精品解析：广东省广州市白云区华赋学校2025～2026学年上学期期中考试九年级数学试卷

2025-2026学年第一学期九年级数学期中调研（问卷） 考试时间：120分钟 满分120分 第一部分 选择题（共30分） 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分，每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合要求的） 1. 我国新能源汽车发展迅猛，下列新能源汽车标志既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 下列关于方程中，属于一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 3. 把方程转化成的形式，则m、n的值是（ ） A. 3、8 B. 3、10 C. 3、3 D. 、10 4. 已知关于x的一元二次方程的常数项为0，则k的值为（　　） A. B. 2 C. 2或 D. 4或 5. 如图，已知圆心角，则圆周角的度数是（ ） A. B. C. D. 6. 如图，是半圆的直径，点在半圆上，若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 7. 如图所示的网格由边长相同的小正方形组成，点在小正方形的顶点上，则的外心是（ ） A 点 B. 点 C. 点 D. 点 8. 如图，周长为三角形纸片，小刚想用剪刀剪出它的内切圆，他先沿着与相切的剪下了一个三角形纸片，已知，则三角形纸片的周长是（　　） A B. C. D. 9. 在同一平面直角坐标系中，一次函数与二次函数的图象可能是（ ） A. B. C. D. 10. 如图，，点是的角平分线上的一点，半径为的经过点，将向左平移，当与射线相切时，平移的距离是（　　） A. B. C. D. 第二部分 非选择题（共90分） 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 11. 若二次函数 过点， 则_____________． 12. 若点和点关于原点成中心对称，则点在第______象限． 13. 将二次函数的图象向右平移2个单位，再向下平移3个单位，得到的函数图象的表达式是___________． 14. 二次函数（，a，b，c为常数）的图象如图，若关于的一元二次方程有实数根，则m的取值范围是______． 15. 在半径为5的圆中，有两条平行弦，已知，，则两条平行弦的距离为______． 16. 在平面直角坐标系内，已知点，点，若抛物线（）与线段有两个不同的交点，则的取值范围是________ 三、解答题（本大题共7小题，满分72分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或计算步骤） 17. 解方程： 18. 已知是二次函数，且当x<0时，y随x的增大而增大． （1）求k的值； （2）直接写出顶点坐标和对称轴． 19. 如图，的顶点都在边长为1的小正方形组成的网格格点上． （1）将向左平移4格，画出平移后的对应； （2）将绕点A顺时针旋转，画出旋转后的对应 20. 如图，D是等边三角形内一点，将线段绕点A顺时针旋转，得到线段，连接，． （1）求证：； （2）连接，若，求的度数． 21. 尺规作图，将图中的破轮子复原，已知弧上三点A，B，C． （1）画出该轮的圆心； （2）若△ABC是等腰三角形，底边BC=16cm，腰AB=10cm，求圆片的半径R． 22. 如图，为的直径，交于点，为上一点，延长交于点，延长至，使，连接． （1）求证：为的切线； （2）若且，求的半径． 23. 如图，在某中学一场篮球赛中，李明在距离篮圈中心（水平距离）处跳起投篮，球出手时离地面，当篮球运行的水平距离为时达到离地面的最大高度．已知篮球在空中的运行路线为一条抛物线，篮圈中心距地面． （1）建立如图所示的平面直角坐标系，求篮球运动路线所在抛物线的函数解析式； （2）场边看球的小丽认为，李明投出的此球不能命中篮圈中心．请通过计算说明小丽判断的正确性； （3）在球出手后，未达到最高点时，被防守队员拦截下来称为盖帽．但球到达最高点后，处于下落过程时，防守队员再出手拦截，属于犯规．在（1）的条件下，防守方球员张亮前来盖帽，已知张亮的最大摸球高度为，则他应该在李明前面多少米范围内跳起拦截才能盖帽成功？ 24. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线过点，与x轴交于点和点B，与y轴交于点C． （1）求抛物线的表达式； （2）点P是直线BC上方抛物线上的一动点，过点P作轴于点D，交BC于点E，求的最大值及此时点P的坐标； （3）在（2）中取得最大值时，将该抛物线沿射线AC方向平移个单位长度，点P的对应点为点N，点Q为平移后的抛物线的对称轴上一点，在平面内确定一点H，使得以点P，N，Q，H为顶点的四边形是菱形，且线段PN是菱形的一条边，请直接写出所有符合条件的点H的坐标． 25. （1）如图（1），I为内一点，延长线交的外接圆于点D．若，求证：I为的内心； （2）如图（2），的半径长为5，弦，动点A在优弧上（不与B、C重合），I是的内心． ①点I到上某点的距离始终不变，请用无刻度的直尺找出该点，并说明理由； ②求的最大值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年第一学期九年级数学期中调研（问卷） 考试时间：120分钟 满分120分 第一部分 选择题（共30分） 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分，每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合要求的） 1. 我国新能源汽车发展迅猛，下列新能源汽车标志既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了中心对称图形与轴对称图形的识别．解题的关键在于熟练掌握：在平面内，把一个图形绕着某个点旋转，如果旋转后的图形能与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形；在平面内，一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合的图形叫做轴对称图形． 根据中心对称与轴对称的定义进行判断即可． 【详解】解：A中图形不是中心对称图形，是轴对称图形，故此选项不合题意； B中图形既是中心对称图形，也是轴对称图形，故此选项符合题意； C中图形不是中心对称图形，也不是轴对称图形，故此选项不合题意； D中图形不是中心对称图形，是轴对称图形，故此选项不合题意． 故选：B． 2. 下列关于方程中，属于一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的定义，方程的两边都是整式，只含有一个未知数，并且整理后未知数的最高次数都是2，像这样的方程叫做一元二次方程．对于一元二次方程（），其中a是二次项系数，b是一次项系数，c是常数项． 根据一元二次方程的定义逐项分析即可． 【详解】A. ，未知数的最高次数不是2，不属于一元二次方程，不符合题意； B. ，未知数的最高次数不是2，不属于一元二次方程，不符合题意； C. ，含有两个未知数，不属于一元二次方程，不符合题意； D.，属于一元二次方程，符合题意； 故选：D． 3. 把方程转化成的形式，则m、n的值是（ ） A. 3、8 B. 3、10 C. 3、3 D. 、10 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查配方法解一元二次方程，关键是掌握完全平方公式的应用． 通过配方法将二次方程转化为完全平方形式，比较系数得出m和n的值． 【详解】解：∵ 原方程为 ， 移项得 ， 配方得 ， 即 ， 与 比较， ∴ ，， 故选：D． 4. 已知关于x的一元二次方程的常数项为0，则k的值为（　　） A. B. 2 C. 2或 D. 4或 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程的一般形式，一元二次方程的定义，由一元二次方程的定义可得，由题意又知，联立不等式组，求解可得答案． 【详解】解：根据题意可得： ， 解得． 故选：A． 5. 如图，已知圆心角，则圆周角的度数是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】同弧所对圆心角是圆周角2倍，即． 【详解】解：， ． 故选：． 【点睛】此题主要考查圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半． 6. 如图，是半圆的直径，点在半圆上，若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了圆周角定理，直角三角形的性质，圆内接四边形的性质，由圆周角定理得，即得，再根据圆内接四边形的性质即可求解，掌握以上知识点是解题的关键． 【详解】解：∵是半圆的直径， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 故选：． 7. 如图所示的网格由边长相同的小正方形组成，点在小正方形的顶点上，则的外心是（ ） A. 点 B. 点 C. 点 D. 点 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了三角形的外心的定义，根据三角形三边垂直平分线相交于一点，这一点叫做它的外心，据此解答即可求解，掌握三角形的外心的定义是解题的关键． 【详解】解：如图，连接， 由勾股定理得，，，， ∴， ∴点是的外心， 故选：． 8. 如图，周长为三角形纸片，小刚想用剪刀剪出它的内切圆，他先沿着与相切的剪下了一个三角形纸片，已知，则三角形纸片的周长是（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查三角形的内切圆与内心、切线的性质，设三角形与相切于、、，与相切于，根据切线长定理和三角形的周长公式即可得到结论．，解题的关键是熟练掌握切线的性质． 【详解】解：设三角形与相切于、、，与相切于，如图所示： 由切线长定理可知：，，，，， ，， ，， ， 故选：D． 9. 在同一平面直角坐标系中，一次函数与二次函数的图象可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了一次函数的图象特征和二次函数的图象特征，根据抛物线开口方向，以及对称轴位置，一次函数朝向和与轴的交点位置即可判断、的大小，从而作出判断，即可解题，熟练掌握各知识点是解题的关键． 【详解】解：A、由抛物线可知，，，由直线可知，，，故本选项不符合题意； B、由抛物线可知，，，由直线可知，，，故本选项符合题意； C、由抛物线可知，，，由直线可知，，，故本选项不符合题意； D、由抛物线可知，，，由直线可知，，，故本选项不符合题意； 故选：B． 10. 如图，，点是的角平分线上的一点，半径为的经过点，将向左平移，当与射线相切时，平移的距离是（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了切线的性质、平移的性质、直角三角形的性质、平行线的性质、矩形的判定与性质等知识，设为向左平移后与相切的圆，切点为，连接交于，过作于，于，则即为平移的距离，，，先由直角三角形的性质得，再由矩形的性质得，则，由平行线的性质得，求出，然后由直角三角形的性质即可得出答案，正确作出辅助线是解题的关键． 【详解】解：设为向左平移后与相切的圆，切点为，连接交于，过作于，于，如图所示， 则即为平移的距离，，， ∵，是的平分线， ∴， ∵， ∴， ∵，，， ∴四边形是矩形， ∴， ∴， 由平移的性质得，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，， 即平移的距离为， 故选：． 第二部分 非选择题（共90分） 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 11. 若二次函数 过点， 则_____________． 【答案】2 【解析】 【分析】本题考查待定系数法求二次函数解析式，熟知函数图象上的点一定满足函数解析式是解题的关键． 将点代入二次函数的解析式即可得出a的值． 【详解】解：将点代入二次函数得：， ∴， 故答案为：2． 12. 若点和点关于原点成中心对称，则点在第______象限． 【答案】二 【解析】 【分析】本题考查关于原点对称的点的坐标特征，各象限点坐标的特征，掌握相关知识是解决问题的关键．关于原点对称的点横纵坐标互为相反数，求出a和b的值，再判断点P所在的象限． 【详解】解：∵点和点 关于原点对称， ∴，， ∴ 在第二象限． 故答案为：二． 13. 将二次函数的图象向右平移2个单位，再向下平移3个单位，得到的函数图象的表达式是___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查的是二次函数的图象与几何变换，熟知“上加下减，左加右减”的原则是解答此题的关键．据此求解即可． 【详解】解：由题意得，平移后的解析式为：， 故答案为：． 14. 二次函数（，a，b，c为常数）的图象如图，若关于的一元二次方程有实数根，则m的取值范围是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查利用图象法确定一元二次方程根的情况，把方程的解的情况，看成抛物线和直线的交点问题，根据方程有实数根，得到两个图象有交点，进行求解即可． 【详解】解：由图象可知，抛物线的顶点坐标为， 当时，函数有最小值为：， ∵关于的一元二次方程有实数根， ∴抛物线和直线有交点， ∴； 故答案为：． 15. 在半径为5的圆中，有两条平行弦，已知，，则两条平行弦的距离为______． 【答案】1或7 【解析】 【分析】本题考查了垂径定理的知识，此题综合运用了垂径定理和勾股定理，特别注意有时要考虑两种情况．连接、，过点作于，交于，则，根据垂径定理求出，，根据勾股定理求出、，即可得出答案． 【详解】解：连接，．过点作于，交于， 当和在圆心的同侧时，如图所示， ，， ， ，， ，， 根据勾股定理，得 ，， 则． 当和在圆心的两侧时，如图所示， ，， ， ，， ，， 根据勾股定理，得 ，， 则． 故答案为：1或7． 16. 在平面直角坐标系内，已知点，点，若抛物线（）与线段有两个不同的交点，则的取值范围是________ 【答案】1≤a＜或a≤-2． 【解析】 【分析】分a＞0，a＜0两种情况讨论，根据题意列出不等式组，可求a的取值范围． 【详解】设线段AB所在的直线解析式为：y=kx+b ∵点A(-1,0)，点B(1,1)， ∴ 解得， ∴ ∵抛物线y=ax2-x+1（a≠0）与线段AB有两个不同的交点， ∴令=ax2-x+1，则2ax2-3x+1=0 ∴△=9-8a＞0 ∴a＜ ①当a＜0时， 解得：a≤-2 ∴a≤-2 ②当a＞0时， 解得：a≥1 ∴1≤a＜ 综上所述：1≤a＜或a≤-2． 故答案为：1≤a＜或a≤-2． 【点睛】本题考查二次函数图象与系数的关系，一次函数图象上点的坐标特征，二次函数图象点的坐标特征，利用分类讨论思想解决问题是本题的关键． 三、解答题（本大题共7小题，满分72分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或计算步骤） 17. 解方程： 【答案】， 【解析】 【分析】本题主要考查因式分解法解一元二次方程，熟练掌握该知识点是解题关键． 利用因式分解法解一元二次方程即可． 【详解】解： ， 18. 已知是二次函数，且当x<0时，y随x的增大而增大． （1）求k的值； （2）直接写出顶点坐标和对称轴． 【答案】（1）k=-3；（2）顶点坐标（0，0），对称轴是y轴． 【解析】 【分析】（1）根据二次函数的次数是二，可得方程，根据二次函数的性质，可得k+2<0，可得答案； （2）根据二次函数的解析式，可得顶点坐标，对称轴． 【详解】解：（1）由是二次函数，且当x<0时，y随x的增大而增大，得 ， 解得k=-3； （2）由（1）得二次函数的解析式为y=-x2， y=-x2的顶点坐标是（0，0），对称轴是y轴． 【点睛】本题考查了二次函数的定义以及二次函数的性质，利用二次函数的定义得出方程是解题关键． 19. 如图，的顶点都在边长为1的小正方形组成的网格格点上． （1）将向左平移4格，画出平移后的对应； （2）将绕点A顺时针旋转，画出旋转后的对应 【答案】（1）见解析 （2）见解析 【解析】 【分析】本题考查作图平移变换、旋转变换，熟练掌握平移、旋转的性质是解答本题的关键． （1）将三个顶点向左平移4格得到其对应点，再首尾顺次连接即可； （2）将点B，C绕点A顺时针旋转得到点，，再首尾顺次连接即可． 【小问1详解】 解：如图所示，即为所求； 【小问2详解】 解：如图所示，即为所求； 20. 如图，D是等边三角形内一点，将线段绕点A顺时针旋转，得到线段，连接，． （1）求证：； （2）连接，若，求的度数． 【答案】（1）详见解析 （2） 【解析】 【分析】本题考查了等边三角形判定与的性质，旋转的性质，全等三角形的判定与性质等知识，解题的关键是： （1）根据等边三角形的性质，旋转的性质，可得出，然后根据证明即可； （2）证明是等边三角形，得出，根据全等三角形的性质得出，最后根据角的和差求解即可． 【小问1详解】 证明：∵是等边三角形， ∴，， 由旋转得，， ∴， 在和中， ， ∴． 【小问2详解】 解：∵，， ∴是等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴的度数是． 21. 尺规作图，将图中的破轮子复原，已知弧上三点A，B，C． （1）画出该轮的圆心； （2）若△ABC是等腰三角形，底边BC=16cm，腰AB=10cm，求圆片的半径R． 【答案】（1）如图所示见解析；（2）圆片的半径R为cm． 【解析】 【分析】（1）根据垂径定理，分别作弦AB和AC的垂直平分线交点即为所求； （2）连接AO，OB，利用垂径定理和勾股定理可求出圆片的半径R． 【详解】（1）如图所示：分别作弦AB和AC的垂直平分线，交点O即为所求的圆心； （2）连接AO，OB， ∵BC=16cm，∴BD=8cm，∵AB=10cm，∴AD=6cm， 设圆片的半径为R，在Rt△BOD中，OD=（R-6）cm， ∴R2=82+（R-6）2， 解得：R=cm， ∴圆片的半径R为cm． 【点睛】本题主要考查了垂径定理的推论，我们可以把垂径定理的题设和结论这样叙述：一条直线①过圆心，②垂直于弦，③平分弦，④平分优弧，⑤平分劣弧．在应用垂径定理解题时，只要具备上述5条中任意2条，则其他3条成立． 22. 如图，为的直径，交于点，为上一点，延长交于点，延长至，使，连接． （1）求证：为的切线； （2）若且，求的半径． 【答案】（1）详见解析 （2） 【解析】 【分析】本题考查了切线的判定与性质，勾股定理，熟记切线的判定定理是解题的关键． （1）连接，根据等边对等角结合对顶角相等即可推出结论； （2）设的半径，则，，在中，由勾股定理得得出方程求解即可． 【小问1详解】 证明：如图，连接， ， ， ， ， ，， ， 即， ， 是半径， 为的切线； 【小问2详解】 解：设的半径，则， ， 在中，由勾股定理得， ∴， 解得，或舍去， 的半径为． 23. 如图，在某中学的一场篮球赛中，李明在距离篮圈中心（水平距离）处跳起投篮，球出手时离地面，当篮球运行的水平距离为时达到离地面的最大高度．已知篮球在空中的运行路线为一条抛物线，篮圈中心距地面． （1）建立如图所示的平面直角坐标系，求篮球运动路线所在抛物线的函数解析式； （2）场边看球的小丽认为，李明投出的此球不能命中篮圈中心．请通过计算说明小丽判断的正确性； （3）在球出手后，未达到最高点时，被防守队员拦截下来称为盖帽．但球到达最高点后，处于下落过程时，防守队员再出手拦截，属于犯规．在（1）条件下，防守方球员张亮前来盖帽，已知张亮的最大摸球高度为，则他应该在李明前面多少米范围内跳起拦截才能盖帽成功？ 【答案】（1） （2）小丽的判断是正确的，计算过程见解析 （3）张亮应在李明前面1米范围内处跳起拦截才能盖帽成功 【解析】 【分析】（1）由题意可知，抛物线的顶点坐标为，球出手时的坐标为，设抛物线的解析式为，由待定系数法求解即可； （2）求得当时的函数值，与比较即可说明小丽判断的正确性； （3）将代入函数的解析式求得x的值，进而得出答案． 【小问1详解】 抛物线顶点坐标为， 设抛物线的解析式为． 把代入，得． ； 【小问2详解】 把代入抛物线解析式 得． ， 此球不能投中，小丽的判断是正确的． 【小问3详解】 当时，， 解之，得或． ，． 答：张亮应在李明前面1米范围内处跳起拦截才能盖帽成功． 【点睛】本题考查了二次函数在实际问题中的应用，数形结合并熟练掌握二次函数的性质是解题的关键． 24. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线过点，与x轴交于点和点B，与y轴交于点C． （1）求抛物线表达式； （2）点P是直线BC上方抛物线上的一动点，过点P作轴于点D，交BC于点E，求的最大值及此时点P的坐标； （3）在（2）中取得最大值时，将该抛物线沿射线AC方向平移个单位长度，点P的对应点为点N，点Q为平移后的抛物线的对称轴上一点，在平面内确定一点H，使得以点P，N，Q，H为顶点的四边形是菱形，且线段PN是菱形的一条边，请直接写出所有符合条件的点H的坐标． 【答案】（1） （2）最大值为，此时点的坐标为 （3）点的坐标为或或或 【解析】 【分析】（1）把，代入，求出和的值，即可得到抛物线的解析式； （2）设，，，证明是等腰直角三角形，得到，利用二次函数的增减性解决最值问题； （3）分四边形是菱形与四边形是菱形两种情况，求出点的坐标后根据菱形的性质求出点的坐标． 【小问1详解】 解：把，代入， 得，解得， 抛物线的表达式为； 【小问2详解】 把代入，得， 点的坐标为， 把代入，得， 解得(点的横坐标，舍去)，， 点的坐标为， 设直线的解析式为，代入，得：， 解得： ∴直线的解析式为， 设，，， ，， ，， ， ， 是等腰直角三角形， ， ， 当时，最大值为， 此时点的坐标为； 【小问3详解】 抛物线整理得， ，， ， 由抛物线沿射线方向平移个单位长度，得点的对应点为点， 则抛物线向右平移1个单位长度，向上平移3个单位长度， 得点的坐标为， 设，， ①若四边形是菱形，则， ，， ， 解得， 点的坐标为或， 四边形是菱形， ，且， 点向右平移1个单位长度，向上平移3个单位长度得到点， 点向右平移1个单位长度，向上平移3个单位长度得到点， 点的坐标为或； ②若四边形是菱形，则， ，， ， 解得， 点的坐标为或， 由①得点向左平移1个单位长度，向下平移3个单位长度得到点， 点的坐标为或， 综上所示，点的坐标为或或或． 【点睛】本题考查待定系数法求函数解析式，一次函数与二次函数综合，利用二次函数性质求最值，平移的性质，菱形的判定与性质等知识点，本题的关键在于利用分类讨论思想解决问题． 25. （1）如图（1），I为内一点，的延长线交的外接圆于点D．若，求证：I为的内心； （2）如图（2），的半径长为5，弦，动点A在优弧上（不与B、C重合），I是的内心． ①点I到上某点的距离始终不变，请用无刻度的直尺找出该点，并说明理由； ②求的最大值． 【答案】（1）证明见解析；（2）①见解析；② 【解析】 【分析】（1）连接，由，可知，得到，从而推出平分，然后由，可知，通过三角形的外角可推出平分，得证． （2）①作的延长线交于点，连接，，根据三角形内心的性质和同弧所对的圆周角相等，可推出，再由三角形外角的可推出，结合，从而推出，即，可得点为所求； ②由①可知，从而推出当为的直径时，取得最大值，设交于点，连接，根据三角形内心的性质和垂径定理推论可得，，然后利用勾股定理先求得，即可得到，从而求得的最大值． 【详解】解：（1）证明：连接，如图， ， ， ， 平分， ， 是的一个外角， ， ， ，， ， 平分， 为的内心． （2）①作的延长线交于点，连接，，如图， 是的内心， ，， ，点为中点， 又和为所对的圆周角， ， ， 是的一个外角， ， ， ， ， ∴是一个定值， 故延长交于点，点即为所求，如图： ②如①图，，， ， 当取最大值时，取得最大值， 当为直径时，取得最大值，如下图所示， 设交于点，连接， 是的内心， ， ， 是的直径， ，， ， 的半径长为，， ，，， ， ， ， ， ∴的最大值为． 【点睛】本题考查了三角形内心的性质，同弧或等弧所对的圆周角相等，垂径定理的推论，等腰三角形的判定，三角形外角的性质，勾股定理，熟练掌握以上知识点并构造出合适的辅助线是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $