精品解析：浙江省宁波市镇海区仁爱中学2024—2025学年上学期九年级数学期中试卷

仁爱中学2024学年第一学期初三年级 数学期中质量检测卷 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1. 若，则的值是（ ） A. 3 B. C. D. 1 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查比例的性质，根据题意得出是解题关键．根据题意可得出，代入中计算即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴． 故选B． 2. 一个不透明的袋子中装有若干个除颜色外形状大小完全相同的球，如果其中有3个红球1个白球，从中随机摸出白球的概率是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了根据概率公式计算概率，熟练掌握概率公式是解题的关键． 直接利用概率公式计算即可得解． 【详解】解：由题意可知，从袋子中随机摸出一个球共有种等可能的结果，其中摸出白球的结果有种， 从中随机摸出白球的概率， 故选：C． 3. 下列事件中，是随机事件的是（ ） A. 明天太阳从西边升起 B. 画一个任意的三角形，内角和为 C. 一滴花生油滴入水中，油会浮在水面 D. 随意翻开数学书的某页，页码是偶数 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了随机事件，解决本题需要正确理解必然事件、不可能事件、随机事件的概念，必然事件指在一定条件下一定发生的事件；不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件；不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件．根据必然事件、不可能事件、随机事件的概念逐项判定即可． 【详解】解：A、明天太阳从西方升起，是不可能事件，故此选项不符合题意； B、画一个任意的三角形，内角和为，是必然事件，故此选项不符合题意； C、一滴花生油滴入水中，油会浮在水面，是必然事件，故此选项不符合题意； D、随意翻到一本书的某页，这页的页码是偶数，是随机事件，故此选项符合题意； 故选：D． 4. 抛物线的顶点坐标是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了抛物线的顶点坐标，解题关键是掌握二次函数的顶点式为，顶点坐标为． 根据二次函数顶点式为，解题即可． 【详解】解：抛物线的顶点坐标， 故选：A． 5. 若四边形是的内接四边形，且，则的大小是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了圆内接四边形的性质：圆内接四边形的对角互补，圆内接四边形的任意一个外角等于它的内对角． 根据圆内接四边形的性质得，则利用可计算出，然后利用互补计算出． 【详解】解：∵四边形是的内接四边形， ， ， 设，则， ， 解得：， ∴， ， 故选：A． 6. 如图，量角器外缘边上有、、三点，它们所表示的读数分别是、、，则的大小是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查圆周角定理，掌握同弧（或等弧）所对圆周角为圆心角的一半是解题关键．设量角器的圆心为O，连接，，由题意得出，再根据圆周角定理求解即可． 【详解】解：如图，设量角器的圆心为O，连接，， ∵量角器外缘边上有、两点，它们所表示的读数分别是、， ∴， ∴． 故选C． 7. 如图是抛物线的部分图象，其顶点坐标为，且与轴的一个交点在点和之间，则下列结论：①；②；③一元二次方程有两个不相等的实数根；④抛物线与轴另一个交点在到之间；其中正确结论的个数是（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的图象和系数的关系．熟练掌握抛物线对称轴，顶点坐标，与x轴交点，一元二次方程与二次函数的联系，是解决问题是关键． ①根据抛物线的对称轴公式即可求解； ②当x等于1时，y等于n，再利用对称轴公式即可求解； ③根据抛物线与x轴有两个交点即得； ④根据抛物线的对称性即可求解． 【详解】解：①∵根据题意得：抛物线的对称轴为， 即， ∴， ∴①错误； ②当时，， ∴， ∵， ∴， ∴②正确； ③∵抛物线与x轴有两个交点， ∴一元二次方程有两个不相等的实数根． ∴③正确 ④∵抛物线的顶点坐标为， 即对称轴为直线， 且与x轴的一个交点在点和之间， ∴抛物线与x轴另一个交点在到之间． ∴④正确． ∴正确的有②③④，共3个． 故选：C． 8. 如图，在大小为的正方形网格中，是相似三角形的是（ ） A. ①和② B. ②和③ C. ②和④ D. ①和④ 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查勾股定理，相似三角形的判定，掌握相似三角形的定理是解题关键．利用勾股定理分别求出每个三角形的三边长，再根据两三角形的三组对应边的比例相等，则这两个三角形相似判断即可． 【详解】解：①中三角形三边分别为，2，， ②中三角形三边分别为，3，， ③中三角形三边分别为，，， ④中三角形三边分别为2，，， ∵， ∴是相似三角形的是①和④． 故选D． 9. 如图，在中，，于点，正方形的顶点在线段上，是线段上一点，，连接，若要求与的面积和，则只需要知道线段（ ）的长 A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，正方形的性质， 证明，可得，根据，可得即可求解． 【详解】解：， ， ， ， ， ， ， 四边形是正方形， ， ， ， ∴若要求与的面积和，则只需要知道线段的长， 故选：B． 10. 如图，在中，点在优弧上，将弧沿折叠后刚好经过的三等分点，，若的半径为，，则的长是（ ） A. 8 B. C. 6 D. 【答案】A 【解析】 【分析】连接，过点作于点，过点作于点，过点作于点，首先根据题意可知，，结合垂径定理可知，进而由勾股定理可解得值；再结合折叠的性质可知弧和弧所在的圆为等圆，进而可得，易知，由等腰三角形的性质可得，证明四边形为矩形，由矩形的性质可得，，在中，由勾股定理解得的值，然后解得，最后在中由勾股定理计算的长即可． 【详解】解：如图，连接，过点作于点，过点作于点，过点作于点， ∵的半径为，，点为的三等分点，且， ∴，，， ∴， ∵将弧沿折叠， ∴弧和弧所在的圆为等圆， 又∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∵，，， ∴， ∴四边形为矩形， ∴，， ∴在中，， ∴， ∴． 故选：A． 【点睛】本题主要考查了折叠的性质，弧、弦、圆周角的关系，垂径定理，等腰三角形的判定与性质，矩形的判定与性质，勾股定理等知识，正确作出辅助线，综合运用相关知识是解题关键． 二、填空题（每小题3分，共18分） 11. 把抛物线向上平移1个单位，得到的抛物线的表达式为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查二次函数图象的平移，掌握平移规律是解题关键．根据二次函数图象的平移规律“上加下减，左加右减”求解即可． 【详解】解：把抛物线向上平移1个单位，得到的抛物线的表达式为． 故答案为：． 12. 如图，的两条中线、交于点，若，则长为______． 【答案】2 【解析】 【分析】本题考查三角形重心的定义和性质，掌握三角形三边中线的交点为三角形的重心和重心的性质是解题关键．根据题意得出点F为的重心，即得出． 【详解】解：∵的两条中线、交于点， ∴点F即为的重心， ∴． 故答案为：2． 13. 线段，线段，则线段的比例中项是________． 【答案】4 【解析】 【分析】此题考查比例的性质，设线段的比例中项是c，则，即可求出c，正确理解比例中项定义是解题的关键． 【详解】解：设线段的比例中项是c，则 ∴ ∴（负值舍去） 故答案为：4． 14. 已知一个扇形的弧长为，半径为2，则这个扇形的面积为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了扇形面积的计算，比较简单，解答本题的关键是熟练掌握扇形面积的计算公式． 根据扇形的面积公式即可得出答案． 【详解】解：， 故答案为：． 15. 已知函数（为常数），当时，函数的最大值与最小值之差为9，则的值为______． 【答案】或． 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的性质、二次函数的最值，根据题意，利用二次函数的性质和分类讨论的方法可以求得的值，即可求解，解题的关键是明确题意，利用二次函数的性质和分类讨论的方法解答． 【详解】解：∵函数 ∴该函数的对称轴为直线，函数图象开口向上， 当时，当时，随的增大而增大， ∴当时，该函数取得最小值是，当时，该函数取得最大值是， ∵当时，函数的最大值与最小值之差为， ∴ 解得：（不合题意，舍去）， 当时，当时，函数的最小值是，最大值是， ∵当时，函数的最大值与最小值之差为9， 解得：或(不合题意，舍去)； 当时，当时，函数的最小值是，最大值是， ∵当时，函数的最大值与最小值之差为， 解得：或 (不合题意，舍去)； 当时，当时，随的增大而减小， ∴当时，该函数取得最大值是，当时，该函数取得最小值是， ∵当时，函数的最大值与最小值之差为， 解得：（不合题意，舍去）； 由上可得，的值是或， 故答案为：或． 16. 如图，线段长为4，以为圆心，线段为半径作，点为上一动点，点为线段中点，连接，将线段绕点逆时针旋转得到线段，连接，则的最大值为______． 【答案】 【解析】 【分析】过A作，使，连接，证明，可得，可知E在以F为圆心，长为半径的圆上运动，当时，的值最大，进而得解． 【详解】解：过A作，使，连接， ， ， ， ， 在中，， ， 将线段绕点逆时针旋转得到线段， ， ， ， ， 在中，， ， ， ， ， ， E在以F为圆心，长为半径的圆上运动， 延长交于，则， 当时，的值最大， 为线段中点， ， ， 的最大值为， 故答案为：． 【点睛】本题考查了相似三角形的性质和判定，等腰三角形的性质，勾股定理，点圆最值问题，解题的关键是正确作出辅助线构造相似三角形，证明E在圆上运动． 三、解答题（本大题共8小题，17-21题各8分，22、23题10分，24题12分，共72分） 17. 已知抛物线 （1）求出该抛物线与轴两个交点的坐标； （2）自变量在什么范围内，随的增大而增大？ （3）在抛物线上有两个点、，比较、大小． 【答案】（1）和 （2） （3） 【解析】 【分析】本题考查求抛物线与轴的交点坐标，二次函数的图象和性质，比较二次函数值，熟练掌握二次函数的图象和性质是解题关键． （1）令，求出x的值，即得出该抛物线与轴两个交点的坐标； （2）求出其对称轴，结合开口方向为向上即得出答案； （3）将点、代入，求出、的值，再比较即可． 【小问1详解】 解：令，则， 解得：，， ∴该抛物线与轴两个交点的坐标分别为和； 【小问2详解】 解：∵该抛物线解析式为， ∴其对称轴为直线，图象开口向上， ∴当时随的增大而增大； 【小问3详解】 解：分别将、代入， 得：，， ∴． 18. 如图，三个顶点坐标分别为、、． （1）如图，三个顶点坐标分别为、、，是通过位似变换得到，请写出位似中心______；和位似比为______； （2）请在平面直角坐标系中画出满足（1）中条件的另一个位似变换得到的． 【答案】（1）点；． （2）答案见解析． 【解析】 【分析】本题考查的是位似变换的性质，正确理解位似与相似的关系，记忆关于原点位似的两个图形对应点坐标之间的关系是解题的关键． （1）由位似变换定义∶位似中心为对应顶点连线所在直线的交点，可确定位似中心．有对应边长比可求出和位似比； （2）位似变换有两种∶正向位似，反向位似．题给为反向位似，还存在满足（1）中条件正向位似，即位似中心，画出另一个位似变换得到的． 【小问1详解】 解：作图连接，，交与点， 故位似中心为点． 和位似 位似比为对应边长之比，即和位似比． 由勾股定理得∶，． 故位似比． 故答案为：点，． 【小问2详解】 解：画出满足（1）中条件的另一个位似变换得到的． 位似中心点，与位似比为，绘图如图（连接，，．取其中点为，，，连接得到） 19. 下面三个情境中我们都可以估计或计算各自的概率 （1）在一次试验中，老师共做了400次掷图钉游戏并记录了游戏的结果，绘制了钉尖朝上的频率折线统计图，如图①所示，请估计钉尖朝上的概率； （2）图②是一个可以自由转动的转盘，任意转动该转盘，当转盘停止时，计算指针落在丁区域的概率； （3）图③是中国的《四大名著》，没有读过的两名同学准备从中各自随机挑选一本来阅读，请用列表法或树状图求他们选中同一名著的概率． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】本题主要考查了由频率估计概率，几何概率，列表法或树状图求概率等知识点，熟练掌握各概率的求法是解题的关键． （1）根据折线统计图，用频率估计概率即可； （2）用丁区域的圆心角度数除360度即可； （3）根据题意列出表格或画出树状图表示出所有等可能的结果，然后找出两名同学选中同一名著的结果数，最后根据概率公式计算概率即可． 【小问1详解】 解：由折线统计图可知，经过大量重复试验，频率在上下波动，逐渐稳定在， ∴； 【小问2详解】 解：； 【小问3详解】 解：设西游记为A，红楼梦为B，水浒传为C，三国演义为D， 根据题意可列表如下： 甲 乙 A B C D A AA AB AC AD B BA BB BC BD C CA CB CC CD D DA DB DC DD 由表格可知，共有16种等可能的结果，其中两名同学选中同一名著的结果有4种， ∴． 20. 如图，四边形为菱形，点在延长线上，． （1）求证：为等腰三角形； （2）求证：； （3）当，时，求的长． 【答案】（1）证明见解析 （2）证明见解析 （3） 【解析】 【分析】（1）由菱形的性质可得，由平行线的性质可得，再结合已知条件，可得，于是结论得证； （2）由菱形的性质可得，由等边对等角可得，由（1）可得，进而可得，再结合，于是结论得证； （2）由（2）可得，于是可得，代入数据计算即可得解． 【小问1详解】 证明：∵四边形为菱形， ∴， ∴， ∵， ∴，即：， ∴， ∴为等腰三角形； 【小问2详解】 证明：∵四边形为菱形， ∴， ∴， 由（1）可得：， ∴， 又， ∴； 【小问3详解】 解：由（2）可得：， ∴， ∵，， ∴， ． 【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定与性质，菱形的性质，等边对等角，等角对等边，平行线的性质等知识点，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键． 21. 如图，是的内接三角形，点为上一点，点、点分别在线段的两侧，，． （1）求的半径长； （2）如图1，若，求的长； （3）如图2，若，求的度数． 【答案】（1）2 （2） （3） 【解析】 【分析】本题考查了圆周角定理及其推论，勾股定理，等腰三角形的判定与性质等知识，解题的关键是： （1）先根据勾股定理求出的长度，然后根据的圆周角所对的弦是直径判断出是直径，即可求解； （2）设与相交于点E，根据等面积法求出，然后根据垂径定理求解即可； （3）证明是等边三角形，得出，根据勾股定理的逆定理证明，结合等边对等角和三角形内角和定理求出，即可求解． 【小问1详解】 解∶∵，，， ∴， ∵， ∴是是直径， ∴的半径为； 【小问2详解】 解：设与相交于点E， ∵，，，， ∴，即， ∴， ∵，是是直径， ∴； 【小问3详解】 解：∵， ∴是等边三角形， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴． 22. 如图，抛物线与轴交于点A和，与轴交于点． （1）求抛物线的解析式； （2）如图1，若点是直线上方的抛物线上的一个动点，求面积的最大值； （3）如图2，若点是抛物线上的一个动点（不与点A，B重合），过点P作直线轴于点，交直线于点．是否存在点，使？若存在，请写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1） （2）8 （3）或 【解析】 【分析】（1）将，代入求解即可； （2）过点P作轴于点Q，交于点M，求出直线解析式为．设，则，可求出，再根据，结合二次函数的性质求解即可； （3）由（2）同理可得，，即可求出，，结合，列方程求解即可． 【小问1详解】 解：将，代入， 得：， 解得：， ∴抛物线的解析式为； 【小问2详解】 解：如图，过点P作轴于点Q，交于点M， 设直线解析式为， ∴，解得：， ∴直线解析式为． 设，则， ∴， ∴， ∴当时，最大，最大值为8； 【小问3详解】 解：同（2）可知，， ∴，． ∵， ∴． 当时， 解得：，（舍）， ∴此时点P坐标； 当时， 解得：，（舍）， ∴此时点P坐标为． 综上可知存在点，使，点的坐标为或． 【点睛】本题为二次函数综合题，考查利用待定系数法求函数解析式，二次函数的图象和性质，一次函数的应用，一元二次方程的应用等知识，熟练掌握二次函数的图象和性质是解题关键． 23. 根据以下素材，探索完成任务． 探究铁锅内放蒸笼的问题 素材1 民以食为天，我们常见的大铁锅可近似的看作抛物线面，锅盖可近似的看作圆弧面．经过锅心和盖心的纵断面是一段抛物线和圆弧线组合而成的封闭图形（如图1）．蒸笼可以看成是若干个圆柱体叠加起来． 素材2 如图2，锅口直径为，锅深为，锅盖高为（锅口直径与锅盖口直径视为相同），把锅盖纵断面所在的圆记作． 素材3 如图3，圆柱体蒸笼底面直径，高度为，若干个这种规格的蒸笼叠加起来不需要考虑叠加缝隙． 问题解决 任务1 求弧所在的半径； 任务2 锅中原有水的最大深度为（如图4），由于加工食物的需要，又重新加入一定量的水，水位升高了，求此时的水面宽度； 任务3 在这个大铁锅中最多可以放入这种规格的圆柱形蒸笼多少个？ 任务4 为加工更大的食材，现需要将一个底面直径为，高度为的圆柱体蒸笼放入铁锅内，原本的锅盖无法正常使用，需要寻找一个新的圆弧形锅盖，使得新的蒸笼放入后，锅盖能恰好盖上（且锅口直径与锅盖口直径相同）请直接写出新锅盖纵断面圆弧所在圆的直径． 【答案】任务1： 的半径为；任务2：水面宽度为；任务3：最多可以放入这种规格的蒸笼3个；任务4：新锅盖纵断面圆弧所在圆的直径 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数综合运用、垂径定理，勾股定理等知识点，正确作出辅助线是解题的关键． 任务1：在 中，由勾股定理和垂径定理列方程求解即可； 任务2：先求出抛物线解析式为 ，再说明水位升高后水面距锅沿的竖直的高度为，即当时，x的2倍即为水面宽度； 任务3：由题意可知：当时，；根据题意可得，运用勾股定理可得、，进而求得，最后根据的范围即可解答； 任务4：当时，则，进而得到，设锅盖纵断面圆弧所在圆的半径为R，根据勾股定理可得，，再根据列方程求得R，进而求得直径即可． 【详解】解：（1）如图：圆心为 ，连接 ， 设 ，则 ， ， ， ∵，过圆心， ∴， 在 中， 由勾股定理可得： ， 即 ，解得：， ∴ 的半径为． （2）由题意知抛物线的顶点为，且过 ， ∴设抛物线解析式为： ， ，解得： ， ∴抛物线解析式为： ， ∵锅中原有水的最大深度为，又重新加入一定量的水，水位升高 ， ∴加水后水面水的最大深度为， ∴水面距锅沿的竖直高度为， 当时，，解得：， ∴水面宽度为． （3）解：对于抛物线，如图所示： 当时，，则 ， 对于，如图所示： ∵， ， ， ， ， ∵ ∵圆柱体蒸笼底面直径，高度为， ∴为了让锅盖能够盖上，最多可以放入这种规格的蒸笼3个． （4）解：对于抛物线，如图所示： 当时，，则 ， ∵底面直径为，高度为的圆柱体蒸笼放入铁锅内， ∴ 设锅盖纵断面圆弧所在圆的半径为R， ∴，， ∵， ∴，解得：（舍弃负值）， ∴新锅盖纵断面圆弧所在圆的直径． 24. 如图1，是的内接三角形，是的内心，连接并延长交于点、交于点，连接、、，已知，． （1）求证：是等腰三角形； （2）求证：； （3）如图2，若为的直径，求线段的长度； （4）若，求线段的长度． 【答案】（1）见解析 （2）见解析 （3） （4） 【解析】 【分析】（1）由三角形内心的性质得出，．根据圆周角定理的推论得出，从而得出，最后根据三角形外角性质可求出，即可证是等腰三角形； （2）证明，得出，结合（1）即得出； （3）由直径所对圆周角为直角结合勾股定理可得，．由是的内心，易证，即得出，代入数据即得出．再证明，即得出，即，代入数据即可求出的长； （4）过点B作于点G，连接，根据含30度角的直角三角形的性质结合勾股定理可求出．再证明四边形为菱形，即得出，，从而可求出．结合（3）知，，即得出，，从而即可求解． 【小问1详解】 证明：∵是的内接三角形，是的内心， ∴，． ∵， ∴， ∴． ∵，， ∴， ∴，即是等腰三角形； 【小问2详解】 证明：由（1）可知， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； 【小问3详解】 解：∵为的直径， ∴， ∴，． ∵是的内心， ∴， ∴， ∴，即， ∴． ∵，， ∴，， ∴， ∴，即， ∴，即， ∴， ∴， 解得：； 【小问4详解】 解：如图，过点B作于点G，连接， ∵， ∴， ∴， ∴，， ∴． ∵， ∴，， ∴． ∵是的内心，，， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴和都为等边三角形， ∴， ∴四边形为菱形， ∴，， ∴． 由（3）可知，， ∴，即，， ∴，， ∴，， ∴， 解得：（舍去负值，且验算正确）． 【点睛】本题考查三角形外接圆和内切圆的性质，圆周角定理及其推论，三角形相似的判定和性质，勾股定理，菱形的判定和性质等知识，掌握三角形相似的判定定理和性质定理是解题关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 仁爱中学2024学年第一学期初三年级 数学期中质量检测卷 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1. 若，则的值是（ ） A. 3 B. C. D. 1 2. 一个不透明的袋子中装有若干个除颜色外形状大小完全相同的球，如果其中有3个红球1个白球，从中随机摸出白球的概率是（ ） A. B. C. D. 3. 下列事件中，是随机事件是（ ） A. 明天太阳从西边升起 B. 画一个任意的三角形，内角和为 C. 一滴花生油滴入水中，油会浮在水面 D. 随意翻开数学书的某页，页码是偶数 4. 抛物线的顶点坐标是（ ） A. B. C. D. 5. 若四边形是内接四边形，且，则的大小是（ ） A. B. C. D. 6. 如图，量角器外缘边上有、、三点，它们所表示读数分别是、、，则的大小是（ ） A. B. C. D. 7. 如图是抛物线的部分图象，其顶点坐标为，且与轴的一个交点在点和之间，则下列结论：①；②；③一元二次方程有两个不相等的实数根；④抛物线与轴另一个交点在到之间；其中正确结论的个数是（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 8. 如图，在大小为的正方形网格中，是相似三角形的是（ ） A. ①和② B. ②和③ C. ②和④ D. ①和④ 9. 如图，在中，，于点，正方形的顶点在线段上，是线段上一点，，连接，若要求与的面积和，则只需要知道线段（ ）的长 A. B. C. D. 10. 如图，在中，点在优弧上，将弧沿折叠后刚好经过的三等分点，，若的半径为，，则的长是（ ） A 8 B. C. 6 D. 二、填空题（每小题3分，共18分） 11. 把抛物线向上平移1个单位，得到的抛物线的表达式为______． 12. 如图，的两条中线、交于点，若，则长为______． 13. 线段，线段，则线段的比例中项是________． 14. 已知一个扇形的弧长为，半径为2，则这个扇形的面积为______． 15. 已知函数（为常数），当时，函数的最大值与最小值之差为9，则的值为______． 16. 如图，线段长为4，以为圆心，线段为半径作，点为上一动点，点为线段中点，连接，将线段绕点逆时针旋转得到线段，连接，则的最大值为______． 三、解答题（本大题共8小题，17-21题各8分，22、23题10分，24题12分，共72分） 17. 已知抛物线 （1）求出该抛物线与轴两个交点的坐标； （2）自变量在什么范围内，随的增大而增大？ （3）在抛物线上有两个点、，比较、大小． 18. 如图，三个顶点坐标分别为、、． （1）如图，三个顶点坐标分别为、、，是通过位似变换得到的，请写出位似中心______；和位似比为______； （2）请在平面直角坐标系中画出满足（1）中条件的另一个位似变换得到的． 19. 下面三个情境中我们都可以估计或计算各自的概率 （1）在一次试验中，老师共做了400次掷图钉游戏并记录了游戏的结果，绘制了钉尖朝上的频率折线统计图，如图①所示，请估计钉尖朝上的概率； （2）图②是一个可以自由转动的转盘，任意转动该转盘，当转盘停止时，计算指针落在丁区域的概率； （3）图③是中国的《四大名著》，没有读过的两名同学准备从中各自随机挑选一本来阅读，请用列表法或树状图求他们选中同一名著的概率． 20. 如图，四边形为菱形，点在延长线上，． （1）求证：为等腰三角形； （2）求证：； （3）当，时，求的长． 21. 如图，是的内接三角形，点为上一点，点、点分别在线段的两侧，，． （1）求的半径长； （2）如图1，若，求的长； （3）如图2，若，求的度数． 22. 如图，抛物线与轴交于点A和，与轴交于点． （1）求抛物线的解析式； （2）如图1，若点是直线上方的抛物线上的一个动点，求面积的最大值； （3）如图2，若点是抛物线上的一个动点（不与点A，B重合），过点P作直线轴于点，交直线于点．是否存在点，使？若存在，请写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 23. 根据以下素材，探索完成任务． 探究铁锅内放蒸笼的问题 素材1 民以食为天，我们常见的大铁锅可近似的看作抛物线面，锅盖可近似的看作圆弧面．经过锅心和盖心的纵断面是一段抛物线和圆弧线组合而成的封闭图形（如图1）．蒸笼可以看成是若干个圆柱体叠加起来． 素材2 如图2，锅口直径为，锅深为，锅盖高为（锅口直径与锅盖口直径视为相同），把锅盖纵断面所在的圆记作． 素材3 如图3，圆柱体蒸笼底面直径，高度为，若干个这种规格的蒸笼叠加起来不需要考虑叠加缝隙． 问题解决 任务1 求弧所在的的半径； 任务2 锅中原有水的最大深度为（如图4），由于加工食物的需要，又重新加入一定量的水，水位升高了，求此时的水面宽度； 任务3 在这个大铁锅中最多可以放入这种规格的圆柱形蒸笼多少个？ 任务4 为加工更大的食材，现需要将一个底面直径为，高度为的圆柱体蒸笼放入铁锅内，原本的锅盖无法正常使用，需要寻找一个新的圆弧形锅盖，使得新的蒸笼放入后，锅盖能恰好盖上（且锅口直径与锅盖口直径相同）请直接写出新锅盖纵断面圆弧所在圆的直径． 24. 如图1，是的内接三角形，是的内心，连接并延长交于点、交于点，连接、、，已知，． （1）求证：等腰三角形； （2）求证：； （3）如图2，若为的直径，求线段的长度； （4）若，求线段的长度． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$