精品解析：辽宁省大连甘井子区2025-2026学年八年级上学期数学期中卷

2025－2026学年度第一学期期中阶段性随堂练习 八年级数学 （本试卷共23道题满分120分 考试时间共120分钟） 第一部分 选择题（共30分） 一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 下列几何图形既是轴对称图形，也是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 如图，在中，，，则的度数是（ ） A. B. C. D. 3. 如图，将一个等边三角形绕其三边垂直平分线的交点旋转一定的角度后，依然与原图形重合，则这个旋转的角度可以是（ ） A. B. C. D. 4. 已知图中的两个三角形全等，其中的字母表示边长，则的度数是（ ） A. B. C. D. 5. 如图，若，，则，判定的根据是（ ） A. B. C. D. 6. 在平面直角坐标系中，点关于y轴对称的点的坐标是（ ） A. B. C. D. 7. 在学习完等腰三角形的定义之后，同学们探索并证明了“等腰三角形的两个底角相等”这个性质，证明时需要添加辅助线，下面作辅助线的叙述中，正确的是（ ） A. 过点作的垂直平分线 B. 作的平分线，使 C. 取的中点，连接 D. 作的平分线，使之经过的中点 8. 如图，在中，．尺规作图操作如下：（1）以点B为圆心，适当长为半径画弧，分别交边于点M，N；（2）以点C为圆心，长为半径画弧，交边于点；再以点为圆心，长为半径画弧，与前一条以点C为圆心的弧相交于三角形内部的点；（3）过点画射线交边于点D．下列结论错误的为（ ） A. B. C. D. 9. 如图，点，在的边上，且，下列说法错误的是（ ） A. 经过平移可与重合，平移的距离为的长 B. 将沿的垂直平分线翻折，可与重合 C. 将沿的垂直平分线翻折，可与重合 D. 将绕的中点逆时针旋转，不能与重合 10. 如图，甲、乙、丙三人分别沿不同的路线从地到地． 甲：，路程为． 乙：，路程为． 丙：，路程． 下列关系正确的是（ ） A. B. C. D. 第二部分 非选择题（共90分） 二、填空题（本题共5小题，每小题3分，共15分） 11. 等腰三角形的两边长分别为3和6，则这个等腰三角形的周长为________． 12. 如图，将一个含角的直角三角板绕点逆时针旋转，使得点的对应点落在所在的直线上，则三角板旋转的度数是________． 13. 如图，，，垂足分别为E，F，，若要依据证明，则需添加的一个条件是______． 14. 如图，在三角形纸片中，，，．沿过点B的直线折叠这个三角形，使点C落在边上的点E处，折痕为，则的周长为____． 15. 如图，是等边三角形，是中线，延长至点，使，，垂足为．若，，则的面积是________． 三、解答题（本题共8小题，共75分.解答应写出文字说明、演算步骤或推理过程） 16 如图，，，．求证：． 17. 如图，，，，相交于点．求证：． 18. 如图，在平面直角坐标系中，的顶点坐标分别为，，． （1）请画出与关于轴对称的图形； （2）请画出与关于点对称的图形． （建议：先用铅笔画图，确定无误后再用黑色水性笔画在答题卡上，确保答题卡上无涂改） 19. 如图，在△ABC中，∠A＞∠B． （1）作边AB的垂直平分线DE，与AB，BC分别相交于点D，E（用尺规作图，保留作图痕迹，不要求写作法）． （2）在（1）的条件下，连接AE，若∠B＝45°，求∠AEC的度数． 20. 如图1，的两个外角的平分线相交于点． （1）与的数量关系是________．（直接写出答案） （2）如图2，连接．求证：平分． 21. 已知中，，；点是边上一个动点，连接，将绕点逆时针旋转得到（点，分别是，的对应点）． （1）如图1，当点与点重合时，请判断线段与的数量关系是________，位置关系是________；（直接写出答案） （2）如图2，当点不与，重合时，猜想并证明线段与的关系． 22. 【问题提出】 学习了等腰三角形之后，我们知道：在一个三角形中，相邻的边所对的角相等；反过来，相等的角所对的边也相等，那么不相等的边（或角）所对的角（或边）之间的大小关系如何呢？大边所对的角也大吗？ 【问题探究】 问题1，在中，如果，则与的关系如何？ 直观猜想：． 操作验证：如图1，在中，如果，就可以将折叠，使边落在边上，点落在边上的点处，折痕交于点，则，由，可得． 推理证明：作的角平分线，交于点，在边上取点，使.．又，，.，．． 【类比探究】 问题2，如图2，在中，如果，则与的关系如何？ 请你参考问题1探究过程，完成问题2的探究． （1）直观猜想的结论是__________； （2）请利用图2进行证明． 深入探究】 （3）如图3，中，点是上的点，若，，．求的长．（用含，的代数式表示） 23. （1）如图1，在中，为锐角，以，为边作等边和等边，连接，交于点，连接，交于点，交于点，连接．求证：①；②． （2）小明发现，题中通过作两个等边三角形，实现了“线段转换”的目的（把转换为），结合综合与实践课上《最短路径问题》的学习经验，他和小组同学一起解决了下面一道实际问题． 如图2，在一条河的附近有，两个村庄，靠近村庄的一侧河岸可看成直线，先在河岸上找一点建引水站，再在图中阴影区域找一点建分水站，从而把河水引到，两村．请在图中找到，的位置，使全程管道部分用料最少． 请你在先图2中找到点和点的位置，再说明此时全程管道部分用料最少．（不用写具体的尺规作图作法，但要保留画图痕迹） 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025－2026学年度第一学期期中阶段性随堂练习 八年级数学 （本试卷共23道题满分120分 考试时间共120分钟） 第一部分 选择题（共30分） 一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 下列几何图形既是轴对称图形，也是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了中心对称图形和轴对称图形，熟练掌握这些知识点是解题的关键．在平面内，把一个图形绕着某个点旋转，如果旋转后的图形能与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点叫做它的对称中心；在平面内，如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合，这样的图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴，根据这些概念逐一判断即可． 【详解】解：A．是轴对称图形，不是中心对称图形，故A错误； B．是中心对称图形，不是轴对称图形，故B错误； C．是中心对称图形，也是轴对称图形，故C正确； D．不是中心对称图形，是轴对称图形，故D错误． 故选：C． 2. 如图，在中，，，则的度数是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查等腰三角形的性质及三角形内角和定理，根据得到，再根据三角形内角和定理求解即可得到答案； 【详解】解：∵，， ∴， ∵， ∴， 故选：C． 3. 如图，将一个等边三角形绕其三边垂直平分线的交点旋转一定的角度后，依然与原图形重合，则这个旋转的角度可以是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了旋转对称图形的性质，熟练掌握等边三角形的旋转对称角的计算方法是解题的关键．先确定等边三角形三边垂直平分线的交点（即中心），再根据旋转对称图形的性质，求出最小旋转角，进而判断符合条件的旋转角度． 【详解】解：等边三角形三边垂直平分线的交点是其中心，等边三角形的旋转角是， 所以旋转的整数倍时，图形能与原图形重合， 故选：D． 4. 已知图中的两个三角形全等，其中的字母表示边长，则的度数是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查全等三角形的性质，三角形内角和定理，利用三角形内角和定理求出，再根据三角形全等的性质求解即可得到答案； 【详解】解：由图形可得， ， ∵两个三角形全等， ∴， 故选：B． 5. 如图，若，，则，判定的根据是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】此题主要考查了全等三角形的判定，准确识图，熟练掌握全等三角形的判定是解决问题的关键．由，，，则可依据判定，由此可得出答案． 【详解】解：在和中， ， ∴． 故选：B． 6. 在平面直角坐标系中，点关于y轴对称的点的坐标是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】在平面直角坐标系中，点关于y轴对称的点的坐标特征是横坐标变为相反数，纵坐标不变，据此解题． 【详解】在平面直角坐标系中，点关于y轴对称的点的坐标是， 故选：B． 