精品解析：山西省太原市成成中学校2025-2026学年上学期第一次学业诊断九年级数学试卷

2025-2026学年山西省太原市成成中学九年级（上）第一次诊断数学试卷 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 若将一元二次方程化成一般式，则的值为（ ） A. B. 2 C. D. 4 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查一元二次方程的一般形式，熟练掌握一元二次方程的一般形式是解题的关键；由题意易得，然后可得，进而问题可求解． 【详解】解：由一元二次方程变形为， ∴， ∴； 故选D． 2. 小琦在复习几种特殊四边形的关系时整理出如图所示的转换图，（1）（2）（3）（4）处需要添加条件，则下列条件添加错误的是（ ） A. （1）处可填 B. （2）处可填 C. （3）处可填 D. （4）处可填 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了矩形的判定，菱形的判定，正方形的判定， 先根据矩形的定义判断A，再根据正方形的判定说明B，然后根据对边相等的平行四边形是否是菱形解答C，最后根据正方形的判定说明D即可． 【详解】解：∵，四边形是平行四边形， ∴四边形是矩形（有一个角是直角的平行四边形是矩形）． 则A正确； ∵，四边形是矩形， ∴四边形是正方形（有一组邻边相等是矩形是正方形）． 则B正确； ∵四边形是平行四边形，就有， ∴加上条件，不能说明四边形是菱形． 则C不正确； ∵，四边形是菱形， ∴四边形是正方形（有一个角是直角的菱形是正方形）． 则D正确． 故选：C． 3. 一元二次方程的根的情况是（ ） A. 有两个不相等的实数根 B. 有两个相等的实数根 C. 没有实数根 D. 无法确定 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了根的判别式，一元二次方程根的情况与判别式的关系：（1），方程有两个不相等的实数根；（2），方程有两个相等的实数根；（3），方程没有实数根． 根据根的判别式即可求出答案． 【详解】解：∵， ∴方程没有实数根． 故选：C． 4. “二十四节气”是中华上古农耕文明的智慧结晶，被国际气象界普为“中国第五大发明”，小文购买了“二十四节气”主题邮票，他要将“立春”“立夏”“秋分”“大暑”四张邮票中的两张送给好朋友小乐．小文将它们背面朝上放在桌面上（邮票背面完全相同），让小乐从中随机抽取一张（不放回），再从中随机抽取一张，则小乐抽到的两张邮票恰好是“立春”和“立夏”的概率是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】列表得出所有等可能结果，从中找到符合条件的结果数，再根据概率公式求解即可． 【详解】解：将“立春”、“立夏”、“秋分”、“大暑”的图片分别记为A、B、C、D．根据题意，列表如下： A B C D A （A，B） （A，C） （A，D） B （B，A） （B，C） （B，D） C （C，A） （C，B） （C，D） D （D，A） （D，B） （D，C） 由表格可知，共有12种等可能的结果，其中抽到的两张卡片恰好是“立春”和“立夏”的结果有2种， 故其概率为：． 故选：C． 【点睛】本题考查了列表法与树状图法：利用列表法或树状图法展示所有等可能的结果n，再从中选出符合事件A或B的结果数目m，然后利用概率公式计算事件A或事件B的概率． 5. 我们可以通过不断缩小范围的方法求一元二次方程的近似解，即找出使方程成立的一个初始范围，在该范围内提高精确度，得到一个新的范围，再对新的范围进行操作．例如在求时，根据以下表格，可知道其中一个解的大致范围是（　　） x 1 1.1 1.2 1.3 1.4 98 99.41 100.84 102.29 103.76 A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查求一元二次方程的近似解，通过观察表格数据，找到使的值等于100的x的范围．当时，值为99.41小于100；当时，值为100.84大于100，因此解在1.1和1.2之间． 【详解】解：∵方程， ∴． 由表格： 当时，， 当时，， ∴在和之间，值从99.41增加到100.84，必然经过100， ∴方程的一个解在范围内． 故选：B． 6. 将一元二次方程配方后可得方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了配方法解一元二次方程，先移项，然后两边同时，再根据完全平方公式因式分解，即可求解． 【详解】解：， ∴， ∴， ∴． 故选C． 7. 如图，在中，，D，E分别是和的中点．若，，则的周长为（ ） A. B. C. D. 6 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查直角三角形的性质和三角形中位线定理，根据中点可知为的中位线，得到，再结合直角三角形的性质得到，利用三角形边长公式即可求得其周长． 【详解】解：∵D，E分别是和的中点． ∴为的中位线， ∵， ∴， ∵，D是的中点． ∴， ∵， ∴， 则的周长为， 故选：B． 8. 随着《黑神话：悟空》的火爆，国庆期间山西景区旅游热度大涨．10月1日，我省某景区的销售额为10万元，之后每日销售额的增长率相同，10月1日至10月3日该景区的累计销售额达到30.6万元．若设平均每日销售额的增长率为，则根据题意可列方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程．设平均每日销售额的增长率为，根据“10月1日，我省某景区的销售额为10万元，之后每日销售额的增长率相同，10月1日至10月3日该景区的累计销售额达到30.6万元”列方程即可． 【详解】解：设平均每日销售额的增长率为，列方程为， 故选：B． 9. 如图，在中，，以点B为圆心，的长为半径画弧，交于点E，再分别以点A，E为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点F，连接并延长交于点G，连接．若四边形的周长为，则四边形的面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】如图所示，设和交于点H，证明出四边形是菱形，得到，求出，然后求出，勾股定理求出，然后根据菱形的性质求解即可． 【详解】如图所示，设和交于点H 由作图得，是的平分线 ∴ ∵四边形是平行四边形 ∴ ∴ ∴ ∴ 由作图得，， ∴ ∴四边形是菱形 ∴ ∵四边形的周长为 ∴ ∵在中，， ∴ ∴ ∴ ∴ ∴， ∴四边形的面积为． 故选：D． 【点睛】此题考查了平行四边形的性质，菱形的性质和判定，勾股定理，含角直角三角形的性质，尺规作角平分线等知识，解题的关键是掌握以上知识点． 10. 如图，在正方形中，O为对角线的交点，E，F分别为边上一点，且，连接．若，则的最小值是（ ） A. B. 1 C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】过点O作于点H，根据正方形性质得，证明和全等得，则是等腰直角三角形，由勾股定理得，由此得当为最小时，为最小，再根据“垂线段最短”得：当时为最小，则最小值为线段的长，由此得的最小值为1，据此即可得出的最小值． 【详解】解：过点O作于点H，如图所示： ∵是正方形，且， ∴，，，， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴是等腰直角三角形， 由勾股定理得：， ∴当为最小时，为最小， ∵点E在边上， ∴根据“垂线段最短”得：当时为最小， 即点E于点H重合时，为最小，最小值为线段的长， ∴的最小值为1， 此时， 即的最小值为． 故选：D． 【点睛】此题主要考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，理解正方形的性质，垂线段最短，熟练掌握全等三角形的判定和性质，勾股定理是解决问题的关键． 二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分． 11. 一元二次方程的解是______． 【答案】， 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程的解法，熟练掌握一元二次方程的解法是解答本题的关键． 根据一元二次方程的解法即可求解． 【详解】解：， 移项，得， ， 或， ，， 故答案为：，． 12. 如图，矩形中，对角线交于点，若，则的长为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查矩形对角线的性质、等腰三角形的性质、直角三角形的性质，勾股定理．由矩形对角线互相平分的性质，得到是等腰三角形，根据等边对等角求出的度数，最后根据直角三角形的性质和勾股定理即可求解． 【详解】解：在矩形中，，， 在中， 故答案为：． 13. 如图，根据小丽与的对话，在深度思考后，给出的答案是______． 【答案】1 【解析】 【分析】本题考查了解一元二次方程．熟练掌握一元二次方程的解法是解题的关键．设这个数为，根据“先计算这个数的平方，再减去这个数，最后加上1，其运算结果和这个数相同”列出方程即可求解． 【详解】解：设这个数为，则有， ， ， ， 解得． 故答案为：1． 14. 如图，在四边形中，点E，F，G，H分别为边，，和的中点，顺次连接，，和得到四边形．若，，，则四边形的面积等于______． 【答案】24 【解析】 【分析】此题考查了矩形的性质和判定，三角形中位线的性质和判定，解题的关键是掌握以上知识点．首先证明出是的中位线，得到，，同理得到，，然后证明出四边形是矩形，然后根据矩形的性质求解即可． 【详解】解：∵点E，F，分别为边，的中点， ∴是的中位线 ∴， 同理可得，是的中位线 ∴， ∵ ∴ ∵点G，H分别为边和的中点， ∴是的中位线 ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形 又∵ ∴四边形是矩形 ∴四边形的面积等于． 故答案为：． 15. 如图，点E在正方形的边上，连接CE，过点D作交于点F，以为边，在右侧作正方形，连接．已知，则的长为 ______ ． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了正方形的性质，勾股定理，全等三角形的性质和判定， 根据正方形的性质得，再说明，即可证明，可得，根据勾股定理求出，接下来过点H作，再根据“角角边”证明，可得，即可得，最后根据勾股定理得出答案． 【详解】解：∵四边形是正方形， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 根据勾股定理，得． 过点H作，交的延长线于点M， ∵四边形是正方形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 根据勾股定理，得． 故答案为：． 三、解答题：本题共7小题，共55分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 16. 解下列方程： （1）； （2）； （3）． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程的解法： （1）利用直接开平方的方法即可求解； （2）利用求根公式即可求解； （3）利用公式法和提公因式法因式分解求解即可． 【小问1详解】 解：， ， ， ； 【小问2详解】 解：， ， ， ； 【小问3详解】 解：， ， ， ， ， ． 17. 已知：如图，在中，，点，分别是和的中点．求证：四边形是矩形． 【答案】 证明：∵四边形是平行四边形， ∴，， ∵点，分别是和的中点， ∴，， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∵，， ∴， ∴， ∴四边形是矩形． 【解析】 【分析】本题考查了平行四边形的判定和性质，矩形的判定，等腰三角形的性质，由平行四边形的性质可证四边形是平行四边形，再根据三线合一可得，即可求证，掌握以上知识点是解题的关键． 【详解】略 18. 项目化学习 项目主题：劳动基地扩建方案 项目背景：学校计划扩建某劳动基地，综合实践活动小组以设计“劳动基地扩建方案”为主题开展了一次项目学习． 信息获取： 信息1，如图，原劳动基地为矩形，的长为，的长为； 信息2，如图，扩建后的新劳动基地仍为矩形，的最大长度为，的最大长度为． 问题解决：当时，新劳动基地的面积可以为吗？若存在，请求出和的长度；若不存在，请说明理由． 【答案】当时，新劳动基地的面积不可以为． 理由如下： 假设新劳动基地的面积可以为， 设，则， 根据题意得： ， 整理得：， 解得：（不符合题意，舍去）， ∴，不符合题意，舍去， ∴假设不成立， 即当时，新劳动基地的面积不可以为． 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，设，则，根据新劳动基地的面积为，列出关于y的一元二次方程，解之得出y的值，即可解决问题． 【详解】略 19. 如图，在四边形中，，为边上一点. （1）实践与操作：利用尺规作的平分线，交边于点；（要求：尺规作图并保留作图痕迹，不写作法，标明字母） （2）猜想与证明：若，连接，请判断四边形的形状，并加以证明． 【答案】（1） 如图所示，即为所求； （2） 解：四边形是菱形， 证明如下： ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴四边形是菱形． 【解析】 【分析】（1）根据尺规作图-角平分线的作法步骤作图即可； （2）由（1）中作图，利用平行四边形性质得到四边形是平行四边形，再利用菱形的判定即可得证四边形是菱形． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【点睛】本题考查特殊平行四边形综合，涉及尺规作图、等腰三角形的判定与性质、平行四边形的判定与性质、菱形的判定等知识，熟练掌握角平分线的尺规作图及平行四边形的判定与性质是解决问题的关键． 20. 应用题：山西有着多年的制醋史，山西老陈醋凝结着黄土高原上特有的风土人情，成为山西熠熠发光的文化名片，也是致富一方的产业．某陈醋厂在传统技术的基础上不断创新，推出了一款养生醋进行线上销售，引得广大网友争相购买品尝，据了解得知，成本价为每盒元，如果按每盒元销售，每天可售出盒；为了扩大知名度，该厂家决定降价销售，经调查发现，当销售单价每下降元，平均每天的销售量可增加盒，若该厂既想每天的利润达到元，又想扩大销售量，那么每盒养生醋的售价应为多少元? 【答案】该厂既想每天的利润达到元又想扩大销售量，那么每盒养生醋的售价应为元． 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程的应用，设每盒养生醋的售价应为元，根据题意得，解方程即可，解题的关键是正确理解题意，根据各数量之间的关系列出代数式；找出题目中的等量关系列出方程． 【详解】解：设每盒养生醋的售价应为元， 根据题意得，， 解得：，， ∵想扩大销售量， ∴不符合题意，舍去， 答：该厂既想每天的利润达到元又想扩大销售量，那么每盒养生醋的售价应为元． 21. 阅读与思考 下面是小文撰写的数学小论文，请仔细阅读并完成相应任务． 通过解一元二次方程分解某些二次三项式 我们把形如（a，b，c是常数，）的多项式叫做关于x的二次三项式．通过初中学习可知，利用因式分解可解某些一元二次方程．反过来，是否可以利用求出一元二次方程两个根的方法，把某些二次三项式分解因式呢？ 根据下面代数推理，可以得出结果，设一元二次方程的两个实数根为，，直接计算：a． 下面是代数推理过程： 解： 即 这就是说，在因式分解二次三项式时，可先求一元二次方程的两个实数根，然后写成．即通过解一元二次方程可以将某些二次三项式分解因式． 任务： （1）已知p，q是两个常数，一元二次方程的两个实数根为，则二次三项式分解因式的结果是______； （2）因式分解：的结果是______； （3）请用阅读内容中的方法，因式分解：． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】本题考查因式分解，一元二次方程的应用，正确理解题意是解题的关键． （1）读懂题目根据题意并进行因式分解即可得到答案； （2）读懂题目根据题意先解一元二次方程，在结合题意分解因式即可得到答案； （3）读懂题目根据题意进行因式分解即可得到答案． 【小问1详解】 解：由题意可得：， 即， 故答案为：； 【小问2详解】 解：得， ， ∴， ∴， 故答案为：； 【小问3详解】 解：得， ， ∴，， ∴． 22. 综合与探究 探究几何元素之间的关系 问题情境：四边形中，点O是对角线的中点，点E是直线上的一个动点（点E与点C，O，A都不重合），过点A，C分别作直线的垂线，垂足分别为F，G，连接． （1）初步探究： 如图1，已知四边形是正方形，且点E在线段上，求证； （2）深入思考： 如图2，已知四边形为菱形，且点E在的延长线上，其余条件不变．探究与的数量关系并说明理由； （3）拓展延伸： 如图3，已知四边形为矩形，且．点E在直线上运动的过程中，若，则的长为______． 【答案】（1） 证明：∵四边形是正方形， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； （2），理由如下： 延长上交的延长线于点H， ∵， ∴， ∴， ∴． ∵点O是的中点， ∴， ∴， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴； （3）4 【解析】 【分析】对于（1），根据正方形的性质可得，进而说明，再根据“角角边”证明，则此题可证； 对于（2），延长上交的延长线于点H，再证明，然后根据“角角边”证明，可得，最后根据直角三角形的性质得出答案； 对于（3），如图所示，连接，先证明是等边三角形，再说明，然后根据直角三角形的性质可得，接下来根据勾股定理求出,进而求出，则此题可解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：如图所示，连接， 在直角三角形中，， ∵， ∴是等边三角形， ∴． ∵， ∴点B是的中点， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴, ∴， ∴． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了正方形的性质，全等三角形的性质和判定，等边三角形的性质和判定，勾股定理，直角三角形的性质等，作出辅助线构造全等三角形是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年山西省太原市成成中学九年级（上）第一次诊断数学试卷 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 若将一元二次方程化成一般式，则的值为（ ） A. B. 2 C. D. 4 2. 小琦在复习几种特殊四边形的关系时整理出如图所示的转换图，（1）（2）（3）（4）处需要添加条件，则下列条件添加错误的是（ ） A. （1）处可填 B. （2）处可填 C. （3）处可填 D. （4）处可填 3. 一元二次方程的根的情况是（ ） A. 有两个不相等的实数根 B. 有两个相等的实数根 C. 没有实数根 D. 无法确定 4. “二十四节气”是中华上古农耕文明的智慧结晶，被国际气象界普为“中国第五大发明”，小文购买了“二十四节气”主题邮票，他要将“立春”“立夏”“秋分”“大暑”四张邮票中的两张送给好朋友小乐．小文将它们背面朝上放在桌面上（邮票背面完全相同），让小乐从中随机抽取一张（不放回），再从中随机抽取一张，则小乐抽到的两张邮票恰好是“立春”和“立夏”的概率是（ ） A. B. C. D. 5. 我们可以通过不断缩小范围的方法求一元二次方程的近似解，即找出使方程成立的一个初始范围，在该范围内提高精确度，得到一个新的范围，再对新的范围进行操作．例如在求时，根据以下表格，可知道其中一个解的大致范围是（　　） x 1 1.1 1.2 1.3 1.4 98 99.41 100.84 102.29 103.76 A. B. C. D. 6. 将一元二次方程配方后可得方程为（ ） A. B. C. D. 7. 如图，在中，，D，E分别是和的中点．若，，则的周长为（ ） A. B. C. D. 6 8. 随着《黑神话：悟空》的火爆，国庆期间山西景区旅游热度大涨．10月1日，我省某景区的销售额为10万元，之后每日销售额的增长率相同，10月1日至10月3日该景区的累计销售额达到30.6万元．若设平均每日销售额的增长率为，则根据题意可列方程为（ ） A. B. C. D. 9. 如图，在中，，以点B为圆心，的长为半径画弧，交于点E，再分别以点A，E为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点F，连接并延长交于点G，连接．若四边形的周长为，则四边形的面积为（ ） A. B. C. D. 10. 如图，在正方形中，O为对角线的交点，E，F分别为边上一点，且，连接．若，则的最小值是（ ） A. B. 1 C. D. 二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分． 11. 一元二次方程的解是______． 12. 如图，矩形中，对角线交于点，若，则的长为______． 13. 如图，根据小丽与的对话，在深度思考后，给出的答案是______． 14. 如图，在四边形中，点E，F，G，H分别为边，，和的中点，顺次连接，，和得到四边形．若，，，则四边形的面积等于______． 15. 如图，点E在正方形的边上，连接CE，过点D作交于点F，以为边，在右侧作正方形，连接．已知，则的长为 ______ ． 三、解答题：本题共7小题，共55分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 16. 解下列方程： （1）； （2）； （3）． 17. 已知：如图，在中，，点，分别是和的中点．求证：四边形是矩形． 18. 项目化学习 项目主题：劳动基地扩建方案 项目背景：学校计划扩建某劳动基地，综合实践活动小组以设计“劳动基地扩建方案”为主题开展了一次项目学习． 信息获取： 信息1，如图，原劳动基地为矩形，的长为，的长为； 信息2，如图，扩建后的新劳动基地仍为矩形，的最大长度为，的最大长度为． 问题解决：当时，新劳动基地的面积可以为吗？若存在，请求出和的长度；若不存在，请说明理由． 19. 如图，在四边形中，，为边上一点. （1）实践与操作：利用尺规作的平分线，交边于点；（要求：尺规作图并保留作图痕迹，不写作法，标明字母） （2）猜想与证明：若，连接，请判断四边形的形状，并加以证明． 20. 应用题：山西有着多年的制醋史，山西老陈醋凝结着黄土高原上特有的风土人情，成为山西熠熠发光的文化名片，也是致富一方的产业．某陈醋厂在传统技术的基础上不断创新，推出了一款养生醋进行线上销售，引得广大网友争相购买品尝，据了解得知，成本价为每盒元，如果按每盒元销售，每天可售出盒；为了扩大知名度，该厂家决定降价销售，经调查发现，当销售单价每下降元，平均每天的销售量可增加盒，若该厂既想每天的利润达到元，又想扩大销售量，那么每盒养生醋的售价应为多少元? 21. 阅读与思考 下面是小文撰写的数学小论文，请仔细阅读并完成相应任务． 通过解一元二次方程分解某些二次三项式 我们把形如（a，b，c是常数，）的多项式叫做关于x的二次三项式．通过初中学习可知，利用因式分解可解某些一元二次方程．反过来，是否可以利用求出一元二次方程两个根的方法，把某些二次三项式分解因式呢？ 根据下面代数推理，可以得出结果，设一元二次方程的两个实数根为，，直接计算：a． 下面是代数推理过程： 解： 即 这就是说，在因式分解二次三项式时，可先求一元二次方程的两个实数根，然后写成．即通过解一元二次方程可以将某些二次三项式分解因式． 任务： （1）已知p，q是两个常数，一元二次方程的两个实数根为，则二次三项式分解因式的结果是______； （2）因式分解：的结果是______； （3）请用阅读内容中的方法，因式分解：． 22. 综合与探究 探究几何元素之间的关系 问题情境：四边形中，点O是对角线的中点，点E是直线上的一个动点（点E与点C，O，A都不重合），过点A，C分别作直线的垂线，垂足分别为F，G，连接． （1）初步探究： 如图1，已知四边形是正方形，且点E在线段上，求证； （2）深入思考： 如图2，已知四边形为菱形，且点E在的延长线上，其余条件不变．探究与的数量关系并说明理由； （3）拓展延伸： 如图3，已知四边形为矩形，且．点E在直线上运动的过程中，若，则的长为______． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $