精品解析：浙江省宁波市镇海区仁爱学校2025-2026学年上学期九年级数学期中质量检测卷

仁爱中学2025学年第一学期初三年级 数学期中质量检测卷 一、选择题（每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求．） 1. “抛一枚均匀硬币，落地后正面朝上”这一事件是【 】 A. 必然事件 B. 随机事件 C. 确定事件 D. 不可能事件 2. 下列各点在抛物线上的是（ ） A. B. C. D. 3. 如图，点A，B，C在上，连接．若，则的度数是（ ） A. B. C. D. 4. 如图，，AC，BD相交于点E，，，，则AB的长为（ ） A. B. C. 1 D. 2 5. 已知，，是抛物线上的三点，则，，的大小关系为（ ） A. B. C. D. 6. 一个不透明的袋子中有大小一样的5个红球，3个白球和2个黄球，现从中随意摸出1个球，摸到黄球的可能性是（ ） A B. C. D. 7. 在半径为2的圆中，弦AB的长为2，则的长等于（　　） A. B. C. D. 8. 当，函数与在同一平面直角坐标系中的图象大致是（ ） A. B. C. D. 9. 如图，为锐角三角形，，，点O为的重心， D为中点，若固定边，使顶点A在所在平面内进行运动，在运动过程中，保持的大小不变，设的中点为D，则线段的长度的取值范围为（　　） A. B. C. D. 10. 如图，在中，，点在线段上，，，，则（ ）． A. B. C. D. 二、填空题（每小题3分，共18分） 11. 半径为，点A到圆心O距离为，则A在 _____．（填“上”、“外”或“内”） 12. 正十边形每个内角的度数是：________． 13. 将二次函数的图象向下平移个单位长度后，所得到的二次函数图象经过点，则的值为_______． 14. 如图，分别是的边上的点，，若，则_______． 15. 如图，抛物线过点、、，平行于x轴的直线交抛物线于点、D，以为直径的圆交直线于点、，则的值是_____________． 16. 如图，在中，，，点为的中点，连接并延长交于点，且有，过点作于点．若，则的长为______． 三、解答题（本大题有8小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 17. 已知线段、满足，且． （1）求、的值； （2）若线段是线段、的比例中项，求的值． 18. “一人一盔安全守规，一人一戴平安常在”，如表是某厂质检部门对该厂生产的一批头盔质量检测的情况． 抽取头盔数 500 1000 1500 2000 3000 4000 合格品数 491 986 1470 1964 2949 3932 合格品频率 0.982 0.986 0.980 a b 0.983 （1）求出表中a=_______，b=_______； （2）从这批头盔中任意抽取一顶是合格品的概率的估计值是_____（精确到0.01）； （3）如果要出厂49000顶合格的头盔，则该厂估计要生产多少顶头盔？ 19. 如图，在直角坐标系中，点A，B的坐标为． （1）画出绕点O顺时针旋转后所得的图形． （2）点的坐标为　　　　． （3）求四边形的面积． 20. 如图，二次函数的图像与x轴交于A、B 两点，与y轴交于点C，且点B的坐标为（1，0），点C的坐标为（0，﹣3），一次函数y2=mx+n的图像过点A、C． （1）求二次函数的解析式； （2）求二次函数的图像与x轴的另一个交点A的坐标； （3）根据图像写出y2＜y1时，x的取值范围． 21. 日晷是我国古代使用的一种计时仪器，某日晷底座的正面与晷面在同一平面上．如图，表示日晷的晷面圆周，日晷底座的底边在水平线l上，为等边三角形，， 与分别交于P，Q两点．点C，D是上两点，，过O作于点E，交于点F，交于点M．已知，，． （1）求的半径； （2）求图中阴影部分的面积． 22. 如图,等腰三角形ABC中，AB=AC，D为CB延长线上一点，E为BC延长线上点,且满足AB2=DB·CE. （1）求证:△ADB∽△EAC； （2）若∠BAC=40°，求∠DAE度数. 23. 在“乡村振兴”行动中，某村办企业以、两种农作物为原料开发了一种有机产品．原料的单价是原料单价的倍，若收购的原料会比收购的原料多花费元．生产该产品每盒需要原料和原料，每盒还需其他成本元，市场调查发现：该产品每盒的售价是元时，每天可以销售盒；每涨价元，每天少销售盒． （1）求每盒产品成本（成本＝原料费+其他成本）； （2）设每盒产品的售价是元（且是整数），每天的利润是元，求关于的函数解析式（不需要写出自变量的取值范围）； （3）求每盒产品的售价为多少元时，每天的利润最大，则最大利润是多少元？ 24. 如图1，内接于，点D为上一点，连接和，于点E． （1）求证：； （2）如图2，过点B作的垂线，垂足为点F，交于点G，且，若，请用含的代数式表示； （3）如图3，在（2）的条件下，点K为上一点，连接、和，与相交于点Q，延长到点R，使，过点R作的垂线，垂足为点H，延长交于点T，，在的延长线上取一点P，连接，使． ①求的度数； ②若，，求的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 仁爱中学2025学年第一学期初三年级 数学期中质量检测卷 一、选择题（每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求．） 1. “抛一枚均匀硬币，落地后正面朝上”这一事件是【 】 A. 必然事件 B. 随机事件 C. 确定事件 D. 不可能事件 【答案】B 【解析】 【详解】随机事件. 根据随机事件的定义，随机事件就是可能发生，也可能不发生的事件，即可判断： 抛1枚均匀硬币，落地后可能正面朝上，也可能反面朝上，故抛1枚均匀硬币，落地后正面朝上是随机事件.故选B. 2. 下列各点在抛物线上的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】分别计算自变量为x＝2，x＝1和x＝－1对应的函数值，即可判断． 【详解】解：把x＝2代入y＝2x2得：y＝2×22＝8， ∴点（2，1）不在y＝2x2的图像上， 把x＝1代入y＝2x2得：y＝2×12＝2， ∴点（1，2）在y＝2x2的图像上，点（1，－2）在y＝2x2的图像上， 把x＝－1代入y＝2x2得：y＝2×(－1)2＝2， ∴点（－1，－2）不在y＝2x2的图像上， 故选：B． 【点睛】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征：二次函数图象上点的坐标满足其解析式． 3. 如图，点A，B，C在上，连接．若，则的度数是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据圆周角定理解答即可. 【详解】解：∵， ∴； 故选：C. 【点睛】本题考查了圆周角定理，熟知在同圆或等圆中，同弧所对的圆周角等于它所对圆心角的一半是解题关键. 4. 如图，，AC，BD相交于点E，，，，则AB长为（ ） A. B. C. 1 D. 2 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形判定和性质，解题的关键在于找到对应边长．根据相似三角形对应边长成比例可求得结论． 【详解】解：∵ ， ∴ ∴ ∵，，， ∴ ， 故选：A． 5. 已知，，是抛物线上的三点，则，，的大小关系为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了二次函数性质，根据抛物线解析式，得到抛物线开口向上，对称轴为．再比较各点横坐标到对称轴的距离，结合二次函数性质可知点到对称轴的距离越大其对应的值越大，即可解题． 【详解】解：抛物线的解析式为， 抛物线开口向上，对称轴为． 又 点到对称轴的距离为． 点到对称轴的距离为． 点到对称轴的距离为． 由于开口向上，距离对称轴越远的点值越大．因此，． 故选C． 6. 一个不透明的袋子中有大小一样的5个红球，3个白球和2个黄球，现从中随意摸出1个球，摸到黄球的可能性是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查概率公式，解答本题的关键是明确题意，求出相应的概率．根据题意可知，从中任意摸出1个球，一共有种可能性，其中摸到黄球的可能性有2种，从而可以计算出相应的概率． 【详解】解：一个不透明的袋子中有大小一样的5个红球，3个白球和2个黄球， 从中任意摸出1个球，一共有种可能性，其中摸到黄球的可能性有2种． 从中任意摸出1个球，摸到黄球的概率是． 故选：D． 7. 在半径为2的圆中，弦AB的长为2，则的长等于（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】试题分析：如图， 连接OA、OB， ∵OA=OB=AB=2， ∴△AOB是等边三角形， ∴∠AOB=60°， ∴的长为 . 故选C． 【考点】弧长的计算． 8. 当，函数与在同一平面直角坐标系中的图象大致是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据，可知，或，，然后进行分类讨论函数的图象所在的位置，即可解答本题．本题考查二次函数的图象、一次函数的图象，解题的关键是明确题意，利用分类讨论的数学思想解答问题． 【详解】解：， ，或，， 当，时，的函数图象的开口向上，顶点在原点，的图象经过第一、三、四象限，故选项A正确； 当，时，的函数图象的开口向下，顶点在原点，的图象经过第一、二、四象限，此时无选项符合； 故选：A． 9. 如图，为锐角三角形，，，点O为的重心， D为中点，若固定边，使顶点A在所在平面内进行运动，在运动过程中，保持的大小不变，设的中点为D，则线段的长度的取值范围为（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】作外接圆，点为圆心，，由题意知，且，，由勾股定理知，．当时，最长，可求此时最大值；临界情况为，此时，可得此时最小值，进而可得的取值范围． 【详解】解：如图，作的外接圆，点为圆心，， 由题意知， ， ， ， ，由勾股定理知， ， 时，最长， 最大值为， 为锐角三角形， 临界情况为，如图， 此时， ， ． ． 故选：A． 【点睛】本题考查了三角形的外接圆，三角形的重心，圆周角与圆心角的关系，勾股定理等知识，解题的关键在于熟练掌握外接圆相关定理． 10. 如图，在中，，点在线段上，，，，则（ ）． A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，勾股定理在直角三角形中的运用，本题中列出关于的方程并求的值是解题的关键．作平分线交于点，设，则，通过证明，可得，根据勾股定理即可求得的值，即可解题． 【详解】解：如图，作平分线交于点， 设，则， ， ， ， ， ， 又， ， ，即， ， ， 解得， ， 故选：C． 二、填空题（每小题3分，共18分） 11. 半径为，点A到圆心O距离为，则A在 _____．（填“上”、“外”或“内”） 【答案】内 【解析】 【分析】本题考查点与圆的位置关系，解题的关键是掌握点与圆的位置关系的判定方法． 设的半径为r，点P到圆心的距离，则有：①点P在圆外，②点P在圆上，③点P在圆内，由此即可判断． 【详解】解：∵的半径，A到圆心O距离， ∴， ∴A在内． 故答案为：内． 12. 正十边形的每个内角的度数是：________． 【答案】##114度 【解析】 【分析】本题考查多边形的内角和计算．熟知多边形的内角和计算公式是正确解题的关键． 先利用多边形的内角和计算公式求出正十边形的内角和，再除以边数即可． 【详解】正十边形的内角和为：， 正十边形的每个内角的度数为： ， 故答案为：． 13. 将二次函数的图象向下平移个单位长度后，所得到的二次函数图象经过点，则的值为_______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查二次函数的平移，熟练掌握“左加右减，上加下减”的平移规律是解题关键；根据“左加右减，上加下减”的平移规律表示出平移后的解析式，把代入得出值即可． 【详解】解：∵将二次函数的图象向下平移个单位长度， ∴平移后的解析式为， ∵得到的二次函数图象经过点， ∴， 解得：． 故答案为： 14. 如图，分别是的边上的点，，若，则_______． 【答案】 【解析】 【分析】根据可得，从而得到，再根据相似三角形的判定与性质可得，最后再根据可得． 【详解】解：， ， ， ， ， ， ， ， ， 即， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定与性质，两个相似三角形的面积比关于相似比的平方，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键． 15. 如图，抛物线过点、、，平行于x轴的直线交抛物线于点、D，以为直径的圆交直线于点、，则的值是_____________． 【答案】 【解析】 【分析】根据题意，为直径的中点，连接，过点作于，则，，分别求出、即可． 【详解】由题意可得：、， ∴抛物线对称轴为， ∵， ∴， 如图，为直径的中点， 连接，过点作于，则，， 则， ∴． 故答案为：． 16. 如图，在中，，，点为的中点，连接并延长交于点，且有，过点作于点．若，则的长为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形判定与性质，等腰三角形的性质，勾股定理，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题关键．先根据垂直的定义可得，，再根据等腰三角形的性质可得，可得，根据相似三角形的性质可得，设，则，， 再根据等腰三角形的三线合一可得，证明，得到，从而可得，证明得到，求出，进而得到的值，最后根据勾股定理即可求解． 【详解】解：，， ，， ， ， ， 点为的中点， ， ， ， 设，则，， ，， ， 又， ， ，即， ， ，， ， ， ， ， ， 即， 解得（负值已舍去）， ， ， 故答案为：． 三、解答题（本大题有8小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 17. 已知线段、满足，且． （1）求、的值； （2）若线段是线段、的比例中项，求的值． 【答案】（1）， （2） 【解析】 【分析】本题考查了比例线段，解题的关键是掌握对于四条线段、、、，如果其中两条线段的比（即它们的长度比）与另两条线段的比相等，如（即，我们就说这四条线段是成比例线段，简称比例线段．注意利用代数的方法解决较为简便． （1）利用，可设，，则，然后解出的值即可得到、的值； （2）根据比例中项的定义得到，即，然后根据算术平方根的定义求解． 【小问1详解】 解：， 设，， ， ， 解得， ，； 【小问2详解】 线段是线段、的比例中项， ， 是线段，， ． 18. “一人一盔安全守规，一人一戴平安常在”，如表是某厂质检部门对该厂生产的一批头盔质量检测的情况． 抽取的头盔数 500 1000 1500 2000 3000 4000 合格品数 491 986 1470 1964 2949 3932 合格品频率 0.982 0.986 0.980 a b 0.983 （1）求出表中a=_______，b=_______； （2）从这批头盔中任意抽取一顶是合格品的概率的估计值是_____（精确到0.01）； （3）如果要出厂49000顶合格的头盔，则该厂估计要生产多少顶头盔？ 【答案】（1），； （2）； （3）该厂估计要生产50000顶头盔 【解析】 【分析】本题考查了利用频率估计概率：大量重复实验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率．用频率估计概率得到的是近似值，随实验次数的增多，值越来越精确． （1）根据表中数据计算即可； （2）由表中数据可判断频率在左右摆动，从而利于频率估计概率可判断任意抽取一只口罩是合格品的概率为； （3）用样本数据估计总体即可． 【小问1详解】 解：，； 【小问2详解】 解：由表格可知，随着抽取的头盔数量不断增大，任意抽取一个是合格的频率在附近波动， 所以任意抽取的一顶是合格品的概率估计值是； 【小问3详解】 解：（顶）． 答：该厂估计要生产顶头盔． 19. 如图，在直角坐标系中，点A，B的坐标为． （1）画出绕点O顺时针旋转后所得的图形． （2）点的坐标为　　　　． （3）求四边形的面积． 【答案】（1）见解析 （2） （3）8 【解析】 【分析】本题考查的是图形的变换——旋转变换： （1）根据网格结构找出点A、B绕点O顺时针旋转后的对应点的位置，然后顺次连接即可； （2）由（1），确定出的坐标； （3）根据网格特征即可计算出四边形的面积． 【小问1详解】 解：如图所示，即为所求作的三角形； 【小问2详解】 解：点的坐标为； 故答案为： 【小问3详解】 解：四边形的面积． 20. 如图，二次函数的图像与x轴交于A、B 两点，与y轴交于点C，且点B的坐标为（1，0），点C的坐标为（0，﹣3），一次函数y2=mx+n的图像过点A、C． （1）求二次函数的解析式； （2）求二次函数的图像与x轴的另一个交点A的坐标； （3）根据图像写出y2＜y1时，x的取值范围． 【答案】(1) ;(2) 此二次函数的图像与x轴的另一个交点A的坐标为（﹣3，0）;(3) x＜﹣3或x＞0. 【解析】 【分析】（1）把B（1，0），C（0，﹣3）分别代入得到关于b、c的方程组，求出b、c即可； （2）令y1=0，得到x2+2x﹣3=0，然后解一元二次方程即可得到二次函数的图像与x轴的另一个交点A的坐标； （3）观察图像可得当x＜﹣3或x＞0，抛物线都在直线的上方，即y2＜y1． 【详解】解：（1）由二次函数的图像经过B（1，0）、C （0，﹣3）两点， 得， 解这个方程组，得， ∴抛物线的解析式为； （2）令y1=0，得x2+2x﹣3=0， 解这个方程，得x1=﹣3，x2=1， ∴此二次函数的图像与x轴的另一个交点A的坐标为（﹣3，0）； （3）当x＜﹣3或x＞0，y2＜y1． 21. 日晷是我国古代使用的一种计时仪器，某日晷底座的正面与晷面在同一平面上．如图，表示日晷的晷面圆周，日晷底座的底边在水平线l上，为等边三角形，， 与分别交于P，Q两点．点C，D是上两点，，过O作于点E，交于点F，交于点M．已知，，． （1）求的半径； （2）求图中阴影部分的面积． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查垂径定理的实际应用，与圆有关的阴影部分面积； （1）连接，先证明，再由垂径定理得到，然后设的半径，在中，利用勾股定理得到，列方程计算即可； （2）由，求出等边三角形的边长，再分别求出，，最后根据计算即可． 【小问1详解】 解∶∵，， ∴， ∴， ， ， 如图，连接， 设的半径， ∵， ∴， 在中，， ∴， 解得， 即的半径为； 【小问2详解】 解∶∵为等边三角形， ∴， ∵， ∴，， ∵， ∴， 在中，， ∴， 解得（负值舍去）， ， ， ． 22. 如图,等腰三角形ABC中，AB=AC，D为CB延长线上一点，E为BC延长线上点,且满足AB2=DB·CE. （1）求证:△ADB∽△EAC； （2）若∠BAC=40°，求∠DAE的度数. 【答案】（1）见解析；（2）∠DAE=110︒ 【解析】 【分析】（1）根据AB=AC，求得∠ABD=∠ACE，再利用AB2=DB•CE，即可得出对应边成比例，然后即可证明． （2）由△ADB∽△EAC，得出∠BAD=∠E，∠D=∠CAE，则∠DAE=∠BAD+∠BAC+∠CAE=∠D+∠BAD+∠BAC，很容易得出答案． 【详解】证明：（1）∵AB=AC，∴∠ABC=∠ACB， ∴∠ABD=∠ACE， ∵AB2=DB•CE ∴， ∵AB=AC， ∴ ∴△ADB∽△EAC． （2）∵△ADB∽△EAC，∴∠BAD=∠E，∠D=∠CAE， ∵∠DAE=∠BAD+∠BAC+∠CAE， ∴∠DAE=∠D+∠BAD+∠BAC， ∵∠BAC=40°，AB=AC， ∴∠ABC=70°， ∴∠D+∠BAD=70°， ∴∠DAE=∠D+∠BAD+∠BAC=70°+40°=110°． 【点睛】本题主要考查三角形相似.熟练掌握相似三角形的性质是解题的关键. 23. 在“乡村振兴”行动中，某村办企业以、两种农作物为原料开发了一种有机产品．原料的单价是原料单价的倍，若收购的原料会比收购的原料多花费元．生产该产品每盒需要原料和原料，每盒还需其他成本元，市场调查发现：该产品每盒的售价是元时，每天可以销售盒；每涨价元，每天少销售盒． （1）求每盒产品的成本（成本＝原料费+其他成本）； （2）设每盒产品的售价是元（且是整数），每天的利润是元，求关于的函数解析式（不需要写出自变量的取值范围）； （3）求每盒产品的售价为多少元时，每天的利润最大，则最大利润是多少元？ 【答案】（1）每盒产品的成本为元 （2） （3）当每盒产品的售价为元时，每天最大利润为元 【解析】 【分析】本题主要考查了一元一次方程的应用、二次函数的应用，正确理解题意、列出方程和函数解析式成为解答本题的关键． （1）设原料的单价为元，则原料的单价是元，然后再根据题意列方程求出，即可求解； （2）直接根据“总利润单件利润销售数量”列出解析式即可； （3）先确定抛物线的开口方向，然后再根据二次函数的性质求最值即可． 【小问1详解】 解：设原料的单价为元，则原料的单价是元， 根据题意得， 解得， 原料的单价为元，则原料的单价是元， （元）， 答：每盒产品的成本为元； 【小问2详解】 ， 即； 【小问3详解】 ，， 当时，有最大值， 即当每盒产品的售价为元时，每天最大利润为元． 24. 如图1，内接于，点D为上一点，连接和，于点E． （1）求证：； （2）如图2，过点B作的垂线，垂足为点F，交于点G，且，若，请用含的代数式表示； （3）如图3，在（2）的条件下，点K为上一点，连接、和，与相交于点Q，延长到点R，使，过点R作的垂线，垂足为点H，延长交于点T，，在的延长线上取一点P，连接，使． ①求的度数； ②若，，求的长． 【答案】（1）见解析 （2） （3）①；②10． 【解析】 【分析】（1）如图：连接，设，则，由圆周角定理得，由等腰三角形的性质求出即可求解； （2）由题意可得：，如图：连接，由“8”字三角形得，根据证明，可得，，再根据角的和差以及等量代换即可解答； （3）①如图：过点K作的平行线交于点S，根据证明得可证．②如图：过点C分别作和的垂线，垂足分别为点M和点N，由圆的性质证明，根据证明得，根据证明得可得．设，根据求出a，证明得，从而，设，则，在中利用勾股定理求解即可． 【小问1详解】 解：如图：连接， ∵于点E， ， 设，则， ∵， ∴， ， ， ∴． 【小问2详解】 解：如图 2，连接． ∵，， ∴， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ∴，即． 【小问3详解】 解：①如图：过点K作的平行线交于点S， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴ ，即． ②如图：过点C分别作和的垂线，垂足分别为点M和点N， ∵四边形内接于， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵ ， ∴， ∴， 设，， ∴，解得：， ， ， ， ， 设，则， 在中，， ， ， ． 【点睛】本题主要考查了圆周角定理、全等三角形的判定与性质、圆内接四边形的性质、角平分线的性质、勾股定理等知识点，综合运用相关知识是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $