精品解析：重庆市西南大学附属中学校2025-2026学年高一上学期11月期中考试数学试卷

西南大学附中高 2028 届高一上 11 月期中考试 数学试题 注意事项: 1.答题前，考生先将自己的姓名、班级、考场/座位号、准考证号填写在答题卡上. 2.答选择题时， 必须使用 2B 铅笔填涂； 答非选择题时， 必须使用 0.5 毫米的黑色签字笔书写； 必须在题号对应的答题区域内作答，超出答题区域书写无效；保持答卷清洁、完整. 3.考试结束后，将答题卡交回 （试题卷学生留存，以备评讲）. 一、单项选择题:本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 下列命题中正确的个数为（ ） ①②，则，③，④ A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 3. “”是“函数在内单调递增”的（ ） A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要 4. 函数的图象大致为（ ） A. B. C. D. 5. 若函数的定义域为，则的定义域为（ ） A. B. C. D. 6. 设函数满足等式，则的值域为（ ） A. B. C. D. 7. 已知函数的定义域为，且满足下列三个条件: ①对任意的，都有恒成立 ② ③是偶函数 若，则的大小关系正确的是（ ） A. B. C. D. 8. 已知正实数满足，则的最小值为（ ） A. B. 2 C. D. 4 二、多项选择题:本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知正数，则下列不等式中恒成立的是（ ） A. B. C. D. 10. 若函数，且，则（ ） A. B. C. D. 11. 下列命题中正确的是（ ） A. 定义在上的偶函数满足在上单调递减，且，若对任意的恒成立，则实数的取值范围是 B. 函数在上的值域为 C. 函数，若不等式对恒成立，则 D. 若一元二次方程的两根都是负数，则的取值范围为 三、填空题:本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 若，且，则______. 13. 已知函数，给出下列四个结论:①函数是偶函数；②函数是增函数；③函数定义域为，区间，若任意，，都有，则在区间上单调递减；④定义域为，“对于任意，总有（为常数）”是“函数在区间上的最大值为”的必要不充分条件、其中正确结论的序号是______. 14. 若定义在区间上的函数值域也为，则实数的取值范围是______. 四、解答题:本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知函数， （1）求函数的解析式； （2）若函数在R上单调，求的取值范围. 16. 已知幂函数是奇函数. （1）求实数，并证明:在上单调递增； （2）若有唯一解，求实数的值. 17. 已知定义域都为的函数与满足:是偶函数，是奇函数， （1）求函数与的解析式； （2）若在上恒成立，求实数的取值范围. 18. 已知函数. （1）若关于的不等式在上有解，求实数的取值范围； （2）当，时，求在上的值域； （3）当时，设，记的最小值为，求的最小值. 19. 某数学兴趣小组在学习了《基本不等式》一章后，对不等式产生了浓厚的兴趣，小组成员经过查阅资料发现如下事实:基本不等式可以推广至阶.即:若实数均大于0，那么请利用上述事实解决下列问题: （1）若，求的最大值，并指明取最大值时的值； （2）将一个边长为2的正方形纸板四个角各减去一个边长为的小正方形后折成一个无盖长方体（如图），若要使得长方体的体积最大，则减去的小正方形的边长应为多少? （3）试证明，对任意的正整数，不等式成立. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 西南大学附中高 2028 届高一上 11 月期中考试 数学试题 注意事项: 1.答题前，考生先将自己的姓名、班级、考场/座位号、准考证号填写在答题卡上. 2.答选择题时， 必须使用 2B 铅笔填涂； 答非选择题时， 必须使用 0.5 毫米的黑色签字笔书写； 必须在题号对应的答题区域内作答，超出答题区域书写无效；保持答卷清洁、完整. 3.考试结束后，将答题卡交回 （试题卷学生留存，以备评讲）. 一、单项选择题:本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先解绝对值不等式得集合B，再求集合B的补集，进而可得结果. 【详解】由，得或，即或，所以或 所以，故，如图： 故选：B. 2. 下列命题中正确的个数为（ ） ①②，则，③，④ A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 【答案】A 【解析】 【分析】由指数幂的运算和根式与分数指数幂的转换,结合特殊值逐项判断即可. 【详解】①取，则，错， ②当时，，无意义，错， ③取，则，错， ④，错， 故选：A 3. “”是“函数在内单调递增”的（ ） A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要 【答案】A 【解析】 【分析】根据给定的单调性求出的范围，再利用充分条件、必要条件的定义判断得解. 【详解】函数的单调递增区间为， 由函数在内单调递增，得，解得 所以“”是“函数在内单调递增”的充分而不必要条件. 故选：A 4. 函数的图象大致为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用定义域与奇偶性判断即可. 【详解】因为函数的定义域为，又， 所以是偶函数，其图象关于轴对称， 而选项B,C,D的定义域不是，故只有A选项符合条件. 故选：A 5. 若函数的定义域为，则的定义域为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先确定的定义域，再根据复合函数的定义求解． 【详解】因为函数的定义域为，则，所以的定义域是， 所以函数中，解得， 故选：B． 6. 设函数满足等式，则的值域为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由方程组法求得，进而得到，即可求解. 【详解】由可得： ， 两式联立可得：， 所以，， 因为， 所以， 所以的值域为， 故选：A 7. 已知函数的定义域为，且满足下列三个条件: ①对任意的，都有恒成立 ② ③是偶函数 若，则的大小关系正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据函数的单调性，对称性及周期性综合判断函数值的大小可得. 【详解】由①知，时，即，所以，所以在上单调递增； 由②知，函数的一个周期为3； 由③是偶函数，所以， 以代替得，，即函数的图象关于对称. 因，再由对称性得， 再由周期性，即. ，. 因为函数在上单调递增，且， 所以，即. 故选：C. 8. 已知正实数满足，则的最小值为（ ） A. B. 2 C. D. 4 【答案】A 【解析】 【分析】，进而根据的单调性得，再将所求式子转化为求的最小值，最后结合基本不等式“1”的用法求解即可. 【详解】解：令，则， 因为函数均为单调递增函数，且当时， 所以等价于，即 所以， 所以 因为， 当且仅当，联立可得，，时等号成立， 所以，当且仅当，时等号成立， 所以的最小值为. 故选：A 二、多项选择题:本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知正数，则下列不等式中恒成立的是（ ） A. B. C. D. 【答案】AC 【解析】 【分析】对于AC，利用基本不等式即可判断；对于BD，利用特值法即可判断． 【详解】∵（当且仅当时取等号）， 又为正数，，∴，故A正确； 当时，，，此时，故B错误； ∵为正数，则（当且仅当时取等号）， 又，∴，故C正确； 当时，，此时，故D错误， 故选：AC. 10. 若函数，且，则（ ） A. B. C. D. 【答案】AC 【解析】 【分析】根据幂函数的性质及特殊值验证即可判断. 【详解】因为幂函数，定义域为R，且在上单调递增. 又，所以为奇函数，且在R上单调递增. 对于A：因，所以，所以，故A正确； 对于B：取，则， 所以，，故B错误； 对于C：因为为R上单调递增函数，所以为R上的单调递增函数， 且，所以，故C正确； 对于D：取，则， ，即，故D错误. 故选：AC. 11. 下列命题中正确的是（ ） A. 定义在上的偶函数满足在上单调递减，且，若对任意的恒成立，则实数的取值范围是 B. 函数在上的值域为 C. 函数，若不等式对恒成立，则 D. 若一元二次方程的两根都是负数，则的取值范围为 【答案】ABC 【解析】 【分析】A，通过函数单调性和奇偶性得到，即可求解，B，通过换元，，结合一元二次函数即可求解，C，将不等式转换成，结合基本不等式即可求解，D，通过判别式和韦达定理即可求解. 【详解】对于A，因为定义在上的偶函数满足在上单调递减，且，所以在上单调递增，且， 所以当，则，， 又因为对恒成立，故，故A对； 对于B，， 因为时，令， 则，对称轴为， 当时，， 当时，， 所以值域为，B正确， 对于C，当时，，所以， 又因为，所以 ， 故若不等式对恒成立对恒成立， 又 当且仅当即时等号成立， 所以即范围为，故C对； 对于D，首先， 设方程的两根为，则， 所以，又，解得或．D错， 故选：ABC 三、填空题:本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 若，且，则______. 【答案】 【解析】 【分析】令，利用换元法求解. 【详解】令，则， 因为，所以， 故. 故答案为：. 13. 已知函数，给出下列四个结论:①函数是偶函数；②函数是增函数；③函数定义域为，区间，若任意，，都有，则在区间上单调递减；④定义域为，“对于任意，总有（为常数）”是“函数在区间上的最大值为”的必要不充分条件、其中正确结论的序号是______. 【答案】③④. 【解析】 【分析】对于①，根据函数奇偶性的定义可判断；对于②，根据函数的单调性的定义可判断；对于③，根据函数的单调性的定义可判断；对于④，由函数的最值的定义和充分必要条件的定义可判断. 【详解】对于①，函数，定义域为,所以不是偶函数，故①错误； 对于②，函数在和上单调递减， 故②错误； 对于③，任意，不妨设，因为，所以有，根据函数的单调性的定义得函数在区间上单调递减；正确， 对于④，“对于任意，总有 (为常数)”中，未指明“，有”，所以“函数 在区间上的最大值为”不成立，而函数 在区间上的最大值为  ，总有 (为常数) ，所以“对于任意，总有 (为常数)”是“函数 在区间上的最大值为”的必要不充分条件.故④正确， 故答案为：③④. 14. 若定义在区间上的函数值域也为，则实数的取值范围是______. 【答案】 【解析】 【分析】由函数单调性，确定，，转化为，换元后得到，由的范围求出m的取值范围. 【详解】函数在定义域单调递减， 当的定义域为时，的值域也为， 故①，②， ②①得.， 因为，所以， 即，③ 将③代入②，， 令，得， 又，故， ∵，所以， ∴， 故实数k的取值范围为， 故答案为： 四、解答题:本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知函数， （1）求函数的解析式； （2）若函数在R上单调，求的取值范围. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）用换元法求解析式； （2）分析每段函数的单调性，根据的取值分类讨论可得． 【小问1详解】 令，则， 当时，，； 当时， ，， 则， 故； 【小问2详解】 当时，，因时，函数为常函数， 故在R上不单调，不合题意； 当时，若，为增函数， 若，的对称轴为直线， 要使函数在R上单调，需使，解得； 当时，若，为减函数， 若，的对称轴为直线， 要使函数在R上单调，需使，解得. 综上，的取值范围为． 16. 已知幂函数是奇函数. （1）求实数，并证明:在上单调递增； （2）若有唯一解，求实数的值. 【答案】（1） 由函数为幂函数，可得， 即，解得或， 当时，函数，此时函数为奇函数，符合题意； 当时，函数，此时函数为偶函数，不符合题意， 综上可得，实数的值为，此时，则， 任取，且， 则 ， 因为，且，可得， 所以，即， 所以函数是上的单调递增函数. （2） 【解析】 【分析】（1）根据幂函数的定义，得到，求得或，再结合函数为奇函数，得到，得到，则，利用函数的单调性的定义和判定方法，即可证得是上的单调性； （2）由（1）知：函数为递增函数，把方程转化为，得到方程有唯一的解，结合二次函数的性质，即可求解. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：由（1）知，函数为上的单调递增函数，且， 因为，即，可得， 又因为有唯一解，即方程有唯一的解， 则满足，解得，所以实数的值为. 17. 已知定义域都为的函数与满足:是偶函数，是奇函数， （1）求函数与的解析式； （2）若在上恒成立，求实数的取值范围. 【答案】（1）；. （2） 【解析】 【分析】（1）根据奇偶函数的定义列方程组求解即可； （2）在上恒成立可转化为在上恒成立，再利用二次函数图象和性质求最值即可. 【小问1详解】 因为，是偶函数，是奇函数， 则，可得， 联立方程组，解得，. 【小问2详解】 因为在上恒成立， 即，即在上恒成立， 令，对称轴为. 当即时，函数在上单调递增， 故要使得在上恒成立， 即即可，，解得； 故； 当，即时，函数在上先减后增， 故当时，函数取得最小值， 故要使得在上恒成立， 即即可，，解得； 综上可得. 18. 已知函数. （1）若关于的不等式在上有解，求实数的取值范围； （2）当，时，求在上的值域； （3）当时，设，记的最小值为，求的最小值. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）关于的不等式在上有解等价于在区间内的最小值，进而解不等式可得结果； （2）先去绝对值，进而结合二次函数的性质求解值域； （3）先去绝对值，进而由二次函数的对称轴对进行分类讨论，从而分情况求的最小值，并可得的最小值. 【小问1详解】 关于的不等式在上有解，等价于在区间内的最小值. 是开口向下的二次函数，对称轴为. 在处取最大值：； 因为，， 所以，则在上的最小值为. 因此，即. 故. 【小问2详解】 当时，，需分区间去绝对值： 当时，，故， 其图象开口向上，对称轴，最小值为； 端点值：，. 此区间内； 当时，，故. 其图象开口向上，对称轴，函数在上单调递增； 端点值：，， 此区间内. 综上所述， 在上的值域为. 【小问3详解】 当时，，分区间去绝对值： 当时，，其图象开口向上，对称轴； 当时，其图象开口向上，对称轴. 分情况讨论的最小值： 情况1： 时，在取最小值：； 时，单调递减，. 因为，所以， 故，其最小值为； 情况2： 时，在取最小值：； 时，. 故，其最小值. 情况3： 时，在取最小值：； 时，在取最小值：. 因为，所以 故，其最小值为. 综上所述，的最小值为. 19. 某数学兴趣小组在学习了《基本不等式》一章后，对不等式产生了浓厚的兴趣，小组成员经过查阅资料发现如下事实:基本不等式可以推广至阶.即:若实数均大于0，那么请利用上述事实解决下列问题: （1）若，求的最大值，并指明取最大值时的值； （2）将一个边长为2的正方形纸板四个角各减去一个边长为的小正方形后折成一个无盖长方体（如图），若要使得长方体的体积最大，则减去的小正方形的边长应为多少? （3）试证明，对任意的正整数，不等式成立. 【答案】（1）， （2） （3）证明见解析 【解析】 【分析】（1）由，结合基本不等式即可求解； （2）由，结合基本不等式即可求解； （3）根据结论得到，然后化简变形可完成证明. 【小问1详解】 ， 当且仅当时，取等号， 所以最大值为， 【小问2详解】 由题意， 长方体的体积为： 当且仅当时取等号， 所以要使得长方体的体积最大，则减去的小正方形的边长应为. 【小问3详解】 证明：当时，左式，右式，且； 当时， ， 显然，所以等号不能取，所以； 综上可知，恒成立. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $