精品解析：河南省郑州经济技术开发区八一中学2025-2026学年上学期期中考试九年级数学试题

2025-2026学年上学期期中调研试题 九年级 数学 一、单选题 1. 矩形具有而菱形不一定具有的性质是（ ） A. 对角线相等 B. 四条边都相等 C. 两组对边分别平行 D. 对角线互相平分 2. 在一个不透明的袋子里有红球、白球共20个，这些球除颜色外都相同，从中随机摸出一个球，记下颜色后放回，再从中随机摸出一个球．不断重复这一过程，小明通过多次试验发现，摸到白球的频率稳定在 左右，则袋子里白球的个数估计是（ ） A. 16 B. 14 C. 12 D. 8 3. 关于的方程的两根为2和3，则直线不经过第（ ）象限 A. 一 B. 二 C. 三 D. 四 4. 为加强劳动教育，增加学生实践机会，某校拟用总长为6米的篱笆，在两边都足够长的直角围墙的一角，围出一块8平方米的矩形菜地作为实践基地，如图所示．设矩形的一边长为米，根据题意可列方程（ ） A. 6 B. 6 C. D. 6 5. 如图，在菱形中， ，对角线，交于点O，则的度数为（ ） A. B. C. D. 6. 已知中，点、分别在边、上．下列条件中，不能推断与相似的是（ ） A. B. C. D. 7. 如图，小正方形边长均为1，则下列图形中三角形(阴影部分)与△ABC相似的是 A. B. C. D. 8. 某同学自主学会了某个几何模型，并把它分享给班里其他同学，第一次教会了若干名同学，第二次会做该模型的每名同学又教会了同样多的同学，这样全班共有36人会做这个模型．若设1人每次都能教会x名同学，则可列方程为（ ） A. B. C. D. 9. 如图，将长方形纸片折叠，使边落在上，折痕为，且点落在点处， ，，则的长为（ ） A. 8 B. 6 C. 4 D. 5 10. 已知四边形中， ， ，连接对角线，，若， 且平分，则的长为（　　） A. 2 B. 3 C. D. 二、填空题 11. 已知关于的一元二次方程有实数根，则的取值范围______． 12. 如图，AB//GH//CD，点H在BC上，AC与BD交于点G，AB=2，CD=3，则GH的长为___． 13. 年暑假期间，某市科技馆举行了“筑梦启航，探索科学”活动．活动结束以后，所有同学们互赠礼物，共送出份礼物，则参加此次活动同学人数为______． 14. 在正方形中，点E、F分别在、边上，连接、， ， 交于点G，H为垂足， ，，则线段的长度为______． 15. 如图，在平面直角坐标系中，四边形为矩形， ，，连接，D为的中点，点P在y轴上，若以P，C，D为顶点的三角形与相似，则点P的坐标为________． 三、解答题 16. 请用合适的方法解下列方程： （1） （2） 17. 如图，在四边形中， ，且 ，连接对角线，已知 ． （1）实践与操作：利用尺规作线段的垂直平分线，交于点，交于点；（要求：尺规作图并保留作图痕迹，不写作法，标明字母） （2）猜想与证明：连接，判断四边形 的形状，并说明理由． 18. 如图，甲、乙两个可以自由转动的转盘分别被分成三个面积相等的扇形，转盘甲的扇形上分别标有数字， ，8，转盘乙的扇形上分别标有数字，5，7（两个转盘除标有的数字不同外，其他完全相同）．转动转盘，待转盘自动停止后，其指针指向一个扇形的内部，则该扇形内的数字即为指针指向的数字（若指针恰好停留在分界线上，则重新转动一次）． （1）转动转盘甲，转盘甲的指针指向负数的概率是 ； （2）分别转动甲、乙两个转盘，待转盘自动停止后，记录各指针指向的数字，请用列表或画树状图的方法，求记录的两数字之和为正数的概率． 19. 用同样大小的黑色棋子按如图所示的规律摆放： （1）第5个图案有___________颗黑色棋子，第n个图案中黑色棋子的颗数为___________； （2）据此规律用2024颗黑色棋子，是否能摆放成一个图案，如果能，是第几个图案？如果不能，请说明理由． 20. 在学完相似的知识后，数学老师将同学们分成两组，利用相似的知识测量校园内物体的高度． （1）第一小组的同学测得身高米的小明影子长为米，同一时刻，同一水平面上，测得校园内旗杆的影子长为18米，求旗杆的高度； （2）如图，第二小组的同学利用标杆测量操场边一棵树的高度，小丽在处竖立了一根标杆，小华从处走到处时，站立在处恰好看到标杆顶端和树的顶端在一条直线上，此时测得小华的眼睛到地面的距离米，米， 米，米，点在一条直线上，，根据以上测量数据，求出树的高度． 21. 如图，在矩形中，，．点 从点出发，以的速度向终点运动，点从点出发，以的速度向终点运动．点 和点同时出发，当其中一点到达终点时，另一点也随之停止运动．设运动时间为．连接，， ． （1）在运动过程中， 的长度能否为？若能，求出的值；若不能，请说明理由． （2）当为何值时， 的面积为？ 22. 某快餐店销售A、B两种快餐，每份利润分别为12元、8元，每天卖出份数分别为40份、80份．该店为了增加利润，准备降低每份A种快餐的利润，同时提高每份B种快餐的利润．售卖时发现，在一定范围内，每份A种快餐利润每降1元可多卖2份，每份B种快餐利润每提高1元就少卖2份，假设这两种快餐每天销售总数不变． （1）设每份A种快餐利润降x元，则A种快餐可多卖___________份，B种快餐可少卖___________份； （2）若该快餐店每天售出A、B两种快餐的总利润达到1260元，则每份A种快餐利润应降多少元？ 23. 某校数学兴趣小组的同学在学习了“图形的相似”后，利用相关知识进行了深入研究． （一）合作探究 （1）如图1，在中，平分交于点．兴趣小组的同学得出．如图2，理由如下： 过点作，交的延长线于点． ① ， 平分 ② 请完成填空：①________________；②___________________； （二）内化迁移 （2）已知：如图3，为的边延长线上一点，连接，为边延长线上一点，． 求证：平分 ． （三）问题解决 （3）如图4，正方形边长为9，为边上一点，为延长线上一点． 为正方形内部一动点，连接并延长交于点，连接，若，平分 交于点，为中点， ，连接，．求的最小值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年上学期期中调研试题 九年级 数学 一、单选题 1. 矩形具有而菱形不一定具有的性质是（ ） A. 对角线相等 B. 四条边都相等 C. 两组对边分别平行 D. 对角线互相平分 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了矩形的性质，菱形的性质，解题的关键在于熟练掌握相关知识． 根据矩形和菱形的性质，逐项分析求解，即可解题． 【详解】解：矩形的对角线相等，两组对边分别平行，对角线互相平分， 菱形的四条边都相等，两组对边分别平行，对角线互相平分， 则矩形具有而菱形不一定具有的性质是对角线相等； 故选：A． 2. 在一个不透明的袋子里有红球、白球共20个，这些球除颜色外都相同，从中随机摸出一个球，记下颜色后放回，再从中随机摸出一个球．不断重复这一过程，小明通过多次试验发现，摸到白球的频率稳定在 左右，则袋子里白球的个数估计是（ ） A. 16 B. 14 C. 12 D. 8 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查利用频率估算概率，利用概率求数量，根据摸到白球的频率稳定在 左右，得到摸到白球的概率为0.6，再利用概率求数量即可． 【详解】解：由题意可知，多次试验发现，摸到白球的频率稳定在 左右， 摸到白球的概率为 ， 袋子里白球的个数估计是个， 故选：C． 3. 关于的方程的两根为2和3，则直线不经过第（ ）象限 A. 一 B. 二 C. 三 D. 四 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了根与系数的关系，一次函数的图象与性质，掌握知识点的应用是解题的关键．由一元二次方程根与系数的关系可得，，所以，，然后根据一次函数的图象与性质即可求解． 【详解】解：∵二次方程的两根为2和3， ∴，， ∴，， ∴一次函数为不经过第一象限， 故选：A． 4. 为加强劳动教育，增加学生实践机会，某校拟用总长为6米的篱笆，在两边都足够长的直角围墙的一角，围出一块8平方米的矩形菜地作为实践基地，如图所示．设矩形的一边长为米，根据题意可列方程（ ） A. 6 B. 6 C. D. 6 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程的实际应用，先用x表示出矩形的另一条边长，利用矩形的面积公式，列出方程即可． 【详解】解：根据题意，得， 故选：C． 5. 如图，在菱形中， ，对角线，交于点O，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了菱形的性质，解题的关键是掌握“菱形的对角线平分一组对角”这一核心性质，利用该性质将已知角转化为所求角． 先明确菱形中，对角线是的角平分线；再根据已知 ，可得为的一半；计算得出的度数后，匹配选项即可． 【详解】解：∵四边形是菱形， ∴菱形的对角线平分一组对角，即平分； 又∵ ， ∴； 该结果与选项B一致， 故选：B． 6. 已知中，点、分别在边、上．下列条件中，不能推断与相似的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查的是相似三角形的判定，掌握相似三角形的判定方法是解题关键，根据相似三角形判定方法依次判断即可． 【详解】解：如下图，由题意得， ， A、当时， ；故本选项不符合题意； B、当 时， ；故本选项不符合题意； C、当时，不能推断与相似；故本选项符合题意； D、当时， ；故本选项不符合题意； 故选：C． 7. 如图，小正方形边长均为1，则下列图形中三角形(阴影部分)与△ABC相似的是 A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据网格的特点求出三角形的三边，再根据相似三角形的判定定理即可求解． 【详解】已知给出的三角形的各边AB、CB、AC分别为、2、、 只有选项B的各边为1、、与它的各边对应成比例． 故选B． 【点睛】此题主要考查相似三角形的判定，解题的关键是熟知相似三角形的判定定理． 8. 某同学自主学会了某个几何模型，并把它分享给班里其他同学，第一次教会了若干名同学，第二次会做该模型的每名同学又教会了同样多的同学，这样全班共有36人会做这个模型．若设1人每次都能教会x名同学，则可列方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系、正确列出一元二次方程是解题的关键． 设1人每次都能教会x名同学，根据两次教会全班36人，再根据题意列出关于x的一元二次方程即可． 【详解】解：设1人每次都能教会x名同学， 根据题意得：． 故选：D． 9. 如图，将长方形纸片折叠，使边落在上，折痕为，且点落在点处， ，，则的长为（ ） A. 8 B. 6 C. 4 D. 5 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查矩形的折叠，勾股定理，熟练运用勾股定理是解决本题的关键． 根据长方形的性质可得，， ，在中，运用勾股定理求得．设，由折叠可得，，，从而，，在 中，运用勾股定理构造方程即可求解． 【详解】解：∵四边形是长方形， ∴ ，， ， ∴在中， ． 设， 由折叠可得，，， ∴，， ， ∴在 中，， 即 ， 解得， ∴的长为， 故选D． 10. 已知四边形中， ， ，连接对角线，，若， 且平分，则的长为（　　） A. 2 B. 3 C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了解含30度的直角三角形，勾股定理，三角形内角和定理及相似三角形的判定与性质．由已知条件利用勾股定理求出的长度，通过正弦的定义求出的角度，用三角形内角和定理求出的度数，由角平分线定义求得，设 ，则，利用三角形内角和定理得出，，证得，得出，最终求得的值． 【详解】解：∵ ， ，， ∴在中，由勾股定理得：， ∴，即， ∴， ∵平分， ∴， 设 ，则， 在中，， ∵ ， ∴， 在中，， ∵，， ∴， ∴， ∴． 故选：A． 二、填空题 11. 已知关于的一元二次方程有实数根，则的取值范围______． 【答案】且 【解析】 【分析】本题考查由一元二次方程、一元二次方程解的情况求参数，熟记一元二次方程定义、一元二次方程根的情况与判别式关系是解决问题的关键． 由一元二次方程定义得到 ，由一元二次方程有实数根得到，解不等式得到，从而确定答案． 【详解】解：是一元二次方程， ，解得 ； 关于的一元二次方程有实数根， ， 解得， ，且 ， 故答案为：且 ． 12. 如图，AB//GH//CD，点H在BC上，AC与BD交于点G，AB=2，CD=3，则GH的长为___． 【答案】##1.2## 【解析】 【分析】由AB GH，可得△CGH∽△CAB，从而得出=，同理可得=，将两个式子相加，即可求出GH的长． 【详解】∵AB GH， ∴△CGH∽△CAB， ∴=，即=①， 同理=，即=②， ①+②，得+=+==1， ∴+=1， 解得GH=． 故答案为． 13. 年暑假期间，某市科技馆举行了“筑梦启航，探索科学”活动．活动结束以后，所有同学们互赠礼物，共送出份礼物，则参加此次活动同学人数为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，设参加此次活动同学人数有人，由题意得，然后解方程并检验即可，读懂题目，找出题目中的等量关系列出方程是解题的关键． 【详解】解：设参加此次活动同学人数有人， 由题意得：， 整理得：， 解得：，（不符合题意，舍去）， 故答案为：． 14. 在正方形中，点E、F分别在、边上，连接、， ， 交于点G，H为垂足， ，，则线段的长度为______． 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键． 根据等腰三角形的性质及正方形的性质可知，再根据全等三角形的判定与性质及勾股定理即可解答． 【详解】解：∵ ， ∴， ∵四边形是正方形， ∴，， ∴， ∴， ∵ ， ∴ ， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵四边形是正方形， ∴，， 在和中， ， ∴， ∴ ， ∵ ，， ∴， ∴ ∵ ， ∴ ， ∴， ∴ 故答案为：． 15. 如图，在平面直角坐标系中，四边形为矩形， ，，连接，D为的中点，点P在y轴上，若以P，C，D为顶点的三角形与相似，则点P的坐标为________． 【答案】或 【解析】 【分析】利用相似三角形的性质，再根据直角的不同分情况讨论，分别求得点P的坐标即可． 【详解】解：∵四边形为矩形， ，， ∴，，， ∴ ， ∵D为的中点， ∴， 当时，如图， 此时， 所以， 所以， 解得， 所以， 所以点； 当时，如图， 此时， 所以， 所以， 解得， 所以， 所以点； 当 时，点不可能在轴上，如图， 所以这种情况不符合， 综上所述，点P的坐标为或， 故答案为：或． 【点睛】本题考查了相似三角形的性质，用勾股定理解三角形，矩形的性质，图形与坐标，解题关键是掌握上述知识点并能综合运用求解． 三、解答题 16. 请用合适的方法解下列方程： （1） （2） 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】此题考查了解一元二次方程，熟练掌握解一元二次方程的解法是解题的关键． （1）利用因式分解法解一元二次方程即可； （2）利用公式法解一元二次方程即可． 【小问1详解】 解： ∴或 解得； 【小问2详解】 由题意可得， ∵， ∴， ∴． 17. 如图，在四边形中， ，且 ，连接对角线，已知 ． （1）实践与操作：利用尺规作线段的垂直平分线，交于点，交于点；（要求：尺规作图并保留作图痕迹，不写作法，标明字母） （2）猜想与证明：连接，判断四边形 的形状，并说明理由． 【答案】（1）如图所示，直线即为所求． （2）四边形 是菱形．理由如下： 由（1）可知点为中点， ∵ ， ∴ ， 在中， ，为边上中线， ∴ ， ∵ ， ∴ ， ∵， ， 四边形 是平行四边形， 又∵， 平行四边形 是菱形． 【解析】 【分析】本题考查了尺规作图，直角三角形的性质，菱形的判定，熟练掌握菱形的判定方法是解答本题的关键． （1）根据线段垂直平分线的作法作图即可； （2）根据直角三角形的性质得 ，则 ，进而可证四边形 是平行四边形，再由，可得四边形 是菱形． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 18. 如图，甲、乙两个可以自由转动的转盘分别被分成三个面积相等的扇形，转盘甲的扇形上分别标有数字， ，8，转盘乙的扇形上分别标有数字，5，7（两个转盘除标有的数字不同外，其他完全相同）．转动转盘，待转盘自动停止后，其指针指向一个扇形的内部，则该扇形内的数字即为指针指向的数字（若指针恰好停留在分界线上，则重新转动一次）． （1）转动转盘甲，转盘甲的指针指向负数的概率是 ； （2）分别转动甲、乙两个转盘，待转盘自动停止后，记录各指针指向的数字，请用列表或画树状图的方法，求记录的两数字之和为正数的概率． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查列表法与树状图法、概率公式，熟练掌握列表法与树状图法以及概率公式是解答本题的关键． （1）由题意知，共有3种等可能的结果，其中转盘甲指针指向负数的结果有2种，利用概率公式可得答案； （2）列表可得出所有等可能的结果数以及记录的两数字之和为正数的结果数，再利用概率公式可得出答案． 【小问1详解】 解：由题意知，共有3种等可能的结果，其中转盘甲指针指向负数的结果有2种， ∴转盘甲指针指向负数的概率是， 故答案为：； 【小问2详解】 解：列表如下： 8 4 5 4 13 7 1 6 15 由表可得共有9种等可能的结果，其中记录的两个数字之和为正数的结果有6种， ∴． 19. 用同样大小的黑色棋子按如图所示的规律摆放： （1）第5个图案有___________颗黑色棋子，第n个图案中黑色棋子的颗数为___________； （2）据此规律用2024颗黑色棋子，是否能摆放成一个图案，如果能，是第几个图案？如果不能，请说明理由． 【答案】（1）34； （2）解：不能；理由如下： 设第n个图形有2024颗黑色棋子， 由（1）可得，， 解得，， ∴用2024颗黑色棋子不能摆放成一个图案． 【解析】 【分析】此题考查了图形变化规律的问题，能熟练运用归纳的方法从特殊到一般是解此题的关键． （1）根据图形中黑色棋子的个数总结规律，即可求解； （2）令第n个图形的代数式等于2024，求得n的值为正整数就能，否则就不能． 【小问1详解】 解：由图可得，第一个图形有个黑色棋子； 第二个图形有 个黑色棋子； 第三个图形有个黑色棋子； 第四个图形有个黑色棋子； ⋯， 由此可得，第五个图形有个黑色棋子， 第n个图形有个黑色棋子； 故答案为：34；； 【小问2详解】 略 20. 在学完相似的知识后，数学老师将同学们分成两组，利用相似的知识测量校园内物体的高度． （1）第一小组的同学测得身高米的小明影子长为米，同一时刻，同一水平面上，测得校园内旗杆的影子长为18米，求旗杆的高度； （2）如图，第二小组的同学利用标杆测量操场边一棵树的高度，小丽在处竖立了一根标杆，小华从处走到处时，站立在处恰好看到标杆顶端和树的顶端在一条直线上，此时测得小华的眼睛到地面的距离米，米， 米，米，点在一条直线上，，根据以上测量数据，求出树的高度． 【答案】（1）12米 （2）米 【解析】 【分析】本题考查了三角形相似的判定与性质，矩形的判定与性质，熟练掌握以上知识点是解题的关键． （1）根据同一时刻，同一水平面，人的身高人的影子旗杆的高度旗杆的影子，即可得出答案； （2）过点作，垂足为，交于点，接着证明，利用求得答案即可． 【小问1详解】 解：设旗杆的高度为米，根据题意得， 解得 ， 答：旗杆的高度为12米． 【小问2详解】 解：如图，过点作，垂足为，交于点， 则 ∴四边形，四边形都是矩形， 则， ， 由题意得，， ∴， ∴， ∴， ∴， 答：树的高度为8.8米． 21. 如图，在矩形中，，．点从点出发，以的速度向终点运动，点从点出发，以的速度向终点运动．点和点同时出发，当其中一点到达终点时，另一点也随之停止运动．设运动时间为．连接， ， ． （1）在运动过程中， 的长度能否为？若能，求出 的值；若不能，请说明理由． （2）当 为何值时， 的面积为？ 【答案】（1）能为， 的值为2 （2）当 的值为1或2时， 的面积为 【解析】 【分析】本题考查了矩形的性质、勾股定理以及一元二次方程的应用． （1）根据点的运动速度表示出 、的长度，利用勾股定理列出关于 的方程，求解并检验； （2）用矩形面积减去周围三个三角形面积表示出 的面积，列出方程求解． 【小问1详解】 解： 的长度能为， 根据题意，得 ，， ∴， ∵四边形为矩形， ∴， 在 中，根据勾股定理， 得， 当时，，即， 这里， ， ， ∴， ∴， ∴，（不符合题意，舍去）． ∴ 的长度能为，此时 的值为2． 【小问2详解】 解：∵四边形为矩形， ∴ ， ，． ∴ ， 当时，． 解得 ，． ∴当 的值为1或2时， 的面积为． 22. 某快餐店销售A、B两种快餐，每份利润分别为12元、8元，每天卖出份数分别为40份、80份．该店为了增加利润，准备降低每份A种快餐的利润，同时提高每份B种快餐的利润．售卖时发现，在一定范围内，每份A种快餐利润每降1元可多卖2份，每份B种快餐利润每提高1元就少卖2份，假设这两种快餐每天销售总数不变． （1）设每份A种快餐利润降x元，则A种快餐可多卖___________份，B种快餐可少卖___________份； （2）若该快餐店每天售出A、B两种快餐的总利润达到1260元，则每份A种快餐利润应降多少元？ 【答案】（1） （2）每份种快餐利润应降5元或7元 【解析】 【分析】本题主要考查二次函数的应用和列代数式，正确找到量之间的关系是解题关键． （1）设每份A种快餐利润降x元，根据每份A种快餐利润每降1元可多卖2份，每份B种快餐利润每提高1元就少卖2份可列代数式； （2）根据该快餐店每天售出A、B两种快餐的总利润达到1260元列方程求解即可． 【小问1详解】 解：∵在一定范围内，每份A种快餐利润每降1元可多卖2份，每份B种快餐利润每提高1元就少卖2份， ∴每份A种快餐利润降x元，则A种快餐可多卖份，B种快餐可少卖份； 故答案为：，； 【小问2详解】 解：据题意知：， 整理得：； 解得：． 答：则每份种快餐利润应降5元或7元． 23. 某校数学兴趣小组的同学在学习了“图形的相似”后，利用相关知识进行了深入研究． （一）合作探究 （1）如图1，在中，平分交于点．兴趣小组的同学得出．如图2，理由如下： 过点作，交的延长线于点． ① ， 平分 ② 请完成填空：①________________；②___________________； （二）内化迁移 （2）已知：如图3，为的边延长线上一点，连接，为边延长线上一点，． 求证：平分 ． （三）问题解决 （3）如图4，正方形边长为9，为边上一点，为延长线上一点．为正方形内部一动点，连接并延长交于点，连接，若，平分 交于点，为中点， ，连接，．求的最小值． 【答案】（1）①；②；（2）证明见解析；（3） 【解析】 【分析】（1）根据平行线分线段成比例可得①的答案，根据等腰三角形的性质可得②的答案； （2）如图，过作 ，交于，可得，，，证明，可得，进一步可得结论； （3）如图，连接， ，，求解 ，可得， ，，，，当最小时，即最小；结合，当共线时，，此时最小，由（2）的结论可得：平分，而平分 ，再进一步可得结论． 【详解】解：过点作，交的延长线于点． ① ， ， 平分 ② ． （2）如图，过作 ，交于， ∴，，， ∵， ∴， ∴， ∴ ， ∴， ∴平分； （3）如图，连接， ，， ∵平分 ，， ∴， ∵ ， ∴， ∵为中点，正方形边长为9， ∴ ，，，， ∴最小时，即最小； ∵，当共线时，，此时最小， ∵， 由（2）的结论可得：平分，而平分 ， ∴， ∵， ∴， 而， ∴的最小值为， ∴的最小值为． 【点睛】本题考查的是角平分线的定义，平行线分线段成比例，正方形的性质，三角形的三边关系的应用，理解题意，确定最小值时的位置是解本题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $