江苏省苏州市昆山、太仓、常熟、张家港四市2025-2026学年九年级上学期11月期中数学试题

题1数据38,42,42,43,45,45,45的众数是 ( ) A.38 B.42 C.43 D.45 题2二次函数图象的顶点坐标为 ( ) A.(3,2) B.(3,-2) C.(-3,2) D.(-3,-2) 题3如图，圆形转盘被分成4个面积相等的扇形区域，在上面依次写上数字1、2、3、4，任意转动转盘1次，当转盘停止转动时（若指针恰好停在等分线上，则重转一次），指针指向区域所标数字为偶数的概率是 ( ) A. B. C. （第3题图） （第5题图） （第8题图） 题 4若关于x的一元二次方程有一根为2，则k的值是 ( ) A.0 B.2 C.4 D.6 题5如图，一枚圆形古钱币的中间是一个边长为1cm的正方形孔．已知正方形面积是圆面积的，设圆的半径为xcm，则可列方程为 ( ) A. B. C. D. 题6已知点在二次函数其中a为常数，且a>0)的图象上，则的大小关系为 ( ) A. B. C. D. 题7根据统计数据显示，我国某民营科技公司近三年的收入逐年增加．2022年至2024年该公司收入由6423亿元增加到8621亿元．设该公司2022年至2024年收入的年平均增长率为x，则可列方程为 ( ) A.6423(1+2x)=8621 B.6423×2(1+x)=8621 C. D. 题8二次函数其中a,b,c为常数，且a≠0)的图象如图所示，对称轴是直线x=1，下列结论：①②3a+b<0;③④为实数）.其中，正确的个数为（ A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 题9数据20,20,30,40,50的中位数是 ． 题10 二次函数的图象与y轴的交点坐标是 初三数学 第1页 共6页 学科网（北京）股份有限公司 题11甲、乙两位同学参加学校组织的射击选拔赛，每人射击10次，射击成绩的平均数都是9环方差分别是=3.8,，则这10次射击成绩较稳定的是＿（填“甲”或“乙”） 题12设是一元二次方程的两个根，则 题13 为了丰富学生的午餐种类，某校食堂销售三种午餐盒饭，且三种午餐盒饭的有关数据如图所示，则该食堂销售午餐盒饭的平均价格为 元. 题14在平面直角坐标系中，将二次函数的图象沿x轴翻折，所得抛物线相应的函数表达式为 题15二次函数其中a,b,c为常数，且a≠0)的图象过点A(-1,20),B(1,m),C(5,m),D （6,13)，其中m为常数，则的方程的解为 . 题16 如图1，在矩形ABCD中，点E是AD边的中点，点F是AB边上的一个动点，连接EF，作FGLFE，交BC于点G，设AF=x,BF+BG=y.．图2是点F从点A运动到点B的过程中，y关于x的函数图象．当x=2.5时，y的值最大，最大值是a，则a的值是 初三数学 第2页 共6页 学科网（北京）股份有限公司 （第13题图） （第16题图） 初三数学 第2页 共6页 学科网（北京）股份有限公司 三、解答题（本大题共11小题，共82分．） 题17（本题满分8分） 解方程：; 题18（本题满分5分） 已知关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，求k的取值范围. 题19（本题满分6分） 苏州的古镇以江南水乡风貌和深厚历史文化闻名，粉墙黛瓦与小桥流水相映成趣.小超同学计划在元旦假期从A：周庄古镇，B：黎里古镇，C：沙溪古镇，D：古里古镇，四个古镇中随机选择部分古镇游玩. （1）小超同学选择C：沙溪古镇游玩的概率是＿； （2）若小超同学从A,B,C,D四个古镇中任选两个去游玩，求选择B,C两个古镇游玩的概率．（用列表或画树状图的方法说明） 初三数学 第2页 共6页 学科网（北京）股份有限公司 题20（本题满分6分） 将二次函数的图象先向左平移2个单位，再向上平移m个单位； （1）若m=3，则所得二次函数图象的函数表达式为 ＿； （2）若平移后所得二次函数的图象经过点（-4,9)，求平移后所得抛物线的函数表达式． 题21（本题满分8分） 某校为了解学生暑期锻炼情况，采用简单随机抽样的方法，对本校学生暑假每天在家锻炼的时间（用x表示，单位：分钟）进行了抽样调查，把所得数据分组整理，并绘制成频数分布直方图. 学生每天在家锻炼时间频率分布表 (1)a= ; （2）补全频数分布直方图（画图后标注相应数据）； （3）该校共有600名学生，根据抽样调查的结果，估计该校学生暑期每天在家锻炼的平均时间不低于90分钟的人数. 初三数学 第3页 共6页 学科网（北京）股份有限公司 学生每天在家锻炼时间频率分布表 时间x（分钟） 频率 0.1 0.2 0.4 a 0.1 合计 1 学生每天在家锻炼时间频数分布直方图 初三数学 第3页 共6页 学科网（北京）股份有限公司 题22（本题满分6分） 如图，已知一次函数y=x+1的图象与二次函数的图象交于A,B两点，该二次函数图象的顶点为C，连接AC,BC. （1）求点C的坐标； （2）求ΔABC的面积． 初三数学 第3页 共6页 学科网（北京）股份有限公司 题23（本题满分6分） 如果关于x的一元二次方程其中a,b,c为常数，且a≠0)有两个实数根.且其中一个根等于另一个根的2倍减去1，那么称这样的方程为“倍差方程”．例如，一元二次方程的两个根是3，则方程是“倍差方程”. （1）根据上述定义，判断方程填“是”或“不是”）“倍差方程”； （2）已知关于x的一元二次方程是“倍差方程”，求m的值. 题24（本题满分7分） 某汽车出租公司每辆汽车月租费为3000元时，100辆汽车可以全部租出．若每辆汽车的月租费每增加50元，则将少租出1辆汽车．已知每辆租出的汽车支付月维护费200元． （1）若每月租出90辆汽车时，该出租公司的月收益是多少？ （2）每月租出多少辆汽车时，该出租公司的月收益最大？最大月收益是多少？ 初三数学 第4页 共6页 学科网（北京）股份有限公司 题25（本题满分10分） 综合与实践： 九年级机器人社团围绕“跳跃机器人”开展主题学习活动.现有甲，乙两款跳跃机器人，他们起跳后的运动路线均可看作抛物线．甲，乙分别从水平地面起跳，甲的运动路线的最高点距离地面60cm，起跳点与落地点的距离为240cm；乙的运动路线的最高点距离地面80cm，起跳点与落地点的距离为200cm． 第25题图 【数学建模】 图1，甲的起跳点为O，落地点为F，将甲的运动路线抽象为抛物线，其顶点为E；乙的起跳点也为O，落地点为N，将乙的运动路线抽象为抛物线，其顶点为M，两机器人的运动路线在同一竖直平面内.以O为原点，OF所在直线为x轴，过点O与OF所在水平地面垂直的直线为y轴，建立平面直角坐标系. （1）分别求抛物线的函数表达式； 【问题解决】 2）如图2，水平地面上有个障碍物，其纵切面为矩形ABCD,AB=33cm,BC=55cm，点H在边AB左侧，甲，乙分别从点H处起跳．机器人跃过障碍物时，与障碍物表面的点在竖直方向上的距离不少于2cm才能安全通过．（障碍物的纵切面与两机器人的运动路线在同一竖直平面内） ①若BH=125cm，甲款机器人 安全跃过该障碍物；（横线上填“能”或“不能”）； ②若要使甲，乙两款机器人都能安全跃过该障碍物，设BH=mcm，则m的取值范围为 （结果保留根号）. 初三数学 第5页 共6页 学科网（北京）股份有限公司 题26（本题满分10分） 如图，在矩形ABCD中，AB=8cm,BC=4cm,，点P从点A出发沿AB以acm/s的速度向点B移动，直至到达终点B时停止运动；同时，点Q从点C出发沿CD以bcm/s的速度向点D移动，直至到达终点D时停止运动，连接PQ,BQ,BD.