第五章 一元一次方程（复习讲义）数学新教材冀教版七年级上册

第五章 一元一次方程（复习讲义） ①理解等式的概念，能根据实际情境中的等量关系列出等式；掌握等式的基本性质，能运用等式的基本性质进行等式的变形； ②能说出方程的解的意义，会判断一个数是不是方程的解； ③理解一元一次方程的概念，能判断一个式子是不是一元一次方程； ④掌握一元一次方程的一般解法步骤； ⑤掌握一元一次方程解决实际问题的一般步骤，并能根据实际问题的意义检验所得结果是否合理； 知识点 重点归纳 常见易错点 方程 1.方程定义：含有未知数的等式叫做方程. 2.方程的解：使方程左右两边的值相等的未知数的值，叫做方程的解. 判断一个数（或一组数）是否是某个方程的解，只需看两点： ①它们是方程中未知数的值； ②将它代入方程的左边和右边，若左边=右边，则它是方程的解，否则不是． 一个式子要想成为方程，需要同时满足两个条件：①是等式；②是含有未知数． 等式的性质 等式的性质： 等式的基本性质1： 等式两边加（或减）同一个数（或式子），结果仍相等. 数学语言表示：如果a=b，那么. 等式的基本性质2： 等式两边乘同一个数，或除以同一个不为0的数，结果仍相等. 数学语言表示：如果a=b，那么ac=bc. 如果a=b，，那么. （1）根据等式的两条性质，对等式进行变形，等式两边必须同时进行完全相同的变形； （2）等式性质2中，这一条件必不可少。 一元一次方程 1.一元一次方程的定义：只含有一个未知数（元），且含有未知数的式子都是整式，未知数的次数都是1，这样的方程叫做一元一次方程. 一元一次方程中的“元”是指未知数，“次”是指未知数的次数，一元一次方程需要同时满足以下条件： 1 是一个方程; 2 必须只含有一个未知数; 未知数的次数都是1． 3 含有未知数的式子都是整式; 2.一元一次方程的解法： （1）去分母,； （2）去括号； （3）移项； （4）合并同类项； （5）系数化成1； 一元一次方程解法 易错提醒： 犯错最高的4种错误 (1)不要漏乘不含分母的项； (2)分子是一个整体的，去分母后应加上括号； （3）移项不要忘了变号； （4）不要把分子、分母写颠倒，学生易错把分子分母弄颠倒。 一元一次方程应用 用一元一次方程解决实际问题的一般步骤： 列方程解应用题的基本思路为： 问题方程解答． 由此可得解决此类题的一般步骤为：审、设、列、解、检验、答． （1）“审”是指读懂题目，弄清题意，明确哪些是已知量，哪些是未知量，以及它们之间的关系，寻找等量关系； （2）“设”就是设未知数，一般求什么就设什么为x，但有时也可以间接设未知数； （3）“列”就是列方程，即列代数式表示相等关系中的各个量，列出方程，同时注意方程两边是同一类量，单位要统一； （4）“解”就是解方程，求出未知数的值； （5）“检验”就是指检验方程的解是否符合实际意义，当有不符合的解时，及时指出，舍去即可； （6）“答”就是写出答案，注意单位要写清楚． 为负时，就是亏损.打几折就是按标价的十分之几或百分之几十销售． 解方程应用题必须检验，一方面是检验解的未知数的值是不是方程的解；另一方面检验解的结果是不是符合题目的要求和实际意义。 题型一 方程的相关概念 1．下列各式中，是方程的是（    ） A． B． C． D． 2．下列各式中①，②，③，④，⑤，⑥．其中是方程的有（   ） A．①②④⑤ B．②③⑤⑥ C．②④⑤⑥ D．①②⑤⑥ 3．已知长方形的长比宽大5，其周长为50，求其长、宽各是多少．设 ，列方程为 ． 4．根据下列情境中的等量关系列一个等式． (1)一头半岁的蓝鲸体重为，90天后体重为30.1t．设蓝鲸体重平均每天增加． (2)把50kg大米分装在3个同样大小的袋子里，装满后还剩余5kg．设每个袋子可装大米． (3)甲、乙两城市间的铁路经过技术改造后，列车在两城市间的运行速度从提高到，运行时间缩短了2h．设甲、乙两城市间的路程为． 5．根据下列情境中的等量关系列出一个等式： (1)一个正方形花圃的边长为，若边长增加，则所得新正方形花圃的周长是． (2)长方形的长为，宽为，面积为； (3)某商品标价为x元，打八折后再降价12元，售价为108元； (4)小华去文具店，买x支铅笔和y本笔记本共花12元，已知一支铅笔2元，一本笔记本3元． 题型二 等式的基本性质 6．如果，下列运用等式的性质进行的变形中，不正确的是（    ） A． B． C． D． 7．根据等式的基本性质，下列不成立的是（    ） A．如果，那么 B．如果，那么 C．如果，那么 D．如果，那么 8．用适当的数或整式填空，使所得的结果仍是等式，并在题后的括号内写出变形的依据． （1）已知，则( )；( ) （2）已知，则 ；( ) （3）已知，则 ；( ) （4）已知，则 ．( ) 9．根据等式的性质填空： （1）若，则 ．       （2）若，则 ． （3）若，则 ．        （4）若，，则 ． 10．利用等式的基本性质，将下面的等式变形为（c是常数）的形式． (1)； (2)； (3)； (4)． 题型三 方程的解及求参数问题 11．下列方程中，解为的是（   ） A． B． C． D． 12．下列方程中，解为的是（   ） A． B． C． D． 13．已知是关于x的方程的解，则 ． 14．已知为整数，且方程的解是正整数，则 ． 15．方程与方程的解相等，求a的值． 题型四 一元一次方程的相关概念 16．下列选项中，是一元一次方程的是（    ） A． B． C． D． 17．写出一个一元一次方程， 同时满足下列两个条件： ． ① 某个未知数的系数是－，②方程的解为． 18．若是关于的一元一次方程的解，则的值是 ． 19．若 是关于的一元一次方程，则 20．（1）若方程是关于x的一元一次方程，则m的取值范围是 ． （2）已知是关于x的一元一次方程，则 ． 题型五 解一元一次方程 21．解方程． (1) (2) 22．解方程：． 23．下面是小彬同学解一元一次方程的过程，请认真阅读并完成相应任务． 解方程： 解：去分母得，…第一步 去括号得，…第二步 移项得，…第三步 合并同类项得，…第四步 系数化为1得，…第五步 (1)以上求解过程中，第_____步出现错误，错误原因是________________； (2)写出该方程正确的解答过程． 24．解方程： (1)． (2)． 25．计算： 题型六 已知一元一次方程的解求参数 26．若是的解，则的值为（    ） A． B．2 C．1 D．3 27．若不论取何值，关于的方程（，是常数）的解总是，则的值是（   ） A． B． C． D． 28．已知关于x的方程，则下列说法不正确的是（   ） A．时方程无解 B．无论b的值为多少，方程的解不可能是 C．时，方程解为 D．时 29．小玉在解方程去分母时，方程右边的“”项没有乘6．因而求得的解是，则 ． 30．已知关于的方程有整数解，则满足条件的所有整数的和为 ． 题型七 一元一次方程解的关系——同解问题 31．若方程的解与关于的方程的解相同，则的值为（   ） A． B． C． D． 32．如果两个方程的解相同，那么我们把这两个方程称为同解方程．若关于x的一元一次方程与是同解方程，则的值为（   ） A．6 B．3 C． D． 33．若方程和的解相同，则a的值是 ． 34．若与的解相同，则的值为 ． 35．当k取何值时，方程和方程的解相同？ 题型八 一元一次方程解的关系——错解问题 36．下列方程的解法错在哪里？请你改正． (1)解方程． 解：， ， ． (2)解方程． 解：， ， ． 37．用好错题本可以有效地积累解题策略，减少再错的可能．下面是小严同学错题本上的一道题，请仔细阅读并完成相应的任务． 解方程：． 解：去分母，得……………………第一步 去括号，得……………………第二步 移项，得……………………第三步 合并同类项，得……………………第四步 系数化为1，得……………………第五步 任务： ①以上解题过程中，第一步是依据________________________进行变形的；第二步去括号时用到的运算律是____________________________； ②从第________步开始出错，这一步错误的原因是__________________________； ③请直接写出该方程正确的解． 38．用好错题本可以有效地积累解题策略，减少再错的可能．下面是刘凯同学错题本上的一道题，请仔细阅读并完成相应的任务． 下面是解方程的过程： 解：______，得……第一步 去括号，得……第二步 移项，得……第三步 合并同类项，得……第四步 系数化为1，得……第五步 请认真阅读上面的过程，解答下列问题： (1)以上求解步骤中，第一步进行的是______，这一步的依据是____________； (2)以上求解步骤中，第______步开始出现错误； (3)请写出正确的解方程过程． 39．将方程去分母得到，错在 ． 40．某同学解方程时，把（    ）处的数字看错，得错解，则他把（    ）处看成了 A．3 B．6 C．9 D．12 题型九 绝对值方程 41．已知数轴上点 A 表示的数为，点B与点A的距离为6，则点B表示的数是（  ） A．2 B． C．2或 D．无法确定 42．方程的解为（   ） A．或 B．或 C．或 D．或 43．若，，则 ． 44．对于有理数a，b，n，d，若，则称a和b关于n的“船山值”为d，例如，，则2和3关于1的“船山值”为3．若3和1关于a的“船山值”为4，求a的值为 ． 45．小明做了这样一道计算题：，其中“■”表示被墨水污染看不到的一个数，他看了后边的答案，得知该题的计算结果为6，那么“■”表示的数是 ． 题型十 配套问题 46．某车间有工人名，生产一种有一个螺栓和两个螺母的配套产品，每人每天平均生产螺栓个或螺母个，如果你是这个车间的主任，你应分配多少人生产螺栓，多少人生产螺母，才能使生产的螺栓和螺母刚好配套？若设人生产螺栓，则所列方程正确的是（    ） A．） B． C． D． 47．某眼镜厂有60名工人，每名工人每天可生产镜片200片或生产镜架50个，应如何分配工人生产镜片和镜架，才能使每天生产的产品成套？（2片镜片和1个镜架成一套）根据题意小宇列出方程为．则x代表的数据是（   ） A．生产镜架的工人数 B．生产镜片的工人数 C．生产镜架的天数 D．生产镜片的天数 48．已知一张桌子配4张椅子，现有90立方米木料，若1立方米木料可做5张椅子或1张桌子，要使桌子和椅子所使用的木料刚好配套，设用x立方米的木料做桌子，则依题意可列方程为 ． 49．某车间有工人85人，平均每天每人可生产大齿轮16个或小齿轮10个，已知2个大齿轮和3个小齿轮可以配成一套，为使每天生产的大、小齿轮刚好配套，应如何安排工人？ 50．某车间为提高生产总量，在原有15名工人的基础上，新调入若干名工人，使得调整后车间的总人数是新调入工人人数的3倍多1人． (1)求调整后车间共有多少名工人； (2)每名工人每天可以生产120个螺栓或200个螺母，1个螺栓需要2个螺母，为使每天生产的螺栓和螺母刚好配套，人员调入后，应安排生产螺栓和螺母的工人各多少名？ 题型十一 工程问题 51．某件工程甲独做需7天完成，乙独做需11天完成．现甲和乙合作共同完成此项工程．中途乙因病少做了4天，若设完成此项工程共需天，则下列方程正确的是（   ） A． B． C． D． 52．学校图书馆需要整理一批图书，甲、乙两人单独整理分别需要6小时和9小时完成．若先由甲单独整理1小时，剩下的两人共同整理，则还需要多长时间才能整理完这批图书？（   ） A．2小时 B．3小时 C．4小时 D．5小时 53．一件工作，甲单独做需14小时完成，乙单独做需11小时完成，若甲先做1小时，乙接着做2小时，最后甲、乙两人合作，再做几个小时全部完成？如果设甲、乙合作还需x小时才能完成全部工作，那么根据题意，可列方程： 54．整理一批图书，由一个人做要完成，现计划由人先做，然后增加一些人与他们一起做，完成这项工作，假设这些人的工作效率相同，具体应增加多少人？ 55．某中学计划加工一批校服，现有甲、乙两个工厂能加工这批校服．已知甲工厂每天能加工这种校服16件，乙工厂每天能加工这种校服24件，且单独加工完这批校服甲厂比乙厂要多用20天． (1)求这批校服共有多少件（列一元一次方程解决此问题）； (2)若先由甲、乙两个工厂按原来的速度合作一段时间后，乙厂引进了新设备，使乙厂每天的加工效率提高了，剩下的部分由乙厂单独完成．如果乙厂全部工作时间是甲厂全部工作时间的2倍还多4天，那么乙厂全部工作时间是多少天？ 题型十二 销售问题 56．某商店将一件商品按进价提高后标价，又以9折销售，售价为216元，则该商品的进价为（  ） A．200 元 B．210 元 C．180 元 D．190 元 57．为补齐产业短板，某镇发展了金银花产业．经销商从农民手中以50元的价格收购金银花，再以75元的价格销售．若经销商将金银花打折出售给某医药公司，且要使每千克金银花仍可获利10元，则所打折扣为（   ） A．七折 B．七五折 C．八折 D．八五折 58．第9届亚洲冬季运动会于2025年2月7日至2月14日在哈尔滨举行，吉祥物“滨滨”和“妮妮”毛绒玩具在市场热销．若“妮妮”毛绒玩具的进价为90元，某店按标价的9折出售，仍可获利，则“妮妮”毛绒玩具的标价是 元． 59．某水果商购进40千克苹果，80千克枇杷．苹果进价为5元/千克，按利润率定价；枇杷进价10元/千克，但枇杷不耐保存，有的损耗．假设这些水果全部售出能有的利润率，则枇杷应该如何定价？ 60．假期即将开始，某校准备组织七年级学生参观冰雪大世界．参观门票学生票价为200元，冰雪大世界经营方为学校活动推出两种优惠方案，方案一：“所有学生门票一律九折”；方案二：“如果学生人数超过100人，则超出的部分打八折”． (1)求参观学生为多少人时两种方案费用一样； (2)学校为了能使学生安全快捷到达冰雪大世界，现准备集体租车去冰雪大世界．如果单独租用45座的客车若干辆，但有10人没有座位；若租用数量60座的客车，则少租一辆，且最后一辆客车有20个空座位，求该校七年级有学生多少人参观冰雪大世界？ (3)在（2）问的条件下，学校采用哪种优惠方案购买门票最省钱，门票费用最少是多少元． 题型十三 方案问题 61．某同学花了100元购买游泳馆会员证（只限本人使用），凭证入馆每次收费5元，否则每次收费9元．若购买会员证与不购买会员证花费相同，则该同学去游泳馆的次数为（   ） A．23 B．24 C．25 D．26 62．某校七年级三个班级联合开展户外研学活动，此次活动由一班班长负责购买车票，票价每张20元．有如图两种优惠方案：班长思考一会儿说，无论选择哪种方案所要付的车费是一样的，则七年级三个班级共有（    ）    A．60人 B．61人 C．62人 D．63人 63．活动大促期间，某商店推出两种优惠方案．方案一：购买的所有商品一律打8折；方案二：购物满150元后，超过部分享受7折优惠．一次性购物满 元时，两种方案最终付款金额相等． 64．（中考新考法·数学与生活融合项目化学习） 背景 放假期间，七年级一班若干名学生和家长一同去龙门石窟景区游玩． 素材一 该班学生小庆负责查阅景区购票信息，他在某旅游网站上了解到景区的票价分为个人票和团体票两种，其中个人票分为成人票和学生票； 成人票每张90元 学生票按成人票5折优惠 团体票（13人及以上）按成人票8折优惠 素材二 小庆计算了一下，单独购买个人票时，他们一共12人，共需900元． 任务一 七年级一班一共去了几名学生，几名家长？ 任务二 请帮小庆算一算，用哪种方式购票更省钱？并说明理由． 65．综合与实践 从2025年开始，山西进行新中考改革，体育考试增加一个项目，要求学生在足球、篮球、排球任选一项进行比赛．在当前这样的背景下，学校鼓励学生进行锻炼，某体育用品商店对，两品牌排球开展促销活动，已知，两品牌排球的标价分别是200元/个，80元/个，现有如下两种优惠方案： 方案一：不购买会员卡时，A品牌排球享受8.5折优惠，B品牌排球买6个（含6个）以上时所有排球享受9折，6个以下按标价购买． 方案二：办理一张会员卡需200元，拥有会员卡全部商品享受8折优惠． (1)若学校购买A品牌排球4个，B品牌排球5个，哪一种方案更优惠？优惠多少元？ (2)若学校购买A品牌排球若干个，B品牌排球10个，且方案一比方案二多付30元，求购买A品牌的排球个数． 题型十四 几何问题 66．如图，数轴的单位长度为1，数轴上有三个点．若点表示的数的和为0，则点表示的数是（   ） A．0 B． C． D． 67．数轴上有三点A，B，C，其中点A，B分别表示数，，现以点C为折点将数轴向右折叠（如图所示），若点A的对应点A'落在数轴上，且与B之间的距离是2，则点C表示的数是（    ） A． B． C． D．或 68．在一条可以折叠的数轴上，，表示的数分别是，，如图，以点为折点，将此数轴向右对折，若点在点的右边，且，则点表示的数是 ． 69．已知数轴上有，两点，点表示的数为，点表示的数为． (1)当时，求线段的长； (2)若点与点关于原点对称，求点表示的数． 70．如图，． (1)若，求证：是的角平分线； (2)若，求的度数． 题型十五 动点问题 71．在数轴上，点A，B在原点O的两侧，分别表示数a，2，将点A向右平移2个单位长度，得到点C．若点C到A、B两个点的距离相等，则a的值为（    ） A．0 B． C． D．1 72．如图所示，的边上有一动点P从距离O点的点M处出发，沿M→O→B方向运动，速度为；动点Q从O点出发，沿射线运动，速度为．P，Q同时出发，设运动时间是t（s），当点P追上点Q时t的值为（   ） A．2 B．3 C．6 D．9 73．数轴上的点对应的数是，一只蚂蚁从点出发，沿数轴的正方向以每秒2个单位长度的速度爬行，当它到达数轴上的点后，立即原路原速返回点，共用去11秒，点对应的数是 ． 74．如图，在数轴上点表示数，点表示数，点表示数，是最小的正整数，且、满足． (1) ， ， ． (2)动点、同时从原点出发，点向负半轴运动，点向正半轴运动，点的速度是点速度的3倍，2秒钟后，点到达点． ①点的速度是每秒 个单位，此时，点与之间的距离为 ； ②若运动时间为秒，用含的代数式表示点表示的数为 ； ③点到达点后，改变方向，按原速度向负半轴方向运动，再经过几秒，点与点能相遇？ 75．数轴是一个非常重要的数学工具，它使数和数轴上的点建立起对应关系，揭示了数与点之间的内在联系，它是“数形结合”的基础．小明在草稿纸上画了一条数轴进行操作探究： 操作一：（1）如图1，在数轴上，三个有理数从左到右依次是，利用刻度尺或圆规，在数轴上画出原点O； 操作二：（2）折叠这条数轴所在纸面，若使表示的点与数3表示的点重合，数m表示的点与数表示的点重合，则 ； 题型十六 和差倍分问题 76．书画院中硬笔书法班比软笔书法班多24人，硬笔书法班的人数是软笔书法班的1.8倍，软笔书法班和硬笔书法班各有多少人？（列方程解答） 77．有甲、乙两个粮库，原来甲粮库存粮的吨数是乙粮库的．如果从乙粮库调10吨粮食到甲粮库，这时甲粮库存量的吨数就是乙粮库的．原来乙粮库存量多少吨？ 78．甲队原有工人68人，乙队原有工人44人，现又有42名工人调入这两队，为了使乙队人数是甲队人数的，应调往甲、乙两队各多少人？ 79．根据下列问题，设未知数并列出方程： 有两条电线，第一条长，第二条长．要从第一条截下一段接在第二条上，使两条电线长度相等．求截下的那段电线的长度（两条电线接头部分的长度忽略不计）． 80．列一元一次方程解决实际问题（两问均需用方程求解） 第19届亚洲夏季运动会于2023年9月23日在杭州举行，象征杭州三大世界文化遗产的吉祥物“宸宸”“琮琮”“莲莲”通过不同色彩、不同纹饰向世界讲述“江南忆”的美丽故事．现有工厂生产吉祥物的盲盒，分为A、B两种包装，该工厂共有1000名工人． (1)若该工厂生产盲盒A的人数比生产盲盒B的人数的2倍少200人，请求出生产盲盒A的工人人数； (2)为了促销，工厂按商家要求生产盲盒大礼包，该大礼包由2个盲盒A和3个盲盒B组成．已知每个工人平均每天可以生产20个盲盒A或10个盲盒B，且每天只能生产一种包装的盲盒．该工厂应该安排多少名工人生产盲盒A，多少名工人生产盲盒B才能使每天生产的盲盒正好配套？ 题型十七 水电费问题 81．某地实行阶梯电价，第一档电量为每月不超过200度，每度电0.5元；第二档电量为每月超过200度但不超过400度的部分，每度电0.6元；第三档电量为每月超过400度的部分，每度电0.8元．若某用户一个月缴电费260元，求该用户这个月的用电量． 82．为鼓励居民节约用水，自来水公司规定：每户每月用水量在15吨以内（含15吨）按每吨元收费，超过15吨的部分按每吨元收费．小明家上个月交水费28元，他家上个月的用水量是多少吨？ 83．为鼓励居民节约用电，我区实行居民生活用电按阶梯标准收费，具体收费标准如下： 一户居民一个月用电量（单位：度） 电价（单位：元/度） 第1档 不超过160度的部分 第2当 超过160度的部分 (1)若某户6月份用电量为140度，该户应交电费多少元？ (2)若某户10月份用电量为度，请用含的式子分别表示和时该户10月应交电费多少元． (3)若某户12月份应交电费128元，则该户12月用电量为多少度？ 84．为鼓励居民节约用电，某市电力公司采用分段计费方式计算电费：每月用电不超过180度时，按每度元计费：每月用电超过180度但不超过280度时，其中的180度仍按原标准收费，超过部分按每度元计费．收费标准如表： 用电量 不超过180度 超过180度但不超过280度的部分 超过280度的部分 收费标准（元/度） (1)若小明家每月交电费y元，每月用电量为x度，用含x的代数式表示电费y为 ①当时，_______； ①当时，_______； ③当时，_______； (2)小明家当月交电费132元，求小明家当月用电多少度？ (3)采用分段计费制度后，小明家月用电量为多少度时，其当月的平均电价为元/度？ 85．为鼓励居民节约用电，某地对居民用户用电收费标准作如下规定：每户每月用电不超过100度，那么每度按元收费；如果超过100度不超过200度，那么超过的部分每度按元收费；如果超过200度，那么超过的部分每度按元收费． (1)若居民甲在9月份用电80度，则他这个月应缴纳电费 元；若居民乙在10月份用电180度，则他这个月应缴纳电费 元． (2)若居民丙在11月份用电260度，则他这个月应缴纳电费多少 元？ (3)若某户居民丁在某个月份用电x度，思考并回答： 当x不超过100度，需交电费 元；当x超过100度不超过200度，需交电费 元；如果超过200度，需交电费 元（用含有x的式子表示）； (4)若某户居民丁在12月份缴纳电费310元，那么他这个月用电多少度？列出式子并解决问题． 题型十八 日历问题 86．把正奇数、…、、排成如图所示的数阵，规定从上到下依次为第1行、第2行、第3行、…，从左到右依次为第1列、第2列、第3列、…． (1)①数阵中共有　　　个数，数在第　　　　行第　　　　列． ②图表中第n行第7列的数可用n表示为　　　　． (2)按如图所示的方法用一个“L”形框框住相邻的三个数，设被框的三个数中最小的一个数为x，是否存在这样的x使得被框的三个数的和等于？若存在，求出x的值；若不存在，请说明理由． 87．如图是2023年8月的月历： (1)图1和图2在月历中框出4个代表日期的数，请用一个等式表示a、b、c、d之间的关系； (2)已知本月框出的4个代表日期的数字之和是88，那么最小的日期对应的是星期几？ 88．将连续的自然数按下图方式排成一个长方形，框出一个“V”形阵列，若将“V”形阵列上下左右移动，可框出另外五个数．    (1)如果设其中最大的数为，可用代数式表示“V”形阵列中5个数之和； (2)要使框出的5个数之和等于2023，这是否可能？试说明理由． 89．如图是2023年八月份的日历： (1)若将“”形框上下左右移动，可框住另外七个数，若设“”形框中的个数中最中间一个数是，请用含的代数式由小到大依次表示出“”形框中的其余个数； (2)请问“”形框能否框到七个数，使这七个数之和等于？若能，请由小到大依次写出这七个数；若不能，请说明理由． 90．如图1是某月的月历 如图2所示的三种方格框（方格框①、方格框②、方格框③），可以框住日历中的三个数，设被这三种方格框框住的三个数中最大的数都为x． (1)请用含x的式子表示： 第①个方格框中框住的三个数从小到大依次是______，______，x； 第②个方格框中框住的三个数从小到大依次是______，______，x； 第③个方格框中框住的三个数从小到大依次是______，______，x； (2)设第①个方格框中三数之和为，第②个方格框中三数之和为，第③个方格框中三数之和为，是否存在这样的x，使得？若能，请求出，，的值；若不能，请说明理由． 基础巩固通关测 1．（2025·河北沧州·模拟预测）如图，在编写数学谜题时，“□”内要求填写同一个数字，若设“□”内数字为t，则列出方程正确的是（    ）    A． B． C． D． 2．（2025·河北沧州·模拟预测）如图，表中给出的是某月的月历，任意选取“U”型框中的7个数（如阴影部分所示），请你运用所学的数学知识来研究，发现这7个数的和不可能是（   ） A．105 B．77 C．98 D．56 3．（24-25七年级上·河北邢台·阶段练习）把方程的分母化为整数的方程是（   ） A． B． C． D． 4．（24-25七年级上·河北沧州·期末）如果是五次单项式，则n的值为（    ） A．4 B．3 C．2 D．1 5．（24-25七年级上·河北邯郸·期末）给出一个一元一次方程的解题过程： 上述解题过程，没有应用等式性质的是（   ） A．① B．② C．③ D．④ 6．（24-25七年级上·山东潍坊·期末）我国古代著作《增删算法统宗》中记载了一首古算诗：“林下牧童闹如簇，不知人数不知竹．每人六竿多十四，每人八竿少二竿．”其大意是：牧童们在树下拿着竹竿高兴地玩耍、不知有多少人和竹竿．若每人6竿，则多14竿；若每人8竿，则少2竿． 甲、乙两位同学分别给出自己的解法： 甲：设竹竿有竿，根据题意可列方程； 乙：设牧童有人，根据题意可列方程． 下列判断正确的是（   ） A．甲、乙都正确 B．甲正确，乙错误 C．甲错误，乙正确 D．甲、乙都错误 7．（24-25七年级上·河北秦皇岛·期末）幻方历史悠久，传说最早出现在夏禹时代的“洛书”中，幻方是把数字填在正方形格子中，使每行、每列以及对角线上的3个数的和相等，如图所示的幻方中，其中的“”对应的数是（    ） 0 A． B． C． D． 8．（24-25七年级上·河北秦皇岛·期末）老师留了一道作业题：幼儿园小朋友分苹果，如果每人分2个，则苹果多8个；如果每人分3个，则苹果少12个．问有多少个苹果？多少个小朋友？ 小明是这样做的： 解：设有x个小朋友． 当时 答：有20个小期友，48个苹果 小芳是这样做的： 解：设有x个苹果． 当时 答：有18个小朋友，44个苹果. 下列说法正确的是（   ） A．二人所列方程都正确，但小明结果正确，小芳结果错误 B．二人所列方程都正确，但小明结果错误，小芳结果正确 C．小明所列方程正确，小芳所列方程错误 D．小明所列方程错误，小芳所列方程正确 9．（25-26七年级上·河北保定·阶段练习）如图，在数轴上表示，的两个点相距个单位长度，则的值为 ． 10．（25-26七年级上·河北唐山·阶段练习）如图，点依次排列在数轴上，点表示的数分别为、，且． （1） ； （2）点表示的数是 ． 11．（24-25七年级上·河北唐山·期末）若是关于x的方程的解，则 ． 12．（24-25七年级上·广东韶关·期中）已知方程是关于一元一次方程，则的值是 ． 13．（24-25七年级上·河北秦皇岛·期末）哥哥8岁，妈妈32岁，弟弟年龄的16倍加上哥哥的年龄正好等于爸爸的年龄，弟弟年龄的4倍加上妈妈的年龄也恰好等于爸爸的年龄，那么弟弟的年龄是多大？ 解：设弟弟的年龄为x岁，则有： 嘉嘉同学的解法：移项得： 合并同类项得：，系数化为1得： 琪琪同学的解法：移项得：，， 两边同除以，得： （1）弟弟的年龄是 岁． （2）琪琪得出错误的结论的原因是 ． 14．（24-25七年级上·河北唐山·期末）嘉淇在解关于x的一元一次方程时，误将看作，得方程的解为，则a的值为 ． 15．（24-25七年级上·河北秦皇岛·期末）解方程 (1)； (2)． 16．（24-25七年级上·河北秦皇岛·期末）某校七年级学生进行一次徒步活动，师生以的速度从学校出发，后，琪琪骑自行车前往追赶．如果琪琪以的速度骑行，那么琪琪要用多长时间才能追上队伍？此时队伍已行走了多远？ 17．（24-25七年级上·河北保定·期末）在学习“解一元一次方程”之后，老师在黑板上出了一道解方程的题，下面是某同学的解题过程，请仔细阅读并完成相应的任务． ． 解：，……………………第一步 ，……………………第二步 ，……………………第三步 ，……………………第四步 ．……………………第五步 任务． (1)以上解题过程中，第一步变形的依据是________． (2)以上解题过程中，从第________步开始出现错误． (3)求该方程的正确解． 18．（24-25七年级上·河北保定·期末）匹克球融合了羽毛球、乒乓球和网球的元素，是一项既有趣又有益的运动．某校七年级举行匹克球比赛，每个班级均比赛8场，前三名班级的积分榜信息（比赛无平局）如下表． 名次 班级 场次 胜场 负场 积分 1 （1）班 8 8 0 24 2 （5）班 8 6 2 a 3 （7）班 8 4 4 16 (1)从表中信息可以看出，胜一场积________分，负一场积________分，a的值为________． (2)若某班的总积分为14分，求该班的胜场次数．（列一元一次方程解决问题） (3)嘉嘉说他们班的总积分为11分，你认为可能吗？请说明理由． 19．（24-25八年级上·河北张家口·期中）用同样规格的黑白两种颜色的正方形瓷砖，按如图的方式铺地面：    (1)观察图形，填写下表: 图形 （1） （2） （3） （n） 黑色瓷砖的块数 4 7 黑白两种瓷砖的总块数 15 25 (2)白色瓷砖的块数可能比黑色瓷砖的块数多块吗？若能，求出是第几个图形；若不能，请说明理由． 20．（24-25七年级上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）甲仓库有水泥100吨，乙仓库有水泥80吨，要全部运到A、B两工地，已知A工地需要70吨，B工地需要110吨，甲仓库运到A、B两工地的运费分别足140元/吨和150元/吨，乙仓库运到A、B两工地的运费分别是200元/吨和80元/吨，本次运水泥总运费需要25900元. (1)设甲仓库运到A工地的水泥为x吨，请在下面表格中用x表示出其它未知量： 甲仓库 乙仓库 A工地 x B工地 (2)用含x的式子表示运送甲仓库100吨水泥的运费为__________元（写出化简后的结果）； (3)求甲仓库运到A工地的水泥的吨数. 能力提升进阶练 21．（24-25七年级上·河北邯郸·期中）李颖的答卷如图所示，她的得分应是（   ） 姓名：李颖 得分？ 填空（每小题2分，共10分） （1）比较大小：＜． （2）倒数等于本身的数是1． （3）是方程的解，那么． （4）多项式的次数是3． （5）整式去括号后是 A．4分 B．6分 C．8分 D．10分 22．（24-25七年级下·河北保定·期中）我国古代数学著作《九章算术》中有一道“以绳测井”的题：以绳测井，若将绳三折测之，绳多四尺；若将绳四折测之，绳多一尺，井深几何？这道题大致意思是：用绳子测量水井深度，如果将绳子折成三等份，那么每等份井外余绳四尺；如果将绳子折成四等份，那么每等份井外余绳一尺，问井深多少尺？下列说法正确的是（   ） A．设井深为尺，所列方程为 B．设绳子的长为尺，所列方程为 C．绳子的长是32尺 D．井深8尺 23．（2025·河北秦皇岛·一模）《九章算术》第六章“均输”中有这样一个问题：今有空车日行八十里，重车日行六十里；今载太仓粟输上林，五日三返，问太仓去上林几何?译文如下：有人用车把米从太仓运到上林，空车时每天行驶80里，装米时每天行驶60里，载货去，空车返回，5天往返3次．问太仓到上林的距离是 （   ） A．里 B．里 C．里 D．里 24．（2025·河北·模拟预测）为弘扬中华优秀传统文化，某校组织了传统文化知识竞赛，共设20道选择题，各题分值相同，每题均为必答题．下表统计了3名参赛学生甲，乙，丙的得分情况，则另一名参赛学生丁的得分可能是（    ） 参赛学生 答对题数 答错题数 得分/分 甲 20 0 100 乙 18 2 88 丙 10 10 40 A．54分 B．64分 C．78分 D．93分 25．（24-25七年级上·北京·期中）如图是年月的月历，用“”型框（如阴影部分所示）覆盖任意七个数并求它们的和，请你运用所学的知识，探索这七个数的和可能的是（   ）    A． B． C． D． 26．（24-25七年级上·广东深圳·期中）按如图所示的程序进行计算，若输入x的值是3，则输出y的值为1．若输出y的值为3，则输入x的值是（   ） A．7 B． C．7或 D．或 27．（24-25七年级上·河北保定·期末）如图，点，为线段上两点，，且，设，则方程的解是（   ） A． B． C． D． 28．（24-25七年级上·河北石家庄·期末）如图，甲、乙两人沿着边长为的正方形，按…的方向行走．甲从点A出发，以的速度行走；同时，乙从点B出发，以的速度行走．当乙第一次追上甲时，在正方形的（    ） A．边上 B．边上 C．点C处 D．点D处 29．（24-25七年级上·河北邢台·期末）盒子里有若干个相同的小球，甲取走一半后，乙又取走剩余的三分之一，丙再取走5个，这时，还剩3个，则盒子里原有 个小球． 30．（24-25七年级上·河北廊坊·期末）如图，点，，，，，在一条直线上，若，的中点与的中点的距离是，则 ． 31．（2025八年级下·全国·专题练习）如图，在直角三角形中，，，，点P从点A开始以的速度向点B移动，点Q从点C开始以的速度沿的方向移动．如果点P，Q同时出发，点P到达点B时，P，Q两点都停止运动．设移动时间为t（），当时， s． 32．（24-25七年级下·河北唐山·期中）在大禹治水的时代，有一种神龟背负着一张神秘的图（如图1）浮出洛水，吉祥献瑞后世称之为“洛书”，当后人将“洛书”上的数填在图2的表中时发现：每行、每列、每条对角线上的三个数字之和相等，像这样的数字方阵，称为“幻方”，如果图3也是一个“幻方”．则： 4 9 2 3 5 7 8 1 6         图2 －3 y 1 4 x         图3 （1） ； （2）的值为 ． 33．（24-25七年级上·河北唐山·阶段练习）体育课上，体育老师要求男、女各站成一队，记男生队为A队，女生队为B队． （1） 已知A队有32人，B队有28人，从A队调a人到B队后，B队人数比A队剩余人数的2倍多3人，则a的值为 ； （2） 设A队有x人， B队有人， 从A队调m人到B队， 则此时B队比A队多 人； 接下来，又从B队回调m人到A队 （，回调的人数里有男有女），则回调后A队中的女生人数和B队中的男生人数是否相同？ （填“是”或“否”）． 34．（24-25七年级上·江苏盐城·阶段练习）若关于的一元一次方程的解为，那么关于的一元一次方程的解为 ． 35．（24-25七年级上·江苏南通·期末）解方程 (1) (2) 36．（24-25七年级上·河北石家庄·期末）解方程： (1)； (2)． 37．（24-25七年级上·河北保定·期末）某校七年级学生在数学课上进行了项目化学习研究，某小组研究如下： 【提出驱动性问题】销售问题． 【设计实践任务】选择“素材1”、“素材2”设计了“任务1”、“任务2”的实践活动． 请你尝试帮助他们解决相关问题． 素材1 某商场从厂家购进了两种品牌足球共100个，已知购买品牌足球比购买品牌足球少花2800元，其中品牌足球每个进价是50元，品牌足球每个进价是80元． 素材2 在销售过程中，品牌足球每个售价是80元，品牌足球每个按进价加价后销售，两种品牌足球全部售出后共获利1920元． 【尝试解决问题】 (1)求购进，两种品牌足球各多少个？ (2)求品牌足球的售价． 38．（24-25七年级上·四川成都·期末）已知数轴上的两点分别对应的数字为，且满足，已知点是数轴上一动点，以每秒个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，设运动时间为． (1)填空：_____，______，的中点在数轴上对应的数是______． (2)若动点从出发，点从点同时出发，且以每秒个长度的速度向负方向运动，若点中有一点是另外两点构成线段的中点，则此时三点就形成“美丽组”，求出点运动多少秒时，三点能形成“美丽组”？ (3)若点从出发秒后，点从点出发，且以每秒个长度的速度向负方向运动，点运动到中点后立即返回以同样的速度再沿数轴向左运动，当时，求运动的时间． 39．（24-25七年级上·河北石家庄·期末）如图1和图2，是小明借助量角器测量角的过程，为量角器直径，点Q，P处分别表示和，，是可以绕点O旋转的两条指针．观测时视线由点Q经过点O和点． 问题一：如图1，将指针，分别竖直和水平放置并保持不动．将量角器绕点O转动，当视线指向某目标时，指针对应刻度为． （1）求视线与指针的夹角； （2）因观测目标移动，需将量角器绕点O逆时针旋转，当时，求量角器转动的角度； 问题二：如图2，甲、乙、丙为量角器所在平面的三个目标，始终令指向甲，指向乙，视线指向丙．初始时刻，对应刻度分别为60和，若甲、乙均绕点O逆时针旋转，速度分别为/秒和/秒，设运动时间为t秒 （3）当时，求t的值； （4）在甲、乙开始运动的同时，丙以/秒的速度绕点O逆时针旋转，直接写出：当t为何值时，？ 40．（24-25七年级上·河北石家庄·期末）问题情境数学兴趣小组的同学利用周末到某纸箱厂参加社会实践，该厂的厂长让他们用100张白板纸（如图1）制作某种型号的长方体纸箱． 研究方法如图2，每张白板纸有，，三种剪裁方法，其中第种裁法：得到2个侧面与4个底面；第种裁法：得到4个侧面；第种裁法：得到3个侧面与2个底面．问题解决数学兴趣小组的同学用三种不同的裁剪方法裁剪这100张白板纸． 设按裁法裁剪的白板纸有a张，按裁法裁剪的白板纸有b张． (1)按第种方法裁剪的白板纸有______张（用含a，b的式子表示）； (2)用含a，b的代数式填表： 裁法 裁法 裁法 侧面个数 ______ ______ 底面个数 ______ ______ (3)已知四个侧面和两个底面恰好能配套做成一个纸箱，若将这100张白板纸剪裁完后，得到的侧面和底面恰好配套： 当时，求该小组按上述裁法分别裁剪了多少张白板纸？ 小明观察不同载法的复杂程度后发现，每载一张白板纸，裁法和裁法都至少需要裁5刀，裁法至少需要裁3刀，直接写出：该小组裁剪总刀数m与a的数量关系式． 1 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $ 第五章 一元一次方程（复习讲义） ①理解等式的概念，能根据实际情境中的等量关系列出等式；掌握等式的基本性质，能运用等式的基本性质进行等式的变形； ②能说出方程的解的意义，会判断一个数是不是方程的解； ③理解一元一次方程的概念，能判断一个式子是不是一元一次方程； ④掌握一元一次方程的一般解法步骤； ⑤掌握一元一次方程解决实际问题的一般步骤，并能根据实际问题的意义检验所得结果是否合理； 知识点 重点归纳 常见易错点 方程 1.方程定义：含有未知数的等式叫做方程. 2.方程的解：使方程左右两边的值相等的未知数的值，叫做方程的解. 判断一个数（或一组数）是否是某个方程的解，只需看两点： ①它们是方程中未知数的值； ②将它代入方程的左边和右边，若左边=右边，则它是方程的解，否则不是． 一个式子要想成为方程，需要同时满足两个条件：①是等式；②是含有未知数． 等式的性质 等式的性质： 等式的基本性质1： 等式两边加（或减）同一个数（或式子），结果仍相等. 数学语言表示：如果a=b，那么. 等式的基本性质2： 等式两边乘同一个数，或除以同一个不为0的数，结果仍相等. 数学语言表示：如果a=b，那么ac=bc. 如果a=b，，那么. （1）根据等式的两条性质，对等式进行变形，等式两边必须同时进行完全相同的变形； （2）等式性质2中，这一条件必不可少。 一元一次方程 1.一元一次方程的定义：只含有一个未知数（元），且含有未知数的式子都是整式，未知数的次数都是1，这样的方程叫做一元一次方程. 一元一次方程中的“元”是指未知数，“次”是指未知数的次数，一元一次方程需要同时满足以下条件： 1 是一个方程; 2 必须只含有一个未知数; 未知数的次数都是1． 3 含有未知数的式子都是整式; 2.一元一次方程的解法： （1）去分母,； （2）去括号； （3）移项； （4）合并同类项； （5）系数化成1； 一元一次方程解法 易错提醒： 犯错最高的4种错误 (1)不要漏乘不含分母的项； (2)分子是一个整体的，去分母后应加上括号； （3）移项不要忘了变号； （4）不要把分子、分母写颠倒，学生易错把分子分母弄颠倒。 一元一次方程应用 用一元一次方程解决实际问题的一般步骤： 列方程解应用题的基本思路为： 问题方程解答． 由此可得解决此类题的一般步骤为：审、设、列、解、检验、答． （1）“审”是指读懂题目，弄清题意，明确哪些是已知量，哪些是未知量，以及它们之间的关系，寻找等量关系； （2）“设”就是设未知数，一般求什么就设什么为x，但有时也可以间接设未知数； （3）“列”就是列方程，即列代数式表示相等关系中的各个量，列出方程，同时注意方程两边是同一类量，单位要统一； （4）“解”就是解方程，求出未知数的值； （5）“检验”就是指检验方程的解是否符合实际意义，当有不符合的解时，及时指出，舍去即可； （6）“答”就是写出答案，注意单位要写清楚． 为负时，就是亏损.打几折就是按标价的十分之几或百分之几十销售． 解方程应用题必须检验，一方面是检验解的未知数的值是不是方程的解；另一方面检验解的结果是不是符合题目的要求和实际意义。 题型一 方程的相关概念 1．下列各式中，是方程的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了方程的概念，根据方程的定义，判断各选项是否为含有未知数的等式． 【详解】解：方程需满足两个条件：①是等式；②含有未知数． A：，是等式，但无未知数，不符合条件②，故不是方程． B：，是等式且含有未知数，满足方程定义，是方程． C：，含有未知数，但为不等式，不符合条件①，故不是方程． D：，含有未知数，但为不等式，同样不符合条件①，故不是方程． 综上，正确答案为B． 故选：B． 2．下列各式中①，②，③，④，⑤，⑥．其中是方程的有（   ） A．①②④⑤ B．②③⑤⑥ C．②④⑤⑥ D．①②⑤⑥ 【答案】D 【分析】本题考查了方程的识别，根据含有未知数的等式是方程逐一进行判断即可． 【详解】解：①是方程， ②是方程， ③，不是等式，故不是方程． ④不是方程， ⑤是方程， ⑥是方程． 综上：①②⑤⑥， 故选：D． 3．已知长方形的长比宽大5，其周长为50，求其长、宽各是多少．设 ，列方程为 ． 【答案】 宽为 【分析】此题考查了列方程．设宽为，则长为，根据周长为50列方程即可． 【详解】解：设宽为，则长为， ， 故答案为：宽为；． 4．根据下列情境中的等量关系列一个等式． (1)一头半岁的蓝鲸体重为，90天后体重为30.1t．设蓝鲸体重平均每天增加． (2)把50kg大米分装在3个同样大小的袋子里，装满后还剩余5kg．设每个袋子可装大米． (3)甲、乙两城市间的铁路经过技术改造后，列车在两城市间的运行速度从提高到，运行时间缩短了2h．设甲、乙两城市间的路程为． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据数量关系：蓝鲸原来的体重+天增长的体重=总体重，便可以列出方程； （2）根据题意，可得数量关系：个袋子中大米的质量+剩余的千克=千克，结合所设，便可以得到方程； （3）根据列车在两城市间的运行速度从提高到，运行时间缩短了，可以列出相应的方程． 【详解】（1）解：根据数量关系：蓝鲸原来的体重+天增长的体重=总体重， 可得方程； （2）解：根据数量关系：个袋子中大米的质量+剩余的千克=千克， 可得到方程：； （3）解：根据数量关系：技术改造前运行时间-技术改造后运行时间=， 可得到方程：． 【点睛】本题主要考查由实际问题抽象出一元一次方程，可以根据数量关系列出方程解答． 5．根据下列情境中的等量关系列出一个等式： (1)一个正方形花圃的边长为，若边长增加，则所得新正方形花圃的周长是． (2)长方形的长为，宽为，面积为； (3)某商品标价为x元，打八折后再降价12元，售价为108元； (4)小华去文具店，买x支铅笔和y本笔记本共花12元，已知一支铅笔2元，一本笔记本3元． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题主要考查列方程，解题的关键是理解题意； （1）根据正方形的周长公式可进行求解； （2）根据长方形的面积公式可进行求解； （3）根据打折问题可求解； （4）根据题意可直接列方程即可． 【详解】（1）解：由题意得：； （2）解：由题意得：； （3）解：由题意得：； （4）解：由题意得：． 题型二 等式的基本性质 6．如果，下列运用等式的性质进行的变形中，不正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了等式的性质：等式两边同时加上或减去同一个数或整式，等式仍然成立；等式两边同时乘以一个数或式子等式仍然成立；等式两边同时除以一个不为零的数字或式子等式仍然成立． 【详解】解：A、由，可得，原式正确，该选项不符合题意； B、由，可得，原式正确，该选项不符合题意； C、由，可得，原式正确，该选项不符合题意； D、由，且时，可得，原式不正确，该选项符合题意； 故选：D． 7．根据等式的基本性质，下列不成立的是（    ） A．如果，那么 B．如果，那么 C．如果，那么 D．如果，那么 【答案】B 【分析】本题主要考查了等式的基本性质，包括等式两边同时加、减、乘、除除以（除数不为零）同一个数，等式仍然成立．根据等式的基本性质，逐项判断即可． 【详解】解：A．∵，等式两边加5， ∴，故A成立，不符合题意； B．∵，等式两边乘， ∴，但选项给出，故B不成立，符合题意； C．∵ ，等式两边加， ∴，故C成立，不符合题意； D．∵，等式两边减5， ∴，故D成立，不符合题意． 故选：B． 8．用适当的数或整式填空，使所得的结果仍是等式，并在题后的括号内写出变形的依据． （1）已知，则( )；( ) （2）已知，则 ；( ) （3）已知，则 ；( ) （4）已知，则 ．( ) 【答案】 等式的基本性质1 等式的基本性质1 等式的基本性质2 等式的基本性质2 【分析】本题考查了等式的基本性质，①等式两边都加上(或减去)同一个数或同一个整式所得的结果仍是等式，②等式两边都乘以(或除以)同一个数(除数不为)所得结果仍是等式． 【详解】解：，根据等式的基本性质1，方程两边同减去1，得； ，根据等式的基本性质1，方程两边同减去，得； ，根据等式的性质，方程两边同乘以，得； ，根据等式的性质，方程两边同除以，得． 故答案为：，等式的基本性质1，，等式的基本性质1，，等式的基本性质2，，等式的基本性质2 ． 9．根据等式的性质填空： （1）若，则 ．       （2）若，则 ． （3）若，则 ．        （4）若，，则 ． 【答案】 0 【分析】本题考查了等式的基本性质，熟练掌握是解此题的关键． （1）根据等式的基本性质解答即可； （2）根据等式的基本性质解答即可； （3）根据等式的基本性质解答即可； （4）根据等式的基本性质解答即可． 【详解】解：（1）∵， ∴， 故答案为：； （2）∵， ∴， 故答案为：； （3）∵， ∴， 故答案为：； （4）∵，， ∴， ∴， 故答案为：． 10．利用等式的基本性质，将下面的等式变形为（c是常数）的形式． (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题考查等式的基本性质，掌握相关知识是解决问题的关键． （1）先等式两边同加上4，再等式两边同除以5即可； （2）先等式两边同减去3，再等式两边同乘以2即可； （3）先等式两边同减去1，再等式两边同除以即可； （4）先等式两边同减去，再等式两边同除以3即可． 【详解】（1）解：， ， ， ， ； （2）解：， ， ， ， ； （3）解：， ， ， ， ； （4）解：， ， ， ， ． 题型三 方程的解及求参数问题 11．下列方程中，解为的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了解一元一次方程的知识，解题的关键在于熟练掌握解方程的方法． 把代入方程判断左右是否相等，即可得答案． 【详解】解：A、把代入，左边为，右边为，，所以不是该方程的解，故该选项不符合题意； B、把代入，左边为，右边为，，所以不是该方程的解，故该选项不符合题意； C、把代入，左边为，右边为，，所以不是该方程的解，故该选项不符合题意； D、把代入，左边为，右边为，左边等于右边，所以是该方程的解，故该选项符合题意； 故选D． 12．下列方程中，解为的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了一元一次方程的解．把分别代入每个方程的两边，即可求解． 【详解】解：A、当时，左边，右边，则左边右边，即该方程的解不是，故本选项不符合题意； B、当时，左边，右边，则左边右边，即该方程的解是，故本选项符合题意； C、当时，左边，右边，则左边右边，即该方程的解不是，故本选项不符合题意； D、当时，左边，右边，则左边右边，即该方程的解不是，故本选项不符合题意； 故选：B 13．已知是关于x的方程的解，则 ． 【答案】2 【分析】本题考查方程的解，解一元一次方程，根据方程的解的定义把代入方程中，得到关于m的方程，求解即可． 【详解】解：∵是关于x的方程的解， ∴， 解得． 故答案为：2． 14．已知为整数，且方程的解是正整数，则 ． 【答案】，，， 【分析】此题考查了一元一次方程的解，表示出方程的解是解本题的关键．表示出方程的解，由为整数，方程的解为正整数求出的值即可． 【详解】解：方程移项合并得：， 解得：， 由为整数，且方程的解为正整数，得到，，，， 解得：，，，． 故答案为：，，，． 15．方程与方程的解相等，求a的值． 【答案】4 【分析】本题考查了一元一次方程的同解方程，解答本题的关键是理解方程的解．先求出方程的解，再代入方程，即可求a的值 【详解】解：由解得， ∴方程的解也是， ∴把代入， 得， 移项，得， 合并同类项，得系数化为1， 得， ∴故的值为4． 题型四 一元一次方程的相关概念 16．下列选项中，是一元一次方程的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查一元一次方程的概念，熟练掌握一元一次方程的概念是解题关键． 一元一次方程需满足：含有一个未知数，且未知数的最高次数为1的等式．据此判断各选项即可． 【详解】A： 是等式，但无未知数，故不是方程． B： 含一个未知数 ，且 的次数为1，故是一元一次方程． C： 含一个未知数 ，但 的最高次数为2，故不是一次方程． D： 是代数式，无等号，故不是方程． ∴ 正确答案是B． 17．写出一个一元一次方程， 同时满足下列两个条件： ． ① 某个未知数的系数是－，②方程的解为． 【答案】 【分析】本题主要考查了方程的解的定义，利用了待定系数法求方程．设方程是，把代入即可求得的值，从而求解． 【详解】解：设方程是， 把代入，， 解得：， 则方程是：， 故答案是：． 18．若是关于的一元一次方程的解，则的值是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了一元二次方程的解，解题关键是熟练掌握一元一次方程解的定义．先把方程的解代入方程得：，再把所求代数式的前两项提取公因式2，然后把整体代入求值即可． 【详解】解：把代入方程得：， 故答案为：． 19．若 是关于的一元一次方程，则 【答案】 【分析】本题主要考查了一元一次方程的概念，解题的关键是注意要保证一次项系数不能为0；根据最高次数是1，一次项系数不能为0得到关于a的方程，进而得到答案即可； 【详解】解：由题意可得： ∴ ∴取， 故答案为：． 20．（1）若方程是关于x的一元一次方程，则m的取值范围是 ． （2）已知是关于x的一元一次方程，则 ． 【答案】 2 【分析】本题考查了一元一次方程的定义，解决问题的关键是熟练掌握一元一次方程的定义. （1）根据一次项系数不等于即可得到的值. （2）根据未知数的次数等于即可解决. 【详解】解：（1）由题意可得： 故答案为： （2）由题意可得： 故答案为：2. 题型五 解一元一次方程 21．解方程． (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查一元一次方程的解法，熟练掌握一元一次方程的解法是解题的关键． （1）先去分母，移项、合并同类项，将的系数化为1，计算求解即可； （2）先将方程去分母后，再合并同类项，最后将的系数化为1，计算求解即可． 【详解】（1）解； 去分母得： 移项、合并同类项得： 系数化为1得：； （2）解： 去分母得： 合并同类项得： 系数化为1得：． 22．解方程：． 【答案】 【分析】本题考查一元一次方程的解法，熟练掌握解方程的步骤是解题的关键； 根据去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为即可求得x的值. 【详解】 解：去分母，得． 去括号，得． 移项，得． 合并同类项，得． 系数化为，得． 23．下面是小彬同学解一元一次方程的过程，请认真阅读并完成相应任务． 解方程： 解：去分母得，…第一步 去括号得，…第二步 移项得，…第三步 合并同类项得，…第四步 系数化为1得，…第五步 (1)以上求解过程中，第_____步出现错误，错误原因是________________； (2)写出该方程正确的解答过程． 【答案】(1)三，移项时没有变号 (2)解答过程见解析 【分析】本题考查解一元一次方程，熟练掌握解一元一次方程的步骤是解题的关键． （1）根据移项，从方程的一边移到另一边时，要改变符号； （2）根据解一元一次方程步骤解方程即可求解． 【详解】（1）解：第三步出现错误，错误原因是移项时没有变号， 故答案为：三，移项时没有变号； （2）解：去分母得，， 去括号得，， 移项得，， 合并同类项得，， 系数化为1得，． 24．解方程： (1)． (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题需按照去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为的步骤求解． 【详解】解：（1）去分母，得． 去括号，得． 移项，得． 合并同类项，得．系数化为1，得． 故答案为：. （2）去分母，得． 去括号，得． 移项、合并同类项，得． 系数化为1，得． 故答案为：． 【点睛】本题考查了一元一次方程的解法，解题关键是熟练掌握去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为的步骤． 25．计算： 【答案】 【分析】本题考查解一元一次方程，去分母，移项，合并，系数化1，进行求解即可． 【详解】解：， ， ， ． 题型六 已知一元一次方程的解求参数 26．若是的解，则的值为（    ） A． B．2 C．1 D．3 【答案】D 【分析】本题考查了一元一次方程的解．根据一元一次方程的解的定义把代入关于x的方程中即可求出k的值． 【详解】解：把代入关于x的方程中， 得， 解得， 故选：D． 27．若不论取何值，关于的方程（，是常数）的解总是，则的值是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】此题主要考查了一元一次方程的解，掌握方程的解即为能使方程左右两边相等的未知数的值是解题关键；将代入中，化简得到，由不论k取什么数，关于x的方程（a、b是常数）的解总是可知，k的值对方程没有影响，即可得到，求解即可． 【详解】解：不论k取什么数，关于x的方程（a、b是常数）的解总是， ， ， ， ，， ， ， 故选：D． 28．已知关于x的方程，则下列说法不正确的是（   ） A．时方程无解 B．无论b的值为多少，方程的解不可能是 C．时，方程解为 D．时 【答案】D 【分析】本题考查一元一次参数方程解的情况，正确理解一元一次参数方程解的情况是解题的关键． 根据题意逐项求解判断即可． 【详解】A．当时，，不符合题意，故方程无解，选项正确； B．当时，，不符合题意，故无论b的值为多少，方程的解不可能是，选项正确； C．当时， 去括号得， 移项得， 系数化为1得，，故选项正确； D．当时，，不符合题意，故方程无解，选项错误． 故选：D． 29．小玉在解方程去分母时，方程右边的“”项没有乘6．因而求得的解是，则 ． 【答案】3 【分析】本题考查解整式方程．根据题意利用错误计算还原，即可得到本题答案． 【详解】解：由小玉的解法可知去分母后的方程为 ， 解得， ∵， ∴， 解得． 故答案为：3． 30．已知关于的方程有整数解，则满足条件的所有整数的和为 ． 【答案】 【分析】本题考查了解一元一次方程，先根据一元一次方程的解法求出，然后根据一元一次方程有整数解求解即可． 【详解】解：， 去分母，得， 去括号，得， 移项，得， 合并同类项，得， 当，即时，方程的解是， 关于的方程有整数解，为整数， 或或或或或或或， 或或或或或或1或6， 满足条件的所有整数的和为， 故答案为：． 题型七 一元一次方程解的关系——同解问题 31．若方程的解与关于的方程的解相同，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了一元一次方程解，解一元一次方程等知识点，先求方程的解，再代入求得的值即可，熟练掌握一元一次方程解，解一元一次方程是解决此题的关键． 【详解】解：解方程，得， 把代入， 得， 解得：， 故选：C． 32．如果两个方程的解相同，那么我们把这两个方程称为同解方程．若关于x的一元一次方程与是同解方程，则的值为（   ） A．6 B．3 C． D． 【答案】C 【分析】本题考查解一元一次方程，理解同解方程的概念，掌握解一元一次方程的步骤是解题的关键． 先解关于x的一元一次方程，然后代入中，再解关于a得一元一次方程即可． 【详解】解： ， ∵方程与是同解方程， ∴将代入中 解得：． 故选：C． 33．若方程和的解相同，则a的值是 ． 【答案】 【分析】本题考查了同解方程，正确计算是解题的关键．先求出方程的解，再代入方程中即可求出a的值． 【详解】解：解方程，得， 根据题意把代入方程中，， 解得， 故答案为：． 34．若与的解相同，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查解一元一次方程及一元一次方程的解，熟练掌握同解方程的解题方法是解题的关键．先解方程，得，再将解代入，求解即可． 【详解】解：解一元一次方程， 得：， 将代入， 得：， 解得：， 故答案为：． 35．当k取何值时，方程和方程的解相同？ 【答案】 【分析】本题考查解一元一次方程，理解同解方程是解答的关键．求出方程的解，把解代入中，进行求解即可． 【详解】解：解，得：； 当方程和方程的解相同时， 则：，解得：． ∴当时，方程和方程的解相同． 题型八 一元一次方程解的关系——错解问题 36．下列方程的解法错在哪里？请你改正． (1)解方程． 解：， ， ． (2)解方程． 解：， ， ． 【答案】(1)错在去分母时，漏乘，； (2)错在去分母时，没有加括号，． 【分析】本题考查了解一元一次方程，熟练掌握解一元一次方程的步骤是解题的关键． （1）按照解一元一次方程的步骤：去分母，去括号，移项，合并同类项，系数化为1进行计算，即可解答； （2）按照解一元一次方程的步骤：去分母，去括号，移项，合并同类项，系数化为1进行计算，即可解答． 【详解】（1）解：错在去分母时，漏乘2， 改正：， ， ， ， ； （2）解：错在去分母时，没有加括号， 2． ， ， ， ， ． 37．用好错题本可以有效地积累解题策略，减少再错的可能．下面是小严同学错题本上的一道题，请仔细阅读并完成相应的任务． 解方程：． 解：去分母，得……………………第一步 去括号，得……………………第二步 移项，得……………………第三步 合并同类项，得……………………第四步 系数化为1，得……………………第五步 任务： ①以上解题过程中，第一步是依据________________________进行变形的；第二步去括号时用到的运算律是____________________________； ②从第________步开始出错，这一步错误的原因是__________________________； ③请直接写出该方程正确的解． 【答案】①等式的性质2，乘法分配律；②三，从等号左边移项至等号右边未变号；③ 【分析】本题考查了解一元一次方程，熟练掌握解一元一次方程的步骤是解题关键． ①根据等式的基本性质、乘法分配律即可得； ②根据解一元一次方程的步骤中，移项法则即可得； ③根据移项、合并同类项、系数化为1的步骤写出正确过程即可得． 【详解】①以上解题过程中，第一步是依据等式的性质2进行变形的；第二步去括号时用到的运算律是乘法分配律； 故答案为：等式的性质2，乘法分配律； ②从第三步开始出错，这一步错误的原因是从等号左边移项至等号右边未变号； 故答案为：三，从等号左边移项至等号右边未变号 ③从第三步开始移项，得， 合并同类项，得， 系数化为1，得． 38．用好错题本可以有效地积累解题策略，减少再错的可能．下面是刘凯同学错题本上的一道题，请仔细阅读并完成相应的任务． 下面是解方程的过程： 解：______，得……第一步 去括号，得……第二步 移项，得……第三步 合并同类项，得……第四步 系数化为1，得……第五步 请认真阅读上面的过程，解答下列问题： (1)以上求解步骤中，第一步进行的是______，这一步的依据是____________； (2)以上求解步骤中，第______步开始出现错误； (3)请写出正确的解方程过程． 【答案】(1)去分母，等式的性质2 (2)三 (3)见解析 【分析】本题考查了解一元一次方程，熟练掌握解一元一次方程的步骤，等式的基本性质是解题的关键． （1）根据等式的基本性质解答即可； （2）根据解一元一次方程的步骤解答即可； （3）按照解一元一次方程的步骤进行计算即可． 【详解】（1）以上求解步骤中，第一步进行的是去分母，这一步的依据是等式的性质2； 故答案为：去分母，等式的性质2． （2）以上求解步骤中，第三步开始出现错误； 故答案为：三． （3）解：， 去分母得 去括号，得 移项，得 合并同类项，得 系数化为1，得 39．将方程去分母得到，错在 ． 【答案】去分母时，分子部分没有加括号 【分析】本题主要考查了解一元一次方程，熟知解一元一次方程的步骤是解题的关键． 【详解】解：， 方程两边乘以12得， 去括号得：， ∴可知原解法再去分母时，分子部分没有加括号，导致出错， 故答案为：去分母时，分子部分没有加括号． 40．某同学解方程时，把（    ）处的数字看错，得错解，则他把（    ）处看成了 A．3 B．6 C．9 D．12 【答案】C 【分析】本题考查了一元一次方程的解以及解一元一次方程，先设（    ）处为，则原式为，把代入解得，即可作答． 【详解】解：依题意，先设（    ）处为， 则原式为， 把代入，得 解得， 故选：C 题型九 绝对值方程 41．已知数轴上点 A 表示的数为，点B与点A的距离为6，则点B表示的数是（  ） A．2 B． C．2或 D．无法确定 【答案】C 【分析】本题主要考查了有理数和数轴，两点之间的距离，解题的关键是掌握分类讨论的思想． 点B与点A的距离为6，可能在点A的左侧或右侧，因此点B表示的数有两个可能值，分类进行求解即可． 【详解】解：∵点A表示的数为，点B与点A的距离为6， ∴设点B表示的数为x，则，即， ∴或， ∴或， ∴点B表示的数是2或， 故选：C． 42．方程的解为（   ） A．或 B．或 C．或 D．或 【答案】B 【分析】本题主要考查了解一元一次方程，根据绝对值的定义可得或，据此解方程即可． 【详解】解：∵， ∴或， 解方程，得， 解方程，得， ∴方程的解为或， 故选：B． 43．若，，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了绝对值方程，解题关键是掌握绝对值方程求解方法． 先去掉绝对值，再解方程，然后根据确定的值． 【详解】解：∵， ∴， 解得：或， ∵， ∴， 故答案为：． 44．对于有理数a，b，n，d，若，则称a和b关于n的“船山值”为d，例如，，则2和3关于1的“船山值”为3．若3和1关于a的“船山值”为4，求a的值为 ． 【答案】或 【分析】本题主要考查了新定义、有理数的加减运算和绝对值方程的应用，理解“船山值”的概念是解决此题目的关键．根据“船山值”的定义列出关于a的方程，解方程即可． 【详解】解：由题意得，， 当时，则，解得，符合题意； 当时，则，解得，符合题意； 当时，则，等式矛盾，不符合题意； 综上，或． 故答案为：或． 45．小明做了这样一道计算题：，其中“■”表示被墨水污染看不到的一个数，他看了后边的答案，得知该题的计算结果为6，那么“■”表示的数是 ． 【答案】或9 【分析】本题考查列方程和绝对值，解题的关键是掌握解一元一次方程和求绝对值． 设“■”表示的数是x，根据题意列出方程，求出方程的解即可得到结果． 【详解】解：设“■”表示的数是x， 根据题意得：， 可得或， 解得：或， 故答案为：或9． 题型十 配套问题 46．某车间有工人名，生产一种有一个螺栓和两个螺母的配套产品，每人每天平均生产螺栓个或螺母个，如果你是这个车间的主任，你应分配多少人生产螺栓，多少人生产螺母，才能使生产的螺栓和螺母刚好配套？若设人生产螺栓，则所列方程正确的是（    ） A．） B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了一元一次方程的实际应用，熟练掌握根据配套关系列方程的方法是解题的关键．根据题意可知人生产螺栓，则有人生产螺母，然后根据螺栓总数螺母总数，即可列出相应的方程． 【详解】解：设人生产螺栓，则有人生产螺母， ， 故选：A． 47．某眼镜厂有60名工人，每名工人每天可生产镜片200片或生产镜架50个，应如何分配工人生产镜片和镜架，才能使每天生产的产品成套？（2片镜片和1个镜架成一套）根据题意小宇列出方程为．则x代表的数据是（   ） A．生产镜架的工人数 B．生产镜片的工人数 C．生产镜架的天数 D．生产镜片的天数 【答案】B 【分析】本题考查了由实际问题抽象出一元一次方程，根据等量关系：镜片数量镜架数量，即可得解，理解题意，找准等量关系是解此题的关键． 【详解】解：由题意可得，方程中x代表的数据是生产镜片的工人数， 故选：B． 48．已知一张桌子配4张椅子，现有90立方米木料，若1立方米木料可做5张椅子或1张桌子，要使桌子和椅子所使用的木料刚好配套，设用x立方米的木料做桌子，则依题意可列方程为 ． 【答案】 【分析】本题考查由实际问题抽象出一元一次方程，解答本题的关键是明确题意，列出相应的方程． 根据题意，求出桌子和椅子的数量，再利用一张桌子配4张椅子，且桌子和椅子所使用的木料刚好配套，列出相应的方程． 【详解】解：设用x立方米的木料做桌子，则用立方米的木料做椅子， 可做x张桌子，张椅子， 根据一张桌子配4张椅子，且桌子和椅子所使用的木料刚好配套， 可得， 故答案为：． 49．某车间有工人85人，平均每天每人可生产大齿轮16个或小齿轮10个，已知2个大齿轮和3个小齿轮可以配成一套，为使每天生产的大、小齿轮刚好配套，应如何安排工人？ 【答案】应安排25人生产大齿轮，60人生产小齿轮，才能使产品刚好配套 【分析】本题考查的是一元一次方程的应用，设安排人生产大齿轮，则安排人生产小齿轮，再利用“2个大齿轮与3个小齿轮配成一套”建立方程求解即可，确定相等关系是解题关键． 【详解】解：设安排人生产大齿轮，则安排人生产小齿轮， 根据题意，得， 解得， ， 答：应安排25人生产大齿轮，60人生产小齿轮，才能使产品刚好配套． 50．某车间为提高生产总量，在原有15名工人的基础上，新调入若干名工人，使得调整后车间的总人数是新调入工人人数的3倍多1人． (1)求调整后车间共有多少名工人； (2)每名工人每天可以生产120个螺栓或200个螺母，1个螺栓需要2个螺母，为使每天生产的螺栓和螺母刚好配套，人员调入后，应安排生产螺栓和螺母的工人各多少名？ 【答案】(1)调整后车间共有名工人 (2)10名工人生产螺栓，12名工人生产螺母 【分析】本题考查一元一次方程的应用，解题的关键是读懂题意，找到等量关系列方程． （1）设调入名工人，根据“调整后车间的总人数是调入工人人数的3倍多1人”得：，可解得答案； （2）设名工人生产螺栓，由“1个螺栓需要2个螺母”，可得，即可解得答案． 【详解】（1）解：设调入名工人，根据题意得：， 解得， 调入7名工人； 答：车间有工人（名）． （2）解：设名工人生产螺栓，则名工人生产螺母， 每天生产的螺栓和螺母刚好配套， ， 解得， ， 答：10名工人生产螺栓，12名工人生产螺母，可使每天生产的螺栓和螺母刚好配套． 题型十一 工程问题 51．某件工程甲独做需7天完成，乙独做需11天完成．现甲和乙合作共同完成此项工程．中途乙因病少做了4天，若设完成此项工程共需天，则下列方程正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了一元一次方程的应用．设完成此项工程共需天，根据题意，列出方程，即可求解． 【详解】解：设完成此项工程共需天，根据题意得： ． 故选：C 52．学校图书馆需要整理一批图书，甲、乙两人单独整理分别需要6小时和9小时完成．若先由甲单独整理1小时，剩下的两人共同整理，则还需要多长时间才能整理完这批图书？（   ） A．2小时 B．3小时 C．4小时 D．5小时 【答案】B 【分析】本题考查了一元一次方程的应用之工程问题，正确表示工作量，工作效率，工作时间的关系是解题的关键．设还需要m小时，根据题意，得，解方程即可． 【详解】解：设还需要m小时，根据题意，得， 解得． 故选：B． 53．一件工作，甲单独做需14小时完成，乙单独做需11小时完成，若甲先做1小时，乙接着做2小时，最后甲、乙两人合作，再做几个小时全部完成？如果设甲、乙合作还需x小时才能完成全部工作，那么根据题意，可列方程： 【答案】 【分析】此题主要考查了一元一次方程的应用．利用等量关系：甲工作量+乙工作量=总工作量，进而得出方程求出即可． 【详解】解：设甲、乙合作还需x小时才能完成全部工作， ∵甲单独做需要14小时完成，乙单独做需要11小时完成， ∴甲的工作效率为，乙的工作效率为， 由题意得， 故答案为：． 54．整理一批图书，由一个人做要完成，现计划由人先做，然后增加一些人与他们一起做，完成这项工作，假设这些人的工作效率相同，具体应增加多少人？ 【答案】人 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，设应增加人，根据题意列出方程即可求解，根据题意找到等量关系是解题的关键． 【详解】解：设应增加人， 由题意得，， 解得， 答：应增加人． 55．某中学计划加工一批校服，现有甲、乙两个工厂能加工这批校服．已知甲工厂每天能加工这种校服16件，乙工厂每天能加工这种校服24件，且单独加工完这批校服甲厂比乙厂要多用20天． (1)求这批校服共有多少件（列一元一次方程解决此问题）； (2)若先由甲、乙两个工厂按原来的速度合作一段时间后，乙厂引进了新设备，使乙厂每天的加工效率提高了，剩下的部分由乙厂单独完成．如果乙厂全部工作时间是甲厂全部工作时间的2倍还多4天，那么乙厂全部工作时间是多少天？ 【答案】(1)这批校服共有960件 (2)乙厂全部工作时间是28天 【分析】本题考查一元一次方程的应用，解题的关键是根据题意建立正确的方程． （1）设这批校服共有x件，根据单独加工完这批校服甲厂比乙厂要多用20天建立一元一次方程，解方程即可得到答案； （2）设甲工厂加工的天数为y天，则乙工厂加工的天数为：（天），根据加工天数和总件数建立方程，解方程即可得到答案． 【详解】（1）解：设这批校服共有x件, 由题意得：甲工厂加工这种校服用的天数为：， 乙工厂加工这种校服用的天数为：， ∵单独加工完这批校服甲厂比乙厂要多用20天， ∴， 解方程得：， ∴这批校服共有960件； （2）解：乙厂引进了新设备后每天加工的数量为：件， 设甲工厂加工的天数为y天， 则乙工厂加工的天数为：（天）， 由题意得： 解方程得：， ∴， 答：乙工厂加工的天数为28天． 题型十二 销售问题 56．某商店将一件商品按进价提高后标价，又以9折销售，售价为216元，则该商品的进价为（  ） A．200 元 B．210 元 C．180 元 D．190 元 【答案】A 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，通过列方程直接求解，注意计算准确． 设进价为x元，根据提高后标价，再打9折，售价为216元，列出方程求解． 【详解】解：设进价为x元，根据题意得， ∵ 标价， 售价=标价， ∴ ， ， ∴ 进价为200元． 故选：A． 57．为补齐产业短板，某镇发展了金银花产业．经销商从农民手中以50元的价格收购金银花，再以75元的价格销售．若经销商将金银花打折出售给某医药公司，且要使每千克金银花仍可获利10元，则所打折扣为（   ） A．七折 B．七五折 C．八折 D．八五折 【答案】C 【分析】本题考查一元一次方程的应用，正确找到等量关系并列出方程是解题的关键． 设所打折扣为折，根据题意列方程求解即可． 【详解】解：设所打折扣为，则打折后的售价为， 根据题意得， 解得， ∴所打折扣为八折， 故选：C． 58．第9届亚洲冬季运动会于2025年2月7日至2月14日在哈尔滨举行，吉祥物“滨滨”和“妮妮”毛绒玩具在市场热销．若“妮妮”毛绒玩具的进价为90元，某店按标价的9折出售，仍可获利，则“妮妮”毛绒玩具的标价是 元． 【答案】120 【分析】本题考查一元一次方程的实际应用，是重要考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键． 设“妮妮”毛绒玩具每件的标价为x元，根据按标价的9折出售，仍可获利，列一元一次方程解题． 【详解】设“妮妮”毛绒玩具每件的标价为x元，根据题意得， ， 解得， 即“妮妮”毛绒玩具的标价是120元． 故答案为：120． 59．某水果商购进40千克苹果，80千克枇杷．苹果进价为5元/千克，按利润率定价；枇杷进价10元/千克，但枇杷不耐保存，有的损耗．假设这些水果全部售出能有的利润率，则枇杷应该如何定价？ 【答案】枇杷定价为元 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，先算出总成本，再算出总收入，然后设枇杷定价元，结合题意进行列出方程，再解得，即可作答． 【详解】解： 总成本为（元）， ∵这些水果全部售出能有的利润率， ∴利润为（元）， 总收入为（元）， 设枇杷定价元， 依题意，得， 解得， ∴枇杷定价为元． 60．假期即将开始，某校准备组织七年级学生参观冰雪大世界．参观门票学生票价为200元，冰雪大世界经营方为学校活动推出两种优惠方案，方案一：“所有学生门票一律九折”；方案二：“如果学生人数超过100人，则超出的部分打八折”． (1)求参观学生为多少人时两种方案费用一样； (2)学校为了能使学生安全快捷到达冰雪大世界，现准备集体租车去冰雪大世界．如果单独租用45座的客车若干辆，但有10人没有座位；若租用数量60座的客车，则少租一辆，且最后一辆客车有20个空座位，求该校七年级有学生多少人参观冰雪大世界？ (3)在（2）问的条件下，学校采用哪种优惠方案购买门票最省钱，门票费用最少是多少元． 【答案】(1)参观学生为人时两种方案费用一样． (2)人 (3)学校采用方案二购买门票最省钱，门票费用最少是元． 【分析】本题考查了列代数式，一元一次方程的应用，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）认真理解题意，再设参观学生为人，分别表示方案一的费用和方案二的费用，根据两种方案费用一样，进行列方程，再求解，即可作答． （2）先设租用45座的客车辆，因为单独租用45座的客车若干辆，但有10人没有座位；若租用数量60座的客车，则少租一辆，且最后一辆客车有20个空座位，进行列式，再求解，即可作答． （3）分别算出方案一的费用和方案二的费用，再比较，即可作答． 【详解】（1）解：设参观学生为人， ∵方案一：“所有学生门票一律九折”； ∴方案一的费用是 ∵方案二：“如果学生人数超过100人，则超出的部分打八折” ∴当时，则方案二的费用是， 当时，则方案二的费用是， ∵两种方案费用一样 显然， 则， 解得， 即参观学生为人时两种方案费用一样． （2）解：设租用45座的客车辆， 依题意，得 解得， ∴（人） 即该校七年级有学生人参观冰雪大世界． （3）解：由（1）得方案一的费用是；当时，则方案二的费用是； ∵该校七年级有学生人参观冰雪大世界． ∴方案一的费用是（元）， 方案二的费用是（元）， ∵， ∴采用方案二最省钱， 答：学校采用方案二购买门票最省钱，门票费用最少是元． 题型十三 方案问题 61．某同学花了100元购买游泳馆会员证（只限本人使用），凭证入馆每次收费5元，否则每次收费9元．若购买会员证与不购买会员证花费相同，则该同学去游泳馆的次数为（   ） A．23 B．24 C．25 D．26 【答案】C 【分析】可设游泳x次，得到购买会员证需付元，不购买会员证需付元，再根据购会员证与不购证付一样的钱的等量关系列出方程求解即可； 【详解】解：设游泳x次，则购买会员证需付元，不购买会员证需付元， 由题意可得：. 解得． 答：当游泳25次时，购买会员证与不购买会员证花费相同． 故选：C． 【点睛】本题考查了一元一次方程的应用，解决问题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用方程解答． 62．某校七年级三个班级联合开展户外研学活动，此次活动由一班班长负责购买车票，票价每张20元．有如图两种优惠方案：班长思考一会儿说，无论选择哪种方案所要付的车费是一样的，则七年级三个班级共有（    ）    A．60人 B．61人 C．62人 D．63人 【答案】D 【分析】设七年级三个班级共有人，根据两种方案的费用相同建立方程，解方程即可得到答案． 【详解】解：设七年级三个班级共有人， 根据题意得， 解方程组得：， 故选：D． 【点睛】本题考查一元一次方程的应用，解题的关键是根据两种方案费用相同建立方程． 63．活动大促期间，某商店推出两种优惠方案．方案一：购买的所有商品一律打8折；方案二：购物满150元后，超过部分享受7折优惠．一次性购物满 元时，两种方案最终付款金额相等． 【答案】450 【分析】本题考查一元一次方程的应用，设一次性购物满x元时，两种方案最终付款金额相等，则分别用x表示出两种方案付款金额，即可建立方程求解． 【详解】解：设一次性购物满元时，两种方案最终付款金额相等 根据题意，得， 解得， 故答案为：450． 64．（中考新考法·数学与生活融合项目化学习） 背景 放假期间，七年级一班若干名学生和家长一同去龙门石窟景区游玩． 素材一 该班学生小庆负责查阅景区购票信息，他在某旅游网站上了解到景区的票价分为个人票和团体票两种，其中个人票分为成人票和学生票； 成人票每张90元 学生票按成人票5折优惠 团体票（13人及以上）按成人票8折优惠 素材二 小庆计算了一下，单独购买个人票时，他们一共12人，共需900元． 任务一 七年级一班一共去了几名学生，几名家长？ 任务二 请帮小庆算一算，用哪种方式购票更省钱？并说明理由． 【答案】任务一：8名家长，4名学生 任务二：单独买票更省钱，见解析 【分析】本题考查一元一次方程的应用，有理数的乘法，有理数的大小比较，掌握知识点是解题的关键． 任务一：设七年级一班一共去了x名家长，则去了名学生，列出一元一次方程，即可解答； 任务二：分别求出单独买票与购买团体票的费用，再比较大小，即可解答． 【详解】解：任务一：设七年级一班一共去了x名家长，则去了名学生，依题意，得 ， 解得， ∴． 答：小庆他们一共去了8名家长，4名学生； 任务二：单独买票，即分别购买成人票和学生票更省钱，理由如下： 若他们购买团体票，需要花费（元）， 若他们单独买票，需要花费900元， 因为， 所以小庆他们单独买票，即分别购买成人票和学生票更省钱； 答：小庆他们单独买票更省钱． 65．综合与实践 从2025年开始，山西进行新中考改革，体育考试增加一个项目，要求学生在足球、篮球、排球任选一项进行比赛．在当前这样的背景下，学校鼓励学生进行锻炼，某体育用品商店对，两品牌排球开展促销活动，已知，两品牌排球的标价分别是200元/个，80元/个，现有如下两种优惠方案： 方案一：不购买会员卡时，A品牌排球享受8.5折优惠，B品牌排球买6个（含6个）以上时所有排球享受9折，6个以下按标价购买． 方案二：办理一张会员卡需200元，拥有会员卡全部商品享受8折优惠． (1)若学校购买A品牌排球4个，B品牌排球5个，哪一种方案更优惠？优惠多少元？ (2)若学校购买A品牌排球若干个，B品牌排球10个，且方案一比方案二多付30元，求购买A品牌的排球个数． 【答案】(1)方案一更优惠，优惠80元 (2)15个 【分析】本题考查了一元一次方程的实际应用知识点，解题的关键是根据不同的优惠方案，分别列出购买商品所需费用的表达式，再根据题目所给条件列方程求解． （1）分别计算方案一和方案二购买指定数量排球的费用，通过比较两者费用大小来确定哪种方案更优惠以及优惠的金额． （2）购买A品牌的排球个，根据方案一比方案二多付30元这一条件列出方程，进而求解出A品牌排球的个数． 【详解】（1）方案一的费用（元）； 方案二的费用（元）． 因为（元）， 所以方案一更优惠，优惠80元． （2）设购买A品牌的排球个． 由题意可得， 解得． 答：购买A品牌的排球15个． 题型十四 几何问题 66．如图，数轴的单位长度为1，数轴上有三个点．若点表示的数的和为0，则点表示的数是（   ） A．0 B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了数轴、一元一次方程的应用，熟练掌握数轴的性质是解题关键．设点表示的数是，则点表示的数是，点表示的数是，根据题意建立方程，解方程即可得． 【详解】解：设点表示的数是， 则点表示的数是，点表示的数是， ∵点表示的数的和为0， ∴， 解得， 故选：D． 67．数轴上有三点A，B，C，其中点A，B分别表示数，，现以点C为折点将数轴向右折叠（如图所示），若点A的对应点A'落在数轴上，且与B之间的距离是2，则点C表示的数是（    ） A． B． C． D．或 【答案】D 【分析】本题考查了数轴，熟练掌握数轴上两点间距离是解题的关键．设点C表示的数是x，根据题意可得：，，然后分两种情况：当点落在点B的左侧时；当点落在点B的右侧时；分别进行计算即可解答． 【详解】解：设点C表示的数是x， 由题意得：，， 分两种情况： 当点落在点B的左侧时，如图： ∵， ∴， 由题意得：， ∴， 解得：， ∴点C表示的数是； 当点落在点B的右侧时，如图： 由题意得：， ∴， ∵， ∴， 解得：， ∴点C表示的数是； 综上所述：点C表示的数是或； 故选：D． 68．在一条可以折叠的数轴上，，表示的数分别是，，如图，以点为折点，将此数轴向右对折，若点在点的右边，且，则点表示的数是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查数轴，一元一次方程的应用，解决此题的关键是能利用数轴上两点间的距离公式用含x的式子表示出线段的长度．设点表示的数是利用，列出方程解答即可． 【详解】解：设点表示的数是， 则， ， 即， 解得：， 点表示的数是． 故答案为：． 69．已知数轴上有，两点，点表示的数为，点表示的数为． (1)当时，求线段的长； (2)若点与点关于原点对称，求点表示的数． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查数轴上两点间的距离公式，一元一次方程的应用，熟练掌握两点间的距离公式是解题的关键： （1）根据两点间的距离公式进行求解即可； （2）根据关于原点对称的点表示的数互为相反数，列出方程进行求解即可． 【详解】（1）解：当时，点表示的数为，点表示的数为， 线段的长为． （2）点与点关于原点对称， ， 解得， 点表示的数为． 70．如图，． (1)若，求证：是的角平分线； (2)若，求的度数． 【答案】(1)证明见详解 (2) 【分析】本题主要考查了角的和差，角平分线的判定，列一元一次方程解决几何问题，解题的关键是掌握角的和差运算． （1）先求出的度数，再求出的度数即可得出结论； （2）假设，利用，列出方程求解即可． 【详解】（1）证明：， ， ∴是的角平分线； （2）解：假设，则，根据题意得， , 即， 解得， ∴的度数为． 题型十五 动点问题 71．在数轴上，点A，B在原点O的两侧，分别表示数a，2，将点A向右平移2个单位长度，得到点C．若点C到A、B两个点的距离相等，则a的值为（    ） A．0 B． C． D．1 【答案】C 【分析】本题考查数轴上两点间距离，先用含a的式子表示出点C表示的数，再根据点C到A、B两个点的距离相等，列方程，解方程即可． 【详解】解：将点A向右平移2个单位长度，得到点C， 点C表示的数为， 点C到A、B两个点的距离相等， ， 解得， 故选C． 72．如图所示，的边上有一动点P从距离O点的点M处出发，沿M→O→B方向运动，速度为；动点Q从O点出发，沿射线运动，速度为．P，Q同时出发，设运动时间是t（s），当点P追上点Q时t的值为（   ） A．2 B．3 C．6 D．9 【答案】C 【分析】本题考查一元一次方程的实际应用．由题意可知点P在上，根据题意可列出关于t的等式，解出t即可． 【详解】解：根据题意可知点P在上，则点P表示的数为，点Q表示的数为， ∴， 解得：． 故当t的值为6时，点P追上点Q． 故选：C． 73．数轴上的点对应的数是，一只蚂蚁从点出发，沿数轴的正方向以每秒2个单位长度的速度爬行，当它到达数轴上的点后，立即原路原速返回点，共用去11秒，点对应的数是 ． 【答案】8 【分析】本题考查数轴、数轴上两点间的距离公式，设点对应的数为，则、两点间的距离为，根据“2 倍的距离”列出方程，求解即可； 【详解】解：∵一只蚂蚁从点出发沿着数轴以每秒 2 个单位长度的速度爬行，当它到达数轴上的点后，立即沿原路原速返回点，共用去 11 秒， ∴蚂蚁爬行的路程为（个单位长度）， 设点对应的数为， 则、两点间的距离为， 由题意得：， 解得：或， ∵沿数轴的正方向运动， ∴点对应的数为8． 故答案为：8． 74．如图，在数轴上点表示数，点表示数，点表示数，是最小的正整数，且、满足． (1) ， ， ． (2)动点、同时从原点出发，点向负半轴运动，点向正半轴运动，点的速度是点速度的3倍，2秒钟后，点到达点． ①点的速度是每秒 个单位，此时，点与之间的距离为 ； ②若运动时间为秒，用含的代数式表示点表示的数为 ； ③点到达点后，改变方向，按原速度向负半轴方向运动，再经过几秒，点与点能相遇？ 【答案】(1)，1，6 (2)①3，8；②；③秒 【分析】（1）由绝对值非负性、平方非负性，结合非负数和为零的条件列方程求解即可得到答案； （2）①根据数轴上点的运动情况计算即可得到答案；②由题意直接求解即可得到答案；③根据题意，当点到达点时，点到达点，设再经过秒钟，点与点能相遇，由相遇问题列方程求解即可得到答案． 【详解】（1）解：，，且， ，， ，， 为最小的正整数， ， 故答案为：，1，6； （2）解：①点走过的路程为2，时间为2，， 速度为1个单位长度每秒， 点的速度是点的速度的3倍， 点的速度为3个单位长度每秒，此时点运动到点， 间距离为8个单位长度， 故答案为：3，8； ②动点从原点出发，向负半轴运动，速度为1个单位长度每秒，若运动时间为秒， 用含的代数式表示点表示的数为， 故答案为：； ③由题意可知，当点到达点时，点到达点， ， 设再经过秒钟，点与点能相遇， 则，解得， 再经过秒钟，点与点能相遇． 【点睛】本题考查数轴上动点综合问题，涉及绝对值非负性、平方非负性、非负数和为零的条件、数轴表示有理数、数轴上的动点问题、相遇问题等知识，掌握数轴上动点综合问题的解法是解决问题的关键． 75．数轴是一个非常重要的数学工具，它使数和数轴上的点建立起对应关系，揭示了数与点之间的内在联系，它是“数形结合”的基础．小明在草稿纸上画了一条数轴进行操作探究： 操作一：（1）如图1，在数轴上，三个有理数从左到右依次是，利用刻度尺或圆规，在数轴上画出原点O； 操作二：（2）折叠这条数轴所在纸面，若使表示的点与数3表示的点重合，数m表示的点与数表示的点重合，则 ； 【答案】（1）图见解析（2）2025 【分析】本题考查了有理数和数轴的关系，及数轴上的折叠变换问题，一元一次方程的应用，理解题意是解题的关键． （1）根据相距一个单位，故原点O在右边一个单位处，利用刻度尺测量即可得出答案； （2）根据对称性可列出方程计算即可． 【详解】解：（1）相距一个单位，故原点O在右边一个单位处， 如图，原点O即为所求； （2）由折叠可知： ， 解得； 故答案为：2025． 题型十六 和差倍分问题 76．书画院中硬笔书法班比软笔书法班多24人，硬笔书法班的人数是软笔书法班的1.8倍，软笔书法班和硬笔书法班各有多少人？（列方程解答） 【答案】软笔书法班有30人，硬笔书法班有54人 【分析】本题考查了列方程解应用题，设软笔书法班有x人，则硬笔书法班有1.8x人，根据“硬笔书法班比软笔书法班多24人”列方程求解即可． 【详解】解：设软笔书法班有x人，则硬笔书法班有1.8x人． 硬笔书法班：（人） 答：软笔书法班有30人，硬笔书法班有54人． 77．有甲、乙两个粮库，原来甲粮库存粮的吨数是乙粮库的．如果从乙粮库调10吨粮食到甲粮库，这时甲粮库存量的吨数就是乙粮库的．原来乙粮库存量多少吨？ 【答案】吨 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，先设原来乙粮库存量吨，结合原来甲粮库存粮的吨数是乙粮库的，得原来甲粮库存粮吨，根据从乙粮库调10吨粮食到甲粮库，这时甲粮库存量的吨数就是乙粮库的，进行列式，再计算，即可作答． 【详解】解：设原来乙粮库存量吨， 则原来甲粮库存粮吨， 依题意，， 整理得， 解得， ∴原来乙粮库存量吨． 78．甲队原有工人68人，乙队原有工人44人，现又有42名工人调入这两队，为了使乙队人数是甲队人数的，应调往甲、乙两队各多少人？ 【答案】应调往甲队为20人，调往乙队为22人 【分析】本题考查了一元一次方程的应用：解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找到关键描述语，找出合适的等量关系，列出方程，再求解． 乙队的人数是甲队人数的，相应的等量关系为：甲队现人数乙队现人数．依此列出方程求解即可． 【详解】解：设应调往甲队人，则乙队为人， 根据题意得：， 解得：． ∴． 答：应调往甲队为20人，调往乙队为22人． 79．根据下列问题，设未知数并列出方程： 有两条电线，第一条长，第二条长．要从第一条截下一段接在第二条上，使两条电线长度相等．求截下的那段电线的长度（两条电线接头部分的长度忽略不计）． 【答案】截下的那段电线的长度为 【分析】本题考查一元一次方程的实际应用，正确地列出方程是解题的关键．设截下的那段电线的长度为，根据题意，列出方程进行求解即可． 【详解】解：设截下的那段电线的长度为，由题意，得：， 解得：， 答：截下的那段电线的长度为． 80．列一元一次方程解决实际问题（两问均需用方程求解） 第19届亚洲夏季运动会于2023年9月23日在杭州举行，象征杭州三大世界文化遗产的吉祥物“宸宸”“琮琮”“莲莲”通过不同色彩、不同纹饰向世界讲述“江南忆”的美丽故事．现有工厂生产吉祥物的盲盒，分为A、B两种包装，该工厂共有1000名工人． (1)若该工厂生产盲盒A的人数比生产盲盒B的人数的2倍少200人，请求出生产盲盒A的工人人数； (2)为了促销，工厂按商家要求生产盲盒大礼包，该大礼包由2个盲盒A和3个盲盒B组成．已知每个工人平均每天可以生产20个盲盒A或10个盲盒B，且每天只能生产一种包装的盲盒．该工厂应该安排多少名工人生产盲盒A，多少名工人生产盲盒B才能使每天生产的盲盒正好配套？ 【答案】(1)生产盲盒A的工人人数为600人； (2)该工厂应该安排250名工人生产盲盒A，750名工人生产盲盒B才能使每天生产的盲盒正好配套． 【分析】本题主要考查了一元一次方程的应用，根据等量关系，列出方程是解题的关键． （1）设生产盲盒B的工人人数为x人，则生产盲盒A的工人人数为人，根据该工厂共有1000名工人，列出方程，解方程即可； （2）设安排m人生产盲盒A，则安排人生产盲盒B，根据2个盲盒A和3个盲盒B组成，列出方程，解方程即可． 【详解】（1）解：设生产盲盒B的工人人数为x人，则生产盲盒A的工人人数为人， 由题意得：， 解得：， ∴， 答：生产盲盒A的工人人数为600人； （2）解：设安排m人生产盲盒A，则安排人生产盲盒B， 由题意得：， 解得：， ∴， 答：该工厂应该安排250名工人生产盲盒A，750名工人生产盲盒B才能使每天生产的盲盒正好配套． 题型十七 水电费问题 81．某地实行阶梯电价，第一档电量为每月不超过200度，每度电0.5元；第二档电量为每月超过200度但不超过400度的部分，每度电0.6元；第三档电量为每月超过400度的部分，每度电0.8元．若某用户一个月缴电费260元，求该用户这个月的用电量． 【答案】该用户这个月用了450度电 【分析】本题考查一次函数的应用，理解题意、根据档次标准写出函数关系式和列方程是解题的关键．分别计算第一档、第二档电费的上限并与260相比较，从而确定该用户这个月用电量所在的档次；设该用户这个月用了a度电（），根据第三档的标准列方程并求解即可． 【详解】解：当用电量为200度时，电费为（元），； 当用电量为400度时，电费为，； ∴该用户这个月用电量在第三档． 设该用户这个月用了a度电（）． 根据题意，得， 解得， ∴该用户这个月用了450度电． 82．为鼓励居民节约用水，自来水公司规定：每户每月用水量在15吨以内（含15吨）按每吨元收费，超过15吨的部分按每吨元收费．小明家上个月交水费28元，他家上个月的用水量是多少吨？ 【答案】他家上个月的用水量是吨 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，先结合在15吨以内（含15吨）按每吨元收费，算出，故小明家上个月用水量超过15吨，再设他家上个月的用水量是吨，然后列出方程，再解出，即可作答． 【详解】解：依题意，， ∴小明家上个月用水量超过15吨， 设他家上个月的用水量是吨， ∴， 解得， 即他家上个月的用水量是吨． 83．为鼓励居民节约用电，我区实行居民生活用电按阶梯标准收费，具体收费标准如下： 一户居民一个月用电量（单位：度） 电价（单位：元/度） 第1档 不超过160度的部分 第2当 超过160度的部分 (1)若某户6月份用电量为140度，该户应交电费多少元？ (2)若某户10月份用电量为度，请用含的式子分别表示和时该户10月应交电费多少元． (3)若某户12月份应交电费128元，则该户12月用电量为多少度？ 【答案】(1)70元 (2)当时，电费为元；当时，电费为元 (3)240度 【分析】本题主要考查分段收费，理解数量关系，掌握分段收费的计算方法，一元一次方程解实际问题的方法是解题的关键． （1）运用不超过160度的部分的单价与用电量乘积即可； （2）当时，由（1）的方法即可即可；当时，运用不足部分的费用与超过部分的费用的和； （3）根据题意可得用电量超过160度，由（2）的计算方法即可求解． 【详解】（1）解：（元）， 答：该户应交电费70元； （2）解：当时，该户10月应交电费为元， 当时，该户10月应交电费为： （元）； （3）解：， ， 解得：， 答：该户12月用电量为240度． 84．为鼓励居民节约用电，某市电力公司采用分段计费方式计算电费：每月用电不超过180度时，按每度元计费：每月用电超过180度但不超过280度时，其中的180度仍按原标准收费，超过部分按每度元计费．收费标准如表： 用电量 不超过180度 超过180度但不超过280度的部分 超过280度的部分 收费标准（元/度） (1)若小明家每月交电费y元，每月用电量为x度，用含x的代数式表示电费y为 ①当时，_______； ①当时，_______； ③当时，_______； (2)小明家当月交电费132元，求小明家当月用电多少度？ (3)采用分段计费制度后，小明家月用电量为多少度时，其当月的平均电价为元/度？ 【答案】(1)；；； (2)250 (3)296 【分析】本题考查一次函数的应用，考查分段函数，确定函数解析式是关键． （1）根据“第一档：每月用电不超过180度时，按每度元计费；第二档：每月用电超过180度但不足280度时，其中超过部分按每度元计费，第二档：超过180度时，其中超过部分按每度元计费”，据此列出相遇函数关系式即可； （2）根据（1）的结论；由交电费132元可知在第二档，代入解析式可得用电量． （3）根据（1）的结论；当月的平均电价为元/度可知在第三档，代入解析式可得用电量． 【详解】（1）解：（1）根据题意得： 当时， ， 当时， ， 当时， ， 故答案为：；；； （2）解：小明家当月交电费132元，可知用电量超过180度但不超过280度． 由代入， 解得：． ∴小陈家第三季度用电250度． （3）解：当电量不超过180度，平均电价为元/度， 当电量为280度时，平均电价 ∴当月的平均电价为元/度时，用电量大于280度 设：小明家月用电量为度时，其当月的平均电价为元/度． 经检验，是一元一次方程的解． 答：小明家月用电量为296度时，其当月的平均电价为元/度 85．为鼓励居民节约用电，某地对居民用户用电收费标准作如下规定：每户每月用电不超过100度，那么每度按元收费；如果超过100度不超过200度，那么超过的部分每度按元收费；如果超过200度，那么超过的部分每度按元收费． (1)若居民甲在9月份用电80度，则他这个月应缴纳电费 元；若居民乙在10月份用电180度，则他这个月应缴纳电费 元． (2)若居民丙在11月份用电260度，则他这个月应缴纳电费多少 元？ (3)若某户居民丁在某个月份用电x度，思考并回答： 当x不超过100度，需交电费 元；当x超过100度不超过200度，需交电费 元；如果超过200度，需交电费 元（用含有x的式子表示）； (4)若某户居民丁在12月份缴纳电费310元，那么他这个月用电多少度？列出式子并解决问题． 【答案】(1)40，102 (2)160 (3)，， (4)居民丁12月用电460度，见解析 【分析】本题考查一元一次方程的应用，理解题意，正确列出代数式是解题的关键． （1）根据某地对居民用户用电收费标准作如下规定列式即可求出答案； （2）根据某地对居民用户用电收费标准作如下规定列式即可求出答案； （3）根据某地对居民用户用电收费标准作如下规定列式并化简即可求出答案； （4）先判断出居民丁在12月份用电范围，再列方程即可解决问题． 【详解】（1）解：， ∴居民甲9月份应缴纳电费：（元）， ， ∴居民乙10月份应缴纳电费：（元）， 故答案为：40，102； （2）， ∴居民丙11月份应缴纳电费：（元）， 故答案为：160； （3）当x不超过100度，需交电费：元； 当x超过100度不超过200度，需交电费：（元）， 如果超过200度，需交电费：（元）， 故答案为：，，； （4）由（2）可知，该月用电超过200度， 故， 解得， 答：居民丁12月用电460度． 题型十八 日历问题 86．把正奇数、…、、排成如图所示的数阵，规定从上到下依次为第1行、第2行、第3行、…，从左到右依次为第1列、第2列、第3列、…． (1)①数阵中共有　　　个数，数在第　　　　行第　　　　列． ②图表中第n行第7列的数可用n表示为　　　　． (2)按如图所示的方法用一个“L”形框框住相邻的三个数，设被框的三个数中最小的一个数为x，是否存在这样的x使得被框的三个数的和等于？若存在，求出x的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)①；② (2)不存在，理由见解析 【分析】本题考查了解一元一次方程、列一元一次方程解应用题，掌握用代数式表示数阵中的数是关键． （1）①由第m个正奇数可表示为即可求解；②从第1行第1个数到第n行第7列的数共有个数，所以第n行第7列的数是； （2）列方程求解，即可判断． 【详解】（1）解：①第m个正奇数可表示为， 由得，所以数阵中共有个数； 由得，即为第个数， ， 所以数在第行第列， 故答案为：； ②因为每行有8个数， 所以从第1行第1个数到第n行第7列的数共有个数， 所以第n行第7列的数是， 故答案为：； （2）解：不存在，理由如下： ∵被框的三个数中最小的一个数为x， 所以， 解得， 由得， （行）， 可见是数阵中第行的第8个数，所以“L”形框框不出这样的三个数， 所以不存在这样的x使得被框的三个数的和等于． 87．如图是2023年8月的月历： (1)图1和图2在月历中框出4个代表日期的数，请用一个等式表示a、b、c、d之间的关系； (2)已知本月框出的4个代表日期的数字之和是88，那么最小的日期对应的是星期几？ 【答案】(1) (2)星期五 【分析】本题考查看来日历的实际问题，列代数式表达式以及整式的加法运算， （1）先根据题意，得，即； （2）把，代入，化简计算，即可作答． 【详解】（1）解：依题意，， 那么 故a、b、c、d之间的关系为； （2）解：设最小的日期为，则记， 依题意， ∵ ∴把，代入 得 解得 ∴时，所对应是星期五 88．将连续的自然数按下图方式排成一个长方形，框出一个“V”形阵列，若将“V”形阵列上下左右移动，可框出另外五个数．    (1)如果设其中最大的数为，可用代数式表示“V”形阵列中5个数之和； (2)要使框出的5个数之和等于2023，这是否可能？试说明理由． 【答案】(1) (2)不可能；理由见解析 【分析】本题主要考查了列代数式，一元一次方程的应用； （1）根据题目中数字规律，列出代数式； （2）根据题意得出，求出，再求出在第59行第7列，即可求出结果． 解题的关键是熟练掌握数字规律，列出方程． 【详解】（1）解：设“”形阵列中最大的数为， 则其它四个数分别为：，，，， 则“”形阵列中五个数的和可表示为： ． （2）解：当， 解得：， ，所以，“”形阵列中最大的数413在第59行第7列， 由此可得，框出的这5个数之和不可能是2023． 89．如图是2023年八月份的日历： (1)若将“”形框上下左右移动，可框住另外七个数，若设“”形框中的个数中最中间一个数是，请用含的代数式由小到大依次表示出“”形框中的其余个数； (2)请问“”形框能否框到七个数，使这七个数之和等于？若能，请由小到大依次写出这七个数；若不能，请说明理由． 【答案】(1)其余6个数分别为：、、、、、 (2)能，这7个数分别为：15、17、22、23、24、29、31 【分析】本题考查了列代数式及一元一次方程的应用： （1）观察图中，其余6个数与最中间一个数的数量关系即可求解； （2）根据（1）中所得的7个数分别为：、、、、、、，根据数量关系列出方程161，解出即可求解； 观察图中，准确得出其余6个数与最中间一个数的数量关系是解题的关键． 【详解】（1）根据题意可得： “”形框中的其余个数分别为：、、、、、． （2）能； 理由：根据（1）中所得的7个数分别为：、、、、、、， 则， 解得：， 这7个数分别为：15、17、22、23、24、29、31． 90．如图1是某月的月历 如图2所示的三种方格框（方格框①、方格框②、方格框③），可以框住日历中的三个数，设被这三种方格框框住的三个数中最大的数都为x． (1)请用含x的式子表示： 第①个方格框中框住的三个数从小到大依次是______，______，x； 第②个方格框中框住的三个数从小到大依次是______，______，x； 第③个方格框中框住的三个数从小到大依次是______，______，x； (2)设第①个方格框中三数之和为，第②个方格框中三数之和为，第③个方格框中三数之和为，是否存在这样的x，使得？若能，请求出，，的值；若不能，请说明理由． 【答案】(1)，；，；， (2)存在这样的x，使得，，， 【分析】本题考查了一元一次方程的应用以及列代数式： （1）根据三种方格框框住日历中的三个数间的关系，可用含x的代数式表示出三种方格框中的数，即可作答； （2）由（1）知，可用含x的代数式表示出，，，结合，可得出关于x的一元一次方程，解之可求出x的值，结合该值所在的位置，可得出存在这样的x，使得，再分别将其代入，，中，即可求出结论． 解题的关键是：（1）根据各数之间的关系，用含x的代数式表示出三种方格框中的各数；（2）找准等量关系，正确列出一元一次方程． 【详解】（1）解：根据题意得：第①个方格框中框住的三个数从小到大依次是，，； 第②个方格框中框住的三个数从小到大依次是，，； 第③个方格框中框住的三个数从小到大依次是，，； （2）解：由（1）可得： ， ， ， ∵， ∴， 解得：， ∵在第四行第五列，符合题意， ∴存在这样的x，使得， ∴， ， ． 所以存在这样的x，使得，此时，，． 基础巩固通关测 1．（2025·河北沧州·模拟预测）如图，在编写数学谜题时，“□”内要求填写同一个数字，若设“□”内数字为t，则列出方程正确的是（    ）    A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了由实际问题抽象出一元一次方程．由给定的乘法竖式，即可得出关于的一元一次方程，此题得解． 【详解】解：依题意得：． 故选：B． 2．（2025·河北沧州·模拟预测）如图，表中给出的是某月的月历，任意选取“U”型框中的7个数（如阴影部分所示），请你运用所学的数学知识来研究，发现这7个数的和不可能是（   ） A．105 B．77 C．98 D．56 【答案】D 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键．设这个数中最小的数为，则这个数的和为，分别代入各选项中的数，解之可得出的值，结合为整数，即可得出结论． 【详解】解：设这个数中最小的数为，则另外个数分别为，，，，，， 这个数的和为． A．根据题意得：， 解得：， ∵在第2列，符合题意，选项A不符合题意； 这个数的和可以是 B．根据题意得：， 解得：， ∵2在第五列， 这个数的和可以是，选项B不符合题意； C．根据题意得：， 解得：， ∵在第1列， 这个数的和可以是，选项C不符合题意；； D．根据题意得：， 解得：，不符合题意， 这个数的和不可以是，选项符合题意； 故选：D． 3．（24-25七年级上·河北邢台·阶段练习）把方程的分母化为整数的方程是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】此题考查了解一元一次方程，方程利用分数的基本性质化简，整理即可得到结果． 【详解】解：把方程的分母化为整数的方程是． 故选：C． 4．（24-25七年级上·河北沧州·期末）如果是五次单项式，则n的值为（    ） A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】C 【分析】此题主要考查了单项式，正确把握单项式的次数确定方法是解题关键．单项式中所有字母的指数和是单项式的次数，直接利用单项式的次数确定方法分析得出答案． 【详解】解：由题意可得：， 解得：． 故选：C． 5．（24-25七年级上·河北邯郸·期末）给出一个一元一次方程的解题过程： 上述解题过程，没有应用等式性质的是（   ） A．① B．② C．③ D．④ 【答案】C 【分析】本题主要考查了等式的基本性质的应用， 根据等式的基本性质解答每一步，再判断即可． 【详解】解：第①步，根据等式的基本性质1，等式两边都乘以10，所以不符合题意； 第②步，根据等式的基本性质1，等式的两边减去，所以不符合题意； 第③步，根据整式的加减法法则计算，所以符合题意； 第④步，根据等式的基本性质2，等式的两边除以3，所以不符合题意． 故选：C． 6．（24-25七年级上·山东潍坊·期末）我国古代著作《增删算法统宗》中记载了一首古算诗：“林下牧童闹如簇，不知人数不知竹．每人六竿多十四，每人八竿少二竿．”其大意是：牧童们在树下拿着竹竿高兴地玩耍、不知有多少人和竹竿．若每人6竿，则多14竿；若每人8竿，则少2竿． 甲、乙两位同学分别给出自己的解法： 甲：设竹竿有竿，根据题意可列方程； 乙：设牧童有人，根据题意可列方程． 下列判断正确的是（   ） A．甲、乙都正确 B．甲正确，乙错误 C．甲错误，乙正确 D．甲、乙都错误 【答案】A 【分析】本题考查一元一次方程的应用，分别设出不同的未知数，列出方程后判断即可． 【详解】解：设竹竿有竿，根据题意可列方程 设牧童有人，根据题意可列方程． 所以两位同学的方程均正确， 故选：A． 7．（24-25七年级上·河北秦皇岛·期末）幻方历史悠久，传说最早出现在夏禹时代的“洛书”中，幻方是把数字填在正方形格子中，使每行、每列以及对角线上的3个数的和相等，如图所示的幻方中，其中的“”对应的数是（    ） 0 A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，根据每行、每列以及对角线上的3个数的和相等，得出，再解出a的值，即可作答． 【详解】解：∵每行、每列以及对角线上的3个数的和相等， ∴， ∴解得， 故选：B． 8．（24-25七年级上·河北秦皇岛·期末）老师留了一道作业题：幼儿园小朋友分苹果，如果每人分2个，则苹果多8个；如果每人分3个，则苹果少12个．问有多少个苹果？多少个小朋友？ 小明是这样做的： 解：设有x个小朋友． 当时 答：有20个小期友，48个苹果 小芳是这样做的： 解：设有x个苹果． 当时 答：有18个小朋友，44个苹果. 下列说法正确的是（   ） A．二人所列方程都正确，但小明结果正确，小芳结果错误 B．二人所列方程都正确，但小明结果错误，小芳结果正确 C．小明所列方程正确，小芳所列方程错误 D．小明所列方程错误，小芳所列方程正确 【答案】A 【分析】本题主要考查了一元一次方程的应用，根据等量关系列出方程是解题的关键．设有x个小朋友，根据苹果个数列出方程，解方程即可；设有x个苹果，根据小朋友人数列出方程，解方程即可． 【详解】解：做法一： 设有x个小朋友，根据题意得： ， 解得：， 当时， 答：有20个小期友，48个苹果； 做法二： 解：设有x个苹果，根据题意得： ， 解得：， 当时 答：有20个小朋友，48个苹果； ∴二人所列方程都正确，但小明结果正确，小芳结果错误， 故选：A． 9．（25-26七年级上·河北保定·阶段练习）如图，在数轴上表示，的两个点相距个单位长度，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了数轴上两点间的距离，一元一次方程的应用，根据数轴上两点间的距离公式得，然后求出的值即可，掌握知识点是解题的关键． 【详解】解：由图可知：在右侧， ∴， 解得：， 故答案为：． 10．（25-26七年级上·河北唐山·阶段练习）如图，点依次排列在数轴上，点表示的数分别为、，且． （1） ； （2）点表示的数是 ． 【答案】 【分析】此题主要考查了数轴上两点之间的距离，绝对值的几何意义，一元一次方程的应用，掌握知识点的应用是解题的关键． （）根据数轴上两点之间的距离即可求解； （）设点表示的数是，得出，然后求的值即可． 【详解】解：（）， 故答案为：； （）设点表示的数是， ∴， ∴， ∴点表示的数是， 故答案为：． 11．（24-25七年级上·河北唐山·期末）若是关于x的方程的解，则 ． 【答案】9 【分析】本题主要考查了一元一次方程的求解，理解方程的解的定义是解题的关键．将解代入原方程得到关于a的一元一次方程求解即可． 【详解】解：∵是关于x的方程的解， ∴， 解得：． 故答案为：9． 12．（24-25七年级上·广东韶关·期中）已知方程是关于一元一次方程，则的值是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了一元一次方程的定义和绝对值，正确把握相关定义是解题关键．由题意可知且，计算求解即可． 【详解】解：根据一元一次方程的定义可知，且， 解得且． ． 故答案为：． 13．（24-25七年级上·河北秦皇岛·期末）哥哥8岁，妈妈32岁，弟弟年龄的16倍加上哥哥的年龄正好等于爸爸的年龄，弟弟年龄的4倍加上妈妈的年龄也恰好等于爸爸的年龄，那么弟弟的年龄是多大？ 解：设弟弟的年龄为x岁，则有： 嘉嘉同学的解法：移项得： 合并同类项得：，系数化为1得： 琪琪同学的解法：移项得：，， 两边同除以，得： （1）弟弟的年龄是 岁． （2）琪琪得出错误的结论的原因是 ． 【答案】 忽略了 【分析】本题考查的是一元一次方程的应用及其解法； （1）根据嘉嘉同学的解法可得答案； （2）根据等式的基本性质：等式两边都除以同一个不为0的数或整式，所得的结果仍然是等式，从而可得答案． 【详解】解：（1）设弟弟的年龄为x岁，则有： 移项得： 合并同类项得：， 系数化为1得： 故答案为：； （2）∵只有当时，两边才能同除以； ∴琪琪得出错误的结论的原因是：忽略了． 故答案为：忽略了． 14．（24-25七年级上·河北唐山·期末）嘉淇在解关于x的一元一次方程时，误将看作，得方程的解为，则a的值为 ． 【答案】 【分析】把代入方程中解答即可． 本题考查了一元一次方程的解，解方程，熟练掌握解方程的基本方法是解题的关键． 【详解】解：根据题意，得是方程的解， 故， 解得． 故答案为：． 15．（24-25七年级上·河北秦皇岛·期末）解方程 (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查解一元一次方程，掌握去分母，去括号，移项，合并同类项，系数化为1的方法是解题的关键． （1）移项，合并同类项，系数化为1即可求解； （2）去分母，去括号，移项，合并同类项，系数化为1即可求解． 【详解】（1）解：， 移项，得： 合并同类项，得： 将的系数化为1，得； （2）解：， 去分母，得 去括号，得 移项合并，得 将的系数化为1，得． 16．（24-25七年级上·河北秦皇岛·期末）某校七年级学生进行一次徒步活动，师生以的速度从学校出发，后，琪琪骑自行车前往追赶．如果琪琪以的速度骑行，那么琪琪要用多长时间才能追上队伍？此时队伍已行走了多远？ 【答案】琪琪要用小时才能追上队伍，此时队伍已行走了2千米 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，设琪琪需要小时才能追上队伍，根据根据琪琪追上队伍时与队伍走的路程相等列方程求解即可． 【详解】解：设琪琪需要小时才能追上队伍，根据题意，得 解这个方程，得 此时队伍行走： 答：琪琪要用小时才能追上队伍，此时队伍已行走了2千米． 17．（24-25七年级上·河北保定·期末）在学习“解一元一次方程”之后，老师在黑板上出了一道解方程的题，下面是某同学的解题过程，请仔细阅读并完成相应的任务． ． 解：，……………………第一步 ，……………………第二步 ，……………………第三步 ，……………………第四步 ．……………………第五步 任务． (1)以上解题过程中，第一步变形的依据是________． (2)以上解题过程中，从第________步开始出现错误． (3)求该方程的正确解． 【答案】(1)等式的性质2（等式两边乘同一个数或除以同一个不为0的数，结果仍相等） (2)二； (3) 【分析】本题考查的是一元一次方程的解法，掌握解法步骤与方法是关键； （1）根据方程两边都乘以，可得依据是等式的性质2； （2）根据去括号没有注意符合，以及出现漏乘可得答案； （3）先去分母，再去括号，移项，合并同类项，最后把未知数的系数化为1即可． 【详解】（1）解：第一步变形的依据是： 等式的性质2．（等式两边乘同一个数或除以同一个不为0的数，结果仍相等） （2）解：以上解题过程中，从第二步开始出现错误； （3）解：， 去分母，得， 去括号，得， 移项，得， 合并同类项，得， 系数化为1，得． 18．（24-25七年级上·河北保定·期末）匹克球融合了羽毛球、乒乓球和网球的元素，是一项既有趣又有益的运动．某校七年级举行匹克球比赛，每个班级均比赛8场，前三名班级的积分榜信息（比赛无平局）如下表． 名次 班级 场次 胜场 负场 积分 1 （1）班 8 8 0 24 2 （5）班 8 6 2 a 3 （7）班 8 4 4 16 (1)从表中信息可以看出，胜一场积________分，负一场积________分，a的值为________． (2)若某班的总积分为14分，求该班的胜场次数．（列一元一次方程解决问题） (3)嘉嘉说他们班的总积分为11分，你认为可能吗？请说明理由． 【答案】(1)3；1；20 (2)3 (3)不可能，理由见解析 【分析】本题考查一元一次方程的应用． （1）根据（1）班可以求得胜场积分，再根据（7）班即可求得负场积分，然后计算（5）班的积分即可得a的值； （2）根据题意可知，胜场积分负场积分总积分，可以列出相应的方程，然后求解即可； （3）根据题意可知，胜场积分+负场积分=总积分，可以列出相应的代数式，然后判断即可． 【详解】（1）解：由（1）班的成绩可知：胜一场得（分）， 由（7）班的成绩可知：负一场积分为（分）， ∴（5）班的积为为：（分）， 故答案为：2；1；20； （2）解：设该班级胜场次数为x， 由题意可得：， 解得， 答：该班级胜场次数为3； （3）解：不可能，理由如下： 设嘉嘉他们班胜场次数为y，则总积分为， ∵y为整数， ∴一定为偶数， 故不可能为11分． 19．（24-25八年级上·河北张家口·期中）用同样规格的黑白两种颜色的正方形瓷砖，按如图的方式铺地面：    (1)观察图形，填写下表: 图形 （1） （2） （3） （n） 黑色瓷砖的块数 4 7 黑白两种瓷砖的总块数 15 25 (2)白色瓷砖的块数可能比黑色瓷砖的块数多块吗？若能，求出是第几个图形；若不能，请说明理由． 【答案】(1)10，35；， (2)能，第503个图形 【分析】（1）结合图形，以及结合第一个图形、第二个图形、第三个图形的黑色瓷砖，黑白两种瓷砖的总块数，得出 第n个图形中需要黑色瓷砖块，黑白两种瓷砖的总块数为块，即可作答； （2）根据白色瓷砖的块数可能比黑色瓷砖的块数多2015块列出方程，解方程即可． 【详解】（1）解：依题意， 第一个图形有黑色瓷砖块，黑白两种瓷砖的总块数为块； 第二个图形有黑色瓷砖块，黑白两种瓷砖的总块数为块； 第三个图形有黑色瓷砖块，黑白两种瓷砖的总块数为块； 第n个图形中需要黑色瓷砖块，黑白两种瓷砖的总块数为块； 图形 （1） （2） （3） （n） 黑色瓷砖的块数 4 7 10 黑白两种瓷砖的总块数 15 25 35 （2）解：能，第503个图形，理由如下： 根据题意可得：， 解得：， 答：第503个图形． 20．（24-25七年级上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）甲仓库有水泥100吨，乙仓库有水泥80吨，要全部运到A、B两工地，已知A工地需要70吨，B工地需要110吨，甲仓库运到A、B两工地的运费分别足140元/吨和150元/吨，乙仓库运到A、B两工地的运费分别是200元/吨和80元/吨，本次运水泥总运费需要25900元. (1)设甲仓库运到A工地的水泥为x吨，请在下面表格中用x表示出其它未知量： 甲仓库 乙仓库 A工地 x B工地 (2)用含x的式子表示运送甲仓库100吨水泥的运费为__________元（写出化简后的结果）； (3)求甲仓库运到A工地的水泥的吨数. 【答案】(1)； (2) (3)30吨 【分析】此题考查了一元一次方程的应用，列代数式，整式加减运算，弄清题意找到相等关系是解本题的关键． （1）根据题意填写表格即可； （2）根据表格中的数据，以及已知的运费表示出总运费即可； （3）根据本次运送水泥总运费需要25900元列方程化简即可． 【详解】（1）解：（1）设甲仓库运到工地水泥的吨数为吨，则运到地水泥的吨数为吨， 乙仓库运到工地水泥的吨数为吨，则运到地水泥的吨数为吨， 补全表格如下： 甲仓库 乙仓库 工地 工地 故答案为：；； （2）解：运送甲仓库100吨水泥的运费为； 故答案为：； （3）解：， 整理得：． 解得 答：甲仓库运到工地水泥的吨数是30吨． 能力提升进阶练 21．（24-25七年级上·河北邯郸·期中）李颖的答卷如图所示，她的得分应是（   ） 姓名：李颖 得分？ 填空（每小题2分，共10分） （1）比较大小：＜． （2）倒数等于本身的数是1． （3）是方程的解，那么． （4）多项式的次数是3． （5）整式去括号后是 A．4分 B．6分 C．8分 D．10分 【答案】A 【分析】本题主要考查了有理数比较大小的法则，倒数的意义，方程的解，多项式的次数的定义和去括号的法则，利用有理数比较大小的法则，倒数的意义，方程的解，多项式的次数的定义和去括号的法则对每个小题进行判断即可得出结论． 【详解】解：（1）∵， ∴（1）的解答错误； （2）∵倒数等于本身的数是1或， ∴（2）的解答错误； （3）∵是方程的解， ∴ ∴ ∴（3）的解答正确； （4）∵多项式的次数是2， ∴（4）的解答不正确； （5）∵整式去括号后是， ∴（5）的解答正确． 综上，解答正确的个数为2，她的得分应4分． 故选：A． 22．（24-25七年级下·河北保定·期中）我国古代数学著作《九章算术》中有一道“以绳测井”的题：以绳测井，若将绳三折测之，绳多四尺；若将绳四折测之，绳多一尺，井深几何？这道题大致意思是：用绳子测量水井深度，如果将绳子折成三等份，那么每等份井外余绳四尺；如果将绳子折成四等份，那么每等份井外余绳一尺，问井深多少尺？下列说法正确的是（   ） A．设井深为尺，所列方程为 B．设绳子的长为尺，所列方程为 C．绳子的长是32尺 D．井深8尺 【答案】D 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，根据题意正确列出方程是解题的关键． 根据题意列方程求解，逐项判断即可． 【详解】解：设井深尺， 根据题意得， 故选项A错误，不符合题意； 解得：， 井深8尺， 故选项D正确，符合题意； ， 绳子的长是尺， 故选项C错误，不符合题意； 设绳子的长为尺，根据题意得， 故选项B错误，不符合题意； 故选：D． 23．（2025·河北秦皇岛·一模）《九章算术》第六章“均输”中有这样一个问题：今有空车日行八十里，重车日行六十里；今载太仓粟输上林，五日三返，问太仓去上林几何?译文如下：有人用车把米从太仓运到上林，空车时每天行驶80里，装米时每天行驶60里，载货去，空车返回，5天往返3次．问太仓到上林的距离是 （   ） A．里 B．里 C．里 D．里 【答案】A 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，找准等量关系，正确建立方程是解题关键．设太仓到上林的距离是里，根据题意可得往返1次的时间为天，再根据5天往返3次建立方程，解方程即可得． 【详解】解：设太仓到上林的距离是里， 由题意得：， 解得， 即太仓到上林的距离是里， 故选：A． 24．（2025·河北·模拟预测）为弘扬中华优秀传统文化，某校组织了传统文化知识竞赛，共设20道选择题，各题分值相同，每题均为必答题．下表统计了3名参赛学生甲，乙，丙的得分情况，则另一名参赛学生丁的得分可能是（    ） 参赛学生 答对题数 答错题数 得分/分 甲 20 0 100 乙 18 2 88 丙 10 10 40 A．54分 B．64分 C．78分 D．93分 【答案】B 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，由记录表格可知，答对一道题得5分，答错一道题扣1分，设答对x道题，则得分分，逐一对选项求解，根据x为正整数，即可得到答案． 【详解】解：由甲同学得分情况可知，答对一道题得分， 由乙同学得分情况可知，答错一道题扣分， 丙同学得分也符合； 设学生丁答对x道题，则答错道题， ∴得分，且x为正整数， A、，解得：，不符合题意； B、，解得：，符合题意； C、，解得：，不合题意； D、6x-20=62，解得：，不符合题意； 故选：B． 25．（24-25七年级上·北京·期中）如图是年月的月历，用“”型框（如阴影部分所示）覆盖任意七个数并求它们的和，请你运用所学的知识，探索这七个数的和可能的是（   ）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了整式，一元一次方程的运用，理解题目中个数的关系，列式出代数式，解一元一次方程是解题的关键． 根据题意，设“”型框中横向中间的数为，则前一个数为，后一个数为，前一个数的上面的数为，前一个数的下面的数为，后一个数的上面的数为，后一个数的下面的数为，可得这七个数的和是7的倍数，再数形结合分析各项的值，即可求解． 【详解】解：解：设设“”型框中横向中间的数为，则前一个数为，后一个数为，前一个数的上面的数为，前一个数的下面的数为，后一个数的上面的数为，后一个数的下面的数为， ∴这七个数的和为：， 整理得原式， ∴这七个数的和是7的倍数， ∴A、，则，不符合题意； B、，则，即，根据题意，当时，在年月的月历中，不能出现“”型框，不符合题意； C、，则，即，符合题意； D、，则，即，则后一个数的下面的数为，不符合题意； 故选：C； 26．（24-25七年级上·广东深圳·期中）按如图所示的程序进行计算，若输入x的值是3，则输出y的值为1．若输出y的值为3，则输入x的值是（   ） A．7 B． C．7或 D．或 【答案】A 【分析】本题考查了程序框图的含义，一元一次方程的应用，正确理解程序是解题的关键．根据输入x的值是3，则输出y的值为1，得到，求得b，具体化后，分别令式子值为3，求得x的值，符合范围的就是所求． 【详解】解：∵输入x的值是3，则输出y的值为1， ，解得：， 当时，， 当时，， 当时，解得：，符合题意； 当时，解得：，不符合题意； 故选：A． 27．（24-25七年级上·河北保定·期末）如图，点，为线段上两点，，且，设，则方程的解是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了线段和差计算 、一元一次方程的解法及应用，得出关于的方程是解此题的关键． 把代入得出，先求出，将再代入方程并求出方程的解即可． 【详解】解： ∵，， ∴， ， 解得：． ∴， 解得：， 故选：A． 28．（24-25七年级上·河北石家庄·期末）如图，甲、乙两人沿着边长为的正方形，按…的方向行走．甲从点A出发，以的速度行走；同时，乙从点B出发，以的速度行走．当乙第一次追上甲时，在正方形的（    ） A．边上 B．边上 C．点C处 D．点D处 【答案】C 【分析】本题主要考查了一元一次方程的实际应用，设乙行走后第一次追上甲，则甲行走的路程为，乙行走的路程为，乙追上甲时，乙比甲多走，据此建立方程求解即可． 【详解】解：设乙行走后第一次追上甲，则甲行走的路程为，乙行走的路程为． 当乙第一次追上甲时，， 解得． ∴此时乙行走的路程为 ∵， ∴当乙第一次追上甲时，共走了3圈多90米，即在正方形的点C处乙第一次追上甲， 故选；C． 29．（24-25七年级上·河北邢台·期末）盒子里有若干个相同的小球，甲取走一半后，乙又取走剩余的三分之一，丙再取走5个，这时，还剩3个，则盒子里原有 个小球． 【答案】24 【分析】本题主要考查一次方程的应用，设盒子原来有小球x个，取走一半后剩下,又取走，再取走5个，以小球的总数作为等量关系可列方程求解． 【详解】解：设盒子原来有小球x个． ， 解得，． 所以，盒子里有24个小球． 故答案为：24． 30．（24-25七年级上·河北廊坊·期末）如图，点，，，，，在一条直线上，若，的中点与的中点的距离是，则 ． 【答案】 【分析】本题主要考查两点间的距离，线段中点的定义，熟练掌握线段的和差关系是解题的关键．设，根据中点的定义得到，求出的值即可得到答案． 【详解】解：设， 是的中点， ， 是的中点， ， ， ， ， ． 故答案为：． 31．（2025八年级下·全国·专题练习）如图，在直角三角形中，，，，点P从点A开始以的速度向点B移动，点Q从点C开始以的速度沿的方向移动．如果点P，Q同时出发，点P到达点B时，P，Q两点都停止运动．设移动时间为t（），当时， s． 【答案】1或5 【分析】本题考查了一元一次方程的应用．正确表示出和是解题的关键． 首先表示出，或，然后分两种情况：点Q在上运动和点Q在上运动，然后根据列方程求解即可． 【详解】解：因为点Q从点C开始以3cm/s 的速度沿C→A→B 的方向移动，移动时间用t（）表示， 所以当点Q在上运动时，， 所以， 分两种情况： ①当点Q在上运动时，，即， 解得； ②当点Q在上运动时，，即， 解得，此时点P与点Q同时到达点B， 综上所述，t的值为1或5． 故答案为：1或5． 32．（24-25七年级下·河北唐山·期中）在大禹治水的时代，有一种神龟背负着一张神秘的图（如图1）浮出洛水，吉祥献瑞后世称之为“洛书”，当后人将“洛书”上的数填在图2的表中时发现：每行、每列、每条对角线上的三个数字之和相等，像这样的数字方阵，称为“幻方”，如果图3也是一个“幻方”．则： 4 9 2 3 5 7 8 1 6         图2 －3 y 1 4 x         图3 （1） ； （2）的值为 ． 【答案】 8 13 【分析】此题考查了一元一次方程的应用，正确理解题意列得方程是解题的关键． （1）根据第一行和斜着的三个数字之和相等列方程，求出值即可； （2）根据第二列和第三行的三个数字之和相等列方程，求出值，然后代入计算解题． 【详解】解：（1）如图，则， 解得， 故答案为：； －3 y a 1 4 b x （2）解：， 解得， ∴， 故答案为：． 33．（24-25七年级上·河北唐山·阶段练习）体育课上，体育老师要求男、女各站成一队，记男生队为A队，女生队为B队． （1） 已知A队有32人，B队有28人，从A队调a人到B队后，B队人数比A队剩余人数的2倍多3人，则a的值为 ； （2） 设A队有x人， B队有人， 从A队调m人到B队， 则此时B队比A队多 人； 接下来，又从B队回调m人到A队 （，回调的人数里有男有女），则回调后A队中的女生人数和B队中的男生人数是否相同？ （填“是”或“否”）． 【答案】 13 是 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，整式的加减，解（1）的关键是根据题意列出方程，解（2）的关键是正确列出算式． （1）根据从A队调a人到B队后，B队人数比A队剩余人数的2倍多3人列方程求解即可； （2）用调配后B队人数减去调配后A队人数可求出此时B队比A队多的人数；设回调的m人中有n名男生，分别表示出A队的女生数和B队的男生数即可解答． 【详解】解：（1）由题意得 ， 解得． 故答案为：13． （2）∵调配后A队有人，B队有人， ∴此时B队比A队多：人； 设回调的m人中有n名男生， 则回调后A队的女生数有人，回调后B队的男生数有人， ∴回调后A队中的女生人数和B队中的男生人数相同． 故答案为：，是． 34．（24-25七年级上·江苏盐城·阶段练习）若关于的一元一次方程的解为，那么关于的一元一次方程的解为 ． 【答案】 【分析】本题考查换元法解一元一次方程，根据题意，易得的解为，进行求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵关于的一元一次方程的解为， ∴的解为：； ∴； 故答案为：． 35．（24-25七年级上·江苏南通·期末）解方程 (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了解一元一次方程．熟练掌握解一元一次方程的步骤解题的关键． （1）按照解一元一次方程的步骤：去括号，移项，合并同类项，系数化为1，进行计算即可解答； （2）按照解一元一次方程的步骤：去分母，去括号，移项，合并同类项，系数化为1， 进行计算即可解答． 【详解】（1）解：， 去括号，得， 移项，得， 合并同类项，得， 系数化为1，得． （2）解： ， 去分母，得， 去括号，得， 移项，得， 合并同类项，得， 系数化为1，得． 36．（24-25七年级上·河北石家庄·期末）解方程： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了解一元一次方程，熟练掌握基本方法和计算法则是关键； （1）去括号，移项合并，系数化为，可解方程； （2）去分母，去括号，移项合并，系数化为，可解方程． 【详解】（1）解： ． （2）解： ． 37．（24-25七年级上·河北保定·期末）某校七年级学生在数学课上进行了项目化学习研究，某小组研究如下： 【提出驱动性问题】销售问题． 【设计实践任务】选择“素材1”、“素材2”设计了“任务1”、“任务2”的实践活动． 请你尝试帮助他们解决相关问题． 素材1 某商场从厂家购进了两种品牌足球共100个，已知购买品牌足球比购买品牌足球少花2800元，其中品牌足球每个进价是50元，品牌足球每个进价是80元． 素材2 在销售过程中，品牌足球每个售价是80元，品牌足球每个按进价加价后销售，两种品牌足球全部售出后共获利1920元． 【尝试解决问题】 (1)求购进，两种品牌足球各多少个？ (2)求品牌足球的售价． 【答案】(1)购进品牌品牌足球40个，品牌品牌足球60个． (2)92元 【分析】此题主要考查了一元一次方程的应用，关键是正确理解题意，找出题目中的等量关系，列出方程并解答． （1）设购进品牌足球个，则购进品牌足球个，根据“购买品牌足球比购买品牌足球少花2800元”可列出方程求解即可； （2）设品牌足球售价为元，根据题意列出方程解决问题． 【详解】（1）解：设购进品牌足球个，则购进品牌足球个， 根据题意得：， 解得：， （个）， ∴购进品牌品牌足球40个，品牌品牌足球60个． （2）解：设品牌足球的售价为元， 根据题意得：， 解得：， ∴品牌足球售价为92元． 38．（24-25七年级上·四川成都·期末）已知数轴上的两点分别对应的数字为，且满足，已知点是数轴上一动点，以每秒个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，设运动时间为． (1)填空：_____，______，的中点在数轴上对应的数是______． (2)若动点从出发，点从点同时出发，且以每秒个长度的速度向负方向运动，若点中有一点是另外两点构成线段的中点，则此时三点就形成“美丽组”，求出点运动多少秒时，三点能形成“美丽组”？ (3)若点从出发秒后，点从点出发，且以每秒个长度的速度向负方向运动，点运动到中点后立即返回以同样的速度再沿数轴向左运动，当时，求运动的时间． 【答案】(1)，，； (2)点运动秒或秒或秒时，三点能形成“美丽组”； (3)运动的时间为秒或秒． 【分析】本题考查了数轴，非负数的性质，一元一次方程的应用，掌握知识点的应用是解题的关键． （）根据非负数的性质和中点公式求解即可； （）根据三点能形成“美丽组”分当点为的中点时，当点为的中点时，当点为的中点时三种情况分析列出方程即可求解； （）分当没有到中点时，当到达中点后，然后根据列出方程即可求解． 【详解】（1）解：∵， ∴，， 解得：，， ∴的中点在数轴上对应的数是， 故答案为：，，； （2）解：点表示的数为：，点表示的数为：， 当点为的中点时： 解得：； 当点为的中点时：， 解得：； 当点为的中点时：， 解得：； 答：点运动秒或秒或秒时，三点能形成“美丽组”； （3）解：当没有到中点时， 当时，点位于原点处，此时点在点处， 设再经过秒时，时， ， 解得， 此时； 当到达中点后，时，此时点表示的数为，点表示的数为， 设再经过秒时有， 则， 解得， 此时， ∴当运动秒时，， 当点继续每秒个单位长度的速度沿数轴向左运动，而点的速度为每秒个长度的速度向负方向运动，则， 综上可知：时，运动的时间为秒或秒． 39．（24-25七年级上·河北石家庄·期末）如图1和图2，是小明借助量角器测量角的过程，为量角器直径，点Q，P处分别表示和，，是可以绕点O旋转的两条指针．观测时视线由点Q经过点O和点． 问题一：如图1，将指针，分别竖直和水平放置并保持不动．将量角器绕点O转动，当视线指向某目标时，指针对应刻度为． （1）求视线与指针的夹角； （2）因观测目标移动，需将量角器绕点O逆时针旋转，当时，求量角器转动的角度； 问题二：如图2，甲、乙、丙为量角器所在平面的三个目标，始终令指向甲，指向乙，视线指向丙．初始时刻，对应刻度分别为60和，若甲、乙均绕点O逆时针旋转，速度分别为/秒和/秒，设运动时间为t秒 （3）当时，求t的值； （4）在甲、乙开始运动的同时，丙以/秒的速度绕点O逆时针旋转，直接写出：当t为何值时，？ 【答案】（1） （2） （3）或20 （4） 【分析】本题主要考查了一元一次方程的应用，角的运算，正确列出要求的角的代数式是本题解题的关键． （1）根据指针的刻度可以得出的度数，再根据，即可求出； （2）根据平角的定义求出的度数，再根据两角相等求解，然后求解转动角度即可； （3）用表示出和，根据两角之差为，列出带绝对值的一元一次方程求解即可； （4）用表示出和，根据的取值范围判断和表达式的正负，列出一元一次方程求解即可． 【详解】（1）解：由题意得：，， ； （2）， ， ， ， 量角器转动的角度是； （3）初始位置时，，， ，， ， ， 或20； （4），， 当时，，， ， ， ． 40．（24-25七年级上·河北石家庄·期末）问题情境数学兴趣小组的同学利用周末到某纸箱厂参加社会实践，该厂的厂长让他们用100张白板纸（如图1）制作某种型号的长方体纸箱． 研究方法如图2，每张白板纸有，，三种剪裁方法，其中第种裁法：得到2个侧面与4个底面；第种裁法：得到4个侧面；第种裁法：得到3个侧面与2个底面．问题解决数学兴趣小组的同学用三种不同的裁剪方法裁剪这100张白板纸． 设按裁法裁剪的白板纸有a张，按裁法裁剪的白板纸有b张． (1)按第种方法裁剪的白板纸有______张（用含a，b的式子表示）； (2)用含a，b的代数式填表： 裁法 裁法 裁法 侧面个数 ______ ______ 底面个数 ______ ______ (3)已知四个侧面和两个底面恰好能配套做成一个纸箱，若将这100张白板纸剪裁完后，得到的侧面和底面恰好配套： 当时，求该小组按上述裁法分别裁剪了多少张白板纸？ 小明观察不同载法的复杂程度后发现，每载一张白板纸，裁法和裁法都至少需要裁5刀，裁法至少需要裁3刀，直接写出：该小组裁剪总刀数m与a的数量关系式． 【答案】(1) (2)，0；， (3)按裁法裁20张，按裁法裁40张，按裁法裁40张； 【分析】本题主要考查了一元一次方程的实际应用、列代数式等内容，正确理解题意是解题的关键 （1）用总张数减去裁法①和裁法②的张数即可得解； （2）根据每种裁法可裁出的侧面数量和底面数量分别与张数相乘即可得解； （3）①先求出侧面数共有个，底面数共有个，再根据配套列出方程求解即可； ②先根据侧面和地面配套可知，进而得到，然后根据题意可得，将b代入化简即可． 【详解】（1）解：根据题意可得第③种方法裁剪的白板纸张， 故答案为：； （2）解：根据题意可得， 裁法②侧面个数为，底面个数为0， 裁法③侧面个数为，底面个数为； 故答案为：，0；，； （3）①侧面数共有：个， 底面数共有：个， 侧面和底面恰好配套， ， ， ， 解得：， ， 答：按裁法①裁20张，按裁法②裁40张，按裁法③裁40张； ②由侧面和底面恰好配套可知， ， 整理可得， 又根据题意可知， 1 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $