上场是随机的，每局比赛结果互不影响.经过小组赛后，最终甲、乙两队进入最后的决赛，根据前期比赛的数据统计，甲队种子选手对乙队每名队员的胜率均为，甲队其余名队员对乙队每名队员的胜率均为.（注：比赛结果没有平局） (1)求甲队最终获胜且种子选手上场的概率； (2)已知甲队获得最终胜利，求种子选手上场的概率. 【答案】(1) (2) 【解析】（1）解：设事件“种子选手第局上场”， 事件“甲队最终获胜且种子选手上场”. 由全概率公式知， 因为每名队员上场顺序随机，故， ，，. 所以， 所以甲队最终获胜且种子选手上场的概率为. （2）解：设事件“种子选手未上场”，事件“甲队获得胜利”， ，，， ， 因为.     由（1）知，所以. 所以，已知甲队获得最终胜利，种子选手上场的概率为. 3、（2025浙江）北京时间4月30日晩，2023年国际象棋世界冠军赛在哈萨克斯坦首都阿斯塔纳闭幕，来自温州的国际象棋男子特级大师丁立人最终击败涅波姆尼齐亚，加冕世界棋王.这是中国棋手首次夺得国际象棋男子世界冠军.某小学为了提高同学学习国际象棋的兴趣，举行了二年级国际象棋男子团体赛，各班级均可以报送一支5人队伍.比赛分多轮进行，每轮比赛每队都需选定4名选手，每轮比赛选手可不同.比赛没有平局，每轮比赛结束，得胜班级得1分，反之0分.晋级赛规则如下：第一轮随机为各队伍匹配对手；从第二轮比赛开始，积分相同的队伍之间再由抽签决定对手.具体比赛程序如下图.这样进行三轮对抗之后，得2分及以上的班级晋级，反之淘汰.晋级的队伍再进行相应的比赛.    (1)二（1）班选派了A，B，C，D，E五名选手，在第一轮比赛中，已知选手A参加了比赛，请列举出该班级所有可能的首发队员的样本空间； (2)现共有8支参赛队伍，且实力相当，二（3）班在第一轮比赛输给了二（4）班，则两队在第三轮重新遇上的概率为多少? (3)某班级在筹备队员时，班内已推选水平较为稳定的选手4名，很多同学纷纷自荐最后一个名额.现共有5名自荐选手，分别为五级棋士2名、六级棋士2名和七级棋士1名，五、六、七级棋士被选上的概率分别为0.8，0.6，0.5，最后一名选手会在这5名同学中产生.现任选一名自荐同学，计算该同学被选上的概率，并用表示选出的该同学的级别，求X的分布列. 【答案】(1) (2) (3); 分布列见解析. 【解析】（1）选手A参加了比赛，该班级所有可能的首发队员的样本空间： . （2）在第二轮比赛时，设1分队伍为，其中代表二（4）班， 0分队伍为，其中代表二（3）班， 在1分队伍中比赛后失败，其概率为，在0分队伍中比赛后胜利，其概率为， 在第三轮比赛中进入1分队伍的不妨设有四支队伍， 抽签后所有可能对手情况有共3种，重新遇上的情况只有，故其概率为， 综上：两队在第三轮重新遇上的概率为. （3）设从5人中任选一人是五、六、七级棋士的事件是, 则, 且两两互斥, ， 设“任选一名自荐同学，计算该同学被选上”, 则. 可能的取值有：， X的分布列为 X 5 6 7 P 题型5 概率的决策分析 （2025·广东·一模）甲参加围棋比赛，采用三局两胜制，若每局比赛甲获胜的概率为，输的概率为，每局比赛的结果是独立的． (1)当时，求甲最终获胜的概率； (2)为了增加比赛的趣味性，设置两种积分奖励方案．方案一：最终获胜者得3分，失败者得分；方案二：最终获胜者得1分，失败者得0分，请讨论选择哪种方案，使得甲获得积分的数学期望更大． 【答案】(1) (2)答案见解析 【解析】（1）记“甲最终以获胜”为事件，记“甲最终以获胜”为事件，“甲最终获胜”为事件， 于是，与为互斥事件， 由于，， 则， 即甲最终获胜的概率为． （2）由（1）可知，， 若选用方案一，记甲最终获得积分为分，则可取， ， 则的分布列为： 3 则， 若选用方案二，记甲最终获得积分为分，则可取1，0， ， 则的分布列为： 1 0 则， 所以， 由于，则， 于是时，两种方案都可以选， 当时，，应该选第二种方案， 当时，，应该选第一种方案． 解答思路： ①某种情况下的期望值较好——数学期望进行比较分析， ②某种情况比较稳定——方差进行比较，方差越大情况波动越大，越不稳定。 ③某种情况优于其他情况的概率——直接概率比较。 1、（2025·吉林长春·模拟预测）在一个摸球游戏中，有一个装有许多彩色球的不透明盒子，盒子中的球分为三种颜色：红色､蓝色和绿色，各球除颜色可能不同外，其余均相同.每次游戏，参与者需要从盒子中随机取球.已知盒子中红色球､蓝色球和绿色球的数量分别为个､个和个，且总球数为个. (1)若规定每次取一个球，取球后不将球放回盒子中，且连续取两次.求取出一个红色球和一个蓝色球的概率； (2)若规定每次取一个球，取球后将球放回盒子中，且连续取三次.设三次中恰好有两次取出的球颜色相同的概率为，当时，求； (3)在（2）的条件下，若游戏组织者规定，当三次取球中出现红色球的次数大于等于两次时.参与者获胜；否则，游戏组织者获胜.请判断此游戏是否公平，并通过计算说明理由. 【答案】(1) (2) (3)不公平，理由见详解 【分析】（1）根据题意结合不放回抽样事件的概率计算公式求解； （2）根据题意结合独立重复试验概率公式运算求解，注意球颜色相同的所有可能情况； （3）根据题意结合独立重复试验概率公式求参与者获胜的概率，并与对比分析. 【详解】（1）记“取出一个红色球和一个蓝色球”为事件A，则. （2）因为取球后将球放回盒子中，则每次取到红色球､蓝色球和绿色球的概率分别为、和， 所以. （3）因为取球后将球放回盒子中，则每次取到红色球的概率都是， 记“参与者获胜”为事件B，则， 所以游戏不公平. 2．（22-23高二下·福建南平·期末）某公司举办公司员工联欢晩会，为活跃气氛，计划举行摸奖活动，有两种方案： 方案一：不放回从装有个红球和个白球的箱子中随机摸出个球，每摸出一红球奖励元： 方案二：有放回从装有个红球和个白球的箱子中随机摸出个球，每摸出一红球奖励元，分别用随机变量、表示某员工按方案一和方案二抽奖的获奖金额. (1)求随机变量的分布列和数学期望： (2)用统计知识分析，为使公司员工获奖金额相对均衡，应选择哪种方案?请说明理由. 【答案】(1)分布列见解析， (2)应选择方案一，理由见解析 【分析】（1）分析可知的值可能为、、，计算出随机变量在不同取值下的概率，可得出随机变量的分布列，进而可求得的值； （2）法一：用随机变量表示某员工按方案二摸到的红球的个数，则，利用二项分布的期望、方差公式结合期望、方差的性质求出、的值，可知，再比较、的大小关系，可得出结论； 法二：分析可知，的值可能为、、、，计算出随机变量在不同取值下的概率，进而可求得、的值，可知，再比较、的大小关系，可得出结论. 【详解】（1）解：由题意可知，的值可能为、、， ，，. . （2）解：法一：用随机变量表示某员工按方案二摸到的红球的个数，则. ，， ，，. ， 因为，按方案一员工抽奖的获奖金额相对均衡，应选择方案一； 法二：的值可能为、、、， ，， ，， 则， ， 因为，按方案一员工抽奖的获奖金额相对均衡，应选择方案一. 3．（2025·河北保定·二模）某零件厂销售部以箱为单位销售某种零件，每箱零件的定价为500元，低于200箱按原价销售，不低于200箱有两种优惠方案．方案一：以200箱为基准，每多100箱免12箱的金额．方案二：通过双方议价，买方能以每箱优惠的价格成交的概率为0.3，以每箱优惠的价格成交的概率为0.4，以每箱优惠的价格成交的概率为0.3． (1)买方甲要在该厂购买200箱这种零件，并选择方案二，求甲以低于万元的金额购买这200箱零件的概率． (2)买方乙要在该厂购买400箱这种零件，以购买总价的数学期望为决策依据，试问乙选择哪种优惠方案更划算？请说明你的理由． (3)买方丙要在该厂购买960箱这种零件，由于购买的箱数超过500，该厂的销售部让丙综合使用这两种方案作为第三种方案，即一部分用方案一（箱数必须是100的正整数倍），另一部分使用方案二（箱数不限），试问丙应该如何使用方案三，才能获得最多的优惠？说明你的理由． 【答案】(1)0.7 (2)方案二更优惠，理由见解析 (3)应该选择900箱使用方案一，60箱使用方案二，这样才能获得最多的优惠，理由见解析 【分析】（1）分别计算买方甲以每箱优惠，，的价格成交的金额，再与万元比较即可求解； （2）先计算乙选择方案一的成交金额，再计算乙选择方案二的成交金额的数学期望，比较大小即可判断； （3）设丙用方案一购买箱，表示出丙购买的金额的期望为万元，利用为减函数即可做出决策. 【详解】（1）买方甲要在该厂购买200箱这种零件，并选择方案二， 若甲以每箱优惠的价格成交，则成交的金额为万元; 若甲以每箱优惠的价格成交，则成交的金额为万元; 若甲以每箱优惠的价格成交，则成交的金额为万元 故甲以低于万元的金额购买这200箱零件的概率为； （2）买方乙要在该厂购买400箱这种零件， 若乙选择方案一，则成交的金额为万元 若乙选择方案二，设成交的金额为万元，则， 所以买方乙按方案二在该厂购买400箱这种零件的成交金额的数学期望为万元 因为，所以方案二更优惠； （3）设丙用方案一购买箱， 则丙用方案一需要支付的金额为元， 方案二需要支付的金额的期望为元， 所以丙购买的金额的期望为万元 因为为减函数，所以越大，越小， 故应该选择箱使用方案一，箱使用方案二，这样才能获得最多的优惠. 题型6 正态分布 （2025·浙江·三模）固态电池是纯电动汽车搭载的新一代电池，与使用电解液的传统液态锂离子电池相比，固态电池具有安全性能高、能量密度大等特点．某公司试生产了一批新型固态电池，为了了解该批次固态电池的“循环寿命”x（循环寿命是指：电池的容量下降到初始容量的某一阈值时，完成充放电循环的次数）的情况，从这批固态电池中随机抽取了100组进行了测试，并统计绘制了下表： 循环寿命x（千次） 组数y 5 15 a b 5 已知循环寿命x（千次）的平均值（同一组中的数据用该组区间的中点值代表）． (1)求a，b的值； (2)根据测试数据可以认为“循环寿命”x近似服从正态分布，经计算样本标准差s的估计值为0.7．用样本数据的平均值作为的值，用样本标准差s的估计值作为的值． （ⅰ）若规定：循环寿命的电池为一等品；的电池为优等品．求试生产的电池的一等品率和优等品率的估计值（结果用百分数表示）； （ⅱ）在该型电池的生产中，称发生概率低于0.27%的事件为小概率事件，在质量控制时，如果小概率事件未发生，则认为该批产品合格；否则可以认为该批产品不合格．若这100组电池中，循环寿命x的最大值和最小值分别为6.5和2.3．请判断该批固态电池是否合格？并说明理由． 参考数据：若随机变量，则，，． 【答案】(1)，． (2)（ⅰ）一等品率的估计值为13.59%；优等品率的估计值为2.275%；（ⅱ）不合格，理由见解析 【分析】（1）由题意列出关于的方程组即可求解； （2）由题意，，（i）根据正态分布的对称性求概率即可；（ii）算出，然后由即可判断. 【详解】（1）由题，①， ②， 由①②解得，． （2）由题，，， （ⅰ）因为 ； ， 所以一等品率的估计值为13.59%；优等品率的估计值为2.275%． （ⅱ）不合格．理由如下： 由题，， 所以， 又，， 故小概率事件发生，所以该批固态电池不合格． 正态分布： 1、定义：.正态分布密度函数，式中的实数μ，（>0）是参数，分别表示个体的平均数与标准差，则成随机变量X服从正态分布，记为。 2、 特点： ①曲线是单峰的，其关于 对称 ②曲线在 处达到峰值 ③当无线增大时，曲线无限接近x值 ⑤对任意的σ>0，曲线与x轴围成的面积总为1； ⑥在参数σ取固定值时，正态曲线的位置由μ确定，且随着μ的变化而沿x轴平移，如图甲所示； ⑦当μ取定值时，正态曲线的形状由σ确定，当σ较小时，峰值高，曲线“瘦高”，表示随机变量X的分 布比较集中；当σ较大时，峰值低，曲线“矮胖”，表示随机变量X的分布比较分散，如图乙所示. 3、 3原则： P(μ-σ≤X≤μ+σ)≈0.6827； P(μ-2σ≤X≤μ+2σ)≈0.9545； P(μ-3σ≤X≤μ+3σ)≈0.9973. 4、 均值与方差： 若，则E(X)=μ，D(X)=σ2. 1．（2025·湖南·模拟预测）某企业的甲、乙两条生产线都生产M型零件，一天中，甲、乙两条生产线分别生产320件和1280件M型零件，为了解该企业M型零件的生产质量，现利用分层随机抽样，从一天中生产的M型零件中随机抽取40件，测量其尺寸（单位：mm），所得尺寸数据的统计结果如下表： 平均尺寸 标准差 甲生产线p件M型零件 80 6 乙生产线q件M型零件 70 4 (1)求这40件M型零件尺寸的平均数； (2)求这40件M型零件尺寸的标准差； (3)假设该企业一天中生产的M型零件尺寸服从正态分布，其中用样本平均数作为的估计值，用样本标准差s作为的估计值.试估计：这一天生产的M型零件中，尺寸小于的零件是否低于40件? 参考数据：①n个数，，，…，的方差为；②若随机变量X服从正态分布，则，，；③. 【答案】(1)72； (2)6； (3)低于40件. 【分析】（1）由分层抽样中样本均值与总体均值关系求； （2）设甲的均值，方差，乙的均值，方差，根据方差公式及已知有，即可得； （3）根据正态分布的对称性及特殊区间概率估计尺寸小于的零件数. 【详解】（1）由题设，，， 所以； （2）由题设，甲的均值，方差，乙的均值，方差， 所以，， 而，即， 所以，，而， 所以，可得； （3）由（1）（2）知零件服从，则， 这一天生产的M型零件中，尺寸小于的零件有， 所以这一天生产的M型零件中，尺寸小于的零件低于40件. 2、（2025·陕西宝鸡·二模）某企业对某品牌芯片开发了一条生产线进行试产．其芯片质量按等级划分为五个层级，分别对应如下五组质量指标值：、、、、．根据长期检测结果，发现芯片的质量指标值服从正态分布，现从该品牌芯片的生产线中随机抽取件作为样本，统计得到如图所示的频率分布直方图． (1)根据检测结果，样本中芯片质量指标值的标准差的近似值为，用样本平均数作为的近似值，用样本标准差作为的估计值，可得到X服从的正态分布．求和的值； (2)从样本中质量指标值在和的芯片中随机抽取件，记其中质量指标值在的芯片件数为，求的分布列和数学期望； (3)将指标值不低于的芯片称为等品．通过对芯片长期检测发现，在生产线任意抽取一件芯片，它为等品的概率为，用第（1）问结果试估计的值． （附：①同一组中的数据用该组区间的中点值代表；②参考数据：若随机变量服从正态分布，则，，．） 【答案】(1)， (2)分布列见解析， (3) 【解析】（1）由于在频率分布直方图可知，所有矩形的面积之和为， 由题可知：，解得， 所以，估计从该品牌芯片的生产线中随机抽取件的平均数为： ． 所以，. （2）样本中质量指标值在和的芯片数量为， 所取样本的个数为件， 质量指标值在的芯片件数为件，故可能取的值为、、、， 所以，，， ，， 随机变量的分布列为： 所以的数学期望． （3）由（1）可知：，则，， 由题可知：． 所以：，即. 3．（25-26高三上·重庆·阶段练习）近期我校被评为全国首批智能研修平台规模化应用领航培育校，中央电教馆在我校举办项目启动活动，并特设南开专场活动.为了了解AINK人工智能对学生学习的助力情况，学校组织了高一学生参加“AINK人工智能”知识竞赛（满分100分），并从中随机抽查了100名学生的成绩（单位:分），将他们的成绩分成以下6组:，，，，，统计结果如下面的频数分布表所示. 组别 频数 10 15 20 30 15 10 已知高一学生的这次竞赛成绩近似服从正态分布，其中近似取为样本平均数的整数部分，近似取为样本标准差的整数部分，并已求得（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）. (1)从高一年级随机抽取一个学生的竞赛成绩，试估计他的竞赛成绩在区间内的概率（结果保留一位小数）. (2)现从高一年级随机选取名同学的竞赛成绩，根据（1）的结果，若他们的成绩均在范围内的概率不低于，求的最大值（为正整数） 参考数据:，若，则. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由题意可得每个分组的中点值，结合表格数据求得平均数估计值，根据正态分布的性质，利用概率加法，可得答案； （2）根据概率的乘法公式，建立不等式，由对数运算，可得答案. 【详解】（1）由题意可知个分组的中点值分别为， 则样本平均数估计值， 可得. 由，则，， 因为，所以 . （2）设“从高一年级随机选取一名学生的竟赛成绩在范围内”为事件，则； 可得从高一年级随机选取名同学的竞赛成绩，他们的成绩均在范围内的概率为； 由，两边取对数可得； 因为，， 所以，由为正整数，所以的最大值为. 题型7 统计中的回归分析 （2025·浙江金华·一模）近些年汽车市场发生了翻天覆地的变化，新能源汽车发展迅速，下表统计了2021年到2024年某地新能源汽车销量（单位：千辆） 年份 2021 2022 2023 2024 年份代号 1 2 3 4 销量 33 69 93 129 附：相关系数； 回归方程中斜率和截距的最小二乘法估计公式分别为， (1)试根据样本相关系数的值判断该地汽车销量与年份代号的线性相关性强弱（，则认为与的线性相关性较强，，则认为与的线性相关性较弱）；（精确到0.001） (2)建立关于的线性回归方程，并预测该地2025年的新能源汽车销量． 【答案】(1)与具有较强的线性相关关系 (2)，（千辆） 【分析】（1）根据题干所给数据算出，，，代入相关系数计算公式计算即可； （2）根据（1）算出的结果进一步算出，再根据线性回归方程经过计算，最后把代入回归直线方程即可求解． 【详解】（1）已知，，则， ，则， ，，所以， 已知，故， 又，代入相关系数公式， 可得， 因为，所以与具有较强的线性相关关系． （2）根据， 由（1）可知，，所以， 由，已知，，，则， 所以关于的线性回归方程为，将代入线性回归方程（千辆）． 1、 线性经验回归方程与最小二乘法： 将称为关于的线性回归方程，也称经验回归函数或经验回归公式，其图形称为经验回归直线． 这种求经验回归方程的方法叫做最小二乘法，求得的叫做b，a的最小二乘估计， 其中 经验回归直线一定过点. 2、 残差分析 对于响应变量Y，通过观测得到的数据称为观测值，通过经验回归方程得到的称为预测值，观测值减 去预测值称为残差。 3、 刻画回归效果的方式 (1)残差图法 作图时纵坐标为残差，横坐标可以选为样本编号，或身高数据，或体重估计值等，这样作出的图形称 为残差图.在残差图中，残差点比较均匀地落在以取值为0的横轴为对称轴的水平带状区域内，说明选用的模型比较合适，这样的带状区域的宽度越窄，说明模型拟合精度越高. (2)残差平方和法 残差平方和为，残差平方和越小，模型拟合效果越好. (3)利用刻画拟合效果 =. 越大，模型的拟合效果越好，越小，模型的拟合效果越差. 4、 非线性回归方程： 根据题目提示转化为线性回归方程，即非一次函数转化为一次函数，然后根据线性回归方程的公式求解参数。 5、 见的非线性函数转换方法： ①、幂函数型 两边取常用对数，，即， 令，原方程变为，然后按线性回归模型求出，． ②、指数函数型（且，） 两边取自然对数，，即， 令，原方程变为，然后按线性回归模型求出，． ③、反比例函数型型 令，原方程变为，然后按线性回归模型求出，． ④、二次函数型 令，原方程变为，然后按线性回归模型求出，． ⑤、对数函数型 令，原方程变为，然后按线性回归模型求出，． 1．（25-26高三上·湖北·阶段练习）随机抽取某集团公司旗下五家超市，得到广告支出x（万元）与销售额y（万元）的数据如下： 广告支出x（万元） 2 4 5 6 8 销售额y（万元） 20 30 50 60 70 (1)计算x，y的相关系数r，并判断是否可以认为广告支出与销售额具有较高的线性相关程度？（若，则线性相关程度一般；若，则线性相关程度较高，） (2)求出y关于x的线性回归方程，并预测若广告支出15（万元），则销售额约为多少万元？参考公式：回归直线的斜率和截距的最小二乘法估计公式，相关系数r的公式分别为，，. 【答案】(1)，可以认为广告支出与销售额具有较高的线性相关程度 (2)，销售额为136万元. 【分析】（1）根据相关系数公式求出相关系数即可判断. （2）根据公式求出，进而确定线性回归方程，然后将广告支出代入方程中求出销售额即可. 【详解】（1）根据表格里的数据可得： ，. 所以 . . . 所以可以认为广告支出与销售额具有较高的线性相关程度. （2）根据公式可得： ，. 所以关于的线性回归方程为. 当广告支出15万元时，销售额约为万元. 2．（24-25山东·阶段练习）为了促进锂电产业发展，市创新研究院课题组对企业研发经费的投入和企业当年的销售收入的关系进行了研究，他们收集了上一年不同企业销售收入y（单位：10万元）与一定范围内的研发经费x（单位：10万元）的数据，根据收集的13组观测数据，得到如下的散点图，分别利用或建立y关于x的回归方程，令，得到如下数据，且与的相关系数分别为，，且． 10.15 108.40 3.04 0.16 14.00 －2.10 11.67 0.21 21.22 (1)用相关系数说明哪种模型建立y与x的回归方程更合适； (2)根据（1）的结果及表中数据，建立y关于x的回归方程； (3)已知企业的利润z满足，试根据回归方程求出企业利润的最大值． 参考数据和公式：，，，对于一组数据，其回归直线方程的斜率和截距的最小二乘法估计分别为，，相关系数． 【答案】(1)模型建立与的回归方程更合适 (2) (3)万元 【分析】（1）求出相关系数，比较大小，越接近1回归方程更适合. （2）先换元用公式，求出线性回归方程，再回代求出非线性回归方程即可. （3）用（2）的方程代入利润方程得出利润z关于研发经费x的函数关系式，再用基本不等式可解决. 【详解】（1）由题意知， ， 因为，所以用模型建立与的回归方程更合适. （2）令，回归方程为， 因为， ， 所以关于的回归方程为，即. （3）由题意知 ，当且仅当，即时取等号, 则，所以.当且仅当时等号成立， 所以当研发经费投入为60万元时企业生产的利润最大，最大利润为万元. 3．（24-25·山东潍坊·期中）某科技公司研发了一种新型电池，测试该新型电池从满电状态，每使用1小时其电量衰减情况，得到剩余电量y（库仑）与使用时间t（小时）的散点图，其中t为正整数． (1)利用散点图，判断与哪个更适宜作为回归模型？（给出判断即可，不必说明理由） (2)在（1）的条件下， （i）求出剩余电量y与使用时间t的回归方程（精确到0.01）； （ⅱ）当电池剩余电量低于0.3库仑时，电池报警提示需要充电，否则影响电池使用寿命，请利用所求回归方程，预判该新型电池从满电状态使用12小时后，是否会报警提示，并说明理由． 参考数据：记 45 12.02 1.55 20.20 285 45.07 3.42 参考公式：． 【答案】(1)更适宜作为回归模型，理由见解析 (2)（i）；（ⅱ）会报警提示，理由见解析 【分析】（1）从散点图可以看出，剩余电量y（库仑）与使用时间t（小时）不呈线性变化，故更适宜作为回归模型； （2）（i）两边取对数得，结合数据和公式求出剩余电量y与使用时间t的回归方程； （ⅱ）在（i）基础上，令得，故会报警提示. 【详解】（1）更适宜作为回归模型，理由如下： 从散点图可以看出，剩余电量y（库仑）与使用时间t（小时）不呈线性变化， 减小速度越来越慢， 呈线性变化，不适宜作为回归模型，故更适宜作为回归模型； （2）（i）两边取对数得， 由于， 故， ， 即，故， （ⅱ）会报警提示，理由如下： 中，令得 ， 故会报警提示. 题型8 统计中的独立性检验 （2025·湖南·模拟预测）近日，2025年湖南省城市足球联赛（被球迷称为“湘超”）如火如荼地进行，引发广泛关注．某地区随机抽取了部分市民，调查他们对赛事的关注情况，得到如下表格： 性别 不关注赛事 关注赛事 男性 25 150 女性 50 75 (1)列出列联表并根据小概率值的独立性检验，能否认为关注“湘超”赛事与性别有关？ (2)现从被调查的关注赛事的市民中，按照性别比例采用分层抽样的方法随机抽取3名市民参加“湘超”赛事知识问答．已知男性、女性市民顺利完成知识问答的概率分别为，，每个人是否顺利完成相互独立．求在有且仅有2人顺利完成的条件下，这2人的性别不同的概率． 附：． 0.1 0.05 0.025 0.01 0.005 0.001 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828 【答案】(1)列联表见解析，认为关注“湘超”赛事与性别有关 (2) 【分析】（1）由题意可得列联表，再计算，对比临界值表即可得解； （2）根据题意，求出有且仅有2人顺利完成知识问答的概率和这2人性别不同的概率，再根据条件概率公式求解即可. 【详解】（1）列联表如下： 性别 不关注赛事 关注赛事 合计 男性 25 150 175 女性 50 75 125 合计 75 225 300 零假设为：关注“湘超”赛事与性别无关． 故依据小概率值的独立性检验，推断零假设不成立， 即认为关注“湘超”赛事与性别有关. （2）由分层抽样可知，抽取男性市民2人，女性市民1人， 记“有且仅有2人顺利完成知识问答”为事件A，“这2人的性别不同”为事件B， 则， ， 则， 所以在有且仅有2人顺利完成知识问答的条件下，这2人的性别不同的概率为. 1．独立性检验 (1)假定通过简单随机抽样得到了X和Y的抽样数据列联表，如下表所示. X Y 合计 Y=0 Y=1 X=0 a b a+b X=1 c d c+d 合计 a+c b+d n=a+b+c+d 则. (2)利用的取值推断分类变量X和Y是否独立的方法称为独立性检验，读作“卡方独立性检验”，简 称独立性检验. (3)独立性检验中几个常用的小概率值和相应的临界值. 2．独立性检验的应用问题的解题策略 解决独立性检验的应用问题，一定要按照独立性检验的步骤得出结论.独立性检验的一般步骤： (1)根据样本数据制成2×2列联表； (2)根据公式计算； (3)通过比较与临界值的大小关系来作统计推断. 1．（2025·安徽·模拟预测）为了研究“长期长跑”与“半月板损伤”之间的关系，研究人员在长跑爱好者中随机抽取了1000人进行调查，所得数据统计如下表所示： 组别 半月板的健康状况 合计 半月板正常 半月板损伤 长期长跑 40 360 400 非长期长跑 460 140 600 合计 500 500 1000 (1)根据小概率值的独立性检验，判断“长期长跑”与“半月板损伤”之间是否相关； (2)若按照半月板的健康状况，使用分层随机抽样的方法从长期长跑的爱好者中随机抽取人，再从这人中随机挑选人，记抽到的人中半月板损伤的人数为，求的分布列与均值. 附：，其中. 0.1 0.05 0.01 0.005 0.001 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 【答案】(1)“长期长跑”与“半月板损伤”之间具有相关性 (2)分布列见解析， 【分析】（1）由假设的定义及公式可得； （2）由分层抽样可求出正常与损伤的人数，再根据超几何分布求出概率，列表得到分布列及期望. 【详解】（1）零假设为：“长期长跑”与“半月板损伤”之间无相关关系， 则， 故零假设不成立，即“长期长跑”与“半月板损伤”之间具有相关性. （2）由分层随机抽样知识知，半月板正常的有人，半月板损伤的有人， 则的可能取值为, 则， 所以的分布列为 1 2 故. 2．（2025·陕西西安·一模）鄂尔多斯某地一景区为了吸引游客，进行了马术实景剧的展演.景区为了解游客对其开展的“马术实景剧”活动的满意度，随机抽取400人进行调查，得到如下2×2列联表： 调查结果组别 不满意 满意 合计 本地游客 80 120 200 外地游客 60 140 200 合计 140 260 400 (1)根据小概率值的独立性检验，分析满意情况是否与游客的来源有关； (2)在本地游客的样本中用分层抽样的方法选出5人，再从这5人中随机抽取3人做进一步的访谈，求这3人中满意人数X的概率分布列和数学期望. 附： 0.050 0.010 0.001 3.841 6.635 10.828 【答案】(1)无关； (2)分布列见解析，数学期望为. 【分析】（1）根据给定数表，求出的观测值，再与临界值比对即可得解. （2）根据分层抽样的性质，结合古典概型公式、数学期望公式求解即可. 【详解】（1）零假设为：满意情况与游客的来源无关， 因为， 根据小概率值的独立性检验，没有充分证据推断不成立， 可以认为成立，所以满意情况与游客的来源无关. （2）由分层抽样的性质，得选出5人中，满意人数为，不满意人数为， 依题意，的可能值为， ，，， 所以这3人中满意人数X的概率分布列为： 数学期望. 题型9 概率中的证明题 （2025·河北保定·模拟预测）在某活动中，参与者以抽奖的形式获得某种奖品，每次抽奖均分为中奖和不中奖两种结果.现在利用伪随机算法进行若干次抽奖，假定中奖后就不再继续抽奖.设）是第一次抽奖中奖的概率，此后若前次抽奖均未中奖，则进行第次抽奖时中奖的概率满足其中时一定中奖.设中奖时共抽奖次. (1)证明：当时，； (2)证明：当时，； (3)当时，求的分布列和期望. 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 (3)分布列见解析， 【解析】（1）证明：当时， 由题意可得的可能取值有1，2， ， ， ， 故. （2）证明：当时， 由题意可得的可能取值有1，2，3， ， ， ， 所以， 易知当时，取最大值，故. （3）由题意可得的可能取值有1，2，3，4， ， ， ， . 故的分布列为 1 2 3 4 故. 解题方法与思路： 1、 掌握概率中的一些基础公式的积累和变形 如： 如： （其中事件与事件B为对立事件） 若事件A与事件B为互斥事件或者对立事件，则，在对立事件中 2、 对于所给证明形式进行递进式的推导与化简整理 1、（2025·四川·一模）某保险公司随机选取了200名不同驾龄的投保司机，调查他们投保后一年内的索赔情况，结果如下： 单位：人 一年内是否索赔 驾龄 合计 不满10年 10年以上 是 10 5 15 否 90 95 185 合计 100 100 200 (1)依据小概率值的独立性检验，分析表中的数据，能否据此推断司机投保后一年内是否索赔与司机的驾龄有关？ (2)保险公司的大数据显示，每年投保的新司机索赔的概率为，投保的老司机索赔的概率均为．假设投保司机中新司机的占比为.随机选取一名投保司机，记事件“这名司机在第年索赔”为，事件“这名司机是新司机”为.已知. （i）证明：； （ii）证明：，并给出该不等式的直观解释. 附：， 【答案】(1)司机投保后一年内是否索赔与司机的驾龄无关 (2)（i）证明见解析；（ii）证明见解析，说明投保司机第一年索赔的概率小于他第一年索赔后第二年又索赔的概率. 【解析】（1）零假设为：司机投保后一年内是否索赔与司机的驾龄无关. 根据表中数据，计算得. 根据小概率值的独立性检验，没有充分证据推断不成立， 因此可以认为成立，即认为司机投保后一年内是否索赔与司机的驾龄无关. （2）（i）根据条件概率的定义， . （ii）由题意. 由（i）中的结论及已知得， ， 由概率的性质知. 由全概率公式，. 根据条件概率的定义，. 因为，所以要证，即证， 即证.因为，所以成立. 所以. 式子说明投保司机第一年索赔的概率小于他第一年索赔后第二年又索赔的概率. 2．（2025·江苏连云港·模拟预测）人工智能程序通过深度神经网络模拟人脑的机制来学习、判断、决策．工程师分别用人类围棋对弈的近100万、500万、1000万种不同走法三个阶段来升级人工智能程序，三个阶段的程序依次简记为甲、乙、丙． (1)测试阶段，让某围棋手与甲、乙、丙三个程序各比赛一局，各局比赛结果相互独立.已知该棋手与甲、乙、丙比赛获胜的概率分别为，，．记该棋手连胜两局的概率为，试判断该棋手在第二局与哪个程序比赛最大，并写出判断过程． (2)工程师让甲和乙进行围棋比赛，规定每局比赛胜者得1分，负者得0分，没有平局，比赛进行到一方比另一方多两分为止，多得两分的一方赢得比赛．已知每局比赛中，甲获胜的概率为，乙获胜的概率为，且每局比赛结果相互独立． ①若比赛最多进行6局，求比赛结束时比赛局数的分布列及期望的最大值； ②若比赛不限制局数，记“甲赢得比赛”为事件，证明：． 【答案】(1)该棋手在第二局与甲比赛最大，过程见解析 (2)①分布列见解析，；②证明见解析 【分析】（1）分类讨论连胜两局的所有情况，依次计算出所有的概率，比较大小，判断结果； （2）①根据比赛情况，写出随机变量可能取值，根据独立事件乘法公式，分别求出所有概率，再根据期望的定义，写出数学期望的代数式，根据基本不等式，求出数学期望的最大值； ②根据甲赢得比赛时，比赛得分的情况，计算出甲获胜的概率即可； 【详解】（1）该棋手在第二局与甲比赛最大，该棋手与甲、乙、丙比赛获胜的概率分别为，，，记，，，该棋手连胜两盘，则第二盘为必胜盘，记该棋手在第二盘与甲比赛连胜两局的概率为，比赛顺序为乙甲丙及丙甲乙的概率均为，则． 同理，该棋手在第二盘与乙比赛连胜两局的概率， 该棋手在第二盘与丙比赛连胜两局的概率， 因为，所以该棋手在第二局与甲比赛最大． （2）①因为没有平局，所以每局比赛结果仅有“甲获胜”或者“乙获胜”，且， 由题意得的所有可能取值为：2，4，6， ，， ． 的分布列为： 2 4 6 所以的数学期望为： ． 由，得，当且仅当取等号，则， 因此当时，的最大值为． ②设事件分别表示每局比赛“甲获胜”，“乙获胜”. 可知甲最后赢得比赛的局数必为偶数， 根据比赛规则，前两局比赛结果可能是， 其中事件表示“甲赢得比赛”，事件表示“乙赢得比赛”，事件表示“甲、乙各得1分”，因不限制局数，所以当甲、乙得分总数相同时，甲最后赢得比赛的概率与比赛一开始甲赢得比赛的概率相同， 所以 ，整理得， 又，平方后整理可得． 所以 3．（24-25高三下·湖南长沙·阶段练习）某大型企业准备把某一型号的零件交给甲工厂或乙工厂生产．经过调研和试生产，质检人员抽样发现：甲工厂试生产的一批零件的合格品率为80%；乙工厂试生产的另一批零件的合格品率为90%；若将这两批零件混合放在一起，则合格品率为88%． (1)设甲工厂试生产的这批零件有m件，乙工厂试生产的这批零件有n件．求证：； (2)从混合放在一起的零件中随机抽取3个，用频率估计概率，记这3个零件中来自甲工厂的个数为X，求X的分布列和数学期望； (3)为了争取获得该零件的生产订单，甲工厂提高了生产该零件的质量指标．已知在甲工厂提高质量指标的条件下，该大型企业把零件交给甲工厂生产的概率大于在甲工厂不提高质量指标的条件下，该大型企业把零件交给甲工厂生产的概率．设事件“甲工厂提高了生产该零件的质量指标”，事件“该大型企业把零件交给甲工厂生产”，已知，证明：． 【答案】(1)证明见解析 (2)分布列见解析， (3)证明见解析 【分析】（1）由混合前后，合格件数的总数相等，列出方程，即可证明； （2）设出甲乙两厂的零件数，表示事件发生的概率，由题意知服从二项分布，写出分布列和期望即可； （3）因为在甲工厂提高质量指标的条件下，该大型企业把零件交给甲工厂生产的概率大于在甲工厂不提高质量指标的条件下该大型企业把零件交给甲工厂生产的概率，即，化简变形即可证得. 【详解】（1）甲工厂试生产的一批零件的合格品率为80%，共件，则合格件数为， 乙工厂试生产的一批零件的合格品率为90%，共件，则合格件数为， 混合后，总零件数为，合格品率为88%，则混合后合格零件数为， 则，化简可得，即. （2）设甲工厂试生产的这批零件有件，乙工厂试生产的这批零件有件， 事件“混合放在一起零件来自甲工厂”； 事件“混合放在一起零件来自乙工厂”， 事件“混合放在一起的某一零件是合格品” 则，， ， 即， 解得：，所以， 的可能取值为，且由题意知：， 所以，， ，， 所以的分布列为： . （3）证明：因为在甲工厂提高质量指标的条件下，该大型企业把零件交给甲工厂生产的概率， 大于在甲工厂不提高质量指标的条件下该大型企业把零件交给甲工厂生产的概率， 所以：， 即，因为， 所以， 由， 所以， 即得：， 所以， 即， 由因为， 所以， 因为，所以， 所以. 题型10 概率与数列结合 1、（2024·江苏·模拟预测）某学校有甲，乙两个餐厅，经统计发现，前一天选择餐厅甲就餐第二天仍选择餐厅甲就餐的概率为，第二天选择餐厅乙就餐的概率为；前一天选择餐厅乙就餐第二天仍选择餐厅乙就餐的概率为，第二天选择餐厅甲就餐的概率为．若学生第一天选择餐厅甲就餐的概率是，选择餐厅乙就餐的概率是，记某同学第天选择餐厅甲就餐的概率为． (1)记某班3位同学第二天选择餐厅甲的人数为，求随机变量的分布列及期望； (2)学校为缓解就餐压力，决定每天从各年级抽调21人到甲乙两个餐厅参加志愿服务，请求出的通项公式，根据以上数据合理分配甲，乙两个餐厅志愿者人数，并说明理由． 【答案】(1)分布列见解析，； (2)，分配到甲，乙两个餐厅志愿者人数分别为和. 【分析】（1）先求某同学第二天选择餐厅甲就餐的概率，然后根据二项分布的概率公式求出概率，可得分布列，利用二项分布期望公式可得期望； （2）根据题意先求与的关系，然后利用构适法可得通项，由确定两餐厅志愿者人数分配. 【详解】（1）某同学第二天选择餐厅甲就餐的概率 某同学第二天选择餐厅乙就餐的概率 所以3位同学第二天选择餐厅甲就餐的人数为 记某班3位同学第二天选择餐厅甲的人数为，所有可能的取值为， 则 的分布列为： X 0 1 2 3 P . （2）依题意，，即， 则有，当时，可得， 数列是首项为公比为的等比数列，则， 时，， 所以，各年级抽调的21人中，分配到餐厅甲的志愿者人数为，分配到餐厅乙的志愿者人数为. 2、（2025·湖南·一模）张明在暑假为了锻炼身体，制定了一项坚持晨跑的计划：30天晨跑训练．规则如下：张明从第1天开始晨跑，若第天晨跑，则他第天晨跑的概率为，且他不能连续两天没有晨跑．设他第天晨跑的概率为． (1)求的值； (2)求数列的通项公式； (3)若都是离散型随机变量，则，记张明前天晨跑的天数为，求． 【答案】(1)； (2)（或）； (3) 【分析】（1）根据已知条件，利用概率的基本性质即可求出的值； （2）通过分析与的关系，构造等比数列，进而求出数列的通项公式； （3）利用期望的性质，将转化为，再根据期望的定义求出. 【详解】（1）已知第1天一定晨跑，故， 第2天晨跑的概率由第1天晨跑决定，故， 第3天晨跑的情况分两种： 第1天晨跑，第2天不晨跑，第3天晨跑，概率为， 第1天晨跑，第2天晨跑，第3天晨跑，概率为， 故. （2）由题意得，张明第天晨跑后，下一次晨跑在第天的概率为， 张明第天晨跑后，再在第天晨跑的概率为， 所以， 即，则， 所以，即， 所以是以为首项，为公比的等比数列. 由（1）得，，，所以， 所以， 则， 所以， 所以．（或） （3）记他前天中，第天晨跑的次数为． 由题意得，服从两点分布，且， 因为，且对于离散型随机变量，都有， 所以 ， 所以， 所以 所以. （或 解题方法与思路： 1、 求通项公式：关键是找出概率或数学期望的递推关系式，然后根据构造法（一般构造等比数列），求出通项公式； 2、 求和：注意是数列中的倒序求和、错位相减、列项求和； 3、 利用等差、等比数列性质，研究单调性、最值或者求极限。 1、（23-24高三上·河北邢台·期末）杭州亚运会吉祥物为一组名为“江南忆”的三个吉祥物“宸宸”，“琮琮”，“莲莲”，聚焦共同的文化基因，蕴含独特的城市元素．本次亚运会极大地鼓舞了中国人民参与运动的热情．某体能训练营为了激励参训队员，在训练之余组织了一个“玩骰子赢礼品”的活动，他们来到一处训练场地，恰有20步台阶，现有一枚质地均匀的骰子，游戏规则如下：掷一次骰子，出现3的倍数，则往上爬两步台阶，否则爬一步台阶，再重复以上步骤，当队员到达第7或第8步台阶时，游戏结束．规定：到达第7步台阶，认定失败；到达第8步台阶可赢得一组吉祥物．假设平地记为第0步台阶．记队员到达第步台阶的概率为（），记． (1)投掷4次后，队员站在的台阶数为第阶，求的分布列； (2)①求证：数列（）是等比数列； ②求队员赢得吉祥物的概率． 【答案】(1)答案见解析 (2)①证明见解析 ；② 【分析】（1）由题意可得爬一步台阶的概率为，爬两步台阶的概率为，列出随机变量可能取值，求出对应的概率，求出分布列即可； （2）（i）由题意可得，分类讨论到达第步台阶的情况，求出对应的概率，进而（），结合等比数列的定义即可证明；（ii）由（i），根据等比数列的通项公式可得，利用累加法求得（），令计算即可求解. 【详解】（1）由题意得每轮游戏爬一步台阶的概率为，爬两步台阶的概率为， 所以随机变量可能取值为4，5，6，7，8， 可得，， ，， ， 所以的分布列： 4 5 6 7 8 （2）（ⅰ）证明：，即爬一步台阶，是第1次掷骰子， 向上点数不是3的倍数概率，则 到达第步台阶有两种情况： ①前一轮爬到第步台阶，又掷骰子是3的倍数得爬两步台阶，其概率为， ②前一轮爬到第步台阶，又掷骰子不是3的倍数爬一步台阶，其概率为， 所以（）， 则（）， 所以数列（）是首项为，公比为的等比数列． （ⅱ）因为数列是首项为，公比为的等比数列， 所以，所以，，…，， 各式相加，得：，所以（）， 所以活动参与者得到纪念品的概率为 ． 2、（2024高三·全国·专题练习）某商场为促销设计了一项回馈客户的抽奖活动，抽奖规则是：有放回的从装有大小相同的6个红球和4个黑球的袋中任意抽取一个，若第一次抽到红球则奖励50元的奖券，抽到黑球则奖励25元的奖券；第二次开始，每一次抽到红球则奖券数额是上一次奖券数额的2倍，抽到黑球则奖励25元的奖券，记顾客甲第n次抽奖所得的奖券数额的数学期望为． (1)求及的分布列． (2)写出与的递推关系式，并证明为等比数列； (3)若顾客甲一共有6次抽奖机会，求该顾客所得的所有奖券数额的期望值．（考数据：​） 【答案】(1)，分布列见解析； (2)，证明见解析； (3)（元） 【分析】（1）根据条件，直接求出，的取值及相应的概率，再利用期望的计算公式，即可求出结果； （2）根据条件，建立关系式，即可求出结果，再构造成，利用等比数列的定义，即可证明结果； （3）由（2）得到，即可求出结果. 【详解】（1）依题意，抽到一个红球的概率为，抽到一个黑球的概率为0.4， 显然的值为25，50，则， 所以， 又的值为， 则， 所以的分布列为： 25 50 100 0.4 0.24 0.36 （2）依题意，当时，甲第n次抽到红球所得的奖券数额为，对应概率为， 抽到黑球所得的奖券数额为25元，对应概率为， 因此当时，， ，即，又， 数列为等比数列，公比为1.2，首项为90． （3）由（2）得，，即， 所以顾客甲抽奖6次，所得奖券数额的期望为（元）． 3、（23-24高三上·浙江温州·期末）现有标号依次为1，2，…，n的n个盒子，标号为1号的盒子里有2个红球和2个白球，其余盒子里都是1个红球和1个白球．现从1号盒子里取出2个球放入2号盒子，再从2号盒子里取出2个球放入3号盒子，…，依次进行到从号盒子里取出2个球放入n号盒子为止． (1)当时，求2号盒子里有2个红球的概率； (2)当时，求3号盒子里的红球的个数的分布列； (3)记n号盒子中红球的个数为，求的期望． 【答案】(1) (2)分布列见解析 (3) 【分析】(1)由古典概率模型进行求解； (2) 可取，求出对应的概率，再列出分布列即可； (3) 记为第号盒子有三个红球和一个白球的概率，则， 为第号盒子有两个红球和两个白球的概率，则， 则第号盒子有一个红球和三个白球的概率为，且，化解得，即可求解. 【详解】（1）由题可知2号盒子里有2个红球的概率为； （2）由题可知可取， ， ， 所以3号盒子里的红球的个数ξ的分布列为 1 2 3 P （3）记为第号盒子有三个红球和一个白球的概率，则， 为第号盒子有两个红球和两个白球的概率，则， 则第号盒子有一个红球和三个白球的概率为， 且， 化解得， 得， 而则数列为等比数列,首项为，公比为， 所以， 又由求得： 因此． 【点睛】关键点点睛：记为第号盒子有三个红球和一个白球的概率，则，为第号盒子有两个红球和两个白球的概率，则，则第号盒子有一个红球和三个白球的概率为，且，即可求解. 题型11 概率与导数集合 （2025·广东广州·模拟预测）某检测中心在化验血液时有两种化验方法： ①逐份化验法：将血液样本逐份进行化验，则份血液样本共需要化验次. ②混合化验法：将份血液样本分别取样混合在一起化验.若化验结果呈阴性，则这份血液均为阴性，此时共化验1次；若化验结果呈阳性，为了确定阳性血液，就需要再采取逐份化验，故此时共需要化验次. (1)现有5份血液样本，其中有2份为阳性血液，现采取逐份化验法进行化验，求恰好化验2次就把全部阳性样本检测出来的概率； (2)现有10份血液样本，每份呈阳性的概率为，采用5份为一组的混合化验法进行化验，记这10份血液样本需要化验的总次数为，求随机变量的分布列；. (3)现有份血液样本，每份呈阳性的概率为，记采用逐份化验法时需要化验的次数为，采用份为一组的混合化验法时需要化验的总次数为，当时，求的最大值. （参考数据：） 【答案】(1) (2)分布列见解析 (3) 【分析】（1）利用排列数及古典概型计算公式求解即可； （2）每组化验的次数可能是1或6，记事件“每组化验次数为1”，则事件“每组化验次数为6”，求出，根据二项分布的计算公式求出概率，列出分布列即可； （3）由期望公式求出，代入，可得，两边取对数可得，构造函数，利用导数分析单调性即可求解. 【详解】（1）记事件“恰好化验两次就把全部阳性样本检查出来”， 则， 故恰好化验两次就把全部阳性样本检查出来的概率为. （2）每组化验的次数可能是1或6， 记事件“每组化验次数为1”，则事件“每组化验次数为6”， 则， 可知， ， ， 所以的分布列为： 7 12 （3）， ， 所以， 令，则，即， 当时，，两边取以为底的对数，得到， 设函数，则， 当时；当时， 所以函数在上单调递增，在上单调递减， 又因为，所以的最大值为. 解题方法与思路： （1）根据题目所求或题干给出的条件确定自变量及其取值范围； （2）根据题意构建函数模型，写出函数的解析式； （3）对构造的函数进行求导或利用函数单调性，求解目标函数的最值或最优解． 1．（2025·江西上饶·一模）2024年7月26日至8月11日在法国巴黎举行了夏季奥运会．为了普及奥运知识，大学举办了一次奥运知识竞赛，竞赛分为初赛与决赛，初赛通过后才能参加决赛． (1)初赛从6道题中任选2题作答，2题均答对则进入决赛．已知这6道题中小王能答对其中4道题，求小王在已经答对一题的前提下，仍未进入决赛的概率； (2)大学为鼓励大学生踊跃参赛并取得佳绩，决定对进入决赛的参赛大学生给予一定的奖励．奖励规则如下：对于进入决赛的每名大学生允许连续抽奖3次，中奖1次奖励120元，中奖2次奖励180元，中奖3次奖励360元，若3次均未中奖，则只奖励60元，假定每次中奖的概率均为，且每次是否中奖相互独立． （Ⅰ）记一名进入决赛的大学生恰好中奖1次的概率为，求的极大值； （Ⅱ）大学数学系共有9名大学生进入了决赛，若这9名大学生获得的总奖金的期望值不小于1120元，试求此时的取值范围． 【答案】(1) (2)； 【分析】（1）利用条件概率的概率公式计算即可得解； （2）（I）由，运用导数研究其极大值即可.（II）分析每名进入决赛的大学生获得的奖金的期望，解不等式即可. 【详解】（1）记事件：小王已经答对一题，事件：小王未进入决赛， 则小王在已经答对一题的前提下，仍未进入决赛的概率. （2）（I）由题意知，，， 则，令，得或1（舍）， 当时，，当时，， 所以在上单调递增，在上单调递减， 所以当时，有极大值，且极大值为. （II）设每名进入决赛的大学生获得的奖金为随机变量，则的可能取值为， 则， ， ， ， 所以， 令，即，整理得， 因为， 易知，所以，即， 又，所以的取值范围为. 【点睛】关键点点睛：本题解题的关键是求出，，利用导数求极值. 2、（2025·河北邯郸·一模）某班举办诗词大赛，比赛规则如下：参赛选手第一轮回答4道题，若答对3道或4道，则通过初赛，否则进行第二轮答题，第二轮答题的数量为第一轮答错的题目数量，且题目与第一轮的题不同，若全部答对，则通过初赛，否则淘汰.已知甲同学参加了这次诗词大赛，且甲同学每道题答对的概率均为.假设甲同学回答每道题相互独立，两轮答题互不影响. (1)已知. ①求甲同学第一轮答题后通过初赛的概率； ②求甲同学答对1道题的概率. (2)记甲同学的答题个数为，求的最大值. 【答案】(1)①；②； (2). 【解析】（1）①由题意，甲同学第一轮答题后通过初赛的概率为； ②甲同学答对1题的情况如下， 第一轮答对1题，第二轮答对0题，则概率为； 第一轮答对0题，第二轮答对1题，则概率为； 所以甲同学答对1道题的概率为； （2）由题意，， 且， ， ， ， 所以 ，又， 令，则， 令，则， 当时，，即在上单调递减； 当时，，即在上单调递增； 又，，则在上， 所以在上恒成立，即在上单调递减， 所以，故最大为. 3．（2025·黑龙江齐齐哈尔·三模）泊松分布是一种离散型概率分布，常用于描述在固定时间或空间内某事件发生的次数，广泛应用于通信，交通，生物学，金融和质量控制等领域．若随机变量服从参数为的泊松分布（记作），则其概率分布为 ． (1)当时，泊松分布可以用正态分布来近似；当时，泊松分布基本上就等于正态分布，此时可认．若，估计的值； (2)某人工智能公司制造微型芯片的次品率为，各芯片是否为次品相互独立，以记产品中的次品数． ①若，求在1000个产品中至少有2个次品的概率； ②若，求在1000个产品中至少有2个次品的概率； 通过①，②的计算结果，你发现了什么规律； (3)若，且，在保留小数点后一位的时候，求证：的最大值为0.1． 参考数据：若，则， ，， ，， 【答案】(1)． (2)可以发现产品数量很大，次品率很小时，二项分布可以用泊松分布近似． (3)证明见解析 【分析】（1）由题可得，可看作，然后由 可得答案； （2）①由题可得，由二项分布结合题意可得答案； ②由题可得，然后由可得答案； （3）由题可得，据此构造函数，可得 在上单调递减，然后由，可知只需判断与大小关系即可完成证明. 【详解】（1），可以利用正态分布转换，， ， ，估计的值为． （2）次品率为0.002，非次品率为0.998 ①，则在1000个产品中至少有个2次品的概率 ②， 可以发现产品数量很大，次品率很小时，二项分布可以用泊松分布近似． （3）， 令，，在上单调递减 ，又考虑到 而 故只需判断与，即与大小关系即可 令，，在上单调递减 ，，，， 又保留小数点后一位，的最大值为0.1. 题型12 概率中的最值问题 （2025·北京·三模）投壶是中国古代传统礼仪游戏，起源于春秋战国时期，盛行于汉唐.参与者将无镞箭矢投向特定壶具，以入壶数量和姿态评判胜负，兼具竞技与礼仪功能. 为发扬传统文化，某校利用午休时间举办投壶比赛老师预设口径不同的三个壶，学生可以根据自身情况，选择不同壶进行挑战.为方便统计，投壶时，仅统计“投中”与“未投中”两种结果. 活动中，高三年级500名学生体验了投壶，每位学生都只选择一个壶进行挑战.现将投壶结果统计如下表. 壶1 壶2 壶3 投中 未投中 投中 未投中 投中 未投中 高三年级 40 160 90 60 60 90 假设用频率估计概率 (1)若从所有选择投壶2的学生中，随机选择一位学生，求这位学生在活动中投中壶2的概率. (2)投壶活动结束后，高三学生自发组织“过关比赛”比赛中，学生手拿三支箭，从壶1开始，按照壶1、壶2、壶3的次序，进行投壶挑战.每次投壶时，学生投一支箭，若投中，学生按照顺序投下一个投壶；若未投中，学生需要继续投该壶，直到投中或箭矢耗尽当学生投完三支箭，挑战结束. 某位高三学生即将参赛，假设用高三年级学生投中各壶的频率估计这位学生投中各壶的概率，求这位学生在“过关比赛”中仅投中一次的概率. (3)为锻炼投壶技巧，某高三同学投壶2，一共投20次.假设每次投壶的结果互不影响，用高三年级学生投中壶2的频率估计这位学生投中壶2的概率，那么在投完20次之后，这位同学投中壶2多少次的概率最大?（只需写出结论）. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）利用古典概型的概率公式计算； （2）分别计算壶1、壶2投中和未投中的概率，再利用乘法公式和加法公式计算； （3）利用二项分布的概率最值计算. 【详解】（1）由用频率估计概率可知，从所有选择投壶2的学生中，随机选择一位学生，这位学生在活动中投中壶2的概率为. （2）用高三年级学生投中各壶的频率估计这位学生投中各壶的概率， 则壶1投中的概率为，壶1未投中的概率为， 壶2投中的概率为，壶2未投中的概率为， 则这位学生在“过关比赛”中仅投中一次的概率为. （3）用表示投完20次之后，这位同学投中壶2的次数，则， 则， 假设投中壶2的次数为时最大，则 ，即， 解得，因，则， 故投完20次之后，这位同学投中壶2的次数为时，概率最大. 解题方法与思路： 1、 利用定义发判断单调性求最值 2、 利用导数法判断单调性求最值 3、 利用函数的性质判断函数单调性求最值 4、 二项分布中最值问题： 记，则当时，，pk递增；当时，，递减.故 最大值在时取得（此时，两项均为最大值；若非整数，则k取的整数部分时，最大且唯一）. 1．（2025·云南昭通·一模）为提升大学生环保意识，牢固树立和践行绿水青山就是金山银山的理念，某生物多样性保护与绿色发展基金会举办了“2024年大学生环保知识竞赛”．为了了解大学生对相关知识的掌握情况，随机抽取2000名大学生的竞赛成绩（单位：分），并以此绘制了如图的频率分布直方图． (1)从竞赛成绩在内的学生中随机抽取80名学生，用表示这80名学生中恰有名学生竞赛成绩在的概率，其中，1，2，…，80．以样本的频率估计概率． ①从这80名学生中任取一人，求这个学生的竞赛成绩在的概率； ②当最大时，求． (2)若学生中男生人，其成绩平均数记为，记方差为，女生为人，其成绩平均数为，记方差为，把总体样本数据的平均数记为，方差记为，证明：． 【答案】(1)①；② (2)证明见解析 【分析】（1）①记事件A为抽取的任一学生的竞赛成绩在内，记事件B为抽取的任一学生的竞赛成绩在内，由条件概率的公式计算即可； ②利用二项分布的概率公式表示出概率，再解不等式组即可； （2）由方差的公式推导化简即可； 【详解】（1）①记事件A为抽取的任一学生的竞赛成绩在内， 记事件B为抽取的任一学生的竞赛成绩在内. 从这80名学生中任取一人，这名学生的竞赛成绩在内的概率为 ②：用X表示这80名学生中抽取的学生的成绩在的人数， 经分析服从二项分布， 由,得，即， 解得 又因为，所以. 即当时，最大. （2）证明：根据方差的定义，记男生的成绩为 记女生的成绩为则总体的方差为 由 同理 则同理 2．（2025·安徽合肥·模拟预测）3月14日为国际数学日，也称为节，为庆祝该节日，某中学举办了数学文化节活动，其中一项活动是“数学知识竞赛”，竞赛规则是：两人一组，每一轮竞赛中，小组两人分别答3道题，若答对题目不少于5道题，则获得1个积分．已知甲、乙两名同学一组，甲同学和乙同学对每道题答对的概率分别是和，且每道题答对与否互不影响． (1)若，，求甲、乙同学这一组在一轮竞赛中获得1个积分的概率； (2)若，且每轮比赛互不影响，进行n轮比赛后，甲、乙同学这一组获得的积分为X分．若恒成立，求n的最小值． 【答案】(1) (2)20 【分析】（1）假设同学甲和同学乙答对的题目个数分别为，，求概率为；（2）由（1）可知，再由，，且，求导求出最小值，设在n轮比赛中，甲、乙两同学获得1个积分的轮数为，则服从，求出最小场数. 【详解】（1）假设同学甲和同学乙答对的题目个数分别为，， 所以所求概率为 ， 所以他们在一轮竞赛中获得1个积分的概率为； （2）由（1）可知 ， 整理可得， 因为，，且， 所以，， 令，则， 所以，，则， 当时，恒成立，在上单调递增， 所以当时，取得最小值， 设在n轮比赛中，甲、乙两同学获得1个积分的轮数为，则服从， 又，所以，则由， 即，解得， 因为为正整数，所以n的最小值为． 3、（2025·福建·模拟预测）为庆祝“五一”国际劳动节，某校举办“五一”文艺汇演活动，本次汇演共有40个参赛节目，经现场评委评分，分成六组：第一组，第二组，第三组，第四组，第五组，第六组，得到如下频率分布直方图： (1)估计所有参赛节目评分的第85百分位数（保留1位小数）； (2)若评分结束后只对所有评分在区间的节目进行评奖（每个节目都能获奖，只有一等奖和二等奖），其中每个节目获评为一等奖的概率为，获评为二等奖的概率为，每个节目的评奖结果相互独立． （ⅰ）设参评节目中恰有2个一等奖的概率为，求的极大值点； （ⅱ）以（ⅰ）中作为p的值，若对这部分评奖节目进行奖励，已知一等奖节目奖金为500元，若要使得总奖金期望不超过1400元，请估计二等奖奖金的最大值． 【答案】(1)91.7 (2)（ⅰ）  （ⅱ）100元 【解析】（1）由频率分布直方图可知， 评分为的节目的频率为， 因为前四组的频率为：； 前五组的频率为：； 则第85百分位数占第五组的比例为， 所以， ∴估计所有参赛节目评分的第85百分位数为91.7； （2）（i）评分在的节目的频数为， ∴， ∴， ∵， ∴当时，单调递增， 当时，单调递减， 当时，，所以取得极大值， ∴的极大值点； （ii）设获得一等奖的节目数为随机变量X，总奖金为Y， 易知，，∴， 设二等奖奖金为a元，则， ∴，解得， ∴二等奖奖金的最大值为100元． 1．（2025·重庆·模拟预测）某校为庆祝建校百年，由学校团委、学生会组织开展“奋斗进程”校史知识竞赛活动，每位参赛者均需要回答个题目，可以从个组题目和若干个组题目中，共选择3个题目作答.A组题目每正确回答1个得10分，B组题目每正确回答1个得分，不能正确回答的题目均不得分，参赛者总得分为3个题目得分之和.已知小王恰能正确回答A组题中的4个题目，B组题目每个正确回答的概率均为，且能否正确回答A组和B组题目互不影响. (1)已知小王两组题目均有选择，以他至少答对1个题目的概率为依据，试确定他分别选择两组题目的数量的策略； (2)记小王总得分为. （i）若选择的3个题目均为A组题目，求的分布列及数学期望； （ii）试确定，使小王在选择3个题目时，无论怎样调整A、B组题目数量，其总得分保持期望稳定，并说明理由.（参考公式：，其中、为随机变量） 【答案】(1)小王应选择2个A组题目和1个B组题目的策略 (2)（i）分布列见解析；；（ii）当时，无论小王如何调整A、B组题目数量，其总得分X的期望均为20分；理由见解析 【分析】（1）小王两组题目均有选择的方案有两种，1个A组题目和2个B组题目；2个A组题目和1个B组题目，分别记两种情况下小王至少答对1个题目的概率为，，求得，，可得结论； （2）记小王所选题目中A组题目得分为，B组题目得分为，，（i）由于选择的三个题目均有A组题目，其得分为，利用超几何分布求得分布列，可求数学期望；（ii）设小王选择的3个题目中A组题目数量为，B组题目数量为，其中，则服从超几何分布，，计算数学期望可得结论. 【详解】（1）小王两组题目均有选择的方案有两种， 1个A组题目和2个B组题目；2个A组题目和1个B组题目， 分别记两种情况下小王至少答对1个题目的概率为，， ， ， 因为，所以， 以至少答对1个题目的概率为依据，小王应选择2个A组题目和1个B组题目的策略. （2）记小王所选题目中A组题目得分为，B组题目得分为，， （i）由于选择的三个题目均有A组题目，其得分为， 则，，， 故的分布列为： 10 20 30 故， （ii）设小王选择的3个题目中组题目数量为，组题目数量为，其中， 则服从超几何分布，，，， ， 当时，的值与无关， 即当时，无论小王如何调整组题目数量，其总得分的期望均为20分. 2．（2025·上海普陀·二模）某区为推进教育数字化转型，通过聚合区域学校的教育资源，依托AI技术搭建了区域智慧题库系统，形成了“通识过关—综合拓展—创新提升”三层动态原库，且三层题量之比为，设该题库中任意1道题被选到的可能性都相同. (1)现有4人参加一项比赛，若每人分别独立地从该题库中随机选取一道题作答，求这4人中至少有2人的选题来自层的概率； (2)现采用分层随机抽样的方法，使用智能组卷系统从该题库中选取12道题生成试卷，若某老师要从生成的这份12道题的试卷中随机选取3道题做进一步改编，记该老师选到层题的题数为，求的分布与期望． 【答案】(1) (2)分布列见解析， 【分析】（1）先求出在层选题的概率和不在层选题的概率，再结合题意得到，最后利用二项分布概率公式求解即可. （2）先依据题意求出在层最多抽到7道，再求出对应概率，进而求出分布列和数学期望即可. 【详解】（1）因为三层题量之比为， 所以在层选题的概率为，不在层选题的概率为， 设至少2人的选题来自层的概率为，从层选题数量为， 由题意得，而二项分布概率公式为， 则至少2人的选题来自层的概率为， 故. （2）因为三层题量之比为， 所以在层最多抽到7道，且可取， 则， ， 其分布列为 X P 所以期望. 3．（2025·江苏·模拟预测）甲公司设计的健身可以帮助用户制订健身计划，用户按使用频率可分为“活跃用户”和“普通用户”．根据统计数据，活跃用户有能完成健身计划，普通用户仅能完成健身计划．记活跃用户与普通用户的人数比值为． (1)若，从未完成健身计划的用户中随机抽取人，求该用户是普通用户的概率； (2)甲公司从每个完成健身计划的用户处可获得60元收益， 从每个未完成健身计划的用户处可获得 20元收益，对每个活跃用户要承担元维护成本，对每个普通用户要承担元维护成本．设一个用户给甲公司带来的净利润 (净利润收益维护成本)为元，当满足什么关系时，的数学期望与值无关？ 【答案】(1) (2)时，的数学期望与值无关 【分析】（1）应用全概率公式计算未完成计划的用户中普通用户的条件概率. （2）建立净利润的期望表达式，整理化简消去，即可得到关系. 【详解】（1）记“抽取的为活跃用户”为事件,则“抽取的为普通用户”为事件. 因为，则活跃用户占比为，普通用户占比为. 记“用户未完成计划”为事件,则“用户完成计划”为事件. 活跃用户未完成计划的概率为，普通用户未完成计划的概率为. 则未完成计划的总概率为. 是普通用户且未完成健身计划的概率为. 则. （2）由（1）知，活跃用户完成健身计划概率，此时净利润为， 未完成健身计划，此时净利润为， 则活跃用户的净利润的数学期望. 普通用户完成健身计划概率，此时净利润为， 未完成健身计划，此时净利润为， 则普通用户的净利润的数学期望. 设活跃用户人数为，普通用户人数为，则总用户人数为. 因为的数学期望与值无关，则， 即时，的数学期望与值无关. 4．（2025·辽宁沈阳·模拟预测）进行独立重复试验，设每次成功的概率为，将试验进行到首次成功时结束，以表示试验次数，则称服从以为参数的几何分布，记为，其中，． (1)若， （i）求和； （ii）； (2)若，，， 求证：． 【答案】(1)（i），；（ii）； (2)证明见解析 【分析】（1）（i）根据独立重复试验的概率公式计算可得；（ii）根据等比数列的求和公式即可求解； （2）由题意可得，根据条件概率的计算公式即可得证． 【详解】（1）（i）若， 则， ； （ii） （2）由题意可得， ， 所以． 5．（2025·四川成都·模拟预测）小忠、小勇、小勤三人进行乒乓球运动，赢一球得1分，输球不得分．每局先得2分者获胜，此局结束，负者换下．每一颗球，小忠胜小勇的概率为，小勇胜小勤的概率为（其中是每局中前一颗球打完时小勇得分减去小勤得分的值，规定：打第一颗球时）．小忠与小勇打一局，小忠得1分而下场的概率为． (1)求； (2)若小勇与小勤打了一局，求小勇的得分的分布列和数学期望； (3)若小勇和小勤首先上场打球，假设打每颗球和换人的用时均为30秒，小勇可以主动认输，认输也会用时30秒（也算作在场上），认输后在下一颗球中，小勇胜小勤的概率为，其它两人不能主动认输．小勇要在接下来的6分钟时间（含第6分钟）使自己一直在场上的概率最大，他应该努力达成何种状态，说明其状态并求出最大概率． 【答案】(1) (2)分布列见解析， (3)小勇状态见解析，最大概率为 【分析】（1）根据题意列式计算即可； （2）根据条件概率计算得分对应概率可得分布列，根据分布列可计算概率； （3）按照比赛时间分类讨论可得达成何种状态时概率最大. 【详解】（1）小忠与小勇打一局，小忠得1分而下场的概率为． 所以，即， 则，所以，或（舍去）．则． （2）定义事件：小勇与小勤比分为，：小勇最终得分为，则的可能取值为：0，1，2， ， ； ； 则小勇的得分的分布列为： 0 1 2 ． （3）当包括换下时间时，每局比赛花1.5分钟或2分钟结束， 则6分钟内小勇与小勤打了完整两局，小勇与小忠打了完整一局，另一局可能是完整的． ①小勇与小勤打2分钟时， 先赢一球，再主动认鍮，再赢一球的概率最高，为； ②小勇与小勤打1.5分钟时，连赢两球，其概率为； ③小勇与小忠打2分钟时，赢一球，再主动认输，再赢一球的概率最高，为； ④小勇与小忠打1.5分钟时，连赢两球，其概率为； 小勇与小忠最后一颗球所用时间由前三局决定，前三局有局1.5分钟结束， 则最后一局打分钟，其中． 若小勇与小忠第一局打了1.5分钟，则最后一局多一颗球，多加一场要留在场上的概率， 故认为概率最大时，小勇与小忠第一局打了2分钟，即． 时，则第四局小勇可以连输两球，此时； 时，小勇最后1球可不赢，此时，； 时，； 综上，最大概率为，最佳状态是与小勤打2局：每局均1.5分钟，均获胜， 同时与小忠至少打两局：第一局为2分钟，获胜. 6．（2025·江西南昌·二模）为宣扬中国文化，某校组织古诗词知识比赛.比赛分为两阶段，第一阶段为基础知识问答，每位选手都需要回答3个问题，答对其中至少2个问题，进入第二阶段，否则被淘汰；第二阶段分高分组、和低分组，第一阶段3个问题都答对的选手进入高分组，共回答4个问题，每答对一个得20分，答错不得分；第一阶段答对2个问题的选手进入低分组，共回答4个问题，每答对一个得10分，答错不得分.第一阶段，每个问题选手甲答对的概率都是；第二阶段，若选手甲进入高分组，每个问题答对的概率都是，若选手甲进入低分组，每个问题答对的概率都是. (1)求选手甲第一阶段不被淘汰的概率； (2)求选手甲在该次比赛得分数为40分的概率； (3)已知该次比赛选手甲进入了高分组，记选手甲在该次比赛中得分数为，求随机变量的分布列和期望值. 【答案】(1) (2) (3)分布列见解析，20 【分析】（1）选手甲第一阶段不被淘汰，即甲回答三个问题答对其中2个或3个，根据条件即可求解； （2）选手甲在该次比赛得分数为40分有两种情况：进入高分组，答对2个问题；进入低分组，答对4个问题，根据条件求解即可； （3）由题的可能取值有，分别求出相应取值的概率，即可得出答案. 【详解】（1）选手甲第一阶段不被淘汰，即甲回答三个问题答对其中2个或3个，其概率为： （2）选手甲在该次比赛得分数为40分有两种情况：进入高分组，答对2个问题；进入低分组，答对4个问题.故概率为： （3）的可能取值有， ， ， ， 所以分布列为： 0 20 40 60 80 所以. 7．（2025·江苏常州·模拟预测）某校为庆祝建校百年，学校组织建校百年校友体育赛，赛事间隙举行了一次有关三大球类运动的知识竞赛，海量题库中篮球､足球､排球三类相关知识题量占比分别为．甲校友回答篮球、足球、排球这三类问题中每个题的正确率分别为． (1)若甲校友在该题库中任选一题作答，求他回答正确的概率； (2)若甲校友从这三类题中各任选一题作答，每回答正确一题得3分，回答错误得分．设该校友回答三题后的总得分为分，求的分布列及数学期望； (3)知识竞赛规则：随机从题库中抽取道题目，答对题目数不少于道，即可获得奖励．现以获得奖励的概率大小为依据，若甲校友在和之中选其一，则他应如何选择？并说明理由． 【答案】(1) (2)分布列见解析， (3)，理由见解析 【分析】（1）根据全概率公式即可求解， （2）根据概率乘法公式求解概率，即可求解分布列和期望， （3）对和求解对应的概率，利用作差法比较大小即可求解. 【详解】（1）设“甲校友所选的题目回答正确”，“所选的题目为篮球相关知识的题目”， “所选的题目为足球相关知识的题目”， “所选的题目为排球相关知识的题目”， 则，且两两互斥． 根据题意得，，，， 则， 所以甲校友在该题库中任选一题作答，他回答正确的概率为． （2）的可能取值为， ， ， ， ， 则的分布列为： -3 1 5 9 所以． （3）当时，为甲校友答对题目的数量， 由题意可知，其中， 故当时，甲校友获得奖励的概率， 当时，甲校友获得奖励的情况可以分为如下情况： ①前8题答对题目的数量大于等于5， ②前8题答对题目的数量等于4，且最后2题至少答对1题， ③前8题答对题目的数量等于3，且最后2题全部答对， 故当时，甲校友获得奖励的概率， 所以， 因为，所以，即， 所以甲校友应选． 8．（2025·安徽·模拟预测）为了解一种新药治疗某疾病的效果，在获得有关部门批准后，制药公司在若干医院进行试验，每个医院选10个病人服用此药，规定：若这10个病人中至少有5人痊愈，则认为这种药有效，否则认为这种药无效. (1)甲医院参加试验的10个病人服用该药后有6人痊愈，乙医院参加试验的10个病人服用该药后有7人痊愈，现随机从甲、乙两医院中选择一个医院，然后从参加试验的10个病人中随机抽取2人，求恰好抽到痊愈、未痊愈的病人各1人的概率； (2)假设这种新药的治愈率为80%，且每个病人服药后是否痊愈相互独立，求某医院经过试验认定该药无效的概率；（结果精确到0.0001） (3)若已知这种病的自然痊愈率为10%，根据（2）的结果解释规定是否合理. 参考数据：512×62201≈32000000. 【答案】(1) (2) (3)合理 【分析】（1） 根据全概率公式求解即可； （2）将10个病人服用新药视为10重伯努利试验，利用二项分布求解即可； （3）根据（2）的计算结果，结合小概率事件的理解得出结论. 【详解】（1）设“抽到甲医院”，“抽到乙医院”，“随机抽取2人，恰好抽到痊愈、未痊愈的病人各1人”， 则，，， 由全概率公式得. （2）将10个病人服用新药视为10重伯努利试验，在每次试验中，每个病人痊愈的概率均为0.8，且每个病人是否痊愈是相互独立的. 设表示这10个病人中痊愈的人数，则.设“经过试验认定该药无效”，事件C发生等价于， 所以 . （3）由题意，实际上新药提高了治愈率，是有效的. 当痊愈的病人数不超过4时，认定新药无效，此时作出了错误的判断. 因为作出错误判断的概率很小，所以规定是合理的. 9（2025·贵州黔东南·模拟预测）某商场推出了购物抽奖活动，活动规则如下：如图，在点A，B，C，D，E处各安装了一盏灯，每次只有一处的灯亮起.初始状态是点A处的灯亮起，程序运行次数的上限为（，），然后按下开始按扭，程序开始运行，第1次是与A相邻点处的其中一盏灯随机亮起，第n次是与第次灯亮处相邻点的其中一盏灯随机亮起.若在运行过程中，点A处的灯再次亮起，则游戏结束，否则运行n次后游戏自动结束.在程序运行过程中，若点A处的灯再次亮起，则顾客获奖.已知顾客小明参与了该购物抽奖活动. (1)求程序运行2次小明获奖的概率； (2)若，求小明获奖的概率； (3)若，记游戏结束时程序运行的次数为X，求X的分布列与期望. 【答案】(1) (2) (3)分布列见解析， 【解析】（1）程序运行2次小明获奖的情况有，这两种， 其概率. （2）当时，小明获奖的情况如下：程序运行2次，小明获奖；程序运行4次，小明获奖. 程序运行4次，小明获奖的情况有，，，，这五种， 其概率， 故当时，小明获奖的概率. （3）当时，的所有可能取值为2，4，5，6. 由（1）可知，由（2）可知， 当时，包含，，，这四种情况， 其概率， . 故X的分布列为 X 2 4 5 6 P 故. 10．（2025·陕西商洛·模拟预测）在双碳战略之下，新能源汽车发展成为乘用车市场转型升级的重要方向，2024年我国新能源汽车销量继续走高．为了解新能源汽车车主对新能源汽车的满意程度，某市某品牌的新能源汽车经销商从购买了该品牌新能源汽车的车主中随机选取了100人进行问卷调查，并根据其满意度评分（单位：分，总分100分）制作了如下的频数分布表： 满意度评分 频数 10 15 20 30 15 10 (1)计算满意度评分的样本平均数和样本中位数；（每组数据以该组区间的中点值为代表） (2)根据频数分布表可以认为该市该品牌新能源汽车车主对新能源汽车的满意度评分近似地服从正态分布，其中近似为样本平均数近似为样本的标准差，并求得．若该市恰有1万名该品牌的新能源汽车车主，试估计这些车主中满意度评分位于区间的人数； (3)为提升新能源汽车的销量，该品牌4S店针对购买该品牌新能源汽车的顾客设置了抽奖环节，抽奖规则如下：每人可参加2次抽奖，每次抽奖都从装有3个红球、3个白球（形状、大小、质地完全相同）的抽奖箱里一次性摸出3个球，若摸出3个红球，则返还2000元现金；若摸出2个红球，则返还1000元现金，其余情况不返还任何现金（两次抽奖返现金额叠加）．已知小王参加了抽奖，记他获得的返现金额为，求随机变量的分布列和数学期望． 参考数据：若随机变量，则. 【答案】(1)，样本中位数为 (2)8186 (3)分布列见解析， 【分析】（1）结合题设数据，根据平均数和中位数的定义求解即可； （2）由题意，，，进而根据正态分布特殊区间的概率求解即可； （3）由题意可得的所有取值为，再求出顾客每次抽奖返还2000元现金的概率，顾客每次抽奖返还1000元现金的概率，顾客每次抽奖不返还任何现金的概率，进而求解分布列和数学期望. 【详解】（1）由题意，平均数， 前3组的频率为，前4组的频数为， 所以样本中位数位于，设为， 则，解得，则样本中位数为. （2）由题意，近似地服从正态分布，且，， 由于 ， 因此估计这些车主中满意度评分位于区间的人数为 . （3）由题意，的所有取值为， 顾客每次抽奖返还2000元现金的概率为， 顾客每次抽奖返还1000元现金的概率为， 顾客每次抽奖不返还任何现金的概率为， 则，， ， ， ， 则的分布列为： 0 1000 2000 3000 4000 所以. 11．（2025·四川绵阳·模拟预测）某汽车公司拟对“东方红”款高端汽车发动机进行科技改造，根据市场调研与模拟，得到科技改造投入（亿元）与科技改造直接收益（亿元）的数据统计如下： 2 3 4 6 8 10 13 21 22 23 24 25 13 22 31 42 50 56 58 68.5 68 67.5 66 68 当时，建立了y与x的两个回归模型：模型①；模型②：； (1)根据下列表格中的数据，比较当时模型①、②的相关指数，并选择拟合精度更高、更可靠的模型，预测对“东方红”款汽车发动机科技改造的投入为16亿元时的直接收益. 回归模型 模型① 模型② 回归方程 182.4 79.2 （附1：刻画回归效果的相关指数） (2)科技改造后，“东方红”款汽车发动机的热效率X大幅提高，X服从正态分布，公司对科技改造团队的奖励方案如下：若发动机的热效率不超过50%，不予鼓励；若发动机的热效率超过50%但不超过53%，每台发动机奖励2万元；若发动机的热效率超过53%，每台发动机奖励4万元.求每台发动机获得奖励的分布列和数学期望. （附2：随机变量服从正态分布，则，.） 【答案】(1)模型①的小于模型②，模型② (2)分布列见解析， 【分析】（1）利用表格数据比较两个模型的相关指数的大小，把数据代入模型可得答案； （2）利用正态分布求出概率，结合期望公式可得答案. 【详解】（1）由表格中的数据，有182.4>79.2， 因为， 所以模型①的小于模型②，说明回归模型②刻画的拟合效果更好， 所以当亿元时，科技改造直接收益的预测值为：（亿元）； （2）因为， 所以， 因为， 所以， 所以， 设每台发动机获得的奖励为Y（万元），则Y的分布列为： 0 2 4 0.02275 0.8186 0.15865 所以每台发动机获得奖励的数学期望 （万元）. 12．（2025·湖北襄阳·模拟预测）如图，某人设计了一个类似于高尔顿板的游戏：将一个半径适当的小球放入如图所示的容器最上方的中间入口处，小球将自由下落，小球在下落的过程中，将次遇到黑色障碍物，已知小球每次遇到黑色障碍物时，向左、右两边下落的概率都是，最后落入袋或袋中.一次游戏中小球落入袋记分，落入袋记分，游戏可以重复进行.游戏过程中累计得分的概率为. (1)求、、； (2)求出的通项公式. 【答案】(1)，， (2) 【分析】（1）计算出小球落入袋、袋的概率，可得出的值，再结合独立事件和互斥事件的概率公式可求得、的值； （2）游戏过程中累计得分可以分为两种情况：得到分后的一次游戏小球落入袋中（分），或得到分后的一次游戏中小球落入A袋中（分），由此可得出，推导出数列为常数列，可得出，进而推导出为等比数列，结合等比数列的通项公式可求得的通项公式. 【详解】（1）小球三次碰撞全部向左偏或者全部向右偏落入袋， 故概率， 小球落入袋中的概率. 故，，. （2）游戏过程中累计得分可以分为两种情况： 得到分后的一次游戏小球落入袋中（分）， 或得到分后的一次游戏中小球落入袋中（分）， 故， 故为常数列且，故即. ， 故是以为首项，以为公比的等比数列， 故， 所以的通项公式为. 13、（2025·四川绵阳·模拟预测）甲乙两人参加单位组织的知识答题活动，每轮活动由甲乙各答一个题，已知甲、乙第一轮答对的概率都为．甲如果第轮答对，则他第轮也答对的概率为，如果第轮答错，则他第轮也答错的概率为；乙如果第轮答对，则他第轮也答对的概率为，如果第轮答错，则他第轮也答错的概率为．在每轮活动中，甲乙答对与否互不影响． (1)若前两轮活动中第二轮甲乙都答对求两人第一轮也都答对的概率； (2)求证：，甲在第轮答对的概率为定值； 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】（1）根据给定条件，利用互相独立事件、互斥事件的概率公式，结合条件概率公式求解即可； （2）求出的递推公式，再利用构造法求出通项即可. 【详解】（1）记事件表示甲第轮答对，记事件表示乙第轮答对， 则， 所以， 同理， ， 所以， 则， 即若前两轮活动中第二轮甲乙都答对则两人第一轮也都答对的概率为. （2）由题意可知，即， 所以， 因为，所以数列为常数列， 所以为定值. 14（2025·黑龙江·二模）为引导乡村老年人参与全民健身活动，积极倡导和践行健康生活方式，某乡村开展“趣味套圈圈玩出‘年轻态’”志愿者服务活动，旨在丰富老年人的精神文化生活，营造尊老、爱老、敬老的浓厚和谐邻里氛围.活动开始，志愿者为大家讲解游戏规则：参加活动的每位老年人均可领2个圈圈且均需用完，一个圈圈只能套一次奖品（奖品为一瓶洗发水），每次套中奖品与否相互独立，套中的奖品可被老年人带走.已知王大爷每次套中奖品的概率为，张大爷每次套中奖品的概率为. (1)若，王大爷套完两次后，记王大爷套中的奖品的个数为，求随机变量的分布列和数学期望； (2)王大爷、张大爷都套完两次后，求两人总共套中的奖品个数为3的概率的最大值. 【答案】(1)分布列见解析，期望为； (2)． 【解析】（1）由题意随机变量的可能值为，， ，．， 的分布列为： 0 1 2 ； （2）由题意两人总共套中的奖品个数为3的概率为： ， 设，，则， 时，递增，时，，递减， 所以时，， 所以所求最大值为． 15（2025·黑龙江哈尔滨·一模）“冰雪同梦，亚洲同心”，年第九届亚冬会在哈尔滨举办，本次赛事共有个大项，个分项，个小项，有来自个国家和地区，多名运动员参赛，是一场令人回味无穷的冬季体育盛会，亚冬会圆满结束后，我校团委组织学生参加与亚冬会有关的知识竞赛.为鼓励同学们积极参加此项活动，比赛规定：答对一题得两分，答错一题得一分，选手不放弃任何一次答题机会.已知小明报名参加比赛，每道题回答是否正确相互独立，且每次答对的概率不一定相等. (1)若前三道试题，小明每道试题答对的概率均为， ①设，记小明答完前三道题得分为，求随机变量的分布列和数学期望； ②若小明答完前四道题得分的概率为，求小明答完前四题时至少答对三题的概率的最小值； (2)若小明答对每道题的概率均为，因为小明答对第一题或前两题都答错，均可得到两分，称此时小明答题累计得分为，记小明答题累计得分为的概率为，求数列的通项公式. 【答案】(1)①分布列答案见解析，；② (2) 【解析】（1）①由题意可知，随机变量的可能取值有、、、， ，， ，， 所以，随机变量的分布列如下表所示： 所以，； ②因为前四道试题得分即全对的概率为，所以第四道试题答对的概率为， 所以，小明答完前四题时至少答对三题的概率为， 则， 当时，，此时，函数单调递减， 当时，，此时，函数单调递增， 所以. （2）依题意可得，，当时，则， 所以，，且， 所以，数列是首项为，公比为的等比数列， 故， 且， 所以数列是各项均为的常数列，则， 所以，解得. 1．（2025·北京·高考真题）某次考试中，只有一道单项选择题考查了某个知识点，甲、乙两校的高一年级学生都参加了这次考试.为了解学生对该知识点的掌握情况，随机抽查了甲、乙两校高一年级各100名学生该题的答题数据，其中甲校学生选择正确的人数为80，乙校学生选择正确的人数为75.假设学生之间答题相互独立，用频率估计概率. (1)估计甲校高一年级学生该题选择正确的概率 (2)从甲、乙两校高一年级学生中各随机抽取1名，设X为这2名学生中该题选择正确的人数，估计的概率及X的数学期望； (3)假设：如果没有掌握该知识点，学生就从题目给出的四个选项中随机选择一个作为答案；如果掌握该知识点，甲校学生选择正确的概率为，乙校学生选择正确的概率为.设甲、乙两校高一年级学生掌握该知识点的概率估计值分别为，，判断与的大小（结论不要求证明）. 【答案】(1) (2)， (3) 【分析】（1）用频率估计概率即可求解； （2）利用独立事件乘法公式以及互斥事件的加法公式可求恰有1人做对的概率及的分布列，从而可求其期望； （3）根据题设可得关于的方程，求出其解后可得它们的大小关系. 【详解】（1）估计甲校高一年级学生该题选择正确的概率. （2）设为“从甲校抽取1人做对”，则，， 设为“从乙校抽取1人做对”，则，， 设为“恰有1人做对”，故 依题可知，可取， ，，， 故的分布列如下表： 故. （3）设为 “甲校掌握这个知识点的学生做该题”， 因为甲校掌握这个知识点则有的概率做对该题目， 未掌握该知识点的同学都是从四个选项里面随机选择一个， 故，即，故， 同理有，，故， 故. 2．（2025·全国一卷·高考真题）为研究某疾病与超声波检查结果的关系，从做过超声波检查的人群中随机调查了1000人，得到如下列联表： 超声波检查结果组别 正常 不正常 合计 患该疾病 20 180 200 未患该疾病 780 20 800 合计 800 200 1000 (1)记超声波检查结果不正常者患该疾病的概率为p，求p的估计值； (2)根据小概率值的独立性检验，分析超声波检查结果是否与患该疾病有关. 附， 0.050 0.010 0.001 3.841 6.635 10.828 【答案】(1) (2)有关 【分析】（1）根据古典概型的概率公式即可求出； （2）根据独立性检验的基本思想,求出,然后与小概率值对应的临界值比较,即可判断. 【详解】（1）根据表格可知，检查结果不正常的人中有人患病，所以的估计值为； （2）零假设为：超声波检查结果与患病无关， 根据表中数据可得，， 根据小概率值的独立性检验，我们推断不成立，即认为超声波检查结果与患该病有关，该推断犯错误的概率不超过. 3．（2025·全国二卷·高考真题）甲、乙两人进行乒乓球练习，每个球胜者得1分，负者得0分．设每个球甲胜的概率为，乙胜的概率为q，，且各球的胜负相互独立.对正整数，记为打完k个球后甲比乙至少多得2分的概率，为打完k个球后乙比甲至少多得2分的概率． (1)求（用p表示）． (2)若，求p． (3)证明：对任意正整数m，． 【答案】(1)， (2) (3)证明过程见解析 【分析】（1）直接由二项分布概率计算公式即可求解； （2）由题意，联立，即可求解； （3）首先，，同理有，，作差有，另一方面，且同理有，作差能得到，由此即可得证. 【详解】（1）为打完3个球后甲比乙至少多得两分的概率，故只能甲胜三场， 故所求为， 为打完4个球后甲比乙至少多得两分的概率，故甲胜三场或四场， 故所求为； （2）由（1）得，，同理， 若，， 则， 由于，所以，解得； （3）设打完个球，甲的得分为，乙的得分为，， 所以，，， ，，， 要证明， 即证明①，②， 先证明①， ， 同理可得， 所以①，故成立； 证明②： ， 同理可得， 所以②，故成立； 综上，不等式成立. 4．（2024·新课标Ⅱ卷·高考真题）某投篮比赛分为两个阶段，每个参赛队由两名队员组成，比赛具体规则如下：第一阶段由参赛队中一名队员投篮3次，若3次都未投中，则该队被淘汰，比赛成绩为0分；若至少投中一次，则该队进入第二阶段.第二阶段由该队的另一名队员投篮3次，每次投篮投中得5分，未投中得0分.该队的比赛成绩为第二阶段的得分总和．某参赛队由甲、乙两名队员组成，设甲每次投中的概率为p，乙每次投中的概率为q，各次投中与否相互独立． (1)若，，甲参加第一阶段比赛，求甲、乙所在队的比赛成绩不少于5分的概率． (2)假设， （i）为使得甲、乙所在队的比赛成绩为15分的概率最大，应该由谁参加第一阶段比赛？ （ii）为使得甲、乙所在队的比赛成绩的数学期望最大，应该由谁参加第一阶段比赛？ 【答案】(1) (2)（i）由甲参加第一阶段比赛；（i）由甲参加第一阶段比赛； 【分析】（1）根据对立事件的求法和独立事件的乘法公式即可得到答案； （2）（i）首先各自计算出，，再作差因式分解即可判断；(ii)首先得到和的所有可能取值，再按步骤列出分布列，计算出各自期望，再次作差比较大小即可. 【详解】（1）甲、乙所在队的比赛成绩不少于5分，则甲第一阶段至少投中1次，乙第二阶段也至少投中1次， 比赛成绩不少于5分的概率. （2）（i）若甲先参加第一阶段比赛，则甲、乙所在队的比赛成绩为15分的概率为， 若乙先参加第一阶段比赛，则甲、乙所在队的比赛成绩为15分的概率为， ， ， ，应该由甲参加第一阶段比赛. (ii)若甲先参加第一阶段比赛，比赛成绩的所有可能取值为0，5，10，15， ， ， ， ， 记乙先参加第一阶段比赛，比赛成绩的所有可能取值为0，5，10，15， 同理 ， 因为，则，， 则， 应该由甲参加第一阶段比赛. 【点睛】关键点点睛：本题第二问的关键是计算出相关概率和期望，采用作差法并因式分解从而比较出大小关系，最后得到结论. 5．（2024·北京·高考真题）某保险公司为了了解该公司某种保险产品的索赔情况，从合同险期限届满的保单中随机抽取1000份，记录并整理这些保单的索赔情况，获得数据如下表： 赔偿次数 0 1 2 3 4 单数 假设：一份保单的保费为0.4万元；前3次索赔时，保险公司每次赔偿0.8万元；第四次索赔时，保险公司赔偿0.6万元.假设不同保单的索赔次数相互独立.用频率估计概率. (1)估计一份保单索赔次数不少于2的概率； (2)一份保单的毛利润定义为这份保单的保费与赔偿总金额之差. （i）记为一份保单的毛利润，估计的数学期望； （ⅱ）如果无索赔的保单的保费减少，有索赔的保单的保费增加，试比较这种情况下一份保单毛利润的数学期望估计值与（i）中估计值的大小．（结论不要求证明） 【答案】(1) (2)(i)0.122万元；(ii) 这种情况下一份保单毛利润的数学期望估计值大于（i）中估计值 【分析】（1）根据题设中的数据可求赔偿次数不少2的概率; （2）（ⅰ）设为赔付金额，则可取，用频率估计概率后可求的分布列及数学期望，从而可求. （ⅱ）先算出下一期保费的变化情况，结合（1）的结果可求，从而即可比较大小得解. 【详解】（1）设为“随机抽取一单，赔偿不少于2次”， 由题设中的统计数据可得. （2）（ⅰ）设为赔付金额，则可取， 由题设中的统计数据可得， ，， ， 故 故（万元）. （ⅱ）由题设保费的变化为， 故（万元）， 从而. 6．（2023·上海·高考真题）21世纪汽车博览会在上海2023年6月7日在上海举行，下表为某汽车模型公司共有25个汽车模型，其外观和内饰的颜色分布如下表所示： 红色外观 蓝色外观 米色内饰 8 12 棕色内饰 2 3 (1)若小明从这些模型中随机拿一个模型，记事件A为小明取到的模型为红色外观，事件B取到模型有棕色内饰，求，并据此判断事件A和事件B是否独立； (2)为回馈客户，该公司举行了一个抽奖活动，并规定，在一次抽奖中，每人可以一次性抽取两个汽车模型。为了得到奖品类型，现作出如下假设： 假设1：每人抽取的两个模型会出现三种结果：①两个模型的外观和内饰均为同色；②两个模型的外观和内饰均为不同色；③两个模型的外观同色但内饰不同色，或内饰同色但外观不同色。 假设2：该抽奖设置三类奖，奖金金额分别为：一等奖600元，二等奖300元，三等奖150元。 假设3：每种抽取的结果都对应一类奖。出现某种结果的概率越小，奖金金额越高。 请判断以上三种结果分别对应几等奖。设中奖的奖金数是，写出的分布，并求的数学期望。 【答案】(1)，事件相互独立； (2)分布列见解析，271元. 【分析】（1）根据给定数表，利用古典概率求出，再利用相互独立事件的定义判断作答. （2）求出三种结果的概率，按给定的假设2，3确定奖金额与对应的概率列出分布列，求出期望作答. 【详解】（1）由给定的数表知，，，， 而，因此事件相互独立， 所以，事件相互独立. （2）设事件：外观和内饰均为同色，事件：外观内饰都异色，事件：仅外观或仅内饰同色， 依题意，；； ，则， 因此抽取的两个模型的外观和内饰均为不同色是一等奖；外观和内饰均为同色是二等奖； 外观同色但内饰不同色，或内饰同色但外观不同色是三等奖， 奖金额的可能值为：， 奖金额的分布列： 600 300 150 奖金额的期望（元）. 7．（2023·新课标Ⅰ卷·高考真题）甲、乙两人投篮，每次由其中一人投篮，规则如下：若命中则此人继续投篮，若未命中则换为对方投篮．无论之前投篮情况如何，甲每次投篮的命中率均为0.6，乙每次投篮的命中率均为0.8．由抽签确定第1次投篮的人选，第1次投篮的人是甲、乙的概率各为0.5． (1)求第2次投篮的人是乙的概率； (2)求第次投篮的人是甲的概率； (3)已知：若随机变量服从两点分布，且，则．记前次（即从第1次到第次投篮）中甲投篮的次数为，求． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据全概率公式即可求出； （2）设，由题意可得，根据数列知识，构造等比数列即可解出； （3）先求出两点分布的期望，再根据题中的结论以及等比数列的求和公式即可求出． 【详解】（1）记“第次投篮的人是甲”为事件，“第次投篮的人是乙”为事件， 所以， . （2）设，依题可知，，则 ， 即， 构造等比数列， 设，解得，则， 又，所以是首项为，公比为的等比数列， 即． （3）因为，， 所以当时，， 故． 【点睛】本题第一问直接考查全概率公式的应用，后两问的解题关键是根据题意找到递推式，然后根据数列的基本知识求解． 8．（2023·新课标Ⅱ卷·高考真题）某研究小组经过研究发现某种疾病的患病者与未患病者的某项医学指标有明显差异，经过大量调查，得到如下的患病者和未患病者该指标的频率分布直方图：    利用该指标制定一个检测标准，需要确定临界值c，将该指标大于c的人判定为阳性，小于或等于c的人判定为阴性．此检测标准的漏诊率是将患病者判定为阴性的概率，记为；误诊率是将未患病者判定为阳性的概率，记为．假设数据在组内均匀分布，以事件发生的频率作为相应事件发生的概率． (1)当漏诊率％时，求临界值c和误诊率； (2)设函数，当时，求的解析式，并求在区间的最小值． 【答案】(1)，； (2)，最小值为． 【分析】（1）根据题意由第一个图可先求出，再根据第二个图求出的矩形面积即可解出； （2）根据题意确定分段点，即可得出的解析式，再根据分段函数的最值求法即可解出． 【详解】（1）依题可知，左边图形第一个小矩形的面积为，所以， 所以，解得：， ． （2）当时， ； 当时， , 故， 所以在区间的最小值为． 9．（2022·全国甲卷·高考真题）甲、乙两个学校进行体育比赛，比赛共设三个项目，每个项目胜方得10分，负方得0分，没有平局．三个项目比赛结束后，总得分高的学校获得冠军．已知甲学校在三个项目中获胜的概率分别为0.5，0.4，0.8，各项目的比赛结果相互独立． (1)求甲学校获得冠军的概率； (2)用X表示乙学校的总得分，求X的分布列与期望． 【答案】(1)； (2)分布列见解析，. 【分析】（1）设甲在三个项目中获胜的事件依次记为，再根据甲获得冠军则至少获胜两个项目，利用互斥事件的概率加法公式以及相互独立事件的乘法公式即可求出； （2）依题可知，的可能取值为，再分别计算出对应的概率，列出分布列，即可求出期望． 【详解】（1）设甲在三个项目中获胜的事件依次记为，所以甲学校获得冠军的概率为 ． （2）依题可知，的可能取值为，所以， , ， ， . 即的分布列为 0 10 20 30 0.16 0.44 0.34 0.06 期望. 10．（2022·全国乙卷·高考真题）某地经过多年的环境治理，已将荒山改造成了绿水青山．为估计一林区某种树木的总材积量，随机选取了10棵这种树木，测量每棵树的根部横截面积（单位：）和材积量（单位：），得到如下数据： 样本号ｉ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 总和 根部横截面积 0.04 0.06 0.04 0.08 0.08 0.05 0.05 0.07 0.07 0.06 0.6 材积量 0.25 0.40 0.22 0.54 0.51 0.34 0.36 0.46 0.42 0.40 3.9 并计算得． (1)估计该林区这种树木平均一棵的根部横截面积与平均一棵的材积量； (2)求该林区这种树木的根部横截面积与材积量的样本相关系数（精确到0.01）； (3)现测量了该林区所有这种树木的根部横截面积，并得到所有这种树木的根部横截面积总和为．已知树木的材积量与其根部横截面积近似成正比．利用以上数据给出该林区这种树木的总材积量的估计值． 附：相关系数． 【答案】(1)； (2) (3) 【分析】（1）计算出样本的一棵根部横截面积的平均值及一棵材积量平均值，即可估计该林区这种树木平均一棵的根部横截面积与平均一棵的材积量； （2）代入题给相关系数公式去计算即可求得样本的相关系数值； （3）依据树木的材积量与其根部横截面积近似成正比，列方程即可求得该林区这种树木的总材积量的估计值． 【详解】（1）样本中10棵这种树木的根部横截面积的平均值 样本中10棵这种树木的材积量的平均值 据此可估计该林区这种树木平均一棵的根部横截面积为， 平均一棵的材积量为 （2） 则 （3）设该林区这种树木的总材积量的估计值为， 又已知树木的材积量与其根部横截面积近似成正比， 可得，解之得． 则该林区这种树木的总材积量估计为 11．（2022·新高考全国Ⅰ卷·高考真题）一医疗团队为研究某地的一种地方性疾病与当地居民的卫生习惯（卫生习惯分为良好和不够良好两类）的关系，在已患该疾病的病例中随机调查了100例（称为病例组），同时在未患该疾病的人群中随机调查了100人（称为对照组），得到如下数据： 不够良好 良好 病例组 40 60 对照组 10 90 (1)能否有99%的把握认为患该疾病群体与未患该疾病群体的卫生习惯有差异？ (2)从该地的人群中任选一人，A表示事件“选到的人卫生习惯不够良好”，B表示事件“选到的人患有该疾病”．与的比值是卫生习惯不够良好对患该疾病风险程度的一项度量指标，记该指标为R． （ⅰ）证明：； （ⅱ）利用该调查数据，给出的估计值，并利用（ⅰ）的结果给出R的估计值． 附， 0.050 0.010 0.001 k 3.841 6.635 10.828 【答案】(1)答案见解析 (2)（i）证明见解析；(ii)； 【分析】(1)由所给数据结合公式求出的值，将其与临界值比较大小，由此确定是否有99%的把握认为患该疾病群体与未患该疾病群体的卫生习惯有差异；(2)(i) 根据定义结合条件概率公式即可完成证明；(ii)根据（i）结合已知数据求. 【详解】（1）由已知， 又，， 所以有99%的把握认为患该疾病群体与未患该疾病群体的卫生习惯有差异. （2）(i)因为， 所以 所以， (ii) 由已知，， 又，， 所以 1 / 111 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 解答题 概率与统计 根据近几年的高考情况，概率统计是高考的必考内容，并且在解答题中都有出现，这就要求学生对于概率统计的基础知识必须要求达标过关。同时兼顾基础与核心素养的考察，包含数学运算，逻辑推理等，结合其他知识的综合考察，如结合数列的马尔科夫链，与导数结合的最值范围求解。而从2025年刚考完的统计模块的知识，所以2026年高考考察概率的解答题可能性更大，但不避免依然考察统计部分内容。 题型1 超几何分布 （2025·江苏南通·一模）近年来，盲盒经济在消费市场中掀起了一阵热潮，成为一种普遍的经济现象．商家通过不断变换花样吸引消费者．某商店推出一款售价为1元/个且外观相同的盲盒，每开一个盲盒，会开出3款不同颜色（分别记为红色、黄色、蓝色）的某一商品，开出红色、黄色、蓝色商品的概率分别为． (1)若某顾客一次性购买了3个盲盒，求该顾客恰好开出两个红色商品的概率； (2)若某顾客只想要红色商品，与老板协商一致，每次开一个盲盒，如果开出红色商品则停止，否则再开一个盲盒，若连续4次均未开出红色商品，老板就赠送一个红色商品给他为了得到红色商品，求该顾客的平均花费． 1、超几何分布的特征： ①考察对象分两类；②已知各类对象的个数；③从中抽取若干个体，考察某类个体数X的概率分布； 重点特征：④超几何分布的抽取是不放回抽取，各次抽取不独立。 2、 定义： 一般地，假设一批产品共有N件，其中有M件次品.从N件产品中随机抽取n件(不放回)，用X表示抽取的n件产品中的次品数，则X的分布列为P(X=k)=，k=m，m+1，m+2，，r.其中n,N,M∈，MN，nN，m=max{0，n-N+M}，r=.如果随机变量X的分布列具有上式的形式，那么称随机变量X服从超几何分布. 可以将上面的超几何分布记为。 N：总体的个体总数； M：总体中特定类别个体数（如这里的次品，正品）； n：抽取的样本容量 3、 数学期望与方差: 数学期望： 或者为 方差: 或者： 4、 数学期望与方差性质： ； 5、 数学期望与方差的关系： . 1、（2023·河南新乡·统考三模）现有4个红球和4个黄球，将其分配到甲、乙两个盒子中，每个盒子中4个球． (1)求甲盒子中有2个红球和2个黄球的概率． (2)已知甲盒子中有3个红球和1个黄球，若同时从甲、乙两个盒子中取出个球进行交换，记交换后甲盒子中的红球个数为X，X的数学期望为．证明：． 2．（25-26高三上·内蒙古呼和浩特·开学考试）工厂要对2024年12月份生产的N件产品中随机抽取3件做质量分析，已知其中A等品占，B等品占． (1)当时， ①求出3件产品中恰有2件A等品的概率； ②求出3件产品中A等品个数X的分布列与数学期望； (2)当总量N足够大，抽出的个体数量足够小时，超几何分布近似为二项分布．现在在2024年全年生产的产品范围内考虑从件产品（A，B等品比例不变）中随机抽取3件，在超几何分布中A等品恰有2件的概率记作；在二项分布中A等品恰有2件的概率记作．那么当N至少为多少时，我们可以在误差不超过的前提下，认为超几何分布近似为二项分布． （参考数据：，） 3．（2025·云南曲靖·模拟预测）某学校对高中生体质健康调研，随机抽取100名学生的体重（单位：kg）得到如下频数分布表： 分组 频数 5 25 40 20 10 (1)估计样本的中位数； (2)从样本和中按分层抽样抽取学生6人，再从这6人中随机抽取3人，其中体重在，的人数分别为，，记． （i）求的分布列及期望； （ii）求． 题型2 二项分布 （2025·江西·模拟预测）某平台为了研究用户日均观看短视频的时长，随机抽取了200名用户进行调查，得到数据如下表： 日均时长（分钟） [40，50] 频数 30 50 80 30 10 (1)估计这200名用户日均观看时长的第70百分位数； (2)若平台规定“日均观看时长不少于30分钟的用户为潜在高粘性用户”，现从样本中有放回地抽取次，每次抽取1人，记抽到潜在高粘性用户的人数为. （i）当时，求的分布列和数学期望； （ii）若平台希望至少抽到1名潜在高粘性用户的概率不低于，至少需抽取多少次？（参考数据：） 1、二项分布的特征： ①每一次试验中，事件发生的概率相同；②各次试验中的事件是相互独立的；③每一次试验中，试验结果只有两个，即发生与不发生； 重点特征：④二项分布的抽取是有放回抽取，各次抽取相互独立。 2、 定义： 一般地，在n重伯努利试验中，设每次试验中事件A发生的概率为p(0<p<1)，用X表示事件A发生的 次数，则X的分布列为P(X=k)=，k=0，1，2，，n.如果随机变量X的分布列具有上式的形式，则称随机变量X服从二项分布，记作X～B(n，p). 3、 数学期望和方差： 如果X～B(n，p)，那么E(X)=np，D(X)=np(1-p). 1．（2023·江苏扬州·扬州中学校考模拟预测）学校组织A，B，C，D，E五位同学参加某大学的测试活动，现有甲、乙两种不同的测试方案，每位同学随机选择其中的一种方案进行测试，选择甲方案测试合格的概率为，选择乙方案测试合格的概率为，且每位同学测试的结果互不影响. (1)若5位同学全选择甲方案，将测试合格的同学的人数记为X，求X的分布列及其方差； (2)若测试合格的人数的期望值不小于3，求选择甲方案进行测试的同学的可能人数. 2．（25-26高三上·陕西汉中·开学考试）已知排球比赛的规则是：每局25分，达到24分时，比赛双方必须相差2分.才能分出胜负；每场比赛采用“5局3胜制”（即有一支球队先胜3局即获胜，比赛结束）；比赛排名采用积分制，积分规则如下：比赛中，以3:0或3:1取胜的球队积3分，负队积0分；以3:2取胜的球队积2分，负队积1分.甲、乙两队近期将要进行比赛，为预测它们的积分情况，收集了两队以往6局比赛成绩： 1 2 3 4 5 6 甲 25 21 27 27 23 25 乙 18 25 25 25 25 17 假设用频率估计概率，且甲，乙每局的比赛相互独立． (1)估计甲队每局获胜的概率； (2)如果甲、乙两队比赛1场，求甲队的积分的概率分布列和数学期望； (3)如果甲、乙两队约定比赛2场，求两队积分相等的概率． 3．（25-26高三上·河北衡水·开学考试）已知每门大炮击中目标的概率都是，现在门大炮同时对某一目标各射击一次. (1)当时，记目标被击中的次数为，求的分布列、数学期望和方差； (2)如果使目标至少被击中一次的概率超过，至少需要多少门大炮？（，） 题型3 概率的独立性 （2024·河南郑州·模拟预测）手工刺绣是中国非物质文化遗产之一，指以手工方式，用针和线把人的设计和制作添加在任何存在的织物上的一种艺术，大致分为绘制白描图和手工着色、电脑着色，选线、配线和裁布三个环节，简记为工序A，工序，工序.经过试验测得小李在这三道工序成功的概率依次为，，.现某单位推出一项手工刺绣体验活动，报名费30元，成功通过三道工序最终的奖励金额是200元，为了更好地激励参与者的兴趣，举办方推出了一项工序补救服务，可以在着手前付费聘请技术员，若某一道工序没有成功，可以由技术员完成本道工序.每位技术员只完成其中一道工序，每聘请一位技术员需另付费100元，制作完成后没有接受技术员补救服务的退还一半的聘请费用. (1)若小李聘请一位技术员，求他成功完成三道工序的概率； (2)若小李聘请两位技术员，求他最终获得收益的期望值. 1、判断独立的方法： （1）、直接法：直接判断一个事件发生能否影响另一个事件发生的概率。 （2）、定义法：若P(AB)=P(A)P(B)成立，则A事件与B事件相互独立，反之亦成立。 （3）、转化法：由事件A与事件B相互独立知，A与，与B，与也相互独立。 2、n个独立事件同时发生的概率 P(A1· A2·…· An)=P(A1)· P(A2)·…· P(An)． 1．（24-25高三上·湖南长沙·阶段练习）现有一种不断分裂的细胞，每个时间周期内分裂一次，一个细胞每次分裂能生成一个或两个新的细胞，每次分裂后原细胞消失．设每次分裂成一个新细胞的概率为，分裂成两个新细胞的概率为；新细胞在下一个周期内可以继续分裂，每个细胞分裂相互独立．设有一个初始的细胞，从第一个周期开始分裂． (1)当时，求个周期结束后细胞数量为个的概率； (2)设个周期结束后，细胞的数量为，求的分布列和数学期望． 2．（2023·福建龙岩·统考二模）为了丰富孩子们的校园生活，某校团委牵头，发起体育运动和文化项目比赛，经过角逐，甲、乙两人进入最后的决赛．决赛先进行两天，每天实行三局两胜制，即先赢两局的人获得该天胜利，此时该天比赛结束．若甲、乙两人中的一方能连续两天胜利，则其为最终冠军；若前两天甲、乙两人各赢一天，则第三天只进行一局附加赛，该附加赛的获胜方为最终冠军设每局比赛甲获胜的概率为，每局比赛的结果没有平局且结果互相独立． (1)记第一天需要进行的比赛局数为X，求X的分布列及； (2)记一共进行的比赛局数为Y，求． 3．（25-26高三上·湖北荆州·开学考试）在电竞比赛中一般采用“双败淘汰制”，这是一种兼顾效率与公平的比赛赛制，基本原则是“失败2次才被淘汰”“越先淘汰所获名次越低”，且每场比赛只有胜负之分．现组织，，，共4个电竞队参加比赛，采用“双败淘汰制”，其流程如下： 第一轮：抽签随机分成2组比赛，每组比赛的胜者进入胜者组，败者进入败者组．第二轮：胜者组、败者组分别比赛，胜者组的胜者（记为）进入决赛，败者组的败者因失败2次被淘汰并获得第4名．第三轮：第二轮胜者组的败者与败者组的胜者比赛，胜者（记为）进入决赛，败者被淘汰并获得第3名．第四轮：决赛，若获胜则比赛结束，获得冠军，获得第2名；若获胜，则需加赛一场，加赛胜者获得冠军，败者获得第2名．已知队战胜其他3支队伍的概率均为．且各场比赛互不影响． (1)求队全胜夺冠的概率； (2)设队在整个赛事中参赛场次为随机变量，求的分布列及数学期望． 题型4 条件概率与全概率 （2025·湖北武汉·二模）有，，，，，，，八名运动员参加乒乓球赛事，该赛事采用预赛，半决赛和决赛三轮淘汰制决定最后的冠军、八名运动员在比赛开始前抽签随机决定各自的位置编号，已知这七名运动员互相对决时彼此间的获胜概率均为，运动员与其它运动员对决时，获胜的概率为，每场对决没有平局，且结果相互独立． (1)求这八名运动员各自获得冠军的概率； (2)求与对决过且最后获得冠军的概率； (3)求与对决过且最后获得冠军的概率． 1．条件概率 (1)条件概率的定义 一般地，设A，B为两个随机事件，且P(A)>0，我们称P(B|A)=为事件A发生的条件下，事件 B发生的条件概率，简称条件概率. (2)性质 设P(A)>0，Ω为样本空间，则 ①P(B|A)∈[0,1]，P(Ω|A)=1； ②如果B和C是两个互斥事件，则P(B∪C|A)=P(B|A)+P(C|A)； ③设和B互为对立事件，则P()=1-P(B|A). 2．概率的乘法公式 由条件概率的定义，对任意两个事件A与B，若P(A)>0，则P(AB)=P(A)·P(B|A). 3．求条件概率的常用方法 (1)利用定义，分别求P(A)和P(AB)，得. (2)借助古典概型概率公式，先求事件A包含的基本事件数n( A)，再在事件A发生的条件下求事件B包含的基本事件数，即n( AB)，得. 4．全概率公式 (1)全概率公式 一般地，设是一组两两互斥的事件，=Ω，且P(Ai)>0，i=1，2, ， n，则对任意的事件，有P(B)=.我们称此公式为全概率公式. 5．贝叶斯公式 设是一组两两互斥的事件，=Ω，且P(Ai)>0，i=1，2, ，n，则对 任意的事件，P(B)>0，有. 1．（2025·四川泸州·模拟预测）某工厂有两条生产线加工同一型号的零件，生产线加工的次品率分别为，生产出来的零件混放在一起，已知生产线加工的零件数分别占总数的. (1)现从该厂随机抽取一个零件，计算它是次品的概率； (2)如果取到的一个零件是次品，计算它是生产线加工的概率；（精确到小数点后第三位，采用四舍五入法） (3)从混放在一起的零件中随机抽取3个，若取到1个次品，对责任人罚款5元；若取到1个正品则对同一责任人奖励10元，用表示该责任人由3个零件获得的金额，求的期望及方差. 2．（2024福建三明·统考三模）在二十大报告中，体育､健康等关键词被多次提及，促进群众体育和竞技体育全面发展，加快建设体育强国是全面建设社会主义现代化国家的一个重要目标.某校为丰富学生的课外活动，加强学生体质健康，拟举行羽毛球团体赛，赛制采取局胜制，每局都是单打模式，每队有名队员，比赛中每个队员至多上场一次且是否上场是随机的，每局比赛结果互不影响.经过小组赛后，最终甲、乙两队进入最后的决赛，根据前期比赛的数据统计，甲队种子选手对乙队每名队员的胜率均为，甲队其余名队员对乙队每名队员的胜率均为.（注：比赛结果没有平局） (1)求甲队最终获胜且种子选手上场的概率； (2)已知甲队获得最终胜利，求种子选手上场的概率. 3、（2025浙江）北京时间4月30日晩，2023年国际象棋世界冠军赛在哈萨克斯坦首都阿斯塔纳闭幕，来自温州的国际象棋男子特级大师丁立人最终击败涅波姆尼齐亚，加冕世界棋王.这是中国棋手首次夺得国际象棋男子世界冠军.某小学为了提高同学学习国际象棋的兴趣，举行了二年级国际象棋男子团体赛，各班级均可以报送一支5人队伍.比赛分多轮进行，每轮比赛每队都需选定4名选手，每轮比赛选手可不同.比赛没有平局，每轮比赛结束，得胜班级得1分，反之0分.晋级赛规则如下：第一轮随机为各队伍匹配对手；从第二轮比赛开始，积分相同的队伍之间再由抽签决定对手.具体比赛程序如下图.这样进行三轮对抗之后，得2分及以上的班级晋级，反之淘汰.晋级的队伍再进行相应的比赛.    (1)二（1）班选派了A，B，C，D，E五名选手，在第一轮比赛中，已知选手A参加了比赛，请列举出该班级所有可能的首发队员的样本空间； (2)现共有8支参赛队伍，且实力相当，二（3）班在第一轮比赛输给了二（4）班，则两队在第三轮重新遇上的概率为多少? (3)某班级在筹备队员时，班内已推选水平较为稳定的选手4名，很多同学纷纷自荐最后一个名额.现共有5名自荐选手，分别为五级棋士2名、六级棋士2名和七级棋士1名，五、六、七级棋士被选上的概率分别为0.8，0.6，0.5，最后一名选手会在这5名同学中产生.现任选一名自荐同学，计算该同学被选上的概率，并用表示选出的该同学的级别，求X的分布列. 题型5 概率的决策分析 （2025·广东·一模）甲参加围棋比赛，采用三局两胜制，若每局比赛甲获胜的概率为，输的概率为，每局比赛的结果是独立的． (1)当时，求甲最终获胜的概率； (2)为了增加比赛的趣味性，设置两种积分奖励方案．方案一：最终获胜者得3分，失败者得分；方案二：最终获胜者得1分，失败者得0分，请讨论选择哪种方案，使得甲获得积分的数学期望更大． 解答思路： ①某种情况下的期望值较好——数学期望进行比较分析， ②某种情况比较稳定——方差进行比较，方差越大情况波动越大，越不稳定。 ③某种情况优于其他情况的概率——直接概率比较。 1、（2025·吉林长春·模拟预测）在一个摸球游戏中，有一个装有许多彩色球的不透明盒子，盒子中的球分为三种颜色：红色､蓝色和绿色，各球除颜色可能不同外，其余均相同.每次游戏，参与者需要从盒子中随机取球.已知盒子中红色球､蓝色球和绿色球的数量分别为个､个和个，且总球数为个. (1)若规定每次取一个球，取球后不将球放回盒子中，且连续取两次.求取出一个红色球和一个蓝色球的概率； (2)若规定每次取一个球，取球后将球放回盒子中，且连续取三次.设三次中恰好有两次取出的球颜色相同的概率为，当时，求； (3)在（2）的条件下，若游戏组织者规定，当三次取球中出现红色球的次数大于等于两次时.参与者获胜；否则，游戏组织者获胜.请判断此游戏是否公平，并通过计算说明理由. 2．（22-23高二下·福建南平·期末）某公司举办公司员工联欢晩会，为活跃气氛，计划举行摸奖活动，有两种方案： 方案一：不放回从装有个红球和个白球的箱子中随机摸出个球，每摸出一红球奖励元： 方案二：有放回从装有个红球和个白球的箱子中随机摸出个球，每摸出一红球奖励元，分别用随机变量、表示某员工按方案一和方案二抽奖的获奖金额. (1)求随机变量的分布列和数学期望： (2)用统计知识分析，为使公司员工获奖金额相对均衡，应选择哪种方案?请说明理由. 3．（2025·河北保定·二模）某零件厂销售部以箱为单位销售某种零件，每箱零件的定价为500元，低于200箱按原价销售，不低于200箱有两种优惠方案．方案一：以200箱为基准，每多100箱免12箱的金额．方案二：通过双方议价，买方能以每箱优惠的价格成交的概率为0.3，以每箱优惠的价格成交的概率为0.4，以每箱优惠的价格成交的概率为0.3． (1)买方甲要在该厂购买200箱这种零件，并选择方案二，求甲以低于万元的金额购买这200箱零件的概率． (2)买方乙要在该厂购买400箱这种零件，以购买总价的数学期望为决策依据，试问乙选择哪种优惠方案更划算？请说明你的理由． (3)买方丙要在该厂购买960箱这种零件，由于购买的箱数超过500，该厂的销售部让丙综合使用这两种方案作为第三种方案，即一部分用方案一（箱数必须是100的正整数倍），另一部分使用方案二（箱数不限），试问丙应该如何使用方案三，才能获得最多的优惠？说明你的理由． 题型6 正态分布 （2025·浙江·三模）固态电池是纯电动汽车搭载的新一代电池，与使用电解液的传统液态锂离子电池相比，固态电池具有安全性能高、能量密度大等特点．某公司试生产了一批新型固态电池，为了了解该批次固态电池的“循环寿命”x（循环寿命是指：电池的容量下降到初始容量的某一阈值时，完成充放电循环的次数）的情况，从这批固态电池中随机抽取了100组进行了测试，并统计绘制了下表： 循环寿命x（千次） 组数y 5 15 a b 5 已知循环寿命x（千次）的平均值（同一组中的数据用该组区间的中点值代表）． (1)求a，b的值； (2)根据测试数据可以认为“循环寿命”x近似服从正态分布，经计算样本标准差s的估计值为0.7．用样本数据的平均值作为的值，用样本标准差s的估计值作为的值． （ⅰ）若规定：循环寿命的电池为一等品；的电池为优等品．求试生产的电池的一等品率和优等品率的估计值（结果用百分数表示）； （ⅱ）在该型电池的生产中，称发生概率低于0.27%的事件为小概率事件，在质量控制时，如果小概率事件未发生，则认为该批产品合格；否则可以认为该批产品不合格．若这100组电池中，循环寿命x的最大值和最小值分别为6.5和2.3．请判断该批固态电池是否合格？并说明理由． 参考数据：若随机变量，则，，． 正态分布： 1、定义：.正态分布密度函数，式中的实数μ，（>0）是参数，分别表示个体的平均数与标准差，则成随机变量X服从正态分布，记为。 2、 特点： ①曲线是单峰的，其关于 对称 ②曲线在 处达到峰值 ③当无线增大时，曲线无限接近x值 ⑤对任意的σ>0，曲线与x轴围成的面积总为1； ⑥在参数σ取固定值时，正态曲线的位置由μ确定，且随着μ的变化而沿x轴平移，如图甲所示； ⑦当μ取定值时，正态曲线的形状由σ确定，当σ较小时，峰值高，曲线“瘦高”，表示随机变量X的分 布比较集中；当σ较大时，峰值低，曲线“矮胖”，表示随机变量X的分布比较分散，如图乙所示. 3、 3原则： P(μ-σ≤X≤μ+σ)≈0.6827； P(μ-2σ≤X≤μ+2σ)≈0.9545； P(μ-3σ≤X≤μ+3σ)≈0.9973. 4、 均值与方差： 若，则E(X)=μ，D(X)=σ2. 1．（2025·湖南·模拟预测）某企业的甲、乙两条生产线都生产M型零件，一天中，甲、乙两条生产线分别生产320件和1280件M型零件，为了解该企业M型零件的生产质量，现利用分层随机抽样，从一天中生产的M型零件中随机抽取40件，测量其尺寸（单位：mm），所得尺寸数据的统计结果如下表： 平均尺寸 标准差 甲生产线p件M型零件 80 6 乙生产线q件M型零件 70 4 (1)求这40件M型零件尺寸的平均数； (2)求这40件M型零件尺寸的标准差； (3)假设该企业一天中生产的M型零件尺寸服从正态分布，其中用样本平均数作为的估计值，用样本标准差s作为的估计值.试估计：这一天生产的M型零件中，尺寸小于的零件是否低于40件? 参考数据：①n个数，，，…，的方差为；②若随机变量X服从正态分布，则，，；③. 2、（2025·陕西宝鸡·二模）某企业对某品牌芯片开发了一条生产线进行试产．其芯片质量按等级划分为五个层级，分别对应如下五组质量指标值：、、、、．根据长期检测结果，发现芯片的质量指标值服从正态分布，现从该品牌芯片的生产线中随机抽取件作为样本，统计得到如图所示的频率分布直方图． (1)根据检测结果，样本中芯片质量指标值的标准差的近似值为，用样本平均数作为的近似值，用样本标准差作为的估计值，可得到X服从的正态分布．求和的值； (2)从样本中质量指标值在和的芯片中随机抽取件，记其中质量指标值在的芯片件数为，求的分布列和数学期望； (3)将指标值不低于的芯片称为等品．通过对芯片长期检测发现，在生产线任意抽取一件芯片，它为等品的概率为，用第（1）问结果试估计的值． （附：①同一组中的数据用该组区间的中点值代表；②参考数据：若随机变量服从正态分布，则，，．） 3．（25-26高三上·重庆·阶段练习）近期我校被评为全国首批智能研修平台规模化应用领航培育校，中央电教馆在我校举办项目启动活动，并特设南开专场活动.为了了解AINK人工智能对学生学习的助力情况，学校组织了高一学生参加“AINK人工智能”知识竞赛（满分100分），并从中随机抽查了100名学生的成绩（单位:分），将他们的成绩分成以下6组:，，，，，统计结果如下面的频数分布表所示. 组别 频数 10 15 20 30 15 10 已知高一学生的这次竞赛成绩近似服从正态分布，其中近似取为样本平均数的整数部分，近似取为样本标准差的整数部分，并已求得（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）. (1)从高一年级随机抽取一个学生的竞赛成绩，试估计他的竞赛成绩在区间内的概率（结果保留一位小数）. (2)现从高一年级随机选取名同学的竞赛成绩，根据（1）的结果，若他们的成绩均在范围内的概率不低于，求的最大值（为正整数） 参考数据:，若，则. 题型7 统计中的回归分析 （2025·浙江金华·一模）近些年汽车市场发生了翻天覆地的变化，新能源汽车发展迅速，下表统计了2021年到2024年某地新能源汽车销量（单位：千辆） 年份 2021 2022 2023 2024 年份代号 1 2 3 4 销量 33 69 93 129 附：相关系数； 回归方程中斜率和截距的最小二乘法估计公式分别为， (1)试根据样本相关系数的值判断该地汽车销量与年份代号的线性相关性强弱（，则认为与的线性相关性较强，，则认为与的线性相关性较弱）；（精确到0.001） (2)建立关于的线性回归方程，并预测该地2025年的新能源汽车销量． 1、 线性经验回归方程与最小二乘法： 将称为关于的线性回归方程，也称经验回归函数或经验回归公式，其图形称为经验回归直线． 这种求经验回归方程的方法叫做最小二乘法，求得的叫做b，a的最小二乘估计， 其中 经验回归直线一定过点. 2、 残差分析 对于响应变量Y，通过观测得到的数据称为观测值，通过经验回归方程得到的称为预测值，观测值减 去预测值称为残差。 3、 刻画回归效果的方式 (1)残差图法 作图时纵坐标为残差，横坐标可以选为样本编号，或身高数据，或体重估计值等，这样作出的图形称 为残差图.在残差图中，残差点比较均匀地落在以取值为0的横轴为对称轴的水平带状区域内，说明选用的模型比较合适，这样的带状区域的宽度越窄，说明模型拟合精度越高. (2)残差平方和法 残差平方和为，残差平方和越小，模型拟合效果越好. (3)利用刻画拟合效果 =. 越大，模型的拟合效果越好，越小，模型的拟合效果越差. 4、 非线性回归方程： 根据题目提示转化为线性回归方程，即非一次函数转化为一次函数，然后根据线性回归方程的公式求解参数。 5、 见的非线性函数转换方法： ①、幂函数型 两边取常用对数，，即， 令，原方程变为，然后按线性回归模型求出，． ②、指数函数型（且，） 两边取自然对数，，即， 令，原方程变为，然后按线性回归模型求出，． ③、反比例函数型型 令，原方程变为，然后按线性回归模型求出，． ④、二次函数型 令，原方程变为，然后按线性回归模型求出，． ⑤、对数函数型 令，原方程变为，然后按线性回归模型求出，． 1．（25-26高三上·湖北·阶段练习）随机抽取某集团公司旗下五家超市，得到广告支出x（万元）与销售额y（万元）的数据如下： 广告支出x（万元） 2 4 5 6 8 销售额y（万元） 20 30 50 60 70 (1)计算x，y的相关系数r，并判断是否可以认为广告支出与销售额具有较高的线性相关程度？（若，则线性相关程度一般；若，则线性相关程度较高，） (2)求出y关于x的线性回归方程，并预测若广告支出15（万元），则销售额约为多少万元？参考公式：回归直线的斜率和截距的最小二乘法估计公式，相关系数r的公式分别为，，. 2．（24-25山东·阶段练习）为了促进锂电产业发展，市创新研究院课题组对企业研发经费的投入和企业当年的销售收入的关系进行了研究，他们收集了上一年不同企业销售收入y（单位：10万元）与一定范围内的研发经费x（单位：10万元）的数据，根据收集的13组观测数据，得到如下的散点图，分别利用或建立y关于x的回归方程，令，得到如下数据，且与的相关系数分别为，，且． 10.15 108.40 3.04 0.16 14.00 －2.10 11.67 0.21 21.22 (1)用相关系数说明哪种模型建立y与x的回归方程更合适； (2)根据（1）的结果及表中数据，建立y关于x的回归方程； (3)已知企业的利润z满足，试根据回归方程求出企业利润的最大值． 参考数据和公式：，，，对于一组数据，其回归直线方程的斜率和截距的最小二乘法估计分别为，，相关系数． 3．（24-25·山东潍坊·期中）某科技公司研发了一种新型电池，测试该新型电池从满电状态，每使用1小时其电量衰减情况，得到剩余电量y（库仑）与使用时间t（小时）的散点图，其中t为正整数． (1)利用散点图，判断与哪个更适宜作为回归模型？（给出判断即可，不必说明理由） (2)在（1）的条件下， （i）求出剩余电量y与使用时间t的回归方程（精确到0.01）； （ⅱ）当电池剩余电量低于0.3库仑时，电池报警提示需要充电，否则影响电池使用寿命，请利用所求回归方程，预判该新型电池从满电状态使用12小时后，是否会报警提示，并说明理由． 参考数据：记 45 12.02 1.55 20.20 285 45.07 3.42 参考公式：． 题型8 统计中的独立性检验 （2025·湖南·模拟预测）近日，2025年湖南省城市足球联赛（被球迷称为“湘超”）如火如荼地进行，引发广泛关注．某地区随机抽取了部分市民，调查他们对赛事的关注情况，得到如下表格： 性别 不关注赛事 关注赛事 男性 25 150 女性 50 75 (1)列出列联表并根据小概率值的独立性检验，能否认为关注“湘超”赛事与性别有关？ (2)现从被调查的关注赛事的市民中，按照性别比例采用分层抽样的方法随机抽取3名市民参加“湘超”赛事知识问答．已知男性、女性市民顺利完成知识问答的概率分别为，，每个人是否顺利完成相互独立．求在有且仅有2人顺利完成的条件下，这2人的性别不同的概率． 附：． 0.1 0.05 0.025 0.01 0.005 0.001 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828 1．独立性检验 (1)假定通过简单随机抽样得到了X和Y的抽样数据列联表，如下表所示. X Y 合计 Y=0 Y=1 X=0 a b a+b X=1 c d c+d 合计 a+c b+d n=a+b+c+d 则. (2)利用的取值推断分类变量X和Y是否独立的方法称为独立性检验，读作“卡方独立性检验”，简 称独立性检验. (3)独立性检验中几个常用的小概率值和相应的临界值. 2．独立性检验的应用问题的解题策略 解决独立性检验的应用问题，一定要按照独立性检验的步骤得出结论.独立性检验的一般步骤： (1)根据样本数据制成2×2列联表； (2)根据公式计算； (3)通过比较与临界值的大小关系来作统计推断. 1．（2025·安徽·模拟预测）为了研究“长期长跑”与“半月板损伤”之间的关系，研究人员在长跑爱好者中随机抽取了1000人进行调查，所得数据统计如下表所示： 组别 半月板的健康状况 合计 半月板正常 半月板损伤 长期长跑 40 360 400 非长期长跑 460 140 600 合计 500 500 1000 (1)根据小概率值的独立性检验，判断“长期长跑”与“半月板损伤”之间是否相关； (2)若按照半月板的健康状况，使用分层随机抽样的方法从长期长跑的爱好者中随机抽取人，再从这人中随机挑选人，记抽到的人中半月板损伤的人数为，求的分布列与均值. 附：，其中. 0.1 0.05 0.01 0.005 0.001 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 2．（2025·陕西西安·一模）鄂尔多斯某地一景区为了吸引游客，进行了马术实景剧的展演.景区为了解游客对其开展的“马术实景剧”活动的满意度，随机抽取400人进行调查，得到如下2×2列联表： 调查结果组别 不满意 满意 合计 本地游客 80 120 200 外地游客 60 140 200 合计 140 260 400 (1)根据小概率值的独立性检验，分析满意情况是否与游客的来源有关； (2)在本地游客的样本中用分层抽样的方法选出5人，再从这5人中随机抽取3人做进一步的访谈，求这3人中满意人数X的概率分布列和数学期望. 附： 0.050 0.010 0.001 3.841 6.635 10.828 题型9 概率中的证明题 （2025·河北保定·模拟预测）在某活动中，参与者以抽奖的形式获得某种奖品，每次抽奖均分为中奖和不中奖两种结果.现在利用伪随机算法进行若干次抽奖，假定中奖后就不再继续抽奖.设）是第一次抽奖中奖的概率，此后若前次抽奖均未中奖，则进行第次抽奖时中奖的概率满足其中时一定中奖.设中奖时共抽奖次. (1)证明：当时，； (2)证明：当时，； (3)当时，求的分布列和期望. 解题方法与思路： 1、 掌握概率中的一些基础公式的积累和变形 如： 如： （其中事件与事件B为对立事件） 若事件A与事件B为互斥事件或者对立事件，则，在对立事件中 2、 对于所给证明形式进行递进式的推导与化简整理 1、（2025·四川·一模）某保险公司随机选取了200名不同驾龄的投保司机，调查他们投保后一年内的索赔情况，结果如下： 单位：人 一年内是否索赔 驾龄 合计 不满10年 10年以上 是 10 5 15 否 90 95 185 合计 100 100 200 (1)依据小概率值的独立性检验，分析表中的数据，能否据此推断司机投保后一年内是否索赔与司机的驾龄有关？ (2)保险公司的大数据显示，每年投保的新司机索赔的概率为，投保的老司机索赔的概率均为．假设投保司机中新司机的占比为.随机选取一名投保司机，记事件“这名司机在第年索赔”为，事件“这名司机是新司机”为.已知. （i）证明：； （ii）证明：，并给出该不等式的直观解释. 附：， 2．（2025·江苏连云港·模拟预测）人工智能程序通过深度神经网络模拟人脑的机制来学习、判断、决策．工程师分别用人类围棋对弈的近100万、500万、1000万种不同走法三个阶段来升级人工智能程序，三个阶段的程序依次简记为甲、乙、丙． (1)测试阶段，让某围棋手与甲、乙、丙三个程序各比赛一局，各局比赛结果相互独立.已知该棋手与甲、乙、丙比赛获胜的概率分别为，，．记该棋手连胜两局的概率为，试判断该棋手在第二局与哪个程序比赛最大，并写出判断过程． (2)工程师让甲和乙进行围棋比赛，规定每局比赛胜者得1分，负者得0分，没有平局，比赛进行到一方比另一方多两分为止，多得两分的一方赢得比赛．已知每局比赛中，甲获胜的概率为，乙获胜的概率为，且每局比赛结果相互独立． ①若比赛最多进行6局，求比赛结束时比赛局数的分布列及期望的最大值； ②若比赛不限制局数，记“甲赢得比赛”为事件，证明：． 3．（24-25高三下·湖南长沙·阶段练习）某大型企业准备把某一型号的零件交给甲工厂或乙工厂生产．经过调研和试生产，质检人员抽样发现：甲工厂试生产的一批零件的合格品率为80%；乙工厂试生产的另一批零件的合格品率为90%；若将这两批零件混合放在一起，则合格品率为88%． (1)设甲工厂试生产的这批零件有m件，乙工厂试生产的这批零件有n件．求证：； (2)从混合放在一起的零件中随机抽取3个，用频率估计概率，记这3个零件中来自甲工厂的个数为X，求X的分布列和数学期望； (3)为了争取获得该零件的生产订单，甲工厂提高了生产该零件的质量指标．已知在甲工厂提高质量指标的条件下，该大型企业把零件交给甲工厂生产的概率大于在甲工厂不提高质量指标的条件下，该大型企业把零件交给甲工厂生产的概率．设事件“甲工厂提高了生产该零件的质量指标”，事件“该大型企业把零件交给甲工厂生产”，已知，证明：． 题型10 概率与数列结合 1、（2024·江苏·模拟预测）某学校有甲，乙两个餐厅，经统计发现，前一天选择餐厅甲就餐第二天仍选择餐厅甲就餐的概率为，第二天选择餐厅乙就餐的概率为；前一天选择餐厅乙就餐第二天仍选择餐厅乙就餐的概率为，第二天选择餐厅甲就餐的概率为．若学生第一天选择餐厅甲就餐的概率是，选择餐厅乙就餐的概率是，记某同学第天选择餐厅甲就餐的概率为． (1)记某班3位同学第二天选择餐厅甲的人数为，求随机变量的分布列及期望； (2)学校为缓解就餐压力，决定每天从各年级抽调21人到甲乙两个餐厅参加志愿服务，请求出的通项公式，根据以上数据合理分配甲，乙两个餐厅志愿者人数，并说明理由． 2、（2025·湖南·一模）张明在暑假为了锻炼身体，制定了一项坚持晨跑的计划：30天晨跑训练．规则如下：张明从第1天开始晨跑，若第天晨跑，则他第天晨跑的概率为，且他不能连续两天没有晨跑．设他第天晨跑的概率为． (1)求的值； (2)求数列的通项公式； (3)若都是离散型随机变量，则，记张明前天晨跑的天数为，求． 解题方法与思路： 1、 求通项公式：关键是找出概率或数学期望的递推关系式，然后根据构造法（一般构造等比数列），求出通项公式； 2、 求和：注意是数列中的倒序求和、错位相减、列项求和； 3、 利用等差、等比数列性质，研究单调性、最值或者求极限。 1、（23-24高三上·河北邢台·期末）杭州亚运会吉祥物为一组名为“江南忆”的三个吉祥物“宸宸”，“琮琮”，“莲莲”，聚焦共同的文化基因，蕴含独特的城市元素．本次亚运会极大地鼓舞了中国人民参与运动的热情．某体能训练营为了激励参训队员，在训练之余组织了一个“玩骰子赢礼品”的活动，他们来到一处训练场地，恰有20步台阶，现有一枚质地均匀的骰子，游戏规则如下：掷一次骰子，出现3的倍数，则往上爬两步台阶，否则爬一步台阶，再重复以上步骤，当队员到达第7或第8步台阶时，游戏结束．规定：到达第7步台阶，认定失败；到达第8步台阶可赢得一组吉祥物．假设平地记为第0步台阶．记队员到达第步台阶的概率为（），记． (1)投掷4次后，队员站在的台阶数为第阶，求的分布列； (2)①求证：数列（）是等比数列； ②求队员赢得吉祥物的概率． 2、（2024高三·全国·专题练习）某商场为促销设计了一项回馈客户的抽奖活动，抽奖规则是：有放回的从装有大小相同的6个红球和4个黑球的袋中任意抽取一个，若第一次抽到红球则奖励50元的奖券，抽到黑球则奖励25元的奖券；第二次开始，每一次抽到红球则奖券数额是上一次奖券数额的2倍，抽到黑球则奖励25元的奖券，记顾客甲第n次抽奖所得的奖券数额的数学期望为． (1)求及的分布列． (2)写出与的递推关系式，并证明为等比数列； (3)若顾客甲一共有6次抽奖机会，求该顾客所得的所有奖券数额的期望值．（考数据：​） 3、（23-24高三上·浙江温州·期末）现有标号依次为1，2，…，n的n个盒子，标号为1号的盒子里有2个红球和2个白球，其余盒子里都是1个红球和1个白球．现从1号盒子里取出2个球放入2号盒子，再从2号盒子里取出2个球放入3号盒子，…，依次进行到从号盒子里取出2个球放入n号盒子为止． (1)当时，求2号盒子里有2个红球的概率； (2)当时，求3号盒子里的红球的个数的分布列； (3)记n号盒子中红球的个数为，求的期望． 题型11 概率与导数集合 （2025·广东广州·模拟预测）某检测中心在化验血液时有两种化验方法： ①逐份化验法：将血液样本逐份进行化验，则份血液样本共需要化验次. ②混合化验法：将份血液样本分别取样混合在一起化验.若化验结果呈阴性，则这份血液均为阴性，此时共化验1次；若化验结果呈阳性，为了确定阳性血液，就需要再采取逐份化验，故此时共需要化验次. (1)现有5份血液样本，其中有2份为阳性血液，现采取逐份化验法进行化验，求恰好化验2次就把全部阳性样本检测出来的概率； (2)现有10份血液样本，每份呈阳性的概率为，采用5份为一组的混合化验法进行化验，记这10份血液样本需要化验的总次数为，求随机变量的分布列；. (3)现有份血液样本，每份呈阳性的概率为，记采用逐份化验法时需要化验的次数为，采用份为一组的混合化验法时需要化验的总次数为，当时，求的最大值. （参考数据：） 解题方法与思路： （1）根据题目所求或题干给出的条件确定自变量及其取值范围； （2）根据题意构建函数模型，写出函数的解析式； （3）对构造的函数进行求导或利用函数单调性，求解目标函数的最值或最优解． 1．（2025·江西上饶·一模）2024年7月26日至8月11日在法国巴黎举行了夏季奥运会．为了普及奥运知识，大学举办了一次奥运知识竞赛，竞赛分为初赛与决赛，初赛通过后才能参加决赛． (1)初赛从6道题中任选2题作答，2题均答对则进入决赛．已知这6道题中小王能答对其中4道题，求小王在已经答对一题的前提下，仍未进入决赛的概率； (2)大学为鼓励大学生踊跃参赛并取得佳绩，决定对进入决赛的参赛大学生给予一定的奖励．奖励规则如下：对于进入决赛的每名大学生允许连续抽奖3次，中奖1次奖励120元，中奖2次奖励180元，中奖3次奖励360元，若3次均未中奖，则只奖励60元，假定每次中奖的概率均为，且每次是否中奖相互独立． （Ⅰ）记一名进入决赛的大学生恰好中奖1次的概率为，求的极大值； （Ⅱ）大学数学系共有9名大学生进入了决赛，若这9名大学生获得的总奖金的期望值不小于1120元，试求此时的取值范围． 2、（2025·河北邯郸·一模）某班举办诗词大赛，比赛规则如下：参赛选手第一轮回答4道题，若答对3道或4道，则通过初赛，否则进行第二轮答题，第二轮答题的数量为第一轮答错的题目数量，且题目与第一轮的题不同，若全部答对，则通过初赛，否则淘汰.已知甲同学参加了这次诗词大赛，且甲同学每道题答对的概率均为.假设甲同学回答每道题相互独立，两轮答题互不影响. (1)已知. ①求甲同学第一轮答题后通过初赛的概率； ②求甲同学答对1道题的概率. (2)记甲同学的答题个数为，求的最大值. 3．（2025·黑龙江齐齐哈尔·三模）泊松分布是一种离散型概率分布，常用于描述在固定时间或空间内某事件发生的次数，广泛应用于通信，交通，生物学，金融和质量控制等领域．若随机变量服从参数为的泊松分布（记作），则其概率分布为 ． (1)当时，泊松分布可以用正态分布来近似；当时，泊松分布基本上就等于正态分布，此时可认．若，估计的值； (2)某人工智能公司制造微型芯片的次品率为，各芯片是否为次品相互独立，以记产品中的次品数． ①若，求在1000个产品中至少有2个次品的概率； ②若，求在1000个产品中至少有2个次品的概率； 通过①，②的计算结果，你发现了什么规律； (3)若，且，在保留小数点后一位的时候，求证：的最大值为0.1． 参考数据：若，则， ，， ，， 题型12 概率中的最值问题 （2025·北京·三模）投壶是中国古代传统礼仪游戏，起源于春秋战国时期，盛行于汉唐.参与者将无镞箭矢投向特定壶具，以入壶数量和姿态评判胜负，兼具竞技与礼仪功能. 为发扬传统文化，某校利用午休时间举办投壶比赛老师预设口径不同的三个壶，学生可以根据自身情况，选择不同壶进行挑战.为方便统计，投壶时，仅统计“投中”与“未投中”两种结果. 活动中，高三年级500名学生体验了投壶，每位学生都只选择一个壶进行挑战.现将投壶结果统计如下表. 壶1 壶2 壶3 投中 未投中 投中 未投中 投中 未投中 高三年级 40 160 90 60 60 90 假设用频率估计概率 (1)若从所有选择投壶2的学生中，随机选择一位学生，求这位学生在活动中投中壶2的概率. (2)投壶活动结束后，高三学生自发组织“过关比赛”比赛中，学生手拿三支箭，从壶1开始，按照壶1、壶2、壶3的次序，进行投壶挑战.每次投壶时，学生投一支箭，若投中，学生按照顺序投下一个投壶；若未投中，学生需要继续投该壶，直到投中或箭矢耗尽当学生投完三支箭，挑战结束. 某位高三学生即将参赛，假设用高三年级学生投中各壶的频率估计这位学生投中各壶的概率，求这位学生在“过关比赛”中仅投中一次的概率. (3) 为锻炼投壶技巧，某高三同学投壶2，一共投20次.假设每次投壶的结果互不影响，用高三年级学生投中壶2的频率估计这位学生投中壶2的概率，那么在投完20次之后，这位同学投中壶2多少次的概率最大?（只需写出结论）. 解题方法与思路： 1、 利用定义发判断单调性求最值 2、 利用导数法判断单调性求最值 3、 利用函数的性质判断函数单调性求最值 4、 二项分布中最值问题： 记，则当时，，pk递增；当时，，递减.故 最大值在时取得（此时，两项均为最大值；若非整数，则k取的整数部分时，最大且唯一）. 1．（2025·云南昭通·一模）为提升大学生环保意识，牢固树立和践行绿水青山就是金山银山的理念，某生物多样性保护与绿色发展基金会举办了“2024年大学生环保知识竞赛”．为了了解大学生对相关知识的掌握情况，随机抽取2000名大学生的竞赛成绩（单位：分），并以此绘制了如图的频率分布直方图． (1)从竞赛成绩在内的学生中随机抽取80名学生，用表示这80名学生中恰有名学生竞赛成绩在的概率，其中，1，2，…，80．以样本的频率估计概率． ①从这80名学生中任取一人，求这个学生的竞赛成绩在的概率； ②当最大时，求． (2)若学生中男生人，其成绩平均数记为，记方差为，女生为人，其成绩平均数为，记方差为，把总体样本数据的平均数记为，方差记为，证明：． 2．（2025·安徽合肥·模拟预测）3月14日为国际数学日，也称为节，为庆祝该节日，某中学举办了数学文化节活动，其中一项活动是“数学知识竞赛”，竞赛规则是：两人一组，每一轮竞赛中，小组两人分别答3道题，若答对题目不少于5道题，则获得1个积分．已知甲、乙两名同学一组，甲同学和乙同学对每道题答对的概率分别是和，且每道题答对与否互不影响． (1)若，，求甲、乙同学这一组在一轮竞赛中获得1个积分的概率； (2)若，且每轮比赛互不影响，进行n轮比赛后，甲、乙同学这一组获得的积分为X分．若恒成立，求n的最小值． 3、（2025·福建·模拟预测）为庆祝“五一”国际劳动节，某校举办“五一”文艺汇演活动，本次汇演共有40个参赛节目，经现场评委评分，分成六组：第一组，第二组，第三组，第四组，第五组，第六组，得到如下频率分布直方图： (1)估计所有参赛节目评分的第85百分位数（保留1位小数）； (2)若评分结束后只对所有评分在区间的节目进行评奖（每个节目都能获奖，只有一等奖和二等奖），其中每个节目获评为一等奖的概率为，获评为二等奖的概率为，每个节目的评奖结果相互独立． （ⅰ）设参评节目中恰有2个一等奖的概率为，求的极大值点； （ⅱ）以（ⅰ）中作为p的值，若对这部分评奖节目进行奖励，已知一等奖节目奖金为500元，若要使得总奖金期望不超过1400元，请估计二等奖奖金的最大值． 1．（2025·重庆·模拟预测）某校为庆祝建校百年，由学校团委、学生会组织开展“奋斗进程”校史知识竞赛活动，每位参赛者均需要回答个题目，可以从个组题目和若干个组题目中，共选择3个题目作答.A组题目每正确回答1个得10分，B组题目每正确回答1个得分，不能正确回答的题目均不得分，参赛者总得分为3个题目得分之和.已知小王恰能正确回答A组题中的4个题目，B组题目每个正确回答的概率均为，且能否正确回答A组和B组题目互不影响. (1)已知小王两组题目均有选择，以他至少答对1个题目的概率为依据，试确定他分别选择两组题目的数量的策略； (2)记小王总得分为. （i）若选择的3个题目均为A组题目，求的分布列及数学期望； （ii）试确定，使小王在选择3个题目时，无论怎样调整A、B组题目数量，其总得分保持期望稳定，并说明理由.（参考公式：，其中、为随机变量） 2．（2025·上海普陀·二模）某区为推进教育数字化转型，通过聚合区域学校的教育资源，依托AI技术搭建了区域智慧题库系统，形成了“通识过关—综合拓展—创新提升”三层动态原库，且三层题量之比为，设该题库中任意1道题被选到的可能性都相同. (1)现有4人参加一项比赛，若每人分别独立地从该题库中随机选取一道题作答，求这4人中至少有2人的选题来自层的概率； (2)现采用分层随机抽样的方法，使用智能组卷系统从该题库中选取12道题生成试卷，若某老师要从生成的这份12道题的试卷中随机选取3道题做进一步改编，记该老师选到层题的题数为，求的分布与期望． 3．（2025·江苏·模拟预测）甲公司设计的健身可以帮助用户制订健身计划，用户按使用频率可分为“活跃用户”和“普通用户”．根据统计数据，活跃用户有能完成健身计划，普通用户仅能完成健身计划．记活跃用户与普通用户的人数比值为． (1)若，从未完成健身计划的用户中随机抽取人，求该用户是普通用户的概率； (2)甲公司从每个完成健身计划的用户处可获得60元收益， 从每个未完成健身计划的用户处可获得 20元收益，对每个活跃用户要承担元维护成本，对每个普通用户要承担元维护成本．设一个用户给甲公司带来的净利润 (净利润收益维护成本)为元，当满足什么关系时，的数学期望与值无关？ 4．（2025·辽宁沈阳·模拟预测）进行独立重复试验，设每次成功的概率为，将试验进行到首次成功时结束，以表示试验次数，则称服从以为参数的几何分布，记为，其中，． (1)若， （i）求和； （ii）； (2)若，，， 求证：． 5．（2025·四川成都·模拟预测）小忠、小勇、小勤三人进行乒乓球运动，赢一球得1分，输球不得分．每局先得2分者获胜，此局结束，负者换下．每一颗球，小忠胜小勇的概率为，小勇胜小勤的概率为（其中是每局中前一颗球打完时小勇得分减去小勤得分的值，规定：打第一颗球时）．小忠与小勇打一局，小忠得1分而下场的概率为． (1)求； (2)若小勇与小勤打了一局，求小勇的得分的分布列和数学期望； (3)若小勇和小勤首先上场打球，假设打每颗球和换人的用时均为30秒，小勇可以主动认输，认输也会用时30秒（也算作在场上），认输后在下一颗球中，小勇胜小勤的概率为，其它两人不能主动认输．小勇要在接下来的6分钟时间（含第6分钟）使自己一直在场上的概率最大，他应该努力达成何种状态，说明其状态并求出最大概率． 6．（2025·江西南昌·二模）为宣扬中国文化，某校组织古诗词知识比赛.比赛分为两阶段，第一阶段为基础知识问答，每位选手都需要回答3个问题，答对其中至少2个问题，进入第二阶段，否则被淘汰；第二阶段分高分组、和低分组，第一阶段3个问题都答对的选手进入高分组，共回答4个问题，每答对一个得20分，答错不得分；第一阶段答对2个问题的选手进入低分组，共回答4个问题，每答对一个得10分，答错不得分.第一阶段，每个问题选手甲答对的概率都是；第二阶段，若选手甲进入高分组，每个问题答对的概率都是，若选手甲进入低分组，每个问题答对的概率都是. (1)求选手甲第一阶段不被淘汰的概率； (2)求选手甲在该次比赛得分数为40分的概率； (3)已知该次比赛选手甲进入了高分组，记选手甲在该次比赛中得分数为，求随机变量的分布列和期望值. 7．（2025·江苏常州·模拟预测）某校为庆祝建校百年，学校组织建校百年校友体育赛，赛事间隙举行了一次有关三大球类运动的知识竞赛，海量题库中篮球､足球､排球三类相关知识题量占比分别为．甲校友回答篮球、足球、排球这三类问题中每个题的正确率分别为． (1)若甲校友在该题库中任选一题作答，求他回答正确的概率； (2)若甲校友从这三类题中各任选一题作答，每回答正确一题得3分，回答错误得分．设该校友回答三题后的总得分为分，求的分布列及数学期望； (3)知识竞赛规则：随机从题库中抽取道题目，答对题目数不少于道，即可获得奖励．现以获得奖励的概率大小为依据，若甲校友在和之中选其一，则他应如何选择？并说明理由． 8．（2025·安徽·模拟预测）为了解一种新药治疗某疾病的效果，在获得有关部门批准后，制药公司在若干医院进行试验，每个医院选10个病人服用此药，规定：若这10个病人中至少有5人痊愈，则认为这种药有效，否则认为这种药无效. (1)甲医院参加试验的10个病人服用该药后有6人痊愈，乙医院参加试验的10个病人服用该药后有7人痊愈，现随机从甲、乙两医院中选择一个医院，然后从参加试验的10个病人中随机抽取2人，求恰好抽到痊愈、未痊愈的病人各1人的概率； (2)假设这种新药的治愈率为80%，且每个病人服药后是否痊愈相互独立，求某医院经过试验认定该药无效的概率；（结果精确到0.0001） (3)若已知这种病的自然痊愈率为10%，根据（2）的结果解释规定是否合理. 参考数据：512×62201≈32000000. 9（2025·贵州黔东南·模拟预测）某商场推出了购物抽奖活动，活动规则如下：如图，在点A，B，C，D，E处各安装了一盏灯，每次只有一处的灯亮起.初始状态是点A处的灯亮起，程序运行次数的上限为（，），然后按下开始按扭，程序开始运行，第1次是与A相邻点处的其中一盏灯随机亮起，第n次是与第次灯亮处相邻点的其中一盏灯随机亮起.若在运行过程中，点A处的灯再次亮起，则游戏结束，否则运行n次后游戏自动结束.在程序运行过程中，若点A处的灯再次亮起，则顾客获奖.已知顾客小明参与了该购物抽奖活动. (1)求程序运行2次小明获奖的概率； (2)若，求小明获奖的概率； (3)若，记游戏结束时程序运行的次数为X，求X的分布列与期望. 10．（2025·陕西商洛·模拟预测）在双碳战略之下，新能源汽车发展成为乘用车市场转型升级的重要方向，2024年我国新能源汽车销量继续走高．为了解新能源汽车车主对新能源汽车的满意程度，某市某品牌的新能源汽车经销商从购买了该品牌新能源汽车的车主中随机选取了100人进行问卷调查，并根据其满意度评分（单位：分，总分100分）制作了如下的频数分布表： 满意度评分 频数 10 15 20 30 15 10 (1)计算满意度评分的样本平均数和样本中位数；（每组数据以该组区间的中点值为代表） (2)根据频数分布表可以认为该市该品牌新能源汽车车主对新能源汽车的满意度评分近似地服从正态分布，其中近似为样本平均数近似为样本的标准差，并求得．若该市恰有1万名该品牌的新能源汽车车主，试估计这些车主中满意度评分位于区间的人数； (3)为提升新能源汽车的销量，该品牌4S店针对购买该品牌新能源汽车的顾客设置了抽奖环节，抽奖规则如下：每人可参加2次抽奖，每次抽奖都从装有3个红球、3个白球（形状、大小、质地完全相同）的抽奖箱里一次性摸出3个球，若摸出3个红球，则返还2000元现金；若摸出2个红球，则返还1000元现金，其余情况不返还任何现金（两次抽奖返现金额叠加）．已知小王参加了抽奖，记他获得的返现金额为，求随机变量的分布列和数学期望． 参考数据：若随机变量，则. 11．（2025·四川绵阳·模拟预测）某汽车公司拟对“东方红”款高端汽车发动机进行科技改造，根据市场调研与模拟，得到科技改造投入（亿元）与科技改造直接收益（亿元）的数据统计如下： 2 3 4 6 8 10 13 21 22 23 24 25 13 22 31 42 50 56 58 68.5 68 67.5 66 68 当时，建立了y与x的两个回归模型：模型①；模型②：； (1)根据下列表格中的数据，比较当时模型①、②的相关指数，并选择拟合精度更高、更可靠的模型，预测对“东方红”款汽车发动机科技改造的投入为16亿元时的直接收益. 回归模型 模型① 模型② 回归方程 182.4 79.2 （附1：刻画回归效果的相关指数） (2)科技改造后，“东方红”款汽车发动机的热效率X大幅提高，X服从正态分布，公司对科技改造团队的奖励方案如下：若发动机的热效率不超过50%，不予鼓励；若发动机的热效率超过50%但不超过53%，每台发动机奖励2万元；若发动机的热效率超过53%，每台发动机奖励4万元.求每台发动机获得奖励的分布列和数学期望. （附2：随机变量服从正态分布，则，.） 12．（2025·湖北襄阳·模拟预测）如图，某人设计了一个类似于高尔顿板的游戏：将一个半径适当的小球放入如图所示的容器最上方的中间入口处，小球将自由下落，小球在下落的过程中，将次遇到黑色障碍物，已知小球每次遇到黑色障碍物时，向左、右两边下落的概率都是，最后落入袋或袋中.一次游戏中小球落入袋记分，落入袋记分，游戏可以重复进行.游戏过程中累计得分的概率为. (1)求、、； (2)求出的通项公式. 13、（2025·四川绵阳·模拟预测）甲乙两人参加单位组织的知识答题活动，每轮活动由甲乙各答一个题，已知甲、乙第一轮答对的概率都为．甲如果第轮答对，则他第轮也答对的概率为，如果第轮答错，则他第轮也答错的概率为；乙如果第轮答对，则他第轮也答对的概率为，如果第轮答错，则他第轮也答错的概率为．在每轮活动中，甲乙答对与否互不影响． (1)若前两轮活动中第二轮甲乙都答对求两人第一轮也都答对的概率； (2)求证：，甲在第轮答对的概率为定值； 14（2025·黑龙江·二模）为引导乡村老年人参与全民健身活动，积极倡导和践行健康生活方式，某乡村开展“趣味套圈圈玩出‘年轻态’”志愿者服务活动，旨在丰富老年人的精神文化生活，营造尊老、爱老、敬老的浓厚和谐邻里氛围.活动开始，志愿者为大家讲解游戏规则：参加活动的每位老年人均可领2个圈圈且均需用完，一个圈圈只能套一次奖品（奖品为一瓶洗发水），每次套中奖品与否相互独立，套中的奖品可被老年人带走.已知王大爷每次套中奖品的概率为，张大爷每次套中奖品的概率为. (1)若，王大爷套完两次后，记王大爷套中的奖品的个数为，求随机变量的分布列和数学期望； (2)王大爷、张大爷都套完两次后，求两人总共套中的奖品个数为3的概率的最大值. 15（2025·黑龙江哈尔滨·一模）“冰雪同梦，亚洲同心”，年第九届亚冬会在哈尔滨举办，本次赛事共有个大项，个分项，个小项，有来自个国家和地区，多名运动员参赛，是一场令人回味无穷的冬季体育盛会，亚冬会圆满结束后，我校团委组织学生参加与亚冬会有关的知识竞赛.为鼓励同学们积极参加此项活动，比赛规定：答对一题得两分，答错一题得一分，选手不放弃任何一次答题机会.已知小明报名参加比赛，每道题回答是否正确相互独立，且每次答对的概率不一定相等. (1)若前三道试题，小明每道试题答对的概率均为， ①设，记小明答完前三道题得分为，求随机变量的分布列和数学期望； ②若小明答完前四道题得分的概率为，求小明答完前四题时至少答对三题的概率的最小值； (2)若小明答对每道题的概率均为，因为小明答对第一题或前两题都答错，均可得到两分，称此时小明答题累计得分为，记小明答题累计得分为的概率为，求数列的通项公式. 1．（2025·北京·高考真题）某次考试中，只有一道单项选择题考查了某个知识点，甲、乙两校的高一年级学生都参加了这次考试.为了解学生对该知识点的掌握情况，随机抽查了甲、乙两校高一年级各100名学生该题的答题数据，其中甲校学生选择正确的人数为80，乙校学生选择正确的人数为75.假设学生之间答题相互独立，用频率估计概率. (1)估计甲校高一年级学生该题选择正确的概率 (2)从甲、乙两校高一年级学生中各随机抽取1名，设X为这2名学生中该题选择正确的人数，估计的概率及X的数学期望； (3)假设：如果没有掌握该知识点，学生就从题目给出的四个选项中随机选择一个作为答案；如果掌握该知识点，甲校学生选择正确的概率为，乙校学生选择正确的概率为.设甲、乙两校高一年级学生掌握该知识点的概率估计值分别为，，判断与的大小（结论不要求证明）. 2．（2025·全国一卷·高考真题）为研究某疾病与超声波检查结果的关系，从做过超声波检查的人群中随机调查了1000人，得到如下列联表： 超声波检查结果组别 正常 不正常 合计 患该疾病 20 180 200 未患该疾病 780 20 800 合计 800 200 1000 (1)记超声波检查结果不正常者患该疾病的概率为p，求p的估计值； (2)根据小概率值的独立性检验，分析超声波检查结果是否与患该疾病有关. 附， 0.050 0.010 0.001 3.841 6.635 10.828 3．（2025·全国二卷·高考真题）甲、乙两人进行乒乓球练习，每个球胜者得1分，负者得0分．设每个球甲胜的概率为，乙胜的概率为q，，且各球的胜负相互独立.对正整数，记为打完k个球后甲比乙至少多得2分的概率，为打完k个球后乙比甲至少多得2分的概率． (1)求（用p表示）． (2)若，求p． (3)证明：对任意正整数m，． 4．（2024·新课标Ⅱ卷·高考真题）某投篮比赛分为两个阶段，每个参赛队由两名队员组成，比赛具体规则如下：第一阶段由参赛队中一名队员投篮3次，若3次都未投中，则该队被淘汰，比赛成绩为0分；若至少投中一次，则该队进入第二阶段.第二阶段由该队的另一名队员投篮3次，每次投篮投中得5分，未投中得0分.该队的比赛成绩为第二阶段的得分总和．某参赛队由甲、乙两名队员组成，设甲每次投中的概率为p，乙每次投中的概率为q，各次投中与否相互独立． (1)若，，甲参加第一阶段比赛，求甲、乙所在队的比赛成绩不少于5分的概率． (2)假设， （i）为使得甲、乙所在队的比赛成绩为15分的概率最大，应该由谁参加第一阶段比赛？ （ii）为使得甲、乙所在队的比赛成绩的数学期望最大，应该由谁参加第一阶段比赛？ 5．（2024·北京·高考真题）某保险公司为了了解该公司某种保险产品的索赔情况，从合同险期限届满的保单中随机抽取1000份，记录并整理这些保单的索赔情况，获得数据如下表： 赔偿次数 0 1 2 3 4 单数 假设：一份保单的保费为0.4万元；前3次索赔时，保险公司每次赔偿0.8万元；第四次索赔时，保险公司赔偿0.6万元.假设不同保单的索赔次数相互独立.用频率估计概率. (1)估计一份保单索赔次数不少于2的概率； (2)一份保单的毛利润定义为这份保单的保费与赔偿总金额之差. （i）记为一份保单的毛利润，估计的数学期望； （ⅱ）如果无索赔的保单的保费减少，有索赔的保单的保费增加，试比较这种情况下一份保单毛利润的数学期望估计值与（i）中估计值的大小．（结论不要求证明） 6．（2023·上海·高考真题）21世纪汽车博览会在上海2023年6月7日在上海举行，下表为某汽车模型公司共有25个汽车模型，其外观和内饰的颜色分布如下表所示： 红色外观 蓝色外观 米色内饰 8 12 棕色内饰 2 3 (1)若小明从这些模型中随机拿一个模型，记事件A为小明取到的模型为红色外观，事件B取到模型有棕色内饰，求，并据此判断事件A和事件B是否独立； (2)为回馈客户，该公司举行了一个抽奖活动，并规定，在一次抽奖中，每人可以一次性抽取两个汽车模型。为了得到奖品类型，现作出如下假设： 假设1：每人抽取的两个模型会出现三种结果：①两个模型的外观和内饰均为同色；②两个模型的外观和内饰均为不同色；③两个模型的外观同色但内饰不同色，或内饰同色但外观不同色。 假设2：该抽奖设置三类奖，奖金金额分别为：一等奖600元，二等奖300元，三等奖150元。 假设3：每种抽取的结果都对应一类奖。出现某种结果的概率越小，奖金金额越高。 请判断以上三种结果分别对应几等奖。设中奖的奖金数是，写出的分布，并求的数学期望。 7．（2023·新课标Ⅰ卷·高考真题）甲、乙两人投篮，每次由其中一人投篮，规则如下：若命中则此人继续投篮，若未命中则换为对方投篮．无论之前投篮情况如何，甲每次投篮的命中率均为0.6，乙每次投篮的命中率均为0.8．由抽签确定第1次投篮的人选，第1次投篮的人是甲、乙的概率各为0.5． (1)求第2次投篮的人是乙的概率； (2)求第次投篮的人是甲的概率； (3)已知：若随机变量服从两点分布，且，则．记前次（即从第1次到第次投篮）中甲投篮的次数为，求． 8．（2023·新课标Ⅱ卷·高考真题）某研究小组经过研究发现某种疾病的患病者与未患病者的某项医学指标有明显差异，经过大量调查，得到如下的患病者和未患病者该指标的频率分布直方图：    利用该指标制定一个检测标准，需要确定临界值c，将该指标大于c的人判定为阳性，小于或等于c的人判定为阴性．此检测标准的漏诊率是将患病者判定为阴性的概率，记为；误诊率是将未患病者判定为阳性的概率，记为．假设数据在组内均匀分布，以事件发生的频率作为相应事件发生的概率． (1)当漏诊率％时，求临界值c和误诊率； (2)设函数，当时，求的解析式，并求在区间的最小值． 9．（2022·全国甲卷·高考真题）甲、乙两个学校进行体育比赛，比赛共设三个项目，每个项目胜方得10分，负方得0分，没有平局．三个项目比赛结束后，总得分高的学校获得冠军．已知甲学校在三个项目中获胜的概率分别为0.5，0.4，0.8，各项目的比赛结果相互独立． (1)求甲学校获得冠军的概率； (2)用X表示乙学校的总得分，求X的分布列与期望． 10．（2022·全国乙卷·高考真题）某地经过多年的环境治理，已将荒山改造成了绿水青山．为估计一林区某种树木的总材积量，随机选取了10棵这种树木，测量每棵树的根部横截面积（单位：）和材积量（单位：），得到如下数据： 样本号ｉ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 总和 根部横截面积 0.04 0.06 0.04 0.08 0.08 0.05 0.05 0.07 0.07 0.06 0.6 材积量 0.25 0.40 0.22 0.54 0.51 0.34 0.36 0.46 0.42 0.40 3.9 并计算得． (1)估计该林区这种树木平均一棵的根部横截面积与平均一棵的材积量； (2)求该林区这种树木的根部横截面积与材积量的样本相关系数（精确到0.01）； (3)现测量了该林区所有这种树木的根部横截面积，并得到所有这种树木的根部横截面积总和为．已知树木的材积量与其根部横截面积近似成正比．利用以上数据给出该林区这种树木的总材积量的估计值． 附：相关系数． 11．（2022·新高考全国Ⅰ卷·高考真题）一医疗团队为研究某地的一种地方性疾病与当地居民的卫生习惯（卫生习惯分为良好和不够良好两类）的关系，在已患该疾病的病例中随机调查了100例（称为病例组），同时在未患该疾病的人群中随机调查了100人（称为对照组），得到如下数据： 不够良好 良好 病例组 40 60 对照组 10 90 (1)能否有99%的把握认为患该疾病群体与未患该疾病群体的卫生习惯有差异？ (2)从该地的人群中任选一人，A表示事件“选到的人卫生习惯不够良好”，B表示事件“选到的人患有该疾病”．与的比值是卫生习惯不够良好对患该疾病风险程度的一项度量指标，记该指标为R． （ⅰ）证明：； （ⅱ）利用该调查数据，给出的估计值，并利用（ⅰ）的结果给出R的估计值． 附， 0.050 0.010 0.001 k 3.841 6.635 10.828 1 / 96 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $