第六单元多边形的面积·梯形和组合图形篇【从课本到奥数】-2025-2026学年五年级数学上册书山培优系列（原卷版+解析版）人教版

null 衣带渐宽终不悔，为伊消得人憔悴。 ——宋·柳永《蝶恋花·伫倚危楼风细细》 2025-2026学年五年级数学上册书山培优系列「2025秋」 第六单元多边形的面积·梯形和组合图形篇【从课本到奥数】 一、填空题。 1．两个完全一样的梯形拼成的平行四边形底是12厘米，高是8厘米，那么其中一个梯形的面积是( )平方厘米。 2．一个梯形试验田，上底是，高，面积135m2，下底是( )m。 3．一个梯形（如图）是由一个正方形和两个等腰直角三角形拼成的，已知正方形的边长是4.8厘米，梯形的面积是( )平方厘米。 4．图中每个小方格的面积是，估一估这块菜地的面积约是( )。 5．一个直角梯形的上底、下底和高分别是10分米、14分米和8分米，它的面积是( )平方分米；在梯形内画一个最大的三角形，三角形的面积是( )平方分米。 6．如图，点A和点B分别是正方形两边的中点，阴影部分的面积是( )平方厘米。 二、解答题。 7．用篱笆围成一个梯形养鸡场（如图），其中一边利用房屋墙壁。已知篱笆共长70米，这个养鸡场的占地面积是多少平方米？ 8．一块梯形菜地，上底是12米，下底是26米，高是5米。如果每平方米种白菜10棵，这块地一共可种多少棵白菜？ 9．下面是一片直角梯形的水田，有一条小路从中间穿过，求水田的面积。（单位：米） 10．草坪占地多少平方米？ 【奥数培优1】梯形底边的变化问题 正方形的一组对边中，一条边增加17厘米，另一条边减少10厘米，这样就变成 梯形，这时梯形下底的长是上底的4倍，这个梯形的面积是多少? 【对应练习】 1. 有一块梯形菜地，下底是上底的2倍，如果把上底延长8米，就变成了一个面积是80平方米的平行四边形，这块梯形菜地的面积是多少平方米? 2. 如图，ABED是一个直角梯形，∠D=90°,它的上底AB=2厘米，AD=5厘米， DE=10厘米，如果△EBC的面积等于梯形ABCD的面积，那么 CE长多少厘米? 3. 如图，梯形ABCD的面积是45平方米，高6米，三角形AEB的面积是5平方米，DC=10米，求阴影部分的面积。 【奥数培优2】蝶形定理（一） 如图所示，在梯形ABCD中，三角形AOD的面积是7.5平方分米，求阴影部分的面积。 【对应练习】 1. 如图所示，在梯形ABCD中，△AOB的面积是7平方厘米，△BOC的面积是9平方厘米，求△ADB的面积。 2. 如图所示，长方形ABCD中，三角形ABG的面积为20平方厘米，三角形CDQ的面积为35平方厘米，阴影部分的面积是多少平方厘米? 3. 如图所示，ABCD是直角梯形，AB=4厘米，AD=5厘米，DE=3厘米，那么△OBC的面积是多少? 【奥数培优3】蝶形定理（二） 如图所示，在梯形ABCD中，CO的长度等于AO长度的2倍，阴影部分的面积 是10平方分米，求梯形ABCD的面积。 【对应练习】 1. 如图所示，在梯形ABCD中，△ABE的面积是25平方厘米，AC是AE长的3倍，梯形ABCD的面积是多少平方厘米? 2. 如图所示，四边形ABCD是长方形，已知S①的面积是12，S③的面积是25，那么S②的面积是多少? 3. 如图所示，梯形ABCD的面积为117平方厘米，AD//BC，EF=13厘米，MN= 4厘米，又已知EF⊥MN于点O，那么阴影部分的总面积为多少平方厘米? 【奥数培优4】等积模型 如图所示，已知大正方形AGBE的边长是5厘米，小正方形CDEF的边长是3厘米，求阴影部分的面积。(单位：厘米) 【对应练习】 1. 如图是两个正方形，边长分别是7厘米和5厘米，求阴影部分的面积。 2. 如图所示，两个正方形的边长分别是12厘米和6厘米，那么涂色部分的面积是多少平方厘米? 3. 如图，甲、乙两图形都是正方形，它们的边长分别是20厘米和12厘米。则三角形AEG的面积为多少平方厘米? 【奥数培优5】等腰三角形在组合图形中的应用 如图，BF=10，求图中阴影部分的面积。(单位：厘米) 【对应练习】 1. 两块等腰直角三角形的三角板ABC和CDE如图所示放置，直角边BC和CE 的长分别是10和8，则阴影部分的面积是多少? 2. 如图所示，三角形ABC和DEF是两个完全相同的等腰直角三角形，其中DF长9厘米，CF长3厘米，那么，阴影部分的面积是多少平方厘米? 3. 如图所示，四边形ABCD、CEFG都是正方形，AB=2,EC=4，则阴影部分面积为多少? 【奥数培优6】复杂的多边形面积问题（一） 如图所示，正六边形ABCDEF的面积是6平方厘米，M是AB中点，N是CD 中点，P是EF中点，三角形MNP的面积是多少平方厘米? 【对应练习】 1. 如图所示，在正六边形ABCDEF中，若△ACE的面积为18，则三个阴影部分的面积和为多少? 2. 如图所示，正六边形ABCDEF的面积是120平方厘米，以G、H、I为中心的三个小正六边形边长是正六边形ABCDEF边长的一半，那么，三角形GHI的面积是多少平方厘米? 【奥数培优7】复杂的多边形面积问题（二） 用一张斜边长为29的红色直角三角形纸片，一张斜边长为49的蓝色直角三角形纸片，一张黄色的正方形纸片，如图恰好拼成一个直角三角形，问：红、蓝两张三角形纸片面积之和是多少?试说明理由。 【对应练习】 1. 如图所示，在梯形ABCD中，E是AB的中点，F是AD的中点，已知△DCF的面积是6平方厘米，△ADE的面积是4平方厘米，那么梯形ABCD的面积是多少平方厘米? 2. 如图所示，在梯形ABCD中，AD//BC，AB=CD，AC与BD是对角线，且 AC⊥BD交于O，AD=3，BC=7，则梯形ABCD的面积为多少? 3. 如图所示，AF=7 cm，DH=4 cm，BG=5 cm，AE=1 cm，若正方形ABCD内的四边形EFGH的面积为78 cm²，则正方形的边长为多少厘米? 第 1 页 共 6 页 学科网（北京）股份有限公司 $null 衣带渐宽终不悔，为伊消得人憔悴。 ——宋·柳永《蝶恋花·伫倚危楼风细细》 2025-2026学年五年级数学上册书山培优系列「2025秋」 第六单元多边形的面积·梯形和组合图形篇【从课本到奥数】 一、填空题。 1．两个完全一样的梯形拼成的平行四边形底是12厘米，高是8厘米，那么其中一个梯形的面积是( )平方厘米。 【答案】48 【分析】两个完全一样的梯形拼成的平行四边形，平行四边形面积是梯形面积的2倍，根据平行四边形面积＝底×高，求出平行四边形面积，除以2就是一个梯形的面积，据此列式计算。 【详解】12×8÷2 ＝96÷2 ＝48（平方厘米） 其中一个梯形的面积是48平方厘米。 2．一个梯形试验田，上底是，高，面积135m2，下底是( )m。 【答案】18 【分析】根据梯形面积公式：面积＝（上底＋下底）×高÷2；下底＝面积×2÷高－上底，代入数据，即可解答。 【详解】135×2÷9－12 ＝270÷9－12 ＝30－12 ＝18（m） 一个梯形试验田，上底是12m，高是9m，面积是135m2，下底是18m。 3．一个梯形（如图）是由一个正方形和两个等腰直角三角形拼成的，已知正方形的边长是4.8厘米，梯形的面积是( )平方厘米。 【答案】46.08 【分析】根据题意，中间正方形的边长是4.8厘米，则即该梯形的高和上底都为4.8厘米，同时，又因为左右是两个等腰直角三角形，则两条腰相等，梯形下底为：（4.8＋4.8＋4.8）厘米，再根据梯形面积公式：面积＝（上底＋下底）×高÷2，将数据代入求解即可。 【详解】由分析可得： 4.8＋4.8＋4.8＝14.4（厘米） （4.8＋14.4）×4.8÷2 ＝19.2×4.8÷2 ＝92.16÷2 ＝46.08（平方厘米） 综上所述：梯形的面积是46.08平方厘米。 4．图中每个小方格的面积是，估一估这块菜地的面积约是( )。 【答案】46 【分析】用数格子估计不规则图形面积的方法：分别数出整数格数合不完整格数；再定：根据整数格数和所有格数确定面积大小的范围；后估：把不完整格按半格计算加上整数格，估算出面积。 【详解】有36个整格子，大约有20个半方格， 36＋20÷2 ＝36＋10 ＝46（个） 因为每个小方格的面积是， 因此这块菜地的面积约是46×1＝46（）。 【点睛】此题的解题关键是掌握求不规则图形面积的计算方法。 5．一个直角梯形的上底、下底和高分别是10分米、14分米和8分米，它的面积是( )平方分米；在梯形内画一个最大的三角形，三角形的面积是( )平方分米。 【答案】 96 56 【分析】根据公式：梯形的面积＝（上底＋下底）×高÷2，将数据代入公式即可求解；在这个梯形内画一个最大的三角形，其底等于梯形的下底，高等于梯形的高，利用三角形的面积公式即可求解。 【详解】（10＋14）×8÷2 ＝24×8÷2 ＝96（平方分米） 14×8÷2 ＝14×4 ＝56（平方分米） 所以，这个梯形的面积是96平方分米，在梯形内画一个最大的三角形，三角形的面积是56平方分米。 【点睛】此题主要考查梯形、三角形的面积的计算方法的灵活应用。 6．如图，点A和点B分别是正方形两边的中点，阴影部分的面积是( )平方厘米。 【答案】24 【分析】阴影部分的面积＝正方形面积的一半－小三角形的面积，正方形面积＝边长×边长，三角形面积＝底×高÷2，据此列式计算。 【详解】8×8÷2－（8÷2）×（8÷2）÷2 ＝64÷2－4×4÷2 ＝32－8 ＝24（平方厘米） 阴影部分的面积是24平方厘米。 【点睛】关键是掌握并灵活运用正方形和三角形面积公式。 二、解答题。 7．用篱笆围成一个梯形养鸡场（如图），其中一边利用房屋墙壁。已知篱笆共长70米，这个养鸡场的占地面积是多少平方米？ 【答案】500平方米 【分析】看图可知，篱笆长包括梯形的上底、下底和高，篱笆长－高＝上下底的和，根据梯形面积＝上下底的和×高÷2，据此列式解答。 【详解】（70－20）×20÷2 ＝50×20÷2 ＝500（平方米） 答：这个养鸡场的占地面积是500平方米。 8．一块梯形菜地，上底是12米，下底是26米，高是5米。如果每平方米种白菜10棵，这块地一共可种多少棵白菜？ 【答案】950棵 【分析】根据梯形的面积＝（上底＋下底）×高÷2，代入数值计算出这块菜地的面积，用总面积乘10，所得结果即为这块地一共可种多少棵白菜，据此解答。 【详解】（12＋26）×5÷2×10 ＝38×5÷2×10 ＝190÷2×10 ＝95×10 ＝950（棵） 答：这块地一共可种950棵白菜。 9．下面是一片直角梯形的水田，有一条小路从中间穿过，求水田的面积。（单位：米） 【答案】1215平方米 【分析】观察图形可知：用整个直角梯形的面积减去中间的平行四边形小路的面积，即可求出水田的面积。梯形的面积＝（上底＋下底）×高÷2，平行四边形的面积＝底×高，据此解答。 【详解】（60＋25）×30÷2－2×30 ＝85×30÷2－60 ＝1275－60 ＝1215（平方米） 答：水田的面积为1215平方米。 10．草坪占地多少平方米？ 【答案】48平方米 【分析】由图知：草坪面积是梯形面积减长方形面积。根据梯形面积＝（上底＋下底）×高÷2、长方形面积＝长×宽，将数值代入计算即可。 【详解】（8＋10）×6÷2－3×2 ＝18×6÷2－6 ＝54－6 ＝48（平方米） 答：草坪面积是48平方米。 【点睛】掌握梯形面积和长方形面积计算公式是解答的关键。 【奥数培优1】梯形底边的变化问题 正方形的一组对边中，一条边增加17厘米，另一条边减少10厘米，这样就变成 梯形，这时梯形下底的长是上底的4倍，这个梯形的面积是多少? 解析： 如图所示，根据“一条边增加17厘米，另一条边减少10厘米，这样就变成梯形”可知，梯形下底比上底长17+10=27(厘米)；又从“梯形下底的长是上底的4倍”可知，梯形下底比上底多4－1=3(倍)，所以，先求出“1”倍数，即梯形上底的 17厘米长，梯形上底为27÷3=9(厘米)，从而求得梯形的下底为9×4= 36(厘米)，梯形的高是正方形的边长10+9=19(厘米)。 所以，梯形的面积是(9+ 36)×19÷2=427.5(平方厘米) 【对应练习】 1. 有一块梯形菜地，下底是上底的2倍，如果把上底延长8米，就变成了一个面积是80平方米的平行四边形，这块梯形菜地的面积是多少平方米? 解析： 我们可以把平行四边形分成相同的四块，每块的面积是80÷4=20(平方米)，梯形的面积是20×3=60(平方米) 2. 如图，ABED是一个直角梯形，∠D=90°,它的上底AB=2厘米，AD=5厘米， DE=10厘米，如果△EBC的面积等于梯形ABCD的面积，那么 CE长多少厘米? 解析： 梯形ABED的面积是(2+10)×5÷2 =30(平方厘米)，而△EBC的面积=梯形ABCD的面积，所以，△EBC的面积是30÷2=15(平方厘米)，CE =15×2÷5=6(厘米) 3. 如图，梯形ABCD的面积是45平方米，高6米，三角形AEB的面积是5平方米，DC=10米，求阴影部分的面积。 解析：20 【奥数培优2】蝶形定理（一） 如图所示，在梯形ABCD中，三角形AOD的面积是7.5平方分米，求阴影部分的面积。 解析： 在梯形中，△ADC和△BDC是两个同底等高的三角形，因此它们的面积相等。从△ADC和△BDC中同时减去△ODC，那么△AOD和△BOC的面积相等，所以阴影部分△BOC的面积是7.5平方分米。 【对应练习】 1. 如图所示，在梯形ABCD中，△AOB的面积是7平方厘米，△BOC的面积是9平方厘米，求△ADB的面积。 解析：△ADB的面积是7+9=16(平方厘米) 2. 如图所示，长方形ABCD中，三角形ABG的面积为20平方厘米，三角形CDQ的面积为35平方厘米，阴影部分的面积是多少平方厘米? 解析：连结EF，在梯形ABFE中，S△EFG =S△ABG；在梯形 CDEF中，S△EFQ=S△CDQ，阴影部分的面积为两个三角形的和，20+35=55(平方厘米)，所以，阴影部分的面积是55平方厘米。 3. 如图所示，ABCD是直角梯形，AB=4厘米，AD=5厘米，DE=3厘米，那么△OBC的面积是多少? 解析：5×3÷2=7.5(平方厘米) 【奥数培优3】蝶形定理（二） 如图所示，在梯形ABCD中，CO的长度等于AO长度的2倍，阴影部分的面积 是10平方分米，求梯形ABCD的面积。 解析： 因为△ABD和△ABC是两个同底等高的三角形，所以△ADO的面积和△CBO相等，即10平方分米.如果将AO和CO作为△ABO与△CBO的底，那么，这两个三角形就是等高的三角形，由于“CO的长度等于AO长度的2倍”，因此，△CBO的面积是△ABO的2倍，也就是说△ABO的面积是10÷2=5(平方分米)；同理，观察△ADO和△CDO，以AO和CO为底，△CDO的面积是△ADO的2倍，10×2=20(平方分米) 所以，梯形ABCD的面积是10÷2+ 10×2+10×2=5+20+20=45(平方分米)。 【对应练习】 1. 如图所示，在梯形ABCD中，△ABE的面积是25平方厘米，AC是AE长的3倍，梯形ABCD的面积是多少平方厘米? 解析： 因为“AC是AE长的3倍”，所以△CBE的面积是△ABE的2倍，也就是25×2=50(平方厘米)，即△ADE的面积为50平方厘米，同理，△CDE的面积是△ADE的2倍，即50×2 =100(平方厘米)，所以，梯形ABCD的面积是25+50+50+100= 225(平方厘米) 2. 如图所示，四边形ABCD是长方形，已知S①的面积是12，S③的面积是25，那么S②的面积是多少? 解析：25－12=13 3. 如图所示，梯形ABCD的面积为117平方厘米，AD//BC，EF=13厘米，MN= 4厘米，又已知EF⊥MN于点O，那么阴影部分的总面积为多少平方厘米? 解析： 已经知道梯形ABCD的面积，那么只要求出空白部分的面积就可以得到阴影部分的面积，因为EF垂直于MN，可知中间空白部分EMFN的面积为13× 4÷2=26(平方厘米)，而EF把梯形ABCD分割成两个梯形ABFE和EFCD，由蝴蝶定理可知：三角形 ABM的面积=三角形EMF的面积，三角形DNC的面积=三角形EFN的面积，所以，三角形ABM的面积+三角形DNC的面积=三角形EMF的面积+三角形EFN的面积=四边形EMFN的面积=26，空白部分的面积总和为26+26=52(平方厘米) 所以，阴影部分面积为117—52=65(平方厘米) 【奥数培优4】等积模型 如图所示，已知大正方形AGBE的边长是5厘米，小正方形CDEF的边长是3厘米，求阴影部分的面积。(单位：厘米) 解析： 如图所示，连接CE，阴影部分的面积是5×5÷2=12.5(平方厘米) 【对应练习】 1. 如图是两个正方形，边长分别是7厘米和5厘米，求阴影部分的面积。 解析： S阴影=7×7+5×5－7×7÷2－(5+7)×5÷2 =74－54.5 =19.5(平方厘米) 2. 如图所示，两个正方形的边长分别是12厘米和6厘米，那么涂色部分的面积是多少平方厘米? 解析：(12+6)×(12+6)÷2－6×6÷2=144(平方厘米) 3. 如图，甲、乙两图形都是正方形，它们的边长分别是20厘米和12厘米。则三角形AEG的面积为多少平方厘米? 解析： 如图，连结AC,即四边形ACGE为梯形，△CEG 的面积就是△AEG的面积，12×12÷2=72(平方厘米) 【奥数培优5】等腰三角形在组合图形中的应用 如图，BF=10，求图中阴影部分的面积。(单位：厘米) 解析： 如图所示，因为△ABC和△EFD都有一个直角和一个45°角，一条直角边的长度是7厘米，所以它们是两个完全相同的等腰直角三角形，一部分重叠在一起以后，由BF=10厘米，不难知道，CD=4厘米，而阴影部分的这个三角形又是一个等腰直角三角形，向下画出同样的三角形，那么CD应该是正方形的对角线，由正方形对角线的平方除以2求出正方形的面积，再除以2就是正方形一半的面积.所以4×4÷2÷2=4(平方厘米)。 答：阴影部分的面积是4平方厘米。 【对应练习】 1. 两块等腰直角三角形的三角板ABC和CDE如图所示放置，直角边BC和CE 的长分别是10和8，则阴影部分的面积是多少? 解析： 很明显，△BEF也是等腰直角三角形，△BCG的面积减去△BEF的面积就是阴影部分的面积，即10× 10÷4－(10－8)×(10－8)÷2=25－2=23(平方厘米) 2. 如图所示，三角形ABC和DEF是两个完全相同的等腰直角三角形，其中DF长9厘米，CF长3厘米，那么，阴影部分的面积是多少平方厘米? 解析： 因为DF长9厘米，CF长3厘米，所以，CE长12厘米，三角形CEG的面积是12×12÷4=36(平方厘米)，36－3×3=27(平方厘米) 3. 如图所示，四边形ABCD、CEFG都是正方形，AB=2,EC=4，则阴影部分面积为多少? 解析：如图，图中阴影部分是一个三角形，面积没法直接求，可将图形补成一个大正方形，再减去周围三个直角三角形的面积即可。 阴影部分=S大正方形－S三角形①－S三角形②－S三角形③ =(4+2)×(4+2)－2×2÷2－4×6÷2－4×6÷2 =36－2－12－12 =10 【奥数培优6】复杂的多边形面积问题（一） 如图所示，正六边形ABCDEF的面积是6平方厘米，M是AB中点，N是CD 中点，P是EF中点，三角形MNP的面积是多少平方厘米? 解析： 如图所示，我们把正六边形平均分成24个等边三角形，每个等边三角形的面积为6÷24=0.25(平方厘米)，三角形MNP中含有9个等边三角形，0.25×9= 2.25(平方厘米) 【对应练习】 1. 如图所示，在正六边形ABCDEF中，若△ACE的面积为18，则三个阴影部分的面积和为多少? 解析： 正六边形ABCDEF可分成18个与阴影部分面积分别相等的三角形，其中△ACE中有9个，18÷9=2，2×3=6，所以，三个阴影部分的面积和为6。 2. 如图所示，正六边形ABCDEF的面积是120平方厘米，以G、H、I为中心的三个小正六边形边长是正六边形ABCDEF边长的一半，那么，三角形GHI的面积是多少平方厘米? 解析： 大正六边形减去三个小正六边形剩下的三个小菱形拼起来刚好等于一个小正六边形，所以每个小正六边形的面积是30平方厘米，而三角形GHI的面积刚好是一个小正六边形面积的一半，所以，三角形 GHI的面积等于15平方厘米。 【奥数培优7】复杂的多边形面积问题（二） 用一张斜边长为29的红色直角三角形纸片，一张斜边长为49的蓝色直角三角形纸片，一张黄色的正方形纸片，如图恰好拼成一个直角三角形，问：红、蓝两张三角形纸片面积之和是多少?试说明理由。 解析： 如图2所示，由于∠EDF=90°，所以∠1+∠2=90°，将直角三角形DEB割下来补到三角形DFG的位置。 由DE=DF，可知F点与E点重合，又因为∠DEB=90°=∠DFG=∠AFD，所以∠AFD+∠GFD=180°，即点A、F、G在同一直线上。 因为∠GDF=∠1，所以∠GDA=90°，因为三角形ADG是直角三角形，它的面积恰好等于红、蓝两个直角三角形面积和，所以红、蓝两张三角形纸片面积之和是49×29÷2=710.5 【对应练习】 1. 如图所示，在梯形ABCD中，E是AB的中点，F是AD的中点，已知△DCF的面积是6平方厘米，△ADE的面积是4平方厘米，那么梯形ABCD的面积是多少平方厘米? 解析： 如图，连结AC、BD，由E是AB的中点，可知△ADE与△BDE等底等高，因此面积相等，即S△ADE=S△BDE=4(平方厘米)，S△ABD=4×2=8(平方厘米)。 同理，F是AD的中点，可以知道，S△ACF=S△DCF=6(平方厘米)，S△ACD=6×2=12(平方厘米)，而△ACD与△BCD的面积相等(等底等高)，所以 S△BCD=12(平方厘米)，S梯形ABCD=S△ABD+S△BCD=8+12=20(平方厘米) 2. 如图所示，在梯形ABCD中，AD//BC，AB=CD，AC与BD是对角线，且 AC⊥BD交于O，AD=3，BC=7，则梯形ABCD的面积为多少? 解析： 如图作DE⊥BC.根据题意，割补后可将△DEC移至△BFA，即S四边形ABCD=S四边形FDEB，根据等腰梯形对称性知，△AOD是等腰直角三角形，则∠BDA=45°，故四边形FDEB是正方形，根据对称性，EC=(7-3)÷2=2，则BE=7-2=5，所以，S四边形ABCD=S四边形FDEB =5²=25。 3. 如图所示，AF=7 cm，DH=4 cm，BG=5 cm，AE=1 cm，若正方形ABCD内的四边形EFGH的面积为78 cm²，则正方形的边长为多少厘米? 解析： 如图所示，在正方形内分别画出长方形AFME、 BGNF、CHQG、DEPH，很明显，每个长方形中的阴影部分与空白部分面积相等，因为AF=7 cm，DH=4 cm，所以，QN=3 cm；又因为BG=5 cm，AE=1 cm，所以，PQ=4 cm，因此，长方形PMNQ的面积为3×4=12(cm²)，正方形ABCD的面积为78－12+78=144(cm²)，144=12²，所以，正方形的边长为12 cm。 第 1 页 共 6 页 学科网（北京）股份有限公司 $