第三章 排列、组合与二项式定理（知识清单）数学人教B版2019选择性必修第二册

第三章 排列、组合与二项式定理 知识点 具体内容 计 数 原 理 1．分类加法计数原理 完成一件事有两类不同方案,在第1类方案中有种不同的方法,在第2类方案中有种不同的方法,那么完成这件事共有种不同的方法. 拓展：完成一件事有类不同方案，在第1类方案中有种不同的方法，在第2类方案中有种不同的方法，…，在第n类方案中有种不同的方法，那么完成这件事共有种不同的方法 2．分布乘法计数原理 完成一件事需要两个步骤,做第1步有种不同的方法,做第2步有种不同的方法,那么完成这件事共有种不同的方法. 拓展：完成一件事需要个步骤，做第1步有种不同的方法，做第2步有种不同的方法，…，做第n步有种不同的方法，那么完成这件事共有种不同的方法 注意：区分“完成一件事”是分类还是分步，关键看一步能否完成这件事，若能完成，则是分类，否则，是分步． 排 列 的 定 义 及 排 列 数 1.排列的定义:一般地,从个不同元素中取出个元素,并按照一定的顺序排成一列,叫做从个不同元素中取出个元素的一个排列. 2.排列数:从个不同元素中取出个元素的所有不同排列的个数,叫做从个不同元素中取出个元素的排列数,用符号表示. 3排列数公式:,并且.从形式上看排列数等于从开始的个连续自然数相乘. 全排列:特别地,个不同的元素全部取出的一个排列,叫做个元素的一个全排列. 的阶乘:正整数1到的连乘积,叫做的阶乘,用!表示.规定:, 组 合 的 定 义 及 组 合 数 组合的定义:一般地,从个不同元素中取出个元素作为一组,叫做从个不同元素中取出个元素的一个组合. 组合数：从个不同元素中取出个元素的所有不同组合的个数,叫做从个不同元素中取出个元素的组合数,用符号表示. 组合数公式：,这里,并且.规定 组合数的性质:（1） ;（2） 二 项 式 定 理 及 其 性 质 1.二项式定理 该公式叫做二项式定理，等号右边的多项式叫做的二项展开式，共有项， 其中各项的系数叫做二项式系数，展开式的第项为 注意：①是第项，而不是第k项； ②通项公式中a，b的位置不能颠倒． 2.二项式定理的性质 （1）对称性：与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等，由公式得到 （2）增减性与最大值：当时，二项式系数是逐渐增大的；当时，二项式系数是逐渐减小的，因此二项式系数在中间取得最大值 ①当n是偶数时，中间的一项的二项式系数最大； ②当n是奇数时，中间的一项的二项式系数最大； 二项式系数的和：二项式系数的和为 奇数项的二项式系数之和等于偶数项的二项式系数之和，即 易错01 忽视排列数组合数公式的隐含条件致误 排列数，组合数中，需满足 1．已知，则（   ） A．5 B．3 C．4或6 D．4 【答案】D 【详解】由，可知，且， 化简得：， 解得或，因，故. 故选：D. 2．（多选）满足不等式的x的值可能为（   ） A．5 B．6 C．7 D．8 【答案】ABC 【详解】由可得：，即， 由化简得：， 即，解得或， 综上可得，又，故x的值可能为3，4，5，6，7. 故选：ABC. 3．若已知，则的值为 （用数字作答）． 【答案】 【详解】由，得， 即， 化简得，整理得，解得或， 因为，所以， 所以， 故答案为： 4．若，则正整数的值是 . 【答案】1或3 【详解】由题设且，， 所以，即， 所以，又， 当，有，满足； 当，有，不满足； 当，有，满足； 当，有，不满足； 所以或. 故答案为：1或3 5．（1）求值:； （2） 解不等式:. 【答案】（1）；（2）. 【分析】 【详解】（1）因为，所以， 原式 ； （2）因为， 所以， 化简可得，解得， 所以不等式解集为. 易错02 与数学有关的问题,忽略结果相等的情况 6．已知集合，直线中的，，是取自集合的三个不同元素，并且该直线的倾斜角为钝角，符合以上所有条件的直线的条数为（    ） A．40 B．32 C．24 D．23 【答案】D 【详解】可得，从集合中任取三个不同元素，且，异号， 若，共有条，若，共有条，总共种. 又因为当，，和，，时，都表示直线， 所以符合条件的直线的条数为种. 故选：D. 7．（多选）从2，3，5，7，11，13，17，19这8个数中任取2个，则下列问题属于组合问题的是（   ） A．相加可以得到多少个不同的和 B．相乘可以得到多少个不同的积 C．相减可以得到多少个不同的差 D．相除可以得到多少个不同的商 【答案】AB 【详解】因为减法与除法不满足交换律，取出的两个数与顺序有关， 所以C，D中问题不是组合问题． 因为加法与乘法满足交换律，取出的两个数与顺序无关， 所以相加问题是组合问题，相乘问题是组合问题． 故选：AB． 8．从集合中任取3个不同元素分别作为直线方程中的、、，则经过坐标原点的不同直线有 条（用数值表示）. 【答案】18 【详解】依题意，，从任取两个不同元素分别作为的值有种， 其中重合的直线，与 重合， 与重合， 所以经过坐标原点的不同直线条数是. 故答案为：18 易错03 分组问题混淆“均分”与“非均分” 对于分堆与分配问题应注意：①处理分配问题要注意先分堆再分配；②被分配的元素是不同的,位置也应是不同的；③分堆时要注意是否均匀 9．在贵州“村超”总决赛阶段，某校足球社的5名学生准备分成三组前往村超球队所在的平地村、口寨村、忠诚村3个村寨进行调研，每组至少1人，其中甲、乙2人不能分在同一组，每个村各有一组来调研，则不同的安排方法种数是（    ） A．114 B．120 C．150 D．180 【答案】A 【详解】根据题意，5名学生分成三组分组方法分为两种： ① 分组：总分组方式为种，其中甲、乙同在三人组的方式有种，故符合条件的为种； ②分组：总分组方式为种，其中甲、乙同在两人组的方式为种，故符合条件的为种. 由分类加法计数原理，总分组方式为种，三组对应三个村寨的排列方式为种， 故最终总方法数为种. 故选：A. 10．某市派4名专家到西部某市2家医院坐诊，每家医院至少派1名专家，且每名专家只去1家医院，则不同的分配方案种数为（    ） A．20 B．18 C．16 D．14 【答案】D 【详解】先分组，再分配， 分组有2种情况： ①一个医院1人，一个医院3人，此时有种， ②两个医院各2人，此时有种， 将分好的组分配到两个不同的医院，有2种情况， 故不同的分配方案有种， 故选：D 11．4月15日，人工智能模型OpenAI推出参数规模达10万亿级的GPT-5，支持20万字长文本理解，推理速度较GPT-4提升3倍．小明等5位同学组成人工智能调研小组，准备对OpenAl、DeepSeek、百度文心一言和腾讯元宝等4种人工智能模型展开学习研究，每位同学只调研一种模型，每个模型至少由一位同学调研，则不同的总方案数为（   ） A．180 B．240 C．288 D．360 【答案】B 【详解】由题意得，5位同学对4种人工智能模型展开学习研究，分为2,1,1,1， 故不同的总方案数为. 故选：B 12．现有4名同学要报名参加冰雪兴趣小组，要求雪上项目和冰上项目都至少有1人参加，则不同的报名方案有 种(用数字作答)． 【答案】14 【详解】由题干可知，要求雪上项目和冰上项目都至少有1人参加，则组合为：“1+3”和“2+2”两类； （1）若为“1+3”组合，将4名同学分为两组，一组1人，另一组3人，有种分组方式； 将分好的2组在雪上项目和冰上项目进行全排列有种，由分步乘法计数原理，则该组合有种； （2）若为“2+2”组合，将4名同学分为两组，一组2人，另一组也为2人，有种分组方式； 将分好的2组在雪上项目和冰上项目进行全排列有种，由分步乘法计数原理，则该组合有种； 由分类加法计数原理，则不同的报名方式有8+6=14种. 故答案为：14 13．《数术记遗》记述了我国古代十余种算法.甲、乙、丙三人拟收集该书中运筹算、九宫算、了知算、成数算和把头算等5种算法的相关资料，要求每人至少收集其中一种，且每种算法只由一个人收集，则不同的分工收集方案有 种. 【答案】150 【详解】5种算法按1，1，3或1，2，2分成三组的方法数为：， 再安排给3人，总方法数为， 故答案为：150. 易错04 忽略二项展开式的通项是第项不是第项 求二项展开式中的特定项,一般是利用通项公式进行,化简通项公式后,令字母的指数符合要求,解出项数,代回通项公式即可 14．若二项展开式中各项的二项式系数只有第6项最大，则展开式的常数项的值为（   ） A．840 B． C． D．210 【答案】A 【详解】因为二项式系数只有第6项最大，故， 又二项展开式的通项公式为， 令，则， 故， 故选：A. 15．已知在的二项展开式中，第6项为常数项，若在展开式中任取3项，其中有理项的个数为，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】在中，其展开式的通项为： ， 已知第项为常数项，即当时，的次数为，则，解得. 由可得，当为整数时，该项为有理项. 因为且，所以当，，时，分别为，，，是整数，即有理项有项. 从11项中任取项，其中有理项的个数服从参数为（总体个数），（有理项个数），（抽取个数）的超几何分布. 根据超几何分布的期望公式，可得. 故选：B. 16．已知的展开式中第三项和第四项的二项式系数之比为3：4，则展开式中的常数项为 ．（用数字作答） 【答案】 【详解】二项式的展开式的通项公式为 ，， 所以的展开式中第三项和第四项的二项式系数分别为，， 由题意知，解得， 所以展开式的通项为， 令，得，所以常数项为． 故答案为：. 17．在的二项展开式中，第四项是常数项，则该常数项为 .（用数字作答） 【答案】 【详解】由二项式的展开式的通项为， 可得展开式的第四项为， 因为二项展开式的第四项为常数项，所以，解得. 该常数项为. 故答案为： 18．已知二项式的展开式中，第7项为常数项，且各项系数之和等于其二项式系数之和. (1)求与的值； (2)求其展开式中所有的有理项. 【答案】(1)， (2)， 【分析】 【详解】（1）在二项式的展开式中，第7项为， 由题意可知，，所以. 因为各项系数之和等于其二项式系数之和，所以令得，解得. （2）二项式的展开式的通项为，， 令，解得， 所以其展开式中所有的有理项为，. 易错05 三项式转化不合理 三项式转化成二项式的时候，要注意字母的限制条件，要做到不重不漏 19．若，则等于（    ）． A．400 B．425 C．625 D．800 【答案】D 【详解】解法1：， 与的展开式通项分别为： ，． 由题意知且，解得或或， 因此. 解法2：表示5个相乘，每个在相乘时均有三种选择，选或或2． 设选的有a个，选的有b个，那么选2的有个，故有，解得或， 即选2个、3个2，或者选1个、4个2，因此含项的系数为， 故选：D． 20．的展开式中的系数为（    ） A．75 B．135 C．180 D．195 【答案】D 【详解】， 这个展开式中从第4项开始就不会出现，即只在前3项出现， 所以的系数为， 故选：D. 21．展开式中，的系数为 . 【答案】 【详解】展开式中，的项为，则的系数为. 故答案为： 22．若的展开式中的常数项为31，则（    ） A． B．0 C．1 D．2 【答案】C 【详解】依题意，，所以，即． 故选：C. 23．展开式中的常数项为 。 【答案】4 【详解】， 3个因式中每个因式都包含三个项，若要得到常数项， 第一种方法是3个都取1，为，第二种方法是取2个，1个，为， 所以展开式的常数项为. 故答案为：4. 1．不等式的解为 ． 【答案】 【详解】依题意，所以且， 由得， ， 所以不等式的解为. 故答案为： 2．从1，2，3，4，5，6，7，9中，任取两个不同的数作对数的底数和真数，则所有不同的对数的值有（    ） A．30个 B．42个 C．41个 D．39个 【答案】D 【详解】当取时，则只能为真数，此时这个对数值为， 当不取时，底数有种，真数有种， 其中， 故此时有个， 所以共有个. 故选：D. 3．的展开式中含项的系数为（   ） A．240 B．160 C．-60 D．-160 【答案】D 【详解】因为，所以. 对于，则其展开式的通项公式为： （）. 令，解得. 将代入到通项公式中，可得含项为.即含项的系数为. 故选：D. 4．已知集合，直线中的是取自集合中的三个不同元素，并且该直线的倾斜角为锐角，符合以上所有条件的直线的条数为（    ） A．40 B．32 C．24 D．23 【答案】D 【详解】由直线的倾斜角为锐角可知斜率一定存在，可得， 且，所以异号， 从集合中任取三个不同元素，且异号， 易知有4种选法，有2种选法，有3种选法，共有种， 又因为当和时，都表示直线， 所以符合条件的直线的条数为种. 故选：D 5．为了提高人们的环保意识，让所有人都能为保护环境出一份力，学校安排A，B，C，D 4名学生去甲、乙、丙三个社区宣讲，每个学生去且只去一个社区，每个社区至少有1名学生，其中学生A不能去甲社区，则不同安排方式的总数是（   ） A．20 B．24 C．32 D．36 【答案】B 【详解】A，B，C，D 4名学生去甲、乙、丙三个社区，每个社区至少有1名学生 可将4人分为1，1，2三组，共有种分法. 总分法为 令学生A必须去甲社区，则有两种分法:三人去乙、丙两个社区或三人去甲、乙、丙社区,则共有： 学生A不能去甲社区的不同安排方式为： 故选:B. 6．7名教师甲、乙、丙、丁、戊、己、庚带领学生参加“探秘未知”活动，教师随机分为4组，每组至少一人，则甲乙同组且丙丁同组的概率为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】根据题意，不同的分组方法有4,1,1,1；3,2,1,1；2,2,2,1三种； 当分组为4,1,1,1时，共有种，其中甲乙同组且丙丁同组有1种； 当分组为3,2,1,1时，共有种，其中甲乙同组且丙丁同组有种； 当分组为2,2,2,1时，共有种，其中甲乙同组且丙丁同组有种； 所以乙同组且丙丁同组的概率为. 故选：A. 7．若的展开式中只有第6项的系数最大，则该展开式中的常数项为（    ） A．10 B．210 C．252 D．463 【答案】B 【详解】展开式的通项公式为， 因为展开式中只有第6项的系数最大， 所以， 令，所以， 所以展开式中的常数项为. 故选：. 8．在展开式中，的系数为 ． 【答案】 【详解】表示4个相乘，要想得到，需要从4个因式中，3个选择项，1个选择常数项， 所以的系数为：. 故答案为： 9．在的二项展开式中， (1)若，且第3项与第6项相等，求实数x的值； (2)若第5项系数是第3项系数的10倍，求n的值. 【答案】(1) (2) 【分析】 【详解】（1）解：当时，可得展开式的通项， 令，可得，令，可得， 因为第3项与第6项相等，可得，解得. （2）解：由二项式展开式的通项， 可展开式中第5项的系数为，第3项的系数为， 因为第5项系数是第3项系数的10倍，可得， 即，即， 可得，解得或（舍去）， 所以的值为. 1 / 6 学科网（北京）股份有限公司 $ 第三章 排列、组合与二项式定理 知识点 具体内容 计 数 原 理 1．分类加法计数原理 完成一件事有两类不同方案,在第1类方案中有种不同的方法,在第2类方案中有种不同的方法,那么完成这件事共有______种不同的方法. 拓展：完成一件事有类不同方案，在第1类方案中有种不同的方法，在第2类方案中有种不同的方法，…，在第n类方案中有种不同的方法，那么完成这件事共有种不同的方法 2．分布乘法计数原理 完成一件事需要两个步骤,做第1步有种不同的方法,做第2步有种不同的方法,那么完成这件事共有______种不同的方法. 拓展：完成一件事需要个步骤，做第1步有种不同的方法，做第2步有种不同的方法，…，做第n步有种不同的方法，那么完成这件事共有种不同的方法 注意：区分“完成一件事”是分类还是分步，关键看一步能否完成这件事，若能完成，则是分类，否则，是分步． 排 列 的 定 义 及 排 列 数 1.排列的定义:一般地,从个不同元素中取出个元素,并按照一定的______排成一列,叫做从个不同元素中取出个元素的一个排列. 2.排列数:从个不同元素中取出个元素的所有不同排列的个数,叫做从个不同元素中取出个元素的排列数,用符号______表示. 3排列数公式:,______并且.从形式上看排列数等于从开始的个连续自然数相乘. 全排列:特别地,个不同的元素全部取出的一个排列,叫做个元素的一个全排列. 的阶乘:正整数1到的连乘积,叫做的阶乘,用!表示.规定:,______ 组 合 的 定 义 及 组 合 数 组合的定义:一般地,从个不同元素中取出个元素作为一组,叫做从个不同元素中取出个元素的一个组合. 组合数：从个不同元素中取出个元素的所有不同组合的个数,叫做从个不同元素中取出个元素的组合数,用符号______表示. 组合数公式：______,这里,并且.规定______ 组合数的性质:（1） ;（2）______ 二 项 式 定 理 及 其 性 质 1.二项式定理 该公式叫做二项式定理，等号右边的多项式叫做的二项展开式，共有______项， 其中各项的系数叫做______，展开式的第项为______ 注意：①是第项，而不是第k项； ②通项公式中a，b的位置不能颠倒． 2.二项式定理的性质 （1）对称性：与首末两端“等距离”的两个二项式系数______，由公式得到 （2）增减性与最大值：当时，二项式系数是逐渐______的；当时，二项式系数是逐渐______的，因此二项式系数在______取得最大值 ①当n是偶数时，中间的一项的二项式系数______最大； ②当n是奇数时，中间的一项的二项式系数______最大； 二项式系数的和：二项式系数的和为______ 奇数项的二项式系数之和等于偶数项的二项式系数之和，即 易错01 忽视排列数组合数公式的隐含条件致误 排列数，组合数中，需满足 1．已知，则（   ） A．5 B．3 C．4或6 D．4 2．（多选）满足不等式的x的值可能为（   ） A．5 B．6 C．7 D．8 3．若已知，则的值为 （用数字作答）． 4．若，则正整数的值是 . 5．（1）求值:； （2） 解不等式:. 易错02 与数学有关的问题,忽略结果相等的情况 6．已知集合，直线中的，，是取自集合的三个不同元素，并且该直线的倾斜角为钝角，符合以上所有条件的直线的条数为（    ） A．40 B．32 C．24 D．23 7．（多选）从2，3，5，7，11，13，17，19这8个数中任取2个，则下列问题属于组合问题的是（   ） A．相加可以得到多少个不同的和 B．相乘可以得到多少个不同的积 C．相减可以得到多少个不同的差 D．相除可以得到多少个不同的商 8．从集合中任取3个不同元素分别作为直线方程中的、、，则经过坐标原点的不同直线有 条（用数值表示）. 易错03 分组问题混淆“均分”与“非均分” 对于分堆与分配问题应注意：①处理分配问题要注意先分堆再分配；②被分配的元素是不同的,位置也应是不同的；③分堆时要注意是否均匀 9．在贵州“村超”总决赛阶段，某校足球社的5名学生准备分成三组前往村超球队所在的平地村、口寨村、忠诚村3个村寨进行调研，每组至少1人，其中甲、乙2人不能分在同一组，每个村各有一组来调研，则不同的安排方法种数是（    ） A．114 B．120 C．150 D．180 10．某市派4名专家到西部某市2家医院坐诊，每家医院至少派1名专家，且每名专家只去1家医院，则不同的分配方案种数为（    ） A．20 B．18 C．16 D．14 11．4月15日，人工智能模型OpenAI推出参数规模达10万亿级的GPT-5，支持20万字长文本理解，推理速度较GPT-4提升3倍．小明等5位同学组成人工智能调研小组，准备对OpenAl、DeepSeek、百度文心一言和腾讯元宝等4种人工智能模型展开学习研究，每位同学只调研一种模型，每个模型至少由一位同学调研，则不同的总方案数为（   ） A．180 B．240 C．288 D．360 12．现有4名同学要报名参加冰雪兴趣小组，要求雪上项目和冰上项目都至少有1人参加，则不同的报名方案有 种(用数字作答)． 13．《数术记遗》记述了我国古代十余种算法.甲、乙、丙三人拟收集该书中运筹算、九宫算、了知算、成数算和把头算等5种算法的相关资料，要求每人至少收集其中一种，且每种算法只由一个人收集，则不同的分工收集方案有 种. 易错04 忽略二项展开式的通项是第项不是第项 求二项展开式中的特定项,一般是利用通项公式进行,化简通项公式后,令字母的指数符合要求,解出项数,代回通项公式即可 14．若二项展开式中各项的二项式系数只有第6项最大，则展开式的常数项的值为（   ） A．840 B． C． D．210 15．已知在的二项展开式中，第6项为常数项，若在展开式中任取3项，其中有理项的个数为，则（   ） A． B． C． D． 16．已知的展开式中第三项和第四项的二项式系数之比为3：4，则展开式中的常数项为 ．（用数字作答） 17．在的二项展开式中，第四项是常数项，则该常数项为 .（用数字作答） 18．已知二项式的展开式中，第7项为常数项，且各项系数之和等于其二项式系数之和. (1)求与的值； (2)求其展开式中所有的有理项. 易错05 三项式转化不合理 三项式转化成二项式的时候，要注意字母的限制条件，要做到不重不漏 19．若，则等于（    ）． A．400 B．425 C．625 D．800 20．的展开式中的系数为（    ） A．75 B．135 C．180 D．195 21．展开式中，的系数为 . 22．若的展开式中的常数项为31，则（    ） A． B．0 C．1 D．2 23．展开式中的常数项为 。 1．不等式的解为 ． 2．从1，2，3，4，5，6，7，9中，任取两个不同的数作对数的底数和真数，则所有不同的对数的值有（    ） A．30个 B．42个 C．41个 D．39个 3．的展开式中含项的系数为（   ） A．240 B．160 C．-60 D．-160 4．已知集合，直线中的是取自集合中的三个不同元素，并且该直线的倾斜角为锐角，符合以上所有条件的直线的条数为（    ） A．40 B．32 C．24 D．23 5．为了提高人们的环保意识，让所有人都能为保护环境出一份力，学校安排A，B，C，D 4名学生去甲、乙、丙三个社区宣讲，每个学生去且只去一个社区，每个社区至少有1名学生，其中学生A不能去甲社区，则不同安排方式的总数是（   ） A．20 B．24 C．32 D．36 6．7名教师甲、乙、丙、丁、戊、己、庚带领学生参加“探秘未知”活动，教师随机分为4组，每组至少一人，则甲乙同组且丙丁同组的概率为（   ） A． B． C． D． 7．若的展开式中只有第6项的系数最大，则该展开式中的常数项为（    ） A．10 B．210 C．252 D．463 8．在展开式中，的系数为 ． 9．在的二项展开式中， (1)若，且第3项与第6项相等，求实数x的值； (2)若第5项系数是第3项系数的10倍，求n的值. 1 / 6 学科网（北京）股份有限公司 $