1.1 探索勾股定理 课件 2025--2026学年北师大版八年级数学上册

该初中数学课件围绕勾股定理展开，以古埃及画直角的方法导入新课引发思考，通过观察瓷砖地面面积关系、拼图验证等学习支架，引导学生从特殊等腰直角三角形到一般直角三角形，逐步探究并归纳定理。 其亮点在于融合赵爽弦图、美国总统证法等多种验证方式，结合“割补拼”动手操作，以“观察-探索-猜想-验证-归纳-应用”为主线，培养几何直观与推理意识。综合实践作业如正方形面积求和问题渗透数形结合思想，助力学生提升探究能力，为教师提供系统教学支持。

第1章 勾股定理 1.1 探索勾股定理 导入新课 据说，古埃及人曾用如图所示的方法画直角． 这种方法对吗？ 2 探究新知 【探究1】拼图验证勾股定理 1. 准备四个全等的直角三角形 （设直角边分别为 a，b，斜边为 c） 2. 你能用这四个直角三角形拼成正方形吗？ a b c 新知初探 探究一：勾股定理的初步认识 贰 （图中每一格代表 一平方厘米） （1）正方形P的面积是 平方厘米； （2）正方形Q的面积是 平方厘米； （3）正方形R的面积是 平方厘米. 1 2 1 SP+SQ=SR R Q P A C B AC2+BC2=AB2 等腰直角三角形ABC三边长度之间存在什么关系吗？ Sp=AC2 SQ=BC2 SR=AB2 上面三个正方形的面积之间有什么关系？ 做一做：观察正方形瓷砖铺成的地面. 新知初探 贰 填一填：观察右边两幅图：完成下表（每个小正方形的面积为单位1）. A的面积 B的面积 C的面积 左图 右图 4 ？ 怎样计算正方形C的面积呢？ 9 16 9 新知初探 贰 c a b c a b 验证方法二：赵爽弦图 b c a b c 大正方形的面积可以表示为 ; 也可以表示为 . ∵ c2= 4• ab +(b-a)2 =2ab+b2-2ab+a2 =a2+b2 ∴ a2+b2=c2 c2 4• ab+(b- a)2 新知初探 贰 b c a b c a A B C D 如图，梯形由三个直角三角形组合而成，利用面积公式，列出代数关系式,得 化简,得 验证方法三：美国总统证法 协作破冰 追问1：你怎样计算正方形ABCD的面积？动手试一试. 方法一：将正方形ABCD，分割成四个全等的直角三角形和一个小正方形，可得： 3×4+=25 追问1：你怎样计算正方形ABCD的面积？动手试一试. 方法二：将正方形ABCD，补成四个全等的直角三角形和一个大正方形，可得： - 3×4=25 求右图三角形C的面积 新知讲解 新知讲解 A的面积 B的面积 C的面积 左图 4 9 13 右图 16 9 25 　　结论2 以直角三角形两直角边为边长的小正方形的面积的和，等于以斜边为边长的正方形的面积. 分析表中数据，你发现了什么？ 2.下列说法中,正确的是 (　　) A.若a,b,c是三角形的三边长,则a2+b2=c2 B.若a,b,c是直角三角形的三边长,则a2+b2=c2 C.若a,b,c是Rt△ABC中∠A,∠B,∠C所对的边,且∠C=90°,则a2+b2=c2 C 12 3.　　　 　 如图1-1-1所示,在边长均为1的小正方形组成的网格中,A,B都是格点,则线段AB的长是 (　　) A.5 B.6 C.7 D.9 A 图1-1-1 13 4.(教材随堂练习T1变式)如图1-1-2,两个大正方形的面积分别为132和108,则小正方形M的面积为 (　　) A.14 B.22 C.20 D.24 D 图1-1-2 14 5.在△ABC中,∠C=90°,AB=3,则AB2+BC2+AC2的值为　　　　.  18 15 归纳总结 勾股定理：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方.如果直角三角形的两直角边长分别为a，b，斜边长为c，那么 a2+b2=c2. a b c C 课堂作业 【综合实践类作业】 如图，所有的四边形都是正方形， 所有的三角形都是直角三角形，其中 最大的正方形的边长是a，则图中所 有正方形的面积之和是 。 3a 课堂总结 知识：勾股定理 如果直角三角形两直角边长分别为a，b，斜边长为 c ，那么 . 方法： 1. 观察—探索—猜想—验证—归纳—应用。 2. “割、补、拼、接”法. 思想：1. 特殊—一般—特殊； 2. 数形结合思想。 这一节课我们一起学习了哪些知识和思想方法？ 方法总结 题中未给出图形，作高构造直角三角形时，易漏掉钝角三角形的情况.如在本例题中，易只考虑高AD在△ABC内的情形，忽视高AD在△ABC外的情形. 【解析】因为AE＝BE，所以S△ABE＝AE·BE＝AE2.又因为AE2＋BE2＝AB2， 所以2AE2＝AB2，所以S△ABE＝AB2＝； 同理可得S△AHC＋S△BCF＝AC2＋BC2. 又因为AC2＋BC2＝AB2，所以阴影部分的面积为AB2＝. 例4.如图，以Rt△ABC的三边长为斜边分别向外作等腰直角三角形.若斜边AB＝3，则图中△ABE的面积为________，阴影部分的面积为________. 典例精析 知识点1 勾股定理的验证 1.［教材习题 变式］用4个如图①所示的直角三角形可以摆成如图 ②所示的正方形，下面我们利用这个图形验证勾股定理。 （1）图②中大正方形的边长为______，里面 小正方形的边长为___； （2）大正方形的面积可以表示为_________， 也可以表示为__________； （3）对比这两种表示方法，可得出_________ _____________，整理，得_____________。 返回 22 知识点2 勾股定理的简单应用 （第2题） 2.［教材习题变式］ 如图，一棵高为 的大树被 台风刮断，若大树在离地面的点 处折断，则树顶端 离树底部( ) A A. B. C. D. 返回 23 练习1 在 中， ， ， ，则正方形 的面积为( ) A.81 B.144 C.225 D.169 解析：因为 ， ， ， 所以正方形 的面积为 ， 故选C. $