设点Q运动的时间为ts. （1）若a=4,b=2. ①当时，则cm: ②当3cm，求r的值； （2）若b=1，在P,Q两点运动过程中，当ΔPBQ是以BQ为一腰的等腰三角形，且PQLBD时，求a的值. （第26题图） 题27（本题满分10分） 如图，二次函数其中m,n为常数，且m≠0)的图象与x轴交于A,B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，且点A的坐标为(-1,0)，点C的坐标为（0,4)．点M是x轴上方抛物线上的一点，连接AC，BM．点D(0,3）是y轴上的点，连接AD （1）求该抛物线的表达式： （2）①若LMBA=LDAB，求点M的坐标； ②若∠MBC=∠ACO,，则点M的坐标为 . 初三数学 第6页 共6页 学科网（北京）股份有限公司 题26（本题满分10分） 如图，在矩形ABCD中，AB=8cm,BC=4cm,，点P从点A出发沿AB以acm/s的速度向点B移动，直至到达终点B时停止运动；同时，点Q从点C出发沿CD以bcm/s的速度向点D移动，直至到达终点D时停止运动，连接PQ,BQ,BD.设点Q运动的时间为ts. （1）若a=4,b=2. ①当时，则cm: ②当3cm，求r的值； （2）若b=1，在P,Q两点运动过程中，当ΔPBQ是以BQ为一腰的等腰三角形，且PQLBD时，求a的值. （第26题图） 题27（本题满分10分） 如图，二次函数其中m,n为常数，且m≠0)的图象与x轴交于A,B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，且点A的坐标为(-1,0)，点C的坐标为（0,4)．点M是x轴上方抛物线上的一点，连接AC，BM．点D(0,3）是y轴上的点，连接AD （1）求该抛物线的表达式： （2）①若LMBA=LDAB，求点M的坐标； ②若∠MBC=∠ACO,，则点M的坐标为 . 初三数学 第6页 共6页 学科网（北京）股份有限公司 题1数据38,42,42,43,45,45,45的众数是 ( ) A.38 B.42 C.43 D.45 【解析】众数是出现次数最多的数。45出现的次数最多． 【答案】D. 题2二次函数图象的顶点坐标为 ( ) A.(3,2) B.(3,-2) C.(-3,2) D.(-3,-2) 【解析】顶点坐标令x-3=0,x=3,带入解析式得y=2，故顶点坐标为（3,2)． 【答案】A. 题3如图，圆形转盘被分成4个面积相等的扇形区域，在上面依次写上数字1、2、3、4，任意转动转盘1次，当转盘停止转动时（若指针恰好停在等分线上，则重转一次），指针指向区域所标数字为偶数的概率是 ( ) A. B. C. D. （第3题图） 【解析】一共有4个数，偶数有2和4，共2个偶数， 【答案】C 题4若关于x的一元二次方程有一根为2，则k的值是 ( ) A.0 B.2 C.4 D.6 【解析】将x=2代入，解得k=6. 【答案】D. 题5如图，一枚圆形古钱币的中间是一个边长为1cm的正方形孔．已知正方形面积是圆面积的，设圆的半径为xcm，则可列方程为 ( ) A. B. C. D. 【解析】带入圆面积公式，根据题中数量关系，C选项符合. 【答案】C 题6已知点在二次函数其中a为常数，且a>0)的图象上，则的大小关系为 ( ) A. B. C. D. 初三数学 第1页 共9页 学科网（北京）股份有限公司 【解析】根据抛物线对称轴公式，得到对称轴为，根据a>0,，函数开口向上. 【答案】B. 题7 根据统计数据显示，我国某民营科技公司近三年的收入逐年增加．2022年至2024年该公司收入由6423亿元增加到8621亿元．设该公司2022年至2024年收入的年平均增长率为x，则可列方程为 ( ) A.6423(1+2x)=8621 B.6423×2(1+x)=8621 C. D. 【答案】C. 题8二次函数其中a,b,c为常数，且a≠0)的图象如图所示，对称轴是直线x=1，下列结论：①②3a+b<0;③④为实数）.其中，正确的个数为（(】 A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 （第8题图） 【解析】解：由图像可得①正确 由对称轴，得2a+b=0,又a<0,得3a+b<0,②正确 由图像得当x=1,y>0,，即a+b+c>0,当x=-1,y>0,即a-b+c>0, ③正确 由图像x=1时为最大值，即即为实数），④正确 【答案】D 题9数据20,20,30,40,50的中位数是＿． 【答案】30 题10二次函数的图象与y轴的交点坐标是 . 【答案】（0,2)． 题11甲、乙两位同学参加学校组织的射击选拔赛，每人射击10次，射击成绩的平均数都是9环方差分别是，，则这10次射击成绩较稳定的是＿（填“甲”或“乙”） , .乙的射击成绩较稳定， 【答案】乙 题12设是一元二次方程的两个根，则 【解析是一元二次方程的两个根， 【答案】-3． 初三数学 第2页 共9页 学科网（北京）股份有限公司 题13为了丰富学生的午餐种类，某校食堂销售三种午餐盒饭，且三种午餐盒饭的有关数据如图所示，则该食堂销售午餐盒饭的平均价格为 元. （第13题图） 【解析】14×35%+10×25%+12×40%=12.2(元) 【答案】12.2． 题14在平面直角坐标系中，将二次函数的图象沿x轴翻折，所得抛物线相应的函数表达式为 【解析】方法1：原函数关于x轴翻折，即将原函数的y变换为-y，可得翻折后函数表达式为：化简得： 方法2：设翻折后函数表达式为： ·原函数顶点为(0,-4) ：．关于x轴翻折后新函数顶点为（0,4） .⋅h=0,k=4 关于x轴翻折，抛物线开口大小不变，方向相反 ∴|a|=|1|且1·a<0 ∴a=-1 .翻折后函数表达式为： 【答案】 题15二次函数其中a,b,c为常数，且a≠0)的图象过点A(-1,20),B(1,m),,C(5,m),,D （6,13)，其中m为常数，则的方程的解为 【解析】·点B、C纵坐标相等 ：对称轴为直线x=3 的另外一解为x=0 【答案】0或6． 题 16如图1，在矩形ABCD中，点E是AD边的中点，点F是AB边上的一个动点，连接EF，作FGIFE，交BC于点G，设AF=x,BF+BG=y．图2是点F从点A运动到点B的过程中，y关于x的函数图象．当x=2.5时，y的值最大，最大值是a，则a的值是 ． （第16题图） 【解析】解：·抛物线与y轴交点为（0,8） ∴AB=8 ·设AE=m,易证ΔAEFΔBFG 初三数学 第3页 共9页 学科网（北京）股份有限公司 ∴m=3 A B C D A (A,B) (A,C) B (B,A) (B,C) (B,D) C (C,A) (C,B) (C,D) D (D,A) (D,B) (D,C) 配方后 【答案】 题17（本题满分8分） 解方程： 【解析】解：x(x-3)=0 解：(3x+2)(x-1)=0 题18（本题满分5分） 已知关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，求k的取值范围. 【解析】解··方程有两个不相等的实数根 ·Δ>0 则4-4(k-1)>0 ∴k<2 题19（本题满分6分） 苏州的古镇以江南水乡风貌和深厚历史文化闻名，粉墙黛瓦与小桥流水相映成趣.小超同学计划在元旦假期从A：周庄古镇，B：黎里古镇，C：沙溪古镇，D：古里古镇，四个古镇中随机选择部分古镇游玩. （1）小超同学选择C：沙溪古镇游玩的概率是＿； （2）若小超同学从A,B,C,D四个古镇中任选两个去游玩，求选择B,C两个古镇游玩的概率．（用列表或画树状图 的方法说明） 【解析】解： （2）如图所示，一共有12种情况，(B,C）有2次 故选择B,C两个古镇游玩的概率为 题20（本题满分6分） 将二次函数的图象先向左平移2个单位，再向上平移m个单位； （1）若m=3，则所得二次函数图象的函数表达式为 ； （2）若平移后所得二次函数的图象经过点（-4,9)，求平移后所得抛物线的函数表达式． 【解析】解：(1）由题知： （2）由题知：且经过点（-4,9） · ∴m=5 ：.平移后所得抛物线的函数表达式为 题21（本题满分8分） 某校为了解学生暑期锻炼情况，采用简单随机抽样的方法，对本校学生暑假每天在家锻炼的时间（用x表示，单位：分钟）进行了抽样调查，把所得数据分组整理，并绘制成频数分布直方图. 学生每天在家锻炼时间频率分布表 (1)a= ; （2）补全频数分布直方图（画图后标注相应数据）； （3）该校共有600名学生，根据抽样调查的结果，估计该校学生暑期每天在家锻炼的平均时间不低于90分钟的人数. 初三数学 第4页 共9页 学科网（北京）股份有限公司 学生每天在家锻炼时间频率分布表 学生每天在家锻炼时间频数分布直方图 初三数学 第5页 共9页 学科网（北京）股份有限公司 时间x（分钟） 频率 0.1 0.2 0.4 a 0.1 合计 1 初三数学 第5页 共9页 学科网（北京）股份有限公司 【解析】解：(1)a=1-0.1-0.2-0.4-0.1=0.2; （2）时间在30≤x<60的频数为6÷0.1×0.2=12 频数分布直方图，如图所示； （3）不低于90分钟的频率为0.2+0.1=0. ∴600×0.3=180(名) 答：该校学生暑期每天在家锻炼的平均时间不低于90分钟的人数为180名． 题22（本题满分6分） 如图，已知一次函数y=x+1的图象与二次函数的图象交于A,B两点，该二次函数图象的顶点为C，连接AC,BC. （1）求点C的坐标； （2）求ΔABC的面积． 【解析】解：故C(1,-4) （2）过点C作CM//y轴交直AB于M 则，代入直线y=x+1，可得M(1,2) 联立直线与抛物线方程，解得A(-1,0),B(4,5) 题 23（本题满分6分） 如果关于x的一元二次方程其中a,b,c为常数，且a≠0)有两个实数根.且其中一个根等于另一个根的2倍减去1，那么称这样的方程为“倍差方程”．例如，一元二次方程的两个根是3，则方程是“倍差方程”. 初三数学 第5页 共9页 学科网（北京）股份有限公司 （1）根据上述定义，判断方程填“是”或“不是”）“倍差方程”；（图1） （图2） （2）已知关于x的一元二次方程是“倍差方程”，求m的值. 【解析】解： ，故方程是倍差方程 (x-m)(x-5)=0故 ①若，则m=9 ②若，则5=2m-1,m=3 综上所述：m=3或9． 题24（本题满分7分） 某汽车出租公司每辆汽车月租费为3000元时，100辆汽车可以全部租出．若每辆汽车的月租费每增加50元，则将少租出1辆汽车．已知每辆租出的汽车支付月维护费200元． （1）若每月租出90辆汽车时，该出租公司的月收益是多少？ （2）每月租出多少辆汽车时，该出租公司的月收益最大？最大月收益是多少？ 【解析】解：(1）由题意可知，当租出90辆汽车时，每辆车的月租费为3000+50×10=3500元） 月收益为：(3500-200)×90=297000元 （2）设每月租出x辆汽车时收益为y 则y=x[3000+50(100-x)-200]=x(-50x+7800) 当x=78时， 故当每月租出78辆汽车时，收益最大，为304200元 题25（本题满分10分） 综合与实践： 九年级机器人社团围绕“跳跃机器人”开展主题学习活动.现有甲，乙两款跳跃机器人，他们起跳后的运动路线均可看作抛物线．甲，乙分别从水平地面起跳，甲的运动路线的最高点距离地面60cm，起跳点与落地点的距离为240cm；乙的运动路线的最高点距离地面80cm，起跳点与落地点的距离为200cm． 初三数学 第6页 共9页 学科网（北京）股份有限公司 初三数学 第6页 共9页 学科网（北京）股份有限公司 第25题图 【数学建模】 图1，甲的起跳点为O，落地点为F，将甲的运动路线抽象为抛物线，其顶点为E；乙的起跳点也为O，落地点为N，将乙的运动路线抽象为抛物线，其顶点为M，两机器人的运动路线在同一竖直平面内.以O为原点，OF所在直线为x轴，过点O与OF所在水平地面垂直的直线为y轴，建立平面直角坐标系. （1）分别求抛物线的函数表达式； 【问题解决】 2）如图2，水平地面上有个障碍物，其纵切面为矩形ABCD,AB=33cm,BC=55cm点H在边AB左侧，甲，乙分别从点H处起跳．机器人跃过障碍物时，与障碍物表面的点在竖直方向上的距离不少于2cm才能安全通过．（障碍物的纵切面与两机器人的运动路线在同一竖直平面内） 初三数学 第6页 共9页 学科网（北京）股份有限公司 ①若BH=125cm，甲款机器人 安全跃过该障碍物；（横线上填“能”或“不能”）； ②若要使甲，乙两款机器人都能安全跃过该障碍物，设BH=mcm，则m的取值范围为 （结果保留根号）. 【解析】解：(1)C1抛物线过O(0,0),F(240,0)，顶点为E(120,60) 设，解得 抛物线过O(0,0),N(200,0)，顶点为M(100,80) 同理，设，解得 故 （2）①能 BH=125>120，故在障碍物上方机器人处于下落状态，只需评估D点是否能够越过。 当x=125+55=180时，可以通过 ②按照要求，即需要两机器人均满足：当m≤x≤m+55时，y-33≥2恒成立； 令，结合图像与抛物线解析式可知， 令，结合图像与抛物线解析式可知， 25≤x≤175 故 则有： 所以m取值范围为 题26（本题满分10分） 如图，在矩形ABCD中，AB=8cm,,BC=4cm，点P从点A出发沿AB以acm/s的速度向点B移动，直至到达终点B时停止运动；同时，点Q从点C出发沿CD以bcm/s的速度向点D移动，直至到达终点D时停止运动，连接PQ,BQ,BD.设点Q运动的时间为ts. （1）若a=4,b=2. ①当时，则PQ= cm: ②当，求t的值； （2）若b=1，在P,Q两点运动过程中，当ΔPBQ是以BQ为一腰的等腰三角形，且PQLBD时，求a的值. 【解析】解：(1）①由题意可知AP=4t,CQ=2t 当时，AP=2,CQ=1 ∵AB=8,AD=4,四边形ABCD是矩形 ②由①可知 ·当P到达B点时 .CQ=2t=6解得t=3 则或3时， （2）如图过点Q做QHLAB于点H ∵QH⊥AB,PQ⊥BD ∴ΔPQH∽ΔDBA （第26题图） 初三数学 第7页 共9页 学科网（北京）股份有限公司 ∴at+t=6 ...·ΔPBQ为等腰三角形 ：可分为以下三种情况讨论 ①，解得t=3,a=1 ②QB=QP,2t=8-at,解得t=2,a=2 所以综上所述a=1或2． 题27（本题满分10分） 如图，二次函数其中m,n为常数，且m≠0)的图象与x轴交于A,B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，且点A的坐标为(-1,0)，点C的坐标为（0,4)．点M是x轴上方抛物线上的一点，连接AC，BM．点D(0,3）是y轴上的点，连接AD （1）求该抛物线的表达式： （2）①若∠MBA=∠DAB，求点M的坐标； ②若∠MBC=∠ACO,，则点M的坐标为 . 【解析】解：(1)过点A(-1,0),C(0,4) 解得 则该抛物线的表达式为 （2）①过点M作MNLx轴 ∵∠MBA=∠DAB,∠MNB=∠DOA ∴ΔMNB∼ΔDOA 设 ·，解得t=2 ．点M的坐标为（2,6） ②由题可知C(0,4),OC=4. 过D点作BC垂线交BM延长线于H点。过H点作y轴垂线交于P点 .∠HCB=∠AOC,且∠MBC=∠ACO..故ΔAOC∼ΔBCH ，故 因 ∴ΔBOC∼ΔCPH 可得PH=1,PC=1 故点坐标为（1,5） 设BH1得解析式为y=cx+d,把H点，B点代入联立可得解得 :BH1得解析式为 将BH1直线与抛物线的交点，联立可得 初三数学 第8页 共9页 学科网（北京）股份有限公司 (3x-2)(x-4)=0 把代入抛物线可得 点H1关于点C的对称点的坐标为（-1,3） 则直线BH2为 将BH2直线与抛物线的交点，联立可得 故为 综上所述：点M的坐标为（ 初三数学 第9页 共9页 学科网（北京）股份有限公司 $