第十六讲 对数的理解与对数的运算-2025-2026学年高一上学期数学人教A版必修第一册

第十六讲 对数的理解与对数的运算 知识再现 一、对数的概念 1、定义：如果（，且），那么就称是以a为底N的对数， 记作，其中a叫作对数的底数，N叫作真数． 2、对数的基本性质 ①当，且时，． ②负数和0没有对数，即. ③特殊值：1的对数是0，即0（，且）； 底数的对数是1，即（，且）． 二、常用对数与自然对数 1、常用对数：以10为底的对数叫做常用对数，对数简记为； 2、自然对数：以无理数为底的对数称为自然对数，对数简记为. 三、对数的运算性质 1、运算性质：,且， （1）； （2）； （3） 2、换底公式 (a＞0，且a1；c＞0，且c1；)． （2）①； ②； ③； ④； ⑤. 题型一：对数的概念 例1：(多选)下列说法正确的有（ ） A．零和负数没有对数 B．任何指数式都可以化成对数式 C．任何对数式都可以化成指数式 D． 【答案】AC，【解析】由对数的定义可知A,C正确； 对于B且时，才能化为对数式 对于D，均为正数时才成立 ，故选：AC. 例2：指数式 x3=15的对数形式为:( ) A．log 3 15=x B．log 15 x=3 C．log x 3= 15 D．log x 15= 3 解析：因为指数式 x3=15的对数形式为log x 15= 3，所以选D. 例3：（多选）下列四个等式其中正确的是(　　) A.lg(lg 10)＝0 B.lg(ln e)＝0 C.若lg x＝10，则x＝10 D.若ln x＝e，则x＝e2. 解：因为lg 10＝1，所以lg(lg 10)＝0，故A正确；因为ln e＝1，所以ln(ln e)＝0，故B正确；由lg x＝10，得1010＝x，故x≠100，故C错误；由e＝ln x，得ee＝x，故x≠e2，所以D错误．选AB. 例4：代数式有意义时，求x的取值范围． 【答案】 【解析】由题意可得 解得． 变式训练 1.对数式中，实数的取值范围是（ ） A．(－∞，5) B．(3，5) C．(3，＋∞) D．(3，4)∪(4，5) 【答案】D 【解析】由题意得，解得3<a<4或4<a<5， 即a的取值范围是．故选：D. 2．在b＝中，实数m的取值范围是(　　) A．R　　　　　　B．(0，＋∞) C．(－∞，1) D．(1，＋∞) 1.【答案】D　[由m－1>0得m>1，故选D.] 3．若x＝y2(y>0，且y≠1)，则必有(　　) A． B． C． D． 解析：由指数式和对数式的互化可得。选D。 题型二：指数对数互化 例5：将下列指数式与对数式互化： (1)log216＝4; (2)log27＝－3；(3)＝6; (4)43＝64；(5)3－2＝ (6) ＝16. 【答案】（1）；（2）；（3）；（4）； （5）；（6）log16＝－2. 【解析】（1）∵log216＝4，∴ 。（2）∵log27＝－3，∴。 （3）∵＝6，∴。（4）∵43＝64，∴。 （5）∵3－2＝，∴。（6）∵＝16，∴log16＝－2。 例6：已知，则 ． 【答案】 【详解】由，得，而，所以. 例7：若，则（    ） A．2 B． C． D． 【答案】A 【分析】根据指对互化的运算可得，利用对数的换底公式和对数的运算性质的应用即可求解. 【详解】由，得， 所以. 变式训练 1.若，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由题意得：，得：， 所以：.故A项正确.故选：A. 2.设，且，则（    ） A． B．10 C．100 D．1000 【答案】C 【详解】根据题意由可得， 所以， 即可得，即. 3.已知，则 ． 【答案】 【详解】由得：，，，， . 4.已知，则的值（ ） A.小于0 B.等于1 C.大于1且小于2 D.等于2 【解答】 ①对进行转换，由题可得， ②对进行转换， 则= 题型三：解对数方程 例8：方程 的解是( ) A． x＝ B．x＝ C．x＝ D．x＝9 【答案】A【解析】因为＝2－2，所以log3x＝－2，所以x＝3－2＝.选A. 例9：若log2＝1，则x＝________． 解析：因为log2＝1，所以＝2，即2x－5＝6，解得x＝. 例10：已知函数，则方程的解为（    ） A． B．或 C．或 D．或 【答案】C 【分析】换底公式化简可得出关于的等式，求出的值，再利用对数式与指数式的互化可得出的值. 【详解】因为， 由可得， 得或，当时，；当时，. 综上所述，原方程的解为或. 变式训练 1.已知，则_________． 【答案】【解析】因为 所以，所以，. 2.若log2＝1，则x＝________． 【答案】112【解析】因为log2＝1， 所以＝2，即2x－5＝6，解得x＝. 3.求下列各式中的的值： （1）； （2）． 【答案】（1）；（2）． 【解析】（1）由，得，解得； （2）由， 得，，且，且， 解得（舍去）． 4.已知，则的值为____． 【答案】 【解析】由，得，所以， 即，所以，，所以． 5.已知函数，则方程的解为（    ） A． B．或 C．或 D．或 【答案】C 【分析】换底公式化简可得出关于的等式，求出的值，再利用对数式与指数式的互化可得出的值. 【详解】因为， 由可得， 得或，当时，；当时，. 综上所述，原方程的解为或. 题型四：对数的运算（化简求值） 例11．若a＞0，a≠1，x＞0，y＞0，x＞y，下列式子中正确的个数是(　　) ①；②； ③; ④. A.0 B.1 C.2 D.3 解析：由对数的运算性质，得到； ； ．　故选A 例12：计算： （1）： （2）． （3） ＋ 【答案】(1)4,(2)3 （3）π－1 【详解】（1）原式； （2）原式． （3）。 例13：已知，试用表示； 【答案】. 【解析】由，可得. 例14：已知函数是定义在R上的奇函数，且满足.若当时，，则的值为_____. 【答案】 解：根据题意，函数是定义在上的奇函数，则，则 又由满足，即 ， 又由当时，，则， 则；故答案为：． 变式训练 1. 化简 （1） （2） （3） （4） 【答案】（1）；；（2）0；；（3）3；；（4）13 【解析】（1）原式= ; （2）原式 ==; （3）原式=; （4）原式. 2.已知2=m，则36=_____. 【答案】 【解析】，由换底公式得又 故答案为： 3.若a、b是方程2lg2 x－lg x4＋1＝0的两个实根，求lg(ab)· 的值． 【答案】12【解析】原方程可化为2lg2x－4lg x＋1＝0， 设t＝lg x，则原方程化为2t2－4t＋1＝0，∴t1＋t2＝2，t1t2＝. 由已知a，b是原方程的两个根，则t1＝lg a，t2＝lg b， 即lg a＋lg b＝2，lg a·lg b＝，lg(ab)· ＝＝(lg a＋lg b)·＝2×＝12.故lg(ab)·＝12. 4.地震的震级R与地震释放的能量E的关系为R＝ (lgE－11.4).2011年3月11日，日本东海岸发生了9.级特大地震，2008年中国汶川的地震级别为8.0级，那么2011年地震的能量是2008年地震能量的__________倍． 【答案】10 【解析】设震级9.0级、8.0级地震释放的能量分别为 则 ，即 ． 题型五：对数的证明题 例17：利用换底公式证明：． 【答案】证明见解析 【解析】证明：即 例18：已知，求证：. 【答案】证明见解析； 【解析】令，则，，，所以. 变式训练 1.已知，求证：. 【答案】证明见解析. 【解析】设()， 则，，，故. 2.已知：，求证：． 【答案】证明见解析. 【解析】因为， 故可得，则，即； 同理可得，，，故可得， 故，即证. 第 1 页 共 10 页 学科网（北京）股份有限公司 $null