第六单元 数学百花园（知识清单）数学北京版五年级上册

第六单元 数学百花园 单元知识清单讲义 知识点一：密铺问题 1、密铺。 用一种或几种形状、大小完全相同的图形进行拼接，使得图形与图形之间既不留空隙、也不重叠，这种铺满平面的方法叫做密铺，也叫平面图形的镶嵌。 2、关键条件。 不留空隙：图形与图形之间没有空白区域。 不重叠：图形与图形之间不能叠在一起。 密铺的核心原理 3、图形能否密铺，关键在于围绕一点拼在一起的几个图形的内角能否拼成一个周角（360°）。 因为在一个顶点周围，各个图形的角汇聚在一起。如果这些角的度数之和正好是360°，那么这个点就能被完美地铺满，没有空隙也不重叠。再将这个模式向四周延伸，就能铺满整个平面。 4、通过动手操作，发现能密铺的图形有等边三角形、长方形、等腰梯形、正六边形，不能密铺的图形有圆、正五边形和正八边形。 知识点二：鸡兔同笼问题 1、经典问题。 “今有雉兔同笼，上有三十五头，下有九十四足。问雉兔各几何？”— 出自《孙子算经》。 翻译：有若干只鸡和兔子在同一个笼子里，从上面数有35个头，从下面数有94只脚。问鸡和兔各有多少只？ 2、问题模型。 已知：鸡和兔子的总头数（即总只数）、总脚数。 未知：鸡的只数、兔子的只数。 隐含条件：每只鸡有2只脚，每只兔子有4只脚。 3、解决鸡兔同笼的方法。 方法一：列表尝试法（枚举法） 优点：方法简单直观，容易理解。 缺点：如果总头数很大，尝试过程会非常繁琐。 适用：总头数较小的情况。 方法二：假设法（最常用、最重要的方法） 这是解决此类问题的核心思想，有两种假设思路。 思路一：假设全是鸡（“砍足法”） 步骤： 假设：笼子里所有的动物都是鸡。 推理：那么总脚数应该是 总头数 × 2。 比较：计算假设下的总脚数比实际总脚数少了多少只。脚数差 = 实际总脚数 - 假设总脚数。 置换：为什么脚会少？因为我们把兔子也当成了鸡（每只兔子少算了2只脚）。每将1只鸡置换为1只兔子，总脚数就会增加 (4-2) = 2只。 求解：用总的脚数差除以每置换一次增加的脚数，就得到了需要置换出多少只兔子，也就是兔子的实际只数。兔的只数 = 脚数差 ÷ 2。 求鸡：鸡的只数 = 总头数 - 兔的只数。 思路二：假设全是兔（“抬腿法”） 步骤： 假设：笼子里所有的动物都是兔子。 推理：那么总脚数应该是 总头数 × 4。 比较：计算假设下的总脚数比实际总脚数多了多少只。脚数差 = 假设总脚数 - 实际总脚数。 置换：为什么脚会多？因为我们把鸡也当成了兔子（每只鸡多算了2只脚）。每将1只兔子置换为1只鸡，总脚数就会减少 (4-2) = 2只。 求解：用总的脚数差除以每置换一次减少的脚数，就得到了需要置换出多少只鸡，也就是鸡的实际只数。鸡的只数 = 脚数差 ÷ 2。 求兔：兔的只数 = 总头数 - 鸡的只数。 方法三：方程（为初中学习打基础） 步骤： 设兔有 x只，则鸡有 (总头数 - x)只。 根据总脚数列出方程：4x + 2 × (总头数 - x) = 总脚数。 解这个一元一次方程，先求出 x（兔的只数），再求鸡的只数。 题型1：密铺问题 【例1】下面几个图形中，不能单独密铺的是（    ）。 A． B． C． D． 【答案】D 【分析】平面图形能密铺的条件是：围绕一点拼在一起的多边形的内角和加在一起恰好组成一个周角。据此解答。 【解答】A．平行四边形的内角和是360°，可以密铺； B．三角形的内角和是180°，180°×2＝360°，可以密铺； C．正六边形的内角和是（6－2）×180°＝720°，是360°的2倍，可以密铺； D．圆是曲面，不能单独密铺。 故答案为：D 【点评】掌握多边形的内角和以及图形密铺的方法是解题的关键。 【练1】如图所示为正六边形，它可看作是由（ ）或（ ）或者（ ）密铺而成。 【答案】三角形 平行四边形 菱形 【分析】用形状、大小完全相同的平面图形进行拼接，彼此之间不留空隙，不重叠的铺成一片，叫做平面图形的密铺，每个拼接点处，要刚好是360度才可以密铺。 【解答】它可看作是由6个三角形，或者3个平行四边形，或者3个菱形密铺而成。 【点评】本题考查了平面密铺的条件。 【练2】图形的密铺。 （1）经过观察，我们发现组成密铺的图形公共顶点处角的度数和为（ ）°。 （2）能单独进行密铺的图形还有（ ）（ ）等。 【答案】（1）360 （2）梯形 长方形 【分析】几何图形密铺成平面的关键是：围绕一点拼在一起的多边形的内角加在一起恰好组成一个周角，因此，一个多边形的内角和能被整除，这个图形就能密铺，否则不能密铺。 （1）周角为360度，观察三个图片可以发现，组成密铺的图形公共顶点处的角为周角，度数为360°。 （2）密铺是指用形状、大小完全相同的一种或几种平面图形进行拼接，彼此之间不留空隙、不重叠地铺成一片。在密铺中，公共顶点处各个角拼在一起的度数和必须是360度，这样才能保证拼接处没有空隙和重叠。例如：梯形的内角和是：（4－2）×180°＝360°，梯形能密铺；长方形：每个内角是90度，90°×4＝360°，所以4个长方形的内角能在公共顶点处拼成360度，能单独密铺。 【解答】（1）由分析可知，组成密铺的图形公共顶点处角的度数和为360°。 （2）梯形：（4－2）×180° ＝2×180° ＝360° 长方形：90°×4＝360° 所以能单独进行密铺的图形还有梯形、长方形等。（答案不唯一） 题型2：鸡兔同笼问题 【例2】随州市某小学举行奥运知识竞赛，共30道题，每道题都给出4个答案，其中只有一个答案是正确的。每答对一题得4分，答错或者不答每题扣2分。张丽同学最后得分是84分，她答对了多少道题？ 【答案】24道 【分析】假设张丽全部答对，总得分30×4＝120（分），比实际得分多了120－84＝36（分），答对一道题得4分，答错或者不答每题扣2分，所以答对一道题和答错或不答题相差4＋2＝6（分），答错或不答的题目道数等于36÷6＝6（道），题目总数量减去答错或不答的题目数量即可得到答对了多少道题。 【解答】假设张丽全部答对，答错或不答的题目： （30×4－84）÷（4＋2） ＝（120－84）÷（4＋2） ＝36÷6 ＝6（道） 答对题目：30－6＝24（道） 答：她答对了24道题。 【练3】《孙子算经》卷下31——今有雉、兔同笼，上有三十五头，下有九十四足。问：雉、兔各几何？ 译释：鸡兔同笼，从上看一共有35个头，从下看一共有94只脚，鸡、兔各有多少只？ 解答： 【答案】鸡有23只；兔有12只 【分析】假设笼子里全是鸡，那么应该有（35×2）只脚，但实际有94只脚，比实际少了（94－35×2）只脚；然后根据一只兔比一只鸡多2只脚，用比实际少的脚数除以2就可以求出兔的只数，最后用35减去兔的只数就是鸡的只数。 【解答】兔有：（94－35×2）÷（4－2） ＝（94－70）÷（4－2） ＝24÷2 ＝12（只） 鸡有：35－12＝23（只） 答：鸡有23只，兔有12只。 【点评】本题考查了鸡兔同笼问题，可以用假设法解决，也可以用方程解决问题。 【练4】某农庄饲养了一些小动物。 ①鹅有118只，鸭子的只数比鹅的2倍少70只，鸭子有多少只？ ②把若干只鸡和兔放在一个笼子里。从上面数，有11个头，从下面数，有36只脚，鸡有几只？兔有几只？ （用你喜欢的方式解答，如写算式、列表或画图等） 【答案】①166只 ②鸡有4只；兔子有7只 【分析】①用鹅的只数乘2再减70就是鸭子的只数。 ②我用假设法，假设笼子里全部都是鸡，然后按照鸡兔同笼问题的解答方法解答即可。 【解答】①118×2－70 ＝236－70 ＝166（只） 答：鸭子有166只。 ②假设笼子里全部都是鸡。 11×2＝22（只） 36－22＝14（只） 4－2＝2（只） 14÷2＝7（只） 11－7＝4（只） 答：笼子里有4只鸡，7只兔子。 【点评】此题考查的是应用题的计算，熟练掌握鸡兔同笼问题的计算是解答此题的关键。 一、选择题 1．大、小货车共25辆，刚好可以运完173吨货物。大货车每车运9吨，小货车每车运5吨。问：大、小两种货车各有多少辆？如果设小货车有x辆，那么下列方程正确的是（    ）。 A． B． C． D． 【答案】C 【分析】设小货车有x辆。因为大、小货车共25辆，所以大货车有（25－x）辆。用大、小货车各自车辆数乘每辆车可以运多少吨货物，再相加，等于总的运货数173吨，列出方程即可。 【解答】设小货车有x辆，则大货车有（25－x）辆。 因为大货车每车运9吨，小货车每车运5吨，所以大货车共运（25－x）×9吨，小货车共运5x吨，所以共运（25－x）×9＋5x＝173。 故答案为：C 2．（    ）是密铺图案。 A． B． C． D． 【答案】B 【分析】密铺，即平面图形的镶嵌，指用形状、大小完全相同的几种或几十种平面图形进行拼接，使彼此之间不留空隙、不重叠地铺成一片。据此即可作出选择。 【解答】 由密铺的特点不留空隙和不重叠可知，是密铺图案。 故答案为：B 【点评】关键是掌握密铺的特点，即不留空隙，不重叠。 3．在知识竞赛中，答对一题得10分，答错一题倒扣4分，明明回答了15道题，得了94分。明明答对了（    ）道题。 A．11 B．10 C．9 【答案】A 【分析】假设明明15道题全部答对，每答对一题得10分，那么他应得的分数为：15×10＝150（分），实际明明只得了94分，所以实际得分与假设全部答对的得分差为：150－94＝56（分）。每答错一题，不但得不到10分，还要倒扣4分，也就是答错一题会少得：10＋4＝14（分），那么答错的题目数量为：56÷14＝4（道）。题目总数是15道，答错了4道，所以答对的题目数量为：15－4＝11（道）。 【解答】15×10－94 ＝150－94 ＝56（分） 15－56÷（10＋4） ＝15－56÷14 ＝15－4 ＝11（道） 即明明答对了11道题。 故答案为：A 4．瓷砖厂最新出品了4款瓷砖，可以单独密铺的有（    ）。 A．①②③ B．①②④ C．②③④ D．①③④ 【答案】B 【分析】几何图形密铺成平面的关键是：围绕一点拼在一起的多边形的内角加在一起恰好组成一个周角，因此，一个多边形的内角和能被360°整除，这个图形就能密铺，否则，不能密铺，据此解答即可。 【解答】根据多边形内角和（n－2）×180°。 ①三角形内角和是： （3－2）×180° ＝1×180° ＝180° 则正三角形的内角度数是180°÷3＝60° 60°×6＝360° 正三角形能密铺； ②正方形的内角和是： （4－2）×180° ＝2×180° ＝360° 360°÷360°＝1 正方形能密铺； ③五边形的内角和是： （5－2）×180° ＝3×180° ＝540° 540°÷360°＝1……180° 540°不能被360°整除，正五边形不能密铺； ④六边形的内角和是： （6－2）×180° ＝4×180° ＝720° 720°÷360°＝2 正六边形能密铺。 瓷砖厂最新出品了4款瓷砖，可以单独密铺的有①②④。 故答案为：B 5．下面图形中，（    ）不可以单独密铺。 A． B． C． 【答案】C 【分析】看多边形的内角是多少度，用360度除以内角度数，商是整数，就可以密铺，不是就不可以。 【解答】正八边形的一个内角是135度，360度除以它，商不是整数，所以不能密铺。 故答案为：C。 【点评】本题考查密铺，解答本题的关键是掌握密铺的概念。 6．如图：，方格纸上的长方形少了一块，补上下面（    ）方格纸中的图形能使这个长方形完整。 A． B．C． D． 【答案】B 【分析】长方形对边相等，4个角都是直角，据此分析。 【解答】如图：，方格纸上的长方形少了一块，补上中的图形能使这个长方形完整。 故答案为：B 【点评】关键是熟悉长方形的特征，具有一定的空间想象能力。 7．“鸡兔同笼”问题是我国古代的数学名题之一，《孙子算经》中记载的题目是这样的：“今有鸡兔同笼，上有十八头，下有五十六足，问鸡兔各几何？”，同学们，你得出的这个古代名题的结果是（    ）。 A．鸡10只兔12只 B．鸡10只兔8只 C．鸡8只兔10只 D．以上都不正确 【答案】C 【分析】根据题意可知，鸡兔共有十八头，先设兔有x只，则鸡有（18－x）只；已知一只兔有4只脚，一只鸡有2只脚，可得等量关系：兔的只数×4＋鸡的只数×2＝鸡兔的总脚数，据此列出方程，并求解。 【解答】解：设兔有x只，则鸡有（18－x）只。 4x＋2（18－x）＝56 4x＋36－2x＝56 2x＋36＝56 2x＋36－36＝56－36 2x＝20 2x÷2＝20÷2 x＝10 鸡：18－10＝8（只） 故答案为：C 8．校园知识比赛共10道题。做对一道得5分，做错或没做倒扣3分。乐乐一共得了26分，他做对了（    ）道题。 A．5 B．6 C．7 D．8 【答案】C 【分析】做对1道得5分，做错或没做倒扣3分，即做对1道比做错或没做多得（分）。假设乐乐全做对，那么可得（分），这样比实际多出（分），则做错或没做的题有（道），再用总的题数减去做错或没做的题，就可以求出做对的题数。 【解答】5＋3＝8（分） 5×10＝50（分） 50－26＝24（分） 24÷8＝3（道） 10－3＝7（道） 乐乐一共得了26分，他做对了7道题。 故答案为：C 【点评】本题是易错题，考查鸡兔同笼的运用，易错点在没有正确理解倒扣的含义。做对1道得5分，做错或没做倒扣3分，那么做对1道比做错或没做多得（分）。 二、填空题 9．图形的密铺。 （1）经过观察，我们会发现组成密铺的图形公共顶点处角的度数和为（ ）度。 （2）能单独进行密铺的图形还有（ ）（ ）等，不能单独进行密铺的图形还有（ ）等。 【答案】（1）360 （2）等边三角形 长方形 圆 【分析】平面图形密铺的特点：（1）用一种或几种全等图形进行拼接；（2）拼接处不留空隙、不重叠；（3）连续铺成一片，能密铺的图形在一个拼接点处的特点是：几个图形的内角拼接在一起时，其和等于360度，并使相等的边互相重合。 （1）周角为360度，观察三个图片可以发现，组成密铺的图形公共顶点处的角为周角，度数为360度。 （2）密铺是指用形状、大小完全相同的一种或几种平面图形进行拼接，彼此之间不留空隙、不重叠地铺成一片。在密铺中，公共顶点处各个角拼在一起的度数和必须是360度，这样才能保证拼接处没有空隙和重叠。例如：等边三角形：每个内角是60度，因为60°×6＝360°，所以6个等边三角形的内角可以在公共顶点处拼成360度，能单独密铺，长方形：每个内角是90度，90°×4＝360°，所以4个长方形的内角能在公共顶点处拼成 360度，能单独密铺。圆没有角，在拼接时圆与圆之间必然会有空隙，所以不能单独进行密铺。 【解答】（1）由分析可知，组成密铺的图形公共顶点处角的度数和为360度。 （2）由分析可知， 等边三角形：60°×6＝360° 长方形：90°×4＝360° 所以能单独进行密铺的图形还有等边三角形、长方形等，不能单独进行密铺的图形还有圆等。（答案不唯一） 10．第9届亚洲冬季运动会将于2025年2月7日至2月14日在哈尔滨市举行。天天购买了价值88.5元的亚冬会吉祥物“滨滨”，付给售货员100元，找回1元和5角的硬币共14枚，其中1元的硬币有（ ）枚，5角的硬币有（ ）枚。 【答案】9 5 【分析】已知购买了价值88.5元的亚冬会吉祥物“滨滨”，付给售货员100元，那么应找回100－88.5＝11.5元。 已知找回1元和5角的硬币共14枚，假设全是5角（即0.5元）的硬币，应有（14×0.5）元，与实际找回的钱数相差（11.5－14×0.5）元；因为不全是5角的硬币，1元硬币与5角硬币相差（1－0.5）元，用除法求出（11.5－14×0.5）元里有几个（1－0.5）元，就有几枚1元的硬币，再用找回硬币的总枚数减去1元硬币的枚数，即是5角硬币的枚数。注意单位的换算：1元＝10角。 【解答】100－88.5＝11.5（元） 5角＝0.5元 1元的硬币： （11.5－14×0.5）÷（1－0.5） ＝（11.5－7）÷0.5 ＝4.5÷0.5 ＝9（枚） 5角的硬币：14－9＝5（枚） 填空如下： 其中1元的硬币有（9）枚，5角的硬币有（5）枚。 11．端午节是我国的传统节日之一，吃粽子是端午节的一项重要习俗。由下表信息可知，早餐店在端午节卖出A品牌粽子（ ）个，B品牌粽子（ ）个。 【答案】18 12 【分析】用假设法解决，先假设卖出的全是A品牌的粽子，这时卖出的总价比实际多24元。是因为把B品牌的粽子每个多算了2元，24元里面有12个2，所以B品牌有12个，那么A品牌有18个。 【解答】假设卖出的全是A品牌的粽子。 30×5－126 ＝150－126 ＝24（元） B品牌：24÷（5－3） ＝24÷2 ＝12（个） A品牌：30－12＝18（个） 所以，卖出A品牌粽子18个，卖出B品牌粽子12个。 12．妈妈检查小明的家庭作业，规定：小明每做对一道题，妈妈奖给小明3颗星；每做错一道题，小明要退给妈妈2颗星。小明一共做了15道题，得到25颗星，则小明做错了 道题。 【答案】4 【分析】本题属于鸡兔同笼问题，可通过假设法或方程法解决。假设小明全部做对，得到的总星数减去实际星数的差值即为因做错题而减少的星数，每做错一题相当于减少（3＋2）颗星，由此可求出做错的题数。 【解答】假设全部做对：15道题全对可得星数： 15×3＝45（颗） 计算实际与假设的差值： 实际得25颗，差值为： 45−25＝20（颗） 每做错一题减少的星数： 做错一题少得3颗且退2颗，共减少： 3＋2＝5（颗） 求做错题数： 总差值除以每错题减少的星数： 20÷5＝4（道） 小明做错了4道题。 13．螳螂捕蝉，黄雀在后。螳螂和蝉都有6条腿，黄雀有2条腿，它们一共有7个头，34条腿，黄雀有（ ）只。 【答案】2 【分析】假设全是螳螂和蝉，因为螳螂和蝉都有6条腿，如果7个头对应的全是螳螂和蝉，那么腿的总数应该是6×7＝42（条）。但实际腿数是34条，比假设的情况少了42－34＝8（条）腿。这是因为每把一只黄雀当成螳螂或蝉就会多算6－2＝4（条）腿。计算黄雀的数量：总共多算了8条腿，所以求黄雀的数量列式为8÷4，计算即可。 【解答】假设全是螳螂和蝉。 6×7＝42（条） 42－34＝8（条） 6－2＝4（条） 8÷4＝2（只） 螳螂捕蝉，黄雀在后。螳螂和蝉都有6条腿，黄雀有2条腿，它们一共有7个头，34条腿，黄雀有2只。 14．如图所示，一个正方形大厅地面是由大小和形状完全相同的黑色方砖和白色方砖密铺而成，已知每块方砖的边长是2米，那么这个大厅地面的面积是（ ）平方米。 【答案】72 【分析】观察这个大厅地面可知，每两个大的白色三角形可以组成一块完整的白色方砖，四个角上的小的白色三角形可以组成一块完整的白色方砖，再加上中间4块完整的白色方砖，可知一共有9块完整的白色方砖。黑色方砖共9块，可知这个大厅地面的面积等于（9＋9）块方砖的面积。根据正方形的面积＝边长×边长，求出每块方砖的面积，再乘（9＋9），即可求出这个大厅地面的面积。 【解答】2×2×（9＋9） ＝2×2×18 ＝4×18 ＝72（平方米） 这个大厅地面的面积是72平方米。 15．悦悦家计划重新装修客厅，商家提供了四种地砖。如果悦悦家只选择其中一种地砖铺地，她家有几种选择？请在可以选择的地砖旁边的（    ）里画“√”，不能选择的画“×”。 （ ）    （ ）    （ ）    （ ） 【答案】√ √ × √ 【分析】密铺是指用形状、大小完全相同的一种或几种平面图形进行拼接，彼此之间不留空隙、不重叠地铺成一片。判断一种图形能否密铺，关键看围绕一点拼在一起的多边形的内角加在一起是否能组成一个周角360°。 【解答】正方形的四个内角都是直角，直角为90°，4个90°相加为90°×4＝360°，所以正方形可以密铺。正方形地砖可以选择。在旁边的括号里画“√”。 正三角形的每个内角是60°，360°÷60°＝6，即6个正三角形的内角拼在一起能组成360°，可以密铺，在旁边的括号里画“√”。 正五边形的每个内角是108°，360°÷108°＝3……36°，不能整除，这意味着正五边形不能在拼接时彼此之间不留空隙、不重叠地铺成一片，所以正五边形地砖不能选择，在旁边的括号里画“×”。 正六边形的每个内角是120°，360°÷120°＝3，3个正六边形的内角拼在一起能组成360°，可以密铺，在旁边的括号里画“√”。 所以，（√）（√）（×）（√） 16．可以密铺的平面图形有（ ）（写出2个即可）。 【答案】三角形、正方形 【分析】用一种或几种全等图形（规则图形或不规则图形）进行拼接，图形之间没有空隙，也不重叠，这种铺法在数学上叫图形的密铺，也叫图形的镶嵌。在拼接时，同一顶点处多个多边形的内角和是360度的可以密铺；任何弧线图形不能密铺；据此即可解答。 【解答】由分析知，同一顶点处多个多边形的内角和是360度的可以密铺，如三角形、正方形、长方形等。 即可以密铺的平面图形有（三角形、正方形）（写出2个即可）。 （答案不唯一） 三、操作题 17．用六个相同的三角形组成的图案铺设地面。请分别接着往后画一组。 【答案】见详解 【分析】图案1是由6个相同的三角形组成的六边形进行铺设地面的；图案2是由6个相同的三角形组成的小船形状的图形进行铺设地面的；据此往后面用6个三角形组成的图案再画一组即可。 【解答】 18．下图中的六边形是由与涂色部分同样的三角形密铺成的。请把空白部分分一分，使得能看出这些三角形是怎样密铺成六边形的。 【答案】见详解 【分析】观察涂色三角形的形状和六边形的特点，由于六边形的内角和为720°，正六边形每个内角是120°，而该三角形可以通过拼接组成六边形的内角。从六边形的中心出发，连接各个顶点，这样就可以把六边形分割成6个与涂色部分同样的三角形，从而清晰看出密铺方式。 【解答】 四、解答题 19．为创建文明校园，美化校园环境，学校用篱笆围了4个边长为3米的正八边形花坛（如下图），围成这个花坛一共需要篱笆多少米？ 【答案】87米 【分析】根据题意，已知学校用篱笆围了4个边长为3米的正八边形花坛，首先用3乘8，求出一个正八边形的周长，再乘4，就是4个正八边形的周长；多加了3个3米的边，就是3×3＝9（米），所以，再减去9，就是围成这个花坛一共需要篱笆的长度；列式计算即可。 【解答】根据分析可知： 3×8×4－（3×3） ＝24×4－9 ＝96－9 ＝87（米） 答：围成这个花坛一共需要篱笆87米。 20．下面是仅用一种正多边形进行密铺的图案。 你认为仅用正五边形能密铺吗？（能   不能）打“√”。 你发现仅用一种正多边形可以密铺的“奥秘”是：___________________。 【答案】不能；图形拼接后，在每个拼接点处的各个角的和恰好是360°，这样才能没有空隙、不重叠地铺满整个平面。 【分析】图形拼接后，在每个拼接点处的各个角的和恰好是360°，这样才能没有空隙、不重叠地铺满整个平面。据此判断即可。 【解答】正三角形：任意三角形的内角和是180°，6个相同的三角形拼接时，每个顶点处的6个角之和正好是360°，因此可以密铺； 正四边形：任意四边形的内角和是360°，4个相同的四边形拼接时，每个顶点处的4个角之和为360°，所以能密铺； 正六边形：每个内角是120°，3个正六边形拼接时，顶点处的角之和为120°×3＝360°，可密铺。 正五边形：每个内角108°，无法通过整数个108°相加得到360°，由于无法满足“拼接点处角的和为360°，所以不能密铺。 即仅用正五边形不能密铺，所以答案为不能。 我发现仅用一种正多边形可以密铺的“奥秘”是：图形拼接后，在每个拼接点处的各个角的和恰好是360°，这样才能没有空隙、不重叠地铺满整个平面。 21．2024年9月14日，北京有史以来最大规模的中秋国庆彩灯游园会在位于丰台的北京园博园召开。园内一条迎宾路上挂着A、B两款灯笼串，每款都是由大灯笼和小灯笼组合成串（如图所示）。已知大灯笼共有20个，小灯笼共有98个，A、B两款灯笼串各有多少串？ 【答案】A款有9串；B款有11串 【分析】A款有1个大灯笼6个小灯笼，B款有1个大灯笼4个小灯笼，假设园内悬挂的都是A款，则小灯笼应是6×20＝120个，比实际的多22个，那是因为把B款每串的4个小灯笼看成了6个，据此可求出B款有几串，然后再求A款有几串即可解答。 【解答】假设园内悬挂的都是A款，则B款有： （20×6－98）÷（6－4） ＝（120－98）÷2 ＝22÷2 ＝11（串） A款：20－11＝9（串） 答：A款有9串，B款有11串。 22．停车场有小轿车和两轮摩托车共25辆，共有轮子72个，小轿车和两轮摩托车各有几辆？（可以尝试列表解答） 小轿车/辆 两轮摩托车/辆 车轮总数/个 … … … 【答案】 12 13 74 11 14 72 小轿车有11辆，两轮摩托车有14辆。 【分析】小轿车和两轮摩托车共25辆，如果小轿车有12辆，则两轮摩托车有25－12＝13（辆），车轮总数：12×4＋13×2＝74（个），74比72大，轮子多了，所以要减少小轿车的辆数，当小轿车有11辆，则两轮摩托车有：25－11＝14（辆），车轮总数为：11×4＋14×2＝72（辆），据此解答。 【解答】由分析可知： 12 13 74 11 14 72 所以小轿车有11辆，两轮摩托车有14辆。 23．一位茶农用大小两种茶叶罐分装了2100克茶叶，共装了8罐。已知每大罐装300克茶叶，每小罐装200克茶叶。这位茶农装了几大罐茶叶？几小罐茶叶？ 【答案】5大罐茶叶，3小罐茶叶 【分析】假设这位茶农装了大罐茶叶，则装了小罐茶叶。根据数量关系式：每大罐装茶叶的质量×装大罐的数量＋每小罐装茶叶的质量×装小罐的数量＝2100克，列方程并解答出装了多少大罐茶叶，再用8减去装大罐的数量得到装小罐的数量。 【解答】解：设这位茶农装了大罐茶叶，小罐茶叶。 （小罐） 答：这位茶农装了5大罐茶叶，3小罐茶叶。 24．某商店委托搬运站运送300个瓷碗，每个瓷碗的运费是0.15元，如果破损1个，那么不仅没有运费还要扣1.05元，最后结账，搬运站共得运费42.6元，搬运中破损了多少个？ 【答案】2个 【分析】设搬运中破损了个瓷碗。 1. 计算未破损瓷碗的运费： 未破损的瓷碗数量是（）个，每个运费0.15元，所以未破损瓷碗的运费为元。 2. 计算破损瓷碗的扣费： 每破损1个瓷碗扣1.05元，破损个，扣费总额为元。 3. 建立方程并求解： 根据“未破损运费－破损扣费＝最终运费”，基于此，我们可以通过设破损瓷碗的数量为未知数，建立方程来求解。 【解答】解：设搬运中破损了个瓷碗。 答：搬运中破损了2个。 25．和子去鱼店买了以下几种鱼：青花鱼，每条130日元；竹荚鱼，每条170日元；沙丁鱼，每条78日元；秋刀鱼，每条104日元。每种鱼都多于1条，正好花了3600日元，请问：和子买了几条竹荚鱼？（注：100日元约相当于6元人民币） 【答案】12条 【分析】用每条鱼的价格除以13，78÷13＝6，104÷13＝8，130÷13＝10，170÷13＝13……1，可以发现，四种鱼的单价中78、104、130都是13的倍数，只有170除以13的余数是1，也就是说，去掉竹荚鱼以外的其他鱼的总价是13的倍数，每买1条竹荚鱼可余1日元，3600除以13余12，所以，竹荚鱼有12条。 【解答】78÷13＝6 104÷13＝8 130÷13＝10 170÷13＝13……1 去掉竹荚鱼以外的其他鱼的总价是13的倍数，每买1条竹荚鱼可余1日元。 3600÷13＝276（日元）……12（日元） 答：和子买了12条竹荚鱼。 【点评】利用青花鱼、沙丁鱼、秋刀鱼价格均为13的倍数，总花费3600日元，然后用3600除以13所得的余数就是买竹荚鱼数量。 26．小华在学习图形密铺时分别用等边三角形、正方形、正五边形、正六边形进行拼摆，结果如图。 （1）通过观察我发现（    ）、（    ）、（    ）能单独密铺，（    ）不能单独密铺。 （2）请从数学的角度解释你的发现： 【答案】（1）三角形；正方形；正六边形；正五边形 （2）见详解 【分析】（1）密铺，即平面图形的镶嵌，指用形状、大小完全相同的几种或几十种平面图形进行拼接，使彼此之间不留空隙、不重叠地铺成一片；由图即可看出哪此图形能单独密铺，哪些图形不能单独密铺； （2）几何图形密铺成平面的关键是：围绕一点拼在一起的多边形的内角加在一起恰好组成一个周角；通过计算可知：一个多边形的内角之和能被360°整除，这样的多边形能密铺；据此解答。 【解答】根据分析： （1）通过观察我发现等边三角形、正方形、正六边形能单独密铺，正五边形不能单独密铺。 （2）三角形的内角和是180°，360°÷180°＝2，三角形能密铺； 四边形的内角和是360°，360°÷360°＝1，四边形能密铺； 五边形的内角和是540°，540°不能被360°整除，五边形不能密铺； 六边形的内角和是720°，720°÷360°＝2，六边形能密铺； 答：我发现一个多边形的内角之和能被360°整除，这样的多边形能密铺。 【点评】此题考查了密铺的意义、能密铺图形的特征。 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 第六单元 数学百花园 单元知识清单讲义 知识点一：密铺问题 1、密铺。 用一种或几种形状、大小完全相同的图形进行拼接，使得图形与图形之间既不留空隙、也不重叠，这种铺满平面的方法叫做密铺，也叫平面图形的镶嵌。 2、关键条件。 不留空隙：图形与图形之间没有空白区域。 不重叠：图形与图形之间不能叠在一起。 密铺的核心原理 3、图形能否密铺，关键在于围绕一点拼在一起的几个图形的内角能否拼成一个周角（360°）。 因为在一个顶点周围，各个图形的角汇聚在一起。如果这些角的度数之和正好是360°，那么这个点就能被完美地铺满，没有空隙也不重叠。再将这个模式向四周延伸，就能铺满整个平面。 4、通过动手操作，发现能密铺的图形有等边三角形、长方形、等腰梯形、正六边形，不能密铺的图形有圆、正五边形和正八边形。 知识点二：鸡兔同笼问题 1、经典问题。 “今有雉兔同笼，上有三十五头，下有九十四足。问雉兔各几何？”— 出自《孙子算经》。 翻译：有若干只鸡和兔子在同一个笼子里，从上面数有35个头，从下面数有94只脚。问鸡和兔各有多少只？ 2、问题模型。 已知：鸡和兔子的总头数（即总只数）、总脚数。 未知：鸡的只数、兔子的只数。 隐含条件：每只鸡有2只脚，每只兔子有4只脚。 3、解决鸡兔同笼的方法。 方法一：列表尝试法（枚举法） 优点：方法简单直观，容易理解。 缺点：如果总头数很大，尝试过程会非常繁琐。 适用：总头数较小的情况。 方法二：假设法（最常用、最重要的方法） 这是解决此类问题的核心思想，有两种假设思路。 思路一：假设全是鸡（“砍足法”） 步骤： 假设：笼子里所有的动物都是鸡。 推理：那么总脚数应该是 总头数 × 2。 比较：计算假设下的总脚数比实际总脚数少了多少只。脚数差 = 实际总脚数 - 假设总脚数。 置换：为什么脚会少？因为我们把兔子也当成了鸡（每只兔子少算了2只脚）。每将1只鸡置换为1只兔子，总脚数就会增加 (4-2) = 2只。 求解：用总的脚数差除以每置换一次增加的脚数，就得到了需要置换出多少只兔子，也就是兔子的实际只数。兔的只数 = 脚数差 ÷ 2。 求鸡：鸡的只数 = 总头数 - 兔的只数。 思路二：假设全是兔（“抬腿法”） 步骤： 假设：笼子里所有的动物都是兔子。 推理：那么总脚数应该是 总头数 × 4。 比较：计算假设下的总脚数比实际总脚数多了多少只。脚数差 = 假设总脚数 - 实际总脚数。 置换：为什么脚会多？因为我们把鸡也当成了兔子（每只鸡多算了2只脚）。每将1只兔子置换为1只鸡，总脚数就会减少 (4-2) = 2只。 求解：用总的脚数差除以每置换一次减少的脚数，就得到了需要置换出多少只鸡，也就是鸡的实际只数。鸡的只数 = 脚数差 ÷ 2。 求兔：兔的只数 = 总头数 - 鸡的只数。 方法三：方程（为初中学习打基础） 步骤： 设兔有 x只，则鸡有 (总头数 - x)只。 根据总脚数列出方程：4x + 2 × (总头数 - x) = 总脚数。 解这个一元一次方程，先求出 x（兔的只数），再求鸡的只数。 题型1：密铺问题 【例1】下面几个图形中，不能单独密铺的是（    ）。 A． B． C． D． 【练1】如图所示为正六边形，它可看作是由（ ）或（ ）或者（ ）密铺而成。 【练2】图形的密铺。 （1）经过观察，我们发现组成密铺的图形公共顶点处角的度数和为（ ）°。 （2）能单独进行密铺的图形还有（ ）（ ）等。 题型2：鸡兔同笼问题 【例2】随州市某小学举行奥运知识竞赛，共30道题，每道题都给出4个答案，其中只有一个答案是正确的。每答对一题得4分，答错或者不答每题扣2分。张丽同学最后得分是84分，她答对了多少道题？ 【练3】《孙子算经》卷下31——今有雉、兔同笼，上有三十五头，下有九十四足。问：雉、兔各几何？ 译释：鸡兔同笼，从上看一共有35个头，从下看一共有94只脚，鸡、兔各有多少只？ 解答： 【练4】某农庄饲养了一些小动物。 ①鹅有118只，鸭子的只数比鹅的2倍少70只，鸭子有多少只？ ②把若干只鸡和兔放在一个笼子里。从上面数，有11个头，从下面数，有36只脚，鸡有几只？兔有几只？ （用你喜欢的方式解答，如写算式、列表或画图等） 一、选择题 1．大、小货车共25辆，刚好可以运完173吨货物。大货车每车运9吨，小货车每车运5吨。问：大、小两种货车各有多少辆？如果设小货车有x辆，那么下列方程正确的是（    ）。 A． B． C． D． 2．（    ）是密铺图案。 A． B． C． D． 3．在知识竞赛中，答对一题得10分，答错一题倒扣4分，明明回答了15道题，得了94分。明明答对了（    ）道题。 A．11 B．10 C．9 4．瓷砖厂最新出品了4款瓷砖，可以单独密铺的有（    ）。 A．①②③ B．①②④ C．②③④ D．①③④ 5．下面图形中，（    ）不可以单独密铺。 A． B． C． 6．如图：，方格纸上的长方形少了一块，补上下面（    ）方格纸中的图形能使这个长方形完整。 A． B．C． D． 7．“鸡兔同笼”问题是我国古代的数学名题之一，《孙子算经》中记载的题目是这样的：“今有鸡兔同笼，上有十八头，下有五十六足，问鸡兔各几何？”，同学们，你得出的这个古代名题的结果是（    ）。 A．鸡10只兔12只 B．鸡10只兔8只 C．鸡8只兔10只 D．以上都不正确 8．校园知识比赛共10道题。做对一道得5分，做错或没做倒扣3分。乐乐一共得了26分，他做对了（    ）道题。 A．5 B．6 C．7 D．8 二、填空题 9．图形的密铺。 （1）经过观察，我们会发现组成密铺的图形公共顶点处角的度数和为（ ）度。 （2）能单独进行密铺的图形还有（ ）（ ）等，不能单独进行密铺的图形还有（ ）等。 10．第9届亚洲冬季运动会将于2025年2月7日至2月14日在哈尔滨市举行。天天购买了价值88.5元的亚冬会吉祥物“滨滨”，付给售货员100元，找回1元和5角的硬币共14枚，其中1元的硬币有（ ）枚，5角的硬币有（ ）枚。 11．端午节是我国的传统节日之一，吃粽子是端午节的一项重要习俗。由下表信息可知，早餐店在端午节卖出A品牌粽子（ ）个，B品牌粽子（ ）个。 12．妈妈检查小明的家庭作业，规定：小明每做对一道题，妈妈奖给小明3颗星；每做错一道题，小明要退给妈妈2颗星。小明一共做了15道题，得到25颗星，则小明做错了 道题。 13．螳螂捕蝉，黄雀在后。螳螂和蝉都有6条腿，黄雀有2条腿，它们一共有7个头，34条腿，黄雀有（ ）只。 14．如图所示，一个正方形大厅地面是由大小和形状完全相同的黑色方砖和白色方砖密铺而成，已知每块方砖的边长是2米，那么这个大厅地面的面积是（ ）平方米。 15．悦悦家计划重新装修客厅，商家提供了四种地砖。如果悦悦家只选择其中一种地砖铺地，她家有几种选择？请在可以选择的地砖旁边的（    ）里画“√”，不能选择的画“×”。 （ ）    （ ）    （ ）    （ ） 16．可以密铺的平面图形有（ ）（写出2个即可）。 三、操作题 17．用六个相同的三角形组成的图案铺设地面。请分别接着往后画一组。 18．下图中的六边形是由与涂色部分同样的三角形密铺成的。请把空白部分分一分，使得能看出这些三角形是怎样密铺成六边形的。 四、解答题 19．为创建文明校园，美化校园环境，学校用篱笆围了4个边长为3米的正八边形花坛（如下图），围成这个花坛一共需要篱笆多少米？ 20．下面是仅用一种正多边形进行密铺的图案。 你认为仅用正五边形能密铺吗？（能   不能）打“√”。 你发现仅用一种正多边形可以密铺的“奥秘”是：___________________。 21．2024年9月14日，北京有史以来最大规模的中秋国庆彩灯游园会在位于丰台的北京园博园召开。园内一条迎宾路上挂着A、B两款灯笼串，每款都是由大灯笼和小灯笼组合成串（如图所示）。已知大灯笼共有20个，小灯笼共有98个，A、B两款灯笼串各有多少串？ 22．停车场有小轿车和两轮摩托车共25辆，共有轮子72个，小轿车和两轮摩托车各有几辆？（可以尝试列表解答） 小轿车/辆 两轮摩托车/辆 车轮总数/个 … … … 23．一位茶农用大小两种茶叶罐分装了2100克茶叶，共装了8罐。已知每大罐装300克茶叶，每小罐装200克茶叶。这位茶农装了几大罐茶叶？几小罐茶叶？ 24．某商店委托搬运站运送300个瓷碗，每个瓷碗的运费是0.15元，如果破损1个，那么不仅没有运费还要扣1.05元，最后结账，搬运站共得运费42.6元，搬运中破损了多少个？ 25．和子去鱼店买了以下几种鱼：青花鱼，每条130日元；竹荚鱼，每条170日元；沙丁鱼，每条78日元；秋刀鱼，每条104日元。每种鱼都多于1条，正好花了3600日元，请问：和子买了几条竹荚鱼？（注：100日元约相当于6元人民币） 26．小华在学习图形密铺时分别用等边三角形、正方形、正五边形、正六边形进行拼摆，结果如图。 （1）通过观察我发现（    ）、（    ）、（    ）能单独密铺，（    ）不能单独密铺。 （2）请从数学的角度解释你的发现： 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $