2025-2026学年山东省青岛市西海岸新区自主招生考试数学-专题二、实数问题（适中版）

2025-2026学年青岛市西海岸新区九年级自主招生考试专题 · 专题二、实数问题（适中版） 一、单选题 1．对任意的整数，，定义，则使得的整数组的个数为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 2．若正整数，，满足且，则称为好数组．那么，好数组的个数为（    ） A．4 B．3 C．2 D．1 3．对于自然数，将其各位数字之和记为，如，，则（    ） A．28062 B．28065 C．28067 D．28068 4．已知，则A与1的大小关系是（    ）． A． B． C． D．无法确定 5．已知有理数a，b，c，d满足，那么（    ） A． B． C． D． 6．若关于的方程的解是整数解，是整数，则所有的值加起来为（    ） A． B． C． D．18 7．若n为任意整数，如果的值总能被4整除，则整数k不能取（    ） A． B．1 C．2 D．5 8．已知为非负整数，关于的方程至少有一个整数根，则的可能取值的个数为（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 二、填空题 9．五个互不相同的正奇数，，，，满足，则的个位数字为 ． 10．计算机的发明与应用被称作20世纪第三次科技革命的重要标志之一，计算机能识别和处理由“0”“1”符号串组成的代码，其运算模式是二进制．计数的进位方法是“逢二进一”，例如：二进制数100110记为，通过式子 可以转换为十进制数38．将十进制数89转换成二进制数是 ． 11．如果一个四位自然数的各数位上的数字互不相等且，并满足，那么称这个四位数为“长寿数”，例如：四位数4128，，是“长寿数”；又如四位数7143，，不是“长寿数”，则最小的“长寿数”是 ；已知“长寿数”（其中），将的千位数字与百位数字的和记为，个位数字与十位数字的差记为，若能被14整除，则满足条件的的最小值为 ． 12．立方体的每一个面都写着一个自然数，并且相对两个面所写两个数之和相等，10，12，15是相邻三面上的数，若10的对面写的是质数a，12的对面写的是质数b，15的对面写的是质数c，则的值等于 ． 13．以表示不大于的最大整数，例如，则 ． 14．已知是四个不同的有理数，且，，则 ． 三、解答题 15．已知整数，，，．满足，． (1)求证：为正数； (2)若为偶数，判断是否可以为奇数，说明你理由． 16．已知实数满足． (1)求证：为非负数； (2)若均为奇数，是否可以都为整数？说明你的理由． 17．一个四位正整数A满足百位上的数字比千位上的数字小5，且个位上的数字比十位上的数字小5，则称A为“队伍数”，将“队伍数”A的千位和十位数字组成的两位数与百位和个位数字组成的两位数的和记为，将“队伍数”A的千位和百位数字组成的两位数与十位和个位数字组成的两位数的差记为．例如：四位正整数7261，，∴7261是“队伍数”，此时，． (1)判断：9483，6132是否是“队伍数”，并说明理由，如果是，求； (2)若A是“队伍数”，且满足能被7整除，求出所有符合条件的A． 18．已知正整数m，n满足，求n的最大值． 19．若x．y为正数但都不为整数且（m为正整数），则．求的值． 20．求所有的正整数，，使得是非负整数． 试卷第4页，共4页 试卷第3页，共4页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年青岛市西海岸新区九年级自主招生考试专题 · 专题二、实数问题（适中版） 一、单选题 1．对任意的整数，，定义，则使得的整数组的个数为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】D 【详解】， 由对称性，同样可得 ，． 所以，由已知可得，即． 所以，，，为整数时，只能有以下几种情况： ，或，或，或， 所以，或或或，故共有4个符合要求的整数组． 2．若正整数，，满足且，则称为好数组．那么，好数组的个数为（    ） A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】B 【详解】若为好数组，则，所以，显然，只能为1或2． 若，由可得或3，时可得，时可得（不是整数）； 若，则，于是可得，可求得或． 综合可知：共有3个好数组，分别为，和． 3．对于自然数，将其各位数字之和记为，如，，则（    ） A．28062 B．28065 C．28067 D．28068 【答案】D 【详解】解：将0，1，2，…，999这1000个自然数分为500个数组：、、、…、．注意到：这500个数组中，每个数组的两个自然数各位数字之和均为，故0，1，2，…，999这1000个自然数各位数字之和等于． 于是，1000，1001，1002，…，1999这1000个自然数各位数字之和等于． 从而． 显然：，故：． 4．已知，则A与1的大小关系是（    ）． A． B． C． D．无法确定 【答案】C 【详解】解  因．故选C 5．已知有理数a，b，c，d满足，那么（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】因，故，所以选C 6．若关于的方程的解是整数解，是整数，则所有的值加起来为（    ） A． B． C． D．18 【答案】C 【分析】根据解一元一次方程的一般步骤表示出的代数式，分析解答即可． 【详解】解：解方程， 得：， 根据题意可知为整数，是整数， 当的值为时，为整数， ∴， 故选：C． 【点睛】本题考查了根据一元一次方程解的情况求参数，熟练掌握解一元一次方程的一半步骤是解本题的关键． 7．若n为任意整数，如果的值总能被4整除，则整数k不能取（    ） A． B．1 C．2 D．5 【答案】C 【分析】本题考查了因式分解的应用，先利用完全平方公式计算，再将代数式分组为一定被4整除的一组和需要确定范围的一组，找到能被整除的数即可得答案． 【详解】解： ． ∵的值总能被4整除，n为任意整数， ∴总能被整除． 整数k为、1、5均满足条件，故选项A、B、D不符合题意， 整数k为，，不能满足n为任意整数时的值总能被4整除， 故选：C． 8．已知为非负整数，关于的方程至少有一个整数根，则的可能取值的个数为（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】D 【分析】本题考查了含二次根式的一元方程整数根的求解及非负整数参数的确定，解题的关键是先根据二次根式有意义的条件确定未知数的取值范围，再结合整数根的特征列举可能的整数解，代入方程求解参数并验证其非负整数属性． 由二次根式有意义得，即，列举的整数；将每个整数代入方程解出；判断是否为非负整数，统计符合条件的的个数，进而确定选项． 【详解】解：∵有意义， ∴，即；又方程至少有一个整数根，故为的整数，代入方程求： 当时，，即，解得，是非负整数，符合条件； 当时，，即，解得，是非负整数，符合条件； 当时，，即，解得，非整数，不符合； 当时，，即，解得，是非负整数，符合条件； 当时，代入方程得为负数或非整数，均不符合． 综上，符合条件的的值有、、，共个． 故选：D． 二、填空题 9．五个互不相同的正奇数，，，，满足，则的个位数字为 ． 【答案】 【分析】本题考查了奇数和偶数，奇偶性分析，、、、、为五个互不相等的偶数，再结合，令，，，，，从而可得，，，，，分别求出、、、、的个位数字，求和即可得解，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解：∵，，，，为五个互不相同的正奇数， ∴、、、、为五个互不相等的偶数， ∵， ∴令，，，，， ∴，，，，， ∴的个位数字为，的个位数字为，的个位数字为，的个位数字为，的个位数字为， 求和末位为， 故的个位数字为， 故答案为：． 10．计算机的发明与应用被称作20世纪第三次科技革命的重要标志之一，计算机能识别和处理由“0”“1”符号串组成的代码，其运算模式是二进制．计数的进位方法是“逢二进一”，例如：二进制数100110记为，通过式子 可以转换为十进制数38．将十进制数89转换成二进制数是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了有理数的运算，根据十进制转化为二进制的方法，进行计算即可．熟练掌握十进制转化为二进制的方法，是解题的关键． 【详解】解：∵， ， ， ， ， ， ∴十进制数89转换成二进制数是． 故答案为：． 11．如果一个四位自然数的各数位上的数字互不相等且，并满足，那么称这个四位数为“长寿数”，例如：四位数4128，，是“长寿数”；又如四位数7143，，不是“长寿数”，则最小的“长寿数”是 ；已知“长寿数”（其中），将的千位数字与百位数字的和记为，个位数字与十位数字的差记为，若能被14整除，则满足条件的的最小值为 ． 【答案】 2108 【分析】本题考查列代数式以及数字变化类的问题，由于为“长寿数”，因为，所以，可得最小的“长寿数”；因为M可被14整除，则M可被2整除，可被7整除，可得或8或2，由题意得：，且，，，要使尽可能小，即，即 尽可能小，分类讨论即可． 【详解】解：∵为“长寿数”， ∴， ∵， ∴， ∴最小的“长寿数”是2108； 又∵M可被14整除， ∴M可被2整除，可被7整除， ∴或6或4或2， 由题意得：，且，，， ∵，， ∴， ， 要使尽可能小，即 尽可能小， ∴，此时，十位和百位数字相同，不合题意； ，此时，不能被14整除，不合题意； ，此时，符合题意， ∴，， ∴的最小值为：， 故答案为：2108；． 12．立方体的每一个面都写着一个自然数，并且相对两个面所写两个数之和相等，10，12，15是相邻三面上的数，若10的对面写的是质数a，12的对面写的是质数b，15的对面写的是质数c，则的值等于 ． 【答案】19． 【详解】易知． 13．以表示不大于的最大整数，例如，则 ． 【答案】 【详解】解：设，则，于是 ． 又，故，于是 ． 故答案为：． 14．已知是四个不同的有理数，且，，则 ． 【答案】 【详解】设，则，由已知条件得，两式相减得． 因是四个不同的有理数，故， 从而，故，即． 故答案为：． 三、解答题 15．已知整数，，，．满足，． (1)求证：为正数； (2)若为偶数，判断是否可以为奇数，说明你理由． 【答案】(1)证明见详解 (2)不可以，理由见详解 【分析】本题主要考查了因式分解的应用、奇数和偶数的识别等知识，熟练掌握完全平方公式的应用是解题关键． （1）把代入，利用完全平方公式分解因式，利用平方的非负性质即可证明． （2）由，，，为整数，为偶数，可得出为偶数，进而可得出为偶数，为偶数，若为奇数，则为奇数，则为奇数，与为偶数矛盾，则不可以为奇数． 【详解】（1）证明：∵， ∴ ∵，则 ∴为正数． （2）不可以，理由如下： ∵，，，为整数，为偶数， ∴为偶数， ∵， ∴为偶数， ∴，同为偶数或者同为奇数， ∴为偶数， 若为奇数，则为奇数， ∴为奇数， ∴为奇数与为偶数矛盾， ∴不可以为奇数． 16．已知实数满足． (1)求证：为非负数； (2)若均为奇数，是否可以都为整数？说明你的理由． 【答案】(1)证明见解析； (2)不可能都为整数，理由见解析． 【分析】本小题考查整式的运算、因式分解、等式的性质等基础知识：考查运算能力、推理能力、创新意识等，以及综合应用所学知识分析、解决问题的能力． （1）根据题意得出，进而计算，根据非负数的性质，即可求解； （2）分情况讨论，①都为奇数；②为整数，且其中至少有一个为偶数，根据奇偶数的性质结合已知条件分析即可． 【详解】（1）解：因为， 所以． 则 ． 因为是实数，所以， 所以为非负数． （2）不可能都为整数． 理由如下：若都为整数，其可能情况有：①都为奇数；②为整数，且其中至少有一个为偶数． ①当都为奇数时，则必为偶数． 又，所以． 因为为奇数，所以必为偶数，这与为奇数矛盾． ②当为整数，且其中至少有一个为偶数时，则必为偶数． 又因为，所以． 因为为奇数，所以必为偶数，这与为奇数矛盾． 综上所述，不可能都为整数． 17．一个四位正整数A满足百位上的数字比千位上的数字小5，且个位上的数字比十位上的数字小5，则称A为“队伍数”，将“队伍数”A的千位和十位数字组成的两位数与百位和个位数字组成的两位数的和记为，将“队伍数”A的千位和百位数字组成的两位数与十位和个位数字组成的两位数的差记为．例如：四位正整数7261，，∴7261是“队伍数”，此时，． (1)判断：9483，6132是否是“队伍数”，并说明理由，如果是，求； (2)若A是“队伍数”，且满足能被7整除，求出所有符合条件的A． 【答案】(1)9483是“队伍数”， 6132不是“队伍数”， ， (2)符合条件的A为6161或7294或8350或9483 【分析】（1）根据“队伍数”的定义即可判断；然后根据、的运算规则运算即可； （2）设（，，，均为正整数），则，由题意可得能被7整除，再根据、确定，的可能取值，进而完成解答． 【详解】（1）解：∵，，， ∴9483是“队伍数”， 6132不是“队伍数” ，． （2）设（，，，均为正整数） 则， 则， ∵能被7整除 ∴能被7整除 ∵， ∴或或或 ∴符合条件的A为6161或7294或8350或9483． 【点睛】本题主要考查了新定义运算、整式的运算、整除的性质等知识点，正确应用新定义运算和整除的性质是解题的关键． 18．已知正整数m，n满足，求n的最大值． 【答案】104 【详解】设，则原式为，两边平方易得 ， 于是（b是正整数），则．由于和同奇偶，即为偶数，所以最大值为，n的最大值为104. 19．若x．y为正数但都不为整数且（m为正整数），则．求的值． 【答案】 【详解】（1）设，依题意，且，故 为整数，又，所以，于是． （2）因对任意正整数，有，并且， 都不是整数，故由（1） ， 且． 将这1005个等式相加 20．求所有的正整数，，使得是非负整数． 【答案】，． 【详解】解  记，则 ． 因为，为正整数，故可令，，为正整数，且． 于是． 因为为非负整数，所以，又，故，即．  ①     所以是整数，所以，故，即． 又由，知．  ② 所以，所以． 由对称性，同理可得，故．             把代入①，得，则．把代入②，得，即． 故． 所以，满足条件的正整数，为，． 试卷第10页，共11页 试卷第9页，共11页 学科网（北京）股份有限公司 $