全国初中数学七年级竞赛模拟卷（二）七年级全国通用

全国初中数学七年级竞赛模拟卷（二） 一、单选题（共6小题，满分30分，每小题5分） 1．不等式的整数解是1、2、3、4，则a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 2．已知，则（   ） A．1 B．2021 C． D． 3．小明把这个月的工资都用来买了一支股票．第一天该股票价格上涨，第二天下跌，第三天上涨，第四天下跌，此时他的股票价值刚好4000元，则小明这个月的工资是（   ）元． A．3000 B．4000 C．5000 D．6000 4．已知实数x、y、z满足，则分式的值为（   ） A． B．0 C．1 D．2 E． 5．若是1到6这六个自然数的一个排序，则的最大值是（    ） A．14 B．16 C．18 D．20 6．若a，b，c都是负数，并且，则a、b、c中（    ） A．a最大 B．b最大 C．c最大 D．c最小 二、填空题（共6小题，满分30分，每小题5分） 7．若，，则代数式的值为 ． 8．观察下列等式（式子中的“！”是一种数学运算符号），，；计算： ． 9．的值为 ．{其中[x]表示不超过x的最大整数} 10．已知，过点作射线平分，且使关于的方程有无数多个解，则 ． 11．计算： 12．如图所示，已知长方形的长，内有边长相等的小正方形和小正方形，其重叠部分为长方形，设小正方形边长为a，则的长为 （用a的代数式表示），若长方形的宽，长方形的周长为8，则图中阴影部分周长和为 ．    三、解答题（共6小题，满分60分） 13．（本题8分）若关于的方程有无数多个解，求实数的值． 14．（本题10分）定义新运算“*”，对于任意有理数，满足， 例如：，． (1)求的值； (2)若，求x的值． 15．（本题10分）阅读材料：规定一种新的运算：，例如：． (1)按照这个规定，请你计算的值． (2)按照这个规定，当时，求x的值． 16．（本题10分）[核心素养]在一次测试中，甲、乙两同学计算同一道整式乘法：，甲由于抄错了第一个多项式中的符号，得到的结果为；乙由于漏抄了第二个多项式中的系数，得到的结果为． (1)试求出式子中a，b的值； (2)请你计算出这道整式乘法的正确结果． 17．（本题10分）如图，若点在数轴上对应的数为，点在数轴上对应的数为，且满足． (1)求线段的长． (2)点在数轴上对应的数为，且是方程的解．若在数轴上存在点，使得，请写出点对应的数． (3)在（1）（2）条件下点、、开始在数轴上运动，若点以每秒1个单位长度的速度向左运动，同时点和点分别以每秒2个单位长度和5个单位长度的速度向右运动．假设秒钟过后，若点和点之间的距离表示为，点与点之间的距离表示为，请问：的值是否随时间的变化而改变？若变化，请说明理由；若不变，请求其常数值．（参考知识：若点在数轴上对应的数分别为，则称为点与点之间的距离） 18．（本题12分）对于整数a，b，定义一种新的运算“”： 当为偶数时，规定； 当为奇数时，规定． (1)当，时，求的值． (2)已知且为整数，，请用含x的代数式表示y． (3)已知，直接写出a的值． 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 全国初中数学七年级竞赛模拟卷（二） 一、单选题（共6小题，满分30分，每小题5分） 1．不等式的整数解是1、2、3、4，则a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了解一元一次不等式组，熟练掌握不等式组的解法是解题关键．先根据整数解均大于0可得，则可得不等式组的解集为，再根据整数解是1、2、3、4可得一个关于的不等式组，解不等式组即可得． 【详解】解：不等式可化为， ∵不等式的整数解是1、2、3、4，整数解均大于0， ∴， ∴， 又∵不等式的整数解是1、2、3、4， ∴， 解不等式①得：， 解不等式②得：， ∴， 故选：C． 2．已知，则（   ） A．1 B．2021 C． D． 【答案】C 【分析】本题考查的是幂的乘方逆运算、积的乘方的逆运算的应用及代数式求值，先得出，进而求出，再整体法代入计算即可． 【详解】解：， ， ， ， ， ， 故选：C． 3．小明把这个月的工资都用来买了一支股票．第一天该股票价格上涨，第二天下跌，第三天上涨，第四天下跌，此时他的股票价值刚好4000元，则小明这个月的工资是（   ）元． A．3000 B．4000 C．5000 D．6000 【答案】B 【分析】本题考查一元一次方程实际应用．