精品解析：江西省赣州市于都县2025-2026学年九年级上学期11月期中数学试题

2025–2026学年第一学期期中考试 九年级数学试卷 说明：1．本卷共有六大题，23小题，全卷满分120分，考试时间120分钟． 2．答案一律写在答题卷上，否则无效． 一．选择题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 1. 下列食品标识中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 一元二次方程的一次项系数是（ ） A. 2 B. 6 C. D. 3. 将抛物线先向左平移1个单位长度，再向上平移2个单位长度，得到的抛物线的解析式为（ ） A. B. C. D. 4. 在用求根公式求一元二次方程的根时，小珺正确地代入了a，b，c得到，则她求解的一元二次方程是（ ） A. B. C. D. 5. 如图,在的方格纸中,两点在格点上,线段绕某点逆时针旋转角后得到线段,点与对应,则角的大小为(　　) A. B. C. D. 6. 在同一坐标系中，一次函数与二次函数，的图象可能是( ) A. B. C. D. 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 7. 抛物线的顶点坐标为 _____． 8. 关于x的一元二次方程的一个根为，则m的值为______． 9. 下表是代数式的值的情况，根据表格中的数据，可知方程的根是______． x …… 0 1 2 3 4 …… …… 12 6 2 0 0 2 6 12 …… 10. 如图，点A的坐标为，点是轴正半轴上的一点，将线段绕点A按逆时针方向旋转得到线段若点的坐标为，则点的坐标为______ ． 11. 如图是某停车场的平面示意图，停车场外围的长为30米，宽为18米．停车场内车道的宽都相等．停车位总占地面积为288平方米．设车道的宽为x米，可列方程为___________． 12. 将一副三角尺按如图所示的方式叠放在一起（其中，，），若固定，改变的位置（其中点位置始终不变），且，点在直线的上方．当的一边与的某一边平行时，则所有可能的度数为：________． 三．解答题（本大题共5小题，每题6分共30分） 13. （1）解方程； （2）已知关于的二次方程有两个相等的实数根．求的值． 14. 若抛物线经过点．求该抛物线顶点的坐标； 15. 已知点关于原点对称的点在第四象限，求的取值范围． 16. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于，两点，，请仅用无刻度的直尺按要求画出图中抛物线的对称轴： （1）如图1，点，在抛物线上； （2）如图2，四边形为矩形． 17. 如图，将绕点A逆时针旋转60°得到，点E落在BC边上，EF与AC交于点G． （1）求证：是等边三角形； （2）若，求的度数． 四、解答题（本大题共3小题，每题8分，共24分） 18. 下面是小明解一元二次方程的过程，请认真阅读并完成相应的任务． 解：． 二次项系数化为1，得 第一步 移项，得． 第二步 配方，得即 第三步 由此，可得 第四步 所以，， 第五步 任务： （1）上面小明同学的解法中运用“配方法”将该一元二次方程“降次”为两个一元一次方程，体现的数学思想是______；其中“配方法”所依据的一个数学公式是______． （2）上面小明同学解题过程中，从第______步开始出现错误． （3）请写出正确的解答过程． 19. 已知二次函数． （1）求二次函数图象的顶点坐标； （2）在平面直角坐标系中，画出二次函数的图象： （3）当时，结合函数图象，直接写出的取值范围___________． 20. 某种服装平均每天可销售20件，每件盈利44元，若每件降价1元，每天可多售5件，若设每件降价x元． （1）根据题意，填表： 每件利润（元） 销售量（件） 利润（元） 降价前 44 20 880 降价后 ① ② （2）若每天盈利1600元，则每件应降价多少元？ 五、解答题（本大题共2小题，每小题9分，共18分） 21. 如图，菱形ABCD，∠D＝120°，E为菱形内一点，连接EC、EB．再将EB绕着点B逆时针旋转120°到FB，连接FA、EF，且EF交AB于点G． （1）求证：AF＝CE； （2）若∠EBC＝45°，求∠AGE的大小． 22. 如图1，灌溉车为公路绿化带草坪浇水，图2是灌溉车浇水操作时的截面图．现将灌溉车喷出水的上、下边缘线近似地看作平面直角坐标系中两条抛物线的部分图象．已知喷水口H离地竖直高度为，草坪水平宽度，竖直高度忽略不计.上边缘抛物线最高点A离喷水口的水平距离为，高出喷水口，下边缘抛物线是由上边缘抛物线向左平移得到的，设灌溉车到草坪的距离为d（单位：m）． （1）求上边缘抛物线的函数解析式，并求喷出水的最大射程的长； （2）下边缘抛物线落地点B的坐标为______； （3）要使灌溉车行驶时喷出的水能浇灌到整个草坪，d的取值范围为______． 六．解答题（本大题共12分） 23. 在平面直角坐标系中，抛物线经过点，． （1）若点在轴上， ①求此抛物线的解析式； ②当时，直接写出的取值范围； （2）若，点在该抛物线上，且，请比较，的大小，并说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025–2026学年第一学期期中考试 九年级数学试卷 说明：1．本卷共有六大题，23小题，全卷满分120分，考试时间120分钟． 2．答案一律写在答题卷上，否则无效． 一．选择题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 1. 下列食品标识中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】解：A、既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故选项不符合题意； B、是轴对称图形，不是中心对称图形，故选项不符合题意； C、既是轴对称图形，也是中心对称图形，故选项符合题意； D、不是轴对称图形，是中心对称图形，故选项不符合题意； 2. 一元二次方程的一次项系数是（ ） A. 2 B. 6 C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】一元二次方程的一般形式是（a、b、c是常数，且），其中a、b、c分别叫二次项系数、一次项系数、常数项． 【详解】解：一元二次方程，其一次项系数是-6． 故选：C． 【点睛】此题主要考查了一元二次方程的一般形式，解题关键是要理解和掌握一元二次方程的一般形式． 3. 将抛物线先向左平移1个单位长度，再向上平移2个单位长度，得到的抛物线的解析式为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】此题主要考查了二次函数图象的平移变换，根据函数图象平移规律：左加右减，上加下减解答即可． 【详解】解：将抛物线向左平移1个单位所得直线解析式为：； 再向上平移2个单位为． 故选：A． 4. 在用求根公式求一元二次方程的根时，小珺正确地代入了a，b，c得到，则她求解的一元二次方程是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程的解，解题的关键是掌握求根公式中字母所表示的意义．根据求根公式解答． 【详解】解：由知：，，． 所以该一元二次方程为：． 故选：A． 5. 如图,在的方格纸中,两点在格点上,线段绕某点逆时针旋转角后得到线段,点与对应,则角的大小为(　　) A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】如图：连接AA′，BB′，作线段AA′，BB′的垂直平分线交点为O，点O即为旋转中心．连接OA，OB′，∠AOA′即为旋转角． 【详解】解：如图：连接AA′，BB′，作线段AA′，BB′的垂直平分线交点为O，点O即为旋转中心．连接OA，OB′ ∠AOA′即为旋转角， ∴旋转角为90° 故选C． 【点睛】考查了旋转的性质，解题的关键是能够根据题意确定旋转中心的知识，难度不大． 6. 在同一坐标系中，一次函数与二次函数，的图象可能是( ) A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据一次函数的和二次函数的即可判断出二次函数的开口方向和一次函数经过轴正半轴，从而排除A和C，分情况探讨的情况，即可求出答案. 【详解】解：二次函数为 ， ， 二次函数的开口方向向上， 排除C选项. 一次函数， ， 一次函数经过轴正半轴， 排除A选项. 当时，则， 一次函数经过一、二、四象限， 二次函数经过轴正半轴， 排除B选项. 当时，则 一次函数经过一、二、三象限， 二次函数经过轴负半轴， D选项符合题意. 故选：D. 【点睛】本题考查了一次函数和二次函数的图像性质，解题的关键在于熟练掌握图像性质中系数大小与图像的关系. 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 7. 抛物线的顶点坐标为 _____． 【答案】 【解析】 【分析】根据二次函数顶点式顶点坐标：，直接进行作答即可． 【详解】解：的顶点坐标为：； 故答案为：． 【点睛】本题考查二次函数顶点式的顶点坐标．熟记顶点式的顶点坐标为：是解题的关键． 8. 关于x的一元二次方程的一个根为，则m的值为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的根，把根代入方程中，即可求解． 【详解】解：∵关于x的一元二次方程的一个根为， ∴， 解得：． 故答案为：． 9. 下表是代数式的值的情况，根据表格中的数据，可知方程的根是______． x …… 0 1 2 3 4 …… …… 12 6 2 0 0 2 6 12 …… 【答案】， 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程的解，解题关键是熟练掌握一元二次方程根的定义． 观察表格，找出使方程左右两边相等的的值，根据方程解的定义进行解答即可． 【详解】解：通过观察表格可知：当和3时，， ∴方程的根是：，， 故答案为：，． 10. 如图，点A的坐标为，点是轴正半轴上的一点，将线段绕点A按逆时针方向旋转得到线段若点的坐标为，则点的坐标为______ ． 【答案】 【解析】 【分析】过作轴于点，通过证得，得出，，可得点的坐标， 【详解】解：过作轴于点，如图： ， ， ， ， ，， ， ，， 点A的坐标为，点的坐标为， ，， ， ， 故答案为：． 【点睛】本题考查坐标与图形的性质，全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题． 11. 如图是某停车场的平面示意图，停车场外围的长为30米，宽为18米．停车场内车道的宽都相等．停车位总占地面积为288平方米．设车道的宽为x米，可列方程为___________． 【答案】 【解析】 【分析】由停车场外围的长为30米，宽为18米．及车道及入口都是长为x米宽，将两个停车位合在一起，可得出停车位的面积等于停车场的面积减去车道的面积，列出方程即可． 【详解】解：依题意得， 故答案为： 【点睛】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 12. 将一副三角尺按如图所示的方式叠放在一起（其中，，），若固定，改变的位置（其中点位置始终不变），且，点在直线的上方．当的一边与的某一边平行时，则所有可能的度数为：________． 【答案】或或 【解析】 【分析】本题考查的是平行线的判定与性质等知识，解题的关键是熟练掌握平行线的判定与性质，注意利用两角互余的性质，角的和差进行计算． 分4种情况进行讨论：①；②；③；④；结合平行线的判定与性质进行求解即可． 【详解】解：①当时， ∵， ∴， ∴， ∴； ②当时，如图， ∵， ∴； ③当时，如图， ∵， ∴， ∴； ④当时，如图， ∵， ∴， ∴； 综上所述：当或或时，有一组边互相平行． 故答案为：或或． 三．解答题（本大题共5小题，每题6分共30分） 13. （1）解方程； （2）已知关于的二次方程有两个相等的实数根．求的值． 【答案】（1），；（2） 【解析】 【分析】本题考查解一元二次方程−因式分解法，解题的关键是明确解一元二次方程的方法．同时考查了一元二次方程的根的判别式：当，方程有两个不相等的实数根；当，方程有两个相等的实数根；当，方程没有实数根． （1）根据因式分解法解方程即可； （2）根据根的判别式得到，然后解方程即可求解． 【详解】（1）解： ； （2）解：方程有两个相等的实数根， ， 解得：． 14. 若抛物线经过点．求该抛物线顶点的坐标； 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了待定系数法求二次函数解析式、将二次函数解析式化为顶点式，利用待定系数法求出解析式，再化为顶点式即可得解． 【详解】解：把代入，得：， 解得：， ， 顶点的坐标为． 15. 已知点关于原点对称的点在第四象限，求的取值范围． 【答案】 【解析】 【分析】此题主要考查了关于原点对称的点的坐标特点，解一元一次不等式组，关键是掌握各象限内点的坐标符号． 根据关于原点对称的点的性质可得点A在第二象限，进而得出不等式组，再解不等式组即可． 【详解】解：由点关于原点对称的点在第四象限，可得在第二象限， ， 解得． 16. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于，两点，，请仅用无刻度的直尺按要求画出图中抛物线的对称轴： （1）如图1，点，在抛物线上； （2）如图2，四边形为矩形． 【答案】（1）如图1，直线为所作； （2） 如图2，直线为所作． 【解析】 【分析】（1）连接、，它们相交于点，再画出和的延长线的交点，则利用抛物线的对称性可判断直线为抛物线的对称轴； （2）先作出和的交点，再作直线交抛物线于、，接着作出和的延长线的交点，则利用抛物线的对称性可判断直线为抛物线的对称轴． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【点睛】本题主要考查了画二次函数的对称轴，熟练掌握二次函数的对称性、矩形的性质等知识是解题的关键． 17. 如图，将绕点A逆时针旋转60°得到，点E落在BC边上，EF与AC交于点G． （1）求证：是等边三角形； （2）若，求的度数． 【答案】（1） 证明：由旋转可知：，， ∴是等边三角形． （2） 【解析】 【分析】（1）根据等边三角形的判定定理证明； （2）根据旋转性质，等边三角形的性质，以及结合三角形的外角定理计算． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 ∵是等边三角形．， ∴， 由旋转可知： ∴ ∵是的外角， ∴． 【点睛】本题考查旋转性质和等边三角形的判定和性质，充分利用旋转性质是求解本题的关键． 四、解答题（本大题共3小题，每题8分，共24分） 18. 下面是小明解一元二次方程的过程，请认真阅读并完成相应的任务． 解：． 二次项系数化为1，得 第一步 移项，得． 第二步 配方，得即 第三步 由此，可得 第四步 所以，， 第五步 任务： （1）上面小明同学的解法中运用“配方法”将该一元二次方程“降次”为两个一元一次方程，体现的数学思想是______；其中“配方法”所依据的一个数学公式是______． （2）上面小明同学解题过程中，从第______步开始出现错误． （3）请写出正确的解答过程． 【答案】（1）转化思想， （或填完全平方公式） （2）三 （3） 【解析】 【分析】本题考查的是一元二次方程的解法，掌握配方法解一元二次方程的一般步骤是解题的关键． （1）根据方程解答过程回答即可； （2）第三步配方时，当二次项系数为1时，应该两边同时加上一次项系数一半的平方，据此回答即可； （3）根据方程解答过程回答即可； 【小问1详解】 解：小明同学的解法中运用“配方法”将该一元二次方程“降次”为两个一元一次方程，体现的数学思想是转化思想，其中“配方法”所依据的一个数学公式是完全平方公式； 故答案为：转化思想； （或填完全平方公式）． 【小问2详解】 解：当二次项系数为1时，应该两边同时加上一次项系数一半的平方，即， 故上面小明同学解题过程中，从第三步开始出现错误． 故答案为：三． 【小问3详解】 解：正确的解是： 解：． 二次项系数化为1，得 移项，得 配方，得，即 开方，得 ． 19. 已知二次函数． （1）求二次函数图象的顶点坐标； （2）在平面直角坐标系中，画出二次函数的图象： （3）当时，结合函数图象，直接写出的取值范围___________． 【答案】（1） （2） 如图所示： （3） 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数的图象与性质，画出二次函数的图象，掌握相关知识是解答此题的关键． （1）抛物线变形为，可得顶点坐标； （2）列表，描点，连线即可； （3）因为抛物线开口向上，所以当时抛物线有最小值，再求、时的函数值结合函数图象可求的范围． 【小问1详解】 解：， ∴顶点坐标为． 【小问2详解】 解：列表： X … 0 1 2 3 4 … y … 3 0 0 3 … 【小问3详解】 解：由题意，当时抛物线有最小值； 当时，； 当时，， 由图象可知，当时，． 故答案为：． 20. 某种服装平均每天可销售20件，每件盈利44元，若每件降价1元，每天可多售5件，若设每件降价x元． （1）根据题意，填表： 每件利润（元） 销售量（件） 利润（元） 降价前 44 20 880 降价后 ① ② （2）若每天盈利1600元，则每件应降价多少元？ 【答案】（1）根据题意，填表： 每件利润（元） 销售量（件） 利润（元） 降价前 44 20 880 降价后 44﹣x 20+5x （44﹣x）（20+5x） （2）降价4元或36元 【解析】 【分析】（1）根据题意确定出降价后的利润与销售量，以及利润即可； （2）根据盈利的钱数，确定出应降的价即可． 【详解】（1）略 （2）根据题意得：（44﹣x）（20+5x）=1600 整理得：（x﹣4）（x﹣36）=0 解得：x=4或x=36． 答：每件应降价4元或36元． 【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，弄清题中的等量关系是解答本题的关键． 五、解答题（本大题共2小题，每小题9分，共18分） 21. 如图，菱形ABCD，∠D＝120°，E为菱形内一点，连接EC、EB．再将EB绕着点B逆时针旋转120°到FB，连接FA、EF，且EF交AB于点G． （1）求证：AF＝CE； （2）若∠EBC＝45°，求∠AGE的大小． 【答案】 （1）四边形是菱形，， ，． 又绕着点逆时针旋转到， ， ， ， 在与中， ， ， ； （2）∠AGE＝105°． 【解析】 【分析】（1）先根据菱形的性质得出，，再由图形旋转的性质得出，根据定理得出，由全等三角形的性质即可得出结论； （2）先求出的度数，再由等腰三角形的性质求出的度数，再由即可得出结论． 【详解】解：（1）略 （2），， ． 又，， ， ． 【点睛】本题考查的是旋转的性质，全等三角形的判定与性质，解题的关键是熟知图形旋转后所得图形与原图形全等． 22. 如图1，灌溉车为公路绿化带草坪浇水，图2是灌溉车浇水操作时的截面图．现将灌溉车喷出水的上、下边缘线近似地看作平面直角坐标系中两条抛物线的部分图象．已知喷水口H离地竖直高度为，草坪水平宽度，竖直高度忽略不计.上边缘抛物线最高点A离喷水口的水平距离为，高出喷水口，下边缘抛物线是由上边缘抛物线向左平移得到的，设灌溉车到草坪的距离为d（单位：m）． （1）求上边缘抛物线的函数解析式，并求喷出水的最大射程的长； （2）下边缘抛物线落地点B的坐标为______； （3）要使灌溉车行驶时喷出的水能浇灌到整个草坪，d的取值范围为______． 【答案】（1）喷出水的最大射程为 （2） （3） 【解析】 【分析】本题是二次函数的实际应用，主要考查了待定系数法求二次函数解析式，二次函数的性质，二次函数与方程的关系等知识，读懂题意，建立二次函数模型是解题的关键． （1）由顶点得，设，再根据抛物线过点，可得a的值，从而解决问题； （2）由对称轴知点的对称点为，则下边缘抛物线是由上边缘抛物线向左平移得到的，可得点B的坐标； （3）根据点坐标以及草坪宽度可得结论． 【小问1详解】 解：由题意得是上边缘抛物线的顶点， 设， 又∵抛物线过点， ∴ ∴， ∴上边缘抛物线的函数解析式为， 当时，， 解得（舍去）， ∴喷出水的最大射程为； 【小问2详解】 解：∵对称轴为直线， ∴点的对称点为， ∴下边缘抛物线是由上边缘抛物线向左平移得到的， ∴点B的坐标为， 故答案为：； 【小问3详解】 解：∵， ， ，， ，， ， ∴要使灌溉车行驶时喷出的水能浇灌到整个草坪，d的取值范围为， 故答案为：． 六．解答题（本大题共12分） 23. 在平面直角坐标系中，抛物线经过点，． （1）若点在轴上， ①求此抛物线的解析式； ②当时，直接写出的取值范围； （2）若，点在该抛物线上，且，请比较，的大小，并说明理由． 【答案】（1）①；②或； （2） 解：，理由如下， 将代入， ∴， 解得： ， ∵， ∴， 解得：， ∴抛物线开口向上， ∵抛物线的对称轴为直线， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴到对称轴的距离大于到对称轴的距离， ∴． 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的性质； （1）①当时，代入解析式，得出，进而得出解析式； ②令，得出，则抛物线与轴的交点问和，根据题意可得点在轴的上方，根据抛物线开口向上，进而即可求解； （2）将代入，根据，得出，进而得出抛物线的对称轴且，根据可得到对称轴的距离大于到对称轴的距离，即可求解． 【小问1详解】 解：①当时，， ∵经过点， ∴， 解得：， ∴抛物线的解析式为， ②令，， 解得：， ∴抛物线与轴的交点问和， ∵，，且，， ∴点在轴的上方， ∴或； 【小问2详解】 略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $