精品解析：广东省广州市增城中学、华侨中学、协和中学2025-2026学年高二上学期期中联考数学试卷

2025-2026学年广州市增城中学，华侨中学，协和中学高二上 学期期中三校联考数学试卷 2025年11月 命题：广东侨中高二备课组 审题人：李小琪 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 直线的倾斜角为（     ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】首先求出直线的斜率，由，求得倾斜角. 【详解】直线，即， 所以直线的斜率，设倾斜角为，则， 又，所以，即直线的倾斜角为， 故选：D 2. 已知空间向量，，且，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据向量垂直得，即可求出的值. 【详解】. 故选：B. 3 已知空间向量，，共面，则（ ） A. B. 1 C. 2 D. 3 【答案】A 【解析】 【分析】由空间向量的共面定理，代入计算，即可得到结果. 【详解】由共面可知，存在实数使得， 即， 所以，解得. 故选：A 4. 若直线与圆相交，则点（ ）． A. 与圆O的位置关系不确定 B. 在圆O内 C. 在圆O上 D. 在圆O外 【答案】D 【解析】 【分析】根据直线与圆的位置关系，利用圆心到直线的距离可得解. 【详解】由可知圆心为，半径， 因为直线与圆相交， 所以，即， 所以点在圆外. 故选：D 5. 一条光线从射出，经直线后反射，反射光线经过点，则反射光线所在直线方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】首先求出关于的对称点，然后根据两点式求解直线方程即可； 【详解】设关于的对称点为， 则有， 解得：，即， 反射光线所在直线为， 整理得： 故选：B． 6. 在平行六面体中，，，，，，，则的长为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由，利用向量数量积的运算律及已知求的长. 【详解】如下图， ，则， 所以， 又，， 所以. 故选：B 7. 过定点的直线与过定点的直线交于点（与不重合），则面积的最大值为（ ） A. 4 B. C. 2 D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据方程可得定点A、B，并且可判断两直线垂直，然后利用基本不等式可得. 【详解】动直线化为，可知定点， 动直线化为，令， 解得，可知定点， 又， 所以直线与直线垂直，为交点， . 则，当且仅当时，等号成立. 即面积的最大值为. 故选：B. 8. 如图，棱长为3的正方体的顶点A在平面上，三条棱都在平面的同侧，若顶点到平面的距离分别为，则顶点到平面的距离是（ ） A. B. 2 C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】求点到平面的距离，建立空间直角坐标系，由顶点到平面的距离分别为，利用空间点到平面距离公式，求出平面的法向量，即可求出结论. 【详解】如图，以为坐标原点，建立空间直角坐标系， 则， 所以， 设平面的一个法向量为， 则点到平面距离为，① 点到平面距离为，② 由①②可得， 所以到平面的距离为. 故选：C. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部外选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 下列命题正确的有（ ） A. 两平行线间的距离为2 B. 过点且在两坐标轴上截距相等的直线有两条 C. 直线方向向量可以是 D. 直线与直线平行，则或2 【答案】AB 【解析】 【分析】计算平行直线的距离得到A正确；截距相等的直线有和，B正确；直线的一个方向向量是，C错误；当时，两直线重合，D错误. 【详解】A，两平行线间的距离为，A正确； B，过点且在两坐标轴上截距相等的直线：截距为0时， 截距不为0时，设，代入，可得，故直线方程为：，B正确； C，直线的一个方向向量是，与不平行，C错误； D，验证当时，两直线重合，D错误. 故选：AB. 10. 设动直线：交圆：于A，B两点（点为圆心），则下列说法正确的有（ ） A. 直线l过定点 B. 当取得最小值时， C. 当最小时，其余弦值为 D. 的最大值为24 【答案】AD 【解析】 【分析】对于A将直线方程整理为，令即可求定点，进而判断，对于B根据几何知识得到当直线与过点和的直线垂直时，利用即可求解，进而判断，对于C根据几何知识得到当直线与过点和的直线垂直时最小，然后利用勾股定理和余弦定理求余弦值即可；对于D，根据外心的结论得到，然后求最值即可. 【详解】对于A：由有，令有， 所以，所以直线l过定点，故A正确； 对于B：点在圆内，圆的圆心为，当取得最小值时，直线与过点和的直线垂直， 所以，解得，故B错误； 对于C：当最小时，此时最小，当最小时，直线与过点和的直线垂直， 则，由余弦定理有，故C错误； 对于D：，即最大值为24，故D正确， 故选：AD. 11. 如图，正方体的棱长为2，，，分别为，，的中点，是其表面上的一个动点，则下列说法正确的是（ ） A. 当在表面上运动时，三棱锥的体积为定值 B. 当在线段中点时，平面截正方体所得截面的面积为 C. 当在底面上运动，且满足平面时，长度的最小值是 D. 使直线与平面所成的角为45°的点的轨迹长度为 【答案】BCD 【解析】 【分析】求出三棱锥的底面积和高即可判断A项；作出截面图形即可判断B项；建立空间直角坐标系，求出平面的法向量，然后利用向量关系即可确定点坐标满足的关系，从而可求长度的表达式，进而判断C项；分在各个面内讨论，可判断D项. 【详解】选项A：当在表面上运动时，由于的面积不变，点到平面的距离为正方体棱长， 所以三棱锥的体积不变，且，所以A错误； 选项B：由平面在两平行平面上的交线互相平行，取的中点，的中点，的中点， 连接，，，，延长，一定与交于一点， 所以，，，四点共面，同理可证，，，四点共面， 则过点，，作正方体的截面，截面为正六边形，边长为， 设正六边形对角线交点为，则正六边形的面积为，故B正确； 选项C：当在底面上运动，以为原点，，，所在的直线分别为轴、轴和轴，建立空间直角坐标系， 可得，，，，，，设，，， 则，，， 设平面的一个法向量为，则， 取，可得，，所以， 因为平面，所以，可得， 所以，当时，等号成立，所以C正确； 选项D：因为直线与平面所成的角为45°，由平面，得直线与所成的角为45°， 若点在平面和平面内，因为，，故不成立； 若点在平面内，此时点的轨迹是； 若点在平面内，此时点的轨迹是； 若点在平面时，作平面，如图所示， 因为，所以，又因为，所以，所以， 所以点的轨迹是以点为圆心，以2为半径的四分之一圆，所以点的轨迹的长度为， 综上，点轨迹的总长度为，所以D正确； 故选：BCD． 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 过，，三点的圆的标准方程为_______. 【答案】. 【解析】 【分析】设圆的标准方程为，代入，，得到的方程组求解即可. 【详解】不妨设圆的标准方程为，由， 可解得于是圆的标准方程为. 故答案为：. 13. 圆与圆的公共弦长为________. 【答案】 【解析】 【分析】先将圆的方程化为标准方程，确定圆心和半径，然后通过两圆方程相减得到公共弦所在直线方程，再利用点到直线距离公式求出圆心到公共弦的距离，最后结合勾股定理求出弦长. 【详解】法1，两圆与圆均过点，，弦长为. 法2，两圆方程相减可得公共弦所在的直线方程， 圆的圆心到直线的距离， 故公共弦长为. 故答案为：. 14. 已知正四面体的棱长为，动点在面上运动，且满足，　则的值为__________. 【答案】0 【解析】 【分析】由四点共面推得，再以为基底进行向量运算可得. 【详解】动点在平面上运动，且不共线， 则存在实数，使. 即， 所以. 又， 不共面， 由空间向量基本定理可知，故，解得. 即. 因为四面体正四面体，且棱长为. 所以，. 所以 . 故答案为：0. 四、解答题（本题包括5小题，共77分，请写出解答过程和必要的计算步骤.） 15. 直线l经过两直线：和：的交点. （1）若直线l与直线垂直，求直线l的方程； （2）若点到直线l的距离为5，求直线l的方程. 【答案】（1） （2）或. 【解析】 【分析】（1）联立方程组，求得两直线的交点坐标，利用垂直关系求得斜率，结合点斜式方程，即可求解； （2）分直线的斜率存在与不存在，结合点到直线的距离公式求得斜率，利用点斜式方程，即可求解. 【小问1详解】 解：联立方程组，解得交点， 又直线与直线垂直，所以直线的斜率为， 则直线的方程为，即. 【小问2详解】 当直线的斜率不存在时，直线的方程为，满足点到直线的距离为5； 当直线的斜率存在时，设直线的方程为，即， 则点到直线的距离为，求得， 故直线的方程为，即， 综上可得，直线的方程为或. 16. 已知圆M以为圆心且过坐标原点O，直线交圆M于不同的两点C，D. （1）求圆M的方程，并求与直线相交的弦长； （2）设P在圆M上，当的面积为4时，求直线PM的方程. 【答案】（1）， （2） 【解析】 【分析】（1）由圆心、圆上点坐标求半径，进而写出圆M的方程，先利用点线距离公式求得弦心距，然后利用几何法求解弦长； （2）由点线距离公式求得P到直线距离，可知直线PM垂直于直线，进而应用点斜式直线方程求解即可. 【小问1详解】 圆M的半径． 故圆M的方程为． 圆心到直线即的距离， 即，直线与圆M相交，可知弦长为． 【小问2详解】 因为圆心在直线上，所以． 设点P到直线距离为，则的面积为，所以， 因为且P在圆M上，所以直线PM垂直直线， 所以直线PM的斜率为，故直线PM方程为， 即． 17. 如图，在四棱锥中，四边形为菱形，，为正三角形，，. （1）证明：平面平面； （2）求平面与平面夹角的余弦值． 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）设中点为，连接，利用线面垂直和面面垂直的判定定理证明即可； （2）以为原点，所在直线分别为轴建立坐标系，分别求出平面与平面的法向量，利用坐标公式求解即可. 【小问1详解】 设中点为，连接， 因四边形为菱形，，所以为正三角形， 又为正三角形，则，， 因为，所以， 所以，即， 因为，平面，所以平面， 因为平面，所以平面平面. 【小问2详解】 由（1）可知两两垂直， 以为原点，所在直线分别为轴建立如图所示坐标系， 则，，，，， 易知平面的一个法向量，设平面的法向量， 则，可得平面的一个法向量， 设平面与平面的夹角为， 则， 所以平面与平面夹角的余弦值为. 18. 圆C过点及原点，且圆心C在直线上． （1）求圆C的方程： （2）定点，由圆C外一点P向圆C引切线，切点为Q，且满足． ①求点P的轨迹方程； ②求的最大值． 【答案】（1） （2）①；② 【解析】 【分析】（1）由题意可求出圆心和半径，即可求得答案； （2）①设,连接，利用圆的切线性质以及即可求解；②求出C关于直线的对称点，数形结合，根据的几何意义，即可求解. 【小问1详解】 由题意知圆C过点及原点，则线段的垂直平分线方程为， 又圆心C在直线上，则联立，解得，则圆心为， 故半径为, 故圆的方程为； 【小问2详解】 ①设,连接，则， 则，而，即得， 即得， 即点P的轨迹方程为； ②设C关于直线的对称点为， 则，解得，即， 故, 当P点位于上时，等号成立，故的最大值为. 19. 如图，在三棱柱中，满足平面，且． （1）若，且，分别是，的中点．求直线AD与平面的夹角的正弦值． （2）若，求三棱锥的外接球的半径的最小值． 【答案】（1）； （2）. 【解析】 【分析】（1）建立空间直角坐标系，求出关键点的坐标和关键平面的法向量，再利用向量与法向量求解正弦值即可. （2）利用外接球的性质结合正弦定理得到，再结合基本不等式求解其最小值，最后得到的最小值即可. 【小问1详解】 建立为轴，为轴，过点垂直于底面的直线为轴的空间直角坐标系， 据题可知，，，， 则， 设平面的法向量为， 则得到， 令，解得，，则， 设直线 与平面 的夹角为， 故直线与平面的夹角的正弦值． 【小问2详解】 据题知， 在等腰中，设的外心是，外接圆半径是， 据正弦定理得，解得， 如图，在直角中，，则， 设外接球球心是，则平面，设外接球半径为，即， ， 则 ， 令，则， ， 当且仅当时等号成立， 此时， 则该三棱锥的外接球的半径的最小值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年广州市增城中学，华侨中学，协和中学高二上 学期期中三校联考数学试卷 2025年11月 命题：广东侨中高二备课组 审题人：李小琪 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 直线的倾斜角为（     ） A. B. C. D. 2. 已知空间向量，，且，则的值为（ ） A. B. C. D. 3 已知空间向量，，共面，则（ ） A. B. 1 C. 2 D. 3 4. 若直线与圆相交，则点（ ）． A. 与圆O的位置关系不确定 B. 在圆O内 C. 在圆O上 D. 在圆O外 5. 一条光线从射出，经直线后反射，反射光线经过点，则反射光线所在直线方程为（ ） A. B. C. D. 6. 在平行六面体中，，，，，，，则长为（ ） A. B. C. D. 7. 过定点的直线与过定点的直线交于点（与不重合），则面积的最大值为（ ） A. 4 B. C. 2 D. 8. 如图，棱长为3的正方体的顶点A在平面上，三条棱都在平面的同侧，若顶点到平面的距离分别为，则顶点到平面的距离是（ ） A. B. 2 C. D. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部外选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 下列命题正确的有（ ） A. 两平行线间的距离为2 B. 过点且在两坐标轴上截距相等的直线有两条 C. 直线的方向向量可以是 D. 直线与直线平行，则或2 10. 设动直线：交圆：于A，B两点（点为圆心），则下列说法正确的有（ ） A. 直线l过定点 B. 当取得最小值时， C. 当最小时，其余弦值为 D. 的最大值为24 11. 如图，正方体的棱长为2，，，分别为，，的中点，是其表面上的一个动点，则下列说法正确的是（ ） A. 当在表面上运动时，三棱锥的体积为定值 B. 当在线段中点时，平面截正方体所得截面的面积为 C. 当在底面上运动，且满足平面时，长度的最小值是 D. 使直线与平面所成的角为45°的点的轨迹长度为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 过，，三点的圆的标准方程为_______. 13. 圆与圆的公共弦长为________. 14. 已知正四面体的棱长为，动点在面上运动，且满足，　则的值为__________. 四、解答题（本题包括5小题，共77分，请写出解答过程和必要的计算步骤.） 15. 直线l经过两直线：和：的交点. （1）若直线l与直线垂直，求直线l方程； （2）若点到直线l的距离为5，求直线l的方程. 16. 已知圆M以为圆心且过坐标原点O，直线交圆M于不同两点C，D. （1）求圆M的方程，并求与直线相交的弦长； （2）设P在圆M上，当的面积为4时，求直线PM的方程. 17. 如图，在四棱锥中，四边形为菱形，，为正三角形，，. （1）证明：平面平面； （2）求平面与平面夹角的余弦值． 18. 圆C过点及原点，且圆心C在直线上． （1）求圆C的方程： （2）定点，由圆C外一点P向圆C引切线，切点为Q，且满足． ①求点P的轨迹方程； ②求最大值． 19. 如图，在三棱柱中，满足平面，且． （1）若，且，分别是，的中点．求直线AD与平面的夹角的正弦值． （2）若，求三棱锥的外接球的半径的最小值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $