精品解析： 辽宁省丹东市东港市2025-2026学年九年级上学期期中教学质量监测数学试卷

辽宁省丹东市东港市2025-2026学年九年级上学期期中教学质量监测数学试卷 考试时间：120分钟 满分：120分 第一部分 选择题（共30分） 一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求） 1. 已知是一元二次方程的一个解，则此方程的另一个解是（ ） A. B. C. D. 4 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意，得，结合得到，解答即可． 本题考查了根与系数关系定理，熟练掌握定理是解题的关键． 【详解】解：设方程的另一个根为， 且方程为， 根据题意，得， 由， 得， 故选：B． 2. 若，则的值是（ ） A. 7 B. C. D. -2 【答案】A 【解析】 【分析】设，则，分别代入计算求值即可． 本题考查了比例性质，熟练掌握性质是解题的关键． 【详解】解：设，则， 故， 故选：A． 3. 一个不透明的布袋中装有黄、白两种颜色的球共30个，这些球除颜色外都相同．小红通过多次重复摸球试验后发现，摸到黄球的频率稳定于，则布袋中白球可能有（ ） A. 20个 B. 21个 C. 22个 D. 23个 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查概率的意义，掌握用频率估计概率的方法是解题的关键． 根据频率估计概率的原理，摸到黄球的频率稳定于0.3，即黄球的概率约为0.3，由此可求出黄球数量，再求白球数量． 【详解】解：设黄球有x个， ∵ 总球数为30，且摸到黄球的频率稳定于， ∴ ， 解得， ∴ 白球数量为（个）。 故选：B． 4. 已知一个菱形的面积为24，两条对角线的比是，则这个菱形的边长是( ) A. 5 B. 4 C. 3 D. 2 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了菱形的性质，勾股定理；根据菱形面积公式和对角线比例求出对角线长度，再利用菱形对角线互相垂直平分的性质，通过勾股定理计算边长． 【详解】解：设两条对角线长分别为和， ∵菱形面积=对角线乘积的一半， ∴， ∴，（负值舍去）， ∴对角线长分别为和． ∵菱形对角线互相垂直平分， ∴对角线的一半分别为和． 在直角三角形中，边长=， ∴菱形的边长为． 故选：A． 5. 关于x的一元二次方程的根的情况是（ ） A. 有两个不相等的实数根 B. 有两个相等的实数根 C. 只有一个实数根 D. 没有实数根 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程的判别式．通过计算一元二次方程的判别式，判断根的情况．判别式大于零时，有两个不相等的实数根． 【详解】解：∵方程中， 判别式， 方程有两个不相等的实数根． 故选：A． 6. 某商场国庆期间搞促销活动，一件800元的商品第一次降价后销售太慢，于是又进行了第二次降价，结果以648元的价格迅速销售一空．那么平均每次降价的百分率是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】设该商品平均每次降价的百分率为x，根据题意，得，解答即可． 本题考查了一元二次方程的应用，增长率问题，熟练掌握增长率的意义是解题的关键． 【详解】解：设该商品平均每次降价的百分率为x，根据题意，得， 解得， 解得（舍去） 答：每次降价的百分率是． 故选：D． 7. 如图，，若，则与的面积比是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】此题重点考查相似三角形的判定与性质，证明是解题的关键． 证明，则，于是得到问题的答案． 【详解】解：， ， ， 故选：D． 8. 小英在复习几种特殊平行四边形关系时整理如图，（1）（2）（3）（4）处需要添加条件，则下列条件添加错误的是（ ） A. （1）处可填 B. （2）处可填 C. （3）处可填 D. （4）处可填 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了矩形的判定，正方形的判定和菱形的判定，熟练掌握特殊四边形的关系是解题的关键． 根据正方形、矩形、菱形的判定定理判断即可． 【详解】解：A、有一个角是直角的平行四边形是矩形， （1）处可填是正确的，故该选项不符合题意； B、一组邻边相等的矩形是正方形， （2）处可填是正确的，故该选项不符合题意； C、一组邻边相等的平行四边形是菱形， （3）处可填是正确的，故该选项不符合题意； D、有一个角是直角的菱形是正方形， 无法判定两角是不是直角，故该选项符合题意； 故选：D． 9. 如图，在矩形中，，以点B为圆心，适当长为半径画弧，分别交于点，再分别以点为圆心，大于长为半径画弧交于点P，作射线，过点作的垂线分别交，于点M，N，则的长是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】本题考查了矩形的性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理，熟练利用相关性质是解题的关键． 设交于点，证明，可得，可求得，证明，求得，可利用勾股定理求得，即可解答． 【点睛】解：设交于点， ， 由题意可得， ， ， ， ， ， 四边形为矩形， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 故选：B． 10. 如图，在正方形中，点E为对角线上一点，连接，过点E作，交的延长线于点F，若，，则的长是（ ） A. 4 B. C. 5 D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了正方形的性质与判定，勾股定理，全等三角形的性质与判定，角平分线的性质，正确作出辅助线是解题的关键． 过点分别作，的垂线，垂足分别为、，由正方形的性质得到，，则由角平分线的性质得到，据此证明四边形是正方形，再利用勾股定理得，再证明，即可解答． 【详解】解：如图所示，过点分别作，的垂线，垂足分别为、， ， 四边形是正方形， ，， ， 四边形是正方形， ，， ，， ， ， ， ， ， ， ， ， 故选：C． 第二部分 非选择题（共90分） 二、填空题（本题共5小题，每小题3分，共15分） 11. 把方程转化为的形式，则_____． 【答案】 【解析】 【分析】根据配方法解答即可． 本题考查了配方法的应用，熟练掌握配方的基本步骤是解题的关键． 【详解】解：∵, 配方，得，即． 故． 故， 故答案为：． 12. 将分别标有汉字“鲜”“灵”“东”“港”的四个小球装在一个不透明的口袋中，这些球除汉字外无其他差别，每次摸球前先搅拌均匀，随机摸出一球，不放回；再随机摸出一球，两次摸出的球上的汉字组成“东港”的概率是______． 【答案】 【解析】 【分析】利用画树状图法解答即可． 本题考查了树状图法求概率，熟练掌握画树状图法求概率是解题的关键． 【详解】解：设鲜用A表示、灵用B表示、东用C表示、港用D表示， 根据题意，画树状图如下： 由图可知，共有12种等可能的结果，其中恰好选中C和D的有2种， ∴两次摸出的球上的汉字组成“东港”的概率是． 故答案为：． 13. 在平面直角坐标系中，已知点，以原点O为位似中心，相似比为3，把放大，则点A的对应点的坐标为_____． 【答案】或 【解析】 【分析】本题考查的是位似变换，正确记忆相关知识点是解题关键． 根据在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为，那么位似图形对应点的坐标的比等于或计算． 【详解】解：在轴同侧时， ，相似比为3， ； 在轴异侧时， ，相似比为3， ； 故答案为：或． 14. 如图，矩形的对角线与交于点O，过点O作交于点，若，则长为_____． 【答案】 【解析】 【分析】此题重点考查矩形的性质、线段的垂直平分线的性质、勾股定理等知识，正确地作出辅助线是解题的关键． 连接，得到垂直平分，则，由勾股定理求得，即可求得． 【详解】解：如图，连接， 四边形是矩形，对角线，相交于点， ， 交于点， 垂直平分， ， ， ， ， 故答案为：． 15. 如图，在菱形中，，点为对角线上的一个动点．过点P分别作于点M，作于点N．连接，在点P运动过程中，的最小值等于_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了菱形的判定与性质、勾股定理、最小值问题以及三角形面积等知识；熟练掌握菱形的判定与性质是解题的关键． 连接，由三角形面积关系求出，得当最短时，有最小值，则当时，最短，即可得出答案． 【详解】解：在菱形中，， ，， ， 如图，连接，如图所示： ， ， 即， ， 当最短时，有最小值， 由垂线段最短可知：当时，最短， 当点与点重合时，有最小值，最小值， 故答案为：． 三、解答题（本题共8小题，共75分．解答应写出文字说明、演算步骤或推理过程） 16. 计算： （1）（用因式分解法解方程）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了解一元二次方程，解题的关键是熟练掌握解方程的步骤． （1）利用因式分解即可解答； （2）利用公式法解一元二次方程，即可得到答案． 【小问1详解】 解：， ， ， 所以或 解得； 【小问2详解】 解：． ， ， 即． 17. 来“中国最北海岸线”，赴一场奔跑之约．2025年9月21日，一场特色的马拉松盛宴在辽宁盘锦红海滩国家风景廊道举办，除了努力奔跑的参赛选手，赛场外还有一群默默奉献的志愿者．大学生小宇和小杰报名参加赛会志愿者活动，两人分别从以下四项志愿者活动中随机选择一项，A．赛道指引；B．集结检录；C．物资发放；D．人群疏散． （1）小杰选择“E．赛道计时”是________事件（填“必然”“不可能”或“随机”）； （2）请用画树状图法或列表法求小宇和小杰恰好选择同一项志愿者活动的概率． 【答案】（1）不可能 （2） 【解析】 【分析】本题考查列表法与树状图法，事件的分类，熟练掌握列表法与树状图法是解答本题的关键． （1）根据事件的分类即可解答； （2）列表，利用概率公式即可解答． 【小问1详解】 解：小杰选择“E．赛道计时”是不可能事件， 故答案为：不可能； 【小问2详解】 解：列表如下： 小杰 小宇 A B C D A B C D --- 总共有16种结果，每种结果出现的可能性相同，而小宇和小杰恰好选择同一项志愿者活动的结果有4种：，，，， ． 18. 中秋节期间，某超市调查某礼盒月饼的销售情况，该礼盒月饼的进价是每盒70元，当销售价为每盒100元时，平均每天可卖出20盒；若销售价每降低5元，则平均每天的销售量将增加10盒．该超市每天要获得销售利润750元，又要尽可能让顾客得到实惠，求这种礼盒月饼的销售价应定为多少？ 【答案】这种礼盒月饼的销售价应定为85元 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，找到等量关系准确地列出方程是解决问题的关键． 设这种礼盒月饼每盒降低x元，超市每天可获得销售利润750元，根据利润=单个的利润×销售量，列出方程，解方程即可． 【详解】解：设这种礼盒月饼每盒降低x元，根据题意，得 ， 解得：， 因为要尽可能让顾客得到实惠， 所以， 所以销售价为：（元）， 答：这种礼盒月饼的销售价应定为85元． 19. 如图，在四边形中，，，对角线，交于点，平分，过点作，交的延长线于点，连接． （1）求证：四边形是菱形． （2）若，，求的长． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了菱形的判定和性质、勾股定理、直角三角形斜边的中线等于斜边的一半等知识，熟练掌握菱形的判定与性质是解题的关键； （1）先证明四边形是平行四边形，再由可得平行四边形是菱形； （2）根据菱形的性质得出的长以及，利用勾股定理求出的长，再根据直角三角形斜边中线定理得出，即可解答． 【小问1详解】 证明：， ， 平分， ， ， ， ，， 四边形是平行四边形， ∵， 四边形是菱形； 【小问2详解】 解：∵四边形是菱形， ， ， 在中，， ， ， ， ． 20. 如图，在中，点在边上，的平分线交于点F，交于点E，已知． （1）求的长： （2）若，求的长． 【答案】（1）12 （2）8 【解析】 【分析】本题主要考查相似三角形的判定和性质，熟练证明三角形相似是解题的关键． （1）证明即可解答； （2）证明，可得，解方程即可解答． 【小问1详解】 解：， ， ， ， ， 即， ， 【小问2详解】 解：平分， ， ， ， ， 即， ， ， ． 21. 如图，菱形的对角线与相交于点O，过点D作，且，连接． （1）求证：四边形为矩形； （2）若菱形的边长为，求的值． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】本题考查了菱形的性质，矩形的判定与性质，勾股定理的应用，是基础题，熟记矩形的判定方法与菱形的性质是解题的关键． （1）先求出四边形是平行四边形，再根据菱形的对角线互相垂直求出，证明是矩形即可； （2）根据菱形的性质得出，再根据勾股定理得出的长度即可． 【小问1详解】 证明：在菱形中，． ． ， 四边形是平行四边形． ， 平行四边形是矩形． 【小问2详解】 解：四边形为菱形，， ， 为等边三角形 ， ， 四边形OCED为矩形， ， 在中，， ， 在中，． 22. 如图，在中，，点P由点A出发沿的方向向点B匀速运动，速度为，同时点由点出发沿方向向点匀速运动，速度，连接，设运动的时间为，其中． （1）_______，_______（用含t的代数式表示）； （2）求几秒时与相似； （3）求几秒时的面积为． 【答案】（1） （2）秒或秒 （3）秒 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的性质，勾股定理，一元二次方程的应用，熟知相关性质是解题的关键． （1）利用勾股定理求得，即可解答； （2）分两种情况讨论，当时和当时两种情况，分别列方程解答即可； （3）过点P作于点D，求得，利用三角形面积公式列方程即可解答． 【小问1详解】 解：根据勾股定理可得， ，， 故答案为：； 【小问2详解】 解：， 与相似，分两种情况讨论： ①当时，即 解得：； ②当时，即 解得：； 故或秒时，与相似； 【小问3详解】 解：如图，过点P作于点D， ，即 ， 解得： 因此秒时的面积为． 23. 定义：如果四边形有一组对角为直角，那么我们称这样的四边形为“对补四边形”． 【尝试判断】 （1）在①平行四边形；②矩形；③菱形；④正方形中，是“对补四边形”的是__________； （2）如图1，四边形是“对补四边形”，若，则边的长是__________； 【操作探究】如图2，在菱形中，于点E，请在边找一点，使得以点A，E，C，F组成的四边形为“对补四边形”，直接写出的长是__________； 【拓展延伸】如图3，在正方形中，，点E，F，G分别从点B，B，C同时出发，并分别以每秒1，1，2个单位长度的速度，分别沿正方形的边方向运动（保持），再分别过点作的垂线交于点H，连接．试说明：四边形为“对补四边形”； 【实践应用】某加工厂有一批四边形板材，形状如图4所示，其中米，米，．现根据客户要求，需将每张四边形板材进一步分割成两个等腰三角形板材和一个“对补四边形”板材，且这两个等腰三角形的腰长相等，要求材料充分利用无剩余，请直接写出分割后得到的等腰三角形的腰长． 【答案】[判断尝试]（1）②④；（2）；[操作探究]；[拓展延伸]见解析；[实践应用] 或或或3 【解析】 【分析】[判断尝试]（1）根据相关四边形的性质判断即可； （2）连接，根据勾股定理求得结果； [操作探究]连接，则，是等边三角形，故取的中点，进而得出结果； [拓展延伸]延长，交于，可证得，从而，进而得出，进一步得出结论； [实践应用]分四种情况进行讨论求解即可． 【详解】[判断尝试]解：（1）矩形和正方形的四个角都是直角， 矩形和正方形是“对补四边形”， 故答案为：②④； （2）如图，连接， 四边形是对补四边形，， ， ， ， ， 故答案为：； [操作探究]解：在菱形中，，，， ，， ，均为等边三角形， ， ， ，， ， 如图，取的中点，连接， 则， 同理：，， ，， 四边形是“对补四边形”， 为等边三角形， ， 故答案为：； [拓展延伸]证明：如图，延长，交于， 四边形是正方形， ，， ，， ， 四边形是矩形， 点、、分别从点、、同时出发，并分别以每秒1、1、2个单位长度的速度运动， ， 四边形是正方形， ， ， 同理可得：四边形是矩形， ，， ，， ， ， ， ， ， 四边形为“对补四边形”； [实践应用]解：①如图，作于，作于， ， 四边形是矩形， ，， ， ， ， ， ， 四边形是“对补四边形”，和是腰长相等的等腰三角形， ； ②如图，作于，作于， 同上可知，四边形是“对补四边形”，和是腰长相等的等腰三角形， ， ③如图，作，交于，作于， 则四边形是“对补四边形”， 由上知， ， ， 是等腰直角三角形， ， ， ， ； ④如图，以为底边作等腰直角三角形，连接，作，交的延长线于点，交于， ，，四边形是“对补四边形”， ，， ， ，， ，， ，， ，， ， ， ， 和是边长相等的等腰三角形， ， ， 综上，等腰三角形的腰长为或或或3． 【点睛】本题考查了四边形的综合应用，主要考查正方形的判定和性质，矩形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定，直角三角形的性质等知识，解决问题的关键是掌握新定义和分类讨论的思想． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 辽宁省丹东市东港市2025-2026学年九年级上学期期中教学质量监测数学试卷 考试时间：120分钟 满分：120分 第一部分 选择题（共30分） 一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求） 1. 已知是一元二次方程的一个解，则此方程的另一个解是（ ） A. B. C. D. 4 2. 若，则的值是（ ） A. 7 B. C. D. -2 3. 一个不透明的布袋中装有黄、白两种颜色的球共30个，这些球除颜色外都相同．小红通过多次重复摸球试验后发现，摸到黄球的频率稳定于，则布袋中白球可能有（ ） A. 20个 B. 21个 C. 22个 D. 23个 4. 已知一个菱形的面积为24，两条对角线的比是，则这个菱形的边长是( ) A. 5 B. 4 C. 3 D. 2 5. 关于x的一元二次方程的根的情况是（ ） A. 有两个不相等的实数根 B. 有两个相等的实数根 C. 只有一个实数根 D. 没有实数根 6. 某商场国庆期间搞促销活动，一件800元的商品第一次降价后销售太慢，于是又进行了第二次降价，结果以648元的价格迅速销售一空．那么平均每次降价的百分率是（ ） A. B. C. D. 7. 如图，，若，则与的面积比是（ ） A. B. C. D. 8. 小英在复习几种特殊平行四边形关系时整理如图，（1）（2）（3）（4）处需要添加条件，则下列条件添加错误的是（ ） A. （1）处可填 B. （2）处可填 C. （3）处可填 D. （4）处可填 9. 如图，在矩形中，，以点B为圆心，适当长为半径画弧，分别交于点，再分别以点为圆心，大于长为半径画弧交于点P，作射线，过点作的垂线分别交，于点M，N，则的长是（ ） A. B. C. D. 10. 如图，在正方形中，点E为对角线上一点，连接，过点E作，交的延长线于点F，若，，则的长是（ ） A. 4 B. C. 5 D. 第二部分 非选择题（共90分） 二、填空题（本题共5小题，每小题3分，共15分） 11. 把方程转化为的形式，则_____． 12. 将分别标有汉字“鲜”“灵”“东”“港”的四个小球装在一个不透明的口袋中，这些球除汉字外无其他差别，每次摸球前先搅拌均匀，随机摸出一球，不放回；再随机摸出一球，两次摸出的球上的汉字组成“东港”的概率是______． 13. 在平面直角坐标系中，已知点，以原点O为位似中心，相似比为3，把放大，则点A的对应点的坐标为_____． 14. 如图，矩形的对角线与交于点O，过点O作交于点，若，则长为_____． 15. 如图，在菱形中，，点为对角线上的一个动点．过点P分别作于点M，作于点N．连接，在点P运动过程中，的最小值等于_____． 三、解答题（本题共8小题，共75分．解答应写出文字说明、演算步骤或推理过程） 16. 计算： （1）（用因式分解法解方程）； （2）． 17. 来“中国最北海岸线”，赴一场奔跑之约．2025年9月21日，一场特色的马拉松盛宴在辽宁盘锦红海滩国家风景廊道举办，除了努力奔跑的参赛选手，赛场外还有一群默默奉献的志愿者．大学生小宇和小杰报名参加赛会志愿者活动，两人分别从以下四项志愿者活动中随机选择一项，A．赛道指引；B．集结检录；C．物资发放；D．人群疏散． （1）小杰选择“E．赛道计时”是________事件（填“必然”“不可能”或“随机”）； （2）请用画树状图法或列表法求小宇和小杰恰好选择同一项志愿者活动的概率． 18. 中秋节期间，某超市调查某礼盒月饼的销售情况，该礼盒月饼的进价是每盒70元，当销售价为每盒100元时，平均每天可卖出20盒；若销售价每降低5元，则平均每天的销售量将增加10盒．该超市每天要获得销售利润750元，又要尽可能让顾客得到实惠，求这种礼盒月饼的销售价应定为多少？ 19. 如图，在四边形中，，，对角线，交于点，平分，过点作，交的延长线于点，连接． （1）求证：四边形是菱形． （2）若，，求的长． 20. 如图，在中，点在边上，的平分线交于点F，交于点E，已知． （1）求的长： （2）若，求的长． 21. 如图，菱形的对角线与相交于点O，过点D作，且，连接． （1）求证：四边形为矩形； （2）若菱形的边长为，求的值． 22. 如图，在中，，点P由点A出发沿的方向向点B匀速运动，速度为，同时点由点出发沿方向向点匀速运动，速度，连接，设运动的时间为，其中． （1）_______，_______（用含t的代数式表示）； （2）求几秒时与相似； （3）求几秒时的面积为． 23. 定义：如果四边形有一组对角为直角，那么我们称这样的四边形为“对补四边形”． 【尝试判断】 （1）在①平行四边形；②矩形；③菱形；④正方形中，是“对补四边形”的是__________； （2）如图1，四边形是“对补四边形”，若，则边的长是__________； 【操作探究】如图2，在菱形中，于点E，请在边找一点，使得以点A，E，C，F组成的四边形为“对补四边形”，直接写出的长是__________； 【拓展延伸】如图3，在正方形中，，点E，F，G分别从点B，B，C同时出发，并分别以每秒1，1，2个单位长度的速度，分别沿正方形的边方向运动（保持），再分别过点作的垂线交于点H，连接．试说明：四边形为“对补四边形”； 【实践应用】某加工厂有一批四边形板材，形状如图4所示，其中米，米，．现根据客户要求，需将每张四边形板材进一步分割成两个等腰三角形板材和一个“对补四边形”板材，且这两个等腰三角形的腰长相等，要求材料充分利用无剩余，请直接写出分割后得到的等腰三角形的腰长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $