专题06 直角三角形的性质5大题型（压轴题专项训练）数学沪教版五四制2024八年级上册

命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 专题06j 直角三角形的性质 目录 典例详解 类型一、直角三角形两个锐角互余的性质 类型二、直角三角形30°角的性质 类型三、直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半性质 类型四、直角三角形性质的实际应用 类型五、解答证明题的综合 压轴专练 典例详解 左类型一、直角三角形两个锐角互余的性质 【例1】等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为25°，则顶角的度数为 【答案】115°或65 【详解】设等腰三角形ABC中，AB=AC,BD为腰AC上的高，BD⊥AC,垂足为D,∠ABD=25°. ①当a△ABC为锐角三角形时，点D在AC上. B 在RtAABD中，∠ADB=90°，∠ABD=25°， :∠A=90°-25°=65°. ②当△ABC为钝角三角形时，点D在CA的延长线上， 1/41 厨学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 D A 在RtAABD中，∠ADB=90°，∠ABD=25°， ·∠BAD=90°-25°=65°， ·∠BAC=180°-∠BAD=180°-65°=115°. 故顶角的度数为65°或115°， 故答案为：115°或65°. 【例2】己知：如图，在ABC中，AD⊥BC于点D,E为AC上一点，且BD=AD,DF=DC,猜想BF 与AC的关系，并说明理由. B D 【答案】BF=AC,BF⊥AC,理由见解析. 【详解】解：BF=AC,BF⊥AC,理由如下： :AD⊥BC ·∠BDF=∠ADC=90 又：在△ADC和△BDF中， AD=BD ∠ADC=∠BDF DF=DC △ADC≌△BDF(SAS) ∠BFD=∠C,BF=AC, :∠BDF=90°， .∠CBE+∠BFD=∠CBE+∠C=90°， ∴.∠BEC=90°， .BF⊥AC. 2/41 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 【变式1-1】如图，在ABC中，AE是∠BAC的角平分线，AD是BC边上的高线，且LB=50°，∠C=60° ,则∠EAD的度数为()· B ED A.5 B.10° C.15° D.20° 【答案】A 【分析】 【详解】解：：∠B=50°，∠C=60°， ∴.∠BAC=180°-∠B-∠C=70°， :AE是∠BAC的角平分线， ·∠EAC=5∠BAC=35°， :AD是BC边上的高线， .∠ADC=90°， ∠BAD=90°-∠B=40°， .∠EAD=∠BAD-∠BAE=S° 故选：A. 【变式1-2】如图，在3×3的正方形网格中，则∠1+∠2+∠3+∠4=° 3 之4 【答案】180 【分析】 AG=OE 【详解】解：：在△AOG和aODE中{∠AGO=∠DEO, OG=DE .△AOG≌aODE(SAS, 3/41 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 ∴.∠1=∠D0E,∠4=∠A0G, :∠1+∠A0G=90°， .∠1+∠4=90°， 同理得：△BOF≌△OCE, ∠2=∠C0E, .∠3+∠C0E=90°， .∠3+∠2=90°， ∠1+∠2+∠3+∠4=180°. 故答案为：180. B G F 【变式1-3】如图，△ACB和△DCE都是等腰直角三角形，∠ACB=∠DCE=90°，求证： R O (1)AE =BD (2)AE⊥BD. 【答案】()见解析 (2)见解析 【分析】 【详解】(I)证明：：△ACB和△DCE都是等腰直角三角形， .∠ACB=∠DCE=90°，AC=BC,DC=EC, :.∠ACB+∠BCE=∠DCE+∠BCE, .∠ACE=∠BCD. 4/41 函学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 AC=BC 在△ACE与△BCD中， ∠ACE=∠BCD, CE=CD △ACE≌△BCD(SAS), .AE BD. (2)证明：由(1)知△ACE≌△BCD, :ZAEC ZBDC :∠BDC+∠CND=90°，∠CND=∠ONE, :∠AEC+∠0NE=90°， .∠N0E=90°， AE⊥BD. 类型二、直角三角形30°角的性质 (1)核心紧抓30°角对的直角边是斜边的一半”，直接建立边角数量关系，快速换算边长（已知一边求另 边)。 (2)结合勾股定理或两锐角互余性质，设最短边为a简化计算，同时推导60°角，完善角度与边长信息。 (3)遇到折叠、等腰三角形等综合场景，先定位30°角和直角条件，利用性质搭建关联，突破解题关键。 【例3】等腰三角形一腰上的高等于该三角形某一条边的长度的一半，则其顶角等于 【答案】30°或120°或150 【分析】 【详解】解：如图①： B ① :CD⊥AB, 5/41 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 .∠ADC=90°， CD-C. ∠A=30°， 如图②： A B ② :CD⊥AB, ∠ADC=90°， :cD=54c, 2 .∠CAD=30°， ∠DAC=90°-30°=60°， :AB=AC,∠B+∠ACB=∠CAD, ∠B=∠ACB=30°÷2=15°， 则∠BAC=180°-30°=150°； 如图③， D B C ③ 1 :BD⊥CD,BD=二BC, .∠C=30°， AB=AC, .∠ABC=∠C=30°， ∠BAC=180°-30°-30°=120° ∴.这个三角形的顶角为：30°或120°或150° 故答案为：30°或120°或150° 6/41 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 【例4】如图，在ABC中，AB=AC,D是AB上的一点，过点D作DE⊥BC于点E,延长ED交CA的 延长线于点F. (I)求证：AF=AD; (2)若∠F=30°，BD=6,EC=9,求AC的长. 【答案】()见解析 (2)12 【分析】 【详解】(1)证明：：AB=AC, .∠B=C. :FE⊥BC, ∠F+∠C=90°，LB+LBDE=90°. ∴∠F=∠BDE, ∠BDE=∠FDA, .∠F=∠ADF, .AF AD (2)解：DE⊥BC, ∠DEB=90°， .∠F=30°， ∴∠BDE=30°，∠C=60°， AB=AC, .ABC为等边三角形. .BC=AC, BD=6, 7/41 高学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 、 BE-7BD-3 .BC=BE+EC=3+9=12, AC=12. 【变式2-1】如图，在ABC中，AB=AC,AD平分∠BAC,∠E=∠EBC=60°，若BE=10cm, EG=6cm,则BC的长为 G B DF 【答案】16cm16厘米 【详解】解：：∠E=∠EBC=60°， ∴∠EBC=∠E=∠EFB=60°， ·△BEF为等边三角形， BF=BE=EF=10cm,∠BFE=60°， :AB=AC,AD平分∠BAC, AD⊥BC,BD=CD, ∴.∠DGF=90-60°=30°， .EG=6cm, ∴.GF=EF-GE=4cm, 在RIADFG中，DFGF=2cm .BD BF DF =10-2=8cm .BC =2BD =16cm 故答案为：16cm. 【变式2-2】如图，在ABC中，∠C=90°，∠B=30°，将ABC绕点A顺时针旋转到△AEF的位置，边AE 交BC于点D,BD=2CD,则∠BAD的度数为°. 8/41 函学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 E B 【答案】30 【详解】解：过点D作DG⊥AB于点G, D B G 则∠BGD=∠AGD=90°， :∠B=30°，∠C=90°， ∠B4C=60°，DG=BD, 2 :BD=2CD,即CD=BD, 2 .DG=CD, [DG=CD 在RtAADG与RtAADC中 AD=AD RtAADG≌Rt△ADC, :∠CAD=∠GAD=∠BAC=30°， 2 .∠BAD=30°. 故答案为：30. 【变式2-3】如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，D是边AB上的一点，过点D作DE⊥AB交AC于点E, BC=BD,连接CD交BE于点F. D (I)求证：BE垂直平分线段CD; (2)若∠BED=60°，FE=1,求AC的长. 9/41 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 【答案】(1)见详解 (2)6 【分析】 【详解】(1)证明：：∠ACB=90°，且DE⊥AB, ∴∠EDB=∠ACB=90°， 在RIAEBC和RtEBD中 BD=BC EB=EB :Rt△EBC≌Rt△EBD(HL), .∠CBE=∠DBE, BD=BC, “.△BDC是等腰三角形， BF⊥CD,CF=DF, BE垂直平分CD; (2)解：∠BED=60°，∠EDB=∠EFD=90°， ∠DBE=∠FDE=30°， ,FE=1, .DE 2EF =2, :BE垂直平分CD, .DE=CE=2, :∠CBE=∠DBE=309, .∠CBD=60°， :∠ACB=90°， .∠A=30°， ∴.AE=2DE=4, .AC=AE +CE=6. 【点晴】本题考查了含30°的直角三角形的性质，线段垂直平分线的判定，全等三角形的性质和判定与等腰 三角形的性质等知识点，熟练掌握直角三角形的性质与全等三角形的性质和判定是解决本题的关键。 10/41null