精品解析：黑龙江省牡丹江市第一高级中学2025-2026学年高一上学期11月期中考试数学试题

高一学年期中考试 数 学 试 题 考试时间：120分钟 分值：150分 命题人：程鹏鹏 审题人：王丽平 一、单项选择题 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知命题，；命题，，则（ ）. A. 和都是真命题 B. 和都是真命题 C. 和都是真命题 D. 和都是真命题 3. 下列函数中，是偶函数且在区间上单调递增的是（ ） A. B. C. D. 4. 函数的图象大致为（ ） A. B. C. D. 5. 已知函数（，）的图像恒过定点P，P在幂函数图象上，则的值为（ ） A. 8 B. 4 C. D. 6. 已知函数，则的定义域为（ ） A. B. C. D. 7. 已知是上的增函数，那么a的取值范围是（ ） A. B. C. D. 8. 已知函数，那么不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题 9. 下列说法正确的是（ ） A. “”是“”成立的充分不必要条件 B. 命题“”的否定是“” C. “”是“关于的方程有一正一负根”的充要条件 D. “”是“”的必要条件 10. 已知x，y为正实数，，则下列说法正确的是（ ） A. 的最大值为4 B. 的最小值为3 C. 的最小值为 D. 的最小值为16 11. 定义（其中表示不小于的最小整数）为“向上取整函数”．例如．以下描述正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 不是上的奇函数 D. 若，则 三、填空题 12. __________． 13. 若函数在区间上的最大值为4，则最小值为_____． 14. 若集合中恰有个元素，则称函数是“阶准偶函数”.已知函数是“2阶准偶函数”，则的取值范围是________ 四、解答题 15. 求下列函数的解析式． （1）已知，求； （2）已知为二次函数，且，求． 16. 设函数 （1）若不等式的解集为，求，的值； （2）若，求以下两个问题： ①若，，求的最小值： ②若在上恒成立，求实数的取值范围. 17. 已知函数且恒过定点． （1）求实数； （2）在（1）的条件下，将函数的图象向下平移个单位，再向左平移个单位后得到函数，设函数的反函数为，求的解析式； （3），求函数的值域. 18. 若，已知函数为奇函数． （1）求实数的值． （2）用定义证明的单调性． （3）若函数在区间上的值域是，求的取值范围． 19. 已知函数满足如下条件：①对任意，；②；③对任意，，总有. （1）写出一个符合上述条件的函数（写出即可，无需证明）； （2）证明：满足题干条件的函数在上单调递增； （3）①证明：对任意的，，其中； ②证明：对任意的，都有. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 高一学年期中考试 数 学 试 题 考试时间：120分钟 分值：150分 命题人：程鹏鹏 审题人：王丽平 一、单项选择题 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据并集的概念求解即可. 【详解】因为， 所以. 故选：B 2. 已知命题，；命题，，则（ ）. A. 和都是真命题 B. 和都是真命题 C. 和都是真命题 D. 和都是真命题 【答案】B 【解析】 【分析】分别求解和的真假性，即可得解. 【详解】由于，故命题是假命题，为真命题， 取，则，故命题为真命题，为假命题， 故选：B 3. 下列函数中，是偶函数且在区间上单调递增的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】逐一判断函数的奇偶性和单调性，可得正确选项. 【详解】对A：为偶函数，根据幂函数的性质，因为，所以函数在上单调递减，故A选项不合题意； 对B：定义域为，既非奇函数，也非偶函数，故B选项不合题意； 对C：为偶函数，当时，在上单调递减，故C选项不合题意； 对D：为偶函数，当时，在上单调递增，故D选项符合题意. 故选：D 4. 函数的图象大致为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】借助函数的奇偶性、单调性及函数正负，利用排除法即可得. 【详解】因为的定义域为，关于原点对称，又， 所以函数是奇函数，即的图象关于原点对称，故B错误； 当时，因为，所以，故C错误； 因为， 所以在上并不单调递增，故D错误. 故选：A. 5. 已知函数（，）的图像恒过定点P，P在幂函数图象上，则的值为（ ） A. 8 B. 4 C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据对数函数和幂函数的图象特点和定义求解即可. 【详解】因为函数的图象恒过点， 令，即时. 所以点的坐标为. 又点在幂函数的图象上，设， 则，所以，所以. 所以. 故选：C. 6. 已知函数，则的定义域为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】求出函数的定义域，再求出复合函数定义域即得. 【详解】函数中，，解得，即函数的定义域为， 因此在中，，解得， 所以的定义域为. 故选：C 7. 已知是上的增函数，那么a的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用分段函数单调性，结合对数函数单调性列式求解即得. 【详解】是R上的增函数， 则，解得， 所以的取值范围为. 故选：A. 8. 已知函数，那么不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据已知得，不等式化为，再作等价转化求不等式的解集即可. 【详解】由题设， 所以， 则. 故选：A 二、多项选择题 9. 下列说法正确的是（ ） A. “”是“”成立的充分不必要条件 B. 命题“”的否定是“” C. “”是“关于的方程有一正一负根”的充要条件 D. “”是“”的必要条件 【答案】AC 【解析】 【分析】根据题意，利用不等式的基本性质，全称命题与存在性命题的关系，以及一元二次方程的性质，结合充分条件、必要条件的判定方法，逐项分析判断，即可求解. 【详解】对于A，由，则一定成立，所以充分性成立； 反之：例如，此时满足，但不成立，即必要性不成立， 所以是成立的充分不必要条件，所以A正确； 对于B，由命题“”的否定是“”，所以B不正确； 对于C，若方程有一正一负根，则，解得， 所以是关于的方程有一正一负根的充要条件，所以C正确； 对于D，令，此时满足，但，所以充分不成立； 反之：令，此时满足，但，所以必要性不成立， 所以是的既不充分也不必要条件，所以D错误. 故选：AC. 10. 已知x，y为正实数，，则下列说法正确的是（ ） A. 的最大值为4 B. 的最小值为3 C. 的最小值为 D. 的最小值为16 【答案】ABD 【解析】 【分析】利用基本不等式逐个判断A、B、C选项，利用配方法化简D选项中代数式即可求得最值. 【详解】当时，∵，∴，∴，当且仅当时，取等号，A选项正确； ，当且仅当时，取等号，B选项正确； ，当且仅当时，取等号，∴，C选项错误； ∴，D选项正确. 故选：ABD. 11. 定义（其中表示不小于的最小整数）为“向上取整函数”．例如．以下描述正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 不是上的奇函数 D. 若，则 【答案】BCD 【解析】 【分析】根据函数定义判断选项A，根据定义以及二次不等式的解法即可得出选项B，取特殊值结合函数奇偶性判断即可得出选项C，利用函数定义结合不等式性质即可得出D. 【详解】因为表示不小于的最小整数， 所以，且，即， 对于选项A：因为，， 所以， 即，故选项A错误； 对于选项B：令，则，即， 因为表示不小于的最小整数，所以或 当时，由可得， 当时，由可得， 故，所以选项B正确； 对于选项C：因为的定义域为，所以， 而，所以， 所以不是上的奇函数，所以选项C正确； 对于选项D：由，， 所以，所以，所以， 由，结合不等式的可加性可得到： ，故．选项D正确． 故选：BCD． 三、填空题 12. __________． 【答案】9 【解析】 【分析】借助对数运算法则与指数幂运算法则计算即可得. 【详解】原式. 故答案为：. 13. 若函数在区间上的最大值为4，则最小值为_____． 【答案】0 【解析】 【分析】展开整理函数，构造函数，并由函数的奇偶性得到函数为奇函数，由奇函数的图像关于原点对称得到，即可求得函数的最小值. 【详解】， 令，∵， 即函数为奇函数， ∵奇函数的图像关于原点对称， ∴在上的最大值与最小值之和为0， 即，则， ∵，∴. 故答案为：0 14. 若集合中恰有个元素，则称函数是“阶准偶函数”.已知函数是“2阶准偶函数”，则的取值范围是________ 【答案】 【解析】 【分析】根据题意分类讨论，时，其中有部分具有偶函数性质，不符合题意；时，根据分段函数的解析式通过方程的解，确定的范围． 【详解】根据题意，函数是“2阶准偶函数”， 则集合中恰有2个元素， 当时，函数一段部分为， 注意到函数本身具有偶函数性质， 故集合中不止有两个元素； 当时，根据“2阶准偶函数”的定义得的可能取值为或， 为，，故，方程无解， 当 ，解得或， 故要使得集合中恰有2个元素， 则需要满足，即， 当时，函数的取值为，为， 根据题意得：， 解得或，满足恰有两个元素，故满足条件. 综上，实数的取值范围是. 故答案为：. 四、解答题 15. 求下列函数的解析式． （1）已知，求； （2）已知为二次函数，且，求． 【答案】（1） （2）． 【解析】 【分析】（1）令，求出后代入即可得； （2）设，代入已知等式，由恒等式知识求解． 【小问1详解】 令，则， 于是有，所以； 【小问2详解】 设， 所以，解得，所以． 16. 设函数 （1）若不等式的解集为，求，的值； （2）若，求以下两个问题： ①若，，求的最小值： ②若在上恒成立，求实数的取值范围. 【答案】（1） （2）①9；② 【解析】 【分析】（1）利用不等式的解集结合一元二次方程根和系数的关系求解即可； （2）①利用基本不等式中“1”的应用求解即可；②把转化为在R上恒成立，利用二次函数的性质求解即可. 【小问1详解】 若不等式的解集为， 则， 所以. 解得. 【小问2详解】 若， ①，，则， 当且仅当，即时，等号成立. 故的最小值为9. ②在R上恒成立， 即在R上恒成立， 若 ，则z在上不恒成立，舍， 故， 解得： 故a的取值范围为. 17. 已知函数且恒过定点． （1）求实数； （2）在（1）的条件下，将函数的图象向下平移个单位，再向左平移个单位后得到函数，设函数的反函数为，求的解析式； （3），求函数的值域. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）将点代入计算即可得； （2）得到后结合反函数定义即可得； （3）计算出后结合换元法及二次函数性质计算即可得. 【小问1详解】 依题意，则，由，则，故； 【小问2详解】 由（1）知，将函数的图象向下平移个单位得到， 再向左平移个单位得到， 指数函数的反函数是对数函数，故； 【小问3详解】 ， 令，问题等价于求的值域， 函数图象开口向上，对称轴为直线， 故， 函数的值域为. 18. 若，已知函数为奇函数． （1）求实数的值． （2）用定义证明的单调性． （3）若函数在区间上的值域是，求的取值范围． 【答案】（1）； （2） 由上知， 不妨设，所以， 因为，且在R上单调递增，所以， 即，即在R上单调递增； （3）. 【解析】 【分析】（1）先判定函数定义域，借助求参数，再验证即可； （2）利用单调性的定义，作差证明即可； （3）根据（2）的结论，将问题转化为二次方程的根的个数问题，利用韦达定理计算即可. 【小问1详解】 ，则恒成立，所以定义域为R， 则，所以， 此时，符合题意， 故. 【小问2详解】 略 【小问3详解】 由上知在R上单调递增，所以， 整理得， 则是关于的方程的两个不等正根， 所以，解不等式组得. 19. 已知函数满足如下条件：①对任意，；②；③对任意，，总有. （1）写出一个符合上述条件的函数（写出即可，无需证明）； （2）证明：满足题干条件的函数在上单调递增； （3）①证明：对任意的，，其中； ②证明：对任意的，都有. 【答案】（1）（答案不唯一） （2） 任取，. 因为，故且. 故. 故在上单调递增. （3）①由题意可知：对任意正数，都有，且， 在③中令，可得，即； 故对任意正整数与正数，都有； ②由①可知：对任意正整数与正数，都有， 故对任意正整数与正数，都有， 令，则； 对任意，可得，并且 ， 又因为，所以由（2）中已经证明的单调性可知： ，， 所以. 【解析】 【分析】（1）根据条件设计一个函数即可； （2）根据条件，运用函数单调性的定义推导即可； （3）运用递推的方法先证明①，再根据①的结论，考虑的x的区间即可证明. 【小问1详解】 ，，等，即形如均可； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 略 【点睛】对于第二问，如何巧妙运用 要学习，抽象函数中经常会用到这个方法；对于第三问，可以把 看作 ，再运用 可以证明①，再利用①的结论推出 ， . 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $