精品解析：辽宁省普通高中2025-2026学年上学期高三期中考试调研数学试卷

辽宁省普通高中2025~2026学年上学期期中考试调研试题 高三数学 命题范围：集合与常用逻辑用语、等式与不等式、函数与导数、三角函数与解三角形、平面向量、复数、数列 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上. 2.答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 若复数满足，则的虚部是（ ） A. B. C. 1 D. 3 【答案】D 【解析】 【分析】根据的幂次规律，，把化为复数标准形式，其虚部即为前 的系数. 【详解】因为， 代入原式得：， 所以复数标准形式中，虚部3. 故选：D. 2. 设集合，则的真子集的个数是（ ） A. 4 B. 3 C. 0 D. 7 【答案】B 【解析】 【分析】写出集合，计算真子集个数. 【详解】因为， 所以集合中有2个元素， 所以真子集个数为， 故选：B. 3. 记为等差数列的前项和，若，，则（ ） A. -4 B. -16 C. -32 D. -64 【答案】D 【解析】 【分析】用首项和公差表示出已知条件并求解，再由等差数列前项和公式计算. 【详解】设等差数列的首项为，公差为，则，解得：，所以， 故选：D 4. 已知非零向量，满足，，则（ ） A. 2 B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用向量模长和向量垂直的性质求解. 【详解】由，两边平方得，即. 又， 所以，即， 所以. 故选：C 5. 下面四个函数中，当时，图像大致为下图的是（ ）． A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据函数的奇偶性，结合特值，可判断各选项. 【详解】A选项：， 则， 即此函数为偶函数，不符合图像，A选项错误； B选项：， 则， 即此函数为偶函数，不符合图像，B选项错误； D选项：， 则， 即此函数为奇函数， 又，不符合图像，D选项错误； C选项：， 则， 又，，满足图像，C选项正确； 故选：C. 6. 函数的部分图像如图所示，是等腰直角三角形，其中两点为图像与轴的交点，为图像的最高点，且，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据题意，过作轴于点，结合函数图像可得函数的解析式，从而可得，代入计算，即可得到结果. 【详解】 过作轴于点，则， 因为是等腰直角三角形，所以，故， 则，且，则， 因为，所以， 所以，，， 所以，解得，， 因为，所以，则， 则， 故. 故选：A 7. 已知函数，则满足不等式的实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】构造函数，利用奇函数定义得到是奇函数，求导得到在上单调递减，将原不等式转化为，利用的奇偶性和单调性解不等式. 【详解】设，的定义域为，关于原点对称， ，所以是奇函数， ，所以在上单调递减， 由得， 即，， 因为在上单调递减，所以，解得， 故选：C. 8. 已知，是函数图象上的两个不同的点，则（ ）． A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】举反例即可求解AB，利用基本不等式即可求解CD. 【详解】对于A，取，则，故A错误， 对于B, ,则，故B错误， 对于CD，，则，且，， 故，故D正确，C错误， 故选：D 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知平面向量，，，下列说法正确的有（ ） A. 若，，则 B. C. D. 若且，，则与垂直 【答案】CD 【解析】 【分析】对于A：举反例说明即可；对于B：根据数量积的定义以及向量数乘分析判断；对于C：根据向量模长的三角不等式分析判断；对于D：根据数量积的运算律结合向量垂直分析判断. 【详解】对于选项A：当时，满足，，但不一定成立，故A错误； 对于选项B：因为是实数，可知表示与共线的向量； 同理表示与共线的向量，所以等式不一定相等，故B错误； 对于选项C：因为，故C正确； 对于选项D：因为，则， 即，整理可得， 即，所以与垂直，故D正确； 故选：CD. 10. 设，，下列不等式恒成立的是（ ） A. B. C. D. 【答案】ABC 【解析】 【分析】做差法可判断AD；利用基本不等式可判断BC. 【详解】对于A，因为，所以，故A正确； 对于B，，，所以， 当且仅当即时等号成立，故B正确； 对于C，，，所以， 当且仅当即时等号成立，故C正确； 对于D，，， ， 所以，故D错误. 故选：ABC. 11. 已知函数及其导函数的定义域均为，若是奇函数，且，则（    ） A. 是偶函数 B. 存在最大值 C. 是增函数 D. 当时， 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据奇偶性得，两边求导可判断A；利用奇偶性构造方程组求出的解析式，基本不等式结合函数性质可判断B；利用二次求导可判断C；构造函数，两边求导，整理后构造函数，利用导数即可判断D. 【详解】对A，因为是奇函数，所以，两边同时求导得， 即，又的定义域为，所以为偶函数，正确； 对B，因为①， 所以②， 联立①②可得，， 因为，当且仅当时等号成立， 当趋于时，趋于，所以有最小值，无最大值，错误； 对C，记，则， 记，则， 当时，，当时，， 所以上单调递减，在上单调递增， 所以，故，所以为定义在上的增函数，正确； 对D，记，求导得， 所以 当时，令，求导得， 函数在上单调递增，则 ，即，即， 综上，当时，，正确. 故选：ACD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 等比数列的前项和为，若，则公比______． 【答案】或1 【解析】 【分析】将题设化为，解此方程即可. 【详解】因为，所以， 即，即，又因为， 所以，，解得或. 故答案为：或1 13. 将函数的图象向右平移个单位长度得到函数的图象，若在区间上的最大值为1，则_____. 【答案】## 【解析】 【分析】先求出平移后的解析式，结合图形分析可知要使在区间上的最大值为1，则在区间上单调递增，即，求解即可. 【详解】将函数的图象向右平移个单位长度得到函数的图象， 则， 当时，， 由于在区间上的最大值为1，则在区间上单调递增，即， 所以，解得：. 故答案为： 14. 已知函数是定义在上的偶函数，当时，函数单调递减，则不等式的解集为________. 【答案】 【解析】 【分析】结合偶函数性质与单调性定义，可得，分类讨论并解出不等式即可得. 【详解】由函数是定义在上的偶函数，当时，函数单调递减， 则当时，函数单调递增， 则对，有，即， 即或， 即或，分别解得或. 即该不等式解集为. 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 在中，角，，的对边分别是，，，且. （1）求角的大小； （2）若，且，求的面积. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由正弦定理边角互化，代入化简可得结果； （2）由余弦定理结合三角形的面积公式代入计算，即可求得结果. 【小问1详解】 由， 根据正弦定理可得， 即， 即，， 所以，又，则. 【小问2详解】 由，可得，， 因为，所以①， 因为，所以②， 联立①②可得，解得. 故的面积为. 16. 已知数列前项和为，且 （1）求数列的通项公式； （2）令，求数列的前项和 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）结合和与项的递推关系进行转化即可求解； （2）利用裂项求和即可求解． 【小问1详解】 因为数列的前n项和为，且， 当时，， 当时，，适合上式， 故. 【小问2详解】 ， 17. 已知函数图象的一条对称轴为． （1）求的最小值； （2）当取最小值时，若，求的值． 【答案】（1）的最小值为1． （2） 【解析】 【分析】（1）变形化简为，再由进行求解； （2）由（1）知，得，则进行求解． 【小问1详解】 由题意得 ． 因为函数的一条对称轴为， 所以， 所以． 又， 所以的最小值为1． 【小问2详解】 由（1）知． ． ． ． 18. 已知函数，其中为自然对数的底数，. （1）当时，函数有极小值，求； （2）证明：恒成立； （3）证明：. 【答案】（1） （2）证明见解析 （3）证明见解析 【解析】 【分析】（1）求导，求极值点，讨论函数单调性，找到极小值即可解决问题； （2）不等式恒成立，即恒成立， 设，构造新函数求导利用函数导数单调性进行分析即可证明结论. （2）由（2）知，，令，则 从而有，由的不同值，分别写出不等式，然后累加，结合等比数列求和进行放缩，分析得到结论. 【小问1详解】 ，令，解得， 当时，，当时，， 所以在上单调递增，在上单调递减， 所以有极小值， 所以，即. 【小问2详解】 证明：不等式恒成立，即恒成立， 设，则， 易知是定义域上的增函数，又， 则在上有一个根，即 当时，，当时， 此时在单调递减，在单调递增， 的最小值为， ， ， ， 恒成立，故结论成立. 【小问3详解】 证明：由（2）知，，令， 则. 由此可知，当时，， 当时，， 当时，， ， 当时，， 累加得： ， 又， 所以. 【点睛】函数与导数综合简答题常常以压轴题的形式出现， 难度相当大，主要考向有以下几点： 1、求函数的单调区间（含参数）或判断函数（含参数）的单调性； 2、求函数在某点处的切线方程，或知道切线方程求参数； 3、求函数的极值（最值）； 4、求函数的零点（零点个数），或知道零点个数求参数的取值范围； 5、证明不等式； 解决方法：对函数进行求导，结合函数导数与函数的单调性等性质解决， 在证明不等式或求参数取值范围时，通常会对函数进行参变分离，构造新函数， 对新函数求导再结合导数与单调性等解决. 19. 已知函数. （1）当时，求函数在的最小值； （2）当时，求函数在的最大值； （3）求证：对，都有. 【答案】（1）答案见解析 （2）0 （3）证明见解析 【解析】 【分析】（1）求出，分类讨论和时，的正负，得到函数的单调区间，从而求出函数在的最小值； （2）当时，，得到在上单调递减，从而； （3）由（2）知， ，得到，求出，分以及可证明结论. 【小问1详解】 由题可得，因为，所以， 当时，，所以函数上单调递增，， 当时，令，即， 因为在上单调递减，所以存在唯一的，使得， 当时，，所以在上单调递增， 当时，，所以在上单调递减， 由于，， 当，即时，， 当，即时，， 综上，当时，， 当时，， 当时， 【小问2详解】 由题可得，因为时，， 当，，等号仅某些特殊值时取得，所以在上单调递减， 所以 【小问3详解】 由（2）知，当，时，，即， 令，则 ， 令，① ，② ①②可得：， 化简得：， 所以， 当或2时，， 则成立 当时，， 则成立； 当时，， 所以， 综上：对，都有，得证. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 辽宁省普通高中2025~2026学年上学期期中考试调研试题 高三数学 命题范围：集合与常用逻辑用语、等式与不等式、函数与导数、三角函数与解三角形、平面向量、复数、数列 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上. 2.答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 若复数满足，则的虚部是（ ） A. B. C. 1 D. 3 2. 设集合，则的真子集的个数是（ ） A. 4 B. 3 C. 0 D. 7 3. 记为等差数列的前项和，若，，则（ ） A. -4 B. -16 C. -32 D. -64 4. 已知非零向量，满足，，则（ ） A. 2 B. C. D. 5. 下面四个函数中，当时，图像大致为下图的是（ ）． A. B. C. D. 6. 函数的部分图像如图所示，是等腰直角三角形，其中两点为图像与轴的交点，为图像的最高点，且，则（ ） A. B. C. D. 7. 已知函数，则满足不等式实数的取值范围是（ ） A B. C. D. 8. 已知，是函数图象上的两个不同的点，则（ ）． A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知平面向量，，，下列说法正确的有（ ） A 若，，则 B. C. D. 若且，，则与垂直 10. 设，，下列不等式恒成立的是（ ） A B. C. D. 11. 已知函数及其导函数的定义域均为，若是奇函数，且，则（    ） A. 是偶函数 B. 存在最大值 C. 是增函数 D. 当时， 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 等比数列前项和为，若，则公比______． 13. 将函数的图象向右平移个单位长度得到函数的图象，若在区间上的最大值为1，则_____. 14. 已知函数是定义在上的偶函数，当时，函数单调递减，则不等式的解集为________. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 在中，角，，的对边分别是，，，且. （1）求角的大小； （2）若，且，求的面积. 16. 已知数列的前项和为，且 （1）求数列的通项公式； （2）令，求数列的前项和 17. 已知函数图象的一条对称轴为． （1）求的最小值； （2）当取最小值时，若，求的值． 18. 已知函数，其中为自然对数的底数，. （1）当时，函数有极小值，求； （2）证明：恒成立； （3）证明：. 19. 已知函数. （1）当时，求函数在的最小值； （2）当时，求函数在的最大值； （3）求证：对，都有. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $