2025-2026学年山东省青岛市西海岸新区自主招生考试数学-专题一、代数问题（适中版）

· 2025-2026学年青岛市西海岸新区九年级自主招生考试专题 · 专题一、代数问题（适中版） 一、单选题 1．已知，，且，则的值为（　　） A．25 B．19 C．13 D．7 2．除以，所得的余数是（   ） A． B． C．32 D．8 3．人们把这个数叫做黄金分割数，著名数学家华罗庚的优选法中的0.618法就应用了黄金分割数．设，，得，记（n取正整数），则的值为（    ） A． B． C． D． 4．已知非零实数a，b，c满足，则对正整数k使得 ①， ②， ③， ④中，总成立的有（    ）个 A．1 B．2 C．3 D．4 5．已知，且，则的值等于（    ）． A． B．5 C． D．9 6．化简的结果是（    ）． A． B． C． D．2 7．使得成立的x的个数为（    ）． A．4 B．3 C．2 D．1 8．若（是实数），则的值一定是（    ）． A．正数 B．负数 C．零 D．整数 9．如果是的一个因式，则的值是（    ）． A． B． C．0 D．2 10．已知非零实数，，满足，，，则（    ） A． B． C． D． 二、填空题 11．如果实数，，满足，用表示，，的最大值，则的最大值为 ． 12．已知为正整数，且为完全平方数，则 ． 13．已知实数，，满足，，则 ． 14．计算 ． 15．关于x的方程有两个不相等的实根，，若，则的最大值是 ． 三、解答题 16．设是整数，如果存在整数，，满足，则称具有性质.在1，5，2013，2014这四个数中，哪些数具有性质，哪些数不具有性质？并说明理由． 17．阅读下列材料： 【材料一】 我们定义：在分式中对于只含有一个字母的分式当分子的次数大于或等于分母的次数时我们称之为“假分式”：当分子的次数小于分母的次数时我们称之为“真分式”． 如这样的分式就是假分式：再如这样的分式就是真分式． 类似的假分式也可以化为带分式．如：． 【材料二】 问题：用配方法求代数式的最值． 解：∵，而， ∴， 故当时，的最小值为． 解答下列问题： (1)分式是_________（填“真分式”或“假分式”）；假分式可以化为带分式_________的形式； (2)如果分式的值为整数，求满足条件的整数x的值． (3)求分式的最值． 18．某同学计算其中“”，时把“”错抄成“”，但他的计算结果仍是正确的，请你说明这是为什么? 19．已知能分解成两个一次因式之积． (1)求值； (2)令两个一次因式分别等于0，视为x的函数，可以产生两个一次函数，当，求的取值范围． 20．[项目学习]配方法是数学中重要的一种思想方法．它是指将一个式子的某部分通过恒等变形化为完全平方式或几个完全平方式的和的方法，这种方法常被用到代数式的变形中，并结合非负数的意义来解决一些问题． 例如，把二次三项式进行配方． 解：． 我们定义：一个整数能表示成（，是整数）的形式，即两个数的平方和形式，则称这个数为“雅美数”例如，5是“雅美数”．理由：因为．再如，（，是整数），所以也是“雅美数”． (1)[问题解决]6，7，8，10四个数中的“雅美数”是 ． (2)若二次三项式（是整数）是“雅美数”，可配方成（，为常数），则的值为 ； (3)[问题探究]已知（，是整数，是常数且，），要使S为“雅美数”，试求出符合条件的值． (4)[问题拓展]已知实数，是“雅美数”，求证：是“雅美数”． 试卷第4页，共4页 试卷第3页，共4页 学科网（北京）股份有限公司 $ · 2025-2026学年青岛市西海岸新区九年级自主招生考试专题 · 专题一、代数问题（适中版） 一、单选题 1．已知，，且，则的值为（　　） A．25 B．19 C．13 D．7 【答案】D 【分析】本题求代数式的值，因式分解的应用，先求出，再整体代入所求式子计算即可得解，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解：∵，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 故选：D． 2．除以，所得的余数是（   ） A． B． C．32 D．8 【答案】C 【分析】本题考查了因式分解的应用和同底数幂的乘法，先将转化为，然后分子再提公因式，最后相除即可求出结果． 【详解】解：， ， 除以，所得的余数是32， 故选：C． 3．人们把这个数叫做黄金分割数，著名数学家华罗庚的优选法中的0.618法就应用了黄金分割数．设，，得，记（n取正整数），则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了分式的化简求值，正确的化简计算是解本题的关键，化简为，代入算式，利用裂项相消计算，即可解题． 【详解】解：， ， ， ， ， ， ， ，，，，， ， ， ， ， ． 故选：D． 4．已知非零实数a，b，c满足，则对正整数k使得 ①， ②， ③， ④中，总成立的有（    ）个 A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】根据已知式子得出或或，设，可依次判断①②；令，，可判断③④． 【详解】解：∵， ∴，即， ∴， ∴或或， 设， 则， 故①②成立； 令，， 则，，故③不成立； 此时，故④不成立； ∴总成立的有两个， 故选B． 【点睛】本题考查了分式的混合运算，难度较大，涉及数学运算中一些高难度的运算手段，解题时要学会假设性的提出条件，通过一些特殊值判断式子的正确性． 5．已知，且，则的值等于（    ）． A． B．5 C． D．9 【答案】C 【详解】解：．又，所以，即． 故选：C． 6．化简的结果是（    ）． A． B． C． D．2 【答案】B 【详解】解法一  设，则 ． 解法二  原式 ． 故选：B． 7．使得成立的x的个数为（    ）． A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】B 【详解】解  原方程化为，即，即或，即原方程有3个根：．故选B． 8．若（是实数），则的值一定是（    ）． A．正数 B．负数 C．零 D．整数 【答案】A 【详解】因为，并且不能同时等于零，所以．故选A． 9．如果是的一个因式，则的值是（    ）． A． B． C．0 D．2 【答案】D 【详解】（解法一）依题意可设，比较系数得所以．故选D． （解法二）依题意是的因式， 所以， 解得．故选D． （解法三）用长除法可得， 所以得．故选D． 10．已知非零实数，，满足，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由条件得，，， 三式相加，得，即， 所以，，， 经检验，，是分式方程的解， 故 二、填空题 11．如果实数，，满足，用表示，，的最大值，则的最大值为 ． 【答案】 【详解】由已知等式得， 不妨设，则 ， 解得． 所以的最大值为，当，时取得 12．已知为正整数，且为完全平方数，则 ． 【答案】8 【详解】易知，均不符合题意，所以，此时一定有 ， ， 而为完全平方数，所以一定有， 整理得，解得（负根舍去）． 13．已知实数，，满足，，则 ． 【答案】0 【分析】将分母进行变形得到，去分母得：，整理并代入即可得到答案. 【详解】由题意知，所以 ， 则 整理得， 将代入， 所以. 14．计算 ． 【答案】 【详解】解：令，则． 于是，原式 ． 故答案为：． 15．关于x的方程有两个不相等的实根，，若，则的最大值是 ． 【答案】6 【分析】根据根与系数的关系得到，根据得到， ，推出，根据推出，代入，推出的最大值是6． 【详解】解：∵关于x的方程有两个不相等的实根、， ∴，， ∵， ∴，即， ∴， ∴， ∴， ∴ ∴ ， ∵， ∴当时，有最大值6． 故答案为：6． 【点睛】此题主要考查了一元二次方程根与系数的关系，解题的关键是熟练掌两根之和与两根之积与系数的关系，解方程组，运用配方法求最值． 三、解答题 16．设是整数，如果存在整数，，满足，则称具有性质.在1，5，2013，2014这四个数中，哪些数具有性质，哪些数不具有性质？并说明理由． 【答案】1，5和2014都具有性质，2013不具有性质，理由见解析 【详解】解  取，，可得，所以1具有性质. 取，，可得，所以5具有性质. 为了一般地判断哪些数具有性质，记，则 . 即    ① 不妨设， 如果，，，即，，则有； 如果，，，即，则有； 如果，，，即，，则有； 由此可知，形如或或（为整数）的数都具有性质. 因此，1，5和2014都具有性质. 若2013具有性质，则存在整数，，使得 .注意到，从而可得， 故，于是有，即，但，矛盾，所以2013不具有性质 17．阅读下列材料： 【材料一】 我们定义：在分式中对于只含有一个字母的分式当分子的次数大于或等于分母的次数时我们称之为“假分式”：当分子的次数小于分母的次数时我们称之为“真分式”． 如这样的分式就是假分式：再如这样的分式就是真分式． 类似的假分式也可以化为带分式．如：． 【材料二】 问题：用配方法求代数式的最值． 解：∵，而， ∴， 故当时，的最小值为． 解答下列问题： (1)分式是_________（填“真分式”或“假分式”）；假分式可以化为带分式_________的形式； (2)如果分式的值为整数，求满足条件的整数x的值． (3)求分式的最值． 【答案】(1)真分式； (2) (3) 【分析】（1）根据材料一的定义与例题判断化简即可； （2）将化为真分式，然后对分母进行赋值即可； （3）先将根据材料一化为真分式，然后根据材料二对分母转化求最值即可． 【详解】（1）解：1为0次，为1次， 故分式是真分式； ； 故答案为：真分式， （2）解：， ，解得； ，解得； ，解得； ，解得． 故满足条件的整数x的值为 （3）解：， 故当时，分式的最小值为． 【点睛】本题考查了新定义，相关知识点有：分式加法的逆用，多项式的配方等知识点，充分理解题意是解题关键． 18．某同学计算其中“”，时把“”错抄成“”，但他的计算结果仍是正确的，请你说明这是为什么? 【答案】见解析． 【详解】解：令，则，于是 原式． 故把“”错写成“”了，计算结果仍然是正确的． 19．已知能分解成两个一次因式之积． (1)求值； (2)令两个一次因式分别等于0，视为x的函数，可以产生两个一次函数，当，求的取值范围． 【答案】(1) (2)或 【分析】（1）设，得到，，求出，的值，即可求出的值； （2）由，得到，即可求出的取值范围． 【详解】（1）解： 能分解成两个一次因式之积， 设， ， ，， ， ； （2）令两个一次因式分别等于0， ，， ，， ， 或， 的取值范围是或． 【点睛】本题考查一次函数的性质，因式分解分组分解法，因式分解十字相乘法，关键是用待定系数法，设． 20．[项目学习]配方法是数学中重要的一种思想方法．它是指将一个式子的某部分通过恒等变形化为完全平方式或几个完全平方式的和的方法，这种方法常被用到代数式的变形中，并结合非负数的意义来解决一些问题． 例如，把二次三项式进行配方． 解：． 我们定义：一个整数能表示成（，是整数）的形式，即两个数的平方和形式，则称这个数为“雅美数”例如，5是“雅美数”．理由：因为．再如，（，是整数），所以也是“雅美数”． (1)[问题解决]6，7，8，10四个数中的“雅美数”是 ． (2)若二次三项式（是整数）是“雅美数”，可配方成（，为常数），则的值为 ； (3)[问题探究]已知（，是整数，是常数且，），要使S为“雅美数”，试求出符合条件的值． (4)[问题拓展]已知实数，是“雅美数”，求证：是“雅美数”． 【答案】(1)8，10 (2)6 (3) (4)见解析 【分析】本题主要考查了配方法的应用、完全平方公式、偶次方的非负性等知识点，掌握完全平方公式、偶次方的非负性是解题关键． （1）根据“雅美数”的定义判断即可； （2）利用配方法进行转化，然后比较，即可求得对应系数的值； （3）配方后根据非负数的性质可得x、y的值，再根据“雅美数”的定义列式计算即可； （4）利用完全平方公式把原式变形，根据“雅美数”的定义证明结论即可． 【详解】（1）解：8是“雅美数”，理由：因为； 10是“雅美数”，理由：因为． 故答案为：8，10． （2）解：∵，， ∴，， ∴． 故答案为：6． （3）解：， 又∵，， ∴ ∴， ∴． （4）解：设，（a、b、c、d为整数）， ∴， ． 又∵a、b、c、d为整数， ∴，均为整数， ∴是“雅美数”． 试卷第12页，共13页 试卷第13页，共13页 学科网（北京）股份有限公司 $