专题6.1 幂函数讲义（七大题型）-2025-2026学年高一上学期数学苏教版必修第一册

专题6.1 幂函数 题型1 判断函数是否为幂函数 (1)、幂函数的定义 一般地，(为有理数)的函数，即以底数为自变量，幂为因变量，指数为常数的函数称为幂函数. (2)、幂函数的特征：同时满足一下三个条件才是幂函数 ①的系数为1； ②的底数是自变量； ③指数为常数. 1．（2025高一·上海·专题练习）下列函数中是幂函数的是（    ） ① ；②；③ ；④；⑤ ；⑥ . A．① ③ ⑤ B．① ② ⑤ C．③ ⑤ D．只有⑤ 2．（25-26高一上·全国·课后作业）下面的函数中是幂函数的有（    ） ①；②；③；④；⑤． A．①⑤ B．①②③ C．②④ D．②③⑤ 3．（24-25高一上·上海·期中）下列函数是幂函数且在上是减函数的是（   ） A． B． C． D． 4．（24-25高一上·浙江丽水·期末）（多选题）下列函数中，为幂函数的是（   ） A． B． C． D． 5．（24-25高一上·河南郑州·阶段练习）（多选题）下列函数中是幂函数的是（    ） A． B． C． D． 6．（多选题）下列哪些函数是幂函数（    ） A． B． C． D． 7．（23-24高一上·四川广安·期中）（多选题）下列选项中哪些是幂函数（    ）． A． B． C． D． 题型2 幂函数的图像与性质 函数 图象 定义域 值域 奇偶性 奇 偶 奇 非奇非偶 奇 单调性 在上单调递增 在上单调递减，在上单调递增 在上单调递增 在上单调递增 在和上单调递减 公共点 1．（2025高一上·全国·专题练习）如图，①②③④对应四个幂函数的图象，则①对应的幂函数可以是（    ）    A． B． C． D． 2．（2025高一上·广东·专题练习）在同一坐标系内，函数和的图象可能是（   ） A． B． C． D． 3．（25-26高一上·全国·课前预习）如图，函数在上的图象对应的编号依次为（    ）    A．②①③ B．②③① C．①③② D．①②③ 4．（多选题）函数与在同一坐标系中的图象可能为（    ） A． B． C． D． 5．（24-25高一上·湖南·期中）（多选题）已知，则函数的大致图象可能为（   ） A．   B．   C．   D．   6．（23-24高一上·重庆北碚·期末）（多选题）函数与在同一直角坐标系中的图象不可能为（    ） A． B． C． D． 题型3 幂函数的定义域、值域与解析式 1．（25-26高三上·河南·阶段练习）已知幂函数的图象经过点，，则（    ） A． B．3 C．6 D．9 2．（2025高一上·全国·专题练习）幂函数的定义域是（ ） A． B． C． D． 3．（24-25高一上·山东烟台·期末）已知幂函数的图象经过点，则（    ） A．的定义域为 B．的值域为 C．为偶函数 D．是其定义域上的减函数 4．（2025·四川绵阳·模拟预测）关于函数，下列说法错误的是（    ） A．函数的定义域为 B．函数的值域为 C．函数在上单调递减，在上单调递增 D．函数是偶函数 5．（25-26高一上·吉林·期中）幂函数的图象经过点，则实数 . 6．（24-25高一上·湖南·阶段练习）已知幂函数的定义域是，则 ． 题型4 求与幂函数有关的复合函数的单调性与值域 1．（24-25高一上·江苏扬州·期末）若幂函数的图象经过点，则下列说法正确的是（   ） A．为偶函数 B．方程的实数根为 C．在上为增函数 D．的值域为 2．已知函数，若函数的值域为，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 3．幂函数y=xα中α的取值集合C是{–1，0，，1，2，3}的子集，当幂函数的值域与定义域相同时，集合C为 A．{–1，0，} B．{，1，2} C．{–1，，1，3} D．{，1，2，3} 4．（23-24高一上·广东佛山·阶段练习）函数的最大值是 . 题型5 根据幂函数的单调性求参数、解不等式与比较大小 1．（24-25高二下·云南临沧·期末）已知，函数在上是单调函数，则的取值范围是（  ） A． B． C． D． 2．（23-24高一上·湖南常德·期中）函数的单调递减区间为（    ） A． B． C． D． 3．（25-26高一上·全国·单元测试）已知，则（   ） A． B． C． D． 4．（24-25高一上·甘肃白银·阶段练习）设，，，则（    ） A． B． C． D． 5．（25-26高三上·甘肃兰州·阶段练习）已知幂函数在上单调递减．的值为 ． 6．（25-26高一上·全国·课后作业）若函数为减函数，则实数的取值范围为 ． 7．（25-26高一上·河南南阳·阶段练习）已知幂函数f(x)的图象经过点，则不等式的解集是 . 题型6 与幂函数有关的奇偶性问题 1．幂函数是奇函数，且在是减函数，则整数a的值是（    ） A．0 B．0或2 C．2 D．0或1或2 2．若函数是幂函数且为奇函数，则的值为 A．2 B．3 C．4 D．2或4 3．（24-25高一上·湖北武汉·期末）若幂函数为偶函数，则不等式的解集为 . 4．（24-25高一上·福建福州·期中）已知幂函数是偶函数，且在上是减函数，则 ． 题型7 综合问题 1．（24-25高一上·辽宁葫芦岛·期末）已知函数是幂函数，对任意的且，满足，若，则的值（    ） A．恒大于0 B．恒小于0 C．等于0 D．无法判断 2．（23-24高一上·山东青岛·期中）山东省青岛第二中学始建于1925年，悠悠历史翻开新篇：2025年，青岛二中将迎来百年校庆.在2023年11月8日立冬这天，二中学子摩拳擦掌，开始阶段性考试.若是定义在上的奇函数，对于任意给定的不等正实数，不等式恒成立，且，设为“立冬函数”，则满足“立冬函数”的x的取值范围是（    ） A． B． C． D． 3．（23-24高一上·广东广州·期中）已知函数，若，则 ，若关于的不等式在区间上有解，则实数的取值范围是 ． 4．（23-24高一上·上海·期末）已知，若对任意，恒成立，则的取值范围是 . 一、单选题 1．（23-24高一上·江苏南京·期末）已知幂函数的图象过点，则函数的单调递增区间为（    ） A． B． C． D． 2．（25-26高一上·陕西汉中·阶段练习）幂函数在区间上单调递增，则的值为（   ） A．或3 B．3 C． D．或-3 3．（24-25高一上·山西大同·期中）设，，则下列不等式中不正确的是（    ） A． B． C． D． 二、多选题 4．（23-24高一上·云南昆明·期中）下列说法正确的是（    ） A．若幂函数过点，则 B．函数表示幂函数 C．函数在单调递增 D．幂函数的图像都过点 5．已知幂函数（m，，m，n互质），下列关于的结论正确的是（    ） A．m，n是奇数时，幂函数是奇函数 B．m是偶数，n是奇数时，幂函数是偶函数 C．m是奇数，n是偶数时，幂函数是偶函数 D．时，幂函数在上是减函数 6．已知幂函数的图象经过点，则（    ） A．函数为增函数 B．函数为偶函数 C．当时， D．当时， 7．（24-25高一上·浙江杭州·期中）设，表示不超过的最大整数，如，记.则下列说法正确的有（   ） A．，都有 B．，都有 C．，都有 D．若存在实数，使得同时成立，则正整数的最大值为4. 三、填空题 8．（23-24高一下·辽宁·阶段练习）函数的值域为 . 9．函数的定义域是 ，值域是 ． 10．（24-25高一上·北京·阶段练习）已知幂函数在上单调递减. ①的值为 ； ②记，，若，则的取值范围是 . 11．已知a、b为正实数且，函数的定义域为．若函数在区间上的最大值为5，最小值为2，则函数在区间上的最大值与最小值的和为______． 12．（2025高一上·全国·专题练习）已知幂函数的图象关于轴对称，且在上单调递减，则满足的实数的取值范围为 ． 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题6.1 幂函数 题型1 判断函数是否为幂函数 (1)、幂函数的定义 一般地，(为有理数)的函数，即以底数为自变量，幂为因变量，指数为常数的函数称为幂函数. (2)、幂函数的特征：同时满足一下三个条件才是幂函数 ①的系数为1； ②的底数是自变量； ③指数为常数. 1．（2025高一·上海·专题练习）下列函数中是幂函数的是（    ） ① ；②；③ ；④；⑤ ；⑥ . A．① ③ ⑤ B．① ② ⑤ C．③ ⑤ D．只有⑤ 【答案】C 【难度】0.85 【知识点】判断函数是否是幂函数 【分析】根据幂函数的定义即可逐一判断. 【详解】的系数是而不是1，故①不是幂函数； 是指数函数，故②不是幂函数； 的底数是而不是，故④不是幂函数； 是两个幂函数和的形式，故⑥也不是幂函数； 而和具有幂函数的形式，故③ ⑤是幂函数. 故选：C. 2．（25-26高一上·全国·课后作业）下面的函数中是幂函数的有（    ） ①；②；③；④；⑤． A．①⑤ B．①②③ C．②④ D．②③⑤ 【答案】C 【难度】0.94 【知识点】判断函数是否是幂函数 【分析】根据幂函数的定义判断即可. 【详解】由幂函数定义可知，②④是幂函数， 故选：C. 3．（24-25高一上·上海·期中）下列函数是幂函数且在上是减函数的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.94 【知识点】判断函数是否是幂函数、判断一般幂函数的单调性 【分析】利用幂函数的定义及性质逐项判断即得. 【详解】对于AB，与都是幂函数，在上都单调递增，AB不是； 对于C，函数不是幂函数，C不是； 对于D，函数是幂函数，且在上是减函数，D是. 故选：D 4．（24-25高一上·浙江丽水·期末）（多选题）下列函数中，为幂函数的是（   ） A． B． C． D． 【答案】AC 【难度】0.94 【知识点】判断函数是否是幂函数 【分析】利用幂函数的定义，对各个选项逐一分析判断，即可求解. 【详解】由幂函数的定义知，和是幂函数， 和不是幂函数，分别是二次函数和指数函数， 故选：AC. 5．（24-25高一上·河南郑州·阶段练习）（多选题）下列函数中是幂函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【难度】0.94 【知识点】判断函数是否是幂函数 【分析】根据幂函数的定义直接得出结果. 【详解】根据幂函数的定义，知道，，都是幂函数.不是幂函数，是正比例函数. 故选：ABD. 6．（多选题）下列哪些函数是幂函数（    ） A． B． C． D． 【答案】BD 【难度】0.94 【知识点】判断函数是否是幂函数 【分析】由幂函数的定义对比选项即可求解. 【详解】由幂函数的标准形式，对比选项可知，与符合题意. 故选：BD. 7．（23-24高一上·四川广安·期中）（多选题）下列选项中哪些是幂函数（    ）． A． B． C． D． 【答案】AC 【难度】0.94 【知识点】判断函数是否是幂函数 【分析】由幂函数的定义依次判断各项即可. 【详解】因为幂函数定义：一般地，函数叫做幂函数，其中x是自变量，是常数， 又，所以A项、C项正确. 故选：AC. 题型2 幂函数的图像与性质 函数 图象 定义域 值域 奇偶性 奇 偶 奇 非奇非偶 奇 单调性 在上单调递增 在上单调递减，在上单调递增 在上单调递增 在上单调递增 在和上单调递减 公共点 1．（2025高一上·全国·专题练习）如图，①②③④对应四个幂函数的图象，则①对应的幂函数可以是（    ）    A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.85 【知识点】幂函数图象的判断及应用 【分析】根据①对应的函数图象特点分析. 【详解】由图可知，①对应的幂函数：函数的定义域为，在第一象限内单调递增， 且图象呈现上凸趋势，则指数的值满足，排除选项AD； 又的定义域为R，的定义域为， 故符合题意. 故选：C. 2．（2025高一上·广东·专题练习）在同一坐标系内，函数和的图象可能是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.65 【知识点】幂函数图象的判断及应用、函数图像的识别、一次函数的图像和性质 【分析】根据幂函数和一次函数的单调性判断的正负，可判断ABC，再由一次函数与坐标轴交点坐标及单调性判断D. 【详解】对于A，函数，，函数，；二者矛盾，不可能成立； 对于B，函数，，函数，；二者矛盾，不可能成立； 对于C，函数，，函数，；可能成立； 对于D，函数，，函数，，，矛盾，不可能成立． 故选：C． 3．（25-26高一上·全国·课前预习）如图，函数在上的图象对应的编号依次为（    ）    A．②①③ B．②③① C．①③② D．①②③ 【答案】B 【难度】0.85 【知识点】幂函数图象的判断及应用、判断一般幂函数的单调性 【分析】根据幂函数的单调性判断即可. 【详解】根据幂函数的单调性， 当时，在上单调递增， 且时，在上的图象增长速度越来越快， 时，在上的图象匀速增长， 时，在上的图象的图象增长速度越来越慢， 当时，在上单调递减， 因为，所以②为的图象，③为的图象，①为的图象． 故选：B. 4．（多选题）函数与在同一坐标系中的图象可能为（    ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【难度】0.85 【知识点】幂函数图象的判断及应用 【分析】根据题意，结合幂函数与二次函数的图象与性质，逐项判定，即可求解. 【详解】当时，为奇函数，定义域为，且在上递减，而开口向下，对称轴为，，故A符合，B错误； 当时，函数的定义域为，且在上递增，开口向上，且对称轴为，，图象和x轴有两个交点，故C符合； 当时，为偶函数，且在上递增，开口向上，且对称轴为，，其图象和x轴没有交点，故D符合. 故选:ACD. 5．（24-25高一上·湖南·期中）（多选题）已知，则函数的大致图象可能为（   ） A．   B．   C．   D．   【答案】ABC 【难度】0.85 【知识点】幂函数图象的判断及应用、判断一般幂函数的单调性、函数奇偶性的定义与判断 【分析】利用幂函数的单调性，奇偶性逐项判断即可. 【详解】当时，，在上单调递增， 且，所以图象关于原点对称，故B正确； 当时，，在上单调递增， 且，所以图象关于轴对称，故A正确； 当时，，在上单调递增，故D错误； 当时，，在上单调递增，， 且，所以图象关于原点对称，与C不符合， 当时，，在上单调递增，， 且，所以图象关于轴对称，故C正确. 故选：ABC 6．（23-24高一上·重庆北碚·期末）（多选题）函数与在同一直角坐标系中的图象不可能为（    ） A． B． C． D． 【答案】BD 【难度】0.65 【知识点】二次函数的图象分析与判断、幂函数图象的判断及应用 【分析】结合二次函数与幂函数的性质，逐一分析各选项即可得解. 【详解】因为，， 对于A，当时，，其图象开口向下，对称轴为， ，其图象关于原点对称，且在上单调递减，故A满足要求； 对于B，当开口向上时，， 此时在上单调递增，故B不满足要求； 对于C，当时，，其图象开口向上，对称轴为， ，其图象在上单调递增，且越来越缓，故C满足要求； 对于D，当开口向上时，， 此时其对称轴为，故D不满足要求. 故选：BD. 题型3 幂函数的定义域、值域与解析式 1．（25-26高三上·河南·阶段练习）已知幂函数的图象经过点，，则（    ） A． B．3 C．6 D．9 【答案】D 【难度】0.94 【知识点】求幂函数的解析式 【分析】根据幂函数的定义设函数解析式，通过列方程求解. 【详解】设幂函数，则，解得. 故，解得. 故选： 2．（2025高一上·全国·专题练习）幂函数的定义域是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.94 【知识点】求幂函数的定义域 【分析】根据幂函数有意义可直接得到结果. 【详解】，，即的定义域为. 故选：B. 3．（24-25高一上·山东烟台·期末）已知幂函数的图象经过点，则（    ） A．的定义域为 B．的值域为 C．为偶函数 D．是其定义域上的减函数 【答案】C 【难度】0.94 【知识点】求幂函数的定义域、判断一般幂函数的单调性、求幂函数的解析式、求幂函数的值域 【分析】根据幂函数的定义求出解析式，然后对选项逐个判断即可. 【详解】设，则，解得，故， 则的定义域为，故A错误； 的值域为，故B错误； ，则为偶函数，故C正确； 在和上分别单调递减，不能说是在其定义域上的减函数，故D错误. 故选：C. 4．（2025·四川绵阳·模拟预测）关于函数，下列说法错误的是（    ） A．函数的定义域为 B．函数的值域为 C．函数在上单调递减，在上单调递增 D．函数是偶函数 【答案】C 【难度】0.85 【知识点】求幂函数的定义域、判断一般幂函数的单调性、求幂函数的值域、判断五种常见幂函数的奇偶性 【分析】整理可得，结合二次函数分析定义域、值域以及单调性，即可判断ABC；再根据偶函数的定义判断D. 【详解】因为函数， 对于选项A：令，解得， 所以函数的定义域为，故A正确； 对于选项B：因为，则，可得， 所以函数的值域为，故B正确； 对于选项C：因为在上单调递减，在上单调递增， 所以函数在上单调递减，在上单调递增，故C错误； 对于选项D：因为函数的定义域为，关于原点对称， 且，可知函数为偶函数，故D正确； 故选：C. 5．（25-26高一上·吉林·期中）幂函数的图象经过点，则实数 . 【答案】/-0.5 【难度】0.85 【知识点】求幂函数的解析式 【分析】根据幂函数图象所过的点计算求参即可. 【详解】幂函数的图象经过点，则 则实数. 故答案为：. 6．（24-25高一上·湖南·阶段练习）已知幂函数的定义域是，则 ． 【答案】 【难度】0.85 【知识点】根据函数是幂函数求参数值、求幂函数的定义域 【分析】根据幂函数的系数为，求出的值，再结合幂函数的定义域进行检验即可. 【详解】因为函数为幂函数，则，即， 解得或， 当时，函数的定义域为，合乎题意； 当时，函数的定义域为，舍去. 综上所述，. 故答案为: 题型4 求与幂函数有关的复合函数的单调性与值域 1．（24-25高一上·江苏扬州·期末）若幂函数的图象经过点，则下列说法正确的是（   ） A．为偶函数 B．方程的实数根为 C．在上为增函数 D．的值域为 【答案】B 【难度】0.65 【知识点】判断一般幂函数的单调性、求幂函数的解析式、求幂函数的值域、函数奇偶性的应用 【分析】先代点求出幂函数的解析式，然后判断幂函数的性质即可. 【详解】设，代入点可得，所以， 所以，因为，所以，即函数的定义域为， 对于A：因为的定义域为，不关于原点对称， 所以既不是为偶函数也不是奇函数，故A错误； 对于B：令，所以，解得，故B正确； 对于C，因为，因为，所以在上为减函数，故C错误； 对于D：因为，所以，所以， 的值域为，故D错误. 故选：B. 2．已知函数，若函数的值域为，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.65 【知识点】根据分段函数的值域（最值）求参数、求幂函数的值域、利用函数单调性求最值或值域、分段函数的值域或最值 【分析】求出分段函数在各段上的函数值集合，再根据给定值域，列出不等式求解作答. 【详解】函数在上单调递减，其函数值集合为， 当时，的取值集合为，的值域，不符合题意， 当时，函数在上单调递减，其函数值集合为， 因函数的值域为，则有，解得， 所以实数的取值范围为. 故选：D 3．幂函数y=xα中α的取值集合C是{–1，0，，1，2，3}的子集，当幂函数的值域与定义域相同时，集合C为 A．{–1，0，} B．{，1，2} C．{–1，，1，3} D．{，1，2，3} 【答案】C 【难度】0.65 【分析】对α=–1，0，，1，2，3逐一讨论得解. 【详解】根据幂函数y=x–1，y=x0，y=，y=x，y=x2，y=x3的图象和解析式可知，当α=–1时，相应幂函数的值域与定义域相同，均为；当α=时，相应幂函数的值域与定义域相同，均为；当α=1时，相应幂函数的值域与定义域相同，均为R；当α=3时，相应幂函数的值域与定义域相同，均为R，故选C． 【点睛】本题主要考查幂函数的图像和性质，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力. 4．（23-24高一上·广东佛山·阶段练习）函数的最大值是 . 【答案】/0.25 【难度】0.85 【知识点】求与幂函数有关的复合函数值域 【分析】求出定义域，令，结合幂函数和二次函数性质求解. 【详解】，解得.定义域为. , 令.则. ，在单调递增，在单调递减. 则，，则. 故答案为：. 题型5 根据幂函数的单调性求参数、解不等式与比较大小 1．（24-25高二下·云南临沧·期末）已知，函数在上是单调函数，则的取值范围是（  ） A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.65 【知识点】根据分段函数的单调性求参数、判断与幂函数相关的复合函数的单调性 【分析】利用相关幂函数及复合函数性质得，，在上单调递增，结合已知列不等式求参数范围. 【详解】对于，，结合相关幂函数性质，易知其在上单调递增，故函数在R上单调递增， 所以，即. 故选：D. 2．（23-24高一上·湖南常德·期中）函数的单调递减区间为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.65 【知识点】判断与幂函数相关的复合函数的单调性 【分析】令，，利用复合函数的单调性求解. 【详解】解：由，得，即， 解得，所以 的定义域为， 令，在上递增，在上递减，又，在上递减， 所以在上递减， 所以函数的单调递减区间为， 故选：C 3．（25-26高一上·全国·单元测试）已知，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.65 【知识点】由幂函数的单调性比较大小 【分析】根据指数性质化简，构造函数，根据单调性比较大小. 【详解】，，对于幂函数， 因为指数，故在上单调递增，又，所以． 故选：C. 4．（24-25高一上·甘肃白银·阶段练习）设，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.65 【知识点】由幂函数的单调性比较大小 【分析】将，，换算成幂函数的形式，然后根据函数的单调性求解. 【详解】由题意可知，，， 因为在上是增函数，且， 所以． 故选：C. 5．（25-26高三上·甘肃兰州·阶段练习）已知幂函数在上单调递减．的值为 ． 【答案】 【难度】0.65 【知识点】根据函数是幂函数求参数值、由幂函数的单调性求参数 【分析】根据幂函数的结构特征求出m，再根据单调性即可得答案. 【详解】因为函数是幂函数， 所以，解得或， 当时，在区间上单调递减， 当时，在上单调递增，不满足题意， 故． 故答案为： 6．（25-26高一上·全国·课后作业）若函数为减函数，则实数的取值范围为 ． 【答案】 【难度】0.65 【知识点】根据分段函数的单调性求参数、根据函数的单调性求参数值、分段函数的性质及应用、由幂函数的单调性求参数 【分析】分段函数单调递减则各段均为递减函数，且左边函数的右端点值不小于右边函数的左端点值，由此建立不等式，求得的取值范围． 【详解】为上的减函数， 时，单调递减，即，则； 时，单调递减，即，则；且，即． 综上可得，的取值范围是． 故答案为：. 7．（25-26高一上·河南南阳·阶段练习）已知幂函数f(x)的图象经过点，则不等式的解集是 . 【答案】 【难度】0.65 【知识点】由幂函数的单调性解不等式、判断一般幂函数的单调性、求幂函数的解析式 【分析】求出幂函数解析式，利用幂函数的单调性列不等式求解即可. 【详解】设幂函数为，代入可得， 即，解得，所以， 由函数在上单调递增，得，解得， 所以不等式的解集为. 故答案为： 题型6 与幂函数有关的奇偶性问题 1．幂函数是奇函数，且在是减函数，则整数a的值是（    ） A．0 B．0或2 C．2 D．0或1或2 【答案】B 【难度】0.65 【知识点】幂函数的单调性的其他应用、幂函数的奇偶性的应用、求幂函数的解析式 【分析】由题得，且是奇数，且是整数，根据条件求出的值即可． 【详解】由于幂函数是奇函数，且在是减函数， 故，且是奇数，且是整数， ，， 当时，，是奇数，； 当时，，不是奇数； 当时，，是奇数； 故或2． 故答选：B 2．若函数是幂函数且为奇函数，则的值为 A．2 B．3 C．4 D．2或4 【答案】D 【难度】0.65 【知识点】幂函数的奇偶性的应用、求幂函数的解析式 【分析】根据幂函数的定义，求得或，分别代入函数的解析式，验证函数的奇偶性，即可求解，得到答案. 【详解】由题意，函数是幂函数，可得， 解得或， 当时，函数，此时函数为奇函数，满足题意； 当时，函数，此时函数为奇函数，满足题意， 故选D. 【点睛】本题主要考查了幂函数的定义，以及幂函数的图象与性质的应用，着重考查了推理与运算能力，属于基础题. 3．（24-25高一上·湖北武汉·期末）若幂函数为偶函数，则不等式的解集为 . 【答案】 【难度】0.65 【知识点】根据函数是幂函数求参数值、幂函数的奇偶性的应用、由幂函数的单调性解不等式 【分析】根据幂函数的定义和性质可得，代入解不等式即可. 【详解】因为为幂函数， 则，解得或， 若，则为偶函数，符合题意； 若，则为奇函数，不符合题意； 综上所述：. 不等式，即为，等价于，解得， 所以不等式的解集为. 故答案为：. 4．（24-25高一上·福建福州·期中）已知幂函数是偶函数，且在上是减函数，则 ． 【答案】 【难度】0.65 【知识点】根据函数是幂函数求参数值、幂函数的奇偶性的应用、由幂函数的单调性求参数 【分析】根据幂函数的定义和性质求解即可. 【详解】因为幂函数是偶函数， 所以且为偶数， 所以或， 又因为幂函数在上是减函数， 所以，即，所以. 故答案为：. 题型7 综合问题 1．（24-25高一上·辽宁葫芦岛·期末）已知函数是幂函数，对任意的且，满足，若，则的值（    ） A．恒大于0 B．恒小于0 C．等于0 D．无法判断 【答案】B 【难度】0.4 【知识点】根据函数是幂函数求参数值、由幂函数的单调性比较大小、由幂函数的单调性求参数、函数奇偶性的应用 【分析】根据幂函数的定义和单调性求的值，分析函数的奇偶性，根据为奇函数可得结果. 【详解】∵函数是幂函数，∴，解得或， ∵对任意的且，满足， ∴在上为增函数，故，即， ∵，∴为上单调递增的奇函数， ∵，∴， ∴，故. 故选：B. 2．（23-24高一上·山东青岛·期中）山东省青岛第二中学始建于1925年，悠悠历史翻开新篇：2025年，青岛二中将迎来百年校庆.在2023年11月8日立冬这天，二中学子摩拳擦掌，开始阶段性考试.若是定义在上的奇函数，对于任意给定的不等正实数，不等式恒成立，且，设为“立冬函数”，则满足“立冬函数”的x的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.4 【知识点】根据函数的单调性解不等式、由幂函数的单调性比较大小、定义法判断或证明函数的单调性、函数奇偶性的应用 【分析】根据给定的恒成立的不等式，结合幂函数性质可得函数在的单调性，再借助奇函数性质求解不等式即可得解. 【详解】函数在上单调递增，，则，即， 由，得，即， 又函数在上单调递增，因此，于是函数在上单调递减， 而函数是上的奇函数，则函数在上单调递减，且， 由及，得，因此或， 解，当时，，，此时不等式组无解， 当时，，，不等式组的解为， 当时，，，则有，解得，即， 因此不等式组的解为， 解，由，得，则，不等式组无解， 所以“立冬函数”的x的取值范围是. 故选：D 【点睛】思路点睛：涉及分段函数解不等式问题，先在每一段上求解不等式，再求出各段解集的并集即可. 3．（23-24高一上·广东广州·期中）已知函数，若，则 ，若关于的不等式在区间上有解，则实数的取值范围是 ． 【答案】 【难度】0.65 【知识点】一元二次不等式在某区间上有解问题、求与幂函数有关的复合函数值域 【分析】代入数据计算，平方得到，再计算得到答案，设，得到 ，变换得到，计算最值得到答案. 【详解】，，故， . ，即， 设，，在上单调递减，在上单调递增， 故，， 故，故， 函数在上单调递减，在上单调递增， ，故. 故答案为：；. 4．（23-24高一上·上海·期末）已知，若对任意，恒成立，则的取值范围是 . 【答案】 【难度】0.4 【知识点】函数不等式恒成立问题 【分析】将不等式化为，结合分段函数的图象与性质数形结合计算即可. 【详解】 原不等式可化为，令， 则， 作出图象如图所示，易知的零点为， 要满足题意需的图象始终位于图象的上方（部分可重合）， 则需或， 所以当且仅当时取得最小值，显然没有上限. 故答案为：. 【点睛】难点点睛：首先是将不等式恒成立问题分离转化为两个分段函数与的图象所处位置问题.作出函数草图数形结合并分类讨论，关键点是对应了图象折线段的倾斜程度，同时对应了的零点位置，所以根据折线段的倾斜程度将分成和两种情况，同时注意范围及端点处即可 一、单选题 1．（23-24高一上·江苏南京·期末）已知幂函数的图象过点，则函数的单调递增区间为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.65 【知识点】求幂函数的解析式、判断与幂函数相关的复合函数的单调性 【分析】利用待定系数法求出幂函数的解析式，然后利用复合函数的单调性得出结果． 【详解】设，因为的图象过点， 所以，解得，即， 可得在上单调递减， 则函数， 由，解得或， 则函数在上单调递减，在上单调递增， 所以函数的单调递增区间为. 故选：A. 2．（25-26高一上·陕西汉中·阶段练习）幂函数在区间上单调递增，则的值为（   ） A．或3 B．3 C． D．或-3 【答案】B 【难度】0.65 【知识点】根据函数是幂函数求参数值、由幂函数的单调性求参数 【分析】利用幂函数的定义求解参数，再利用单调性取舍即可. 【详解】由于为幂函数，则， 解得或3， 又因为在区间上单调递增，则， 综上， 故选：B. 3．（24-25高一上·山西大同·期中）设，，则下列不等式中不正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.65 【知识点】由已知条件判断所给不等式是否正确、由幂函数的单调性比较大小、作差法比较代数式的大小 【分析】运用函数单调性判定A，B，运用作差法判定D，运用特殊值判定C. 【详解】解析：因为在上是增函数，所以，故A正确； 因为在上是减函数，所以，故B正确； 当时，，所以C错误； 因为；所以.故D正确. 故选：C. 二、多选题 4．（23-24高一上·云南昆明·期中）下列说法正确的是（    ） A．若幂函数过点，则 B．函数表示幂函数 C．函数在单调递增 D．幂函数的图像都过点 【答案】AB 【难度】0.85 【知识点】判断函数是否是幂函数、判断一般幂函数的单调性、求幂函数的解析式 【分析】根据题意，由幂函数的定义以及性质，对选项逐一判断，即可得到结果. 【详解】设，则，解得，所以，故A正确； 因为是幂函数，故B正确； 因为函数，由幂函数的性质可知，所以在单调递减，故C错误； 因为幂函数不过点，故D错误； 故选：AB 5．已知幂函数（m，，m，n互质），下列关于的结论正确的是（    ） A．m，n是奇数时，幂函数是奇函数 B．m是偶数，n是奇数时，幂函数是偶函数 C．m是奇数，n是偶数时，幂函数是偶函数 D．时，幂函数在上是减函数 【答案】AC 【难度】0.65 【知识点】幂函数的奇偶性的应用、判断一般幂函数的单调性 【分析】根据幂函数中结论一一分析即可. 【详解】 对A，当m，n是奇数时，的定义域为，关于原点对称， ，则幂函数是奇函数，故A中的结论正确； 对B，当m是偶数，n是奇数，幂函数在时无意义，故B中的结论错误； 对C，当m是奇数，n是偶数时，的定义域为，关于原点对称， ，则幂函数是偶函数，故C中的结论正确； 对D，时，幂函数在上是增函数，故D中的结论错误； 故选：AC. 6．已知幂函数的图象经过点，则（    ） A．函数为增函数 B．函数为偶函数 C．当时， D．当时， 【答案】ACD 【难度】0.65 【知识点】幂函数的奇偶性的应用、由幂函数的单调性解不等式、判断一般幂函数的单调性、求幂函数的解析式 【分析】设幂函数的解析式，代入点，求得函数的解析式，根据幂函数的单调性可判断A、C项，根据函数的定义域可判断B项，结合函数的解析式，利用平方差证明不等式可判断D项. 【详解】解：设幂函数，则，解得，所以， 所以的定义域为，在上单调递增，故A正确， 因为的定义域不关于原点对称，所以函数不是偶函数，故B错误， 当时，，故C正确， 当时，， 又，所以，D正确． 故选：ACD. 7．（24-25高一上·浙江杭州·期中）设，表示不超过的最大整数，如，记.则下列说法正确的有（   ） A．，都有 B．，都有 C．，都有 D．若存在实数，使得同时成立，则正整数的最大值为4. 【答案】ACD 【难度】0.4 【知识点】由幂函数的单调性比较大小、函数新定义 【分析】根据的定义，易判断AB；结合，可得，进而结合与均为整数，可得，进而得到，再结合题意可判断C；通过不等式不断夹逼的范围，直至求得满足题意的即可判断D. 【详解】对于A，，，故A正确； 对于B，当时，，， 此时，故B错误； 对于C，因为，所以， 又与均为整数，所以， 即，则，故C正确； 对于D，，，， ，， 当时，，， 因为，所以，即 当时，，，， 因为，所以， 当时，，，，， 因为，所以， 所以若，则，此时，即， 故不存在满足，， ，，同时成立， 所以正整数的最大值为4，故D正确. 故选：ACD. 【点睛】方法点睛：与新定义有关的问题的求解策略： 1.通过给出一个新的定义，或约定一种新的运算，或给出几个新模型来创设新问题的情景，要求在阅读理解的基础上，依据题目提供的信息，联系所学的知识和方法，实心信息的迁移，达到灵活解题的目的； 2.遇到新定义问题，应耐心读题，分析新定义的特点，弄清新定义的性质，按新定义的要求，“照章办事”，逐条分析、运算、验证，使得问题得以解决. 三、填空题 8．（23-24高一下·辽宁·阶段练习）函数的值域为 . 【答案】 【难度】0.85 【知识点】幂函数的奇偶性的应用、判断一般幂函数的单调性、求幂函数的值域 【分析】结合函数解析式并利用幂函数单调性可求得其值域为. 【详解】由幂函数性质可知在上单调递增， 又易知为偶函数， 所以当时，可知在上单调递减， 可得. 故答案为： 9．函数的定义域是 ，值域是 ． 【答案】 【难度】0.94 【知识点】求幂函数的定义域、求幂函数的值域 【分析】根据函数成立的条件，结合幂函数的图象和性质即可得到结论． 【详解】由幂函数的图象和性质可知，函数的定义域为，值域为. 故答案为：；. 10．（24-25高一上·北京·阶段练习）已知幂函数在上单调递减. ①的值为 ； ②记，，若，则的取值范围是 . 【答案】 【难度】0.65 【知识点】根据函数是幂函数求参数值、根据交集结果求集合或参数、求幂函数的值域、由幂函数的单调性求参数 【分析】根据幂函数的定义及单调性得到，求出，即可得到函数解析式，由函数的单调性求出集合，再根据，得到或，即可得解. 【详解】因为幂函数在上单调递减， 所以，解得； 因为在上单调递减， 又，， 则， 因为，所以或，解得或， 即的取值范围是. 故答案为：； 11．已知a、b为正实数且，函数的定义域为．若函数在区间上的最大值为5，最小值为2，则函数在区间上的最大值与最小值的和为______． 【答案】7或/或7 【难度】0.65 【知识点】求幂函数的值域 【分析】由幂函数的性质求解即可 【详解】令，． 由幂函数的性质，可知的图像关于原点对称或者关于y轴对称． 又因为函数在区间上的最大值为5，最小值为2， 所以，当的图像关于原点对称时， 在区间上的最大值为7，最小值为4， 在区间上的最大值为，最小值为， 于是在区间上的最大值为，最小值为． 所以在区间上的最大值与最小值的和为； 同理可得，当的图像关于y轴对称时， 在区间上的最大值为5，最小值为2． 所以在区间上的最大值与最小值的和为； 因此，在区间上的最大值与最小值的和为7或． 故答案为：7或． 12．（2025高一上·全国·专题练习）已知幂函数的图象关于轴对称，且在上单调递减，则满足的实数的取值范围为 ． 【答案】 【难度】0.65 【知识点】根据函数是幂函数求参数值、由幂函数的单调性解不等式、由幂函数的单调性求参数 【分析】先根据幂函数单调性和对称性求得，然后探究函数的性质，利用单调性解不等式组即可求解. 【详解】因为幂函数在上单调递减，所以，解得， 又，所以． 又幂函数的图象关于轴对称，所以为偶数， 所以，故不等式为， 因为函数的定义域为，且在和上单调递减， 当时，，当时，， 故不等式可化为或或，解得或，即实数的取值范围为． 故答案为： 1 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