专题01 一元一次方程90道计算题强化练习（专项训练）数学冀教版2024七年级上册

专题01 一元一次方程90道计算题强化练习 目录 A题型建模・专项突破 题型一、解一元一次方程（简单） 8 题型二、解一元一次方程（复杂） 8 题型三、一元一次方程的同解问题 8 题型四、一元一次方程的看错、漏解问题 8 题型五、一元一次方程中含参问题 9 题型六、已知一元一次方程的解求另一个方程的解 9 题型七、绝对值方程 9 题型八、一元一次方程中的整数解问题 9 题型九、一元一次方程中新定义运算 11 题型一、解一元一次方程（简单） 1．解下列一元一次方程 (1) (2) 2．解方程： (1) (2) 3．解方程： (1) (2) 4．解方程： (1)； (2)． 5．解方程： (1)； (2)． 6．解方程： 7．解下列方程： (1)． (2)． (3)． 8．解下列方程： (1)． (2)． 9．解方程： (1)； (2)． 10．解下列方程： (1)； (2)； (3)． 题型二、解一元一次方程（复杂） 11．解下列方程： (1)． (2)． 12．解方程：． 13．解方程： 14．解下列方程： (1) (2) (3) (4) (5) 15．解方程：． 16．解方程： (1) (2) 17．解方程： (1) (2) 18．解方程： 19．解下列方程： (1)． (2)． 20．计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 题型三、一元一次方程的同解问题 21．已知关于 x 的方程和的解相同． (1)求m的值； (2)求代数式的值． 22．（1）关于x的方程与的解相同，求m的值． （2）已知方程，求整式的值． 23．当k取何值时，方程和方程的解相同？ 24．已知关于的方程和的解相同．求： (1)的值． (2)的值． 25．如果关于x的方程的解与方程的解相同，求a的值． 26．（1）已知是方程的解，求m的值； （2）方程的解与方程的解相同，求m的值． 27．关于的方程的解与方程的解相同，求的值． 28．已知关于的方程是一元一次方程． (1)求的值． (2)若关于的方程与方程的解相同，求的值． 29．已知关于x的方程的解与方程的解相同，试求的值． 30．已知是关于x的一元一次方程． (1)当m为何值时，该方程的解与方程的解相同？ (2)当方程的解为正整数，且m为非负整数时，求m的值． 题型四、一元一次方程的看错、漏解问题 31．本学期学了一元一次方程的解法，下面是小明同学部分解方程的过程，请认真阅读并解答相应问题． 解方程：． 解：去分母，得， … 小明解方程的第一步是去分母，去分母的过程是否正确？如果正确，请继续解完此方程；如果不正确，请说明错在哪里？并按正确的方式解此方程． 32．已知算式“”． (1)请你计算上式结果； (2)小红将数字“8”抄错了，所得结果为，求小红把“8”错写成了哪个数； (3)改变原算式中的一个运算符号，使得计算结果比原算式的正确结果大，请计算比原算式的结果大了多少？ 33．小玲在解方程去分母时，方程右边的“”没有乘以公分母6，因而求得了方程的错误解为．请根据上述信息求方程正确的解． 34．学习情境·错解问题 小明在解方程去分母时，方程右边的漏乘了，因而求得方程的解为，请你帮助小明求出的值，并正确解出原方程． 35．用好错题本可以有效地积累解题策略，减少再错的可能．下面是小严同学错题本上的一道题，请仔细阅读并完成相应的任务． 解方程：． 解：去分母，得……………………第一步 去括号，得……………………第二步 移项，得……………………第三步 合并同类项，得……………………第四步 系数化为1，得……………………第五步 任务： ①以上解题过程中，第一步是依据________________________进行变形的；第二步去括号时用到的运算律是____________________________； ②从第________步开始出错，这一步错误的原因是__________________________； ③请直接写出该方程正确的解． 36．聪聪在解一元一次方程时，在去分母的过程中，漏乘了方程右侧的不含分母项，得到的一元一次方程的解为． (1)请你求出a的值； (2)求出方程正确的解； (3)根据你的学习经验，除了上述错误外，给同学们提出一条关于解一元一次方程的注意事项． 37．小李同学在解关于x的一元一次方程去分母时，方程右边的1漏乘了3，因而求得方程的解为，请你帮助小李同学求出a的值，并求出原方程正确的解． 38．小红解关于的方程，在去分母的过程中，等号右边的常数项2漏乘公分母6，因而求得方程的解为． (1)求的值． (2)求出方程的正确解． (3)根据你的学习经验，给同学们提一条关于解一元一次方程的注意事项． 39．青青在解关于x的一元一次方程时，由于粗心大意在去分母时出现漏乘错误，把原方程化为，并解得，请你求出原方程正确的解． 40．小红解方程 时，在去分母的过程中，右边的漏乘公分母6，因而求得方程的解为． (1)求a的值； (2)求出方程的正确解； (3)根据你的学习经验，给同学们提一条关于解一元一次方程的注意事项． 题型五、一元一次方程中含参问题 41．关于的一元一次方程，其中是正整数．若方程有正整数解，求的值． 42．若关于x的方程与的解互为相反数，求的值． 43．已知关于的方程． (1)当为何值时，该方程与的解相同？ (2)佳佳同学在解这个方程，去分母时忘记给右边的乘分母的最小公倍数，最终解得，求这个方程正确的解． 44．已知关于x的一元一次方程的解比关于y的一元一次方程的解小4，求a的值． 45．已知方程的解与关于x的方程的解互为倒数，求k的值． 46．如果，为定值，关于的一次方程，无论为何值时，它的解总是．求的值． 47．定义：若关于x的方程的解为，则称该方程为“生生方程”．已知关于x的方程是“生生方程”，求该方程的解． 48．已知关于x的方程的解比的解小5，求m的值． 49．若关于的方程的解是关于的方程的解的倍，求关于的方程的解． 50．已知关于x的方程． (1)若，求该方程的解； (2)某同学在解该方程时，误将“”看成了“”，得到方程的解为，求m的值； (3)若该方程有正整数解，求整数m的最小值． 题型六、已知一元一次方程的解求另一个方程的解 51．若关于的一元一次方程的解为，则关于y的一元一次方程的解为（    ） A． B． C． D． 52．已知关于x的一元一次方程的解为，那么关于y的一元一次方程的解为 ． 53．已知关于x的一元一次方程＋5＝2019x＋m的解为x＝2021，那么关于y的一元一次方程 ＋5＝2019（5﹣y）＋m的解为 ． 54．已知关于x的方程的解是，那么关于m的方程的解是 ． 55．关于x的方程的解为，则关于y的方程的解为 ． 56．阅读材料：整体代值是数学中常用的方法．例如“已知，求代数式的值．”可以这样解：．根据阅读材料，解决问题：若是关于x的一元一次方程的解，则代数式的值是 ． 57．已知以为未知数的一元一次方程的解为，那么以为未知数的一元一次方程的解为 ． 58．已知关于的方程为一元一次方程，且该方程的解与关于的方程的解相同． (1)求、的值； (2)在（1）的条件下，若关于的方程有无数解，求，的值． 59．定义：如果两个一元一次方程的解之和为1，我们就称这两个方程为“美好方程”．例如：方程和为“美好方程”． (1)请判断方程与方程是否互为“美好方程”； (2)若关于x的方程与方程是“美好方程”，求m的值； (3)若关于x的一元一次方程和是“美好方程”，求关于y的一次方程的解． 60．例如“已知关于的方程的解为，求关于的方程的解．”可以这样解：可得，所以．若关于的方程的解是，且式子成立，则的值为 ． 题型七、绝对值方程 61．已知，那么 ． 62．若，则 63．如果，则 ． 64．解方程：． 65．已知，求x的值． 66．已知，求的值． 67．若，求x的值． 68．已知与互为相反数． (1)求，的值． (2)已知，求的值． 69．阅读与探究：如： 我们把绝对值符号内含有未知数的方程叫做“含有绝对值的方程”．如：，，都是含有绝对值的方程，有绝对值的方程的解呢？基本思路是：把“含有绝对值的方程”转化为“不含有绝对值的方程”．例如： 解方程． 解：当时，方程可化为：，解得，符合题意． 当时，方程可化为：，解得，符合题意． 所以，原方程的解为：或． 根据以上材料解决下列问题： (1)若，则的取值范围是_____； (2)方程的解是_____； (3)解方程：； (4)解方程． 70．阅读下列信息，方程的解法如下： （I）当时，，解得：． （II）当时，，解得：． 请你解决下列问题： (1)，则______； (2)求方程的解． 题型八、一元一次方程中的整数解问题 71．若关于的方程的解为大于4的整数 ，则整数的值为（　　） A．3或5 B．3或7 C．5或7 D．以上答案都不对 72．关于的一元一次方程的解为正整数，其中为整数，则的值有（   ） A．个 B．个 C．个 D．个 73．已知关于的方程有负整数解，则所有满足条件的整数的值之和为（    ） A． B． C． D． 74．若关于的方程的解是整数，且关于的多项式是二次三项式，则所有满足条件的整数的值之和是（   ） A． B．0 C．1 D．2 75．已知关于的方程有整数解，则满足条件的所有整数的和为 ． 76．已知关于x的方程的解是整数．且k是正整数，则满足条件的所有k值的和为 ． 77．若关于的方程的解为整数，则整数的取值个数为 个． 78．若关于的方程的解为整数，则符合条件的所有整数的值之和为 ． 79．已知为整数，关于的方程的解为非负整数．求满足条件的值的和 ． 80．已知关于的方程的解是正整数，求符合条件的所有整数的和． 题型九、一元一次方程中新定义运算 81．对任意四个有理数a，b，c，d定义新运算：，如： (1)求的值； (2)已知，求x的值． 82．定义：如果两个一元一次方程的解互为倒数，则称这两个方程互为“优雅方程”．例如：和互为“优雅方程”． (1)方程与方程是“优雅方程”吗？请说明理由； (2)若方程与关于的方程互为“优雅方程”，求的值． 83．【新型定义】若，则称与是关于7的“奇妙数”． 例如：如果，那么与是关于7的“奇妙数”． (1)【初步探究】求①5与___________是关于7的“奇妙数”； ②___________与是关于7的“奇妙数”； ③与___________是关于7的“奇妙数”； (2)【拓展提升】若与是关于7的“奇妙数”，求的值． 84．定义一种新运算“”，规定：，除新运算“”外，其它运算完全按有理数和整式的运算进行． (1)直接写出的结果为______； (2)化简：； (3)解方程：． 85．定义：如果两个一元一次方程的解之和为2，我们就称这两个方程互为“成双方程”．例如：方程的解为，方程的解为，因为，所以这两个方程互为“成双方程”． (1)请写出一个一元一次方程，使得它与方程互为“成双方程”； (2)若关于x的方程和互为“成双方程”，求m的值． 86．“程，课程也，二物者二程，三物者三程，皆如物数程之，并列为行，故谓之方程”这是我国古代著名数学家刘徽在《九章算术》对方程一词给出的注释．定义：如果两个一元一次方程的解的和为1，则称这两个方程互为“归一方程”． (1)若方程与关于x的方程互为“归一方程”，求m的值． (2)若关于x的方程与关于x的方程互为“归一方程”，求a的值． (3)若关于x的两个方程与互为“归一方程”，求出所有满足条件的正整数m、n值． 87．【定义】若关于x的一元一次方程的解满足，则称该方程为“友好方程”．例如：方程的解为，而，则方程为“友好方程”． 【运用】 (1)在①，②两个方程中，为“友好方程”的是______（填序号） (2)若关于x的一元一次方程是“友好方程”，求b的值． 88．观察下列两个等式：，，给出定义如下：我们称使等式成立的一对有理数a，b为“一中有理数对”，记为，如：数对，都是“一中有理数对”． (1)数对，中是“一中有理数对”的是 ； (2)若是“一中有理数对”，求a的值． 89．【阅读材料】定义：如果一个一元一次方程的一次项系数与常数项的和刚好是这个方程的解，则称这个方程为和谐方程.例如：方程中，方程的解为，一次项系数与常数项的和，则方程为和谐方程． 【解答问题】 请根据上述定义解答下列问题： (1)方程 是和谐方程吗?试说明理由； (2)已知关于x的一元一次方程是和谐方程，求m的值. 90．新定义：如果两个一元一次方程的解之和为1，我们就称这两个方程为“1方程”．例如：方程和为“1方程”． (1)若关于的方程与方程是“1方程”，求的值； (2)若“1方程”的两个解的差为8，其中一个解为，求的值； (3)若关于的一元一次方程和是“1方程”，求关于的一元一次方程的解． 1 / 6 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题01 一元一次方程90道计算题强化练习 目录 A题型建模・专项突破 题型一、解一元一次方程（简单） 8 题型二、解一元一次方程（复杂） 8 题型三、一元一次方程的同解问题 8 题型四、一元一次方程的看错、漏解问题 8 题型五、一元一次方程中含参问题 9 题型六、已知一元一次方程的解求另一个方程的解 9 题型七、绝对值方程 9 题型八、一元一次方程中的整数解问题 9 题型九、一元一次方程中新定义运算 11 题型一、解一元一次方程（简单） 1．解下列一元一次方程 (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查解一元一次方程，掌握去分母，去括号，移项，合并同类项，系数化为1的方法是解题的关键． （1）移项，合并同类项，系数化为1即可求解； （2）去分母，去括号，移项，合并同类项，系数化为1即可． 【详解】（1）解： 移项，合并同类项，得， 将系数化为1，得； （2）解： 去分母，得， 去括号，得， 移项，合并同类项，得， 将系数化为1，得． 2．解方程： (1) (2) 【答案】(1)； (2)． 【分析】本题考查了一元一次方程的解法，掌握一元一次方程的解法是解题的关键． (1)先算括号，移项，合并同类项，最后把系数化“1”，即可得到答案； (2)方程去分母，去括号，移项合并，把系数化为“1”，即可得到答案． 【详解】（1）解： （2）解： 3．解方程： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】此题主要考查了解一元一次方程，正确掌握解方程的方法是解题关键． （1）移项合并同类项，进而解方程得出答案； （2）直接去括号，移项合并同类项得出答案． 【详解】（1）解：， ， ； （2）解：， ， ， ， ． 4．解方程： (1)； (2)． 【答案】(1)； (2)． 【分析】本题考查了解一元一次方程，熟练掌握解一元一次方程的步骤是解题的关键． （）按照去括号，移项，合并同类项，系数化为的步骤解方程即可； （）按照去分母，去括号，移项，合并同类项，系数化为的步骤解方程即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 5．解方程： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了一元一次方程的解法，解题的关键是掌握解一元一次方程的基本步骤（移项、去分母、合并同类项、系数化为1），并注意移项时要变号、去分母时方程两边每一项都需乘各分母的最小公倍数． （1）方程不含分母和括号，先通过移项将含未知数的项移到右边、常数项留在左边（移项要变号），再合并同类项，最后将未知数系数化为1； （2）方程含分母，先找分母2和3的最小公倍数6去分母（每一项均乘6，避免漏乘常数项），再移项、合并同类项即可． 【详解】（1）解：移项，得， 合并同类项，得， 系数化为1，得． （2）解：去分母（两边同乘6），得， 去括号，得， 移项，得， 合并同类项，得． 6．解方程： 【答案】 【分析】本题主要考查了解一元一次方程的方法，熟练掌握解一元一次方程的一般步骤“去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1”是解题的关键． 按照“去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1”求解即可． 【详解】解：， ， ， ， ， ． 7．解下列方程： (1)． (2)． (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了解一元一次方程，熟练掌握解方程的步骤是解题关键． （1）（2）（3）根据去括号、移项、合并同类项、系数化为求解即可． 【详解】（1）解：去括号，得， 移项，得， 合并同类项，得， 系数化为，得． （2）解：去括号，得， 移项，得， 合并同类项，得， 系数化为，得． （3）解：去括号，得， 移项，得， 合并同类项，得， 系数化为，得． 8．解下列方程： (1)． (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了解一元一次方程，熟练掌握解一元一次方程的步骤是解题关键． 按照去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1的步骤解一元一次方程即可． 【详解】（1）解：去分母，得， 去括号，得， 移项，得， 合并同类项，得． （2）解：去分母，得， 去括号，得， 移项，得， 合并同类项，得， 系数化为，得． 9．解方程： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了解一元一次方程． 按去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1的顺序求解即可． 【详解】（1）解：， ， ， ， ， ． （2） ， ， ， ， ， ． 10．解下列方程： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查解一元一次方程，解题关键是熟练掌握一元一次方程的解法步骤：去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1． （1）等式的两边同时减去，同时加上6，然后等式的两边同时除以2，就可得出答案； （2）等式的两边同时加上，然后等式的两边同时除以，就可得出答案； （3）等式的两边同时减去x，再同时加上1，然后等式的两边同时乘以2，就可得出答案． 【详解】（1）解：， ， ， ； （2）解：， ， ， ； （3）解：， ， ， ． 题型二、解一元一次方程（复杂） 11．解下列方程： (1)． (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了解一元一次方程，熟练掌握解一元一次方程的一般步骤是解题的关键． （1）分母先化为整数，然后根据去分母，去括号、移项、合并同类项、系数化为的步骤求解即可； （2）根据去括号、去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为的步骤求解即可． 【详解】（1）解：分母化为整数，得， 去分母，得， 去括号，得， 移项、合并同类项，得， 系数化为1，得． （2）解：去括号，得． 去分母，得． 去括号，得． 移项，得． 合并同类项，得． 系数化为1，得． 12．解方程：． 【答案】 【分析】此题考查了解一元一次方程，熟练掌握解一元一次方程的方法是解本题的关键． 方程去括号，去分母，移项，合并同类项，把x系数化为1，即可求出解． 【详解】解：， 去括号，得， 去分母，得， 移项，得， 合并同类项，得， 系数化为1，得． 13．解方程： 【答案】 【分析】本题考查了解一元一次方程，先将原方程变形，整理即可求解． 【详解】解： 将方程变形得： 即 ， ． 14．解下列方程： (1) (2) (3) (4) (5) 【答案】(1) (2) (3) (4) (5) 【分析】本题考查了解一元一次方程．熟练掌握去分母，去括号，移项，合并同类项，系数化为1，是解题的关键． 运用去分母，去括号，移项，合并同类项，系数化成1的方法解答即可．可先从外部去括号，使运算简便，（1），（3），（5）题，可方程两边乘一适当的数，兼顾去分母去括号，（2），（4）题出现了互为倒数，或分母能约尽的情况，用括号外的数直接乘即可． 【详解】（1）解：（1）∵， ∴两边乘2，得， 移项，得， 两边乘3，得， 移项，得， ∴， 系数化为1，得． （2）∵， ∴去中括号，得， 去小括号，得， 移项，得 合并同类项，得， 系数化为1，得； （3）∵， 两边乘2，得， 去分母，得， 去括号，得， 合并同类项，得， 系数化为1，得． （4）∵ ∴去中括号，得，， 去小括号，得，， 移项，得， 合并同类项，得， 把x的系数化为1，得； （5）∵， ∴两边乘2，得， 即， 去分母，得， 去括号，得， 移项，得， 合并同类项，得， 系数化为1，得． 15．解方程：． 【答案】 【详解】本题主要考查的是含有绝对值符号的一元一次方程的解法．难易适中．根据绝对值的性质分几种情况进行简化方程解答即可． 【分析】解：当时， 原方程可化为：， 解得：，不符合题意，舍去； 当时， 原方程可化为：， 解得：，不符合题意，舍去， 当时， 原方程可化为：， 解得：x取的实数； 当时， 原方程可化为：， 解得：．不符合题意，舍去， 综上：． 16．解方程： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了解一元一次方程，两题有一定的难度． （1）先利用分数的基本性质把分子分母的小数化为整数，再去分母化为系数为整数的方程，再去括号、移项、合并同类项即可求解； （2）利用乘法分配律可化为，再计算的值；由于每一个分数可拆成分母相邻的两个分数的差，最后即可求得的值，从而求解方程． 【详解】（1）解：原方程可化为：， 去分母得：， 整理得：， 解得：； （2）解：原式可化为： 而 ， 即， 解得：． 17．解方程： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查解一元一次方程，熟练掌握一元一次方程的解法和求解步骤是解答的关键． （1）根据去分母、去括号、移项、合并同类项、化系数为1的运算顺序解方程即可； （2）先化各项系数为整数，再根据去括号、移项、合并同类项、化系数为1的运算顺序解方程即可． 【详解】（1）解：去分母，得 去括号，得 移项、合并同类项，得 故原方程的解为； （2）解：原方程化为，即 去括号，得 移项、合并同类项，得 化系数为1，得 故原方程的解为． 18．解方程： 【答案】． 【分析】本题主要考查了一元一次方程的解法，涉及分数和小数的转化、去括号、移项、合并同类项以及系数化为等步骤．熟练掌握一元一次方程的求解步骤和相关运算法则是解题的关键． 先将方程中的分数和小数通过分子分母同时扩大一定倍数的方式化为整数，然后去括号、移项、合并同类项，最后将系数化为来求解． 【详解】解：， ， ， ， ， ， ． 19．解下列方程： (1)． (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题需按照去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为的步骤求解． 【详解】解：（1）去分母，得． 去括号，得． 移项，得． 合并同类项，得． 故答案为：． （2）方程整理，得． 去分母，得． 去括号，得． 移项、合并同类项，得． 系数化为1，得． 故答案为：． 【点睛】本题考查了一元一次方程的解法，解题关键是熟练掌握去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为的步骤． 20．计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题主要考查了解一元一次方程，熟知解一元一次方程的方法是解题的关键． （1）按照去分母，去括号，移项，合并同类项，系数化为1的步骤解方程即可； （2）按照去括号，去分母，移项，合并同类项，系数化为1的步骤解方程即可； （3）按照去分母，去括号，移项，合并同类项，系数化为1的步骤解方程即可； （4）按照去分母，去括号，移项，合并同类项的步骤解方程即可． 【详解】（1）解： 去分母得：， 去括号得：， 移项得：， 合并同类项得：， 系数化为1得：； （2）解： 去括号得：， 去分母得：， 移项得：， 合并同类项得：， 系数化为1得：； （3）解： 去分母得：， 去括号得：， 移项得：， 合并同类项得：， 系数化为1得：； （4）解： 去分母得：， 去括号得：， 移项得：， 合并同类项得：． 题型三、一元一次方程的同解问题 21．已知关于 x 的方程和的解相同． (1)求m的值； (2)求代数式的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了一元一次方程的解和代数式求值，准确计算是解题的关键． （1）根据两个方程的解相同求出m即可； （2）把m代入求解即可． 【详解】（1）解：解方程得， 解方程得， ∵关于 x 的方程和的解相同， ∴， 解得． （2）解： ． 22．（1）关于x的方程与的解相同，求m的值． （2）已知方程，求整式的值． 【答案】（1）；（2） 【分析】本题主要考查了一元一次方程的解、解一元一次方程、代数式求值等知识点，掌握整体思想是解题的关键． （1）先求解方程可得，再把代入得到关于m的方程求解即可； （2）由方程可得，然后整体代入求解即可． 【详解】解：（1）解关于x的方程可得， 把代入可得， 解得； （2）∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 23．当k取何值时，方程和方程的解相同？ 【答案】 【分析】本题考查解一元一次方程，理解同解方程是解答的关键．求出方程的解，把解代入中，进行求解即可． 【详解】解：解，得：； 当方程和方程的解相同时， 则：，解得：． ∴当时，方程和方程的解相同． 24．已知关于的方程和的解相同．求： (1)的值． (2)的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先分别解两个方程，用含的式子表示，根据解相同列出关于的方程求解的值； （2）将的值代入代数式求值即可. 【详解】（1）解方程， 得． 解方程， 得． 根据题意，得， 解得． （2）将代入， 得， 所以的值为． 【点睛】本题考查了同解方程，利用同解方程得出关于的方程是解题关键. 25．如果关于x的方程的解与方程的解相同，求a的值． 【答案】 【分析】本题考查了解一元一次方程和一元一次方程的解，先求出第一个方程的解，然后代入第二个方程得到关于a的一元一次方程，再根据一元一次方程的解法进行求解即可． 【详解】解：解方程， 整理得：， 得：， 由题意：的解为， 代入得：，    解得：． 26．（1）已知是方程的解，求m的值； （2）方程的解与方程的解相同，求m的值． 【答案】（1）；（2） 【分析】本题考查方程的解，同解方程，熟练掌握方程的解的定义，解一元一次方程的步骤是解题的关键： （1）把代入方程，进行求解即可； （2）求出方程的解，再把解代入中，进行求解即可． 【详解】解：（1）把代入，得：， ∴， 解得：； （2）∵， ∴， 解得：， 把代入，得：， ∴， 解得：． 27．关于的方程的解与方程的解相同，求的值． 【答案】 【分析】本题考查的是同解方程的定义，如果两个方程的解相同，那么这两个方程叫做同解方程．利用一元一次方程的解法解出方程，根据同解方程的定义解答． 【详解】解：解方程， 得， 由题意得，， 解得，， 28．已知关于的方程是一元一次方程． (1)求的值． (2)若关于的方程与方程的解相同，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查根据一元一次方程的定义求参数的值，同解方程，熟练掌握一元一次方程的定义，解一元一次方程的步骤，是解题的关键： （1）根据一元一次方程的定义，得到且，求出的值即可； （2）求出方程的解，再把解代入中，进行求解即可． 【详解】（1）解：由题意，得：且， ∴； （2）由（1）可知：方程为：， ∵， ∴， ∴， ∵关于的方程与方程的解相同， ∴把代入，得：， 解得：． 29．已知关于x的方程的解与方程的解相同，试求的值． 【答案】0 【分析】本题主要考查了同解方程，代数式求值，根据解求参数等知识，先分别解出x，再根据解相同得出关于m的一元一次方程，解出m再代入代数式求解即可． 【详解】解：解得：， 解得：， ∵方程的解与方程的解相同， ∴， 解得：， ∴ 30．已知是关于x的一元一次方程． (1)当m为何值时，该方程的解与方程的解相同？ (2)当方程的解为正整数，且m为非负整数时，求m的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先求的解，得到方程的解，代入计算即可． （2）先求的解，根据解的属性，m的属性，解答即可． 本题考查了解方程，根据方程的解求值，熟练掌握解方程是解题的关键． 【详解】（1）解：解方程， 解得， ∵方程与方程的解相同， ∴方程的解为， ∴， 解得， 故时，方程与方程的解相同． （2）解：， 解得， 由方程的解为正整数， 故，且m为非负整数， 故， 解得， 故． 题型四、一元一次方程的看错、漏解问题 31．本学期学了一元一次方程的解法，下面是小明同学部分解方程的过程，请认真阅读并解答相应问题． 解方程：． 解：去分母，得， … 小明解方程的第一步是去分母，去分母的过程是否正确？如果正确，请继续解完此方程；如果不正确，请说明错在哪里？并按正确的方式解此方程． 【答案】不正确，错误原因是在去分母时，没有乘10；． 【分析】本题考查了解一元一次方程，解题的关键是熟练掌握解一元一次方程的一般步骤；按照解一元一次方程的步骤：去分母，去括号，移项，合并同类项，系数化为1，进行计算即可解答． 【详解】解：不正确，错误原因是在去分母时，没有乘10； 去分母，得， 去括号，得， 移项，得， 合并同类项，得， 系数化为1，得． 32．已知算式“”． (1)请你计算上式结果； (2)小红将数字“8”抄错了，所得结果为，求小红把“8”错写成了哪个数； (3)改变原算式中的一个运算符号，使得计算结果比原算式的正确结果大，请计算比原算式的结果大了多少？ 【答案】(1) (2)3 (3)答案不唯一，见解析 【分析】本题主要考查有理数的运算，解一元一次方程，熟练掌握有理数的运算是解题的关键． （1）根据有理数的运算法则进行计算即可； （2）设小红把“8”错写成了，解一元一次方程即可； （3）把运算符号“”改变为“+”，得到的计算结果为，即可得到答案． 【详解】（1）解：； （2）解：设小红把“8”错写成了， 根据题意得：，解得：， 所以，小红把“8”错写成了3； （3）解：把运算符号“”改变为“+”， 得到的计算结果为， 所以，，改变运算符号后的结果比原来的结果大10． 33．小玲在解方程去分母时，方程右边的“”没有乘以公分母6，因而求得了方程的错误解为．请根据上述信息求方程正确的解． 【答案】 【分析】本题考查一元一次方程的解法，解题关键是根据错误的去分母过程求出的值．根据错误解法求得，进一步求得，再代入原方程求解正确的解即可． 【详解】解：小玲的解方程过程如下： 去分母得：， 去括号得：， 移项得：， 合并同类项得：， 小玲解得， ，， 将代入得： 去分母得：， 去括号得：， 移项得：， 合并同类项得：． 34．学习情境·错解问题 小明在解方程去分母时，方程右边的漏乘了，因而求得方程的解为，请你帮助小明求出的值，并正确解出原方程． 【答案】 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，由题意得：方程的为，将代入可求得得出原方程为，即可求解； 【详解】解：由题意得：方程的为， 将代入方程得：， 解得： ∴原方程为， 去分母：， 去括号：， 移项：， 合并同类项：， 化系数为： 35．用好错题本可以有效地积累解题策略，减少再错的可能．下面是小严同学错题本上的一道题，请仔细阅读并完成相应的任务． 解方程：． 解：去分母，得……………………第一步 去括号，得……………………第二步 移项，得……………………第三步 合并同类项，得……………………第四步 系数化为1，得……………………第五步 任务： ①以上解题过程中，第一步是依据________________________进行变形的；第二步去括号时用到的运算律是____________________________； ②从第________步开始出错，这一步错误的原因是__________________________； ③请直接写出该方程正确的解． 【答案】①等式的性质2，乘法分配律；②三，从等号左边移项至等号右边未变号；③ 【分析】本题考查了解一元一次方程，熟练掌握解一元一次方程的步骤是解题关键． ①根据等式的基本性质、乘法分配律即可得； ②根据解一元一次方程的步骤中，移项法则即可得； ③根据移项、合并同类项、系数化为1的步骤写出正确过程即可得． 【详解】①以上解题过程中，第一步是依据等式的性质2进行变形的；第二步去括号时用到的运算律是乘法分配律； 故答案为：等式的性质2，乘法分配律； ②从第三步开始出错，这一步错误的原因是从等号左边移项至等号右边未变号； 故答案为：三，从等号左边移项至等号右边未变号 ③从第三步开始移项，得， 合并同类项，得， 系数化为1，得． 36．聪聪在解一元一次方程时，在去分母的过程中，漏乘了方程右侧的不含分母项，得到的一元一次方程的解为． (1)请你求出a的值； (2)求出方程正确的解； (3)根据你的学习经验，除了上述错误外，给同学们提出一条关于解一元一次方程的注意事项． 【答案】(1) (2) (3)在移项的过程中要注意变号（答案不唯一） 【分析】本题考查解一元一次方程，熟练掌握解一元一次方程的步骤，是解题的关键： （1）将错就错，按照题干错误方式去分母后，把代入，求出的值； （2）把的值代入方程，按照解方程的步骤进行求解即可； （3）根据解方程的步骤提出注意事项即可． 【详解】（1）解：由题意，去分母，得：， 把代入，得：， 解得：； （2）解：把代入原方程，得：， 去分母，得：， 移项，合并得：； （3）解：在移项的过程中要注意变号（答案不唯一）． 37．小李同学在解关于x的一元一次方程去分母时，方程右边的1漏乘了3，因而求得方程的解为，请你帮助小李同学求出a的值，并求出原方程正确的解． 【答案】， 【分析】本题考查了解一元一次方程及一元一次方程的解，熟练掌握解一元一次方程的一般步骤是解题的关键． 先根据错误的方法解得的值，将的值代入原方程得，再根据解一元一次方程的一般步骤即可求解， 【详解】解：根据错误的去分母得：， 将代入得：， 解得：， 则原方程为：， 去分母得：， 移项得：， 合并同类项得：． ∴方程正确的解为． 38．小红解关于的方程，在去分母的过程中，等号右边的常数项2漏乘公分母6，因而求得方程的解为． (1)求的值． (2)求出方程的正确解． (3)根据你的学习经验，给同学们提一条关于解一元一次方程的注意事项． 【答案】(1) (2) (3)去分母时，不要漏乘不含分母的项（ 或“移项时，要变号”，答案不唯一） 【分析】本题主要考查了解一元一次方程，方程的解的定义（已知方程的解求参数）等知识点，熟练掌握解一元一次方程的一般步骤是解题的关键：去分母，去括号，移项，合并同类项，系数化为． （1）由题意得，是方程的解，把代入方程，得，解方程即可求出的值； （2）由（1）得，原方程为，然后按照解一元一次方程的一般步骤解方程即可：去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为； （3）根据自身学习经验，给同学们提一条关于解一元一次方程的注意事项即可． 【详解】（1）解：由题意得： 是方程的解， 把代入方程，得： ， 解得：； （2）解：由（1）得：原方程为， 去分母，得：， 去括号，得：， 移项，得：， 合并同类项，得：， 系数化为，得：； （3）解：答案不唯一，例如： “去分母时，不要漏乘不含分母的项”或“移项时，要变号”等等． 39．青青在解关于x的一元一次方程时，由于粗心大意在去分母时出现漏乘错误，把原方程化为，并解得，请你求出原方程正确的解． 【答案】 【分析】本题考查了一元一次方程解得定义及一元一次方程的解法，能使一元一次方程左右两边相等的未知数的值叫做一元一次方程的解．先把代入求出m的值，再把m的值代入求解即可． 【详解】把代入，得， ∴， 把代入，得， ∴． 40．小红解方程 时，在去分母的过程中，右边的漏乘公分母6，因而求得方程的解为． (1)求a的值； (2)求出方程的正确解； (3)根据你的学习经验，给同学们提一条关于解一元一次方程的注意事项． 【答案】(1) (2) (3)去分母时，不要漏乘没有分母的项（答案不唯一） 【分析】本题考查方程的解和解方程，理解方程的解和熟练掌握解一元一次方程是解题的关键． （1）把代入方程得到关于a的方程，求解得到a的值； （2）把a的值代入方程，得到关于x的方程，求解即可； （3）根据解题经验提一条合理化建议即可． 【详解】（1）由题意得是方程的解， 把代入方程得 ， 解得， （2）， 去分母，得， 去括号，得， 移项，得， 合并同类项，得， ∴原方程正确的解为． （3）去分母时，不要漏乘没有分母的项（答案不唯一）． 题型五、一元一次方程中含参问题 41．关于的一元一次方程，其中是正整数．若方程有正整数解，求的值． 【答案】 【分析】把看成常数，解方程，再根据方程有正整数解，求出即可． 【详解】解：解方程， 去分母，得， 移项、合并同类项，得， 两边同除以3，得． ∵是正整数，方程有正整数解， ∴． 【点睛】本题考查解一元一次方程．熟练掌握解一元一次方程的步骤，是解题的关键． 42．若关于x的方程与的解互为相反数，求的值． 【答案】 【分析】先求的解，把其解的相反数代入另一个方程求出的值，再代入代数式即可． 【详解】解：方程去括号， 得， 解得． 依题意，得方程的解为， ，即， 解得， ． 【点睛】本题考查了一元一次方程的解法、方程的解、求代数式的值，熟悉方程的解及解一元一次方程是解题的关键． 43．已知关于的方程． (1)当为何值时，该方程与的解相同？ (2)佳佳同学在解这个方程，去分母时忘记给右边的乘分母的最小公倍数，最终解得，求这个方程正确的解． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了一元一次方程的解和解一元一次方程，熟练掌握解方程的步骤是解答本题的关键． （1）首先求出方程的解，然后代入求解即可； （2）首先将代入，求出，然后代入求解即可． 【详解】（1）解：解方程，得． 将代入， 得， 解得； （2）解：由题意，将代入， 得， 解得． 将代入， 得， 解得， 所以这个方程正确的解为． 44．已知关于x的一元一次方程的解比关于y的一元一次方程的解小4，求a的值． 【答案】 【分析】本题考查了解一元一次方程，先求出关于x的一元一次方程的解为，则，再将代入方程中，得：，进行解方程，即可作答． 【详解】解：∵， ∴去括号得， 移项合并同类项得， 解方程得， ∵关于x的一元一次方程的解比关于y的一元一次方程的解小4， ∴， ∴将代入方程中，得：， ∴， ∴ ∴ 解得． 45．已知方程的解与关于x的方程的解互为倒数，求k的值． 【答案】 【分析】本题的关键是正确解一元一次方程以及互为倒数的意义；理解方程的解的定义，就是能够使方程左右两边相等的未知数的值． 先求已知方程的解，再利用倒数关系确定含字母系数方程的解，把解代入方程，可求字母系数k． 【详解】解：解方程得：． 因为方程的解与关于x的方程的解互为倒数， 所以关于x的方程的解是， 把代入方程得：，解得：． 46．如果，为定值，关于的一次方程，无论为何值时，它的解总是．求的值． 【答案】 【分析】本题考查了一元一次方程的解，牢记“使一元一次方程左右两边相等的未知数的值叫做一元一次方程的解”是解题的关键． 将代入原方程，整理后可得出，结合原方程的解与值无关，可得到关于，的方程，解之得出，的值，再将其代入中，即可求出结论． 【详解】解：将代入方程， 得， ， ， ， 由题意可知：，， ，， ． 47．定义：若关于x的方程的解为，则称该方程为“生生方程”．已知关于x的方程是“生生方程”，求该方程的解． 【答案】 【分析】本题主要考查了解一元一次方程．根据新定义可知，再代入原方程，求出解即可． 【详解】解：因为关于x的一元一次方程是“生生方程”， 所以， 则， 解得， 所以． 48．已知关于x的方程的解比的解小5，求m的值． 【答案】 【分析】本题主要考查了解一元一次方程，熟知解一元一次方程的方法是解题的关键． 分别求出两个方程的解，然后根据两个方程解的关系得到关于m的方程，由此求解即可． 【详解】解：方程， 去括号得， 移项合并同类项得， 解得：， ∵关于x的方程的解比的解小5， 因此方程的解为， 将代入，得， 解得：． 49．若关于的方程的解是关于的方程的解的倍，求关于的方程的解． 【答案】 【分析】此题考查了一元一次方程的求解，解题的关键是掌握一元一次方程的求解步骤． 分别求出两个方程的解再根据方程的解是关于x的方程的解的2倍求出a，即可求解． 【详解】解： ， ， ， ， 方程的解是关于x的方程的解的2倍， ， 解得：， 将代入方程得 ， 解得：． 50．已知关于x的方程． (1)若，求该方程的解； (2)某同学在解该方程时，误将“”看成了“”，得到方程的解为，求m的值； (3)若该方程有正整数解，求整数m的最小值． 【答案】(1)； (2)； (3)． 【分析】本题考查同解方程、一元一次方程的解法、求代数式的值，解题时要能读懂题意并列出方程是解题的关键． （1）依据题意得，当时，方程为，求解即可； （2）依据题意，由误将“”看成了“”，得到方程的解为，可得，再解关于的方程即可； （3）依据题意，由，可得，再结合取正整数，从而为的正因数，又取最小值，进而得解； 【详解】（1）解：当时，方程为， ∴， ∴， ∴， ∴； （2）解：∵误将“”看成了“”，得到方程的解为， ∴是方程的解， ∴， 解得：， ∴的值为； （3）解：∵， ∴， ∴， ∴， ∵取正整数， ∴为的正整数倍数． 又∵取最小值， ∴， ∴， ∴的值为． 题型六、已知一元一次方程的解求另一个方程的解 51．若关于的一元一次方程的解为，则关于y的一元一次方程的解为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了一元一次方程的解，掌握换元法是解答本题的关键． 设，将替换为x代入方程可得，据此求解即可． 【详解】解：设， 则变形为， ∴，解得：． 故选：． 52．已知关于x的一元一次方程的解为，那么关于y的一元一次方程的解为 ． 【答案】 【分析】本题考查了一元一次方程的解，发现两个方程之间的关键是解题的关键． 根据已知条件得出，再根据关于x的一元一次方程的解为，得出，求出的值即可． 【详解】解： ， ． 故答案为：． 53．已知关于x的一元一次方程＋5＝2019x＋m的解为x＝2021，那么关于y的一元一次方程 ＋5＝2019（5﹣y）＋m的解为 ． 【答案】y=-2016 【分析】方程+5=2019x+m可整理得：-2019x=m-5，则该方程的解为x=2021，方程+5=2019（5-y）+m可整理得：-2019（5-y）=m-5，令n=5-y，则原方程可整理得：-2019n=m-5，则n=2021，得到关于y的一元一次方程，解之即可． 【详解】解：根据题意得： 方程+5=2019x+m可整理得：-2019x=m-5， 则该方程的解为x=2021， 方程+5=2019（5-y）+m可整理得：-2019（5-y）=m-5， 令n=5-y， 则原方程可整理得：-2019n=m-5， 则n=2021， 即5-y=2021， 解得：y=-2016， 故答案为：-2016． 【点睛】本题考查了一元一次方程的解，正确掌握转化思想是解题的关键． 54．已知关于x的方程的解是，那么关于m的方程的解是 ． 【答案】m=4 【分析】根据一元一次方程解的定义，把x=1代入方程ax+c=d（a≠0），得d=a+c，再把d=a+c代入方程）即可． 【详解】解：把x=1代入方程ax+c=d（a≠0），得d=a+c， 把d=a+c代入方程， 得， 即am=4a， m=4． 故答案为：m=4． 【点睛】本题考查了一元一次方程的解：把方程的解代入原方程，等式左右两边相等． 55．关于x的方程的解为，则关于y的方程的解为 ． 【答案】 【分析】把代入方程得到关于a与b的关系式，再将关系式代入即可求解． 【详解】把代入方程，得：，即， 代入所求方程，得：， 整理得：， 解得：． 故答案为：． 【点睛】此题考查了一元一次方程的解，方程的解即为能使方程左右两边相等的未知数的值．熟练掌握方程的解的定义是解题的关键． 56．阅读材料：整体代值是数学中常用的方法．例如“已知，求代数式的值．”可以这样解：．根据阅读材料，解决问题：若是关于x的一元一次方程的解，则代数式的值是 ． 【答案】47 【分析】本题考查一元一次方程的解和代数式求值，运用了整体代入的方法．将代入方程得出，然后将代入变形后的代数式求解即可． 【详解】解：∵是关于x的一元一次方程的解， ∴， ∴， 故答案为：47 57．已知以为未知数的一元一次方程的解为，那么以为未知数的一元一次方程的解为 ． 【答案】2022． 【分析】根据方程的解为，求得ｍ的值，代入中计算即可． 【详解】∵一元一次方程的解为， ∴， ∴2020m=2021×2-， ∵， ∴， 整理，得 (2019×2021-1)y=2022×(2019×2021-1)， ∴y=2022， 故答案为：2022． 【点睛】本题考查了一元一次方程的解及其解法，熟练掌握方程解的定义，运用整体变形代入是解题的关键． 58．已知关于的方程为一元一次方程，且该方程的解与关于的方程的解相同． (1)求、的值； (2)在（1）的条件下，若关于的方程有无数解，求，的值． 【答案】(1)， (2)或， 【分析】（1）根据题意利用一元一次方程的定义即可求出a的值，根据两个方程同解可得b的值； （2）由题意直接把a和b的值代入方程求出方程的解，根据方程有无数解的条件列式可得m ，n的值． 【详解】（1）解：∵关于的方程为一元一次方程， ∴，解得：， 当，方程为，解得：， 又∵两个方程同解， ∴，解得：. （2）解：把，代入， 可得：，变形得：， ∵关于的方程有无数解，即与y的取值无关， ∴， ∴或，. 【点睛】本题考查一元一次方程的解以及一元一次方程的定义，注意掌握方程的解即为能使方程左右两边相等的未知数的值． 59．定义：如果两个一元一次方程的解之和为1，我们就称这两个方程为“美好方程”．例如：方程和为“美好方程”． (1)请判断方程与方程是否互为“美好方程”； (2)若关于x的方程与方程是“美好方程”，求m的值； (3)若关于x的一元一次方程和是“美好方程”，求关于y的一次方程的解． 【答案】(1)是 (2) (3) 【分析】（1）分别求得两个方程的解，再利用“美好方程”的定义进行判断即可； （2）分别求得两个方程的解，利用“美好方程”的定义列出关于m 的方程解答即可； （3）求得方程的解，利用“美好方程”的定义得到方程的解，将关于y的方程变形，利用同解方程的定义即可得到的值，从而求得方程的解． 【详解】（1）方程与方程是互为“美好方程”，理由： 解方程得： ， 方程的解为： ． ∵， ∴方程与方程是互为“美好方程”； （2）关于x的方程的解为：， 方程的解为：， ∵关于x的方程与方程是“美好方程”， ∴， ∴； （3）方程的解为：， ∵关于x的方程与是“美好方程”， ∴关于x的方程的解为：． ∵关于y的方程就是：, ∴， ∴． ∴关于y的方程的解为：． 【点睛】本题主要考查了一元一次方程的解，解一元一次方程，利用同解方程的意义解答是解题的关键，本题是新定义型，理解并熟练应用新定义解答也是解题的关键． 60．例如“已知关于的方程的解为，求关于的方程的解．”可以这样解：可得，所以．若关于的方程的解是，且式子成立，则的值为 ． 【答案】3 【分析】本题考查了一元一次方程的解，理解其定义并运用是解题的关键．根据题意得到的值，然后化简条件式即可． 【详解】解：∵关于的方程的解是，且式子成立， ∴， ∴． 故答案为： ． 题型七、绝对值方程 61．已知，那么 ． 【答案】7或 【分析】本题主要考查了绝对值方程．根据绝对值等于一个正数的数有两个，如果，那么或，据此解答即可． 【详解】解：∵， ∴或， ∴或， 故答案为：7或． 62．若，则 【答案】或 【分析】本题考查了解绝对值方程，直接利用解题即可． 【详解】解：∵， ∴或， ∴或， 故答案为： 或． 63．如果，则 ． 【答案】4或 【分析】本题考查了绝对值，根据绝对值的意义解方程即可． 【详解】解：∵， ∴； ∴或 ∴或． 故答案为：4或． 64．解方程：． 【答案】或6 【分析】本题考查解一元一次方程，化简绝对值，正确掌握方法和步骤是解题的关键． 根据题意分情况讨论，然后分别解方程即可． 【详解】解析：当时，， 解得，不符合题意，舍去 当时，， 解得，符合题意； 当时，， 解得，符合题意． 综上，或6． 65．已知，求x的值． 【答案】或 【分析】本题主要考查了绝对值方程，熟练掌握绝对值意义，注意分类讨论，是解题的关键．分三种情况讨论：当时，当时，当时，分别去绝对值，解方程即可． 【详解】解：令，，分别解得，． ①当时，， ， ； ②当时，原方程化为，此方程无解； ③当时，， ． 综上所述，或． 66．已知，求的值． 【答案】的值为7或13 【分析】该题考查了绝对值的性质，一元一次方程，代数式求值，分为当m在2的左侧即时，和当m在2的右侧即时，分别化简求出m的值，再代入计算即可． 【详解】解：的几何意义是数轴上表示数m和2两点之间的距离． 当m在2的左侧，即时，，解得：， 此时； 当m在2的右侧，即时，，解得：， 此时； 综上所述，的值为7或13． 67．若，求x的值． 【答案】或 【分析】本题主要考查了绝对值方程，熟练掌握绝对值意义，注意分类讨论，是解题的关键．分三种情况讨论：当时，当时，当时，分别去绝对值，解方程即可． 【详解】解：分三种情况讨论： ①当时，， 解得：； ②当时，， 解得； ③当时，， 解得不成立． 综上所述可知：或． 68．已知与互为相反数． (1)求，的值． (2)已知，求的值． 【答案】(1)，； (2)或． 【分析】本题主要考查了绝对值、相反数，任何数的绝对值都是非负数，互为相反数的两数之和为． 根据两数的绝对值互为相反数，可知这两数均为，从而求出、的值； 把，代入，可得，分情况求出值即可． 【详解】（1）解：与互为相反数， ，， 解得：，； （2）解：，，， ， ， 当时， 解得：， 当时， 解得：， 或． 69．阅读与探究：如： 我们把绝对值符号内含有未知数的方程叫做“含有绝对值的方程”．如：，，都是含有绝对值的方程，有绝对值的方程的解呢？基本思路是：把“含有绝对值的方程”转化为“不含有绝对值的方程”．例如： 解方程． 解：当时，方程可化为：，解得，符合题意． 当时，方程可化为：，解得，符合题意． 所以，原方程的解为：或． 根据以上材料解决下列问题： (1)若，则的取值范围是_____； (2)方程的解是_____； (3)解方程：； (4)解方程． 【答案】(1) (2)或 (3)或 (4)当时，方程无解；当时，；当时，或 【分析】本题考查阅读理解，理解材料中的解法是解决问题的关键． （1）阅读材料，由材料中的解法，将含绝对值的方程转化为不等式求解即可得到答案； （2）阅读材料，由材料中的解法，将含绝对值的方程转化为不含绝对值的方程求解即可得到答案； （3）阅读材料，由材料中的解法，将含绝对值的方程转化为不含绝对值的方程求解即可得到答案； （4）阅读材料，由材料中的解法，结合参数的情况，分类讨论，将含绝对值的方程转化为不含绝对值的方程求解即可得到答案． 【详解】（1）解：， ， ， 故答案为：； （2）解：， 当，即时，方程可化为， 解得，符合题意； 当，即时，方程可化为：， 解得，符合题意； 原方程的解为：或， 故答案为：或； （3）解：， 当，即时，方程可化为， 解得，符合题意； 当，即时，方程可化为， 解得，符合题意； 原方程的解为：或； （4）解：， 当时，，方程无解； 当时，，则； 当时，有两个解， 即或， 解得或； 综上所述：当时，方程无解；当时，；当时，或． 70．阅读下列信息，方程的解法如下： （I）当时，，解得：． （II）当时，，解得：． 请你解决下列问题： (1)，则______； (2)求方程的解． 【答案】(1)3或 (2)或 【分析】本题考查了含绝对值符号的一元一次方程，利用绝对值的性质化简方程是解题关键，要分类讨论，以防遗漏． （1）根据绝对值的性质化简方程，解方程可得答案； （2）根据绝对值的性质化简方程，解方程可得答案． 【详解】（1）∵ ∴（I）当时，，解得：； （II）当时，，解得：． 综上所述，或； （2）∵ ∴ ∴ ∴（I）当时，，解得：； （II）当时，，解得：． 综上所述，或． 题型八、一元一次方程中的整数解问题 71．若关于的方程的解为大于4的整数 ，则整数的值为（　　） A．3或5 B．3或7 C．5或7 D．以上答案都不对 【答案】A 【分析】本题考查了一元一次方程的解法、含参数方程的变形技巧及整数解条件的综合分析，解题关键在于将方程整理为的标准形式．将方程整理为的形式，根据解且为整数，建立不等式并分析整数k的整除特性即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∵都是整数， ∴为15的因数． ． 又，∴=1或3， ∴或5． 故选A． 72．关于的一元一次方程的解为正整数，其中为整数，则的值有（   ） A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】B 【分析】本题考查了一元一次方程的解以及一元一次方程的解法，解题关键是先解方程得到，再根据方程的解和都为正整数，确定参数的值． 【详解】解：解一元一次方程， 移项得：， 合并同类项得：， 系数化为得：， 方程的解为正整数， 为正整数， 的值为、、、、， 的值有个． 故选：B ． 73．已知关于的方程有负整数解，则所有满足条件的整数的值之和为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查一元一次方程的特殊解问题，先解方程，再根据负整数解求解即可得到答案； 【详解】解：解方程得， ， ∵方程有负整数解， ∴等于或或或， 解得：或或或， ∵a是整数， ∴满足条件的整数a的值之和为：， 故选：A． 74．若关于的方程的解是整数，且关于的多项式是二次三项式，则所有满足条件的整数的值之和是（   ） A． B．0 C．1 D．2 【答案】A 【分析】本题考查的是解一元一次方程，多项式次数和项．先解方程得到，根据方程的解为整数推出的可能取值为、、，再根据多项式次数和项的定义得到，，，据此得到所有满足条件的整数a的值，由此可得答案． 【详解】解：由方程， 解得：， 关于x的方程的解是整数， 的可能取值为、、， 关于y的多项式是二次三项式， ，， ， 所有满足条件的整数a的值、、， 所有满足条件的整数a的值之和是， 故选：A． 75．已知关于的方程有整数解，则满足条件的所有整数的和为 ． 【答案】 【分析】本题考查了解一元一次方程，先根据一元一次方程的解法求出，然后根据一元一次方程有整数解求解即可． 【详解】解：， 去分母，得， 去括号，得， 移项，得， 合并同类项，得， 当，即时，方程的解是， 关于的方程有整数解，为整数， 或或或或或或或， 或或或或或或1或6， 满足条件的所有整数的和为， 故答案为：． 76．已知关于x的方程的解是整数．且k是正整数，则满足条件的所有k值的和为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了一元一次方程的拓展题型，根据一元一次的方程先解出，根据题意可得是6的正约数，得出满足题意的所有值，算出和即可． 【详解】解： 解得：， 方程的解为整数，且k是正整数， ∴是6的正约数， 当时，（正整数，符合） 当时，（不是正整数，舍去） 当时，（正整数，符合） 当时，（不是正整数，舍去） 所有值的和为 故答案为： 77．若关于的方程的解为整数，则整数的取值个数为 个． 【答案】 【分析】本题考查的是方程的解，熟练掌握解方程是解决此题的关键； 先计算方程的解，然后选取符合题意的解，即可求解； 【详解】解： ， ， ∵x，k为整数， ∴或． 故答案为：4． 78．若关于的方程的解为整数，则符合条件的所有整数的值之和为 ． 【答案】 【分析】本题考查一元一次方程的解，解一元一次方程，熟练掌握解一元一次方程的解和整数的特征是解题的关键．先解方程求解，得，再利用为整数，解为整数，得出，，，即可求解． 【详解】解：， 去分母，得：， 化简，得：， 解得：， ∵为整数，解为整数， ∴，，， 解得：，，，，，， 和为：， 故答案为：． 79．已知为整数，关于的方程的解为非负整数．求满足条件的值的和 ． 【答案】 【分析】本题主要考查方程的整数解，先求出含有参数的方程的解，并列举出它是整数的所有可能性，再求出的整数值，最后求出这些值之和即可． 【详解】解：， ∴， ∴， ∴， ∵为整数，方程的解为非负整数， ∴是非负整数， ∴或或， 解得：或（不符合题意舍去）或， ∴符合条件的值的和为． 故答案为：． 80．已知关于的方程的解是正整数，求符合条件的所有整数的和． 【答案】 【分析】本题考查了一元一次方程的解．先根据等式的性质求出方程的解，根据方程的解为非整数得出m的值，进而得出答案． 【详解】解：      因为方程的解是正整数   则的值为1，2，5，10 所以的值为 所以， 所以符合条件的所有整数的和为． 题型九、一元一次方程中新定义运算 81．对任意四个有理数a，b，c，d定义新运算：，如： (1)求的值； (2)已知，求x的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了一元一次方程，利用新定义法则将代求项转化为一元一次方程是解题的关键． （1）利用新定义法则进行计算即可； （2）利用新定义法则将代求项转化为一元一次方程，再利用解一元一次方程的一般步骤进行求解即可． 【详解】（1）解：； （2）解：， 可化为： ， 去括号得：， 合并得：， 系数化为1得：． 82．定义：如果两个一元一次方程的解互为倒数，则称这两个方程互为“优雅方程”．例如：和互为“优雅方程”． (1)方程与方程是“优雅方程”吗？请说明理由； (2)若方程与关于的方程互为“优雅方程”，求的值． 【答案】(1)是；理由见解析 (2)a的值为 【分析】本题主要考查了一元一次方程的解． （1）解已知条件中的两个一元一次方程，然后根据“优雅方程”的定义进行判断即可； （2）先解已知条件中的两个方程，根据新定义，列出关于a的方程，解方程即可． 【详解】（1）解：方程与方程是“优雅方程”，理由如下： 解方程得：， 解方程得， 因为和互为倒数． 所以与方程是“优雅方程”； （2）解：解方程得， 因为方程与关于x的方程互为“优雅方程”， 所以关于x的方程的解为， 将代入方程中，得． 解得， 故a的值为． 83．【新型定义】若，则称与是关于7的“奇妙数”． 例如：如果，那么与是关于7的“奇妙数”． (1)【初步探究】求①5与___________是关于7的“奇妙数”； ②___________与是关于7的“奇妙数”； ③与___________是关于7的“奇妙数”； (2)【拓展提升】若与是关于7的“奇妙数”，求的值． 【答案】(1)①，②，③ (2) 【分析】本题考查了整式的混合运算，能灵活运用整式的运算法则进行计算是解此题的关键，也考查了解一元一次方程的应用． （1）根据已知条件得出即可； （2）根据已知条件得出，再求出方程的解即可． 【详解】（1）解：（1）①∵， ∴5与是关于7的“奇妙数” ②∵ ∴， ∴与是关于7的“奇妙数” ③∵ ∴， ∴与是关于7的“奇妙数”； ∴答案为；；． （2）∵与是关于7的“奇妙数”， ∴， ∴． 84．定义一种新运算“”，规定：，除新运算“”外，其它运算完全按有理数和整式的运算进行． (1)直接写出的结果为______； (2)化简：； (3)解方程：． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题主要考查了解一元一次方程，整式的加减，以及有理数的混合运算，熟练掌握运算法则是解决本题的关键. （1）根据题中的新定义计算即可； （2）原式利用题中的新定义化简，计算即可求出值； （3）已知方程利用题中的新定义化简，计算即可求出x的值． 【详解】（1）解：根据题意得：， 故答案为： （2） （3）利用新定义方程可化为：； 去括号、移项合并同类项得：; 解得： 85．定义：如果两个一元一次方程的解之和为2，我们就称这两个方程互为“成双方程”．例如：方程的解为，方程的解为，因为，所以这两个方程互为“成双方程”． (1)请写出一个一元一次方程，使得它与方程互为“成双方程”； (2)若关于x的方程和互为“成双方程”，求m的值． 【答案】(1)（答案不唯一） (2) 【分析】本题考查一元一次方程的解，理解题意并求得方程的解是解题的关键． （1）解方程得，再根据“成双方程”的定义可得与方程互为“成双方程”的解为，据此写出一个方程即可； （2）解方程得，再根据“成双方程”的定义可得的解为，将其代入解得m的值即可． 【详解】（1）解：， 解得：， 则与方程互为“成双方程”的解为， 那么这个一元一次方程可以是（答案不唯一）； （2）解： ， 解得：， ∵关于x的方程和互为“成双方程”， ∴方程的解为， 则， 解得：． 86．“程，课程也，二物者二程，三物者三程，皆如物数程之，并列为行，故谓之方程”这是我国古代著名数学家刘徽在《九章算术》对方程一词给出的注释．定义：如果两个一元一次方程的解的和为1，则称这两个方程互为“归一方程”． (1)若方程与关于x的方程互为“归一方程”，求m的值． (2)若关于x的方程与关于x的方程互为“归一方程”，求a的值． (3)若关于x的两个方程与互为“归一方程”，求出所有满足条件的正整数m、n值． 【答案】(1) (2) (3)，或， 【分析】本题考查了解一元一次方程，新定义，已知方程的解求参数，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）先解得，因为方程与关于x的方程互为“归一方程”，得中的，则，即可作答． （2）先分别把方程与方程表示出的代数式，再结合新定义进行列式得，再解方程，即可作答． （3）与（2）同理得，，再结合新定义进行列式得，再解方程，根据m、n为正整数，即可作答． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵方程与关于x的方程互为“归一方程”， ∴中的 即 ∴ （2）解：∵， ∴， ∴， ∵ ∴ ∴ ∴ ∴ ∵关于x的方程与关于x的方程互为“归一方程”， ∴ ∴ ∴． （3）解：∵ ∴ ∴ ∵ ∴ ∴ ∵关于x的两个方程与互为“归一方程” ∴ ∴ ∴ 则 ∴ ∴ ∵m、n为正整数 那么，此时，； 或，此时，； 综上：，或， 87．【定义】若关于x的一元一次方程的解满足，则称该方程为“友好方程”．例如：方程的解为，而，则方程为“友好方程”． 【运用】 (1)在①，②两个方程中，为“友好方程”的是______（填序号） (2)若关于x的一元一次方程是“友好方程”，求b的值． 【答案】(1)① (2) 【分析】本题主要考查了解一元一次方程，正确理解题意和熟知解一元一次方程的方法是解题的关键． （1）分别计算方程求出两个方程的解，再根据“友好方程”的定义判断即可； （2）先解方程得到方程的解，再根据“友好方程”的定义得到关于b的方程，解方程即可得到答案． 【详解】（1）解：解方程得， ∵， ∴方程是“友好方程”； 解方程得， ∵， ∴方程不是“友好方程”； （2）解：解方程得， ∵关于x的一元一次方程是“友好方程”， ∴， ∴． 88．观察下列两个等式：，，给出定义如下：我们称使等式成立的一对有理数a，b为“一中有理数对”，记为，如：数对，都是“一中有理数对”． (1)数对，中是“一中有理数对”的是 ； (2)若是“一中有理数对”，求a的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了新定义，一元一次方程的应用，理解新定义是解题的关键． （1）根据“一中有理数对”的定义进行判断即可； （2）由新定义得，解方程即可． 【详解】（1）解：∵，， ∴， ∴不是“一中有理数对”； ∵，， ∴， ∴是“一中有理数对”； （2）解：∵是“一中有理数对”， ∴， 解得：． 89．【阅读材料】定义：如果一个一元一次方程的一次项系数与常数项的和刚好是这个方程的解，则称这个方程为和谐方程.例如：方程中，方程的解为，一次项系数与常数项的和，则方程为和谐方程． 【解答问题】 请根据上述定义解答下列问题： (1)方程 是和谐方程吗?试说明理由； (2)已知关于x的一元一次方程是和谐方程，求m的值. 【答案】(1)方程不是和谐方程，理由见解析 (2) 【分析】此题考查了一元一次方程的解，弄清题中的新定义是解本题的关键． （1）根据题中的新定义判断即可； （2）利用题中的新定义确定出m的值即可； 【详解】（1）解：方程不是和谐方程；理由如下： 解得： 一次项系数与常数项的和为 ∴方程不是和谐方程； （2）解： 解得：， 一次项系数与常数项的和为 ∵关于x的一元一次方程是和谐方程， ∴ 解得： 90．新定义：如果两个一元一次方程的解之和为1，我们就称这两个方程为“1方程”．例如：方程和为“1方程”． (1)若关于的方程与方程是“1方程”，求的值； (2)若“1方程”的两个解的差为8，其中一个解为，求的值； (3)若关于的一元一次方程和是“1方程”，求关于的一元一次方程的解． 【答案】(1) (2)或 (3) 【分析】本题主要考查了解一元一次方程，一元一次方程解的定义： （1）先解方程得，根据“1方程”的定义得到关于的方程的解为，则，解得； （2）由题意得，另一个解为，则根据“1方程”的定义得到或，解方程即可得到答案； （3）先解方程得：，根据“1方程”的定义得到关于的方程的解为，进而得到关于的方程的解为，即可求解． 【详解】（1）解：解方程得， ∵关于的方程与方程是“1方程”， ∴关于的方程的解为， ∴， ∴； （2）解：由题意得，另一个解为， ∵“1方程”的两个解的差为8， ∴或， 解得或； （3）解：解方程得：， ∵关于的一元一次方程和是“1方程”， ∴关于的一元一次方程的解为， ∴关于的一元一次方程的解为， 即的解为， ∴关于的方程的解为 解得： 1 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $