27.2.3相似三角形的应用举例（基础练+提升练+拓展练+达标检测）2025-2026学年人教版九年级数学下册大单元教学分层优化练

2025学年人教版九年级数学下大单元教学分层优化练 27.2.3相似三角形的应用举例（基础练+提升练+拓展练+达标检测） 知识点1 利用相似三角形测量高度 测量不能到达顶部的物体的高度，通常使用“在同一时刻物高与影长的比例相等”的原理解决. 注意：测量旗杆的高度的几种方法： 平面镜测量法 影子测量法 手臂测量法 标杆测量法 题型1利用影子比例法测高度 例1．如图，树垂直立在地面上，嘉嘉在时测得树的影子长为，时又测得该树的影子长为，若两次日照的光线互相垂直，求树的高度长．（精确到，参考数据：，，） 【变式1-1】．如图，小明想测量旗杆的高度，他在某一时刻测得1米长的竹竿竖直放置时影长为米，在同一时刻测量旗杆的影长时，因旗杆靠近一楼房，影子不全落在地面上，有一部分落在墙上，经测得落在地面上的影长为米，落在墙上的影高为米，求旗杆的高度． 【变式1-2】．为测量水平操场上旗杆的高度，九（1）班各学习小组运用了下面两种测量方法． (1)如图1，小张在测量时发现，自己在操场上的影长恰好等于自己的身高．此时，小组同学测得旗杆的影长为，据此可得旗杆高度为__________； (2)如图2，小李站在操场上点处，前面水平放置镜面，并通过镜面观测到旗杆顶部．小组同学测得小李的眼睛距地面高度，小李到镜面距离，镜面到旗杆的距离．求旗杆高度； 【变式1-3】．如图，上体育课，甲、乙两名同学分别站在、的位置时，乙的影子恰好在甲的影子里面，已知甲，乙同学相距1米（米）．甲身高米（米），乙身高米（米），则甲的影长（）是多少米？ 题型2利用标杆辅助法测高度 例2．数学活动课上，老师让同学们借助所学知识测量塔的高度．小天的测量方案如下：如图，先在点处竖立一根木棍，此时发现地面上的点、木棍的顶端与塔的顶端在一条直线上；然后在点处竖立一根木棍，此时发现地面上的点、木棍的顶端与塔的顶端在一条直线上，已知，点在一条直线上，米，米，米，求塔的高度．（图中所有的点均在同一平面内） 【变式2-1】．魏晋南北朝时期，中国数学在测量学方面取得了长足进展．刘徽提出重差术，应用中国传统的出入相补原理，通过多次观测，测量山高水深等数值，进而使中国的测量学达到登峰造极的地步，其著作《海岛算经》，就是测量海岛的高度和距离．受此题启发，小明同学依照此法测量学校后山的高度和距离，录得以下数据（单位：米）：表目距，，表目高，表距．求山高． 【变式2-2】．某数学活动小组欲测量某建筑的高度，如图，在距为的点处竖立一根长为的直杆，恰好使得观测点、直杆的顶点和该建筑的顶点在同一条直线上． 若，，求该建筑的高． 【变式2-3】．如图所示，小明和小华想测量楼顶的避雷针顶端的高度．小明先在竖起的标杆上的点处，测得点的仰角为；然后，小华适当调整位置，竖起标杆，使点，C，在同一直线上，并测得，．已知三点在同一水平直线上，均垂直于，求避雷针顶端的高度． 题型3利用镜面反射法测高度 例3．小明在学习了相似以后，尝试用平面镜的反射原理测学校小广场旗杆的高度，如图，是旗杆，是水平地面，是平放在地面的一面平面镜，是眼睛到地面的距离，调整和的位置，通过镜面反射（法线地面，），当眼睛正好在平面镜中看到旗杆顶端时，测出，，． (1)求旗杆的高度； (2)为了减少误差，请提出一个合理化的建议． 【变式3-1】．根据背景素材，探索解决问题． 测算旗杆的高度 背景素材：如图1，在反射现象中，反射光线、入射光线和法线都在同一个平面内，反射光线和入射光线分别位于法线两侧；入射角等于反射角，这就是光的反射定律．    问题解决1：如图2，小红同学正在使用手电筒进行物理光学实验，地面上从左往右依次是墙，木板和平面镜，手电筒的灯泡在点处，手电筒的光从平面镜上点处反射后，恰好经过木板的边缘点，落在墙上的点处，点到地面的高度，点到地面的高度，灯泡到木板的水平距离，木板到墙的水平距离为．图中A，B，C，D在同一条直线上．    任务（1）小红求得用到的几何知识是 ； （2）求灯泡到地面的高度． 问题解决2：测量某广场旗杆的高度（旗杆垂直于地面），携带的测量工具有皮尺，标杆（标杆比人高）、平面镜，假如你是该校的学生，请你适当选用给出的工具，设计一种测量旗杆的高度的方案（不能攀登旗杆），画出测量示意图（不必写出测量过程），写出测量数据（线段长度用表示），并根据你的测量方案，计算出旗杆的高度（结果用含的式子表示）．    【变式3-2】．如图，小红正在使用手电筒进行物理光学实验，地面上从左往右依次是墙、木板和平面镜．手电筒的灯泡位于点G处，手电筒的光从平面镜上点B处反射后，恰好经过木板的边缘点F，落在墙上的点E处．点E到地面的高度，点F到地面的高度，灯泡到木板的水平距离，墙到木板的水平距离为，由物理知识可知，且图中点A、B、C、D在同一水平面上． (1)求的长； (2)求手电筒灯泡到地面的高度． 【变式3-3】．小明要测量一座古塔的高度，从距他2米的一小块积水处C看到塔顶的倒影，已知小明的眼部离地面的高度是1.5米，塔底中心B到小明的距离是40米．则塔高为多少米？ 知识点2 利用相似三角形测量距离 量不能直接到达的两点间的距离，常构造如下两种相似三角形求解。 1．如甲图所示，通常可先测量图中的线段DC、BD、CE的距离（长度），根据相似三角形的性质，求出AB的长. 2．如乙图所示，可先测AC、DC及DE的长，再根据相似三角形的性质计算AB的长. 　　 注意：　 1． 比例尺：表示图上距离比实地距离缩小的程度，比例尺= 图上距离/ 实际距离; 2． 太阳离我们非常遥远，因此可以把太阳光近似看成平行光线．在同一时刻，两物体影子之比等于其对应高的比; 3． 视点：观察事物的着眼点（一般指观察者眼睛的位置）; 4. 仰（俯）角：观察者向上（下）看时，视线与水平方向的夹角． 题型4利用影子测距离 例4．【学科融合】如图1，在反射现象中，反射光线、入射光线和法线都在同一个平面内，反射光线和入射光线分别位于法线两侧，反射角r等于入射角i． 【问题解决】如图2，小红同学正在使用手电筒进行物理光学实验，地面上从左往右依次是墙、木板和平面镜．激光笔在点G处，激光笔的光从平面镜上点B处反射后，恰好经过木板的上边缘点F，落在墙上的点E处．已知点G到地面的高度，木板的高度，点G到木板的水平距离，木板到墙的水平距离（图中点A，B，C，D在同一水平线上）． (1)求点B到木板的距离的长． (2)求点E到地面的高度． 【变式4-1】．（1）如图，表示一个窗户的高，和表示射入室内的光线，窗户的下端到地面的距离已知某一时刻在地面的影长，在地面的影长，求窗户的高度． （2）在国家政策的积极扶持下，环保意识日渐深入人心，新能源汽车的市场需求逐渐上升．某汽车企业下属的一个专卖店经销一款进价为15万元/辆的新能源汽车，经销一段时间后发现，当该款汽车售价定为25万元/辆时，平均每周售出8辆；售价每降低万元，平均每周多售出1辆．若该店计划下调售价使平均每周的销售利润为96万元，并且尽量让利于顾客，求下调后每辆汽车的售价． 【变式4-2】．据《墨经》记载，在两千多年前，我国学者墨子和他的学生做了“小孔成像”实验，阐释了光的直线传播原理．小孔成像的示意图如图所示，光线经过小孔，物体在幕布上形成倒立的实像（点，的对应点分别是，）．物体的高为，实像的高为，物体与实像的距离为，点，，在一条直线上，，，均与垂直，求小孔到的距离． 【变式4-3】．如图，阳光通过窗口照到室内，在地面上留下宽的亮区，已知亮区一边到窗下的墙脚距离，窗口高，求窗口底边离地面的高的长． 题型5利用相似测内径 例5．如图，有些空心圆柱形机械零件的内径是不能直接测量的，往往需要使用交叉卡钳进行测量．图中所示为一个零件的剖面图，它的外径为a，内径未知．现用交叉卡钳去测量，若则这个零件的内径为多少，直接写出零件的壁厚x是多少？（用含a，b，m的代数式表示）    【变式5-1】．如图1是装了液体的长方体容器的主视图（数据如图），将该容器绕地面一棱进行旋转倾斜后，水面恰好接触到容器口边缘，如图2所示，求此时液面AB的宽度． 【变式5-2】．如图1，长、宽均为3cm，高为8cm的长方体容器，放置在水平桌面上，里面盛有水，水面高为6cm，绕底面一棱进行旋转倾斜后，水面恰好触到容器口边缘，图2是此时的示意图，则图2中水面高度是多少厘米？ 将这个情景转化成几何图形，如图3所示，请同学们借助图3利用相似的知识解答CF的高是多少？ 【变式5-3】．小孔成像中的数学：如图1，小孔成像是重要的科学现象，它可以验证光的直线传播性质．如图2是其光路简图：表示小孔，的长为物距，的长为像距，，，三点在同一条直线上，物于，像于． (1)求证：； (2)某地，正午时分，阳光通过树叶间的缝隙在地面上形成了一个圆形光斑，小明观察到此现象后，想估算一下太阳的直径．他先测量了光斑的直径，记为，查阅资料后，知道地球到太阳的距离为．如果要估测太阳的直径，还需要测量______，用表示所测得的量，则太阳的直径可表示为______．（用含有，，的代数式表示） 题型6利用镜面反射测井深 例6．古代数学著作《九章算术》中的“井深”问题：“今有井径五尺，不知其深，立五尺木于井上，从木末望水岸，入径四寸，问井深几何？”它的意思是：如图，尺，尺，问井深是多少？请解答上述问题． 【变式6-1】．《坐井观天》是大家熟知的寓言故事，“坐井观天”这个成语出自唐代韩愈《原道》：“坐井而观天，曰天小者，非天小也．”通过青蛙和一只小鸟的对话可知青蛙看到的“天”只有如井口一般大小，其原因是光是直线传播的．假设在《坐井观天》故事中的青蛙所在的井是圆柱形（如图），长为，井深为．某天青蛙蹲坐在井底的圆心位置抬头向上望去，雁群离地面的垂直高度约为，雁群的“领头雁”在直线PQ上的投影到井口中心的距离约为． (1)此时青蛙是否可以看见雁群的“领头雁”？请说明理由． (2)当雁群沿直线飞行一段时间后，“领头雁”刚好到达青蛙的左边视线边界，此时尾雁刚好到达青蛙的右边视线边界离井口正中心的水平距离约为，求此时雁群队伍的长度． 【变式6-2】．综合与实践：古井探秘． 【了解】 在中国传统文化中，人们常以“井”寓意家乡．在江南水乡的苏州，水井更是独特的文化符号．图①是苏州平江区居民老宅的水井，该井的内部为圆柱体形状，图②是该井的侧面示意图，其中为井口直径，，为水面直径，且．为经水面所成的虚像（与关于对称），点P为观测点，，分别与相交于点M，N． 【发现】 如图②，当观测点P在上自由移动时，的长度是否会发生改变？如果不变，求出的长；如果改变，请说明理由； 【探索】 图③是当观测点P在井口的上方处（即图④中的）时，拍摄的一张照片．量得照片中的水面直径，井口的倒影直径．请你利用示意图④，求出井口到水面距离AC的长． 【变式6-3】．如图，在长、宽、高都为4 m的房间正中央的天花板上悬挂一只白炽灯泡，为了集中光线，加上灯罩．已知灯罩深8 cm，灯泡离地面3 m，为了使光线能照在墙壁上的1 m高处，问灯罩的直径应为多少？ 知识点3 利用相似三角形测有遮挡物的问题 题型7 视线遮挡问题 例7．如图，小刚家窗外有一堵围墙，由于围墙的遮挡，清晨太阳光恰好从窗户的最高点射进房间的地板处，中午太阳光恰好能从窗户的最低点射进房间的地板处．小刚测得窗子距地面的高度，窗高，并测得，．求围墙的高度．（图中、、三点在同一条直线上） 【变式7-1】．学完《相似》一章后，某中学数学实践小组决定利用所学知识去测量河的宽度．如图，这条河的两岸是平行的，小丽站在离南岸20米（即米）的点处懒北岸，小军、小强站在南岸边，调整小军、小强两人的位置，当小军、小强两人分别站在两点处时，小丽发现河北岸边的两根电线杆恰好被小军、小强遮挡（即三点共线，三点共线）．已知电线杆之间的距离为75米，小军、小强两人之间的距离为30米，求这条河的宽度． 【变式7-2】．如图，小丁家窗外有一堵围墙AB，由于围墙的遮挡，清晨太阳光恰好从窗户的最高点C射进房间地面的D处，中午太阳光恰好能从窗户的最低点E射进房间地面的F处，AB⊥BD于点B，CE⊥BD于点O，小丁测得OE＝1m，CE＝1.5m，OF＝1.2m，OD＝12m，求围墙AB的高为多少米． 【变式7-3】．在物理课上，我们学习过“小孔成像”——用一个带有小孔的薄板遮挡在物体与光屏之间，在光的照射下，光屏上就会形成一个倒立的实像．如图，光线分别经过物体的两端和小孔，投射在与平行的光屏上形成了实像．已知，小孔与、的距离分别为、．求的长（用含a、、的代数式表示）． 题型8影子不完全落在地面问题 例8．小明想测量电线杆的高度，他发现电线杆的影子正好落在坡面和地面上，已知和地面成角，，且此时测得高的标杆在地面的影长为，求的长度． 【变式8-1】．小明想测量电线杆的高度，他发现电线杆的影子正好落在坡面和地面上，已知和地面成角，，且此时刻得高的标杆在地面的影长为． (1)点D到地面的距离为 米 (2)求电线杆的高（结果保留根号） (3)若是在坡底下C处的一棵大树，树尖刚好落在光线上，在山坡上有一建筑物高，求此时它落在坡面上的影长 （结果保留根号）． 【变式8-2】．阅读以下文字并解答问题：在“测量物体的高度”活动中，某数学兴趣小组的3名同学选择了测量学校里的三棵树的高度，在同一时刻的阳光下，他们分别做了以下工作： 小芳：测得一根长为1米的竹竿的影长为0.8米，甲树的影长为4.08米（如1图）． 小华：发现乙树的影子不全落在地面上，有一部分影子落在教学楼的墙壁上（如2图），墙壁上的影长为1.2米，落在地面上的影长为2.4米． 小明：测得丙树落在地面上的影长为2.4米，落在坡面上影长为3.2米（如3图）．身高是1.6米的小明站在坡面上，影子也都落坡面上，小芳测得他的影长为2米． （1）在横线上直接填写甲树的高度为______米，乙树的高度为________米﹔ （2）请求出丙树的高度． 【变式8-3】．如图，小明测得树落在水平地面上的影长为米，落在坡面上的影长为米，身高是米的小明站在坡面上，影子也都落在坡面上，长度为米．已知坡面的铅直高度与水平距离的比为，试求树的高度． 题型9 相似三角形中的动态问题应用举例 例9．如图，中，，，，点，分别在边，上，将沿直线折叠，点恰好落在边上的点处，且． （1）求的长； （2）点是射线上的一个动点，连接，，，的面积与的面积相等， ①当点在线段上时，求的长； ②当点在线段的延长线上时，________； （3）将直线平移，平移后的直线与直线，直线分别交于点和点，以线段为一边作正方形，点与点在直线两侧，连接当时，请直接写出的值． 【变式9-1】．如图，在正方形ABCD中，边长为4，∠MDN＝90°，将∠MDN绕点D旋转，其中DM边分别与射线BA、直线AC交于E、Q两点，DN边与射线BC交于点F；连接EF，且EF与直线AC交于点P． （1）如图1，点E在线段AB上时，①求证：AE＝CF；②求证：DP垂直平分EF； （2）当AE＝1时，求PQ的长． 【变式9-2】．将一个直角三角形纸片ABO，放置在平面直角坐标系中，点A（2，0），点B（0，2），点O（0，0）．点M为边OA上的一个动点（点M不与点O、A重合），沿着BM折叠该纸片，得顶点O的对应点O′． （I）如图①，当点O′在边AB上时，求点O′的坐标； （II）设直线BO′与x轴相交于点F． ①如图②，当BA平分∠MBF时，求点F的坐标； ②当OM=时，求点F的坐标（直接写出结果即可） 【变式9-3】．已知：如图，矩形中，，点P是线段上的一动点（点P不与点A，D重合），点Q是直线上的一点，且，连接，设． （1）求证：． （2）求y与x的函数关系式，并写出自变量x的取值范围． 并求出当y取何值，． (3)若点Q在的延长线上，则x的取值范围　 　．（不必写出过程）． 题型10相似三角形与函数综合运用 例10．如图，已知在平面直角坐标系中，抛物线经过点、、． (1)求抛物线的表达式和顶点M的坐标； (2)点D在抛物线对称轴上，，求点D的坐标； (3)抛物线的对称轴和x轴相交于点H，把抛物线平移，得到新抛物线的顶点为N，，的延长线交原抛物线于点E，，求新抛物线的表达式． 【变式10-1】．如图，直线与轴交于点，与轴交于点B，点C在轴上点A的右边，，经过点C的直线与正比例函数的图象平行，直线与直线相交于点D，点P为直线上一动点． (1)求点D坐标； (2)若，请求出P点的坐标； (3)若在平面内存在一点Q，使得四点C、D、P、Q构成菱形，若存在，请直接写出点P横坐标的值，若不存在，请说明理由． 【变式10-2】．给出如下定义：对于二次函数（其中a、b、c为常数，且，），一次函数叫作该二次函数的“从属函数”．例如：二次函数的“从属函数”为：． (1)二次函数的图象交x轴于点和点．则该二次函数的“从属函数”的表达式为 ； (2)如图，设二次函数的图象为，它的“从属函数”的图象为，图象交x轴于A、B两点．图象与相交于C、D两点（点D在点C的左侧）． ①求C、D两点的坐标； ②过点A的直线l交在第二象限的部分于点E，交于F，若，求点E的坐标； ③点P为图象上的动点，设点P的横坐标为t，连接，若为钝角三角形，直接写出t的取值范围． 【变式10-3】．直线与反比例函数的图象分别交于点和点，与坐标轴分别交于点和点． (1)求直线的解析式． (2)若点是轴上一动点，当与相似时，求点的坐标． 题型11相似三角形存在性问题 例11．如图，在中，，，，点、分别在，上，连接. (1)将沿折叠，使点落在边上的点处，如图1，若，求的长； (2)将沿折叠，使点落在边上的点处，如图2，若. ①求的长； ②求四边形的面积； (3)若点在射线上，点在边上，点关于所在直线的对称点为点，问：是否存在以、为对边的平行四边形，若存在，求出的长；若不存在，请说明理由. 【变式11-1】．以农业和农村为载体的生态农业观光园，不仅具有生产性功能，还具有改善生态环境质量，为人们提供观光、休闲、度假的生活性功能．数学探究小组以“设计矩形生态农业观光园”为主题开展数学实践活动．    (1)如图1，是一块三角形田地，数学探究小组沿着道路BC设计矩形生态农业观光园，观光园的顶点P、F分别在边AB、AC上． ①若，，，请求出矩形生态农业观光园PN边的长； ②设，点A到道路BC的距离为h，矩形观光园PEFN的面积是否存在最大值？若存在，请用含a，h的代数式表示其最大面积；若不存在，请说明理由． (2)如图2，是一块四边形ABCD的田地，已知．经数学探究小组测量得，，，．数学探究小组在四边形ABCD田地设计了一个点E、F在BC边上且面积最大的矩形生态农业观光园PEFN，试求该矩形PEFN的面积． 【变式11-2】．某晚，小静在相邻两盏垂直于地面的路灯，之间行走，点，为光源，影子和在线段上，图①，图②为示意图．已知，小静的身高，于点，． (1)如图①，当点为中点时，分别求线段，的长． (2)如图②，当点不是中点时，设，求线段的长．（用含有的代数式表示） (3)由此，你觉得与存在怎样的数量关系？ 【变式11-3】．如图，在△ABC中，AB=AC=4cm，BC=16cm，AD⊥BC于D，点E从B点出发，沿着射线BC运动，速度为4cm/s，点F从C同时出发，沿CA、AB向终点B运动，速度为cm/s，设它们运动的时间为t（s），当F点到达B点时，E点也停止运动，设运动时间为t． （1）求t为何值时，△EFC和△ACD相似； （2）设△EFC的面积为S，求S与t的函数关系式； （3）是否存在某一时刻，使得△EFD被AD分得的两部分面积之比为1：3，若存在，求出t的值，若不存在，请说明理由． 例12．抛物线y＝ax2+bx+c与x轴交于点A（1，0）和点B（5，0），与y轴交于点C（0，3）．该抛物线与直线y=相交于C，D两点，点P是抛物线上的动点且位于x轴下方，直线PM∥y轴，分别与x轴和直线CD交于点M，N． （1）求该抛物线所对应的函数解析式； （2）连结PC，PD，如图1，在点P运动过程中，△PCD的面积是否存在最大值？若存在，求出这个最大值；若不存在，说明理由； （3）连结PB，过点C作CQ⊥PM，垂足为点Q，如图2，是否存在点P，使得△CNQ与△PBM相似？若存在，求出满足条件的点P的坐标；若不存在，说明理由． 【变式12-1】．已知一个直角三角形纸片OAB，其中∠AOB=90°，OA=2，OB=4．如图，将该纸片放置在平面直角坐标系中，折叠该纸片，折痕与边OB交于点C，与边AB交于点D． （1）若折叠后使点B与点A重合，求点C的坐标． （2）若折叠后点B落在边OA上的点为B′，是否存在点B′，使得四边形BCB′D是菱形？若存在，请说明理由并求出菱形的边长；若不存在，请说明理由． 【变式12-2】．如图，已知抛物线与x轴交于点A(-2,0),B(4,0)，与y轴交于点C(0,8)．    (1) 求抛物线的解析式及其顶点D的坐标 (2)设直线CD交x轴于点E，过点B作x轴的垂线，交直线CD于点F，在坐标平面内找一点G，使以点G、F、C为顶点的三角形与△COE相似，请直接写出符合要求的，并在第一象限的点G的坐标； (3)在线段OB的垂直平分线上是否存在点P，使得点P到直线CD的距离等于点P到原点O的距离？如果存在，求出点P的坐标；如果不存在，请说明理由； (4)将抛物线沿其对称轴平移，使抛物线与线段EF总有公共点．试探究：抛物线向上最多可平移多少个单位长度？ 【变式12-3】．已知：抛物线（a≠0）的顶点M的坐标为（1,－2）与y轴交于点C（0，），与x轴交于A、B两点（A在B的左边）. （1）求此抛物线的表达式； （2）点P是线段OB上一动点（不与点B重合），点Q在线段BM上移动且∠MPQ＝45°，设线段OP＝x，MQ＝1，求y1与x的函数关系式，并写出自变量x的取值范围； （3）①在（2）的条件下是否存在点P，使△PQB是PB为底的等腰三角形，若存在试求点Q的坐标，若不存在说明理由； ②在（1）中抛物线的对称轴上是否存在点F，使△BMF是等腰三角形，若存在直接写出所有满足条件的点F的坐标. 一、单选题（每小题3分，共24分） 1．某一时刻，身高的小明在阳光下的影长是，同一时刻同一地点测得某旗杆的影长是，则该旗杆的高度是（    ） A． B． C． D． 2．小李在做“小孔成像”实验时，蜡烛到挡板的距离与挡板到屏幕的距离之比是．若烛焰的高是，则实像的商是（    ） A． B． C． D． 3．四分仪是一种古老的测量工具，可以追溯到公元2世纪的托勒密时代．如图就是一种四分仪在距离测量上的应用，该四分仪是在边长为1 米的正方形的一个顶点处安装一根方向杆．若将该四分仪的方向杆对准远处的目标物 E，在四分仪上读出的长度为20厘米，已知点 B，C，E在同一条直线上，则目标物 E 与点 B 之间的距离为（    ） A．1米 B．4米 C．5米 D．6米 4．周末，数学兴趣小组的同学们去沙河国家湿地公园研学，他们看到一棵大树想测量树高，他们在阳光下测得一根长为2米的竹竿的影子是1.8米，同一时刻测量树高时，发现树的影子不全落在地面上，有一部分影子落在台阶上，且影子的末端刚好落在最后一级台阶的上端C处，他们测得落在地面的影长为2.2米，台阶总的高度为2.0米，台阶水平总宽度为3.2米，则树高为（   ） A． B． C． D． 5．我国学者墨子在《墨经》中记载了小孔成像实验的做法与成因．图1是小孔成像实验图，抽象为数学模型如图2所示．已知与交于点，．若点到的距离为，点到的距离为，蜡烛火焰的高度是，则蜡烛火焰倒立的像的高度是（　　） A． B． C． D． 6．如图，雨后操场有一洼积水，小明在B处站定后，通过水洼P点正好观察到操场旗杆顶部C，小明的眼睛离地面高度为米，他离P点的距离为2米，旗杆底端D离P点12米，点B、P、D在同一水平直线上，则旗杆的高度是（   ） A．6米 B．8米 C．9米 D．12米 7．如图，小明家客厅有一张直径为米，高米的圆桌，在距地面米的处有一盏灯，的影子为，依据题意建立平面直角坐标系，其中点的坐标为，则点的坐标为（   ） A． B． C． D． 8．图1是装满了液体的高脚杯（数据如图所示），图2是用去部分液体后的高脚杯（数据如图所示），则图2中液面的宽度为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 二、填空题（每小题4分，共20分） 9．如图是“小孔成像”，蜡烛到挡板距离与挡板到屏幕距离之比是1：2，若烛焰AC的高是，则实像的高是 ． 10．阳光通过窗口照射到室内，在地面上留下宽的亮区（如图所示）．已知亮区到窗口下墙脚的距离，窗口高，则窗口底边离地面的高为 ． 11．《九章算术》中记载了一种测量井深的方法．如图所示，在井口处立一根垂直于井口的木杆，从木杆的顶端观察井水水面，视线与井口的直径交于点，如果测得米，米，米，那么为 米． 12．《九章算术》勾股卷有一题目：今有邑，东西七里，南北九里，各开中门，出东门十五里有木，问出南门几何里而见木？大意是：如图，今有长方形城池，东西向城墙长7里，南北向城墙长9里，各方中央开有城门，出东门里有树，则出南门 里见到树． 13．如图，在中，，，C、D在边上，且是边长为4的等边三角形，那么的长是 ． 三、解答题（每小题8分，共56分） 14．《孙子算经》是中国古代重要的数学著作，成书于约1500年前，其中有首歌谣：今有竿不知其长，量得影长一丈五尺，立一标杆，长一尺五寸，影长五寸，问竿长几何？意思是：如图，有一根竹竿不知道有多长，量得它在太阳下的影子长一丈五尺，同时立一根一尺五寸的小标杆，它的影子长五寸，问竹竿的长度为多少尺？（注：1丈尺，1尺寸）    15．如图，某学习小组为了测量校园内一棵小树的高度，用长为的竹竿作测量工具，移动竹竿，使竹竿影子的顶端、树影子的顶端落在水平地面上的同一点，且点，，在同一直线上．已知，，求这棵树的高度． 16． 为了测量水平地面上一棵不可攀的树的高度，某学校数学兴趣小组做了如下的探索：根据光的反射定律，利用一面镜子和一根皮尺，设计如图所示的测量方案：把一面很小的镜子放在与树底端B相距8米的点E处，然后沿着直线BE后退到点D，这时恰好在镜子里看到树梢顶点A，再用皮尺量得DE＝2米，观察者目高CD＝1.5米，则树AB的高度． 17．如图，为测量旗杆高度，淇淇在脚下水平放置一平面镜，然后向后退（保持脚、镜子和旗杆底端在同一直线上），直到她刚好在镜子中看到旗杆的顶端，此时淇淇的眼睛离地面的高度，淇淇与镜子的水平距离，镜子与旗杆的水平距离．求旗杆高度． 18．如图，地质勘探人员为了估算某条河的宽度，在河对岸选定两个目标点A，B ，再在他们所在的这一侧选点C，D，E，使得点D在线段上，点E在线段上，且．测得，点C到的距离，请你计算出这条河的宽度． 19．小明决定利用所学数学知识测量出旗杆的高度．如图，已知A，B，C在同一条直线上，A，E，D也在同一条直线上，，，垂足分别是点B和点C，小明眼睛到地面高米，且米，的长度为9米． (1)求旗杆的高度； (2)小明在测量时发现通过地面直线上F处的一个小水坑刚好看到旗杆顶端D，求小水坑F到小明的距离的长． 20．学科实践--测量物体的高度 活动课题：借助标杆测量校园内路灯、国旗杆的高度．活动工具：标杆、皮尺、激光仪等工具． 方案设计及问题解决（图中各点均在同一竖直平面内）： (1)笃行组进行路灯测量（如图1），在路灯旁的水平空地上直立一根高2米的标杆，调整点处的激光仪，使它从点处发出的激光束恰好同时经过．测量数据：米，米．计算图1中路灯的高度． (2)缜密组想直接用笃行组的方法进行图2中国旗杆高度的测量，操作中发现：由于国旗杆底部台阶影响，无法测得线段的长，因此不能求得国旗杆高度．于是对笃行组的方案作出补充：在如图2中仍先直立一根高2米的标杆，调整点处的激光仪，使它从点处发出的激光束恰好同时经过，A，测得线段米；再直立一根同样高度的标杆，调整点处的激光仪，使它从点处发出的激光束恰好同时经过，A．并测得米，计算国旗杆的高度． 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025学年人教版九年级数学下大单元教学分层优化练 27.2.3相似三角形的应用举例（基础练+提升练+拓展练+达标检测）（解析版） 知识点1 利用相似三角形测量高度 测量不能到达顶部的物体的高度，通常使用“在同一时刻物高与影长的比例相等”的原理解决. 注意：测量旗杆的高度的几种方法： 平面镜测量法 影子测量法 手臂测量法 标杆测量法 题型1利用影子比例法测高度 例1．如图，树垂直立在地面上，嘉嘉在时测得树的影子长为，时又测得该树的影子长为，若两次日照的光线互相垂直，求树的高度长．（精确到，参考数据：，，） 【答案】 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，等角的余角相等，直角三角形两个锐角互余，解题关键是熟练掌握相似三角形的判定与性质．由两次日照的光线互相垂直、树垂直于地面得出，推得，根据相似三角形的判定和性质即可求解． 【详解】解：∵，， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， 即， ∴（负值舍去）， 树的高度长为． 【变式1-1】．如图，小明想测量旗杆的高度，他在某一时刻测得1米长的竹竿竖直放置时影长为米，在同一时刻测量旗杆的影长时，因旗杆靠近一楼房，影子不全落在地面上，有一部分落在墙上，经测得落在地面上的影长为米，落在墙上的影高为米，求旗杆的高度． 【答案】米 【分析】本题考查了相似三角形的应用，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题，利用物长：影长定值，构建方程解决问题，过作于，首先证明四边形为矩形，可得，，设，则，求出即可解决问题． 【详解】解：如图，过作于． ，， ， 四边形为矩形， ， ， 设 ， 则， 解得：． 故旗杆高（米）．   答：旗杆的高度为米． 【变式1-2】．为测量水平操场上旗杆的高度，九（1）班各学习小组运用了下面两种测量方法． (1)如图1，小张在测量时发现，自己在操场上的影长恰好等于自己的身高．此时，小组同学测得旗杆的影长为，据此可得旗杆高度为__________； (2)如图2，小李站在操场上点处，前面水平放置镜面，并通过镜面观测到旗杆顶部．小组同学测得小李的眼睛距地面高度，小李到镜面距离，镜面到旗杆的距离．求旗杆高度； 【答案】(1)11.3 (2) 【分析】本题主要考查相似三角形的判定和性质、等腰直角三角形的判定与性质，理解题意是解答的关键． （1）影长恰好等于自己的身高，可知是等腰直角三角形，由平行投影性质可知，是等腰直角三角形，即可求得； （2）利用已知判定，结合相似三角形的性质进行求解即可． 【详解】（1）解：∵影长恰好等于自己的身高， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴， ∴是等腰直角三角形， 则， 故答案为：11.3； （2）解：如图， 由反射定律可知， 又， ∴， ∴，即， 解得， 答：旗杆高度为12米． 【变式1-3】．如图，上体育课，甲、乙两名同学分别站在、的位置时，乙的影子恰好在甲的影子里面，已知甲，乙同学相距1米（米）．甲身高米（米），乙身高米（米），则甲的影长（）是多少米？ 【答案】6 【分析】本题考查相似三角形的应用，掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键． 证明，则，代入计算即可求出的长． 【详解】解：由题意可知，，， ∵，， ∴， ∴ ∴ 解得， 答：甲的影长是6米． 题型2利用标杆辅助法测高度 例2．数学活动课上，老师让同学们借助所学知识测量塔的高度．小天的测量方案如下：如图，先在点处竖立一根木棍，此时发现地面上的点、木棍的顶端与塔的顶端在一条直线上；然后在点处竖立一根木棍，此时发现地面上的点、木棍的顶端与塔的顶端在一条直线上，已知，点在一条直线上，米，米，米，求塔的高度．（图中所有的点均在同一平面内） 【答案】塔的高度为米． 【分析】本题考查的是相似三角形的应用，等腰直角三角形的性质，掌握相似三角形的判定与性质是解本题的关键．设米，则米，米，先证明是等腰直角三角形，得到，易证是等腰直角三角形，得到米，证明，得到，即可解答． 【详解】解：设米， ∵米，米，米， ∴米，米， ∵， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴是等腰直角三角形， ∴米， ∵， ∴， ∴， ∴，即， 解得， ∴（米） 答：塔的高度为米． 【变式2-1】．魏晋南北朝时期，中国数学在测量学方面取得了长足进展．刘徽提出重差术，应用中国传统的出入相补原理，通过多次观测，测量山高水深等数值，进而使中国的测量学达到登峰造极的地步，其著作《海岛算经》，就是测量海岛的高度和距离．受此题启发，小明同学依照此法测量学校后山的高度和距离，录得以下数据（单位：米）：表目距，，表目高，表距．求山高． 【答案】 【分析】本题考查了相似三角形的应用，由已知可知，即得，，得到，，进而可得，求出再代入比例式即可求解，掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键． 【详解】解：∵为高， ∴， ∴，， ∴，， ∵，，，， ∴，， ∴， 解得， ∴， 解得， 答：山高为． 【变式2-2】．某数学活动小组欲测量某建筑的高度，如图，在距为的点处竖立一根长为的直杆，恰好使得观测点、直杆的顶点和该建筑的顶点在同一条直线上． 若，，求该建筑的高． 【答案】 【分析】本题主要考查相似三角形的运用，熟悉相似三角形的判定及性质是解题的关键． 根据题意可得，即，再代入长度求解即可． 【详解】解：， ， ， 由题意知，，，， ，， ， 解得， ， 答：该建筑的高为． 【变式2-3】．如图所示，小明和小华想测量楼顶的避雷针顶端的高度．小明先在竖起的标杆上的点处，测得点的仰角为；然后，小华适当调整位置，竖起标杆，使点，C，在同一直线上，并测得，．已知三点在同一水平直线上，均垂直于，求避雷针顶端的高度． 【答案】 【分析】本题主要考查了相似三角形的实际应用，矩形的性质与判定，过点E作于H，设交于G，则四边形，四边形都是矩形，可证明点N和点G重合，证明是等腰直角三角形，得到，设，则，证明，得到，据此代值求出的长即可得到答案． 【详解】解：如图所示，过点E作于H，设交于G，则四边形，四边形都是矩形， ∴， ∵， ∴点N和点G重合， ∴； ∵， ∴是等腰直角三角形， ∴， 设，则， ∵， ∴， ∴，即， 解得 经检验，是原方程的解，且符合题意， ∴， ∴， 答：避雷针顶端的高度为． 题型3利用镜面反射法测高度 例3．小明在学习了相似以后，尝试用平面镜的反射原理测学校小广场旗杆的高度，如图，是旗杆，是水平地面，是平放在地面的一面平面镜，是眼睛到地面的距离，调整和的位置，通过镜面反射（法线地面，），当眼睛正好在平面镜中看到旗杆顶端时，测出，，． (1)求旗杆的高度； (2)为了减少误差，请提出一个合理化的建议． 【答案】(1) (2)多次测量，求平均值（答案不唯一） 【分析】本题考查了相似三角形的应用，掌握以上知识是解答本题的关键； （1）证明，推出，代入有关数据即可求出的长． （2）开放题，答案合理即可； 【详解】（1）解：由题可得：， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵，，， ∴， 解得：； （2）解：多次测量，求平均值（答案不唯一）； 【变式3-1】．根据背景素材，探索解决问题． 测算旗杆的高度 背景素材：如图1，在反射现象中，反射光线、入射光线和法线都在同一个平面内，反射光线和入射光线分别位于法线两侧；入射角等于反射角，这就是光的反射定律．    问题解决1：如图2，小红同学正在使用手电筒进行物理光学实验，地面上从左往右依次是墙，木板和平面镜，手电筒的灯泡在点处，手电筒的光从平面镜上点处反射后，恰好经过木板的边缘点，落在墙上的点处，点到地面的高度，点到地面的高度，灯泡到木板的水平距离，木板到墙的水平距离为．图中A，B，C，D在同一条直线上．    任务（1）小红求得用到的几何知识是 ； （2）求灯泡到地面的高度． 问题解决2：测量某广场旗杆的高度（旗杆垂直于地面），携带的测量工具有皮尺，标杆（标杆比人高）、平面镜，假如你是该校的学生，请你适当选用给出的工具，设计一种测量旗杆的高度的方案（不能攀登旗杆），画出测量示意图（不必写出测量过程），写出测量数据（线段长度用表示），并根据你的测量方案，计算出旗杆的高度（结果用含的式子表示）．    【答案】问题解决1：（1）相似三角形的应用；（2）灯泡到地面的高度为；问题解决2：旗杆的高度为． 【分析】此题主要考查了相似三角形的应用，正确得出相似三角形是解题关键． 问题解决1： （1）先证明，再利用相似三角形的性质得出，即可求的长，进而得出结论； （2）先证明，再利用相似三角形的性质得出，代入数据即可求的长． 问题解决2：利用标杆进行测量，可以采用视线共线法，测量标杆高度，眼睛高度，及水平距离，通过相似来计算目标高度． 【详解】问题解决1： 解：（1）由题意可得：， 则， ∴， ∴， 解得， 则小红求得用到的几何知识是相似三角形的应用， 故答案为：相似三角形的应用； （2）∵， ∴， ∵光在镜面反射中的入射角等于反射角， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， 解得：， 答：灯泡到地面的高度为． 问题解决2： 解：在旗杆左侧距离点B一定距离的点F处，竖直竖立标杆，测量人员继续向左走至点D处，观察旗杆顶部点A，视线恰好过标杆顶部，测量示意图如图所示， 测量数据：，，，， 由测量示意图易得，，，， ， 得， ， ， 故旗杆的高度为． 【变式3-2】．如图，小红正在使用手电筒进行物理光学实验，地面上从左往右依次是墙、木板和平面镜．手电筒的灯泡位于点G处，手电筒的光从平面镜上点B处反射后，恰好经过木板的边缘点F，落在墙上的点E处．点E到地面的高度，点F到地面的高度，灯泡到木板的水平距离，墙到木板的水平距离为，由物理知识可知，且图中点A、B、C、D在同一水平面上． (1)求的长； (2)求手电筒灯泡到地面的高度． 【答案】(1)3 (2) 【分析】此题主要考查了相似三角形的应用，正确得出相似三角形是解题关键． （1）直接利用相似三角形的判定与性质得出的长； （2）根据相似三角形的性质列方程进而求出的长． 【详解】（1）解：由题意可得：， 则， 则， 即， 解得：． （2）解：， ， 光在镜面反射中的入射角等于反射角， ， 又， ， ， ， 解得：， 答：灯泡到地面的高度为． 【变式3-3】．小明要测量一座古塔的高度，从距他2米的一小块积水处C看到塔顶的倒影，已知小明的眼部离地面的高度是1.5米，塔底中心B到小明的距离是40米．则塔高为多少米？ 【答案】古塔的高为 【分析】此题主要考查三角形相似判定定理和相似三角形的性质的应用，证明，得出，计算求出结论即可． 【详解】解：根据光的反射性质可知， 由题意得：， ， ∴， ∴， ∵， ∴ ∴， ∴， 即古塔的高为． 知识点2 利用相似三角形测量距离 量不能直接到达的两点间的距离，常构造如下两种相似三角形求解。 1．如甲图所示，通常可先测量图中的线段DC、BD、CE的距离（长度），根据相似三角形的性质，求出AB的长. 2．如乙图所示，可先测AC、DC及DE的长，再根据相似三角形的性质计算AB的长. 　　 注意：　 1． 比例尺：表示图上距离比实地距离缩小的程度，比例尺= 图上距离/ 实际距离; 2． 太阳离我们非常遥远，因此可以把太阳光近似看成平行光线．在同一时刻，两物体影子之比等于其对应高的比; 3． 视点：观察事物的着眼点（一般指观察者眼睛的位置）; 4. 仰（俯）角：观察者向上（下）看时，视线与水平方向的夹角． 题型4利用影子测距离 例4．【学科融合】如图1，在反射现象中，反射光线、入射光线和法线都在同一个平面内，反射光线和入射光线分别位于法线两侧，反射角r等于入射角i． 【问题解决】如图2，小红同学正在使用手电筒进行物理光学实验，地面上从左往右依次是墙、木板和平面镜．激光笔在点G处，激光笔的光从平面镜上点B处反射后，恰好经过木板的上边缘点F，落在墙上的点E处．已知点G到地面的高度，木板的高度，点G到木板的水平距离，木板到墙的水平距离（图中点A，B，C，D在同一水平线上）． (1)求点B到木板的距离的长． (2)求点E到地面的高度． 【答案】(1)的长为 (2)的长为 【分析】本题主要考查相似三角形的判定和性质，熟练掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键． （1）根据题意证明，利用相似三角形的性质求解即可； （2）证明，得到，代入数据计算即可得到答案． 【详解】（1）解：由题意可得，， ∴， ∴，即， ∴． 答：的长为； （2）解：∵，， ∴， 由题意可得， ∴， ∴，即， ∴． 答：的长为． 【变式4-1】．（1）如图，表示一个窗户的高，和表示射入室内的光线，窗户的下端到地面的距离已知某一时刻在地面的影长，在地面的影长，求窗户的高度． （2）在国家政策的积极扶持下，环保意识日渐深入人心，新能源汽车的市场需求逐渐上升．某汽车企业下属的一个专卖店经销一款进价为15万元/辆的新能源汽车，经销一段时间后发现，当该款汽车售价定为25万元/辆时，平均每周售出8辆；售价每降低万元，平均每周多售出1辆．若该店计划下调售价使平均每周的销售利润为96万元，并且尽量让利于顾客，求下调后每辆汽车的售价． 【答案】（1）窗户的高度为 （2）下调后每辆汽车的售价为21万元 【分析】本题主要考查了一元二次方程的应用，相似三角形性质的应用．解题的关键是找出相似的三角形，列出方程是解题的关键； （1）阳光可认为是一束平行光，由光的直线传播特性可知透过窗户后的光线与仍然平行，由此可得出一对相似三角形，由相似三角形性质可进一步求出AB的长，即窗户的高度． （2）设下调后每辆汽车的售价y万元，每辆汽车的销售利润为万元时，根据等量关系：平均每周的销售利润为96万元，利用一周的销售利润等于一辆汽车的利润与销售的汽车数的乘积，列出一元二次方程，并求解即可． 【详解】∵， ，， ， ， ， 解得：， ， 答：窗户的高度为； （2）解：设下调后每辆汽车的售价y万元，每辆汽车的销售利润为万元时， 由题意得：， 整理可得：， 解得：，， 因为要尽量让利顾客，所以 答：下调后每辆汽车的售价为21万元． 【变式4-2】．据《墨经》记载，在两千多年前，我国学者墨子和他的学生做了“小孔成像”实验，阐释了光的直线传播原理．小孔成像的示意图如图所示，光线经过小孔，物体在幕布上形成倒立的实像（点，的对应点分别是，）．物体的高为，实像的高为，物体与实像的距离为，点，，在一条直线上，，，均与垂直，求小孔到的距离． 【答案】小孔到的距离为 【分析】本题主要考查了相似三角形的应用，先证明得到，则，再证明得到，据此可得答案． 【详解】解：由题意知，，，， ∵，均与垂直， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴，     ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴小孔到的距离为． 【变式4-3】．如图，阳光通过窗口照到室内，在地面上留下宽的亮区，已知亮区一边到窗下的墙脚距离，窗口高，求窗口底边离地面的高的长． 【答案】 【分析】本题考查的是相似三角形的应用，由于光是沿直线传播的，所以，进而可得出，再根据相似三角形的对应边成比例即可求解，解答此题的关键是根据光是沿直线传播的性质得出，再根据相似三角形的对应边成比例即可求解． 【详解】解：由题意得，， ， ， ， 解得， 经检验，是原方程的解， 答：窗口底边离地面的高的长为． 题型5利用相似测内径 例5．如图，有些空心圆柱形机械零件的内径是不能直接测量的，往往需要使用交叉卡钳进行测量．图中所示为一个零件的剖面图，它的外径为a，内径未知．现用交叉卡钳去测量，若则这个零件的内径为多少，直接写出零件的壁厚x是多少？（用含a，b，m的代数式表示）    【答案】这个零件的内径为，零件的壁厚x是． 【分析】本题考查相似三角形的判定和性质应用，解答本题的关键是求出的值． 根据相似三角形的判定和性质，可以求得的长，再根据零件的外径为a，即可求得x的值． 【详解】解∶∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵零件的外径为a， ∴零件的壁厚， 答：这个零件的内径为，零件的壁厚x是． 【变式5-1】．如图1是装了液体的长方体容器的主视图（数据如图），将该容器绕地面一棱进行旋转倾斜后，水面恰好接触到容器口边缘，如图2所示，求此时液面AB的宽度． 【答案】液面的宽度为 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，平行线的判定与性质． 如图，作于，则，由题意知，，，则，证明，则，即，计算求解即可． 【详解】解：如图，作于，则， 由题意知，，， ∴， 又∵， ∴， ∴，即， 解得，， 答：液面的宽度为． 【变式5-2】．如图1，长、宽均为3cm，高为8cm的长方体容器，放置在水平桌面上，里面盛有水，水面高为6cm，绕底面一棱进行旋转倾斜后，水面恰好触到容器口边缘，图2是此时的示意图，则图2中水面高度是多少厘米？ 将这个情景转化成几何图形，如图3所示，请同学们借助图3利用相似的知识解答CF的高是多少？ 【答案】 【分析】设，根据水的体积不变，列出方程，求出的值，进而求出的值，由得，，进而即可求解． 【详解】设，则， 根据题意得：， 解得：， ， ， ， ， ， ， ， ，即， ， 的高是． 【点睛】本题考查相似三角形的判定与性质以及勾股定理，掌握相似三角形对应边成比例是解题的关键． 【变式5-3】．小孔成像中的数学：如图1，小孔成像是重要的科学现象，它可以验证光的直线传播性质．如图2是其光路简图：表示小孔，的长为物距，的长为像距，，，三点在同一条直线上，物于，像于． (1)求证：； (2)某地，正午时分，阳光通过树叶间的缝隙在地面上形成了一个圆形光斑，小明观察到此现象后，想估算一下太阳的直径．他先测量了光斑的直径，记为，查阅资料后，知道地球到太阳的距离为．如果要估测太阳的直径，还需要测量______，用表示所测得的量，则太阳的直径可表示为______．（用含有，，的代数式表示） 【答案】(1)见解析 (2)树叶缝隙到光斑中心的距离， 【分析】本题考查了相似三角形的应用．熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键． （1）由题意知，证明，，则，，进而结论得证； （2）由（1）中可知，如果要估测太阳的直径，还需要测量树叶缝隙到光斑中心的距离，进而可得太阳的直径可表示为． 【详解】（1）证明：∵于，于， ∴， ∴， 又∵，， ∴，， ∴，， ∴． （2）解：由（1）中可知，记光斑的直径为，太阳的直径可表示为，地球到太阳的距离为， ∴如果要估测太阳的直径，还需要测量树叶缝隙到光斑中心的距离， ∴，太阳的直径可表示为， 故答案为：树叶缝隙到光斑中心的距离， ． 题型6利用镜面反射测井深 例6．古代数学著作《九章算术》中的“井深”问题：“今有井径五尺，不知其深，立五尺木于井上，从木末望水岸，入径四寸，问井深几何？”它的意思是：如图，尺，尺，问井深是多少？请解答上述问题． 【答案】尺 【分析】本题考查了相似三角形的应用，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题关键．设井深是尺，则尺，再证出，根据相似三角形的性质求解即可得． 【详解】解：设井深是尺， ∵尺， ∴尺， 由题意可知，， ∴， ∴， ∵尺，尺， ∴， 解得， 答：井深是尺． 【变式6-1】．《坐井观天》是大家熟知的寓言故事，“坐井观天”这个成语出自唐代韩愈《原道》：“坐井而观天，曰天小者，非天小也．”通过青蛙和一只小鸟的对话可知青蛙看到的“天”只有如井口一般大小，其原因是光是直线传播的．假设在《坐井观天》故事中的青蛙所在的井是圆柱形（如图），长为，井深为．某天青蛙蹲坐在井底的圆心位置抬头向上望去，雁群离地面的垂直高度约为，雁群的“领头雁”在直线PQ上的投影到井口中心的距离约为． (1)此时青蛙是否可以看见雁群的“领头雁”？请说明理由． (2)当雁群沿直线飞行一段时间后，“领头雁”刚好到达青蛙的左边视线边界，此时尾雁刚好到达青蛙的右边视线边界离井口正中心的水平距离约为，求此时雁群队伍的长度． 【答案】(1)不可以，理由见解析 (2) 【分析】本题考查的是勾股定理的应用、相似三角形的应用，掌握相似三角形的判定定理是解题的关键． （1）连接，，证明，根据相似三角形的性质求出，判断即可； （2）连接，则，根据垂径定理的推论得到，根据勾股定理求出，进而求出． 【详解】（1）解：青蛙不可以看见雁群的“领头雁”，理由如下： 如图1，连接，， 由题意可知：点O在线段上，， ∴， ∴，即， 解得：， ∵， ∴， ∴此时青蛙不可以看见雁群的“领头雁”； （2）如图2，假设雁群沿直线飞行一段时间后，尾雁刚好到达青蛙的右边视线边界点F处， 连接，则， ∴， ∵， ， ∴， ∴， ∴此时雁群队伍的长度为． 【变式6-2】．综合与实践：古井探秘． 【了解】 在中国传统文化中，人们常以“井”寓意家乡．在江南水乡的苏州，水井更是独特的文化符号．图①是苏州平江区居民老宅的水井，该井的内部为圆柱体形状，图②是该井的侧面示意图，其中为井口直径，，为水面直径，且．为经水面所成的虚像（与关于对称），点P为观测点，，分别与相交于点M，N． 【发现】 如图②，当观测点P在上自由移动时，的长度是否会发生改变？如果不变，求出的长；如果改变，请说明理由； 【探索】 图③是当观测点P在井口的上方处（即图④中的）时，拍摄的一张照片．量得照片中的水面直径，井口的倒影直径．请你利用示意图④，求出井口到水面距离AC的长． 【答案】[发现]不会发生改变，；[探索] 【分析】本题主要考查了相似三角形的应用．掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键． [发现]证明，根据相似三角形的性质即可得出，进而可得出答案． [探索]根据题意画出图形，然后延长交与点L，交于点K，得出，由相似三角形的性质得出，进而可得出答案． 【详解】解：[发现]∵与关于对称，，且，分别与相交于点M，N． ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， 即当观测点P在上自由移动时，的长度是不会发生改变，且． [探索]根据题意画图，然后延长交与点L，交于点K， 则， 同上可知：， 可知， ∴ 即， 解得： 即井口到水面距离AC的长． 【变式6-3】．如图，在长、宽、高都为4 m的房间正中央的天花板上悬挂一只白炽灯泡，为了集中光线，加上灯罩．已知灯罩深8 cm，灯泡离地面3 m，为了使光线能照在墙壁上的1 m高处，问灯罩的直径应为多少？ 【答案】灯罩的直径是0.16 m 【分析】建立相似模型，根据边之间的比例关系建立方程，从而即可得到结果. 【详解】如图，连接DE，过A作AG⊥BC交BC于点F，交HI于G点，交DE于点H′． 则△ABC∽△ADE， ∵房间的长、宽都为4m，高为4m， ∴ ,又因为AH′=3-1=2， ，解得BC=0.16m． 答：灯罩的直径应为0.16m． 【点睛】适当建立相似的模型是解题的关键部分，再根据相似三角形的对应边，对应高都等于相似比是做题的关键. 知识点3 利用相似三角形测有遮挡物的问题 题型7 视线遮挡问题 例7．如图，小刚家窗外有一堵围墙，由于围墙的遮挡，清晨太阳光恰好从窗户的最高点射进房间的地板处，中午太阳光恰好能从窗户的最低点射进房间的地板处．小刚测得窗子距地面的高度，窗高，并测得，．求围墙的高度．（图中、、三点在同一条直线上） 【答案】 【分析】本题主要考查相似三角形的判定和性质，分式方程的运用，理解题意，掌握相似三角形的判定方法得到，由相似三角形性质列分式方程求解是解题的关键． 如图延长至点，可得，设，由题意可证，得到，则，且，，，代入计算即可求解． 【详解】解：如图延长至点， ， ， ，， ， 又， ， ， 设， ，， ， ， ， ， ，且，，， 则， 解得， 经检验是原方程的解， 答：围墙的高度是． 【变式7-1】．学完《相似》一章后，某中学数学实践小组决定利用所学知识去测量河的宽度．如图，这条河的两岸是平行的，小丽站在离南岸20米（即米）的点处懒北岸，小军、小强站在南岸边，调整小军、小强两人的位置，当小军、小强两人分别站在两点处时，小丽发现河北岸边的两根电线杆恰好被小军、小强遮挡（即三点共线，三点共线）．已知电线杆之间的距离为75米，小军、小强两人之间的距离为30米，求这条河的宽度． 【答案】这条河的宽度为30米 【分析】本题考查相似三角形的应用，延长交于点，设这条河的宽度为x米．由相似三角形对应高的比等于相似比得到，代入有关数据列方程求解方程，即可得到河的宽度． 【详解】解：延长交于点，如解图所示． 依题意，米，米． 设这条河的宽度为米． ， ． ， 即， 解得． 答：这条河的宽度为30米． 【变式7-2】．如图，小丁家窗外有一堵围墙AB，由于围墙的遮挡，清晨太阳光恰好从窗户的最高点C射进房间地面的D处，中午太阳光恰好能从窗户的最低点E射进房间地面的F处，AB⊥BD于点B，CE⊥BD于点O，小丁测得OE＝1m，CE＝1.5m，OF＝1.2m，OD＝12m，求围墙AB的高为多少米． 【答案】3m 【分析】根据垂直的定义得到∠FOE＝90°，推出，证明△ABD∽△COD，△ABF∽△EOF，再根据相似三角形的性质列方程组，再解方程组即可得到结论． 【详解】解：∵EO⊥BF， ∴∠FOE＝90°， ∵AB⊥BF，CO⊥BF， ∴， ∴△ABD∽△COD，△ABF∽△EOF， ∴ ∵OE＝1m，CE＝1.5m，OF＝1.2m，OD＝12m， ∴ 整理得： 解得：AB＝3． 答：围墙AB的高度是3m． 【点睛】本题考查的是相似三角形的应用，熟练的利用相似三角形的性质列方程组是解本题的关键. 【变式7-3】．在物理课上，我们学习过“小孔成像”——用一个带有小孔的薄板遮挡在物体与光屏之间，在光的照射下，光屏上就会形成一个倒立的实像．如图，光线分别经过物体的两端和小孔，投射在与平行的光屏上形成了实像．已知，小孔与、的距离分别为、．求的长（用含a、、的代数式表示）． 【答案】 【分析】根据平行线性质找到相等的角证明,通过相似比即可解题. 【详解】解：，，． ，且相似比为． ． 又，． 所以的长为. 【点睛】本题考查了三角形相似的判定和性质,属于简单题,证明三角形的相似是解题关键. 题型8影子不完全落在地面问题 例8．小明想测量电线杆的高度，他发现电线杆的影子正好落在坡面和地面上，已知和地面成角，，且此时测得高的标杆在地面的影长为，求的长度． 【答案】 【分析】本题考查相似三角形的应用，勾股定理，的直角三角形，作出两条辅助线构造出2个直角三角形是解决本题的关键．利用直角三角形的性质可得的长，也就求得了的长；由已知可得与影长构成的三角形和标杆与影长构成的三角形相似，利用相似三角形的对应边成比例可得的长． 【详解】解：作于点，于点． 则四边形是矩形， ， ，， ， ， ， ． 同一时刻的光线是平行的，水平线是平行的， 光线与水平线的夹角相等， 又标杆与影长构成的角为直角，与构成的角为直角， 与影长构成的三角形和标杆与影长构成的三角形相似， ， 解得， ． 答：的长为． 【变式8-1】．小明想测量电线杆的高度，他发现电线杆的影子正好落在坡面和地面上，已知和地面成角，，且此时刻得高的标杆在地面的影长为． (1)点D到地面的距离为 米 (2)求电线杆的高（结果保留根号） (3)若是在坡底下C处的一棵大树，树尖刚好落在光线上，在山坡上有一建筑物高，求此时它落在坡面上的影长 （结果保留根号）． 【答案】(1)2 (2) (3) 【分析】本题主要考查了相似三角形的应用、直角三角形的性质等知识，掌握相似三角形的判定与性质成为解题的关键． （1）如图：延长交地面于M点，过D作垂直于的延长线于M，然后根据直角三角形的性质即可解答； （2）在求电线杆在地面的实际影长，然后根据影长与实物比即可求得电线杆的高度； （3）由题意得，然后根据相似三角形的性质即可求解． 【详解】（1）解：如图：延长交地面于M点，过D作垂直于的延长线于N， ∵， ∴． 故答案为：2． （2）解：由勾股定理得， ∵得高的标杆在地面的影长为， ∴， ∴的影长， ∴电线杆的高为． （3）解：由题意得∶，， ∴， ∴，即，解得：， 由题意可得：， ∴， ∴， ∴，即，解得：． 【变式8-2】．阅读以下文字并解答问题：在“测量物体的高度”活动中，某数学兴趣小组的3名同学选择了测量学校里的三棵树的高度，在同一时刻的阳光下，他们分别做了以下工作： 小芳：测得一根长为1米的竹竿的影长为0.8米，甲树的影长为4.08米（如1图）． 小华：发现乙树的影子不全落在地面上，有一部分影子落在教学楼的墙壁上（如2图），墙壁上的影长为1.2米，落在地面上的影长为2.4米． 小明：测得丙树落在地面上的影长为2.4米，落在坡面上影长为3.2米（如3图）．身高是1.6米的小明站在坡面上，影子也都落坡面上，小芳测得他的影长为2米． （1）在横线上直接填写甲树的高度为______米，乙树的高度为________米﹔ （2）请求出丙树的高度． 【答案】（1）5.1，4.2；（2）丙树的高为5.56米 【分析】(1)如下图1，根据测得一根长为1米的竹竿的影长为0.8米，利用相似三角形的比例式直接得出甲树高，接着如下图2先利用，求出的长，接着利用，可得出乙树的高； (2)如下图3，先通过求出FG的长，然后通过求出FH的长，最后通过可求出丙树的高． 【详解】解：（1）如图1，假设线段AB是甲树，线段CD是竹竿， 线段BE和线段CE分别为甲树和竹竿的影子， 米， 故甲树的高为5.1米； 如图2，假设线段是乙树，线段为乙树在墙壁上的影长， 线段为乙树落在地面上的影长， 与图1中的相似， 又， 故乙树的高为4.2米； 故答案为：5.1，4.2； （2）如图3，假设线段是丙树，线段为丙树落在地面上的影长， 线段为丙树落在坡面上影长，为小明，为小明落在坡面上影长， 则=2.4米，=3.2米，=1.6米，=2米， 又与图1中的相似， 又 故丙树的高为5.56米． 【点睛】此题主要考查了相似三角形的应用，有一定难度和综合性，根据同一时刻影长与高成比例以及假设没有墙或台阶时求出影长是解决问题的关键． 【变式8-3】．如图，小明测得树落在水平地面上的影长为米，落在坡面上的影长为米，身高是米的小明站在坡面上，影子也都落在坡面上，长度为米．已知坡面的铅直高度与水平距离的比为，试求树的高度． 【答案】树AB的高度为6.76m 【分析】延长交于，延长交于，如图，先证明，利用相似比可计算出，再根据在同一时刻物高与影长的比相等得到，解得，然后证明，利用相似比计算出，于是得到. 【详解】延长交于，延长交于，如图， ， ， ， 而， ，解得， ， 身高是米的小明站在坡面上，影子也都落在坡面上，长度为米， ，解得， ， ， ，即，解得， . 答：树的高度为. 【点睛】本题考查了相似三角形的应用：利用影长测量物体的高度，通常利用相似三角形的性质即相似三角形的对应边的比相等和“在同一时刻物高与影长的比相等”的原理解决. 题型9 相似三角形中的动态问题应用举例 例9．如图，中，，，，点，分别在边，上，将沿直线折叠，点恰好落在边上的点处，且． （1）求的长； （2）点是射线上的一个动点，连接，，，的面积与的面积相等， ①当点在线段上时，求的长； ②当点在线段的延长线上时，________； （3）将直线平移，平移后的直线与直线，直线分别交于点和点，以线段为一边作正方形，点与点在直线两侧，连接当时，请直接写出的值． 【答案】（1）；（2）①；②；（3）． 【分析】（1）如图1中，连接DF，在Rt△DCF中，利用勾股定理，构建方程即可解决问题． （2）①如图2-1中，当DG∥BC时，S△DGC=S△DGB．设BG=x．利用平行线分线段成比例定理即可解决问题． ②如图2-2中，当点G在BA的延长线上时，证明AB=2AG时，满足条件． （3）如图3中，当PD∥BC时，作QK⊥BC于K．利用全等三角形以及相似三角形的性质解决问题即可． 【详解】解：（1）如图1中，连接DF， ∵将△ABC沿直线EF折叠，点B恰好落在AC边上的点D处 ∴DF=BF 在Rt△DCF中，DF2=DC2+CF2， ∴（6-CF）2=9+CF2， ∴CF=． （2）①如图2-1中，当DG∥BC时，S△DGC=S△DGB．设BG=x． 在Rt△ACB中，AC=4，BC=6， ∴AB=， ∵DG∥BC， ∴， ∴， ∴x=． ②如图2-2中，当点G在BA的延长线上时， ∵CD=3AD， ∴S△GDC=3S△GAD， ∴当S△ADB=2S△ADG时，S△GDC=S△GBD， ∴AB=2AG， ∴AG=， ∴GB=3. 综上：GB=或； （3）如图3中，当PD∥BC时，作QK⊥BC于K． ∵四边形MNPQ是正方形， ∴易证△PDN≌△NCM≌△MKA， ∴KQ=CM=DN，KM=CN=PD， ∵△PDN∽△BCD， ∴， ∴， ∴PD=2DN， ∴CN=2DN， ∴DN=1，CN=2， ∴KQ=DN=CM=1，KM=CN=2， ∴BK=9， ∴tan∠QBC=． 【点睛】本题属于四边形综合题，考查了三角形的面积，正方形的性质，解直角三角形，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会利用参数构建方程解决问题，学会添加常用辅助线面构造全等三角形解决问题，属于中考压轴题． 【变式9-1】．如图，在正方形ABCD中，边长为4，∠MDN＝90°，将∠MDN绕点D旋转，其中DM边分别与射线BA、直线AC交于E、Q两点，DN边与射线BC交于点F；连接EF，且EF与直线AC交于点P． （1）如图1，点E在线段AB上时，①求证：AE＝CF；②求证：DP垂直平分EF； （2）当AE＝1时，求PQ的长． 【答案】（1）见解析；（2） 【分析】（1）①只要证明△ADE≌△CDE（ASA）即可解决问题； ②利用相似三角形的性质证明∠PDQ＝45°即可解决问题； （2）作QH⊥AD于H，QE⊥AB于G．由△AQD∽△EQP，可知AQ•PQ＝DQ•EQ，想办法求出AQ，EQ，DQ即可解决问题； 【详解】（1）①证明：∵四边形ABCD是正方形， ∴DA＝DC，∠ADC＝∠DAE＝∠DCF＝90°， ∴∠ADC＝∠MDN＝90°， ∴∠ADE＝∠CDF， ∴△ADE≌△CDE（ASA）， ∴AE＝CF． ②∵△ADE≌△CDE（ASA）， ∴DE＝DF，∵∠MDN＝90°， ∴∠DEF＝45°， ∵∠DAC＝45°， ∴∠DAQ＝∠PEQ，∵∠AQD＝∠EQP， ∴△AQD∽△EQP， ∴ ， ∴， ∵∠AQE＝∠PQD， ∴△AQE∽△DQP， ∴∠DDP＝∠QAE＝45°， ∴∠DPE＝90°， ∴DP⊥EF， ∵DE＝DF， ∴PE＝PF， ∴DP垂直平分线段EF． （2）解：作QH⊥AD于H，QE⊥AB于G． 在Rt△ADE中，DE＝， ∵∠QAH＝∠QAG＝45°， ∴HO＝QE＝AH＝EQ，设QH＝x， ∵×4×x+×1×x＝×1×4， ∵x＝， ∴AQ＝，DQ＝＝，EQ＝， ∵△AQD∽△EQP， ∴AQ•PQ＝DQ•EQ， ∴PQ＝＝ ． 【点睛】考查正方形的性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形和相似三角形解决问题. 【变式9-2】．将一个直角三角形纸片ABO，放置在平面直角坐标系中，点A（2，0），点B（0，2），点O（0，0）．点M为边OA上的一个动点（点M不与点O、A重合），沿着BM折叠该纸片，得顶点O的对应点O′． （I）如图①，当点O′在边AB上时，求点O′的坐标； （II）设直线BO′与x轴相交于点F． ①如图②，当BA平分∠MBF时，求点F的坐标； ②当OM=时，求点F的坐标（直接写出结果即可） 【答案】（Ⅰ）O'（，2﹣）；（Ⅱ）①F（2，0）；②F（，0） 【分析】(I) 过点O'作O'H⊥y轴于H，由折叠可知，BO'=BO=2，∠BO'H=∠BAO=45°，利用特殊角的三角函数值求出BH、O'H，从而得到O'的坐标； (II) ①由BA平分∠MBF时，得到∠OBF=60º，利用特殊角的三角函数值求出OF，即可得到点F的坐标；②先说明△FO'M∽△FOB，从而=，设F(a,0)，利用勾股定理，用含a式子表示O'F，代入=，求出a，从而得到点F的坐标. 【详解】解：(I)如图①，过点O'作O'H⊥y轴于H， 由折叠知，△BMO≌△BMO'， ∴BO'=BO=2， ∵O'H∥OA， ∴∠BO'H=∠BAO=45°， 在Rt△BO'H中，O'H=BO'•cos∠BO'H=， ∴BH=O'H=， ∴OH=OB﹣BH=2﹣， ∴O'（，2﹣）； (II)①∵BA平分∠MBF， ∴∠ABO=3∠MBA=45°， ∴∠ABF=∠MBA=15°， ∴∠OBF=∠ABO+∠ABF=60°， 在Rt△BOF中，OF=OB•tan60º=2， ∴F（2，0）； ②由折叠知，O'M=OM=，O'B=OB=2，∠MO'F=90°=∠FOB， ∵∠FO'M=∠FOB， ∴△FO'M∽△FOB， ∴=， 设F（a，0）（a＞0）， ∴OF=a， 在Rt△BOF中，BF=， ∴O'F=﹣2， ∴， ∴a=0（舍）或a=， F（，0）. 故答案为(I)O'（，2﹣）；(II)①F（2，0）；②F（，0） 【点睛】本题是几何变换综合题目，考查了折叠的性质、坐标与图形性质、勾股定理、相似三角形的判定与性质、角平分线的性质、直角三角形的性质等知识；本题综合性强，难度较大. 【变式9-3】．已知：如图，矩形中，，点P是线段上的一动点（点P不与点A，D重合），点Q是直线上的一点，且，连接，设． （1）求证：． （2）求y与x的函数关系式，并写出自变量x的取值范围． 并求出当y取何值，． (3)若点Q在的延长线上，则x的取值范围　 　．（不必写出过程）． 【答案】(1)见解析 (2)．． (3)． 【分析】（1）根据四边形是矩形和，利用两组对应角相等即可求证． （2）根据利用其对应边成比例，将已知数值代入即可得出y与x的函数关系式．根据（点P不与点A，D重合），即可求出自变量x的取值范围． （3）假设，利用其对应边成比例，解得x的值，然后将x的值代入即可． （4）根据Q在的延长线上可知，即，解此方程即可得出则x的取值范围． （1）．证明：∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； （2）．∵， ∴， ∵， ∴，即． ∵点P不与点A，D重合， ∴； 假设，则，即， 将代入上式，解得：． ∴； （3）．∵Q在的延长线上， ∴，即， 解此不等式得， 故答案为：． 【点睛】本题是相似三角形的综合题，综合性很强，难度较大． 题型10相似三角形与函数综合运用 例10．如图，已知在平面直角坐标系中，抛物线经过点、、． (1)求抛物线的表达式和顶点M的坐标； (2)点D在抛物线对称轴上，，求点D的坐标； (3)抛物线的对称轴和x轴相交于点H，把抛物线平移，得到新抛物线的顶点为N，，的延长线交原抛物线于点E，，求新抛物线的表达式． 【答案】(1)，顶点M的坐标是 (2)点D的坐标是 (3) 【分析】（1）利用待定系数法求函数表达式，然后配方乘顶点式即可求解； （2）证明，利用对应线段成比例和勾股定理求出相关线段的长度，即可求点的坐标； （3）作轴于点F，轴于点G，则，得出，确定N的横坐标为，然后根据比求出相关线段的长度，最后利用顶点式即可求出函数表达式． 【详解】（1）解：∵抛物线经过点、、， ∴ 解得 ∴抛物线的解析式为． ∴顶点M的坐标是； （2）解：由顶点坐标得，抛物线的对称轴为直线． ∵点D在抛物线对称轴上， ∴直线轴，则． ∵， ∴． ∴． ∵由勾股定理得，，， ∴． ∴， ∴点D的坐标是； （3）解：作轴于点F，轴于点G，则， ∴， ∵， ∴点N在线段的垂直平分线上． ∴点N的横坐标为． ∴． ∴． 把代入，得． ∴． ∴． ∴N． ∴新抛物线的表达式为． 【点睛】本题主要考查了二次函数的图象和性质，利用待定系数法求函数表达式，平移的性质，平行线分线段成比例，相似三角形的判定和性质，勾股定理等知识点，解题的关键是熟练掌握二次函数的图象和性质． 【变式10-1】．如图，直线与轴交于点，与轴交于点B，点C在轴上点A的右边，，经过点C的直线与正比例函数的图象平行，直线与直线相交于点D，点P为直线上一动点． (1)求点D坐标； (2)若，请求出P点的坐标； (3)若在平面内存在一点Q，使得四点C、D、P、Q构成菱形，若存在，请直接写出点P横坐标的值，若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)或 (3)点的横坐标为或或 【分析】本题考查了菱形的判定和性质、待定系数法求解析式、平行线的性质、三角形相似的判定和性质、解方程组，熟练掌握待定系数法、三角形相似的应用是解题的关键． （1）将点的坐标代入直线得出其解析式，点的坐标代入直线的解析式，然后联立两条直线的解析式即可求解； （2）分类讨论，当点在点的上方和当点在点的下方时，过点作于点，过点作于点，证明∽，进而得到，即可解题； （3）分类讨论，当为对角线和当为边时，根据菱形的性质进行计算． 【详解】（1）解：∵直线与轴交于点，与轴交于点，将点的坐标代入得： ， 解得：， ∴， ∵点在轴上点的右边，， ∴，即， ∵经过点的直线与正比例函数的图象平行， 设直线的解析式为：， 代入，有： ， 解得：， ∴直线的解析式为：， 由直线与直线相交于点， 联立得：， 解得：， ∴； （2）解：当点在点的上方时，如图1， ∵， ∴， ∴， 过点作于点，过点作于点， ∴， ∴∽， ∴， ∵，， ∴，， ∴， ∴， ∵点在直线上， ∴， 解得：， ∴； 当点在点的下方时，如图2， ∵， ∴， ∴， 过点作于点，过点作于点， ∴， ∴∽， ∴， ∵，， ∴，， ∴， ∴， ∵点在直线上， ∴， 解得：， ∴； 综上所述，点的坐标为或； （3）解：存在，证明如下： 设，，由，， 当为对角线时，根据菱形的性质，得， ∴， 解得：； 当为边时，根据菱形的性质，得， ∴， 解得：； 综上所述，点的横坐标为或或． 【变式10-2】．给出如下定义：对于二次函数（其中a、b、c为常数，且，），一次函数叫作该二次函数的“从属函数”．例如：二次函数的“从属函数”为：． (1)二次函数的图象交x轴于点和点．则该二次函数的“从属函数”的表达式为 ； (2)如图，设二次函数的图象为，它的“从属函数”的图象为，图象交x轴于A、B两点．图象与相交于C、D两点（点D在点C的左侧）． ①求C、D两点的坐标； ②过点A的直线l交在第二象限的部分于点E，交于F，若，求点E的坐标； ③点P为图象上的动点，设点P的横坐标为t，连接，若为钝角三角形，直接写出t的取值范围． 【答案】(1) (2)①；；②；③或或或 【分析】本题主要考查了二次函数的图象与性质，新定义，相似三角形的判定与性质等知识点，难度较大． （1）先由待定系数法求出，再由“从属函数”的定义即可求解； （2）①先求出“从属函数”解析式，再与原函数联立解方程组即可求出交点坐标； ②过E作轴交于点G，过A作轴交于点H，证明，则，设，则，则得到方程，解方程即可求解坐标； ③分三种情况讨论，构造“三垂直相似”进行求解即可． 【详解】（1）解：∵二次函数的图象交x轴于点和点， ∴， 解得， ∴该二次函数的“从属函数”的表达式为； （2）解：①的“从属函数”为                                                   ∴联立得 ∴， ∴，； ②过E作轴交于点G，过A作轴交于点H， 对于抛物线，当时，则， 解得或 ∴， 把代入，则 ∴， ∵轴，轴， ∴， ∴ ∴ ∴ ∴ 设，则， ∴ ∴，（不在第二象限，舍去） ∴；     ③当时，此时记为点，如图： ∵， ∴， ∴当时，为钝角三角形； 当时，此时记为点 ∵， ∴， ∴当时，为钝角三角形； 当时，此时记为点，如图，过点作的垂线交于点M，交的延长线于点， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵ ∴， 解得， 即横坐标为，横坐标为， 对于直线，当时，， 解得， ∴直线与轴交点， ∴当或时，为钝角三角形； 综上：的取值范围为：或或或． 【变式10-3】．直线与反比例函数的图象分别交于点和点，与坐标轴分别交于点和点． (1)求直线的解析式． (2)若点是轴上一动点，当与相似时，求点的坐标． 【答案】(1) (2)或 【分析】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题、相似三角形的性质、勾股定理，熟练掌握以上知识点并灵活运用，采用分类讨论的思想是解此题的关键． （1）先求出，，再利用待定系数法求解即可； （2）先求出，，再分两种情况：当时，当时，分别利用相似三角形的性质求解即可． 【详解】（1）解：∵与反比例函数的图象分别交于点和点， ∴，， ∴，， 则有， 解得， ∴直线的解析式为． （2）解：如图， 在中，当时，，即， 当时，，解得：，即， ①当时， ∵， ∴， 此时． ②当时，易知， 设，则，，， 由勾股定理可得：， ∴， 解得，此时点的坐标为； 综上所述，满足条件的点坐标为或． 题型11相似三角形存在性问题 例11．如图，在中，，，，点、分别在，上，连接. (1)将沿折叠，使点落在边上的点处，如图1，若，求的长； (2)将沿折叠，使点落在边上的点处，如图2，若. ①求的长； ②求四边形的面积； (3)若点在射线上，点在边上，点关于所在直线的对称点为点，问：是否存在以、为对边的平行四边形，若存在，求出的长；若不存在，请说明理由. 【答案】(1)；(2)①；②；(3)存在，或6. 【分析】（1）先判断出S△ABC=4S△AEF，再求出AB，判断出Rt△AEF∽△Rt△ABC，得出，代值即可得出结论； （2）先判断出四边形AEMF是菱形，再判断出△CME∽△CBA得出比例式，代值即可得出结论； （3）分两种情况，利用平行四边形的性质，对边平行且相等，最后用勾股定理即可得出结论． 【详解】解：(1)∵沿折叠，折叠后点落在上的点处， ∴，， ∴， ∵， ∴， 在中，∵，，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 即：， ∴； (2)①∵沿折叠，折叠后点落在边上的点处， ∴，，， ∴，∴， ∴， ∴四边形是菱形， 设，则，， ∵四边形是菱形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴，， 即：， ②由①知，，， ∴； (3)①如图3，当点在线段上时， ∵与是平行四边形的对边， ∴，， 由对称性知，，， ∴， 设， ∵， ∴，， ∴， ∴， ∴，， ∴，， 在中，， ∴， ∴， 即：； ②如图4，当点在线段的延长线上时，延长交于， 同理：，， 在中，， ∴， ∴， ∴， 即：或6. 【点睛】此题是四边形综合题，主要考查了全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，对称的性质，勾股定理，平行四边形的性质，求出AE是解本题的关键． 【变式11-1】．以农业和农村为载体的生态农业观光园，不仅具有生产性功能，还具有改善生态环境质量，为人们提供观光、休闲、度假的生活性功能．数学探究小组以“设计矩形生态农业观光园”为主题开展数学实践活动．    (1)如图1，是一块三角形田地，数学探究小组沿着道路BC设计矩形生态农业观光园，观光园的顶点P、F分别在边AB、AC上． ①若，，，请求出矩形生态农业观光园PN边的长； ②设，点A到道路BC的距离为h，矩形观光园PEFN的面积是否存在最大值？若存在，请用含a，h的代数式表示其最大面积；若不存在，请说明理由． (2)如图2，是一块四边形ABCD的田地，已知．经数学探究小组测量得，，，．数学探究小组在四边形ABCD田地设计了一个点E、F在BC边上且面积最大的矩形生态农业观光园PEFN，试求该矩形PEFN的面积． 【答案】(1)①；②矩形观光园的面积存在最大值，最大值为． (2)该矩形的面积为． 【分析】（1）①由，可知，利用相似三角形的性质即可求解； ②由，可知，利用相似三角形的性质得，即，进而可得则，利用二次函数的性质即可求解； （2）延长、交于点O，过点O作于点H，由，可知，则，可得，，由②可知矩形的边时，矩形的最大面积，进而可知点为线段的中点，点为线段的中点，再判断的中点在线段上，的中点在线段上，由②知，矩形的最大面积为：，即可求解． 【详解】（1）解：①在矩形观光园中，， ∴， ， ，，， ， ②矩形观光园的面积存在最大值，理由如下： 设，则点到道路的距离为， ， ， ，即， ， 则， 当时，最大值为； （2）延长、交于点O，过点O作于点H，   ， ， ， ，， ， ， ， 由②可知矩形的边时，矩形的最大面积， ∵，， ∴， ∴， ∴，则点为线段的中点，同理点为线段的中点， 在中，， ， ， ， 的中点在线段上， ， ， 的中点在线段上， 的中位线的两端点在线段、上， 由②知，矩形的最大面积为：， 答：该矩形的面积为． 【点睛】本题考查了相似三角形应用，二次函数的最值问题，根据相似三角形对应高的比等于对应边的比列式表示正方形的边长、三角形的边与该边上的高的关系是解题的关键． 【变式11-2】．某晚，小静在相邻两盏垂直于地面的路灯，之间行走，点，为光源，影子和在线段上，图①，图②为示意图．已知，小静的身高，于点，． (1)如图①，当点为中点时，分别求线段，的长． (2)如图②，当点不是中点时，设，求线段的长．（用含有的代数式表示） (3)由此，你觉得与存在怎样的数量关系？ 【答案】(1)， (2) (3) 【分析】本题考查了平行线分线段成比例定理、相似三角形的判定与性质、平行四边形的判定与性质，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）由题意可得，，再由平行线分线段成比例定理计算即可得解； （2）先由，得出，，从而求出，再由，得出，计算即可得解； （3）连接，则四边形为平行四边形，得出，，证明，得出，结合题意可得，即可得解． 【详解】（1）解：∵，点为中点时， ∴， 由题意可得：， ∴，， ∴，， ∴，； （2）解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； （3）解：， 如图，连接， ， ∵，， ∴四边形为平行四边形， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴． 【变式11-3】．如图，在△ABC中，AB=AC=4cm，BC=16cm，AD⊥BC于D，点E从B点出发，沿着射线BC运动，速度为4cm/s，点F从C同时出发，沿CA、AB向终点B运动，速度为cm/s，设它们运动的时间为t（s），当F点到达B点时，E点也停止运动，设运动时间为t． （1）求t为何值时，△EFC和△ACD相似； （2）设△EFC的面积为S，求S与t的函数关系式； （3）是否存在某一时刻，使得△EFD被AD分得的两部分面积之比为1：3，若存在，求出t的值，若不存在，请说明理由． 【答案】（1）t=或时，△EFC和△ACD相似；（2）S=；（3）t=时，使得△EFD被AD分得的两部分面积之比为1：3，见解析. 【分析】（1）△EFC要与△ACD相似，则∠C为公共角，即点F在AC上，t＜4，E在线段BC上．用t表示CE、CF，根据相似三角形对应边成比例列方程即求出t． （2）以CE为底求△EFC的面积，故过F高FG．以t=4为界点分类讨论E、F的位置，利用相似三角形的性质用t表示FG，即能得到用t表示的△EFC面积． （3）要使△EFD被AD所截，E不能在CD上，分E在BD上和E在C的右侧两种情况．△EFD以ED为底时，被AD分得的两三角形面积比等于高的比．用t表示各边长，再利用相似三角形对比边长比例列方程，即求出t的值． 【详解】解：（1）∵AB=AC=4cm，BC=16cm，AD⊥BC于D ∴BD=CD=BC=8cm ∴AD=（cm） 由题意得：BE=4t， 当0≤t≤4时，E在线段BC上，CE=16-4t，F在AC上，CF=t 当4＜t≤8时，E在线段BC外，CE=4t-16，F在AB上，BF=8-t ①若△ECF∽△ACD，如图1，则 ∴ 解得：t= ②若△FCE∽△ACD，如图2，则 ∴ 解得：t= 综上所述，t=或时，△EFC和△ACD相似． （2）过F作FG⊥BC于G 如图3，当0≤t≤4时，△FCG∽△ACD ∴ ∴FG= ∴S= 如图4，当4＜t≤8时，△BFG∽△BAD ∴ ∴FG= ∴S= ∴S= （3）过F作FG⊥BC于G，设EF与AD交点为H ①如图5，当E在BD上，F在AC上时，0＜t＜2 由△FGC∽△ADC得： ∴FG=t，CG=2t ∵BE=4t ∴DE=8-4t，EG=16-4t-2t=16-6t ∵HD∥FG ∴△EHD∽△EFG ∴ i）若S△EHD：S△HDF=1：3，则S△EHD：S△EFD=1：4 ∴= ∴ 解得：t= ii）若S△EHD：S△HDF=3：1，则S△EHD：S△EFD=3：4 ∴= ∴ 解得：t=8（不符题意，舍去） ②如图6，当E在BD外，F在BC上时，4＜t＜8 由△BFG∽△BAD得： ∴FG=8-t，BG=2（8-t） ∵BE=4t ∴DE=BE-BD=4t-8，EG=BE-BG=4t-2（8-t）=6t-16 ∵HD∥FG ∴△EHD∽△EFG ∴ i）若S△EHD：S△HDF=1：3，则S△EHD：S△EFD=1：4 ∴= ∴ 解得：t=（不符题意，舍去） ii）若S△EHD：S△HDF=3：1，则S△EHD：S△EFD=3：4 ∴= ∴ 解得：t=8（不符题意，舍去） 综上所述，t=时，使得△EFD被AD分得的两部分面积之比为1：3． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质，分类讨论思想．利用相似三角形对应边成比例用一个未知数表示各边长，再计算或列方程求值，是有关相似动点题的常规做法． 例12．抛物线y＝ax2+bx+c与x轴交于点A（1，0）和点B（5，0），与y轴交于点C（0，3）．该抛物线与直线y=相交于C，D两点，点P是抛物线上的动点且位于x轴下方，直线PM∥y轴，分别与x轴和直线CD交于点M，N． （1）求该抛物线所对应的函数解析式； （2）连结PC，PD，如图1，在点P运动过程中，△PCD的面积是否存在最大值？若存在，求出这个最大值；若不存在，说明理由； （3）连结PB，过点C作CQ⊥PM，垂足为点Q，如图2，是否存在点P，使得△CNQ与△PBM相似？若存在，求出满足条件的点P的坐标；若不存在，说明理由． 【答案】(1) y＝x2﹣x+3；(2)见解析;(3)见解析. 【分析】（1）将A、B、C坐标代入y＝ax2+bx+c列出方程组即可求出a、b、c的值； （2）根据S△PCD＝S△PCN+S△PDN＝PN•CE+PN•DF＝PN，得到，当t＝时，△PCD的面积有最大值； （3）当△CNQ与△PBM相似时，分或两种情况进行讨论． 【详解】（1）∵抛物线y＝ax2+bx+c经过点A（1，0）、点B（5，0）和点C（0，3）， 因为与y轴相较于点C，所以c＝3． ∴， 解得， ∴该抛物线对应的函数解析式为y＝x2﹣x+3； （2）∵点P是抛物线上的动点且位于x轴下方， ∴可设P（t，t2﹣t+3）（1＜t＜5）， ∵直线PM∥y轴，分别与x轴和直线CD交于点M、N， ∴M（t，0），N（t，t+3）， ∴PN＝t+3﹣（t2﹣t+3）＝﹣（t﹣）2+， 直线CD与抛物线解析式可得， 解得或， ∴C（0，3），D（7，）， 分别过C、D作直线PN的垂线，垂足分别为E、F，如图1， 则CE＝t，DF＝7﹣t， ∴S△PCD＝S△PCN+S△PDN＝PN•CE+PN•DF＝PN＝[﹣（t﹣）2+]＝﹣（t﹣）2+， ∴当t＝时，△PCD的面积有最大值，最大值为； （3）存在． ∵∠CQN＝∠PMB＝90°， ∴当△CNQ与△PBM相似时，有或两种情况， ∵CQ⊥PM，垂足为Q， ∴Q（t，3），且C（0，3），N（t，t+3）， ∴CQ＝t，NQ＝t+3﹣3＝t， ∴， ∵P（t，t2﹣t+3），M（t，0），B（5，0）， ∴BM＝5﹣t，PM＝0﹣（t2﹣t+3）＝﹣t2+t﹣3， 当时，则PM＝BM，即﹣t2+t﹣3＝（5﹣t），解得t＝2或t＝5（舍去），此时P（2，）； 当时，则BM＝PM，即5﹣t＝（﹣t2+t﹣3），解得t＝或t＝5（舍去），此时P（，﹣）； 综上可知存在满足条件的点P，其坐标为（2，）或（，﹣）． 【点睛】本题是二次函数综合题，考查了待定系数法求二次函数解析式，二次函数的最值问题以及相似三角形的性质，熟练运用这些性质是解题的关键． 【变式12-1】．已知一个直角三角形纸片OAB，其中∠AOB=90°，OA=2，OB=4．如图，将该纸片放置在平面直角坐标系中，折叠该纸片，折痕与边OB交于点C，与边AB交于点D． （1）若折叠后使点B与点A重合，求点C的坐标． （2）若折叠后点B落在边OA上的点为B′，是否存在点B′，使得四边形BCB′D是菱形？若存在，请说明理由并求出菱形的边长；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）C（0，1.5）；（2）存在点B'，使得四边形BCB'D是菱形，此时菱形的边长为20﹣8． 【分析】（1）折叠后使点B与点A重合，则C在AB的中垂线上，Rt△AOC中利用勾股定理即可得到方程，求得C的坐标；（2）当B'C∥AB（或B'D∥BO）时，四边形BCB'D是菱形，则△OB'C∽△OAB，依据相似三角形的对应边的比相等即可求得B′C的长度，然后根据△AB'D∽△AOB，即可求得B′D的长．从而证得B'C=BC=B'D=BD． 【详解】解:（1）设C（0，m），（m＞0）， 则CO=m， BC=AC=（4﹣m）， 在Rt△AOC中，有（4﹣m）2﹣m2=4， 整理得，12m=8， ∴m=1.5， ∴C（0，1.5）； （2）存在，当B'C∥AB（或B'D∥BO）时，四边形BCB'D是菱形， ∵∠AOB=90°，OA=2，OB=4， ∴AB=2， ∵B'C∥AB， ∴△OB'C∽△OAB， ∴， 设B'C=BC=x，则， 解得，x=2， ∵B'C∥AB， ∴∠CBD+∠BCB'=180°， 又∵∠CBD=∠CB'D， ∴∠CB'D+∠BCB'=180°， ∴B'D∥BO， ∴△AB'D∽△AOB， ∴， 设B'D=BD=y， ∴， 解得：y=20﹣8， ∴B'C=BC=B'D=BD， ∴四边形BCB'D是菱形， ∴存在点B'，使得四边形BCB'D是菱形，此时菱形的边长为20﹣8． 【点睛】本题考查了翻折变换（折叠问题）和坐标与图形性质以及菱形的判定与性质，解题的关键是熟练的掌握翻折变换（折叠问题）和坐标与图形性质以及菱形的判定与性质. 【变式12-2】．如图，已知抛物线与x轴交于点A(-2,0),B(4,0)，与y轴交于点C(0,8)．    (1) 求抛物线的解析式及其顶点D的坐标 (2)设直线CD交x轴于点E，过点B作x轴的垂线，交直线CD于点F，在坐标平面内找一点G，使以点G、F、C为顶点的三角形与△COE相似，请直接写出符合要求的，并在第一象限的点G的坐标； (3)在线段OB的垂直平分线上是否存在点P，使得点P到直线CD的距离等于点P到原点O的距离？如果存在，求出点P的坐标；如果不存在，请说明理由； (4)将抛物线沿其对称轴平移，使抛物线与线段EF总有公共点．试探究：抛物线向上最多可平移多少个单位长度？ 【答案】(1)，顶点;(2) G(4,8),  G(8,8),  G(4,4);(3)的坐标为(2,-10),理由见解析;(4) 向上最多可平移72个单位长,理由见解析 【分析】（1）设抛物线解析式为y=a（x+2）（x-4），把C的坐标代入即可求出a的值，再化成顶点式即可； （2）求出C的坐标，过C作CG∥x轴交BF于G，根据C的坐标求出G坐标；当是（4，4）两三角形全等即相似，当是（8，8）时符合相似三角形的判定，即两三角形相似综合上述有3个点． （3）设直线CD的解析式是y=kx+b，代入坐标后求出解析式，设P（2，t），根据距离相等列出方程求出即可； （4）抛物线向上平移，可设解析式为y=-x2+2x+8+m，把x=4或-8代入即可列出不等式，即可求出答案． 【详解】(1)设抛物线解析式为， 把代入得． ，顶点. (2)G(4,8),  G(8,8),  G(4,4). (3)假设满足条件的点存在，依题意设，    由求得直线的解析式为 它与轴的夹角为，设的中垂线交于，则． 则，点到的距离为． 又．． 平方并整理得：，． 存在满足条件的点，的坐标为(2,-10)． (4)由上求得． 抛物线向上平移，可设解析式为． 当时，． 当时，． 或． ． ∴向上最多可平移72个单位长. 【点睛】考查了二次函数图象与系数的特征，用待定系数法求一次函数的解析式，解一元二次方程和一元一次不等式，一次函数的点的坐标特征等知识点，解此题的关键是综合运用性质进行计算． 【变式12-3】．已知：抛物线（a≠0）的顶点M的坐标为（1,－2）与y轴交于点C（0，），与x轴交于A、B两点（A在B的左边）. （1）求此抛物线的表达式； （2）点P是线段OB上一动点（不与点B重合），点Q在线段BM上移动且∠MPQ＝45°，设线段OP＝x，MQ＝1，求y1与x的函数关系式，并写出自变量x的取值范围； （3）①在（2）的条件下是否存在点P，使△PQB是PB为底的等腰三角形，若存在试求点Q的坐标，若不存在说明理由； ②在（1）中抛物线的对称轴上是否存在点F，使△BMF是等腰三角形，若存在直接写出所有满足条件的点F的坐标. 【答案】（1）（2）（0≤x＜3）（3）①存在，Q的坐标为（2，1）②F1（1，0），F2（1，），F3（1，），F4（1，2）. 【详解】试题分析：（1）设抛物线的表达式为，将点C的坐标代入即可得出答案； （2）先证明，根据相似的性质列等式，求y1与x的函数关系式； （3）①假设存在满足条件的P点，根据条件是为底的等腰三角形，作的垂直平分线交于，．求出和点坐标；②根据是等腰三角形，只有点使得该三角形的两边相等即可． 试题解析： （1）∵抛物线的顶点为M（1，-2）可设， 由点（0，）得a-2=， ∴a=． ∴，即． （2）在x2=3中，由y=0，得， 解得：x1=-1，x2=3 ∴A（-1，0），B（3，0）． ∵M（1，-2）， ∴，， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ， ∴． （3）①存在点Q，使，即是以为底的等腰三角形， 作的垂直平分线交于，则． ∴ 又∵ ∴此时轴， ∴P为（1，0）， ∴PB=2． ∴Q的坐标为（2，-1）． ②使是等腰三角形的F点有： F1（1，0），F2（1，-2+2 ），F3（1，-2-2 ），F4（1，2）． 考点：二次函数综合题． 一、单选题（每小题3分，共24分） 1．某一时刻，身高的小明在阳光下的影长是，同一时刻同一地点测得某旗杆的影长是，则该旗杆的高度是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了三角形相似的性质：相似三角形对应边的比相等. 设该旗杆的高度为，根据三角形相似的性质得到同一时刻同一地点物体的高度与其影长的比相等，即有，然后解方程即可. 【详解】解：设该旗杆的高度为， 根据题意得：， 解得：. 即该旗杆的高度是4.8m. 故选：C ． 2．小李在做“小孔成像”实验时，蜡烛到挡板的距离与挡板到屏幕的距离之比是．若烛焰的高是，则实像的商是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了相似三角形的应用，根据证明，利用相似三角形的性质求解即可．熟练掌握相似三角形的性质是解答本题的关键． 【详解】解：如图所示：、相交于点， 是烛焰的高，是实像的高， ， ， 蜡烛到挡板距离与挡板到屏幕距离之比是，， ， ． 故选：A． 3．四分仪是一种古老的测量工具，可以追溯到公元2世纪的托勒密时代．如图就是一种四分仪在距离测量上的应用，该四分仪是在边长为1 米的正方形的一个顶点处安装一根方向杆．若将该四分仪的方向杆对准远处的目标物 E，在四分仪上读出的长度为20厘米，已知点 B，C，E在同一条直线上，则目标物 E 与点 B 之间的距离为（    ） A．1米 B．4米 C．5米 D．6米 【答案】C 【分析】本题主要考查了相似三角形的应用，通过已知的边长比例关系求解未知距离，熟练运用相关知识点是正确解答此题的关键． 由正方形中，，证明，得，即，求出进而得解． 【详解】解：， ， 正方形中，， ， ， ， ， ， 解得， ． 故答案为：C． 4．周末，数学兴趣小组的同学们去沙河国家湿地公园研学，他们看到一棵大树想测量树高，他们在阳光下测得一根长为2米的竹竿的影子是1.8米，同一时刻测量树高时，发现树的影子不全落在地面上，有一部分影子落在台阶上，且影子的末端刚好落在最后一级台阶的上端C处，他们测得落在地面的影长为2.2米，台阶总的高度为2.0米，台阶水平总宽度为3.2米，则树高为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了相似三角形的实际应用，熟记“同一时刻物高与影长成正比例”是解题的关键． 设树所在线段为，过点作于点，根据“同一时刻物高与影长成正比例”可得，由此即可求出的长，然后根据即可求出树高． 【详解】解：如图，设树所在线段为，过点作于点， 根据同一时刻物高与影长成正比例可得： ， ， ， 故选：． 5．我国学者墨子在《墨经》中记载了小孔成像实验的做法与成因．图1是小孔成像实验图，抽象为数学模型如图2所示．已知与交于点，．若点到的距离为，点到的距离为，蜡烛火焰的高度是，则蜡烛火焰倒立的像的高度是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查相似三角形性质和判定，根据题意证明，结合高之比等于相似比得到，再结合蜡烛火焰的高度是，进行求解，即可解题． 【详解】解：与交于点O，， ， 点O到的距离为，点O到的距离为， ， 蜡烛火焰的高度是， ， 解得， 故选：A． 6．如图，雨后操场有一洼积水，小明在B处站定后，通过水洼P点正好观察到操场旗杆顶部C，小明的眼睛离地面高度为米，他离P点的距离为2米，旗杆底端D离P点12米，点B、P、D在同一水平直线上，则旗杆的高度是（   ） A．6米 B．8米 C．9米 D．12米 【答案】C 【分析】本题考查了相似三角形的应用，镜面反射的基本性质，根据题意得出三角形相似是解题的关键．根据题意由镜面反射的性质可推出，再根据相似三角形的对应边成比例即可解答． 【详解】解：根据题意可知，，， ∴， ∴， ∵米，米，米， ∴米， 即旗杆的高度是9米． 故选：C． 7．如图，小明家客厅有一张直径为米，高米的圆桌，在距地面米的处有一盏灯，的影子为，依据题意建立平面直角坐标系，其中点的坐标为，则点的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查三角形相似的实际应用． 根据题意可知，可证，对应高的比等于对应底的比，可得，结合点的坐标，即可得点的坐标． 【详解】解：根据题意可知，， ∴， 由已知可得在中，边上的高为（米） ∴， ∴， ∵点的坐标为， ∴点的坐标为． 故选：C． 8．图1是装满了液体的高脚杯（数据如图所示），图2是用去部分液体后的高脚杯（数据如图所示），则图2中液面的宽度为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】本题考查了相似三角形的应用，熟练掌握相似三角形的判定及性质是解题的关键．由题意得：，可得，，进而判定，从而利用相似三角形的性质进行计算，即可解答． 【详解】解：如图， 由题意得：， ，， ， ， ， 解得：， 故选：C． 二、填空题（每小题4分，共20分） 9．如图是“小孔成像”，蜡烛到挡板距离与挡板到屏幕距离之比是1：2，若烛焰AC的高是，则实像的高是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查相似三角形的判定和性质，熟练掌握相似三角形的判定和性质是解题关键．根据相似三角形的判定和性质求解即可． 【详解】解：如图所示： 根据题意得：， ∴， ∵蜡烛到挡板距离与挡板到屏幕距离之比是，若烛焰的高是， ∴， ∴ 故答案为：． 10．阳光通过窗口照射到室内，在地面上留下宽的亮区（如图所示）．已知亮区到窗口下墙脚的距离，窗口高，则窗口底边离地面的高为 ． 【答案】 【分析】根据题意易证，利用相似三角形的性质，对应线段成比例求解即可． 【详解】解：由题意，得， ，， ， ， ， ． 故答案为：. 【点睛】主要考查了相似的三角形在实际生活中的应用，利用相似三角形的性质，对应线段成比例解题． 11．《九章算术》中记载了一种测量井深的方法．如图所示，在井口处立一根垂直于井口的木杆，从木杆的顶端观察井水水面，视线与井口的直径交于点，如果测得米，米，米，那么为 米． 【答案】4.5 【分析】本题主要考查了相似三角形的判定与性质，先证明，再根据相似三角形的性质列比例式求解即可． 【详解】解：∵，， ∴， ∴， ∴， ∵，，， ∴， ∴， ∴（米）， 故答案为：4.5． 12．《九章算术》勾股卷有一题目：今有邑，东西七里，南北九里，各开中门，出东门十五里有木，问出南门几何里而见木？大意是：如图，今有长方形城池，东西向城墙长7里，南北向城墙长9里，各方中央开有城门，出东门里有树，则出南门 里见到树． 【答案】// 【分析】本题考查了相似三角形的应用，根据题意得出是解决此题的关键． 【详解】解：如图所示： 由题意得：（里），（里），里， ∵， ∴， ∴， ∴， 即：， 解得：里； 即：出南门里见到树． 故答案为： 13．如图，在中，，，C、D在边上，且是边长为4的等边三角形，那么的长是 ． 【答案】或 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，等边三角形的性质，由等边三角形的性质可得，，再证明，利用相似三角形的性质计算即可得解，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解：∵是边长为4的等边三角形， ∴，， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，即， 解得：或， 故的长是或， 故答案为：或． 三、解答题（每小题8分，共56分） 14．《孙子算经》是中国古代重要的数学著作，成书于约1500年前，其中有首歌谣：今有竿不知其长，量得影长一丈五尺，立一标杆，长一尺五寸，影长五寸，问竿长几何？意思是：如图，有一根竹竿不知道有多长，量得它在太阳下的影子长一丈五尺，同时立一根一尺五寸的小标杆，它的影子长五寸，问竹竿的长度为多少尺？（注：1丈尺，1尺寸）    【答案】竹竿的长度为45尺． 【分析】根据同一时刻物高与影长成正比可得出结论． 【详解】解：设竹竿的长度为x尺， ∵竹竿的影长一丈五尺尺，标杆长一尺五寸尺，影长五寸尺， ， 解得（尺）， 答：竹竿的长度为45尺． 【点睛】本题考查的是相似三角形的应用，熟知同一时刻物高与影长成正比是解答此题的关键． 15．如图，某学习小组为了测量校园内一棵小树的高度，用长为的竹竿作测量工具，移动竹竿，使竹竿影子的顶端、树影子的顶端落在水平地面上的同一点，且点，，在同一直线上．已知，，求这棵树的高度． 【答案】这棵树的高度为 【分析】利用相似三角形对应边成比例列式求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∵， ∴． 答：这棵树的高度为． 【点睛】本题考查了相似三角形的应用，读懂题目信息，确定出相似三角形是解题的关键． 16． 为了测量水平地面上一棵不可攀的树的高度，某学校数学兴趣小组做了如下的探索：根据光的反射定律，利用一面镜子和一根皮尺，设计如图所示的测量方案：把一面很小的镜子放在与树底端B相距8米的点E处，然后沿着直线BE后退到点D，这时恰好在镜子里看到树梢顶点A，再用皮尺量得DE＝2米，观察者目高CD＝1.5米，则树AB的高度． 【答案】AB＝6米． 【分析】根据镜面反射的性质求出△ABE∽△CDE，再根据其相似比解答． 【详解】解：根据题意，得∠CDE＝∠ABE＝90°，∠CED＝∠AEB， 则△ABE∽△CDE， 则，即， 解得：AB＝6米． 答：树AB的高度为6米． 【点睛】本题考查相似三角形的应用，应用反射的基本性质，得出三角形相似，运用相似比即可解答． 17．如图，为测量旗杆高度，淇淇在脚下水平放置一平面镜，然后向后退（保持脚、镜子和旗杆底端在同一直线上），直到她刚好在镜子中看到旗杆的顶端，此时淇淇的眼睛离地面的高度，淇淇与镜子的水平距离，镜子与旗杆的水平距离．求旗杆高度． 【答案】 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，熟练掌握相似三角形的判定是解决本题的关键． 根据与可判断与相似，再根据边成比例计算即可． 【详解】解：，， ， 根据镜面的反射性质， ， 在与中， ， ， ， ，，， ， ， 旗杆高度为． 18．如图，地质勘探人员为了估算某条河的宽度，在河对岸选定两个目标点A，B ，再在他们所在的这一侧选点C，D，E，使得点D在线段上，点E在线段上，且．测得，点C到的距离，请你计算出这条河的宽度． 【答案】这条河的宽度是12米 【分析】本题考查相似三角形的判定与性质，熟练掌握相似三角形的判定方法是解题的关键． 延长交于点G．证明得，然后代入数据求解即可． 【详解】解：延长交于点G． ∵，， ∴， ∴． ∵， ∴ ∴， ∴， ∴这条河的宽度是12米． 19．小明决定利用所学数学知识测量出旗杆的高度．如图，已知A，B，C在同一条直线上，A，E，D也在同一条直线上，，，垂足分别是点B和点C，小明眼睛到地面高米，且米，的长度为9米． (1)求旗杆的高度； (2)小明在测量时发现通过地面直线上F处的一个小水坑刚好看到旗杆顶端D，求小水坑F到小明的距离的长． 【答案】(1)旗杆的高度为6米 (2)小水坑F到小明的距离的长为米 【分析】本题考查了相似三角形的应用． （1）证明，利用相似三角形的性质求解即可； （2）证明，利用相似三角形的性质求解即可． 【详解】（1）解： ， ． ， ． ． ， ． ． ． 经检验，是原分式方程的解． 答：旗杆的高度为6米． （2）解：由题意得： ，， ． ． ． ． 即 经检验：是原分式方程的解． 答：小水坑F到小明的距离的长为米． 20．学科实践--测量物体的高度 活动课题：借助标杆测量校园内路灯、国旗杆的高度．活动工具：标杆、皮尺、激光仪等工具． 方案设计及问题解决（图中各点均在同一竖直平面内）： (1)笃行组进行路灯测量（如图1），在路灯旁的水平空地上直立一根高2米的标杆，调整点处的激光仪，使它从点处发出的激光束恰好同时经过．测量数据：米，米．计算图1中路灯的高度． (2)缜密组想直接用笃行组的方法进行图2中国旗杆高度的测量，操作中发现：由于国旗杆底部台阶影响，无法测得线段的长，因此不能求得国旗杆高度．于是对笃行组的方案作出补充：在如图2中仍先直立一根高2米的标杆，调整点处的激光仪，使它从点处发出的激光束恰好同时经过，A，测得线段米；再直立一根同样高度的标杆，调整点处的激光仪，使它从点处发出的激光束恰好同时经过，A．并测得米，计算国旗杆的高度． 【答案】(1)路灯的高度为5.8米 (2)米 【分析】本题主要考查了相似三角形的性质和应用．解决本题的关键是根据相似三角形对应边成比例求出相应的线段的长度． （1）根据可知，根据米，米，米，可知，从而可求的长度； （2）首先根据可知，根据米，米，，从而可得，根据可知，根据又米，米，，可得，等量代换可得，整理可得． 【详解】（1）解：， ， ， 米，米，米， 米， ， 解得：米； （2）解： ， ， ， 又米，米， ， 整理得：， ， ， ， 又米，米，， ， ， 解得：． 即国旗杆的高度为米． 学科网（北京）股份有限公司 $