精品解析：天津市津南区南开大学附属中学津南学校2025-2026学年高一上学期期中考试数学试卷

2025～2026学年第一学期高一年级第一学期期中考试 数学学科试卷 本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．满分120分，考试时间100分钟．考试结束后，上交答题卡． 第Ⅰ卷（选择题，共36分） 一、单选题 1. 已知全集，，，则（） A. B. C. D. 2. 命题“，”的否定是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 3. 下列各组函数表示相同函数的是（ ） A. B. C. D. 4. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 5. 已知，，，则q是p的（ ）． A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 6. 设函数，则的表达式为（ ） A. B. C. D. 7. 已知函数，则（ ）． A. 8 B. 7 C. 6 D. 5 8. 函数的值域是（ ） A. B. C. D. 9. 若函数，满足对任意实数，都有成立，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 第Ⅱ卷（非选择题，共84分） 二、填空题（本大题共6小题，每小题4分，共24分） 10. 已知集合，且，则实数的值为___________. 11. 函数的定义域为______． 12. 关于x的不等式的解集为______． 13. 函数递增区间是_______. 14. 设，且，则的最小值为__________. 15. 设是定义在区间上的严格增函数．若，则a的取值范围是______． 三、解答题（本大题共5小题，共60分） 16. 已知集合，． （1）求集合A； （2）求． 17. 已知集合，． （1）若，求，； （2）若，求实数a的取值范围． 18 已知函数. （1）若，求不等式解集； （2）若关于的不等式对一切恒成立，求实数m的取值范围. 19. 已知函数过点． （1）求的解析式； （2）判断在区间上单调性，并用定义证明． （3）求函数在上的最大值和最小值. 20 已知函数. （1）解关于x的不等式； （2）若关于x的不等式的解集为. （i）求的值； （ii）求的最小值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025～2026学年第一学期高一年级第一学期期中考试 数学学科试卷 本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．满分120分，考试时间100分钟．考试结束后，上交答题卡． 第Ⅰ卷（选择题，共36分） 一、单选题 1. 已知全集，，，则（） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据补集和交集的定义进行求解即可. 【详解】因为全集，， 所以，又因为， 所以， 故选：A 2. 命题“，”的否定是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】B 【解析】 【分析】根据存在量词命题的否定方法，判断结果即可. 【详解】由题意可知命题“，”否定是“，”. 故选：B. 3. 下列各组函数表示相同函数的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据同一函数的定义域和对应法则相同，依次判断各项中两个函数是否为同一函数即可. 【详解】A：的定义域为R，的定义域为，不是同一函数； B：的定义域为R，的定义域为，不是同一函数； C：的定义域为，的定义域为，不是同一函数； D：的定义域均为R，且对应法则相同，为同一函数. 故选：D 4 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】解不等式求出集合，再由集合的交集运算可得结果. 【详解】易知集合， 又，可得. 故选：B 5. 已知，，，则q是p的（ ）． A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】 【分析】根据充分必要条件的概念即可得出结论. 【详解】若，则，或，，故充分性不成立； 若，，则，故必要性成立. 所以是的必要不充分条件. 故选：B 6. 设函数，则的表达式为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】令，可得出且，化简可得出，即可得出函数的解析式. 【详解】令，则且，所以，，因此，. 故选：B. 7. 已知函数，则（ ）． A. 8 B. 7 C. 6 D. 5 【答案】D 【解析】 【分析】根据自变量的取值范围代相应的对应关系，求出分段函数的函数值. 【详解】函数， 则. 故选：D 8. 函数的值域是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】令，将函数转化为关于的二次函数，求其值域即可求解. 【详解】令，则， 设， ，所以， 即的值域是. 故选：B. 9. 若函数，满足对任意实数，都有成立，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】依题意可得是上的增函数，则函数在各段单调递增且断点左侧的函数值不大于右侧的函数值，即可得到不等式组，解得即可. 【详解】因为对任意实数，都有成立，所以是上的增函数， 则，解得，即实数的取值范围是. 故选：D. 第Ⅱ卷（非选择题，共84分） 二、填空题（本大题共6小题，每小题4分，共24分） 10. 已知集合，且，则实数的值为___________. 【答案】3 【解析】 【分析】由集合的元素，以及，分类讨论，结合集合元素互异性，即可得出实数的值. 【详解】由题可得，若，则，不满足集合元素的互异性，舍去； 若，解得或，其中不满足集合元素的互异性，舍去， 所以. 故答案为：3. 【点睛】本题考查集合元素的互异性，结合元素与集合关系以及通过对集合中元素构成的特点求参数值. 11. 函数定义域为______． 【答案】 【解析】 【分析】根据根号下大于等于0和分母不为0得到不等式组，解出即可. 【详解】由题意得，解得， 则定义域为. 故答案为：. 12. 关于x的不等式的解集为______． 【答案】 【解析】 【分析】根据分式不等式求解，先移项得到，再由分式不等式的等价条件求解即可． 【详解】根据题意， ，解得或， 所以不等式的解集为． 故答案为：． 13. 函数的递增区间是_______. 【答案】 【解析】 【分析】先求出函数的定义域，再求出在定义域内的增区间即可得出. 【详解】令，解得，故的定义域为， 因为的对称轴为，开口向下， 所以在单调递增， 所以的递增区间是. 故答案为：. 14. 设，且，则的最小值为__________. 【答案】 【解析】 【分析】利用乘“1”法及基本不等式计算可得. 【详解】因为，且, 所以， 当且仅当，即时取等号. 故答案为： 15. 设是定义在区间上的严格增函数．若，则a的取值范围是______． 【答案】. 【解析】 【分析】根据题意，列出不等式组，即可求解. 【详解】由题意，函数是定义在区间上的严格增函数， 因为，可得，解得， 所以实数a的取值范围是. 故答案为：. 三、解答题（本大题共5小题，共60分） 16. 已知集合，． （1）求集合A； （2）求． 【答案】（1）或． （2） 【解析】 【分析】（1）解集合A中的不等式，得到集合A；. （2）由补集的定义求出，再利用集合的交集运算求解. 【小问1详解】 不等式，解得或， 所以集合或． 【小问2详解】 由（1）可知或，所以， 又因为， 所以． 17. 已知集合，． （1）若，求，； （2）若，求实数a的取值范围． 【答案】（1），或 （2） 【解析】 【分析】（1）将代入，根据集合交集，补集以及并集的定义进行求解即可. （2）由题意可得，对集合是否为空集进行讨论即可. 【小问1详解】 集合，当时，，， 或，或. 【小问2详解】 ，， 当时，，即时，满足， 当时，即时，由，得，解得， 综上，实数a的取值范围是． 18. 已知函数. （1）若，求不等式的解集； （2）若关于不等式对一切恒成立，求实数m的取值范围. 【答案】（1）或 （2）. 【解析】 【分析】（1）根据一元二次不等式的解法来求得正确答案. （2）对进行分类讨论，由此列不等式来求得的取值范围. 【小问1详解】 当时，， 不等式即， 即，解得，或， 所以不等式的解集为或. 【小问2详解】 当时，恒成立，满足题意； 当时，由题意得 解得. 综上所述，实数m的取值范围是. 19. 已知函数过点． （1）求的解析式； （2）判断在区间上的单调性，并用定义证明． （3）求函数在上的最大值和最小值. 【答案】（1） （2）在区间上单调递增，证明见解析 （3）最小值为，最大值为. 【解析】 【分析】（1）把点代入函数解析式，求出的值，可得的解析式； （2）利用定义法证明函数单调性； （3）利用函数单调性，可函数在区间内的最值. 【小问1详解】 由函数过点，有， 解得，所以的解析式为：． 【小问2详解】 在区间上单调递增. 证明：，且，有 ． 由，得． 则，即． 所以在区间上单调递增． 【小问3详解】 由在上是增函数， 所以在区间上的最小值为，最大值为. 20. 已知函数. （1）解关于x的不等式； （2）若关于x的不等式的解集为. （i）求的值； （ii）求的最小值. 【答案】（1）当时，不等式的解集为；当时，不等式的解集为. （2）（i）；（ii）9 【解析】 【分析】（1）根据和分类讨论解不等式即可. （2）（i）由题意m，n分别是方程的两根，利用韦达定理即可得解； （ii）结合（i）中结论，利用基本不等式“1”的妙用即可得解. 【小问1详解】 不等式，整理得， 当时，原不等式可化为，此时不等式的解为或； 当时，原不等式可化为，此时不等式的解为； 综上，当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为. 小问2详解】 （i）若的解集为，则m，n分别是方程的两根，且， 由韦达定理可知，所以. （ii）由（i）知，， 所以， 当且仅当，即时等号成立，所以的最小值为9. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $