2026年山东省青岛市西海岸新区自主招生考试数学-专题四、方程问题（1）（适中版）

2025-2026学年青岛市西海岸新区九年级自主招生考试专题 专题四、方程问题（1）（适中版） 一、单选题 1．若一元二次方程的两根的平方和大于2，则m的取值范围是（    ）． A． B． C．或 D．或 E．或 【答案】E 【详解】解  设方程的两根为则， 从而． 依题意得 （Ⅰ）， 即 由①得，所以或； 由②得，所以或 故不等式组（Ⅰ）的解为或．故选E． 2．已知为实数，关于，的方程组有整数解，则的个数为（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】C 【详解】由，∴． 由，可知必为偶数， 又为整数，所以．故选C． 3．若方程的两个不相等的实数根，满足，则实数的所有可能的值之和为（    ） A．0 B． C．-1 D． 【答案】B 【详解】解：由一元二次方程的根与系数的关系可得，． ∴， ． ∵得， ∴， ∴， ∴，，． 代入检验可知：以，均满足题意，不满足题意． 因此，实数的所有可能的值之和为． 故选B． 4．已知为关于的方程的三个实数根，则（    ） A．5 B．6 C．7 D．8 【答案】A 【详解】方程即，它的一个实数根为1，另外两个实数根之和为2，其中必有一根小于1，另一根大于1，于是，，故 ． 5．要使分式有意义，则x的取值范围是（    ） A． B．且 C．且 D． 【答案】C 【详解】依题意得，且．故选C． 6．方程的实根个数为（    ）． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】A 【详解】解  若，则原方程化为即，即，解 得 （舍去）； 若，则原方程化为，即．因，此方程无实数根． 显然不是原方程的根． 综上所述，原方程只有一个实根．故选A． 7．若实数，，满足等式，，则可能取的最大值为（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】C 【详解】解：由已知，，∴． 8．已知两个多项式、（为实数），以下结论中正确的个数是（    ） ①若，则； ②若，则； ③若，则关于的方程无实数根； ④若为整数，且值为整数，则的取值个数为个． A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】①直接列方程求解即可；②列绝对值方程即可直接求解，③由，可得或，再验证这两个方程是否有实数根；④列代数式，再化简，直接代数验证即可． 【详解】解：①∵， ∴， 解得：， ∴①正确； ②∵， ∴， ∴， 当时，， 解得（不符合题意，舍去）， 当时，恒成立， 当时，， 解得（不符合题意，舍去）， ∴②正确； ③∵， ∴， ∴或， 当时，，该方程无实数根， 当时，，该方程无实数根， ∴若，关于的方程无实数根， ∴③正确； ④∵ ， ∵为整数，且值为整数， ∴，，， ∴的取值个数为个， ∴④不正确． 故选：C． 【点睛】本题考查分式化简，一元二次方程，含绝对值一元一次方程，根的判别式等知识点．能够正确解方程是本题的关键． 二、填空题 9．已知互不相等的实数，，满足，则 ． 【答案】 【详解】解：设， 则， 代入，得：， 整理得：① 又由，可得②， 把②代入①式得， 即， 又∵， ∴， ∴． 验证可知：，时，；，时，， ∴． 故答案为：． 10．在中，的对边顺次为．若关于x的方程c的两根的平方和等于10，则的值为 ． 【答案】 【详解】解  原方程化为． 又， ， 故方程有两个实根，且， 化简得，于是，所以，故填． 11．如果实数，满足条件，，则 ． 【答案】-1 【详解】因为，所以，．由可得 ，从而， 解得． 从而，因此，即，整理得，解得（另一根舍去）． 把代入计算可得，所以． 12．方程的解共有 ． 【答案】4 【详解】设，则， 解得，于是 所以或，共4组．故应填4． 13．已知方程（其中a为非负整数）至少有一个整数根，那么 ． 【答案】1，3，5 【详解】解  若，则，矛盾，故．原方程化为，即，      ． 故当或5时，原方程至少有一个整数根，所以应填：． 14．已知二次函数的图象与轴的两个交点的横坐标分别为，，且．设满足上述要求的的最大值和最小值分别为，，则 ． 【答案】 【详解】解：根据题意，，是一元二次方程的两根， 所以，． ∵， ∴，． ∵方程的判别式， ∴． ∴， 故， 等号当时取得；， 故，等号当时取得． 所以，， 所以． 故答案为： 三、解答题 15．如果一个四位自然数M的千位数字和百位数字相等，十位数字和个位数字之和为8，我们称这样的数为“等合数”，例如：对于四位数5562，∵5=5且6+2=8，∴5562为“等合数”，又如：对于四位数4432，∵4=4但3+2≠8，所以4432不是“等合数” (1)判断6627、1135是否是“等合数”，并说明理由； (2)已知M为一个“等合数”，且M能被9整除．将M的各个数位数字之和记为P（M），将M的个位数字与十位数字的差的绝对值记为Q（M），并令G（M）=P（M）×Q（M），当G（M）是完全平方数（0除外）时，求出所有满足条件的M． 【答案】(1)6627不是“等合数”， 1135是“等合数”，理由见解析 (2)5580，5508，5535，5553 【分析】（1）根据“等合数”的定义判断，即可求解； （2）设M的千位和百位数为a，十位数为b，则个位数为8-b，其中a为0＜a≤9的整数，b为0≤b≤8的整数，可得P（M）= 2a+8， Q（M）=，从而得到G（M） =，，再由M能被9整除．可得2a+8能被9整除，从而得到a=5，再由G（M）是完全平方数（0除外）可得到或2，即可求解． 【详解】（1）解∶ 6627不是“等合数”， 1135是“等合数”，理由如下： ∵6=6，但2+7≠8， ∴6627不是“等合数”， ∵1=1且3+5=8， ∴1135是“等合数”； （2）解：∵M为一个“等合数”， ∴可设M的千位和百位数为a，十位数为b，则个位数为8-b，其中a为0＜a≤9的整数，b为0≤b≤8的整数， ∴P（M）=a+a+b+8-b=2a+8， Q（M）=， ∴G（M）=P（M）×Q（M）=，， ∵M能被9整除． ∴2a+8能被9整除， 当2a+8=9时，， 当2a+8=18时，， 当2a+8=27时，， 当2a+8=36时，（不合题意，舍去）， ∴a=5， ∵G（M）是完全平方数（0除外）， ∴是完全平方数（0除外）， ∵， ∴或2， 解得：b=8或0或3或5， ∴符合条件的M为5580，5508，5535，5553． 【点睛】本题主要考查了新定义的应用，含绝对值的方程，不等式组的应用，理解新定义是解题的关键． 16．定义：若、是方程的两个整数根，且满足，则称此类方程为“自然方程”．例如：是“自然方程”． (1)下列方程是“自然方程”的是_______；（填序号） ①；②；③． (2)若方程是“自然方程”，求的值． 【答案】(1)③ (2)或 【分析】本题考查解一元二次方程，含绝对值的方程，有理数的运算， （1）利用“自然方程”定义判断即可； （2）利用因式分解法表示出方程的解，根据“自然方程”定义确定出m的值即可； 熟练掌握一元二次方程的解法是解题的关键． 【详解】（1）解：①， 解得：，， 则该方程的解不是整数，故此选项不符合题意； ②， ， ∵， ∴， 则该方程的解不是整数，故此选项不符合题意； ③， ， 或， 解得：，， ∴，故此选项符合题意； 故答案为：③； （2）， ， 或， 解得：，， ∵方程是“自然方程”， ∴， 解得：或， ∴的值为或． 17．已知关于x的方程有两个实根相等，求a的值． 【答案】1或 【详解】解  原方程化为， 即， 即， 或， 即或． 而有等根的条件是，即有等根的条件是，即，故所求a的值是1或． 18．已知，并且关于x的方程①至多有一个解，试问：关于x的方程②是否一定有解？证明你的结论． 【答案】一定有解，证明见解析 【详解】解  依题意方程①有两个相等实根或没有实根，故其判别式，即 ， 当时，，方程②化为有实根． 当时，②的判别式 （∵，且）， 此时，方程②也有实根． 综上所述，方程②一定有解． 19．已知a，b，c是正数，且关于x的方程没有实数根，证明：以a，b，c为长度的线段可组成一个三角形的三条边长． 【答案】见解析 【详解】由已知条件得 ． 又，故，于是 中或者有一个为正，两个为负或者三个都为正．若中有一个为正，两个为 负，不妨设，后两式相加得，矛盾，故这种情形不出现．所 以，即．故长为a，b，c的三条线段可构 成一个三角形的三条边长． 20．a是大于0的实数，已知存在唯一实数k，使得关于x的二次方程的两个根均为质数，求a的值． 【答案】 【详解】设方程的两个质数根为，则由韦达定理有． 两式相加得，即， 显然，都不等于2，故必为奇实数，所以均为正整数，且． 不妨设．于是解得其中只有，为质数，其他均不合题意，舍去． 当时，关于k的方程有唯一实根，故其判别式．又，所以． 试卷第2页，共12页 试卷第3页，共12页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年青岛市西海岸新区九年级自主招生考试专题 专题四、方程问题（1）（适中版） 一、单选题 1．若一元二次方程的两根的平方和大于2，则m的取值范围是（    ）． A． B． C．或 D．或 E．或 2．已知为实数，关于，的方程组有整数解，则的个数为（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 3．若方程的两个不相等的实数根，满足，则实数的所有可能的值之和为（    ） A．0 B． C．-1 D． 4．已知为关于的方程的三个实数根，则（    ） A．5 B．6 C．7 D．8 5．要使分式有意义，则x的取值范围是（    ） A． B．且 C．且 D． 6．方程的实根个数为（    ）． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 7．若实数，，满足等式，，则可能取的最大值为（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 8．已知两个多项式、（为实数），以下结论中正确的个数是（    ） ①若，则； ②若，则； ③若，则关于的方程无实数根； ④若为整数，且值为整数，则的取值个数为个． A．1 B．2 C．3 D．4 二、填空题 9．已知互不相等的实数，，满足，则 ． 10．在中，的对边顺次为．若关于x的方程c的两根的平方和等于10，则的值为 ． 11．如果实数，满足条件，，则 ． 12．方程的解共有 ． 13．已知方程（其中a为非负整数）至少有一个整数根，那么 ． 14．已知二次函数的图象与轴的两个交点的横坐标分别为，，且．设满足上述要求的的最大值和最小值分别为，，则 ． 三、解答题 15．如果一个四位自然数M的千位数字和百位数字相等，十位数字和个位数字之和为8，我们称这样的数为“等合数”，例如：对于四位数5562，∵5=5且6+2=8，∴5562为“等合数”，又如：对于四位数4432，∵4=4但3+2≠8，所以4432不是“等合数” (1)判断6627、1135是否是“等合数”，并说明理由； (2)已知M为一个“等合数”，且M能被9整除．将M的各个数位数字之和记为P（M），将M的个位数字与十位数字的差的绝对值记为Q（M），并令G（M）=P（M）×Q（M），当G（M）是完全平方数（0除外）时，求出所有满足条件的M． 16．定义：若、是方程的两个整数根，且满足，则称此类方程为“自然方程”．例如：是“自然方程”． (1)下列方程是“自然方程”的是_______；（填序号） ①；②；③． (2)若方程是“自然方程”，求的值． 17．已知关于x的方程有两个实根相等，求a的值． 18．已知，并且关于x的方程①至多有一个解，试问：关于x的方程②是否一定有解？证明你的结论． 19．已知a，b，c是正数，且关于x的方程没有实数根，证明：以a，b，c为长度的线段可组成一个三角形的三条边长． 20．a是大于0的实数，已知存在唯一实数k，使得关于x的二次方程的两个根均为质数，求a的值． 试卷第4页，共4页 试卷第1页，共4页 学科网（北京）股份有限公司 $