4.3.2对数的运算教学设计-2025-2026学年高一上学期数学人教A版必修第一册

4.3.2对数的运算教学设计 课题 4.3.2　对数的运算 课型 新授课 课时 2课时 学习目标 1.掌握积、商、幂的对数运算性质，理解其推导过程和成立条件. 2.掌握换底公式及其推论. 3.能熟练运用对数的运算性质进行化简求值． 学习重点 掌握积、商、幂的对数运算性质，理解其推导过程和成立条件，在此过程中培养学生的数学抽象、数学运算的核心素养. 学习难点 掌握对数的运算性质、换底公式及换底公式的推导. 学情分析 学生已经学习了对数的概念与性质，根据对数与指数幂的对应关系，不难得出对数的运算性质.有了对数的运算性质之后，加强学生的运算能力的培养，此外，引导学生对学过的数学运算进行适当的整理和总结，从整体上理解数学运算是一个挑战. 核心知识 1、对数与指数幂的对应关系； 2、积、商、幂的对数运算性质换底公式及其推论； 3、换底公式及其推论. 教学内容及教师活动设计 一、复习引入 问题1 按照上一节课问题1的规划，接下来我们需要研究对数的运算及其性质，你认为可以怎样研究？ 答案：通过上节课的学习，我们知道了对数是通过指数幂的形式定义出来的，因此对数运算是由指数幂运算衍生出来的．对数运算与指数幂运算是两类重要的运算，正像加法与减法、乘法与除法之间的关系一样，我们通过加法运算学习减法运算，通过乘法运算学习除法运算．对于对数运算，我们也可以通过指数幂运算推导对数运算的性质． 二、课堂探究 问题2 对数有哪些运算性质？ 追问1 请回忆指数幂的运算性质． 答案：对于任意实数r，s，均有下面的指数幂运算性质． （1）aras＝a(a＞0，r，s∈R)； （2）(ar)s＝ars(a＞0，r，s∈R)； （3）(ab)r＝arbr(a＞0，b＞0，r∈R)． 追问2 根据对数与指数间的关系，结合指数幂的运算性质（1）aras＝a(a＞0，r，s∈R)，你能将指数式aman＝a转换为对数式的形式么？由此你可以得出的对数的运算性质是什么？ 答案：设M＝am，N＝an，因为aman＝a，所以MN＝a． 根据对数与指数间的关系可得logaM＝m，logaN＝n，loga(MN)＝m+n． 这样，就得到了对数的一个运算性质：loga(MN)＝logaM＋logaN．其中a＞0，且a≠1，M＞0，N＞0． 追问3 仿照上述的推导过程，由am÷an＝a，你能推出对数的其他运算性质吗？ 答案：设M＝am，N＝an，，因为am÷an＝a，所以＝a． 根据对数与指数间的关系可得logaM＝m，logaN＝n，loga()＝m－n． 于是：loga()＝logaM－logaN． 追问4 运用指数幂的运算性质及对数的概念，推导对数的运算性质：logaMn＝nlogaM． 答案：设M＝am，因为(am)n＝amn，所以logaMn＝loga(am)n＝logaamn＝mn． 根据对数与指数间的关系可得logaM＝m，所以nlogaM＝nm． 于是：logaMn＝nlogaM． 追问5 总结对数的运算性质，谈谈对数的运算性质有什么特点？ 答案：对数有如下的运算性质． 如果a＞0，且a≠1，M＞0，N＞0，那么 （1）loga(MN)＝logaM＋logaN； （2）loga()＝logaM－logaN； （3）logaMn＝nlogaM(n∈R)． 从对数的运算性质可以看出，通过对数运算可以把乘法转化为加法，把除法转化为减法，把乘方转化为乘法．从运算角度看，加、减是一级运算，乘、除是二级运算，乘方、开方是三级运算．运算数量级的不同决定了运算的复杂度，一般来说，运算的数量级越高，运算的复杂度也越高．对数的运算性质降低了运算的级别，简化了运算． 结论：现代社会，由于有了计算器（机）等计算工具，对数的运算性质的这种作用似乎有些微不足道，但在数学发展过程中，由于当时没有计算工具，对于天文学中大数的乘、除等运算，仅靠纸笔运算是相当繁琐、复杂的，而对数的发明“延长了天文学家的寿命”．因此，对数运算性质在数学发展史上是伟大的成就． 三、例题讲解 例1 求下列各式的值： （1）lg； （2）log2(47×25)． 追问 根据题目中运算对象的特点，应该选择对数的哪条运算性质作为求解依据？ 答案： （1）应该选择第3条性质； （2）应该选择第1条性质，之后根据化简的情况再进行选择． 解： （1）lg＝lg100＝lg100＝； （2）log2(47×25)＝log247＋log225＝7log24＋5log22＝7×2＋5×1＝19． 例2 用lnx，lny，lnz表示． 追问 类比例3中具体数值的计算，本题可以依据对数的哪些运算性质？ 答案：通过观察，本题需要综合运用对数的3条运算性质进行求解． 解：＝ln(x2)－ln＝lnx2＋ln－ln＝2lnx＋lny－lnz． 问题3 从历史上看，发明对数完全是计算的需要，但在计算过程中，我们无法穷尽所有对数的运算，毕竟对数的运算数量级高、复杂度高．当时人们为了运算的方便，经过大量的努力，制作了常用对数表和自然对数表，只要通过查表就能求出任意正数的常用对数或自然对数．现在利用计算工具，也可以直接求出任意正数的常用对数或自然对数．请思考：为了方便地求出其他底数的对数，能否将其他底数的对数转换为以10或e为底的对数？ 追问1 首先从一个具体的问题开始研究．利用计算工具可以求出ln2，ln3的近似值，那么根据对数的定义，你能利用ln2，ln3的值求出log23的值吗？我们应该对ln2，ln3和log23做怎样的处理？（ln2≈0.6931，ln3≈1.0986） 答案：设log23＝x，则2x＝3，于是ln2x＝ln3． 根据性质（3）得xln2＝ln3，即log23＝． 利用计算工具可以求出ln2≈0.6931，ln3≈1.0986，所以log23＝≈1.5851． 追问2 在上述具体问题及其解决过程的启发下，根据对数的定义，你能用logca，logcb表示logab (a＞0，且a≠1；b＞0；c＞0，且c≠1)吗？ 答案：设logab＝x，则ax＝b，于是logc(ax)＝logcb． 根据性质（3）得xlogca＝logcb， 即logab＝ (a＞0，且a≠1；b＞0；c＞0，且c≠1). 我们把上式叫做对数换底公式． 利用对数的换底公式，可以把任意底数的对数的值转化为以10或e为底的对数，这样就可以利用对数表或计算工具计算任意底数的对数的值． 追问3 在4.2.1的问题1中，求经过多少年B地景区的游客人次是2001年的2倍，就是计算x＝log1.112的值．利用计算工具，根据换底公式，求解x＝log1.112的值． 答案：由换底公式，可得x＝log1.112＝． 利用计算工具，可得x＝≈6.64≈7． 由此可得，大约经过7年，B地景区的游客人次就达到2001年的2倍． 四、换底公式的重要推论 五、对数的运算性质及换底公式的应用 1.对数的运算性质 例3 计算下列各式的值 (1)(lg 5)2＋2lg 2－(lg 2)2； (2) ； (3)log535－2log5＋log57－log51.8. 解：(1)原式＝(lg 5)2＋(2－lg 2)lg 2＝(lg 5)2＋(1＋lg 5)lg 2 ＝(lg 5)2＋lg 2·lg 5＋lg 2＝(lg 5＋lg 2)·lg 5＋lg 2 ＝lg 5＋lg 2＝1. (2)原式＝＝＝. (3)原式＝log5(5×7)－2(log57－log53)＋log57－log5 ＝log55＋log57－2log57＋2log53＋log57－2log53＋log55＝2log55＝2. 跟踪训练1 计算下列各式的值(1)log5；(2)log2(32×16)； 解：(1)log5＝log5625＝log554＝. (2) log2(32×16)＝log232＋log216＝5＋4＝9. 跟踪训练2 计算:(1)(log43＋log83)(log32＋log92)－log. (2)(log43－log83)(log32－log92)． 知识应用 例4 尽管目前人类还无法准确预报地震，但科学家通过研究，已经对地震有所了解，例如，地震时释放出的能量E（单位：焦耳）与地震里氏震级M之间的关系为 lgE＝4.8+1.5M． 2011年3月11日，日本东北部海域发生里氏9.0级地震，它所释放出来的能量是2008年5月12日我国汶川发生里氏8.0级地震的多少倍（精确到1）？ 解：设里氏9.0级和8.0级地震的能量分别为E1和E2． 由lgE＝4.8+1.5M，可得 lgE1＝4.8+1.5×9.0， lgE2＝4.8+1.5×8.0． 于是，lg＝lgE1－lgE2＝(4.8＋1.5×9.0)－(4.8＋1.5×8.0)＝1.5． 利用计算工具可得，＝101.5≈32． 虽然里氏9.0级地震与里氏8.0级地震仅差1级，但前者释放出来的能量却是后者的约32倍． 追问 想一想，为什么两次地震的里氏震级仅差1级，而释放的能量却相差那么多呢？ 答案：地震中能量是很大的数值，进行对数运算后，其数值就变得非常小．这其实相当于把指数幂运算中幂的结果反映在指数上，也就是说，在以10为底的指数幂运算中，指数每增加1，其幂的值就是原来的10倍；每增加2，其幂的值就是原来的100倍；反之，在以10为底的对数运算中，真数是原来的10倍，对数值就增加1；真数是原来的100倍，对数值就增加2．所以，在指数幂运算中，“指数增长”的变化非常快；在对数运算中，“对数增长”的变化就比较慢． （六）课堂小结，反思感悟 1.知识总结： 2.学生反思： （1）通过这节课，你学到了什么知识？ （2）在解决问题时，用到了哪些数学思想？ 【设计意图】 通过课堂小结，有利于学生对本节内容形成知识网络，纳入自己的知识体系. 3.本单元研究内容和方法的思维导图如图： 板书设计 ( 4.3 .2对数的运算 对数的运算 例1 例2 例3 例4 对数的运算性质 换底公式及其推论 ) 教学反思 对数的运算性质公式不难掌握，但其推导和应用是学生学习的难点，应在教学中强化公式的应用，在应用中逐步理解公式的意义和本质. ( 第 8 页 共 8 页 ) 学科网（北京）股份有限公司 $