【点睛】本题考查象限与点坐标特征等知识，是重要考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键． 7. 在学习完等腰三角形的定义之后，同学们探索并证明了“等腰三角形的两个底角相等”这个性质，证明时需要添加辅助线，下面作辅助线的叙述中，正确的是（ ） A. 过点作的垂直平分线 B. 作的平分线，使 C. 取的中点，连接 D. 作的平分线，使之经过的中点 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查等腰三角形两底角相等性质的证明，根据三角形边边边判定直接选即可得到答案； 【详解】解：过线外一点不能作线的垂直平分线，说法错误，故A错误，不符合题意， 作一个角的平分线不一定垂直于角的对边，说法错误，故B错误，不符合题意， 取的中点，连接，可以得到，，，从而得到，即可得到，故C正确， 作一个角平分线不一定经过角对边的中点，说法错误，故D错误，不符合题意， 故选：C． 8. 如图，在中，．尺规作图操作如下：（1）以点B为圆心，适当长为半径画弧，分别交边于点M，N；（2）以点C为圆心，长为半径画弧，交边于点；再以点为圆心，长为半径画弧，与前一条以点C为圆心的弧相交于三角形内部的点；（3）过点画射线交边于点D．下列结论错误的为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了等角对等边，三角形内角和定理，大角对等边，作与已知角相等的角的尺规作图，由作图方法可得，则由三角形内角和定理和等边对等角得到，，由大角对大边得到，再由可得． 【详解】解：由作图方法可得，故A结论正确，不符合题意； ∴，，故B、C结论都正确，不符合题意； ∵， ∴， ∵， ∴，故D结论错误，符合题意； 故选：D． 9. 如图，点，在的边上，且，下列说法错误的是（ ） A. 经过平移可与重合，平移的距离为的长 B. 将沿垂直平分线翻折，可与重合 C. 将沿的垂直平分线翻折，可与重合 D. 将绕的中点逆时针旋转，不能与重合 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的性质，旋转与平移的性质，无论旋转还是平移，运动后的图形与原图形是全等的． 【详解】解：∵， ∴，，， A、经过平移距离为的长，和重合，点A不重合，故不能与重合，故A选项错误，符合题意； B、将沿的垂直平分线翻折，可与重合，正确，不符合题意； C、将沿的垂直平分线翻折，可与重合，正确，不符合题意； D、将绕的中点逆时针旋转，和重合，点A不重合，故不能与重合，正确，不符合题意． 故选：A． 10. 如图，甲、乙、丙三人分别沿不同的路线从地到地． 甲：，路程为． 乙：，路程为． 丙：，路程为． 下列关系正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了等边三角形的性质、三角形三边之间关系，解题的关键是通过设的长度为a，结合图形性质分别计算三人的路程并比较． 设，利用等边三角形性质得出甲、乙的路程均为，分析四边形，得出丙的路程小于，比较得出． 【详解】设的长度为a，因为有两个角是，故是等边三角形， ∴； 由于和是等边三角形，设的边长为m， 可得， ∴； 丙路程中，延长与，交于点I（如图）， ∵，两边同加得， ∴，又 ∴，又， 因此，，只有D选项正确． 故选：D． 第二部分 非选择题（共90分） 二、填空题（本题共5小题，每小题3分，共15分） 11. 等腰三角形的两边长分别为3和6，则这个等腰三角形的周长为________． 【答案】15 【解析】 【分析】本题考查等腰三角形的定义和三角形的三边关系，分腰长为3和腰长为6两种情况进行讨论，利用三角形两边之和大于第三边判断是否构成三角形． 【详解】解：当腰长为3时，三边分别为3、3、6，由于，不能构成三角形； 当腰长为6时，三边分别为6、6、3，由于，满足两边之和大于第三边，能构成三角形，周长为． 故答案为：15． 12. 如图，将一个含角的直角三角板绕点逆时针旋转，使得点的对应点落在所在的直线上，则三角板旋转的度数是________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查的是旋转的性质，掌握对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角是解题的关键．由旋转的性质可得旋转角为，由平角的性质可求解． 【详解】解：根据题意可得，，， ∴， ∴， ∵直角三角板绕点逆时针旋转，使得点的对应点落在所在的直线上， ∴三角板旋转的度数是． 故答案为：． 13. 如图，，，垂足分别为E，F，，若要依据证明，则需添加的一个条件是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定．利用“”证明三角形全等的方法即可． 【详解】解∶∵，， ∴和均为直角三角形， ∵ 若用“”证明，则需要添加的条件是． 故答案为：． 14. 如图，在三角形纸片中，，，．沿过点B的直线折叠这个三角形，使点C落在边上的点E处，折痕为，则的周长为____． 【答案】7 【解析】 【分析】本题考查了翻折变换的性质以及三角形周长；熟练掌握翻折变换的性质的解题的关键．先根据折叠的性质可得，，再求出的长，然后求出的周长，即可得出答案． 【详解】解：由折叠的性质得：，， ， 的周长， 故答案为：7． 15. 如图，是等边三角形，是中线，延长至点，使，，垂足为．若，，则的面积是________． 【答案】 【解析】 【分析】此题主要考查了等边三角形的性质，三角形的面积，根据等边三角形的性质得，，，则，进而得，在中，根据得，然后根据三角形的面积公式求出的面积即可． 【详解】解：∵是等边三角形，， ∴，， ∵是的中线， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， 在中，，， ∴， ∴的面积是：． 故答案为：． 三、解答题（本题共8小题，共75分.解答应写出文字说明、演算步骤或推理过程） 16. 如图，，，．求证：． 【答案】见解析 【解析】 【分析】本题考查了三角形全等的判定定理与性质，先证，再根据角边角判定得到，即可得到证明． 【详解】证明：， ， 在和中， ∵， ， ． 17. 如图，，，，相交于点．求证：． 【答案】见解析 【解析】 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定和性质，证明，根据全等三角形的性质得，再根据等边对等角可得结论． 【详解】证明：在和中， ， ， ， ． 18. 如图，在平面直角坐标系中，的顶点坐标分别为，，． （1）请画出与关于轴对称的图形； （2）请画出与关于点对称的图形． （建议：先用铅笔画图，确定无误后再用黑色水性笔画在答题卡上，确保答题卡上无涂改） 【答案】（1）见解析 （2）见解析 【解析】 【分析】本题考查作轴对称图形及作中心对称图形，熟练掌握轴对称图形及中心对称图形的性质是解题的关键． （1）根据关于x轴对称点：横坐标不变，纵坐标变为其相反数，作出顶点关于轴对称的对称点连接起来即可得到答案； （2）根据关于点对称的点：横坐标与纵坐标变为其相反数，作出顶点的对称点连接起来即可得到答案； 【小问1详解】 解：如图，即为所求， ； 【小问2详解】 解：如图， 即为所求， ． 19. 如图，在△ABC中，∠A＞∠B． （1）作边AB的垂直平分线DE，与AB，BC分别相交于点D，E（用尺规作图，保留作图痕迹，不要求写作法）． （2）在（1）条件下，连接AE，若∠B＝45°，求∠AEC的度数． 【答案】（1）作图见解析 （2）90° 【解析】 【分析】（1）依据垂直平分线的作图方法，即可得到边AB的垂直平分线DE； （2）依据垂直平分线的性质， 即可得到∠BAE=∠B， 再根据三角形外角性质， 即可得到∠AEC的度数． 【小问1详解】 如图所示DE为所求； 【小问2详解】 ∵DE是AB的垂直平分线， ∴AE＝BE， ∴∠EAB＝∠B＝45°， ∵是的外角， ∴∠AEC＝∠EAB﹢∠B＝90°． 【点睛】本题主要考查了线段垂直平分线的性质以及基本作图，解决问题的关键是掌握线段垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等． 20. 如图1，的两个外角的平分线相交于点． （1）与的数量关系是________．（直接写出答案） （2）如图2，连接．求证：平分． 【答案】（1） （2）见解析 【解析】 【分析】（1）先根据内外角关系得到，，结合内角和定理得到，再根据角平分线得到，最后根据三角形内角和定理即可得到答案； （2）过点分别作于，于，于，根据角平分线性质得到， 【小问1详解】 解：，理由如下， ∵、是的外角， ∴，， ∵， ∴， ∵，分别是外角的平分线， ∴ ， ∵， ； 【小问2详解】 证明：过点分别作于，于，于， ，分别是外角的平分线，，，， ，， ， ∵，， 在的平分线上， 平分． 【点睛】本题考查了三角形内外角关系，三角形内角和定理，角平分线性质定理及判定，解题的关键是熟练掌握各知识点及作出辅助线． 21. 已知中，，；点是边上的一个动点，连接，将绕点逆时针旋转得到（点，分别是，的对应点）． （1）如图1，当点与点重合时，请判断线段与的数量关系是________，位置关系是________；（直接写出答案） （2）如图2，当点不与，重合时，猜想并证明线段与的关系． 【答案】（1）相等，平行 （2）猜想：，，证明见解析 【解析】 【分析】本题考查旋转的性质及平行线的判定，准确识图，熟练掌握和灵活运用相关知识是解题的关键； （1）根据旋转得到，，，，结合平行线判定即可得到证明； （2）延长交于点，根据旋转得到，，，，从而得到，即可得到证明； 【小问1详解】 解：相等，平行，理由如下， ∵绕点逆时针旋转得到， ∴，，，， ∴，， ∴， 故答案为：相等，平行； 【小问2详解】 解：猜想：，， 证明：延长交于点， 绕点逆时针旋转得到， ，， ，，， 又，， ，， ， ， ， ． 22. 【问题提出】 学习了等腰三角形之后，我们知道：在一个三角形中，相邻的边所对的角相等；反过来，相等的角所对的边也相等，那么不相等的边（或角）所对的角（或边）之间的大小关系如何呢？大边所对的角也大吗？ 【问题探究】 问题1，在中，如果，则与的关系如何？ 直观猜想：． 操作验证：如图1，在中，如果，就可以将折叠，使边落在边上，点落在边上的点处，折痕交于点，则，由，可得． 推理证明：作的角平分线，交于点，在边上取点，使.．又，，.，．． 【类比探究】 问题2，如图2，在中，如果，则与的关系如何？ 请你参考问题1的探究过程，完成问题2的探究． （1）直观猜想的结论是__________； （2）请利用图2进行证明． 【深入探究】 （3）如图3，中，点是上点，若，，．求的长．（用含，的代数式表示） 【答案】（1）；（2）见解析；（3） 【解析】 【分析】（1）作线段的中垂线交于，于，连接，根据垂直平分线得到，结合三边关系即可得到答案； （2）作线段的中垂线交于，于，连接，根据垂直平分线得到，结合三边关系即可得到答案； （3）延长至点，使，连接，根据垂直平分线性质得到，结合三角形内外角关系得到，最后根据三角形三边关系即可得到答案； 【详解】解：（1）； （2）证明：作线段的中垂线交于，于，连接， ∵，， ∴， 在中， ∵， . ； （3）延长至点，使，连接， ， ， 垂直平分， ， ，， ， ， ， 即 ， ， ，， ． 【点睛】本题考查了三角形三边关系，垂直平分线的性质，折叠的性质，三角形全等的判定与性质，解题的关键是作出辅助线． 23. （1）如图1，在中，为锐角，以，为边作等边和等边，连接，交于点，连接，交于点，交于点，连接．求证：①；②． （2）小明发现，题中通过作两个等边三角形，实现了“线段转换”的目的（把转换为），结合综合与实践课上《最短路径问题》的学习经验，他和小组同学一起解决了下面一道实际问题． 如图2，在一条河的附近有，两个村庄，靠近村庄的一侧河岸可看成直线，先在河岸上找一点建引水站，再在图中阴影区域找一点建分水站，从而把河水引到，两村．请在图中找到，的位置，使全程管道部分用料最少． 请你在先图2中找到点和点的位置，再说明此时全程管道部分用料最少．（不用写具体的尺规作图作法，但要保留画图痕迹） 【答案】（1）①见解析；②见解析；（2）图见解析，说明见解析 【解析】 【分析】本题是三角形综合题，考查了等边三角形的性质，全等三角形的判定和性质，角平分线的性质等知识，灵活运用这些性质解决问题是本题的关键． （1）①根据证明，再根据全等三角形的性质可得结论； ②在上取点，使得，证明为等边三角形，得，，再由证明，得，进而可得结论； （2）以为边作等边，根据垂线段最短，可得最短距离，所以过作于，点即为所求，连接，以为边作等边，连接交于点，点即为所求． 【详解】解：（1）①证明：和都是等边三角形， ，，， ， 即， 在和中， ， ， ； ②证明：在上取点，使得， ， ， 即， 为等边三角形， ，， 是等边三角形， ，， ， 即， ， ， ； （2）点和点的位置如图所示： 说明如下： 以为边作等边， 在上任取一点，连接，以为边作等边， 连接，，交点为，由上题的经验， 可得， 所以， 而点在上， 所以当时，根据垂线段最短，可得最短距离， 所以过作于，点即为所求， 连接，以为边作等边，连接交于点，点即为所求． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $