1.1 探索勾股定理（第2课时 勾股定理的验证及其简单应用 ）（教学课件）数学新教材北师大版八年级上册

该初中数学课件聚焦勾股定理的验证及其简单应用，通过回顾上节课勾股定理内容，以“无方格纸如何验证”的问题导入，引导学生探索毕达哥拉斯证法、赵爽弦图等多种验证方法，搭建新旧知识衔接的学习支架。 其亮点在于融合多种拼图验证方法培养学生推理能力，结合侦查测距、等腰三角形面积等实际问题发展模型意识，课堂小结整合知识与数形结合、从特殊到一般思想。学生能提升数学思维与应用能力，教师可高效开展定理教学与能力培养。

【新教材】北师版·八年级上册 第一章 勾股定理 1.1探索勾股定理 1.1.2勾股定理的验证及其简单应用 （第2课时） 学 习 目 标 1 2 3 经历画图实验引发探索，以及利用拼图验证勾股定理的过程，体会数形结合的思想，发展合情推理的能力. 掌握勾股定理的简单应用，培养数学语言表达能力，发展学生分析问题、解决实际问题的能力. 感受数形结合的思想和从特殊到一般的思想. 知识回顾 问题：1.上节课我们认识了勾股定理，你还记得它的内容吗？ 2.若去掉方格纸你还能验证勾股定理吗？ 据不完全统计，验证的方法有400多种，你有自己的方法吗？ 新知探究 我们带着这个问题开始探究吧！ 在图中，分别以直角三角形的三条边为边长向外作正方形，你能利用这个图说明勾股定理的正确性吗？你是如何做的？与同伴进行交流. 新知探究 a a a a b b b b c c c c 验证方法一：毕达哥拉斯证法 大正方形的面积可以表示为 ; 也可以表示为 . (a+b)2 c2 +4• ab ∵ (a+b)2 = c2 + 4•ab a2+2ab+b2 = c2 +2ab ∴ a2+b2=c2 新知探究 你能找出右图中的大正方形面积吗？ 验证方法二：赵爽弦图 大正方形的面积可以表示为 ; 也可以表示为 . ∵ c2=4• ab+(b-a)2 =2ab+b2-2ab+a2 =a2+b2 ∴ a2+b2=c2 c2 4• ab+(b-a)2 a b c b-a 新知探究 你能求出空白直角三角形面积吗？ 如图，梯形由三个直角三角形组合而成，利用面积公式，列出代数关系式,得 化简,得 验证方法三：美国总统证法 a a b b c c 新知探究 a b c 青入 青方 青 出 青出 青入 朱入 朱方 朱出 青朱出入图 刘徽证法 欧几里得法 勾股定理的验证主要是通过拼图法利用面积的关系完成的，拼图又常以补拼法和叠合法两种方式拼图，补拼是要求无重叠，叠合是要求无空隙；而用面积法验证的关键是要找到一些特殊图形(如直角三角形、正方形、梯形)的面积之和等于整个图形的面积，从而达到验证的目的． 归纳总结 新知探究 勾股定理的简单应用 题型一 题型探究 小亮 方法技巧 你能根据题意画出图形吗？在你画的图形中存在一个怎样的三角形？ 例1.我方侦查员小王在距离东西向公路400m处侦查，发现一辆敌方汽车在公路上疾驶.他赶紧拿出红外测距仪，测得汽车与他相距400m,10s后，汽车与他相距500m，你能帮小王计算敌方汽车的速度吗? 公路 B C A 400m 500m 解：由勾股定理，可以得到 AB2 = BC2 + AC2， 也就是5002 = BC2 + 4002， 所以BC = 300. 敌方汽车10s行驶了300 m，那么它1 h行驶的距离为300×6×60=108000(m)， 即它行驶的速度为 108 km/h. 新知探究 尝试交流 S=29 S=8 S=9 S=5 S=8 S=9 如果一个三角形是钝角三角形或锐角三角形，那么他的三边长仍然满足“最长边长的平方等于另外两边长的平方”吗？以下图为例，说说你的判断和理由，并与同伴交流。 新知探究 结论1：若钝角三角形中较长边长为c，较短边长为a、b，则 a2+b2<c2 结论2：若锐角三角形中较长边长为c，较短边长为a、b, 则 a2+b2>c2 S=29 S=8 S=9 S=5 S=8 S=9 利用勾股定理解答面积问题 题型二 题型探究 小亮 方法技巧 利用勾股定理解答几何问题，经常用到设未知数列方程的思想。 例2.等腰三角形底边上的高为8cm，周长为32cm，求这个三角形的面积. 8 x 16-x D A B C 解：设这个三角形为ABC，高为AD，设BD为xcm，则AB为（16-x）cm， 由勾股定理得：x2+82=(16-x)2 即x2+64=256-32x+x2 所以x=6 答：这个三角形的面积为48cm2. 课堂小结 变式训练 1.如图，为了测得湖两岸A点和B点之间的距离，一个观测者在C点设桩，使∠ABC＝90°，并测得AC长为20m，BC长为16m，则A点和B点之间的距离为(　B　) A. 25m B. 12m C. 13m D. 14m B 变式训练 2.如图，直线l上有三个正方形a，b，c，若a，c的面积分别为3和4，则b的面积为(　　) A．16 B．12 C．9 D．7 D 变式训练 3.飞机在空中水平飞行，某一时刻刚好飞到一个男孩子头顶上方4km处，过了20s，飞机距离这个男孩子头顶5km，飞机每小时飞行多少千米？ 4km 20秒后 5km A B C 解：在Rt△ABC中，BC2=AB2-AC2. ∵AB=5，AC=4, ∴BC2=52-42. ∴BC2=9,∴BC=3， 答：飞机每小时飞行540km. 变式训练 4.如图，某住宅小区在施工过程中留下了一块空地（图中的四边形ABCD），经测量，在四边形ABCD中，AB=3m，BC=4m，AD=13m，∠B=∠ACD=90°．小区为美化环境，欲在空地上铺草坪，已知草坪每平方米100元，试问铺满这块空地共需花费多少元？ 解：在Rt△ABC中,由勾股定理, 得 AC2=AB2+BC2，∴AC=5m， 在Rt△ACD中,由勾股定理, 得 CD2=AD2－AC2，∴CD=12m， S草坪=SRt△ABC+SRt△ACD= AB•BC+ AC•DC = (3×4+5×12)=36 m2． 故需要的费用为36×100=3600元． 【新教材】北师版·八年级上册 感谢聆听! $