3.2.2空间向量的运算（第1课时）（教学课件）数学北师大版2019选择性必修第一册

2空间向量与向量运算 2.2空间向量的运算 （第一课时） 第三章 空间向量与立体几何 北师大版2019·选择性必修第一册 学 习 目 标 2 3 掌握空间向量的加法、减法运算． 掌握空间向量的数乘运算及其数乘向量的几何意义． 掌握空间向量的加法、数乘运算律. 1 读教材 阅读课本P97-P99，6分钟后完成下列问题： 我们一起来探究“空间向量与向量运算”吧！ 1.空间向量的加法运算法则有哪些？ 2.空间向量的数乘运算有哪些运算律？ 复习引入 问题一：上一节课，我们学习了空间向量，空间向量哪些表示方法呢？ 1、用有向线段表示 2、用两个大写字母表示 3、用一个小写字母表示 问题二：什么叫做共面向量？ 我们把平行于同一平面的向量，叫作共面向量. 学习过程 01 03 02 目录 1 空间向量的加减法 3 题型训练 2 空间向量的数乘运算 新知探究 知识点一、空间向量的加法 已知空间向量，，过空间任意一点A作 再作向量 如图.把向量叫作空间向量，的和. 上述求两个空间向量和的法则，叫作向量求和的三角形法则. 新知探究 知识点一、空间向量的加法 空间向量，不平行时，过空间任意一点O作，这时,O,A,B三点不共线,在平面OAB内,以OA,OB为邻边作□ OACB.因为 所以也有: 上述求两个空间向量和的法则，叫作向量求和的平行四边形法则. ⑴交换律： = ; ⑵结合律：() = 新知探究 知识点一、空间向量的加法 思考1：空间向量的加法是否满足交换律和结合律？ 空间向量加法的运算律与平面向量加法的运算律相同. 答：满足 新知探究 知识点二、空间向量的减法 与平面向量类似，空间向量，的差也可定义为+(-)，记作-，其中-是的相反向量.   由此可见，平面向量求差的三角形法则,对空间向量同样适用. 平面向量的线性运算 空间向量的线性运算 (1) 加、减运算：求两个平面向量的和与差的运算。 法则：三角形和平行四边形法则 (1) 加、减运算：求两个空间向量的和与差的运算。 法则：三角形和平行四边形法则 b 知识点一、空间向量的加减法 新知探究 例1： 典例分析 解： (1)= ==； (2)== ； 共起点：平行四边形法则 已知平行六面体ABCD-A′B′C′D′化简下列向量表达式. ⑴ ⑵-+； 提分笔记 (1)利用相反向量：向量减法的三角形法则是解决空间向量加法、减法的关键，灵活运用相反向量可使向量首尾相接． (2)利用平移：利用三角形法则和平行四边形法则进行向量加、减法运算时，务必注意和向量、差向量的方向，必要时可采用空间向量的自由平移获得运算结果． 空间向量加法、减法运算的方法 巩固练习 变式1： 解： C 如图所示的几何体是一个平行六面体，则（    ） 由题知，. 故选：C A． B． C． D． 在四面体中，（    ） A． B． C． D． 由题意可知 故选：A 变式2： 巩固练习 解： A 学习过程 01 03 02 目录 1 空间向量的加减法 3 题型训练 2 空间向量的数乘运算 知识点二、空间向量的数乘运算 新知探究 向量λ的长度和方向满足： 求实数与空间向量的乘积的运算称为空间向量的数乘运算. 与平面向量类似,实数λ与空间向量的乘积仍然是一个向量,记作λ. (1)=; (2)当λ>0时,向量λ与向量方向相同; 当λ<0时,向量λ与向量方向相反; 当λ=0时,λ=. 对于任意一个非零向量, 当λ=时, λ=表示与向量同方向的单位向量. 知识点二、空间向量的数乘运算 新知探究 (1) （结合律）λ()= (λ； (2) （分配律）(λ+=λ ; λ()=λ. 其中 λ. 空间向量数乘运算的运算律与平面向量数乘运算的运算律相同. 定理 ：空间两个向量(≠)共线的充要条件是存在唯一的实数， 使得. 通常把这个定理称为共线向量基本定理.（也称“一维向量基本定理”） 例1： 典例分析 解： D 如图，在斜棱柱中，与的交点为点，，，，则（    ） A． B． C． D． .故选：A. 提分笔记 (1)数形结合：利用数乘运算解题时，要结合具体图形，利用三角形法则、平行四边形法则，将目标向量转化为已知向量． (2)明确目标：在化简过程中要有目标意识，巧妙运用中点性质． 空间向量数乘运算的方法 巩固练习 变式1： 解： B 如图，空间四边形中，，，，点在上，且，点为中点，则等于（    ） A． B． C． D． ． 故选：B 学习过程 01 03 02 目录 1 空间向量的加减法 3 题型训练 2 空间向量的数乘运算 空间向量的加减法 题型1 题型探究 例1： 解： D 如图所示，在正方体中，下列各式中运算结果为向量的个数是（ ） ①； ② ③； ④． A．1 B．2 C．3 D．4 由正方体，空间向量的加法法则可得． ；； ；． 故选：D． 如图，四棱锥的底面是平行四边形， ，则（    ） A． B． C． D． 因为是平行四边形，所以， 所以， 所以. 故选：B. 题型探究 例2： 解： B 空间向量的加减法 题型1 空间向量的数乘运算 题型2 题型探究 例1： 解： A 如图，设，若，则（    ） A． B． C． D． 由题意得 . 故选：A. 空间向量的数乘运算 题型2 题型探究 例2： 如图，已知正方体中，点为上底面的中心，若，则（   ） 因为， 所以， 所以， 故选：B. A． B． C． D． 解： B 23 课堂小结 一、空间向量的加减法 平面向量的加减运算 空间向量的加减运算 加、减运算：求两个平面向量的和与差的运算。 法则：三角形和平行四边形法则 加、减运算：求两个空间向量的和与差的运算。 法则：三角形和平行四边形法则 b 课堂小结 二、空间向量的数乘运算 向量λ的长度和方向满足： 与平面向量类似,实数λ与空间向量的乘积仍然是一个向量,记作λ. (1)=; (2)当λ>0时,向量λ与向量方向相同; 当λ<0时,向量λ与向量方向相反; 当λ=0时,λ=. 感谢聆听! $