根据题意列方程计算即可得到本题答案． 【详解】解：设小明这个月的工资为x元， 根据题意列方程得，， 解得， 故选：B． 4．已知实数x、y、z满足，则分式的值为（   ） A． B．0 C．1 D．2 E． 【答案】B 【分析】本题考查了分式的化简求值，利用已知等式变形，分别得到含、、的等式，整体代入化简求值，解题的关键是掌握分式的性质． 【详解】解：∵实数x、y、z满足， ∴变形等式得：， ∴， 同理可得，， ∴ ， 故选：B． 5．若是1到6这六个自然数的一个排序，则的最大值是（    ） A．14 B．16 C．18 D．20 【答案】C 【分析】本题考查了数轴，绝对值的几何意义，熟练应用数轴将绝对值具象化是解题的关键．画出数轴，依次让，，，，，最大，那么可知，，，，，，从而算得答案． 【详解】解：如图所示：依次让，，，，，最大， 那么 ． 故答案为：18． 6．若a，b，c都是负数，并且，则a、b、c中（    ） A．a最大 B．b最大 C．c最大 D．c最小 【答案】C 【分析】本题考查的是分式的混合运算和不等式的性质，据不等式的性质，在不等式两边同时加上同一个数，不等号的方向不变和分式的加法法则计算即可. 【详解】解：∵, ∴， ∴， 又a、b、c都是负数， ∴， ∴， 故选：C． 二、填空题（共6小题，满分30分，每小题5分） 7．若，，则代数式的值为 ． 【答案】3或 【分析】本题考查绝对值，有理数的除法，根据a和b的符号分类讨论，计算代数式的值即可． 【详解】解：由于且，分四种情况讨论： 当且时，原式； 当且时，原式； 当且时，原式； 当且时，原式． 综上所述，代数式的值为3或． 故答案为：3或． 8．观察下列等式（式子中的“！”是一种数学运算符号），，；计算： ． 【答案】9900 【分析】本题考查有理数的乘除混合运算，根据新定义，得到，计算即可．熟练掌握新定义，是解题的关键． 【详解】解：由题意，； 故答案为：9900． 9．的值为 ．{其中[x]表示不超过x的最大整数} 【答案】588 【分析】本题考查的是有理数的运算.根据题意，总结规律，根据规律解答即可. 【详解】解：由题意可知：①， ②， ，得， 则， ∴， 同理可得：， ……， 则原式， 故答案为：588． 10．已知，过点作射线平分，且使关于的方程有无数多个解，则 ． 【答案】 或 【分析】本题考查了角平分线的定义，准确识别图形，找到角和角之间的和差关系是解决问题的关键． 方程变形为：，根据题意可得：，，解得：，，分两种情况①在内部，②在外部，根据两角比值列方程即可解决． 【详解】解：由， ， 则， ∵此方程有无数多个解， ∴，， 解得：，， ∴； 分两种情况： ①在内部， 如图： ∵， ∴， ∵， ∴， 解得：， ∵平分， ∴， ∴； ②在外部， ∴， ∵， ∴， 解得：， ∵平分， ∴， ∴． 故答案为： 或． 11．计算： 【答案】 【分析】本题主要考查了有理数的混合运算、整式规律等知识点，找出分母的规律，再进一步对算式进行化简是解题的关键． 因为，将算式变为，然后根据分数的基本性质，将分数的分子和分母同时乘2，则算式变为，再计算出括号里面的加法，接着根据乘法分配律，将算式变为，根据，将算式变为，接着将算式化为，然后计算括号里面的减法，最后计算括号外面的乘法即可． 【详解】解： ． 故答案为：． 12．如图所示，已知长方形的长，内有边长相等的小正方形和小正方形，其重叠部分为长方形，设小正方形边长为a，则的长为 （用a的代数式表示），若长方形的宽，长方形的周长为8，则图中阴影部分周长和为 ．    【答案】 / 20 【分析】本题考查了整式加减的应用，一元一次方程的应用．设小正方形的边长为a，可得出和的长，再根据长方形的周长为8，可建立关于a的方程求解，进而可求阴影部分周长． 【详解】解：根据题意得：，， ∵， ∴， ∴； 根据题意得：， ∵， ∴，，， ∴， ∵长方形的周长为8， ∴， 即， ∴， ∴图中阴影部分周长和为 ． 故答案为：；20 三、解答题（共6小题，满分60分） 13．（本题8分）若关于的方程有无数多个解，求实数的值． 【答案】 【分析】本题考查了一元一次方程的解，理解方程无数多个解的条件是解题的关键．首先把关于x的方程化成一般形式，然后根据方程无数多个解的条件列方程组求解． 【详解】由，整理为， ∵方程有无数多个解， ∴， 解得． 14．（本题10分）定义新运算“*”，对于任意有理数，满足， 例如：，． (1)求的值； (2)若，求x的值． 【答案】(1)6071 (2)或 【分析】本题考查有理数的四则混合运算、解一元一次方程，理解题中新运算法则是解答的关键． （1）根据题中运算法则列式，再利用有理数的乘法和加减运算法则计算即可； （2）根据题中运算法则，分和两种情况，分别列方程求解即可． 【详解】（1）解：∵， ∴； （2）解：1）当时，， ①当即时， 由得， 解得； ②当即时， 由得， 解得，舍去； 2）当时，， ①当即时， 由得， 解得； ②当即时， 由得， 解得，舍去； 综上，x的值为或． 15．（本题10分）阅读材料：规定一种新的运算：，例如：． (1)按照这个规定，请你计算的值． (2)按照这个规定，当时，求x的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查解一元一次方程和有理数的混合运算． （1）根据题中给出的例子列式计算即可； （2）根据题中给出的例子列出方程，再解方程即可． 【详解】（1）解： ； （2）解：∵ ∴， 解得：． 16．（本题10分）[核心素养]在一次测试中，甲、乙两同学计算同一道整式乘法：，甲由于抄错了第一个多项式中的符号，得到的结果为；乙由于漏抄了第二个多项式中的系数，得到的结果为． (1)试求出式子中a，b的值； (2)请你计算出这道整式乘法的正确结果． 【答案】(1)， (2) 【分析】本题考查了多项式乘多项式、二元一次方程组的应用等知识点，根据多项式乘多项式的运算法则分别进行计算，求出与的值是解题的关键． （1）根据题意将错就错，分别列出两个等式，整理后根据多项式相等的条件列出关于a、b的二元一次方程，再求出与的值； （2）把a与b的值代入原式，进而确定出正确的算式及结果即可． 【详解】（1）解：由题意，得，， 所以①；② 由②得，代入①得， 所以， 所以， 所以． （2）解：由（1）得． 17．（本题10分）如图，若点在数轴上对应的数为，点在数轴上对应的数为，且满足． (1)求线段的长． (2)点在数轴上对应的数为，且是方程的解．若在数轴上存在点，使得，请写出点对应的数． (3)在（1）（2）条件下点、、开始在数轴上运动，若点以每秒1个单位长度的速度向左运动，同时点和点分别以每秒2个单位长度和5个单位长度的速度向右运动．假设秒钟过后，若点和点之间的距离表示为，点与点之间的距离表示为，请问：的值是否随时间的变化而改变？若变化，请说明理由；若不变，请求其常数值．（参考知识：若点在数轴上对应的数分别为，则称为点与点之间的距离） 【答案】(1)3 (2)或0 (3)不变，常数值为2 【分析】本题考查了非负数的性质、一元一次方程的求解以及数轴上的动点问题，解题的关键是利用非负数的性质求数轴上点的坐标，熟练求解一元一次方程，并结合数轴上两点间距离公式分析动点问题． （1）利用非负数的性质求出、的值，再根据数轴上两点间距离公式计算的长； （2）先解一元一次方程得点对应的数，再设点对应的数为，根据结合距离公式列方程，分情况讨论求解； （3）用含的式子表示秒后、、对应的数，再根据距离公式求、，进而判断是否随变化． 【详解】（1）解：根据非负数的性质，得， 解得； ∴线段的长为； （2）解：由得， 设点对应的数为，由得：， ∴或0； （3）解：． ∵， ∴ 因此，的值不随时间的变化而改变，常数值为2． 18．（本题12分）对于整数a，b，定义一种新的运算“”： 当为偶数时，规定； 当为奇数时，规定． (1)当，时，求的值． (2)已知且为整数，，请用含x的代数式表示y． (3)已知，直接写出a的值． 【答案】(1)10 (2) (3)或15或10 【分析】本题考查新定义运算，化简绝对值，解一元一次方程，注意分情况讨论是解题的关键． （1）先判断是奇数还是偶数，再根据新定义运算； （2）先判断是奇数还是偶数，根据新定义得出 ，结合且为整数，去绝对值，即可求解； （3）先计算 是偶数，再分两种情况：a为负数，a为非负数，分别讨论即可求解． 【详解】（1）解：当，时，，是偶数， ； （2）解：， 且为整数， 为奇数，即是奇数， ， 且为整数， ，， ， ， ， ； （3）解：a是整数， ，是偶数， 是偶数， 分两种情况讨论： 当a为负数时： ， ， 当为负奇数时：为奇数， ， ， 解得，与a为负数矛盾，舍去； 当为负偶数时：为偶数， ， ， 解得，与a为负数矛盾，舍去； 解得； 当a为非负数时： ， ， 当a为非负奇数时：为奇数， ， ， 解得； 当a为非负偶数时：为偶数， ， ， 解得； 综上可知，a的值为或15或10． 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $