专题07 角平分线的判定定理与性质定理5大题型（压轴题专项训练）数学沪教版五四制2024八年级上册

函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 专题07角平分线的判定定理与性质定理 目录 典例详解 类型一、角平分线的判定定理 类型二、角平分线的性质定理的应用 类型三、角平分线的性质定理的实际应用 类型四、尺规作图 类型五、角平分线有关的综合题 压轴专练 典例详解 ≈类型一、角平分线的判定定理 先找直角三角形的直角边，再通过作垂线或利用己知垂直条件，证明某点到两直角边距离相等，即可判 定该点在角平分线上。 【例1】如图，CA=CD,∠I=∠2，BC=EC,AB与ED的交点为F,连接CF,下列结论：① AB=ED:②∠EFB=∠I:③CF平分∠ECA;④FC平分∠BFD.其中一定正确的结论有( B A.①②③ B.②③④ C.①②④ D.①②③④ 1/48 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 【答案】C 【分析】 【详解】解：∠1=∠2， .∠I+∠ACE=∠ACE+∠2， 即∠BCA=∠DCE, 在△ABC与△EDC中 BC=EC ∠BCA=∠DCE AC=CD ∴.△ABC≌△DEC(SAS .AB=ED,故①正确： ,△ABC≌△DEC, ∴∠E=∠B, ,∠3=∠4，∠E+∠4+∠EFB=∠B+∠3+∠1， ∴∠EFB=∠I,故②正确： D B 过点C作CG⊥AB,CH⊥DE,垂足分别为G,H, △ABC≌△DEC, ∠B=∠E, :CG⊥AB,CH⊥DE, .∠BGC=∠EHC=90°， 在△BCG和△ECH中 ∠B=∠E ∠BGC=∠EHC BC=EC 2/48 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ∴，△BCG≌△ECH(AAS) ..CG=CH, ∴.FC平分∠BFD,故④正确： 不能证明CF平分∠ECA,故③错误： 故选：C 【例2】如图，△ABC与△AED中，∠E=∠C,DE=BC,EA=CA,过A作AF⊥DE垂足为F,DE交 CB的延长线于点G.连接AG. D \B E (I)求证：GA平分∠DGB; (2)若 四边形DGB4=20,AF=4 ,求FG的长. 【答案】(1)见解析 (2)5 【分析】 【详解】(I)证明：过点A作AH⊥BC于H, D E 在△ABC与△ADE中， (DE=BC {∠E=∠C EA=CA .△ABC≌△ADE(SAS 3/48 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 S.4DE-S. 又：AF⊥DE, .AF=AH, 又，AF⊥DE,AH⊥BC, .GA平分∠DGB: (2)解：，△ABC≌△ADE, ∴AD=AB, 在RtAADF和Rt△ABH中， (AD=AB AF=AH, :RtAADF≌RtABH(HL) ..OF=S.w :.国边形0G4=S酒边形H=20 在Rt△AFG和Rt△AHG中， AG=AG AF=AH, ·.R1△AFG≌R△AHG(HL) S.FG=S.AuG :S边形Gn=2S,A6=20 5mFG4=10, AF=4, ·2×FG×4=10, 解得：FG=5. 4/48 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 【变式1-1】如图，在△OAB和△OCD中，OA=OB,OC=OD,OA>OC,∠AOB=∠COD=35°，连接 AC,BD交于点M,连接OM.下列结论：①AC=BD;②∠AMB=35°：③OM平分∠BOC;④MO平 分∠BMC.其中正确的个数为( ) ⊙ A.① B.①② C.①②③ D.①②④ 【答案】D 【分析】 【详解】解：：∠AOB=∠COD=35°， :.∠AOB+∠AOD=∠COD+∠AOD, 即∠AOC=∠BOD., 在△AOC和△BOD中， OA=OB ∠AOC=∠BOD OC=OD :△AOC≌ABOD(SAS ∴.AC=BD,①正确： ,'△AOC≌△BOD ∴.∠OAC=∠OBD,∠OCA=∠ODB, 由三角形的外角性质得：∠OEM=∠AMB+∠OAC=∠AOB+∠OBD, ·.∠AMB=∠AOB=35°，②正确： 作OG LMC于G,OH⊥MB于H,如图 E B D A 则∠OGC=∠OHD=90°， 在△OCG和△ODH中， 5/48 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ∠OCA=∠ODB ∠OGC=∠OHD OC=OD OCG2ODH(AAS) ..OG=OH, ∴.MO平分∠BMC,④正确： ∠AOB=∠COD, .当∠DOM=∠AOM时，OM平分∠BOC, 假设∠DOM=∠AOM, :∠AOB=∠COD,∠DOM=∠AOM, .∠COM=∠BOM, OM平分∠BMC, ∴.∠CMO=∠BMO, 在△COM和△BOM中， I∠COM=∠BOM OM-OM ∠CMO=∠BMO' :△COM≌BOM(ASA) ..OB=OC, .OA=OB, ..OA=OC, 与OA>OC矛盾， ∴.③错误： 正确的有①②④： 故选D. 【变式1-2】如图，在△ACE中，∠E=90°，DF⊥AC于F,且BD=CD,BE=CF. 6/48 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (I)求证：AD是∠BAC的平分线： (2)试判断AB、AC与BE之间的数量关系，并说明理由. 【答案】()见解析 (2)AB+2BE=AC 【分析】 【详解】(1)证明：：∠E=90°，DF⊥AC于F, ∴.∠E=∠DFC=90° 在RIABED和RtACFD中， BD=CD BE=CF ,RtaBED≌RtACFD(HL) :DE =DF, :DF⊥AC,∠E=90°， ∴AD平分∠BAC」 (2)解：AB+2BE=AC,理由如下： 由(1)可知， RtABED≌RtACFD(HL) ..DE=DF,CF=BE, 在RtAADE和RtAADF中， 「AD=AD DE=DF ∴.Rt△ADE≌Rt△ADF(HL ..AE=AF, AE=AB+BE,AF+CF=AC, .AB+BE+CF=AC, .AB+2BE=AC 7/48 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 【变式1-3】如图，在△ABC中，∠C=90°，DE⊥AB于点E,∠B+∠AFD=180°，点F在AC上， BD=DF D B (I)求证：AD平分∠BAC: (2)求证：AB=AC+FC. 【答案】(1)见解析： (2)见解析. 【分析】 【详解】(1)证明：：DE⊥AB, ∴.∠BED=∠AED=9O° :∠CFD+∠AFD=180°，∠B+∠AFD=180°， .∠CFD=∠EBD, .∠C=90°， ∴.∠C=∠BED=90° 在△CDF和△EDB中， ∠C=∠BED=90 ∠CFD=∠EBD DF=BD :△CDF≌AEDB(AAS .DE DC, :DE L AB,DC⊥AC, ∴.点D在∠BAC的平分线上， ∴.AD平分∠BAC: (2)证明：：AD平分∠BAC, .∠DAC=∠DAB, 在△CDA和△EDA中， 8/48 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ∠C=∠AED=90 ∠DAC=∠DAB AD=AD CDAEDA(AAS) .AC=AE, 由(I)得△CDF≌△EDB, .CF=BE, ∴.AB=AE+EB=AC+FC, ∴.AB=AC+FC. 类型二、角平分线的性质定理的应用 先定位直角三角形的角平分线，再利用直角特性，直接得出角平分线上某点到两直角边的垂线段相等。 【例3】如图，△ABC的外角∠ACD的平分线CP与内角∠ABC平分线BP交于点P,若∠BPC=40°，则 ∠CAP=( B A.60° B.50° C.40° D.55 【答案】B 【详解】解：过P点作PF⊥BA于F,PN⊥BD于N,PM⊥AC于M, B ND 设∠PCD=x°， :CP平分∠ACD, 9/48 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 .∠ACP=∠PCD=x°，PM=PN, :BP平分∠ABC, .∠ABP=∠PBC,PF=PN, ..PF=PM, 又，PF⊥BA于F,PM⊥AC于M, ∴.∠FAP=∠PAC :∠BPC=40°， :∠ABP=∠PBC=(x-40。 :∠B1C=∠ACD-∠ABC=2x°-（°-40）-(P-40)=80 ∴.∠CAF=180°-80°=100°， .∠FAP=∠PAC=50°， 故选B 【例4】如图，AD是△ABC的角平分线，DE,DF分别是△ABD和△ACD的高，AC=7,AB=8, △ACD的面积是21，则△ABC的面积是一· B D 【答案】45 【详解】解：：AD是△ABC的角平分线，DE,DF分别是△ABD和△ACD的高， :DE =DF, :S.ACD=2 AC×DF=21, 7×DF=21, …2 .DF=6, ..DE DF=6, .S. ABXDE=1x8x6-24 1 10/48null