精品解析：辽宁沈阳东北育才学校2025-2026学年九年级上学期期中数学试卷

辽宁沈阳东北育才学校2025-2026学年九年级上学期期中数学试卷 考试时间：120分钟 试卷满分：120分 一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 下面的几何体中，俯视图为三角形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了几何体的三视图，分别根据俯视图是从上面看到的图形进行逐项分析，即可作答． 【详解】解：A、该几何体的俯视图是三角形，故该选项符合题意； B、该几何体的俯视图是圆，故该选项不符合题意； C、该几何体的俯视图是圆，中间有圆心，故该选项不符合题意； D、该几何体的俯视图是正方形，故该选项不符合题意； 故选：A 2. 湿地旅游爱好者小明了解到某市水资源总量为42.43亿m3，其中42.43亿m3用科学记数法可表示为（ ） A. 42.43×109m3 B. 4.243×108m3 C. 4.243×109m3 D. 0.4243×108m3 【答案】C 【解析】 【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|<10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正数；当原数的绝对值小于1时，n是负数． 【详解】∵42.43亿=4243000000， ∴4243000000=4.243×109， 故选C 【点睛】本题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|<10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值． 3. 数学世界奇妙无穷，其中曲线是微分几何的研究对象之一，下列数学曲线都是轴对称图形，其中有两条对称轴的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了轴对称图形的识别，找对称轴，解题的关键在于熟练掌握：在平面内，一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合的图形叫做轴对称图形． 找出一条直线，沿该直线折叠使得直线两旁的部分能够完全重合，即为对称轴． 【详解】解：A、该图形只有1条对称轴，为轴所在的直线，故不符合题意； B、该图形只有1条对称轴，为第一、三象限的角平分线，故不符合题意； C、该图形有2条对称轴，为轴和轴所在的直线，故符合题意； D、该图形只有1条对称轴，为轴所在的直线，故不符合题意； 故选：C． 4. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了幂的乘方、积的乘方、同类项的合并、单项式乘法，熟练掌握幂的乘方、积的乘方、同类项的合并、单项式乘法的运算法则是解题的关键． 分别运用幂的乘方、积的乘方、同类项的合并、单项式乘法计算，即可判断． 【详解】解：A、，错误，该选项不符合题意； B、，错误，该选项不符合题意； C、，错误，该选项不符合题意； D、，正确，该选项符合题意； 故选：D． 5. 一个盒子内装有大小、形状均相同的四个球，其中红球1个、绿球1个、白球2个．小明从中摸出一个球放回后，再摸出一个球，则两次摸到的球颜色一样的概率是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】画树状图法计算即可． 本题考查了画树状图法求概率，熟练掌握方法是解题的关键． 【详解】解：依据题意画树状图为： 共有16种等可能的结果，其中两次摸到的球颜色一样的等可能性为6， 故两次摸到的球颜色一样的概率是． 故选：B． 6. 如图，直线，是等边三角形，则的大小为（ ） A B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】此题考查等边三角形的性质，关键是根据等边三角形的性质得出解答． 根据等边三角形的性质得出，进而利用平行线的性质和三角形的内角和定理解答即可． 【详解】解：如图所示 是等边三角形， ∥ 故选：Ｂ 7. 如图，四边形是矩形，直线分别交，，于点E，F，O，下列条件中，不能证明的是（ ） A. 为矩形两条对角线的交点 B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了矩形的性质、平行线的性质、全等三角形的判定，熟练掌握矩形的性质和全等三角形的判定是解题的关键． 由矩形的性质得出 ，再由平行线的性质得出，，然后由全等三角形的判定逐一判定即可． 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴ ， ∴，， A、∵O为矩形两条对角线的交点， ∴， 在和中， ， ∴， 故此选项不符合题意； B、在和中， ， ∴， 故此选项不符合题意； C、∵， ∴， 即， 在和中， ， ∴， 故此选项不符合题意； D、∵， ∴， 两三角形中缺少对应边相等，所以不能判定， 故此选项符合题意； 故选：D． 8. 如图，点，的坐标分别为，，若将线段移至，则的值是（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查坐标与图形变换--平移，代数式求值．由平移前后对应点的坐标，可确定平移方式，从而可得和即可得的值． 【详解】解：∵点平移后对应点为，，点平移后的对应点为，， ∴线段向右平移个单位，向上平移个单位， ∴，， ∴，， ∴． 故选：A ． 9. 《九章算术》是中国古代最重要的数学经典之一，其中记载：“今有衰分，各以差次分之．”“衰分”就是指按照一定比例增加或减少的分配方法，堪称世界上最早的增长率计算理论．根据中国汽车工业协会发布的数据显示，我国新能源汽车市场呈现出蓬勃发展的态势，年1月新能源汽车国内月销量达到万辆，年第一季度新能源汽车国内总销量达到万辆，若设年第一季度新能源汽车国内销量的月平均增长率为x，则根据题意，可列方程是（ ） A B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，利用2025年2月新能源汽车国内月销量月新能源汽车国内月销量月平均增长率），2025年3月新能源汽车国内月销量月新能源汽车国内月销量月平均增长率，再根据第一季度总销量达到万辆即可列出关于x的一元二次方程，此题得解． 【详解】解：根据题意得：． 故选：D． 10. 如图，在中，，点为上一点，点为上一点，且，分别以点P，Q为圆心，以大于为半径作弧，两弧交于点M，N，作直线，若恰好经过中点，则的长为（ ） A. 2 B. 3 C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查线段垂直平分线的性质与尺规作图、含30度直角三角形的性质及等边三角形的性质与判定，熟练掌握线段垂直平分线的性质与尺规作图、含30度直角三角形的性质及等边三角形的性质与判定是解题的关键；设的中点为，连接，由题意易得，为的垂直平分线，则有，，然后可得是等边三角形，进而问题可求解． 【详解】解：在中，， ， ， 设的中点为，连接， ∴， 分别以点P，Q为圆心，以大于为半径作弧，两弧交于点M，N，作直线， 为的垂直平分线， ， ， ， 是等边三角形， ， ， 故选：B． 二、填空题（本题共5小题，每小题3分，共15分） 11. 正负数在生产和生活中有广泛的应用，例如，若收入300元记作元，则支出200元记作___________元． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查用正负数表示具有相反意义量，解题关键是明确正负数的规定． 根据收入记为正，则支出记为负解答即可． 【详解】解：∵收入300元记作元， ∴支出200元记作元． 故答案为：． 12. 某气球内充满了一定质量的气体，在温度不变的条件下，气球内气体的压强是气球体积的反比例函数．当时，．则当时，________Pa． 【答案】16000 【解析】 【分析】本题考查了求反比例函数以及反比例函数的应用，先根据题意，设这个反比例函数的解析式为，再代入数值求出，然后把代入，进行求解计算，即可作答． 【详解】解：∵气球内气体的压强是气球体积的反比例函数． ∴设这个反比例函数的解析式为， 把时，代入，得， 解得， ∴， 把代入， 得， 故答案为：． 13. 生物兴趣小组在学校植物园里种植了甲、乙两个品种的西红柿，并统计相关数据如下： 西红柿品种 株数 总产量 方差 甲 10 12 乙 10 12 产量较稳定的西红柿品种是__________（填“甲”或“乙”） 【答案】乙 【解析】 【分析】本题主要考查了方差的实际应用，熟练掌握方差的意义是解题的关键； 一组数据中各数据与它们的平均数的差的平方的平均数，叫做这组数据的方差．方差是反映一组数据的波动大小的一个量．方差越大，则平均值的离散程度越大，稳定性也越小；反之，则它与其平均值的离散程度越小，稳定性越好，据此解答即可 【详解】解：∵甲、乙两个品种株数都是10，总产量都为 ∴甲、乙两个品种的西红柿的平均产量相同，， ∵， ∴乙的方程小于甲的方程， ∴产量较稳定的西红柿品种是乙． 故答案为：乙． 14. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线与与相交于点，，点的坐标为，若点在抛物线上，则的长为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了待定系数求二次函数的解析式，二次函数的性质，熟练求解二次函数的解析式是解题的关键．先利用待定系数法求得抛物线，再令，得，解得或，从而即可得解． 【详解】解：把点，点代入抛物线得， ， 解得， ∴抛物线， 令，得， 解得或， ∴， ∴； 故答案为：． 15. 如图，在菱形中，对角线，交于点，，分别是，的中点，连接，交于点，连接．若，则的长为_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了菱形的性质，全等三角形的判定和性质，三角形中位线定理，熟练掌握菱形的性质、三角形中位线定理，添加适当的辅助线是解题的关键． 过点作于点，由菱形的性质，平行线分线段成比例定理证明是的中位线，然后再证，从而得出，，从而得出，，然后利用勾股定理即可解答． 【详解】如图，过点作于点． 四边形是菱形， ，，， ． ， 由是的中点， ∴， ∴， ∴是的中位线， ，． 是的中点， ， ． 在和中 ， ∴， ， ， ，， ， ， ， 在中．． 故答案为：． 三、解答题（本题共8小题，共75分．解答应写出文字说明、演算步骤或推理过程） 16. （1）计算：； （2）化简：． 【答案】（1）0；（2） 【解析】 【分析】本题考查含实数的混合运算，分式的化简，熟练掌握基本运算法则是解题关键． （1）先计算绝对值，根式，乘方，把除法化成乘法，再按照四则运算法则运算即可； （2）先对括号里面的分式进行通分，然后进行加法运算，再与外面的分式计算即可． 【详解】解：（1）原式． （2）原式 17. 苹果的进价是1.5元／千克，香梨的进价是2元／千克；李老板购进苹果的重量比香梨重量的3倍多20千克，一共花费420元；为方便销售，定价均为7元／千克． （1）李老板购进苹果和香梨各多少千克？ （2）若平均每天卖出苹果和香梨共50千克，每天利润不少于268元，则每天卖出的苹果至少是多少千克？ 【答案】（1）购进香梨60千克，购进苹果千克； （2）每天卖出的苹果至少是36千克． 【解析】 【分析】本题考查一元一次方程的应用，一元一次不等式的应用． （1）设李老板购进香梨千克，则李老板购进苹果为千克，根据“苹果的进价是1.5元/千克，香梨的进价是2元/千克，一共花费420元”，列出一元一次方程，解方程即可； （2）设苹果的日销售量是千克，则香梨的日销售量是千克，根据“每天利润不少于268元”，列出一元一次不等式，解不等式即可得出答案； 【小问1详解】 解：设李老板购进香梨千克，则李老板购进苹果为千克， 根据题意得， 解方程得， 购进香梨60千克，购进苹果千克； 【小问2详解】 解：设苹果的日销售量是千克，则香梨的日销售量是千克， 根据题意，得 解不等式，得： 答：每天卖出的苹果至少是36千克． 18. 为了提高某城区居民的生活质量，政府将改造城区配套设施，并随机向某居民小区发放调查问卷（1人只能投1票），共有休闲设施，儿童设施，娱乐设施，健身设施4种选项，一共调查了a人，其调查结果如下： 如图，为根据调查结果绘制的扇形统计图和条形统计图，请根据统计图回答下面的问题： ①调查总人数______人； ②请补充条形统计图； ③若该城区共有10万居民，则其中愿意改造“娱乐设施”的约有多少人？ ④改造完成后，该政府部门向甲、乙两小区下发满意度调查问卷，其结果（分数）如下： 项目 小区 休闲 儿童 娱乐 健身 甲 7 7 9 8 乙 8 8 7 9 若以进行考核，______小区满意度（分数）更高； 若以进行考核，______小区满意度（分数）更高． 【答案】①100；②见解析；③愿意改造“娱乐设施”的约有3万人；④乙；甲． 【解析】 【分析】①根据健身的人数和所占的百分比即可求出总人数； ②用总数减去其他3项的人数即可求出娱乐的人数； ③根据样本估计总体的方法求解即可； ④根据加权平均数的计算方法求解即可． 【详解】①（人）， 调查总人数人； 故答案为：100； ②（人） ∴娱乐的人数为30（人） ∴补充条形统计图如下： ③（人） ∴愿意改造“娱乐设施”的约有3万人； ④若以进行考核， 甲小区得分为， 乙小区得分为， ∴若以进行考核，乙小区满意度（分数）更高； 若以进行考核， 甲小区得分为， 乙小区得分为， ∴若以进行考核，甲小区满意度（分数）更高； 故答案为：乙；甲． 【点睛】本题考查条形统计图、扇形统计图，加权平均数，样本估计总体等知识，理解两个统计图中数量之间的关系是正确解答的关键． 19. 如图所示，小明利用无人机测量大楼的高度，无人机在空中处，测得楼楼顶处的俯角为，测得楼楼顶处的俯角为．已知楼AB和楼之间的距离BC为100米，楼的高度为10米，从楼的处测得楼的处的仰角为（点A、B、C、D、P在同一平面内）． （1）填空：____________°，______________； （2）求楼的高度（结果保留根号）． 【答案】（1）75；60 （2）米 【解析】 【分析】本题考查了仰角俯角问题，三角函数的应用，三角形内角和定理，熟练掌握以上知识点是解题的关键． （1）过点作于点，根据三角形内角和定理即可解题； （2）由题意可得米，米，在中，用特殊角的正切值即可解题． 【小问1详解】 解：， ， 过点作于点， 则， ； 【小问2详解】 解：由题意可得米，米， 在中，， 解得：米， 米． 答：楼的高度为米． 20. 如图1，在平面直角坐标系中，直线与x轴交于点，与轴交于点，直线与直线交于点．点为正半轴上一动点，过点作轴，交直线于点，交直线于点N． （1）求点的坐标； （2）当点到直线的距离为1时，求点的长； （3）在轴上一点，使是以为斜边的等腰直角三角形，直接写出的长为__________． 【答案】（1） （2）或5 （3）或12 【解析】 【分析】本题考查一次函数与几何图形的综合，涉及两条直线的交点问题、坐标与图形、等腰直角三角形的性质等知识，分类讨论是解答的关键． （1）联立方程组求解即可； （2）如图1，图2，过点C作轴于点，交于点，由题意可得或3，设，则或3，进而代入函数表达式中，结合坐标与图形性质可求解； （3）过D点作于点H，利用等腰直角三角形的性质得到，设，则，利用坐标与图形性质得到，解方程可得答案． 【小问1详解】 解：与联立组成方程组， 解得：， ； 【小问2详解】 解：如图1，图2，过点C作轴于点，交于点 ， ， 点C到直线的距离为1， ， 或3， 设， 或3， 当时，， ； 当时，， ， 综上，或5； 【小问3详解】 解：如图3，图4，是以为斜边的等腰直角三角形，过D点作于点H， ， 设，则， ， ， 解得：或， 或． 21. 综合与实践 问题情境 小莹妈妈的花卉超市以15元/盆的价格新购进了某种盆栽花卉，为了确定售价，小莹帮妈妈调查了附近A，B，C，D，E五家花卉店近期该种盆栽花卉的售价与日销售量情况，记录如下： 售价（元/盆） 日销售量（盆） A 20 50 B 30 30 C 18 54 D 22 46 E 26 38 数据整理 （1）请将以上调查数据按照一定顺序重新整理，填写在下表中： 售价（元/盆） 日销售量（盆） 模型建立 （2）分析数据的变化规律，找出日销售量与售价间的关系； 拓广应用 （3）根据以上信息，小莹妈妈在销售该种花卉中， ①要想每天获得400元的利润，应如何定价？ ②售价定为多少时，每天能够获得最大利润？ 【答案】（1）见解析 （2）售价每涨价2元，日销售量少卖4盆 （3）①定价为每盆元或每盆元时，每天获得400元的利润；②售价定为元时，每天能够获得最大利润 【解析】 【分析】（1）按照从小到大的顺序进行排列即可； （2）根据表格数据，进行求解即可； （3）①设定价应为元，根据题意，列出一元二次方程，进行求解即可； ②设每天的利润为，列出二次函数表示式，利用二次函数的性质，进行求解即可． 【小问1详解】 解：按照售价从低到高排列列出表格如下： 售价（元/盆） 18 20 22 26 30 日销售量（盆） 54 50 46 38 30 【小问2详解】由表格可知，售价每涨价2元，日销售量少卖4盆； 【小问3详解】 ①设：定价应为元，由题意，得： ， 整理得：， 解得：， ∴定价为每盆元或每盆元时，每天获得400元的利润； ②设每天的利润为，由题意，得： ， ∴， ∵， ∴当时，有最大值为元． 答：售价定元时，每天能够获得最大利润． 【点睛】本题考查一元二次方程和二次函数的实际应用．从表格中有效的获取信息，正确的列出方程和二次函数，是解题的关键． 22. 【问题情境】如图，在中，．点在边上，将线段绕点顺时针旋转得到线段（旋转角小于），连接，，以为底边在其上方作等腰三角形，使，连接． 【尝试探究】 （1）如图1，当时，直接写出与的关系________________． （2）如图2，当时，求的长； （3）如图3，写出与的数量关系（用含的三角函数表示），并说明理由； 【拓展应用】 （4）当，且点B，E，F三点共线时．若，请直接写出的面积为______________． 【答案】（1）；（2）；（3），理由见解析；（4） 【解析】 【分析】（1）根据题意，由，得到，即是等边三角形，得到，由是等边三角形，得到，再根据，得到，证明，即可得出结论； （2）可证明，从而，进而得出结果； （3）过点A作于点H，可推出，进而证得，从而； （4）如图，过点作于点，过点作，交延长线于点，设，则，由得，从而，进而表示出，在中，由勾股定理列出方程进一步得出结果． 【详解】解：（1），， ， 是等边三角形， ， 是等边三角形， ， ， ， 在与中， ， ， ， 故答案为：； （2）∵，， ∴， ∴． ∵是以为底边的等腰三角形，， ∴，． ∴． ∴． ∴． ∴． ∴． ∵， ∴． ∴． ∴． 在中，， ∴． ∴． ∴； （3）解：； 如图，过点A作于点H， ∵，， ∴， ∴． ∵是以为底边的等腰三角形，， ∴，． ∴． ∴． ∴． ∴． ∴． ∵， ∴． ∴． ∴． ∵，H为的中点， ∴． 在中，， ∴． ∴． ∴． （4）如图，过点作于点，过点作，交延长线于点， 线段绕点顺时针旋转得到线段， 是以为底边的等腰三角形，， 设，则， ， 在中， ， 解得 ． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质，旋转的性质，解直角三角形，勾股定理，等腰三角形的性质等知识，解决问题的关键是作辅助线，构造相似三角形． 23. 如图，是坐标原点，已知抛物线与轴交于A、B两点，与轴交于点，其中． （1）求b、c的值； （2）求直线的函数关系式； （3）点为抛物线上第一象限内一点，连接，与直线交于点，若，求点的坐标； （4）若为抛物线的顶点，平移拋物线使得新顶点为，若点又在原拋物线上，新抛物线与直线交于点，连接，在抛物线平移过程中，当时．直接写出的范围是______________________． 【答案】（1） （2） （3）或 （4） 【解析】 【分析】（1）利用待定系数法求解即可； （2）利用待定系数法求解即可； （3）先求得，分别过点E、D作，证明求得，设点的纵坐标为，则点的纵坐标为，可得，利用待定系数法求得的解析式，进而可得点，结合已知求得m值即可解答； （4）分当点P在对称轴右边时和当点P在对称轴直线的左侧两种情况，根据二次函数的性质及图象平移规则，结合已知、等腰三角形以及锐角三角函数分别求解即可． 【小问1详解】 解：依题意，分别把代入， 得， 解得； 【小问2详解】 解：设直线的函数关系式为， 将代入，得，解得， ∴直线的函数关系式为； 【小问3详解】 解：由（1）得， 则 令，则， 故， 分别过点E、D作，如图所示： ， ， ， ， 设点的纵坐标为，则点的纵坐标为， 把代入， 得， 设的解析式为， 把分别代入， 得， 解得， 的解析式为， 依题意，把代入， 得， 则， 即点， 点为拋物线上第一象限内一点， 整理得， ， 此时的，故是符合题意的； 当时，则，此时， 当时，则，此时， 综上：或； 【小问4详解】 解：由（2）得， 整理 为拋物线的顶点， 当点P在对称轴右边时，如图所示： 平移抛物线使得新顶点为又在原拋物线上，新拋物线与直线交于点，连接． 平移后的抛物线的解析式为， 把代入， 得， 点在， ， ， ， ， ， ， ， 则， 即 是等腰三角形， 过点作， ， ， 则， 令， 即， 即， ， ， 或， （舍去）或， ， 当点P在对称轴直线的左侧，时 通过对称性，点P坐标为 ∴当时，． 故答案为：． 【点睛】本题考查二次函数的综合，涉及待定系数法、二次函数的性质、二次函数图象的平移、解直角三角形、相似三角形的判定与性质、坐标与图形性质等知识，熟练掌握相关知识的联系与运用，利用数形结合思想是解答的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 辽宁沈阳东北育才学校2025-2026学年九年级上学期期中数学试卷 考试时间：120分钟 试卷满分：120分 一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 下面的几何体中，俯视图为三角形的是（ ） A. B. C. D. 2. 湿地旅游爱好者小明了解到某市水资源总量为42.43亿m3，其中42.43亿m3用科学记数法可表示为（ ） A. 42.43×109m3 B. 4.243×108m3 C. 4.243×109m3 D. 0.4243×108m3 3. 数学世界奇妙无穷，其中曲线是微分几何的研究对象之一，下列数学曲线都是轴对称图形，其中有两条对称轴的是（ ） A. B. C. D. 4. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 5. 一个盒子内装有大小、形状均相同的四个球，其中红球1个、绿球1个、白球2个．小明从中摸出一个球放回后，再摸出一个球，则两次摸到的球颜色一样的概率是（ ） A. B. C. D. 6. 如图，直线，是等边三角形，则的大小为（ ） A. B. C. D. 7. 如图，四边形是矩形，直线分别交，，于点E，F，O，下列条件中，不能证明是（ ） A. 为矩形两条对角线的交点 B. C. D. 8. 如图，点，的坐标分别为，，若将线段移至，则的值是（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 9. 《九章算术》是中国古代最重要的数学经典之一，其中记载：“今有衰分，各以差次分之．”“衰分”就是指按照一定比例增加或减少的分配方法，堪称世界上最早的增长率计算理论．根据中国汽车工业协会发布的数据显示，我国新能源汽车市场呈现出蓬勃发展的态势，年1月新能源汽车国内月销量达到万辆，年第一季度新能源汽车国内总销量达到万辆，若设年第一季度新能源汽车国内销量的月平均增长率为x，则根据题意，可列方程是（ ） A. B. C. D. 10. 如图，在中，，点为上一点，点为上一点，且，分别以点P，Q为圆心，以大于为半径作弧，两弧交于点M，N，作直线，若恰好经过中点，则长为（ ） A. 2 B. 3 C. D. 二、填空题（本题共5小题，每小题3分，共15分） 11. 正负数在生产和生活中有广泛应用，例如，若收入300元记作元，则支出200元记作___________元． 12. 某气球内充满了一定质量的气体，在温度不变的条件下，气球内气体的压强是气球体积的反比例函数．当时，．则当时，________Pa． 13. 生物兴趣小组在学校植物园里种植了甲、乙两个品种的西红柿，并统计相关数据如下： 西红柿品种 株数 总产量 方差 甲 10 12 乙 10 12 产量较稳定的西红柿品种是__________（填“甲”或“乙”） 14. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线与与相交于点，，点的坐标为，若点在抛物线上，则的长为______． 15. 如图，在菱形中，对角线，交于点，，分别是，的中点，连接，交于点，连接．若，则的长为_____． 三、解答题（本题共8小题，共75分．解答应写出文字说明、演算步骤或推理过程） 16. （1）计算：； （2）化简：． 17. 苹果的进价是1.5元／千克，香梨的进价是2元／千克；李老板购进苹果的重量比香梨重量的3倍多20千克，一共花费420元；为方便销售，定价均为7元／千克． （1）李老板购进苹果和香梨各多少千克？ （2）若平均每天卖出苹果和香梨共50千克，每天利润不少于268元，则每天卖出的苹果至少是多少千克？ 18. 为了提高某城区居民的生活质量，政府将改造城区配套设施，并随机向某居民小区发放调查问卷（1人只能投1票），共有休闲设施，儿童设施，娱乐设施，健身设施4种选项，一共调查了a人，其调查结果如下： 如图，为根据调查结果绘制的扇形统计图和条形统计图，请根据统计图回答下面的问题： ①调查总人数______人； ②请补充条形统计图； ③若该城区共有10万居民，则其中愿意改造“娱乐设施”的约有多少人？ ④改造完成后，该政府部门向甲、乙两小区下发满意度调查问卷，其结果（分数）如下： 项目 小区 休闲 儿童 娱乐 健身 甲 7 7 9 8 乙 8 8 7 9 若以进行考核，______小区满意度（分数）更高； 若以进行考核，______小区满意度（分数）更高． 19. 如图所示，小明利用无人机测量大楼的高度，无人机在空中处，测得楼楼顶处的俯角为，测得楼楼顶处的俯角为．已知楼AB和楼之间的距离BC为100米，楼的高度为10米，从楼的处测得楼的处的仰角为（点A、B、C、D、P在同一平面内）． （1）填空：____________°，______________； （2）求楼的高度（结果保留根号）． 20. 如图1，在平面直角坐标系中，直线与x轴交于点，与轴交于点，直线与直线交于点．点为正半轴上一动点，过点作轴，交直线于点，交直线于点N． （1）求点坐标； （2）当点到直线的距离为1时，求点的长； （3）在轴上一点，使是以为斜边的等腰直角三角形，直接写出的长为__________． 21. 综合与实践 问题情境 小莹妈妈的花卉超市以15元/盆的价格新购进了某种盆栽花卉，为了确定售价，小莹帮妈妈调查了附近A，B，C，D，E五家花卉店近期该种盆栽花卉的售价与日销售量情况，记录如下： 售价（元/盆） 日销售量（盆） A 20 50 B 30 30 C 18 54 D 22 46 E 26 38 数据整理 （1）请将以上调查数据按照一定顺序重新整理，填写在下表中： 售价（元/盆） 日销售量（盆） 模型建立 （2）分析数据的变化规律，找出日销售量与售价间的关系； 拓广应用 （3）根据以上信息，小莹妈妈在销售该种花卉中， ①要想每天获得400元的利润，应如何定价？ ②售价定为多少时，每天能够获得最大利润？ 22. 【问题情境】如图，在中，．点在边上，将线段绕点顺时针旋转得到线段（旋转角小于），连接，，以为底边在其上方作等腰三角形，使，连接． 尝试探究】 （1）如图1，当时，直接写出与的关系________________． （2）如图2，当时，求的长； （3）如图3，写出与的数量关系（用含的三角函数表示），并说明理由； 【拓展应用】 （4）当，且点B，E，F三点共线时．若，请直接写出的面积为______________． 23. 如图，是坐标原点，已知抛物线与轴交于A、B两点，与轴交于点，其中． （1）求b、c的值； （2）求直线的函数关系式； （3）点为抛物线上第一象限内一点，连接，与直线交于点，若，求点的坐标； （4）若为抛物线的顶点，平移拋物线使得新顶点为，若点又在原拋物线上，新抛物线与直线交于点，连接，在抛物线平移过程中，当时．直接写出的范围是______________________． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $