第六单元多边形的面积·平行四边形和三角形篇【从课本到奥数】-2025-2026学年五年级数学上册书山培优系列（原卷版+解析版）人教版

衣带渐宽终不悔，为伊消得人憔悴。 ——宋·柳永《蝶恋花·伫倚危楼风细细》 2025-2026学年五年级数学上册书山培优系列「2025秋」 第六单元多边形的面积·平行四边形和三角形篇【从课本到奥数】 一、填空题。 1．一个平行四边形菜园的底是10米，高是6米，它的面积是( )平方米。 2．如图，两条平行线间，甲的面积是16平方厘米，乙的面积是11平方厘米，丙的面积是( )平方厘米。 3．一个平行四边形的面积比与它等底等高的三角形面积多18平方厘米，则这个平行四边形的面积是( )平方厘米。 4．一个三角形，底是8.5厘米，底比高长1.5厘米，这个三角形的面积是( )平方厘米。 5．如下图，三角形的面积是( )dm2，有一个平行四边形和这个三角形等底等高，这个平行四边形的面积是( )dm2。 6．一个直角三角形的三条边分别是6cm、8cm、10cm，这个直角三角形的面积是( )cm2，斜边为底时，高是( )cm。 二、解答题。 7．一块菜地的形状是平行四边形，它的底是16米，高是底的一半。王叔叔拿这块地的一半种白菜，种白菜的面积是多少平方米？ 8．如图：在公园里有一块平行四边形的草坪，一条平行四边形的小路穿过草坪（单位：米），种1平方米的草需要9.8元，那么种这块草坪需要多少钱？ 9．一块三角形玻璃，它的底是12.5分米，高是5.6分米。每平方分米玻璃的价格是68元，买这块玻璃要用多少钱？ 10．一个平行四边形，底12厘米，高7厘米。如果在这个平行四边形里剪下一个底5厘米的三角形（如下图），那么剩下图形的面积是多少平方厘米？ 【奥数培优1】平行四边形中的中点四边形 如图所示，平行四边形ABCD中，点P、Q、R、S 分别为边AB、BC、CD、DA的中点，而点T为线段SR的中点.已知四边形ABCD的面积为120平方厘米，则三角形PQT的面积为多少平方厘米? 【对应练习】 如图所示，平行四边形的面积是72平方厘米，点E、F分别是AD、AB的中点，求阴影部分的面积。 【奥数培优2】利用三角形推算平行四边形的面积 如图，平行四边形ABCD的BC边长10厘米，CD边长6厘米，BC边上的高长 5厘米，求平行四边形BECF的面积. 【对应练习】 1. 如图，长方形ABCD的长是12厘米，宽是8厘米，那么，平行四边形BDEF的面积是多少? 2. 如图，已知平行四边形ABCD的底CD为25厘米，CD边上的高为15厘米，求平行四边形AEFG的面积。 3. 如图，正方形ABCD的边长是4厘米，长方形DEFG的长DG是5厘米，那么，长方形的宽DE是多少厘米? 【奥数培优3】利用平移法求面积 如图是一块长方形的草地，长方形的长是16，宽是10，中间有两条道路，都是平行四边形，那么，草地部分(阴影部分)的面积有多大?(单位：米) 【对应练习】 1. 如图所示，有一块长方形草地，长是22米，宽是16米，中间有两条平行四边形大道，那么，草地部分的面积是多少平方米? 2. 如图，四边形ABCD是一块长方形草坪，长20米，宽15米，中间有一条宽2米的曲折小路，求小路的面积。 3. 如图所示，若阴影部分的面积是54，则小正方形的面积是多少? 【奥数培优4】锯齿模型 如图所示，平行四边形ABCD的底是18厘米，高是12厘米，线段EF与AD平行，那么，平行四边形内阴影部分的面积是多少? 【对应练习】 1. 如图所示，已知平行四边形的底是30厘米，对应的高是10厘米，那么阴影部分的面积是多少平方厘米? 2. 如图所示，长方形的长是10厘米，宽是6厘米，A、B是宽的中点，求长方形内阴影部分的面积。 3. 如图，ABFE和CDEF都是平行四边形，AB的长是8厘米，平行四边形ABCD 中AB边上的高是6厘米，那么图中阴影部分的面积是多少平方厘米? 【奥数培优5】等高模型（一） 如图所示，BE的长是3，EC的长是6，那么，三角形 AEC的面积是三角形ABE的多少倍? 【对应练习】 如图，BE的长是1.5，EC的长是4.5，那么，三角形AEC的面积是三角形ABE的多少倍? 【奥数培优6】等高模型（二） 如图所示，三角形ABC的面积是2平方厘米，BE=2AB,BC=CD，求三角形BDE的面积。 【对应练习】 1. 如图所示，三角形ABC的面积是60，D是BC的中点，AE长是ED长的2倍，那么，三角形CDE的面积是多少? 2. 如图，在三角形ABC中，CD=2BD，AC=4AE，△ADE的面积是20平方厘米，那么，△ABD与△EDC的面积之和是多少? 3. 如图所示，四边形ABCD的面积为60平方厘米，ED=2AE，BF=2FC，连结 BE、DF，点G、H分别是BE、DF的中点，那么阴影四边形EGFH的面积为多少平方厘米? 【奥数培优7】容斥原理（一） 如图，两个直角三角形完全相同，它们重叠在一起，求阴影部分的面积(单位：厘米)。 【对应练习】 1. 如图，两个完全相同的直角梯形重叠在一起，求阴影部分的面积(单位：厘米)。 2. 如图，两个相同的直角三角形重叠在一起，求阴影部分的面积(单位：厘米)。 3. 如图所示，已知四边形ABFE是一个正方形，并且 AC=BD，那么两个阴影部分的面积相比( )。 (A)甲>乙 (B)甲<乙 (C)甲=乙 (D)无法判断 【奥数培优8】容斥原理（二） 如图，正方形ABCD的边长是4厘米，△BCF的面积比△DEF的面积多2平 方厘米，求DE的长度。 【对应练习】 1. 如图，三角形ABC和三角形BCD是两个直角三角形，AB长3厘米，BC长10 厘米，DC长6厘米.三角形ABE比三角形CDE的面积小多少平方厘米? 2. 如图，四边形ABCD是一个长方形，三角形ADE比三角形CEF的面积小10平方厘米，CF的长是多少厘米? 3. 如图，四边形AEFG是平行四边形，三角形CGF是直角三角形，GF长8厘米， CF长7厘米，阴影部分的面积比三角形BCD大12平方厘米，求DF的长。 第 1 页 共 6 页 学科网（北京）股份有限公司 $nullnull 衣带渐宽终不悔，为伊消得人憔悴。 ——宋·柳永《蝶恋花·伫倚危楼风细细》 2025-2026学年五年级数学上册书山培优系列「2025秋」 第六单元多边形的面积·平行四边形和三角形篇【从课本到奥数】 一、填空题。 1．一个平行四边形菜园的底是10米，高是6米，它的面积是( )平方米。 【答案】60 【分析】已知平行四边形菜园的底和高，根据平行四边形的面积＝底×高，代入数据计算，求出这个菜园的面积。 【详解】10×6＝60（平方米） 它的面积是60平方米。 【点睛】本题考查平行四边形面积公式的运用。 2．如图，两条平行线间，甲的面积是16平方厘米，乙的面积是11平方厘米，丙的面积是( )平方厘米。 【答案】16 【分析】两条平行线之间的距离处处相等，根据平行四边形的面积＝底×高，长方形的面积＝长×宽，长方形是特殊的平行四边形，可知同底等高的平行四边形的面积相等，所以甲的面积＋乙的面积＝乙的面积＋丙的面积，据此解答。 【详解】观察图形可知，甲的面积＋乙的面积＝丙的面积＋乙的面积， 所以甲的面积＝丙的面积， 因为甲的面积是16平方厘米， 所以丙的面积是16平方厘米。 【点睛】本题考查了等（或同）底等高的平行四边形的面积相等的知识点。 3．一个平行四边形的面积比与它等底等高的三角形面积多18平方厘米，则这个平行四边形的面积是( )平方厘米。 【答案】36 【分析】根据等底等高的平行四边形的面积是三角形的面积的2倍，把三角形的面积看成l份，平行四边形的面积是2份，则平行四边形与三角形的面积相差（2－1）份，由此即可求出一份是多少，进而求出平行四边形的面积。 【详解】18÷（2－1）×2 ＝18÷1×2 ＝18×2 ＝36（平方厘米） 这个平行四边形的面积是36平方厘米。 【点睛】本题关键是根据等底等高的平行四边形的面积与三角形的面积的关系，找出18平方厘米对应的份数，进而得出答案。 4．一个三角形，底是8.5厘米，底比高长1.5厘米，这个三角形的面积是( )平方厘米。 【答案】29.75 【分析】已知底是8.5厘米，底比高长1.5厘米，那么高为8.5－1.5＝7厘米。 三角形的面积＝底×高÷2，据此解答。 【详解】高：8.5－1.5＝7（厘米） 面积：8.5×7÷2＝29.75（平方厘米） 这个三角形的面积是29.75平方厘米。 5．如下图，三角形的面积是( )dm2，有一个平行四边形和这个三角形等底等高，这个平行四边形的面积是( )dm2。 【答案】 30 60 【分析】根据三角形面积公式：面积＝底×高÷2，代入数据，求出三角形面积；等底等高的平行四边形面积是三角形面积的2倍，用三角形面积×2，即可解答。 【详解】8×7.5÷2 ＝60÷2 ＝30（dm2） 30×2＝60（dm2） 三角形的面积是30dm2，有一个平行四边形和这个三角形等底等高，这个平行四边形的面积是60dm2。 6．一个直角三角形的三条边分别是6cm、8cm、10cm，这个直角三角形的面积是( )cm2，斜边为底时，高是( )cm。 【答案】 24 4.8 【分析】直角三角形中最长的边是斜边，其两条直角边互为彼此的底和高，利用三角形面积公式：三角形面积＝底×高÷2，将数据代入即可求出该直角三角形的面积； 再根据三角形的高＝三角形面积×2÷底，据此代入数据可以求出该直角三角形斜边上的高为多少。 【详解】由分析可得： 6×8÷2 ＝48÷2 ＝24（cm2） 24×2÷10 ＝48÷10 ＝4.8（cm） 综上所述：一个直角三角形的三条边分别是6cm、8cm、10cm，这个直角三角形的面积是24cm2，斜边为底时，高是4.8cm。 二、解答题。 7．一块菜地的形状是平行四边形，它的底是16米，高是底的一半。王叔叔拿这块地的一半种白菜，种白菜的面积是多少平方米？ 【答案】64平方米 【分析】已知平行四边形的底是16米，高是底的一半，则用16÷2即可求出平行四边形的高，根据平行四边形的面积＝底×高，代入数据求出菜地的面积，已知王叔叔拿这块地的一半种白菜，用这块菜地的面积除以2，即可求出种白菜的面积。据此解答。 【详解】16÷2＝8（米） 16×8＝128（平方米） 128÷2＝64（平方米） 答：种白菜的面积是64平方米。 【点睛】本题考查了平行四边形的面积公式的灵活应用，要熟练掌握公式。 8．如图：在公园里有一块平行四边形的草坪，一条平行四边形的小路穿过草坪（单位：米），种1平方米的草需要9.8元，那么种这块草坪需要多少钱？ 【答案】12642元 【分析】从图中可知，平行四边形草坪的底是（45.5－2.5）米，高是30米，根据平行四边形的面积＝底×高，代入数据计算即可求出草坪的面积，再乘种1平方米的草需要的价钱，即可求出种这块草坪需要的钱数。 【详解】（45.5－2.5）×30 ＝43×30 ＝1290（平方米） 9.8×1290＝12642（元） 答：种这块草坪需要12642元。 【点睛】本题考查平行四边形面积公式的应用，也可以用大平行四边形的面积减去小路的面积解答。 9．一块三角形玻璃，它的底是12.5分米，高是5.6分米。每平方分米玻璃的价格是68元，买这块玻璃要用多少钱？ 【答案】2380元 【分析】根据三角形面积公式：面积＝底×高÷2，代入数据，求出这块三角形玻璃的面积，再乘68，即可求出买这块玻璃需要的钱数。 【详解】12.5×5.6÷2×68 ＝70÷2×68 ＝35×68 ＝2380（元） 答：买这块玻璃要用2380元。 10．一个平行四边形，底12厘米，高7厘米。如果在这个平行四边形里剪下一个底5厘米的三角形（如下图），那么剩下图形的面积是多少平方厘米？ 【答案】66.5平方厘米 【分析】根据图，可知，剩下的面积为平行四边形面积－剪下的三角形面积，根据平行四边形面积公式：S＝底×高，三角形面积公式：S＝底×高÷2，将数据代入求解即可。 【详解】由分析可得： 12×7－5×7÷2 ＝84－35÷2 ＝84－17.5 ＝66.5（平方厘米） 答：剩下图形的面积是66.5平方厘米。 【奥数培优1】平行四边形中的中点四边形 如图所示，平行四边形ABCD中，点P、Q、R、S 分别为边AB、BC、CD、DA的中点，而点T为线段SR的中点.已知四边形ABCD的面积为120平方厘米，则三角形PQT的面积为多少平方厘米? 解析： 如图，连结PS、QR,因为点P、Q、R、S分别为边AB、BC、CD、DA的中点，所以，平行四边形PQRS的面积是平行四边形 ABCD的一半，即120÷2=60(平方厘米)；很明显，三角形PQT的面积又是平行四边形PQRS的一半，60÷2=30(平方厘米)，所以，三角形PQT的面积为30平方厘米。 【对应练习】 如图所示，平行四边形的面积是72平方厘米，点E、F分别是AD、AB的中点，求阴影部分的面积。 解析：27 【奥数培优2】利用三角形推算平行四边形的面积 如图，平行四边形ABCD的BC边长10厘米，CD边长6厘米，BC边上的高长 5厘米，求平行四边形BECF的面积. 解析： 根据题意，10厘米和5厘米是平行四边形ABCD对应的底和高，因此，它的面积是10×5=50(平方厘米)，而三角形 BCE是平行四边形ABCD的一半，又是平行四边形BECF的一半，所以，平行四边形BECF的面积与平行四边形ABCD的面积相等，均为50平方厘米。 【对应练习】 1. 如图，长方形ABCD的长是12厘米，宽是8厘米，那么，平行四边形BDEF的面积是多少? 解析：12×8=96(平方厘米) 2. 如图，已知平行四边形ABCD的底CD为25厘米，CD边上的高为15厘米，求平行四边形AEFG的面积。 解析：连结BG，25×15=375(平方厘米) 3. 如图，正方形ABCD的边长是4厘米，长方形DEFG的长DG是5厘米，那么，长方形的宽DE是多少厘米? 解析：连结AG，三角形ADG的面积分别是正方形ABCD和长方形DEFG的一半，因此，正方形ABCD和长方形DEFG的面积相等，长方形DEFG的面积是 4×4=16(平方厘米)，所以，长方形的宽DE是16÷5=3.2(厘米)。 【奥数培优3】利用平移法求面积 如图是一块长方形的草地，长方形的长是16，宽是10，中间有两条道路，都是平行四边形，那么，草地部分(阴影部分)的面积有多大?(单位：米) 解析： 我们知道，两个平行四边形的面积与10×2、16×2的长方形的面积相等，把两个平行四边形换成10×2、16×2的长方形，然后将横、竖两条道路都移至边上，如图，草地部分(阴影部分)的面积还是与原来一样大小 (16－2)×(10-2)= 112(平方米)。 答：草地部分的面积是112平方米。 【对应练习】 1. 如图所示，有一块长方形草地，长是22米，宽是16米，中间有两条平行四边形大道，那么，草地部分的面积是多少平方米? 解析：(22－2)×(16－2)=280(平方米) 2. 如图，四边形ABCD是一块长方形草坪，长20米，宽15米，中间有一条宽2米的曲折小路，求小路的面积。 解析：20×15－(20－2)×(15－2)=66(平方米) 3. 如图所示，若阴影部分的面积是54，则小正方形的面积是多少? 解析：54÷6=9 【奥数培优4】锯齿模型 如图所示，平行四边形ABCD的底是18厘米，高是12厘米，线段EF与AD平行，那么，平行四边形内阴影部分的面积是多少? 解析：18×12÷2=216÷2=108(平方厘米) 【对应练习】 1. 如图所示，已知平行四边形的底是30厘米，对应的高是10厘米，那么阴影部分的面积是多少平方厘米? 解析：30×10÷2=150(平方厘米) 2. 如图所示，长方形的长是10厘米，宽是6厘米，A、B是宽的中点，求长方形内阴影部分的面积。 解析：10×6÷ 2÷2=15(平方厘米) 3. 如图，ABFE和CDEF都是平行四边形，AB的长是8厘米，平行四边形ABCD 中AB边上的高是6厘米，那么图中阴影部分的面积是多少平方厘米? 解析：6×8÷2=24(平方厘米) 【奥数培优5】等高模型（一） 如图所示，BE的长是3，EC的长是6，那么，三角形 AEC的面积是三角形ABE的多少倍? 解析： 我们知道，三角形AEC的面积=6×AD÷2，三角形ABE的面积=3×AD÷2，因为EC的长6是BE的长3的2倍，所以，三角形AEC的面积是三角形ABE的2倍。 【对应练习】 如图，BE的长是1.5，EC的长是4.5，那么，三角形AEC的面积是三角形ABE的多少倍? 解析：3倍。 【奥数培优6】等高模型（二） 如图所示，三角形ABC的面积是2平方厘米，BE=2AB,BC=CD，求三角形BDE的面积。 解析： 根据题意，BE=2AB，因此，连结CE，如图，分别以AB、BE作为三角形ABC和三角形BCE的底，不难知道三角形ABC和三角形BCE是两个等高的三角形，因此三角形BCE的面积是三角形ABC的2倍；同样道理，BC=CD，三角形 CDE的底和高与三角形BCE的底和高分别相等，也就是说三角形CDE的面积与三角形BCE相等，所以，三角形BDE的面积是三角形ABC面积的2+2=4倍，所以， 三角形BDE的面积是2×4=8(平方厘米)。 【对应练习】 1. 如图所示，三角形ABC的面积是60，D是BC的中点，AE长是ED长的2倍，那么，三角形CDE的面积是多少? 解析：60÷2= 30；30÷(1+2)=10 2. 如图，在三角形ABC中，CD=2BD，AC=4AE，△ADE的面积是20平方厘米，那么，△ABD与△EDC的面积之和是多少? 解析： 因为AC=4AE，所以△ACD的面积是△ADE的4倍，也就是20×4=80(平方厘米)，那么△EDC的面积是80－20=60(平方厘米)；因为CD=2BD，所以△ACD的面积是△ABD的2倍，△ABD的面积也就是80÷2=40(平方厘米)，60+40=100(平方厘米) ，所以，△ABD与△EDC的面积之和是100平方厘米。 3. 如图所示，四边形ABCD的面积为60平方厘米，ED=2AE，BF=2FC，连结 BE、DF，点G、H分别是BE、DF的中点，那么阴影四边形EGFH的面积为多少平方厘米? 解析： 连结BD，由ED=2AE，BF=2FC，有S△BDE = 2S△ABE，S△BDF=2S△CDF，因此，四边形BEDF的面积是60÷(2+1)×2=40(平方厘米)；再连结EF，由BG=EG，HF=HD，得阴影四边形EGFH的面积是四边形BEDF面积的一半，40÷2=20(平方厘米)，所以，阴影四边形EGFH的面积为20平方厘米。 【奥数培优7】容斥原理（一） 如图，两个直角三角形完全相同，它们重叠在一起，求阴影部分的面积(单位：厘米)。 解析： 如果想直接求阴影部分的面积，显然有很大的困难，我们不妨利用转化的方法，因为三角形ABC和三角形DEF完全相同，而它们的重叠部分是△COD，那么，甲的面积等于乙的面积，可以先求出乙的面积，因为EF=9厘米，那么BC=9厘米，而BO=3厘米，所以OC=9－3=6(厘米)，即乙的面积是(6+9)× 2÷2=15(平方厘米)，所以，甲的面积等于15平方厘米。 【对应练习】 1. 如图，两个完全相同的直角梯形重叠在一起，求阴影部分的面积(单位：厘米)。 解析：(20-5+20)×8÷2=35×4=140(平方厘米) 2. 如图，两个相同的直角三角形重叠在一起，求阴影部分的面积(单位：厘米)。 解析：[(8－3)+8]×5÷2=32.5(平方厘米) 3. 如图所示，已知四边形ABFE是一个正方形，并且 AC=BD，那么两个阴影部分的面积相比( )。 (A)甲>乙 (B)甲<乙 (C)甲=乙 (D)无法判断 解析：C 【奥数培优8】容斥原理（二） 如图，正方形ABCD的边长是4厘米，△BCF的面积比△DEF的面积多2平 方厘米，求DE的长度。 解析： 正方形ABCD的面积是4×4=16(平方厘米) 三角形ABE的面积是16－2=14(平方厘米) (AD+DE)×AB÷2=14，即(4+DE)×4÷2=14，所以，DE的长度是3厘米。 【对应练习】 1. 如图，三角形ABC和三角形BCD是两个直角三角形，AB长3厘米，BC长10 厘米，DC长6厘米.三角形ABE比三角形CDE的面积小多少平方厘米? 解析：10×6÷2－10×3÷2=15(平方厘米) 2. 如图，四边形ABCD是一个长方形，三角形ADE比三角形CEF的面积小10平方厘米，CF的长是多少厘米? 解析： 长方形ABCD的面积是10×6=60(平方厘米)，三角形ABF的面积是60+10=70(平方厘米)，BF的长是70×2÷10=14(厘米)，CF的长是14－6=8(厘米) 3. 如图，四边形AEFG是平行四边形，三角形CGF是直角三角形，GF长8厘米， CF长7厘米，阴影部分的面积比三角形BCD大12平方厘米，求DF的长。 解析：8×7÷2=28(平方厘米)，28+12=40(平方厘米)，40÷8=5(厘米) 第 1 页 共 6 页 学科网（北京）股份有限公司 $