精品解析：河北省唐山市路南区2025-2026学年上学期九年级11月期中考试数学试卷

2025－2026学年度第一学期期中学业水平抽样评估 九年级数学试卷 2025.11 注意事项：本试卷共24个题，满分100分，考试时间为90分钟． 一、精心选一选：（本大题共12个小题，每小题2分，共24分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 若方程是关于x的一元二次方程，则“□”可以是（ ） A. B. C. D. 2. 下列说法中正确的是（ ） A. 矩形都相似 B. 菱形都相似 C. 平行四边形都相似 D. 正方形都相似 3. 已知一元二次方程有一个根是2，则的值为（ ） A. 2 B. C. 3 D. 4. 已知关于的一元二次方程，其中，在数轴上的对应点如图所示，则方程的根的情况是（ ） A. 有两个相等的实数根 B. 有两个不相等的实数根 C. 无实数根 D. 无法确定 5. 在平面直角坐标系中，点的坐标为，将线段绕着点逆时针旋转得线段，则点的坐标为（ ） A. B. C. D. 6. 将抛物线先向左平移1个单位，再向上平移2个单位，则所得抛物线解析式为（ ） A. B. C. D. 7. 如图，将绕直角顶点C顺时针旋转，得到，连接，若，则（ ） A. B. C. D. 8. 如图，在中，为直径，，为圆上的点，若，则的大小为（ ） A. B. C. D. 9. 如图，A、B、C、D均为圆周上十二等分点，若用直尺测量弦长时，发现C点、D点分别与刻度1和4对齐，则A、B两点的距离是（ ） A. B. C. D. 6 10. 二次函数的对称轴为（ ） A. 直线 B. 直线 C. 直线 D. 直线 11. 二次函数的图象与轴有交点，则的取值范围是（ ） A. 且 B. 且 C. D. 12. 《四元玉鉴》是中国古代数学家朱世杰创作的一部数学著作，成书于1303年．该书是一部成就辉煌的数学名著，在宋元数学发展的高峰中占有重要地位．嘉淇对其中的“买椽多少”问题进行了改编：现请人代买一批椽，这批椽的价钱为216文．如果每株椽的运费是3文，那么少拿一株椽后，剩下的椽的运费恰好等于一株椽的价钱．下列说法不正确的是（ ） A. 设这批椽的数量为x株，则 B. 这批椽的总运费为24文 C. 一株椽的价钱为24文 D. 这批椽一共有9株 二、细心填一填（每小题3分，共12分） 13. 已知点在二次函数的图象上，则______． 14. 一元二次方程的两根之和是______． 15. 如图为的网格图，A，B，C，D，O均在格点上，点O是的______． 16. 如图，在等腰直角三角形中，，，厘米，且、两部分的面积相等，那么圆的面积是________平方厘米． 三、解答题：（本大题共8个小题，满分共64分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17. 计算 （1）． （2）． 18. 如图，某校进行校园改造，准备将一块正方形空地划出部分区域栽种鲜花，原空地一边减少了，另一边减少了，如图所示． （1）若设正方形的边长为，则栽种鲜花区域(阴影部分)的面积为 (用含的代数式表示，要求结果最简)； （2）如果剩余空地面积为，求正方形的边长x的值． 19. 在比例尺为的地图上量得两地之间的距离为2厘米，则两地之间的实际距离为多少米． 20. 在的方格纸中，的三个顶点都在格点上，点，结合所给的平面直角坐标系，解答下列问题： （1）以点C为旋转中心，将按顺时针方向旋转，画出旋转后的； （2）点的坐标为______． 21. 已知抛物线． （1）将 化成的形式； （2）写出抛物线的开口方向、对称轴和顶点坐标． 22. 如图1，装有水的水槽放置在水平桌面上，其横截面是以为直径的半圆O，，为水面截线，，为桌面截线，． （1）作于点C，求的长； （2）将图1中的水倒出一部分得到图2，发现水面高度下降了，求此时水面截线减少了多少？ 23. 如图，是的直径，一直尺的顶点M在的延长线上，使边与相切，C为切点，连接． （1）求的度数； （2）若，求的长． 24. 已知关于x的二次函数 （1）若时，求该函数的解析式； （2）当时，该函数的最大值与最小值的差为18，求a的值； （3）若是该函数图象上的两点，且对于都有，求a的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025－2026学年度第一学期期中学业水平抽样评估 九年级数学试卷 2025.11 注意事项：本试卷共24个题，满分100分，考试时间为90分钟． 一、精心选一选：（本大题共12个小题，每小题2分，共24分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 若方程是关于x的一元二次方程，则“□”可以是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的概念，判断一个方程是否是一元二次方程，首先要看是否是整式方程，然后看化简后是否只含有一个未知数且未知数的最高次数是2． 根据一元二次方程的定义：未知数的最高次数是2；二次项系数不为0；是整式方程；含有个未知数．由这四个条件对四个选项进行验证，满足这四个条件者为正确答案： 【详解】A、，是一元一次方程，故此选项不符合题意； B、，是一元一次方程，故此选项不符合题意； C、，是一元二次方程，故此选项符合题意； D、，不是一元二次方程，故此选项不符合题意． 故选：C． 2. 下列说法中正确的是（ ） A. 矩形都相似 B. 菱形都相似 C. 平行四边形都相似 D. 正方形都相似 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了相似多边形的判定，利用相似多边形的性质及判定方法分别判断后即可确定正确的选项． 【详解】解：A、所有的矩形的对应角相等但对应边不一定成比例，故不相似，不符合题意； B、所有的菱形的对应边成比例但对应角不一定相等，故不相似，不符合题意； C、所有的平行四边形的对应角不一定相等，对应边不一定成比例，故不相似，不符合题意； D、所有的正方形的对应角相等，对应边成比例，相似，符合题意； 故选：D． 3. 已知一元二次方程有一个根是2，则的值为（ ） A. 2 B. C. 3 D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程的解的定义，一元二次方程的解是使方程左右两边相等的未知数的值，据此把代入原方程中计算求解即可． 【详解】解：∵一元二次方程有一个根是2， ∴， ∴， 故选：B． 4. 已知关于的一元二次方程，其中，在数轴上的对应点如图所示，则方程的根的情况是（ ） A. 有两个相等的实数根 B. 有两个不相等的实数根 C. 无实数根 D. 无法确定 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，数轴，不等式的性质，解题的关键是熟练掌握当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程没有实数根． 由数轴得：，，先计算根的判别式即可． 【详解】解：由数轴得：，， ． ． 该方程有两个不相等的实数根． 故选：B． 5. 在平面直角坐标系中，点的坐标为，将线段绕着点逆时针旋转得线段，则点的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了旋转的性质，全等三角形的判定与性质，同角的余角相等，过作轴于点，过作轴于点，则，然后通过同角的余角相等得出，证明，故有，，然后根据坐标特点即可求解，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：如图，过作轴于点，过作轴于点，则， 由旋转性质可知，，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，， ∵点的坐标为， ∴，， ∴，， ∴点的坐标为， 故选：． 6. 将抛物线先向左平移1个单位，再向上平移2个单位，则所得抛物线解析式为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的图象与几何变换，根据“上加下减，左加右减”的规律进行解答即可，熟知函数图象平移的规律是解题的关键． 【详解】解：由抛物线先向左平移1个单位，再向上平移2个单位，根据“上加下减，左加右减”规律可得抛物线平移后是， 故选：． 7. 如图，将绕直角顶点C顺时针旋转，得到，连接，若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查旋转的性质，等腰直角三角形的判定与性质，解题的关键是由题意根据旋转的性质可得，再判断出是等腰直角三角形，然后根据等腰直角三角形的性质求出，根据即可解答． 【详解】解：∵绕其直角顶点C按顺时针方向旋转后得到， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴． 故选：D． 8. 如图，在中，为直径，，为圆上的点，若，则的大小为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了圆周角定理，由直径所对的圆周角是得出，根据直角三角形的两个锐角互余结合圆周角定理计算即可． 【详解】∵在中，为直径， ∴， ∵， ∴， 故选D． 9. 如图，A、B、C、D均为圆周上十二等分点，若用直尺测量弦长时，发现C点、D点分别与刻度1和4对齐，则A、B两点的距离是（ ） A. B. C. D. 6 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了圆周角定理，圆心角，弦，弧之间的关系，勾股定理，熟练掌握以上知识是解题的关键． 根据点B，找到十二等分点的第六个分点E，连接，则为圆上的直径，连接，取的中点O，连接、，在证为等边三角形，根据刻度尺得出圆半径，根据圆周角定理得为直角三角形，根据勾股定理即可求出． 【详解】如图，在圆上取点E，连接，使得为圆上的直径，连接，取的中点O，连接、， C、D均为圆周上十二等分点， 占2个分点，， ， 为等边三角形， C点、D点分别与刻度1和4对齐， ，即， 由图可知：占4个分点，为直径， 占2个分点，，， ， ， 中 ， 故选：C． 10. 二次函数的对称轴为（ ） A. 直线 B. 直线 C. 直线 D. 直线 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的对称轴，利用二次函数对称轴公式求解本题即可． 【详解】解：∵二次函数一般形式为，对称轴为， 本题中， ∴对称轴，即对称轴为直线． 故选：A． 11. 二次函数的图象与轴有交点，则的取值范围是（ ） A. 且 B. 且 C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查二次函数与x轴的交点问题．二次函数与x轴有交点等价于判别式，且二次项系数，据此求解即可． 【详解】解：∵ 二次函数的图象与x轴有交点， ∴且， ∴且， 解得且， 故选：A． 12. 《四元玉鉴》是中国古代数学家朱世杰创作的一部数学著作，成书于1303年．该书是一部成就辉煌的数学名著，在宋元数学发展的高峰中占有重要地位．嘉淇对其中的“买椽多少”问题进行了改编：现请人代买一批椽，这批椽的价钱为216文．如果每株椽的运费是3文，那么少拿一株椽后，剩下的椽的运费恰好等于一株椽的价钱．下列说法不正确的是（ ） A. 设这批椽的数量为x株，则 B. 这批椽的总运费为24文 C. 一株椽的价钱为24文 D. 这批椽一共有9株 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程的实际应用，根据题意找出等量关系列方程求解，再判断各选项． 【详解】解：设这批椽的数量为株，一株椽的价钱为p文， ∵少拿一株椽后，剩下的椽的运费恰好等于一株椽的价钱， ∴， 又∵这批椽的价钱为216文， ∴， 将p代入得：，即， 解方程：，， 解得或（舍去）， ∴， ， 总运费为文， ∴A、C、D正确，B错误． 故选：B． 二、细心填一填（每小题3分，共12分） 13. 已知点在二次函数的图象上，则______． 【答案】0 【解析】 【分析】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，将点代入二次函数解析式求解即可得出m的值． 【详解】解：∵点在二次函数的图象上， ∴当时，， 代入函数解析式：， ∴． 故答案为：0． 14. 一元二次方程的两根之和是______． 【答案】4 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，根据一元二次方程根与系数的关系，两根之和等于负的二次项系数分之一次项系数，并得出对应的结果即可． 【详解】解：由题意知，． 故答案为：4． 15. 如图为的网格图，A，B，C，D，O均在格点上，点O是的______． 【答案】外心 【解析】 【分析】本题考查了三角形的外心的定义，勾股定理，解题关键是根据勾股定理得出．根据勾股定理得出，进而得到答案． 【详解】解：由图中信息可得：， ∴点O在的外心上， 故答案为：外心． 16. 如图，在等腰直角三角形中，，，厘米，且、两部分的面积相等，那么圆的面积是________平方厘米． 【答案】400 【解析】 【分析】本题主要考查了三角形面积，扇形面积，已知等腰直角三角形的底和高都是10厘米，根据“三角形面积底高”计算出三角形的面积；因为两部的面积相等，所以扇形的面积等于三角形的面积；由于三角形是等腰直角三角形，，所以扇形的圆心角，所以扇形面积是圆A面积的，计算圆A的面积就是用扇形面积除以即可． 【详解】解：（平方厘米）， ∵两部的面积相等， ∴扇形的面积等于三角形的面积； ∴扇形的面积等于（平方厘米）， ∵， ∴扇形的圆心角， ∴圆A的面积为（平方厘米）． 故答案为：400． 三、解答题：（本大题共8个小题，满分共64分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17. 计算 （1）． （2）． 【答案】（1）， （2）， 【解析】 【分析】本题考查了利用因式分解法解一元二次方程． （1）利用因式分解将方程变为，得出或，随即得出结果； （2）先将方程整理为，再利用因式分解的方法得出或，随即得出结果． 【小问1详解】 解：， ∴或， ∴，． 【小问2详解】 解：， ∴， ∴或， ∴，． 18. 如图，某校进行校园改造，准备将一块正方形空地划出部分区域栽种鲜花，原空地一边减少了，另一边减少了，如图所示． （1）若设正方形的边长为，则栽种鲜花区域(阴影部分)的面积为 (用含的代数式表示，要求结果最简)； （2）如果剩余空地面积为，求正方形的边长x的值． 【答案】（1）； （2） 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用以及列代数式，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． （1）设正方形的边长为，则空白部分的长为，宽为，根据长方形面积公式即可得出结论； （2）根据剩余空地面积为，列出一元二次方程，解之取符合题意的值即可． 【小问1详解】 解：设正方形的边长为，则空白部分的长为，宽为， ∴栽种鲜花区域(阴影部分)的面积为：， 故答案为：； 【小问2详解】 解：根据题意得：， 整理得：， 解得：， (不符合题意，舍去)， 答：正方形的边长的值为． 19. 在比例尺为的地图上量得两地之间的距离为2厘米，则两地之间的实际距离为多少米． 【答案】两地之间的实际距离为2000米 【解析】 【分析】本题考查了比例尺的应用，根据比例尺=图上距离：实际距离，可得实际距离=图上距离÷比例尺，据此列式解答即可． 【详解】解：设实际距离为x厘米， 图上距离：实际距离， ∴， ∴， 200000厘米=2000米， ∴两地之间的实际距离为2000米． 20. 在的方格纸中，的三个顶点都在格点上，点，结合所给的平面直角坐标系，解答下列问题： （1）以点C为旋转中心，将按顺时针方向旋转，画出旋转后的； （2）点的坐标为______． 【答案】（1） 解：如图所示为所求： （2） 【解析】 【分析】本题考查了图形的旋转及旋转后点的坐标确定． （1）根据旋转的性质，以点C为旋转中心，将的各顶点按顺时针方向旋转，然后连接各对应点得到旋转后的； （2）在画出旋转后的图象后，通过观察图象确定点的坐标即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 21. 已知抛物线． （1）将 化成的形式； （2）写出抛物线的开口方向、对称轴和顶点坐标． 【答案】（1）； （2）抛物线开口向下，对称轴为直线，抛物线的顶点坐标为． 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数．解决本题的关键是利用配方法把二次函数的一般形式转化成顶点式，根据二次函数的顶点式解析式判断抛物线的开口方向、对称轴、顶点坐标． （1）利用配方法将抛物线解析式化成； （2）根据二次函数顶点式解析式可求抛物线的开口方向、对称轴、抛物线顶点坐标． 【小问1详解】 解：， 整理得：, ； 【小问2详解】 解：， ， 抛物线开口向下，对称轴为直线，抛物线的顶点坐标为． 22. 如图1，装有水的水槽放置在水平桌面上，其横截面是以为直径的半圆O，，为水面截线，，为桌面截线，． （1）作于点C，求的长； （2）将图1中的水倒出一部分得到图2，发现水面高度下降了，求此时水面截线减少了多少？ 【答案】（1）的长 （2）此时水面截线减少了 【解析】 【分析】本题主要考查了垂径定理的实际应用、勾股定理的应用等知识点，理解垂径定理是解题的关键． （1）如图1：连接，由圆的性质可得，再利用垂径定理得出，再运用勾股定理计算即可解答； （2）如图2：过点O作，垂足为点D，连接，利用勾股定理求出，再利用垂径定理得出，最后与相减即可解答． 【小问1详解】 解：如图1：连接， ∵， ∴ ∵， ∴， 在中，根据勾股定理得：， ∴，解得：， ∴的长． 【小问2详解】 解：如图2：过点O作，垂足为点D，连接， ∴ 由题意可知： 在中，根据勾股定理得：， ∴ ，解得：， ∴， ∴， ∴此时水面截线减少了． 23. 如图，是的直径，一直尺的顶点M在的延长线上，使边与相切，C为切点，连接． （1）求的度数； （2）若，求的长． 【答案】（1） （2）4 【解析】 【分析】本题考查切线的性质，等腰三角形的判定与性在，直角三角形的性质，三角形内角和定理，熟练掌握切线的性质是解题的关键． （1）如图，连接，根据切线的性质得到，结合等腰三角形的性质推出，由已知，即可求解； （2）由题意求出，，由直角三角形的性质可得，则，求出，即可解答． 【小问1详解】 解：如图，连接， ∵是的切线， ， ， ， ， ∴， ， ， ； 【小问2详解】 解：由题意得：， ， ∵， ，则， 解得， ∴． 24. 已知关于x的二次函数 （1）若时，求该函数的解析式； （2）当时，该函数的最大值与最小值的差为18，求a的值； （3）若是该函数图象上的两点，且对于都有，求a的取值范围． 【答案】（1） （2） （3）或 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的图象性质，求二次函数的解析式，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）把，分别代入，得出，即可作答． （2）先整理，故图象的对称轴为直线，结合．故当时，最小，当时，，列式，即可作答． （3）进行分类讨论，即①若，则函数图象开口向上．②若，则函数图象开口向下，再结合二次函数的图象性质，进行分析列式，即可作答． 【小问1详解】 解： ， 当时，， ， ． 该函数的解析式为． 【小问2详解】 解：依题意，， 图象的对称轴为直线． 又． 当时，最小， ∵ ∴当时，， ∴． ． ； 【小问3详解】 解：①若，则函数图象开口向上． 又对称轴为直线， 当时，随的增大而增大． ∴点在对称轴的右侧． 又对于，都有， ， ． ②若，则函数图象开口向下， ∴点在对称轴的左侧． 对称轴为直线 当或时函数值相等． 又对于，都有， ， ． 综上：或． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $